高等数学(同济版)第六版上册知识点总结.
高等数学同济大学第六版1-04-极限的运算-文档资料
推论2 如果lim f ( x)存在,而n是正整数,则 lim[ f ( x)]n [lim f ( x)]n .
求极限方法举例
例1
求
lim
x2
x
2
x3 1 3x
5
.
解
lim( x2 3x 5) lim x2 lim 3x lim 5
x2
x2
x2
x2
(lim x)2 3lim x lim 5 22 3 2 5 3 0,
（2）零是可以作为无穷小的唯一的数。
2.无穷小与函数极限的关系: 定理 : lim f ( x) A f (x) A (x),
其中( x)是自变量变化时的无穷小.
意义： 将一般极限问题转化为特殊极 限 — 无穷小 —的问题。
3.无穷小的运算性质:
定理. 在同一自变量的变化过程中,有限个无 穷小的代数和仍是无穷小.
n n
n
lim sin x 0, 函数sin x是当x 0时的无穷小. x0
又如,
函数 x2 1当 x2 1
x 时的极限为 1 ，
而当x 1 时的极限为 0 ，
函数 x2 1本身不是无穷小量， x2 1
而当x
1
时函数
x2 x2
1 才是无穷小量。 1
注意 （1）无穷小是变量,不是有穷小量，不能与很 小的数混淆;
x 1
x2
2x
3
lim
x 1
(x
3)( x
1)
x 1
x1 1
lim
x1 x1 x 3 2
消去零因子
例4
求
lim
x
2x3 7x3
3x2 4x2
同济大学高数第六版基本概念机公式总结
第二节洛必达法则……………………………………………………………………………………
第三节泰勒公式………………………………………………………………………………………
第四节函数单调性的判定法…………………………………………………………………………
功水压力和引力………………………………………………………………………………….
平均值……………………………………………………………………………………………..
第七章空间解析几何与向量代数………………………………………………….
第一节空间直角坐标系………………………………………………………………………….
[ a, b ]={ x| a }.
a和b称为闭区间[ a ,b ]的端点，这里a [ a , b ]，b [ a , b ] .
类似地可以说明：
[ a,b )=={ x | a x<b },
( a ,b ] ={x |a<x b },
[ a,b )和( a ,b]都称为半开区间.
以上这些区间都称为有限区间.数b-a称为这些区间的长度.从数轴上看，这些有限区间是长度为有限的线段.闭区间[a,b]与开区间（a,b）在数轴上表示出来，分别如图1-7（a）与(b).此外还有无限区间，引进记号+ （读作正无穷大）及- （读作负无穷大），则可类似地表示下面的无限区间:
第六节空间曲线及其方程……………………………………………………………………….
第七节平面及其方程……………………………………………………………………………..
第八节空间直线及其方程……………………………………………………………………….
同济大学高数第六版基本概念及公式总结(土木数学兴趣小组)
四川建院土木1301（数学兴趣小组）目录第一章函数与极限薚……………………………………………………………………第一节函数……………………………………………………………………………….. 第二节数列的极限………………………………………………………………………………….. 第三节函数的极限…………………………………………………………………………………第四节无穷小与无穷大…………………………………………………………………………….. 第五节极限四则运算法则……………………………………………………………………………第六节极限存在准则、两个重要极限………………………………………………………………第七节无穷小的比较…………………………………………………………………………………第八节函数的连续性与间断点………………………………………………………………………第九节连续函数的运算与初等函数的连续性…………………………………………………….. 第十节闭区间上连续函数的性质……………………………………………………………………第二章导数与微分………………………………………………………………………. 第一节导数的概念……………………………………………………………………………………. 第二节函数的求导法则………………………………………………………………………………第三节初等函数的求导问题…………………………………………………………………………. 双曲函数与反双曲函数的导数…………………………………………………………………………第四节高阶导数………………………………………………………………………………………第五节隐函数的导数、由参数方程所确定的函数的导数相关辩化率……………………………第六节函数的微分…………………………………………………………………………………….第三章中值定理与导数的应用…………………………………………………………第一节中值定理………………………………………………………………………………….. 