高数第一章 知识点总结
《高等数学》各章知识点总结——第1章
《高等数学》各章知识点总结——第1章1.集合的概念：集合是由确定的、互不相同的对象组成的一个整体。
集合中的对象称为元素，用大写字母A、B等表示集合，用小写字母a、b等表示元素。
集合中的元素无序，不重复。
2.集合的运算：(1)并集：表示由属于任一集合的元素组成的新集合，记作A∪B。
(2)交集：表示同时属于所有集合的元素组成的新集合，记作A∩B。
(3)差集：表示属于一个集合但不属于另一个集合的元素组成的新集合，记作A-B。
(4)互斥：两个集合的交集为空集，即A∩B=∅。
(5)补集：表示全集中不属于一些集合的所有元素的集合，记作A'。
3.集合之间的关系：(1)包含关系：若集合A的所有元素都属于集合B，则称集合A包含于集合B，记作A⊆B。
(2)相等关系：若集合A和集合B的元素完全相同，则称集合A等于集合B，记作A=B。
(3)真包含关系：若集合A包含于集合B，并且集合A不等于集合B，则称集合A真包含于集合B，记作A⊂B。
4.映射的概念：(1)映射：设有两个非空集合A和B，如果存在一种对应关系，使得A 中的每个元素对应B中的唯一元素，则称这种对应关系为映射。
(2)函数：映射的另一种称呼，表示自变量和因变量之间的关系。
通常用f(x)表示函数，其中x为自变量，f(x)为相应的因变量。
5.映射的性质：(1)定义域和值域：映射的定义域是指所有自变量的集合，值域是指所有因变量的集合。
(2)单射：每个自变量只对应唯一的因变量。
(3)满射：每个因变量都有对应的自变量。
(4)一一对应：既是单射又是满射的映射。
(5)复合映射：将两个映射结合起来形成一个新的映射，称为复合映射。
总结：本章主要阐述了集合的基本概念、集合的运算、集合之间的关系和映射的概念及其性质。
理解这些基本概念对于后续学习高等数学的内容具有重要的指导意义，也为我们建立起了抽象数学思维的基础。
在学习中，我们需要牢记集合的运算规则和映射的性质，灵活运用，为数学的进一步学习打下坚实的基础。
高数大一最全知识点
高数大一最全知识点高等数学作为大一学生的必修课程，是一门基础而又重要的学科。
掌握好高数知识点，不仅对后续的学习有着重要的影响，也对提高数理思维和解决实际问题具有重要的帮助。
下面将为大家整理总结大一高数中最全的知识点。
第一章：函数与极限1. 函数的概念和性质函数定义、定义域和值域、函数的图像和性质等。
2. 极限的概念和性质数列极限、函数极限、几何意义以及重要的极限性质。
3. 连续与间断连续函数的概念、连续函数的性质、间断点和间断函数等。
第二章：导数与微分1. 导数的概念和计算导数的定义、导数的计算方法、各种函数导数的计算公式等。
2. 高阶导数与导数的应用高阶导数的定义、高阶导数的计算、导数在几何和物理问题中的应用等。
3. 微分学基本定理微分中值定理、极值与最值、凹凸性等重要的微分学定理。
第三章：积分与不定积分1. 定积分和不定积分的概念和性质定积分的定义、定积分的计算、不定积分的定义和基本积分表等。
2. 定积分的应用定积分的几何应用、定积分的物理应用、定积分的概率统计应用等。
3. 反常积分反常积分的概念和性质、反常积分判敛方法、特殊函数的反常积分等。
第四章：常微分方程1. 常微分方程的基本概念常微分方程的定义、初值问题、解的存在唯一性定理等。
2. 一阶常微分方程解法可分离变量方程、齐次方程、一阶线性方程、伯努利方程等解法。
3. 高阶线性微分方程高阶线性齐次和非齐次微分方程的解法、常系数线性微分方程等。
第五章：多元函数与偏导数1. 多元函数的概念和性质多元函数的定义、定义域、值域、图像等基本概念。
