线性代数第二章习题部分答案(本)

，得
.
充分性. 已知 关。 设
，则 K 的列向量组
线性无
线性无关。
三、设 证明：向量组 证明：因为 所以，向量组
把
与向量组
等价。
可以由向量组
线性表示。
各式相加后得
可得
所以，向量组 由上，向量组
可以由向量组 与向量组
线性表示。 等价。
四、已知 3 阶矩阵 与 3 维列向量 满足
，且向
量组
线性无关，记
一、 设 线性相关， 线性相关，问
一定线性相关？并举例说明之。
解：取
,
.
是否
线性相关。
取
,
.
线性无关。
二、举例说明下列各命题是错误的：
1．若向量组
是线性相关的，则 可由
线
性表示。
解：取
.
2．若有不全为 0 的数
,使
成立，则 解：取
是线性相关， ,
是线性相关. .
3． 若只有当
全为 0 时，等式
才能成立，则 解：取
线性相关，
与
线性无关, 矛盾。所以， 不能由
线性表示。
五、 设
,
,
线性无关，证明向量组
证明：设
，则
，且向量 线性无关。
而向量
线性无关，所以，
所以，向量组
线性无关。
§2-3 极大无关组（一） 一、 证明 n 阶单位矩阵的秩为 n. 证明：n 阶单位矩阵的列向量组为
,
设
,则
所以，
线性无关，秩为 n，则 n 阶单位矩阵的秩为 n.
解：设
则 即
所以， , 线性相关;
, 线性无关
四、设 线性无关，
线性相关，求向量 用
线性表示的表示式。
解：因为
线性相关，所以存在不全为零的 ， ，
使得
即 + b=
.又
因为
线性无关，所以 +
，于是，
b=
.
五、已知向量组
线性相关。
解：因为
所以，向量组
线性相关。
，令 ，求证向量组
，
§2-2 线性相关与线性无关（二）
，
，所以，
于是，
线性无关。
五、 设
是一组 维向量，证明它们线性无关的充分
必要条件是：任一 维向量都可由它们线性表示。
证明：充分性：如果任一 维向量都可由
线性表示，
则 维单位坐标向量
能由
线性表示，利用
上一题的结果，
线性无关。
必要性：如果
线性无关，对于任一 维向量 .
如
果
,
则
，所以，向量 能由
线性表示。
，
于
是
，
，命题得证。
四、 已知
线性相关,
线性无关,
证明：（1） 能由 示。 证明：（1）因为
线性表示。（2） 不能由
线性表
线性无关，由定理 1 知 也线性无关；
又因为
线性相关，所以 由定理 3 得 能由 线性表示。
（2）反证法。假设 能由
线性表示。再利用（1）的结
果，可推出 能由 线性表示，由定理 2 得
，于是，
，所以， 也是正交阵。
，极大无关组
为
.
则 A+B 的列向量组为
能由
(A,B)的列向量组
所以，
.
线性表示，
又(A,B)的列向量组
能由
线性表示，所以，
.
二、设向量组
能由向量组
线
性表示
其中 为 矩阵，且 线性无关。证明 线性无关的充分必要条
件是矩阵 的秩为
.
证明：
必要性. 已知
线性无关. 则
,
设矩阵
矩阵
，则
B=AK，所以，r=
，求 3 阶矩阵 使
.
解：设
，
A
由向量组
线性无关得
.
§2-4 §2-5 向量空间，内积与标准正交基
一、设
,
,
,
问
是不是向量空间，为什么？
答： 是， 不是， 是
二、 验证： 一个基, 并把
解：(
)=
用这个基线性表示.
为的
所以，
.
三、 证明 中不存在 n+1 个线性无关的向量，从而 中不存 在 n+1 个两两正交的非零向量。 证明：因为 的维数是 n，所以 中不存在 n+1 个线性无关的 向量。
第二章 向量组的线性相关性
§2-1 §2-2 维向量，线性相关与线性无关（一）
一、 填空题
1. 设
, 其中
,
则
.
2. 设
则线性组合
.
3. 设矩阵
，设 为矩阵 的第 个列向量，
则
.
二、 试确定下列向量组的线性相关性
1.
解：设
则 即
，线性无关。
2. 线性相关
三、设有向量组
，
问 取何值时该向量组线性相关。
如果
，则
这 n+1 个 n 维向
量线性相关，而
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线性无关，由定理 3 得向量 能由
线性表示。
（另证：如果
线性无关，而 的维数是 n，所以
为 的一组基，所以 中的一 维向量都可由它们线 性表示。）
一、 设
§2-3 极大无关组（二） 为同阶矩阵，求证
。
证明：设 A 的列向量组为
，极大无关组为
；B 的列向量组为
是线性无关， ,
是线性无关。 .
4．若
是线性相关，
有不全为 0 的数
，使
是线性相关，则
同时成立。
解：取
,
.
三、 设向量组
线性相关，且
,证明存在某个向
量
)，使 能由
线性表示。
证明：因为向量组
线性相关，所以存在不全为零的 ，
， 使得
。设 ， ， 中
最后一个不为零的数是 ，即
，
，又
因为
，所以，
。即有
)，使得
又因为两两正交的非零向量必是线性无关的，所以， 中 不存在 n+1 个两两正交的非零向量。
四、
把下列向量组规范正交化
解：
;
;
;
所以，
.
六、证明下列各题
(1) 为 维列向量，且 阵。
,求证：
是对称的正交
(2) 设 为同阶正交阵，证明： 也是正交阵。 证明：
(1) 称；
，H 对
正交。
，H
(2) 因为 为同阶正交阵，所以，
二、 设矩阵
其中
)
则
.
证明：设矩阵 的列向量组为
设
,则
所以，
线性无关，秩为 n，则
.
三、 求下列向量组的秩 1. R=3
2.
解：A=(
)=
所以，R (
)=2,
为极大无关组。
四、 设
是一组 维向量，已知 维单位坐标向量
能由它们线性表示，证明
线性无关。
证明：因为 维单位坐标向量
能由
线性表
示，所以，
，而