第二节洛必达法则……………………………………………………………………………………第三节泰勒公式………………………………………………………………………………………第四节函数单调性的判定法…………………………………………………………………………第五节函数的极值与最值……………………………………………………………………………第六节曲线的凹凸与拐点……………………………………………………………………………第七节曲率……………………………………………………………………………………………第八节方程的近似解…………………………………………………………………………………第四章不定积分……………………………………………………………………….. 第一节不定积分的概念及其性质………………………………………………………………第二节不定积分的换元积分………………………………………………………………………第三节不定积分的分部积分法…………………………………………………………………….. 第四节几种特殊类型函数的积分……………………………………………………………………第五章定积分…………………………………………………………………………. 第一节定积分概念与性质…………………………………………………………………………第二节微积分基本定理………………………………………………………………………….. 第三节定积分换元积分法与分部积分法……………………………………………………..第四节广义积分……………………………………………………………………………..第六章定积分的应用……………………………………………………………….定积分的元素法……………………………………………………………………………………功水压力和引力…………………………………………………………………………………. 平均值……………………………………………………………………………………………..第七章空间解析几何与向量代数…………………………………………………. 第一节空间直角坐标系…………………………………………………………………………. 第二节向量及其加减法向量与数的乘法………………………………………………………第三节向量的坐标………………………………………………………………………………第四节数量积向量积混合积…………………………………………………………………. 第五节曲面及其方程……………………………………………………………………………第六节空间曲线及其方程………………………………………………………………………. 第七节平面及其方程…………………………………………………………………………….. 第八节空间直线及其方程………………………………………………………………………. 第九节二次曲面…………………………………………………………………………………第八章多元函数微分法及其应用…………………………………………………第一节多元函数的基本概念………………………………………………………………….第二节偏导数………………………………………………………………………………….第三节全微分………………………………………………………………………………….第四节多元复合函数的求导法则……………………………………………………………. 第五节隐函数的求导法则……………………………………………………………………第六节微分法在几何上的应用………………………………………………………………..第七节方向导数与梯度………………………………………………………………………..第八节多元函数的极值及其求法……………………………………………………………….第九章重积分………………………………………………………………………第一节二重积分的概念与性质…………………………………………………………….第二节二重积分的计算…………………………………………………………………………第三节二重积分的应用…………………………………………………………………………第四节三重积分的概念及其计算法……………………………………………………………. 第五节利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分………………………………………………第十章曲线积分与曲面积分………………………………………………………第一节对弧长的曲线积分…………………………………………………………………….第二节对坐标的曲线积分…………………………………………………………………….第三节格林公式及其应用……………………………………………………………………. 第四节对面积的曲面积分……………………………………………………………………. 第五节对坐标的曲面积分……………………………………………………………………. 第六节高斯公式通量与散度………………………………………………………………第七节斯托克斯公式环流量与旋度………………………………………………………第十一章无穷级数………………………………………………………………第一节常数项级数的概念和性质………………………………………………………….. 第二节常数项级数的申敛法…………………………………………………………………. 第三节幂级数…………………………………………………………………………………. 