2. 偏导数与全微分偏导数的定义和计算、全微分的定义以及全微分近似等。
3. 隐函数与参数方程隐函数的存在定理、隐函数的求导、参数方程的定义和性质等。
第六章：多元函数的积分学1. 二重积分的概念和性质二重积分的定义、二重积分的计算、二重积分的性质等。
2. 三重积分和曲线、曲面积分三重积分的定义、三重积分的计算、曲线积分、曲面积分的概念与计算等。
大一高数笔记全部知识点
大一高数笔记全部知识点第一章数列与极限1.1 数列1.1.1 数列的概念1.1.2 等差数列1.1.3 等比数列1.2 极限的概念与性质1.2.1 极限的定义1.2.2 极限存在的条件1.2.3 极限的性质1.3 极限运算法则1.3.1 无穷小量与无穷大量1.3.2 极限的四则运算第二章函数与连续2.1 函数的概念与性质2.1.1 函数的定义2.1.2 函数的性质2.2 基本初等函数2.2.1 幂函数与指数函数2.2.2 对数函数与指数对数函数2.3 函数的极限与连续性2.3.1 函数的极限2.3.2 函数的连续性第三章导数与微分3.1 导数的概念与计算方法3.1.1 导数的定义3.1.2 常用函数的导数计算3.2 微分的概念与性质3.2.1 微分的定义3.2.2 微分的性质3.3 高阶导数与导数的应用3.3.1 高阶导数的定义3.3.2 导数的应用：切线与法线第四章积分与不定积分4.1 不定积分的概念与性质4.1.1 不定积分的定义4.1.2 不定积分的性质4.2 定积分的概念与性质4.2.1 定积分的定义4.2.2 定积分的性质4.3 积分的运算法则与应用4.3.1 积分的基本运算法则4.3.2 积分的应用：面积与曲线长度第五章多元函数与偏导数5.1 多元函数的概念与性质5.1.1 多元函数的定义5.1.2 多元函数的性质5.2 偏导数的概念与计算方法5.2.1 偏导数的定义5.2.2 常用函数的偏导数计算5.3 高阶偏导数与微分的应用5.3.1 高阶偏导数的定义5.3.2 微分的应用：切平面与法线以上是大一高数课程中的全部知识点。
通过学习这些知识，我们可以建立起数学的基础框架，为以后的学习打下坚实的基础。
每个知识点都有其重要性和实用性，在理解和掌握的过程中，我们要注重理论联系实际，通过例题和应用题的练习来提高解题能力。
希望同学们能够认真学习，并在课后进行适当的巩固和扩展。
加油！。
高等数学第一章的总结
例.
01
解:
02
原式
03
例. 求
04
例
解
解法讨论
典型例题
例：
例：
函数连续的等价形式
有
函数间断点
第一类间断点
跳跃间断点
第二类间断点
可去间断点
无穷间断点
振荡间断点
三、连续与间断
小结：
1.函数在一点连续必须满足的三个条件;
3.间断点的分类与判别;
2.区间上的连续函数;
第一类间断点:（左右极限都存在的间断点）.
例. 证明
例：
01
求极限
02
解：
03
原式
04
求极限
05
提示：
06
原式
07
左边
08
= 右边
09
故极限存在，
设
, 且
求
则由递推公式有
解：
设
∴数列单调递减有下界，
故
利用极限存在准则
例：
思考与练习
, 求 时, 设 不对! 此处
1.如何判断极限不存在?
方法1. 找一个趋于∞的子数列;
2.已知
方法2. 找两个收敛于不同极限的子数列. 下述作法是否正确? 说明理由. 由递推式两边取极限得
右极限存在,
不存在.
补充结论：
D
C
A
B
思考题解答
小结:
例
商的法则不能用
解
由无穷小与无穷大的关系,得
解
例
(消去零因子法)
例
解
(无穷小因子分出法)
结论:
无穷小分出法:以分母中自变量的最高次幂除分子,分母,以分出无穷小,然后再求极限.
