高等数学大一上总结

第一章函数与极限

主要内容:函数的定义；函数的几种特性；复合函数、反函数与初等函数的概念；数列与函数极限的定义；极限的运算法则；无穷小与无穷大的概念；两个重要极限；无穷小的比较；函数在点与区间的连续性及间断性；闭区间上连续函数的性质。

内容要点：

1.函数的概念及函数奇偶性、单调性、周期性、有界性。

2.复合函数和反函数的概念。

3.基本初等函数的性质及其图形。

4.立简单实际问题中的函数关系式。

5.极限的概念，掌握极限四则运算法则及换元法则。

6.子数列的概念，掌握数列的极限与其子数列的极限之间的关系。

7.极限存在的夹逼准则，了解实数域的完备性(确界原理、单调有界数列必有极限的原理, 柯西(Cauchy)，审敛原理、区间套定理、密性定理)。会用两个重要极限求极限。

8.无穷小、无穷大、以及无穷小的阶的概念。会用等价无穷小求极限。

9.函数在一点连续和在一个区间上连续的概念，了解间断点的概念，并会判别间断点的类型。

10.初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质(介值定理，最大最小值定理，一致连续性)。

一、求函数的定义域

①分式的分母不等于零；②偶次方根式中，被开方式大于等于零；③含有对数的式子，真数式大于零；④反正弦、反余弦符号内的式子绝对值小于等于1；⑤分段函数的定义域是各段

函数定义域的并集；(6)若已知y=f(x)的定义域是[a,b]，求y=f[t(x)]的定义域，方法是

解a≦t(x)≦b

二、判断两个函数是否相同

一个函数的确定取决于其定义域和对应关系的确定，因此判断两个函数是否相同必须判断其定义域是否相同，且要判断函数表达式是否统一即可。

三、判断函数奇偶性

判断函数的奇偶性，主要的方法就是利用定义，其次是利用奇偶的性质，即奇(偶)函数之和仍是奇(偶)函数；两个奇函数之积是偶函数；两个偶函数之积仍是偶函数；一奇一偶之积是奇函数。

四、数列极限的求法

利用数列极限的四则运算法则、性质以及已知极限求极限。(1)若数列分子分母同时含n，则同除n的最高次项。（2）若通项中含有根式，一般采用先分子或分母有理化，再求极限的方法。(3)所求数列是无穷项和，通常先用等差或等比数列前n项求和公式求出，再求极限。（4）利用两边夹逼定理求数列极限，方法是将极限式中的每一项放大或缩小，并使放大、缩小后的数列具有相同的极限。通式为形如1的无穷次方的不定式，一般采用两个重要极限中等于e的那个式子求解。

五、函数极限的求法

1.用数列求极限方法，

2.在一点处连续，则在此处极限等于此处函数值，

3.分段函数，在某

点极限存在，则此处左右极限都存在且相等。

⑤ 利用无穷小量的特性以及无穷小量与无穷大量的关系求极限。即无穷小量与有界变量之积仍是无穷小量；有限个无穷小量之积仍是无穷小量；有限个无穷小量之代数和仍为无穷小量等。无穷小量与无穷大量的关系是互为倒数。 六、判断函数连续性

利用函数连续性的等价定义，对于分段函数在分界点的连续性，可用函数在某点连续的充要条件以及初等函数在其定义域内是连续函数的结论等来讨论函数的连续性。

一些初等函数： 两个重要极限：

函数 角A sin cos tg ctg -α -sinα cosα -tgα -ctgα 90°-α cosα sinα ctgα tgα 90°+α cosα -sinα -ctgα -tgα 180°-α sinα -cosα -tgα -ctgα 180°+α -sinα -cosα tgα ctgα 270°-α -cosα -sinα ctgα tgα 270°+α -c osα sinα -ctgα -tgα 360°-α

-sinα

cosα

-tgα

-ctgα

x

x

arthx x x archx x x arshx e e e e chx shx thx e e chx e e shx x x

x

x x

x x

x -+=-+±=++=+-==+=

-=

----11ln

21)1ln(1ln(:2

:2:22）双曲正切双曲余弦双曲正弦...590457182818284.2)1

1(lim 1

sin lim

0==+=∞→→e x

x

x

x x x

360°+α sinα cosα tgα ctgα

·和差角公式： ·和差化积公式：

·倍角公式：

·半角公式：

α

α

αααααααααααα

α

ααα

cos 1sin sin cos 1cos 1cos 12cos 1sin sin cos 1cos 1cos 12

2

cos 12cos 2cos 12

sin -=

+=-+±=+=-=+-±

=+±=-±=ctg tg

·正弦定理：R C

c

B b A a 2sin sin sin === ·余弦定理：

C ab b a c cos 2222-+=

·反三角函数性质：arcctgx arctgx x x -=

-=

2

arccos 2

arcsin π

π

第二章 导数与微分

一、内容提要

1、导数定义，单侧导数，可导充要条件。

2、导数的几何意义，导数和切线的关系，光滑曲线和导数的关系。

3、可导和连续的关系。

4、基本初等函数求导公式。

5、导数的四则运算。

6、复合函数求导法则，反函数求导法则，参数方程确定的函数求导法则。

8、高阶导数；二阶导数的一个物理模型。9、

微分的定义，函数的微分和增量关系，导数和微分关系，微分公式和微分运算，一阶微分形式不变性，近似计算。

2

sin

2sin 2cos cos 2cos

2cos 2cos cos 2sin

2cos 2sin sin 2cos

2sin

2sin sin β

αβαβαβ

αβαβαβ

αβαβαβ

αβ

αβα-+=--+=+-+=--+=+α

ββαβαβαβ

αβαβ

αβαβαβαβαβαctg ctg ctg ctg ctg tg tg tg tg tg ±⋅=

±⋅±=

±=±±=±1

)(1)(sin sin cos cos )cos(sin cos cos sin )sin( α

ααααααααα23333133cos 3cos 43cos sin 4sin 33sin tg tg tg tg --=

-=-=α

α

αααααααααα

αα22222212221

2sin cos sin 211cos 22cos cos sin 22sin tg tg tg ctg ctg ctg -=

-=

-=-=-==