第四节函数展开成幂级数……………………………………………………………………第五节函数的幂级数展开式的应用…………………………………………………………第七节傅里叶级数……………………………………………………………………………. 第八节正弦级数与余弦级数…………………………………………………………………. 第九节周期为2l的周期函数的傅里叶级数………………………………………………...第十二章微分方程……………………………………………………………….. 第一节微分方程的基本概念……………………………………………………………….. 第二节可分离变量的微分方程………………………………………………………………第三节齐次方程……………………………………………………………………………第四节一阶线性微分方程…………………………………………………………………第五节全微分方程……………………………………………………………………………第六节可降阶的高阶微分方程………………………………………………………………第七节高阶线性微分方程……………………………………………………………………第八节二阶常系数齐次线性微分方程………………………………………………….. 第九节二阶常系数非齐次线性微分方程……………………………………………………第十节欧拉方程………………………………………………………………………………第十一节微分方程的幂级数解法……………………………………………………………. 第十二节常系数线性微分方程组解法举例…………………………………………………第一章 函数与极限第一节 函 数教学目的：本节主要是复习高中阶段学过的集合以及函数的概念、性质；介绍邻域、分段函数、复合函数、初等函数的概念。
关于高等数学同济第六版上册期末复习重点
关于高等数学同济第六版上册期末复习重点标准化管理部编码-[99968T-6889628-J68568-1689N]第一章：1、极限（夹逼准则）2、连续（学会用定义证明一个函数连续，判断间断点类型）第二章：1、导数（学会用定义证明一个函数是否可导）注：连续不一定可导，可导一定连续2、求导法则（背）3、求导公式也可以是微分公式第三章：1、微分中值定理（一定要熟悉并灵活运用--第一节）2、洛必达法则3、泰勒公式拉格朗日中值定理4、曲线凹凸性、极值（高中学过，不需要过多复习）5、曲率公式曲率半径第四章、第五章：积分不定积分：1、两类换元法 2、分部积分法（注意加C ）定积分： 1、定义 2、反常积分第六章：定积分的应用主要有几类：极坐标、求做功、求面积、求体积、求弧长第七章：向量问题不会有很难1、方向余弦2、向量积3、空间直线（两直线的夹角、线面夹角、求直线方程） 3、空间平面4、空间旋转面（柱面）第一章函数与极限1、函数的有界性在定义域内有f(x)≥K1则函数f(x)在定义域上有下界，K1 为下界；如果有f(x)≤K2，则有上界，K2称为上界。
函数f(x)在定义域内有界的充分必要条件是在定义域内既有上界又有下界。
2、数列的极限定理(极限的唯一性)数列{xn}不能同时收敛于两个不同的极限。
定理(收敛数列的有界性)如果数列{xn}收敛，那么数列 {xn}一定有界。
如果数列{xn}无界，那么数列{xn}一定发散；但如果数列{xn}有界，却不能断定数列{xn}一定收敛，例如数列 1，-1，1，-1，(-1)n+1…该数列有界但是发散，所以数列有界是数列收敛的必要条件而不是充分条件。
定理(收敛数列与其子数列的关系)如果数列{xn}收敛于a，那么它的任一子数列也收敛于a.如果数列{xn}有两个子数列收敛于不同的极限，那么数列{xn}是发散的，如数列 1，-1，1，-1，(-1)n+1…中子数列{x2k-1}收敛于1，{xnk}收敛于-1，{xn}却是发散的；同时一个发散的数列的子数列也有可能是收敛的。
同济大学高等数学第六版上第一章第五节 极限运算法则
3.无穷小的运算性质:
定理2 在同一过程中,有限个无穷小的代数和 仍是无穷小. 证 设及 是当x 时的两个无穷小,
0, N 1 0, N 2 0, 使得
当 x N 1时恒有 ; 当 x N 2时恒有 ; 2 2 取 N max{ N 1 , N 2 }, 当 x N时, 恒有 , 2 2 0 ( x )
证 必要性 设 lim f ( x ) A, 令 ( x ) f ( x ) A, x x
0
则有 lim ( x ) 0,
x x0
f ( x ) A ( x ).
充分性 设 f ( x ) A ( x ),
其中 ( x )是当x x 0时的无穷小,
又设是当x x 0时的无穷小,
0, 2 0, 使得当0 x x 0 2时 恒有 . M
取 min{ 1 , 2 }, 则当 0 x x 0 时, 恒有 u u M , M
当x x Байду номын сангаас时, u 为无穷小.
lim P ( x )
若Q( x 0 ) 0, 则商的法则不能应用.
4x 1 . 例2 求 lim 2 x 1 x 2 x 3
解 lim( x 2 2 x 3) 0,
x 1
商的法则不能用
又 lim(4 x 1) 3 0,
x 1
x 2x 3 0 lim 0. x 1 4x 1 3
1 1 例如, 当x 0时, y sin x x 是一个无界变量, 但不是无穷大.