高数笔记大一上知识点汇总
高数笔记大一上知识点汇总[第一章：数列与极限]1. 数列的概念数列是按照一定规律排列的一系列数的集合。
数列中的每个数称为该数列的项。
2. 数列的分类- 等差数列：数列中每两项之间的差值都相等。
- 等比数列：数列中每两项之间的比值都相等。
- 递推数列：数列中的每一项都能由前面的项通过某种规律推算得到。
3. 数列的通项公式在某些规律的数列中，我们可以找到一种公式来表示该数列的第n项，这个公式被称为数列的通项公式。
4. 数列的前n项和数列的前n项和表示数列从第一项到第n项的求和结果。
对于等差数列、等比数列和递推数列，都有相应的求和公式。
5. 极限的概念极限是数列或函数在某一点或无穷远处的趋势或趋近值。
6. 数列的极限- 数列的收敛：当数列的项越来越接近某个确定的数时，可以说该数列收敛于该数。
- 数列的发散：当数列的项没有接近某个确定的数的情况下，可以说该数列发散。
7. 极限的性质与运算法则- 极限唯一性：数列的极限只能有一个。
- 有界性：收敛的数列是有界的，即数列中的所有项都在某个范围内。
- 收敛数列的极限运算法则：对于两个收敛数列的和、差、积、商，其极限仍可通过相应的运算得到。
[第二章：导数与微分]1. 函数的极限函数的极限表示当自变量趋近于某个值时，函数值的趋势或趋近值。
2. 导数的定义导数表示函数在某一点处的变化率或斜率。
可以通过导数来刻画函数曲线在某一点的切线的斜率。
3. 导数的运算法则- 常数倍法则：导数与常数倍之间有简单的线性关系。
- 和差法则：导数的和的导数等于各个导数之和。
- 乘积法则：导数的乘积等于前一个导数乘以后一个函数的值再加上后一个导数乘以前一个函数的值。
- 商法则：导数的商等于分子的导数乘以分母的值减去分母的导数乘以分子的值，再除以分母的平方。
4. 高阶导数函数的导数也可以求导，得到的导函数称为原函数的高阶导数。
5. 隐函数与参数方程的求导对于隐函数和参数方程，我们可以使用求导法则来求取导数。
《高等数学》各章知识点总结——第1章（五篇）
《高等数学》各章知识点总结——第1章（五篇）第一篇：《高等数学》各章知识点总结——第1章第1章函数与极限总结1、极限的概念（1）数列极限的定义给定数列{xn}，若存在常数a，对于任意给定的正数ε(不论它多么小),总存在正整数N ,使得对于n >N 时的一切n,恒有|xn-a |<ε 则称a 是数列{xn}的极限,或者称数列{xn}收敛于a ,记为n→∞limxn=a或xn→a(n→∞).（2）函数极限的定义设函数f(x)在点x0的某一去心邻域内（或当x>M>0）有定义，如果存在常数A,对于任意给定的正数ε(不论它多么小),总存在正数δ,（或存在X）使得当x满足不等式0<|x-x0|<δ 时,（或当x>X时）恒有|f(x)-A|<ε,那么常数A就叫做函数f(x)当x→x0（或x→∞）时的极限,记为x→x0limf(x)=A或f(x)→A(当x→x0).（或limf(x)=A）x→∞类似的有：如果存在常数A,对∀ε>0,∃δ>0,当x:x0-δ<x<x0（x0<x<x0-δ）时，恒有f(x)-A<ε，则称A为f(x)当x→x0时的左极限（或右极限）记作x→x0-limf(x)=A(或lim+f(x)=A)x→x0x→x0x→x0x→x0显然有limf(x)=A⇔lim-f(x)=lim+f(x)=A) 如果存在常数A,对∀ε>0,∃X>0,当x<-X(或x>X)时，恒有f(x)-A<ε，则称A为f(x)当x→-∞（或当x→+∞）时的极限记作limf(x)=A(或limf(x)=A)x→-∞x→+∞显然有limf(x)=A⇔limf(x)=limf(x)=A)x→∞x→-∞x→+∞2、极限的性质（1）唯一性若limxn=a，limxn=b，则a=bn→∞n→∞若limf(x)=Alimf(x)=B，则A=Bx→∞(x→x0)x→∞(x→x0)（2）有界性（i）若limxn=a，则∃M>0使得对∀n∈Nn→∞+,恒有xn≤M（ii）若limf(x)=A，则∃M>0当x:0<x-x0<δ时，有f(x)≤Mx→x0（iii）若limf(x)=A，则∃M>0,X>0当x>X时，有f(x)≤Mx→∞（3）局部保号性（i）若limxn=a且a>0(或a<0)则∃N∈N+，当n>N时，恒有xn>0(或xn<0)n→∞)=A，且A>0(或A<0)，则∃δ>0当x:0<x-x0<δ时，有（ii）若limf(xx→x0f(x)>0(或f(x)<0)3、极限存在的准则（i）夹逼准则给定数列{xn},{yn},{zn}若①∃n0∈N,当n>n0时有yn≤xn≤zn ②limyn=limzn=a，n→∞n→∞+则limxn=an→∞ 给定函数f(x),g(x),h(x)， 若①当x∈U(x0,r)（或x>X）时，有g(x)≤f(x)≤h(x)②limg(x)=limh(x)=A，x→∞(x→x0)x→∞(x→x0)0则limf(x)=A x→∞(x→x0)（ii）单调有界准则给定数列{xn}，若①对∀n∈N+有xn≤xn+1(或xn≥xn+1)②∃M(m)使对∀n∈N+有xn≤M(或xn≥m)则limxn存在n→∞若f(x)在点x0的左侧邻域（或右侧邻域）单调有界，则lim-f(x)（或lim+f(x)）x→x0x→x0存在4、极限的运算法则（1）若limf(x)=A，limg(x)=Bx→∞(x→x0)x→∞(x→x0)则(i)lim[f(x)±g(x)]=A±Bx→∞(x→x0)(ii)lim[f(x)⋅g(x)]=A⋅Bx→∞(x→x0)(iii)limx→∞(x→x0)f(x)A=⋅（B≠0）g(x)B0（2）设（i）u=g(x)且limg(x)=u0（ii）当x∈U(x0,δ)时g(x)≠u0x→x0（iii）limf(u)=Au→u0则limf[g(x)]=limf(u)=Ax→x0u→u05、两个重要极限（1）limsinx=1x→0xsinu(x)=1u(x)→0u(x)limlimsinx11=0，limxsin=1，limxsin=0x→∞x→∞x→0xxxxu(x)⎛1⎫1⎫⎛lim1+（2）lim 1+⎪=e ⎪u(x)→∞x→∞u(x)⎭x⎭⎝⎝=e;lim(1+x)=ex→01xv(x)→0lim(1+v(x))1v(x)=e;6、无穷小量与无穷大量的概念（1）若limα(x)=0，即对∀ε>0,∃δ>0,当x:0<x-x0<δ（或x→∞(x→x0)x>X）时有α(x)<ε，则称当x→x0(或x→∞)，α(x)无穷小量（2）或X>0),若limf(x)=∞即对∀M>0,∃δ>0(当x:0<x-x0<δx→∞(x→x0)（或x>X）时有f(x)>M则称当x→x0(或x→∞)，f(x)无穷大量7、无穷小量与有极限的量及无穷大量的关系，无穷小量的运算法则（1）limf(x)=A⇔f(x)=A+α(x),其中limx→∞(x→x0)x→∞(x→x0)α(x)=0（f(x)≠0）⇒lim（2）limf(x)=0x→∞(x→x0)x→∞(x→x0)1=∞f(x)（3）limg(x)=∞⇒limx→∞(x→x0)x→∞(x→x01=0 g(x))（4）limf(x)=∞且∃M>0,当x:0<x-x0<δ（或x>X）时有g(x)≤M，x→∞(x→x0)则lim[f(x)+g(x)]=∞x→∞(x→x0)（5）limf(x)=0且∃M>0,当x:0<x-x0<δ（或x>X）时有g(x)≤M，x→∞(x→x0)则lim[f(x)⋅g(x)]=0x→∞(x→x0)nn（6）limfk(x)=0(k=1,2,Λ,n)则limx→∞(x→x0)x→∞(x→x0)k=1∑fk(x)=0,limx→∞(x→x0)k=1∏fk(x)= 0，8、无穷小量的比较x→∞(x→x0)limf(x)=0,limg(x)=0,limα(x)=0x→∞(x→x0)x→∞(x→x0)若（1）lim小。
高等数学第一章复习总结
第一讲函数、极限与连续一、函数的概念与性质1、领域：设是一个正数，称开区间为点的领域，记作，即：2、函数：设x,y是两个变量，D是一个数集，如果对于每个x∈D，按照某一对应法则f,变量y均有唯一确定的值与x对应，则称y为x的函数，记作y=f(x),称x为自变量，y为应变量，数集D称为函数的定义域，数集R={y|y=f(x),x∈D}称为函数的值域。
