同济大学线性代数教案第五章线性空间与线性变换
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线性代数教学教案
第五章线性空间与线性变换
授课序号01
是一个非空集合，为实数域
中任一数
):
ββ
+=+
)
αβγ
++
中存在零元素0；对于任何
就称为实数域是实数域
上线性空间，上线性空间}++∈
1010,,,n a x a a a a ，
对于通常的多项式加法、数乘多项式的乘法构成线性空间.
()[]}
,b x a 为上的连续函数是定义在区间[,a 集合，关于通常的函数加法和数乘函数的乘法构成线性空间.
(12
121222121n n ij m m mn a a a a i a a a ⎫⎫
⎪⎪
≤⎪⎪⎭
)是非空的， ()m n M ⨯对通常的矩阵加法和数乘构成线性空间)(1112121222121,n n n ij n m nn a a a a a a M A a i a a a ⎧⎛⎫
⎪
⎪⎪ ⎪
==≤⎨ ⎪ ⎪⎝⎭
++∈1010,,,,n a x a a a a R 且对于通常的多项式加法和乘数运算不构成线性空间. (
)
}
=∈1111,,,,,,T
n
n x x x x x x R 对于通常的有序数组的
(
)
(
)
=1,,0,
,0T
T
n
x x
+
，在其中定义加法及乘数运算为 ()
+⊕=∈,,a b ab a b R ()
λλ=,a a 验证对上述加法与乘数运算构成线性空间.
7 在实数域
上线性空间
(
)(121222121,n n n ij n m nn a a A a i a a a ⎧⎫
⎪⎪⎪
⎪
=≤⎨⎪⎪⎭
(11221ii nn a a a i a ⎫⎪
⎪≤⎪⎪⎭
)的非空子集，且)关于)M 的加法和数乘是封闭的，所以)是()n M 的一个子空
授课序号02
个元素12,,,n ααα满足12,,,n ααα总可由12,,,n ααα那么，12,,
,n ααα就称为线性空间12,,
,n ααα是线性空间12,,,n x x x ，使+n n x α，12,,
,n x x x 这组有序数就称为元素12,,
,n ααα下的坐标，并记作)
T
,n
x .
12,,
,n ααα与12,,,n βββ中的两个基，且
)(
)
=12,,,
,n n βαααP ，
12,,,n ααα12,,,n βββ的基变换公式，矩阵P 12,,
,n ααα12,,,n βββ12,,,n βββ线性无关，过渡矩阵P 可逆.
在基12,,
,n ααα下的坐标为()
T
12,,,n
x x x ，在基12,,,n βββ)
T
,n
y ，且由基12,,,n ααα到基12,,
,n βββ的过渡矩阵为矩阵22n n x y ⎪ ⎪=⎪ ⎪⎪ ⎪⎭⎝⎭P
或 1221=n n y y y x -⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
P . ====234
1234,,,p x p x p x p x 就是它的一个基，)()111221221,2ij
a a A a i j a a ⎧⎫⎛⎫
⎪
⎪
==≤≤∈⎨⎬
⎪⎝⎭⎪⎪⎩
⎭
中，由于对任一向量 ()有
111211122122212210010000=00001001a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，
1e ⎛= )
的一个
授课序号03
（从而λn V 到m U 的线性映射，或称为线性变换m ，那么T 是一个从线性空间二、线性变换的性质：
+m m k α+m k T α12,,
,m ααα线性相关，则12,,
,m T T T ααα亦线性相关.
()
n T V 是一个线性空间，称为线性变换T 的像空间.
的全体 {=T S 的一个线性子空间，
12,,,n ααα，)()()
()()()
,,
,==121
2
,,,
,n n
n T T T αααααααA ，
在基12,,,n ααα下的矩阵.
12,,
,n ααα下的矩阵是A ，向量α与()
T α在基12,,
,n ααα下的坐标分别为12n x x ⎛⎫ ⎪⎪⎪⎪⎪⎭和12n y y ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，则有⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪=⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎭⎝⎭1122n n y x y x A .
12,,,n ααα与12,,
,n βββ，
由基12,,,n ααα到基12,,
,n βββ是实数域上的一个线性空间，对任意的是固定的数上的线性变换，分别称为(i) 微分运算是个变换，但不是线性变换2
,x x y y α⎧⎫⎛⎫⎪
⎪
==∈
⎪⎨⎬ ⎪⎪⎪⎝⎭⎩
⎭
中定义映射2
2
:T →
为：T ⎛ ⎝是2
上的线性变换. 这个线性变换的几何意义是：T 将xoy 平面上任一向量绕原点按逆时针方向旋转