(1) 取 x 0 1 ( k 0,1,2,3,)
高等数学(同济六版)上册总结
高等数学知识纲要一、定义1、基本初等函数、初等函数2、极限（数列、函数）理解定义3、无穷小与无穷大4、函数连续与间断（点、区间）5、导数与微分（点、区间）6、原函数与不定积分7、定积分理解定义二、性质1、极限的性质2、收敛函数的性质3、闭区间上连续函数性质4、中值定理5、不定积分与定积分的性质三、关系1、数列（函数）敛散性与有界性之间2、收敛数列及其子数列之间3、函数极限与左右极限4、无穷小与无穷大5、连续与可导、可导与可微6、驻点与极值点、极值之间、极值与最值之间7、连续与可积四、计算（极限、导数、积分）五、应用1.导数的几何意义应用（切线、法线方程）2.导数的应用（单调性、凹凸性、极值、最值）3.定积分的应用极限的运算运算法则（四则、复合、换序）1、 特殊极限1sin lim ,1sin lim ,1sin lim 000===→→→uux x x x u x x 对比0sin lim =∞→x x x e ue x e x uu xx x x =+=+=+∞→→∞→)11(lim ,)1(lim ,)11(lim 10 2、 等价无穷小当0→x 时，kx kx kx kx arctan ,arcsin ,tan ,sin ～kxx cos 1-～22x ,11-+nx ～nx3、 有理函数的极限?)()(lim0=→x Q x P x x当0)(0≠x Q 时, )()()()(lim000x Q x P x Q x P x x =→. 当0)(0=x Q 且0)(0≠x P 时, ∞=→)()(lim0x Q x P x x .当Q (x 0)=P (x 0)=0时, 先将分子分母的公因式(x -x 0)约去. ⎪⎩⎪⎨⎧>∞=<=+⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++--∞→mn m n b a mn b x b x b a x a x a mm m n n n x 0 lim 00110110 4、导数定义 若)(0x f '存在，则=+-→hh x f x f h )()(lim000)(0x f '-. =--+→hh x f h x f h )()5(lim000)(60x f '5、罗比达法则（00或∞∞型，∞⋅0、∞-∞、00、∞1、0∞型的未定式）1.0)3562(lim 20142013=-+∞→x x x 2.535sec 53cos 3lim 5tan 3sin lim 2-==→→x x x x x x ππ3. e x x xx x x xx =+=+⋅→→sin sin 101)sin 1(lim )sin 1(lim4. =-+=-→-→xx xx x x111111)11(lim lim 1-e .5.=+-=+++-⋅+∞→-∞→xx x x x x xx x 633361)631(lim )63(lim 3-e .6.2211)1(4lim 145lim 11=⋅--=---→→x x x x x x x 7.21)1cos ()1(cos 2lim )1cos )(1(cos 1cos lim )1(cos 1cos lim 2000-=+-=+--=--→→→x x x x x x x x x x x x x 8.3232lim 2sin 3)1(cos tan lim )1sin 1)(11(tan sin lim 22020320-=⋅⋅-=⋅-=-+-+-→→→xx x x xx x x x x xx x x x216lim 2sin tan sin lim 2)1sin 1(tan sin limsin 1tan 1sin 1lim33020202-==-=-+-=-++-+→→→→x x x x x x x x x x xx x x x x x x x10.81)2(4sin cos lim )2(sin ln lim 222-=--=-→→x x x x x x x ππππ 11.2111lim )1112(lim 2121-=--=---→→x x x x x x 12.1lim )(sin lim )ln(sin lim )ln(sin 0===→→→x x x x xx x xe e x13. ex xe xdt e xdte xx x t x xt x 212sin lim limlim222cos 02cos 121cos 0==--→-→-→⎰⎰导数与微分的运算练习1.已知1sin +=x xey ，求22dxy d . y d dy 2,解：1)cos (sin ++=x e x x dxdy ，122cos 2+=x xe dx y d dx e x x dy x 1)cos (sin ++=，212cos 2dx xe y d x +=2.已知⎩⎨⎧==te y t e x tt cos sin 求3π=t 时dx dy的值. （参看P112-5.6.7） 解：tt tt t e t e t e t e t x t y dx dy tt t t sin cos sin cos sin cos sin cos )()(+-=+-=''=，所以3π=t 时=dxdy23-. 3.已知0333=-+xy y x ,求dxdy .（参看P111-1）解：0333322=--+dxdy x y dx dy yx ，x y x y dx dy --=224.已知xy e yx 2=+,求dxdy .