函数的两个要素：对应关系f；定义域D。
3、函数的四种特性（1）有界性：则称函数f(x)在D上有界。
无界：（2）奇偶性：设函数y=f(x)的定义域D关于原点对称，若对于任意的x∈D，有：①若f(-x)=-f(x)，则称函数f(x)为奇函数；②若f(-x)=f(x)，则称函数f(x)为偶函数。
注：①f(x)=1/2[f(x)+f(-x)]+1/2[f(x)-f(-x)]=g(x)+h(x),其中g(x)=1/2[f(x)+f(-x)]为偶函数，h(x)=1/2[f(x)-f(-x)]为奇函数。
②若奇函数f(x)在x=0处有定义，则f(0)=0；若偶函数f(x)在x=0处可导，则f’(0)=0.（3）单调性：设函数y=f(x)在D上有定义，对于任意的x1，x2∈D，当x1<x2时，①若f(x1)<f(x2)，则称f(x)在D上单调增加；②若f(x1)>f(x2)，则称f(x)在D上单调减少。
（4）周期性：若函数y=f(x)满足f(x+T)=f(x)，则称函数y=f(x)是以T为周期的周期函数。
4、反函数：设函数y=f(x)是定义域为D，值域为R，如果对于每一个y∈R，必存在唯一的x∈D，使得y=f(x)成立，则由此定义了一个新的函数，这个函数就称为函数y=f(x)的反函数，记作x=,通常写成y=，它的定义域为R，值域为D。
注：①函数y=f(x)存在反函数的充要条件是y=f(x)一一对应(y=f(x)严格单调)。
②若函数y=f(x)单调增加（减少），则其反函数y=也单调增加（减少）。
高一数学第一章知识点大全
高一数学第一章知识点大全一、集合与映射集合的定义集合的表示方法集合的运算：交、并、差、补集合的关系：包含关系、相等关系、互斥关系集合的表示方法集合的基本性质：幂集、空集、全集、子集集合的运算法则映射与函数的定义映射的表示方法映射的分类：单射、满射、一一对应函数的概念与性质函数的表示方法映射与函数的关系逆映射与复合映射函数的基本性质：有界性、单调性、奇偶性、周期性二、直线与圆直线的定义与性质：直线的分类、直线的方程平行线与垂直线直线的倾斜角与斜率圆的定义与性质：圆的元素、圆的方程、圆的切线圆与直线的位置关系直线与圆的交点与位置关系切线与切点的性质三、平面向量向量的定义与表示方法向量的运算：加法、减法、数量乘法向量的数量乘法与线性运算向量的线性相关与线性无关向量的数量积：点乘与夹角向量的向量积：叉乘与面积平面向量的应用四、解析几何平面直角坐标系的建立点、直线、圆在平面直角坐标系中的表示与性质点、直线与圆的位置关系直线与直线的位置关系直线与圆的位置关系圆与圆的位置关系三角形的重心、外心、内心、垂心的性质五、数列与等差数列数列的定义与表示方法数列的通项公式与递推公式数列的性质：有界性、单调性、极限等差数列的定义与表示方法等差数列的性质：通项公式、前n项和、项数公式等差中项的性质与应用六、指数与对数指数运算的定义与性质指数函数与对数函数的定义与性质对数运算的定义与性质指数方程与对数方程的解法指数函数与对数函数的图像与性质常见指数函数与对数函数的应用七、三角函数弧度制与角度制的转换三角函数的定义与性质三角函数的基本关系式与标准公式三角函数的图像与性质三角函数的复合与反函数三角函数在实际问题中的应用八、数学归纳法与排列组合数学归纳法的基本原理与应用排列与组合的概念与性质排列与组合的计数原理：基本计数原理、分部计数原理、乘法原理、加法原理排列与组合的应用：概率、排列组合等实际问题的解决方法九、集合的概率随机事件与样本空间概率的定义与性质概率的计算方法：古典概型、几何概型、统计概型独立事件与互斥事件条件概率与事件间的关系贝叶斯定理的应用十、直线与平面的位置关系平面的定义与性质直线与平面的位置关系平面与平面的位置关系直线与平面的交点坐标平面与平面的交角与夹角空间几何的应用以上是高一数学第一章知识点的全面总结。
