第46讲 直线的方程(解析版)2021届新课改地区高三数学一轮专题复习

3、 直线 x＋(a2＋1)y＋1＝0 的倾斜角的取值范围是( )
0，π A. 4
3π，π B. 4
0，π π，π C. 4 ∪ 2
π，π 3π，π D. 4 2 ∪ 4
【答案】 B
【解析】 由直线方程可得该直线的斜率为
k＝－ 1 ，又－1≤－ 1 <0，所以倾斜角的取值范围是
a2＋1
a2＋1
3π，π 4
5、过点 A(1,3)，斜率是直线 y＝－4x 的斜率的1的直线方程为________． 3
【答案】4x＋3y－13＝0
【解析】设所求直线的斜率为 k，依题意 k＝－4×1＝－4.又直线经过点 A(1,3)，因此所求直线方程为 y－3＝ 33
－4(x－1)，即 4x＋3y－13＝0. 3
6、过点 P(6，－2)，且在 x 轴上的截距比在 y 轴上的截距大 1 的直线方程为________________．
变式 2、根据所给条件求直线的方程：
(1)过点 P(－2，4)且斜率 k＝3；
(2)直线过点(－3，4)，且在两坐标轴上的截距之和为 12.
【解析】 (1)由题设知，该直线可采用点斜式．直线 l 的方程为 y－4＝3(x＋2)，即 3x－y＋10＝0.
(2)由题设知直线在平面直角坐标系中的横、纵截距均不为 0，故可设直线方程为x＋ y ＝1.∵直线过 a 12－a
A
B
二、四象限，不经过第三象限．故选 C.
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2、 若过点 M(－2，m)，N(m，4)的直线的斜率等于 1，则 m 的值为( )
A. 1
B. 4 C. 1 或 3 D. 1 或 4
【答案】 A
【解析】 由题意得 4－m ＝1，解得 m＝1. m－（－2）
(2)如图，因为 kAP＝1－0＝1， 2－1
kBP＝ 3－0＝－ 3， 0－1
所以 k∈(－∞，－ 3]∪[1，＋∞)． 变式：（1）若图中的直线 l1，l2，l3 的斜率分别为 k1，k2，k3，则( )
A．k1＜k2＜k3
B．k3＜k1＜k2
C．k3＜k2＜k1
D．k1＜k3＜k2
（2）若点 A(4,3)，B(5，a)，C(6,5)三点共线，则 a 的值为________．
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则 k＝tan α＝±1.故所求直线方程为 y＝±1(x＋4)，
3
3
即 x＋3y＋4＝0 或 x－3y＋4＝0.
(2)由题设知截距不为 0，设直线方程为x＋ y ＝1. a 12－a
又直线过点(－3,4)，从而－3＋ 4 ＝1， a 12－a
解得 a＝－4 或 a＝9.
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【解析】(1)由题意知直线 l1，l2 恒过定点 P(2,2)，直线 l1 在 y 轴上的截距为 2－a，直线 l2 在 x 轴上的截距为
a2＋2，所以四边形的面积
S＝1×2×(2－a)＋1×2×(a2＋2)＝a2－a＋4＝
a－1 2
2＋15，当
a＝1时，面积最小．故
x2－x1 3. 直线方程的几种形式
名称 点斜式 斜截式 两点式
截距式 一般式
方程
y－y0＝k(x－x0) y＝kx＋b
y－y1 ＝ x－x1 y2－y1 x2－x1
x＋y＝ab Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)
适用范围 不含垂直于 x 轴的直线 不含垂直于 x 轴的直线 不含垂直于坐标轴的直线
【答案】2x＋3y－6＝0 或 x＋2y－2＝0
【解析】设直线方程的截距式为 x ＋y＝1，则 6 ＋－2＝1，解得 a＝2 或 a＝1，则直线的方程是 x ＋
a＋1 a
a＋1 a
2＋1
y＝1 或 x ＋y＝1，即 2x＋3y－6＝0 或 x＋2y－2＝0.
2
1＋1 1
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求直线的斜率为 3.
又直线过点 A(－ 3，3)，所以所求直线方程为 y－3＝ 3(x＋ 3)，即 3x－y＋6＝0.
5＋x0，y0－2
7＋x0，y0＋3
(3)设 C(x0，y0)，则 M 2
2 ，N 2
2.
因为点 M 在 y 轴上，所以5＋x0＝0，所以 x0＝－5. 2
因为点 N 在 x 轴上，所以y0＋3＝0， 2
考点二 直线方程的求法
例 2、根据所给条件求直线的方程． (1)直线过点(－4,0)，倾斜角的正弦值为 10；
10 (2)直线过点(－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为 12；
(3)直线过点(5,10)，且到原点的距离为 5.