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式中有多个参数，需进一步从所给极限中挖掘信息，获得额外关系式。特别地，
① 分段函数在分段点的极限： lim f (x) = A ⇔ lim f (x) = A = lim f (x) ；
x → x0
x → x0−
x → x0+
② 设 lim f (x) = A ≠ 0 ，则 lim g(x) = ∞ ⇔ lim f (x) = ∞ ，且两者是同阶无穷大； g(x)
②
f
(
x)
在点
x0
有定义，但
lim
x→ x0
f
(x) 不存在；
③
f
(
x)
在点
x0
有定义，
lim
x→ x0
f (x) 存在，但 lim x → x0
f (x) ≠
f (x0 ) ；
4. 间断点的类型：
① 第一类间断点，左右极限都存在(包括：可去和跳跃间断点)；
② 第二类间断点，左右极限至少一个不存在(包括：无穷、震荡和其他间断点)；
aϕ(x) −1 ~ ϕ(x) ln a ， (1+ ϕ(x))α −1 ~ αϕ(x)
此外
ϕ(x) − sinϕ(x) ~ ϕ3(x) ， tanϕ(x) −ϕ(x) ~ ϕ3(x) ， tanϕ(x) − sinϕ(x) ~ ϕ3(x) ，
6
3
2
arcsinϕ(x) −ϕ(x) ~ ϕ3(x) ，ϕ(x) − arctanϕ(x) ~ ϕ3(x)
往年考题: (12-13) 已知 lim a cos x + bx = 5 ，试确定待定常数 a 和 b 的值。
x→π sin x
6. 函数的连续性（间断点）
知识点及题型:
1. 函数 f (x) 在一点 x0 连续时：
① f (x) 在点 x0 的某邻域内有定义；
②
lim Δy
Δx→0
=
lim[
Δx→0
① lim sinϕ(x) = 1，注意极限的特征为 0 型；
ϕ(x)→0 ϕ(x)
0
②
ϕ
lim
( x )→∞
⎛ ⎜1 ⎝
+
ϕ
1 (x)
⎞ϕ ⎟ ⎠
(
x
)
=
1
e 或 lim (1+ ϕ(x))ϕ(x) ϕ (x)→0
=
e ，注意极限的特征为1∞
型。
4. 等价无穷小代换
① 常用的等价无穷小
ϕ(x) → 0 时
bx
,试确定 (−∞, +∞)
内连续.
往年考题:
(10-11)
设函数
f (x)
=
x2 − x , sin πx
则 f (x) 只有___________个可去间断点。
7. 确定分段函数中的参数
知识点及题型: 1. 根据连续条件有： f (x0− ) = f (x0+ ) ；
往年考题:
sinϕ(x) ~ ϕ(x) ， arcsinϕ(x) ~ ϕ(x) ， tanϕ(x) ~ ϕ(x) ， arctanϕ(x) ~ ϕ(x) ，
1− cosϕ(x) ~ ϕ 2 (x) ， 2
ln
(1+
ϕ
(x))
~
ϕ
(x)
，loga
(1 +
ϕ
(x))
~
ϕ( ln
x) a
，eϕ
(x)
−1
~
ϕ
(
x)
，
③ 设 lim f (x) = A ≠ 0 ，则 lim g(x) = 0 ⇔ lim f (x) = 0 ，且两者是同阶无穷小； g(x)
④ 设 lim f (x)g(x) = A ≠ 0 ，则 lim g(x) = 0 ⇔ lim f (x) = ∞ ；
⑤ 设 lim[ f (x) − g(x)] = A ，则 lim g(x) = ∞ ⇔ lim f (x) = ∞ ，且两者是同阶无穷大。
1
(08-09) 设 0 < a < b ，则 lim(a−n + b−n )n =
。
n→∞
3. 利用已知极限求极限
知识点及题型: 1. 从结果出发凑出已知极限(或其变形形式)，然后再利用极限的四则运算法则
将其转化为已知函数的极限。 2. 利用极限与无穷小的关系，直接从已知极限中解出抽象函数，然后代入待求
(10-11)
函数
f
(
x)
=
sin
πx 2(1+ x2
)
的值域是__________________。
⎧1+ x, x ≤ 0
(09-10)
函数
y
=
⎨ ⎩e
x
,
的反函数是 y = __________________． x>0
2. 求数列或函数的极限
知识点及题型:
1WXD-2014.10.16
1. 极限的四则运算法则 ① 极限的四则运算法则是最基本也是最重要的公式，几乎所有的求极限题目中 都会用到，所以要牢记；另外，一定要注意，使用的前提是极限存在！！！ ② 无论是加减运算，还是乘除运算，都只适用于有限项。 ③ 遇到无限项乘积或者之和的极限时，先进行合并计算，再求极限。 2. 单调有界准则和夹逼准则 ① 含有阶乘、乘方形式的数列极限 ② 对数列的通项有递推关系时，可考虑使用单调有界准则 ③ 数列的通项为 n 个因子和或乘积的极限 3. 利用两个重要极限
第一章 一元函数的极限与连续1
基本知识点:
1. 函数运算
2. 求数列或函数的极限
3. 利用已知极限求极限
4. 无穷小量的比较
5. 确定极限表达式中的参数
6. 函数的连续性（间断点）
7. 确定分段函数中的参数
8. 证明方程存在根
1. 函数运算
知识点及题型: 1) 已知 f (x) ， g(x) ，求 f [g(x)] (特别是分段函数情形). 2）求反函数(特别是分段函数情形). 3) 已知 f [g(x)] ，求 f (x) (变量代换法). 4）求值域(可借助连续函数的性质，转化为求最值).
极限，利用极限的四则运算将其转化为已知函数的极限。
往年考题:
ln⎜⎛1 + f (x)⎟⎞
(11-12) 已知 lim ⎝ x ⎠ = 7 ，求 lim
f (x)
x→0 2 x − 1
x→0 x sin x
( ) (10-11)
设
lim
x→0
x
−
sin x x4
+
f (x)
= 1，则 lim x→0
x→∞⎝
xx
⎠
(12-13) limln(2x −1)⋅ tan π x =
。
x→1
2
1
( ) (12-13) 计算 lim 1+ 3n + 5n n n→+∞
(11-12) lim⎜⎛ x − 2 ⎟⎞ x = 。 x→∞⎝ x + 1 ⎠
( )1
(11-12) 求极限 lim e3x + x x−1 x→ + ∞
往年考题:
(13-14)已知 f (2x + 3) = xe x+1 ，则 f (1 + ln x) = _______________。
(12-13)
已知
f
(x)
=
⎧sin x ⎩⎨ln x ,
,
x ≤ 0 ， g(x) =
x>0
x
+ x ，则 f ⎡⎣g ( x)⎤⎦ = 。
(11-12) 已知 f (2x + 3) = xex+1 ，则 f (1 + ln x) = 。
6
3
② 必须注意：在替换过程中，无穷小量是以因式的身份出现的。
5. 左右极限
① 分段函数在分段点处的极限(含绝对值的函数要先化为分段函数)。
②
含
1
ax
，
arctan
1
，
arc
cot
1
的函数。
x
x
6. 对数极限法 ① 主要处理幂指函数的极限 7. 函数的连续性及变量代换法
1
例 1. lim[x2 (e x −1) − x](提示：倒代换) x→∞
例 2. lim[x − x2 ln(1+ 1 )]
x→∞
x
例 3. lim[tan(π + 1 )]n
n→∞
4n
⎛
1
⎞
例
4.
lim
x→0
⎜ ⎜⎜⎝
2 1
+ +
ex
4
ex
+
sin x ⎟ | x | ⎟⎟⎠
往年考题:
(13-14) lim⎜⎛ x sin 1 + 1 sin x ⎟⎞ = _______________。
f
( x0
+
Δx)
−
f
(x0 )]
=
0
或 lim x → x0
f (x) =
f
(x0 )
或 f (x0− ) = f (x0+ ) = f (x0 )
2. 基本初等函数在其定义域内连续，初等函数在其定义区间内连续；
3. 函数 f (x) 在一点 x0 间断时，有以下三种情形：
① f (x) 在点 x0 的左右邻域内有定义，而在 x0 没有定义；
5. 寻找间断点时先查无定义的点和分段点，再逐一判断类型。
6. 判断通过极限定义的函数的连续性，需要先通过讨论 x 的范围，计算出相应的