【解析】(1)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式．
设倾斜角为α，则 sin α＝ 10(0<α<π)，从而 cos α＝±3 10，
.
4、过直线 l：y＝x 上的点 P(2,2)作直线 m，若直线 l，m 与 x 轴围成的三角形的面积为 2，则直线 m 的方程
为________．
【答案】：x－2y＋2＝0 或 x＝2
【解析】：①若直线 m 的斜率不存在，则直线 m 的方程为 x＝2，直线 m，直线 l 和 x 轴围成的三角形的面积
所以 y0＝－3，即 C(－5，－3)，
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所以 M
0，－5 2
，N(1,0)，
所以直线 MN 的方程为1x＋－y5＝1， 2
即 5x－2y－5＝0.
[答案] (1)x＋2y＋1＝0 或 2x＋5y＝0
(2) 3x－y＋6＝0 (3)5x－2y－5＝0
不含垂直于坐标轴和过原点的直线 平面直角坐标系内的直线都适用
三、自主热身、归纳总结 1、 如果 A·C<0 且 B·C<0，那么直线 Ax＋By＋C＝0 不通过( )
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】C
【解析】 由已知得直线 Ax＋By＋C＝0 在 x 轴上的截距－C>0，在 y 轴上的截距－C>0，故直线经过第一、
＞0，解得－ 3
2π，3π ＜a＜－1，即直线 l 的斜率的范围是(－ 3，－1)，故其倾斜角的取值范围是 3 4 .
方法总结：1. 倾斜角α与斜率 k 的关系
当α∈
0，π 2
且由 0 增大到π
α≠π 2
时，k 的值由 0 增大到＋∞；
2
当α∈
π，π 2
时，k 也是关于α的单调函数，当α在此区间内由π
点(－3，4)，∴－3＋ 4 ＝1，解得 a＝－4 或 9.故所求直线方程为 4x－y＋16＝0 或 x＋3y－9＝0. a 12－a
方法总结：本题考查直线方程的几种形式，要注意选择性．过定点，且斜率已知，用直线的点斜式方程； 在两坐标轴上的截距已知，一般用截距式，再将点的坐标代入得出直线方程．在求直线方程时，最后结果 要化为一般式与斜截式，要当心斜率不存在、截距不存在的特殊情况． 考点三 直线方程的综合应用 例 3、 （辽宁阜新实验中学 2019 届模拟）(1)已知直线 l1：ax－2y＝2a－4，l2：2x＋a2y＝2a2＋4，当 0＜a ＜2 时，直线 l1，l2 与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，求实数 a 的值． (2)已知直线 l 过点 P(3,2)，且与 x 轴、y 轴的正半轴分别交于 A，B 两点，如图所示，求△ABO 的面积的最 小值及此时直线 l 的方程．
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第 46 讲 直线的方程
一、课程标准 1、在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素； 2、理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式； 3、掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一 次函数的关系. 二、基础知识回顾 1. 当直线 l 与 x 轴相交时，把 x 轴所在的直线绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转过的最小正 角称为这条直线 l 的倾斜角，并规定：直线 l 与 x 轴平行或重合时倾斜角为 0°，因此倾斜角α的范围是 0°≤α ＜180°． 2. 当倾斜角α≠90°时，tanα表示直线 l 的斜率，常用 k 表示，即 k＝tanα.当α＝90°时，斜率不存在．当直线 过 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)且 x1≠x2 时，k＝y2－y1．
四、例题选讲 考点一 直线的斜率与倾斜角
π，π 例 1、（徐州一中模拟）(1)直线 2xcos α－y－3＝0 α∈ 6 3 的倾斜角的取值范围是( )
π，π A. 6 3
π，π C. 4 2
π，π B. 4 3
π，2π D. 4 3
(2)直线 l 过点 P(1,0)，且与以 A(2,1)，B(0， 3)为端点的线段有公共点，则直线 l 斜率的取值范围是
（3）已知点(－1,2)和
3，0 3
在直线
l：ax－y＋1＝0(a≠0)的同侧，则直线
l
倾斜角的取值范围是________．
2π，3π 【答案】（1）D （2） 4 （3） 3 4
【解析】（1）直线 l1 的倾斜角α1 是钝角，故 k1＜0.直线 l2 与 l3 的倾斜角α2 与α3 均为锐角，且α2＞α3，所以 0
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②当横截距、纵截距都不为零时，
设所求直线方程为 x ＋y＝1， 2a a
将(－5,2)代入所设方程，解得 a＝－1，此时，直线方程为 x＋2y＋1＝0. 2
综上所述，所求直线方程为 x＋2y＋1＝0 或 2x＋5y＝0.
(2)由 3x＋y＋1＝0 得此直线的斜率为－ 3，所以倾斜角为 120°，从而所求直线的倾斜角为 60°，故所