解： dx dy x y dx dy e yx 22)1(+=++，xxy xyy dx dy --=5.已知5ln 2+=x x y ,求dxdy .解：xx x e x ln =于是有)1(ln )()(ln +='='x x e x x x x x 故)1(ln 2+=x x dxdy x（或先用对数求导法求x x y =的导数） 6.x x y sin = ，求y '.解：等式两端取自然对数得x x y ln sin ln =，等式两端对x 求导，得xx x x y y sin ))(ln (cos +='，⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+='x x x x x x x x x y y x sin ))(ln (cos sin ))(ln (cos sin 练习：1cos sin +=xx y ，求y '. 7、()()54132+-+=x x x y 求'y解：两端同时取自然对数 得()()()1ln 53ln 42ln 21ln +--++=x x x y两端同时对x 求导 得153421211'+--++=⋅x x x y y故()()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--+++-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--++=1534221132153422154'x x x x x x x x x y y 8.32)3()2(1-++=x x x y ，求y '.解：等式两端取自然对数得[])3ln(3)2ln(2)1ln(21ln --+-+=x x x y等式两端对x求导，得)332211(21--+-+='x x x y y ，)332211()3()2(12132--+-+-++='x x x x x x y （对数求导法参看P112-4）9. ⎰-=2)(x tdt e x f ，x e dxdudt e du d x f u x u u t 2)(20-=-=⋅='⎰=22xxe -10.⎰⎰⎰⎰⎰+-+=+++=+=xx x x x xdt t dt t dt t dt t dt t x f 011111)(222xx x dt t dt t x f x x +-+='+-'+='⎰⎰1)2(1)1()1()(202（对数求导法参看P243-5）积分的计算练习1.dxx x ⎰-1tan cos12解：dxx x ⎰-1tan cos 12=)1(tan 1tan 1--⎰x d x =C x +-1tan 22.计算不定积分⎰xx dxsin cos .解：==⋅=⎰⎰⎰x xd xxx dx x x dx tan tan sec cos sin sin cos 2C x +tan ln 3.计算不定积分dx x x x⎰+2)ln (ln 1. 解： ==+⎰⎰)ln ()ln (1)ln (ln 122x x d x x dx x x x C xx +-ln 1（凑微分参看P207习题4-2和P253第1题）4.⎰-10dx xe x=⎰--10)(xe xd =[]dx exexx ⎰--+-101=[]e e e e ex 21)11(1110-=+-+-=-+--（分部积分参看P212习题4-3和P254第7题）5.dx xx ⎰--145解：令tdt dx t x t x 2,5,52-=-==-，2,1,3,4===-=t x t x dx xx ⎰--145=38532)5(2)2(5233232232-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-=--⎰⎰t t dt t dt t t t6.dx x 2312)1(-⎰+解：令4,1;0,0,sec ,tan 2π======t x t x tdt dx t xdx x 23102)1(-⎰+=22sin cos )(sec sec )tan 1(4040401223402====+⎰⎰⎰--ππππttdt dt t tdt t （提示：t a x x a t a x x a tan ,;sin ,2222=+=-）7、dx x x x ⎰+--6512解：dx x x x ⎰+--6512=()()⎰⎰+-+--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--=---C x x dx x x dx x x x 3ln 22ln 3221321 （提示：设32)3)(2(1-+-=---x Bx A x x x 通分求出A,B ） 8.⎰⎰+---=---dx x x x dx x x x )1()1(352)1)(1(52622 ⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-----=dx x x x )1(1)1(1)1(1522 C x x x +--+--=)1(5211ln 52 （提示：设)1()1(1)1()1(322++-+-=+--x C x B x A x x x 通分求出A,B,C ） （有理函数积分参看P215例1.2.3）9.计算由x y x y ==、32所围成的图形的面积.（参看P284习题6-2） 解解方程组⎩⎨⎧==xy x y 32可得⎩⎨⎧==00y x ，⎩⎨⎧==33y x所求面积为21)3(212=-=⎰-dy y y a 10.求曲线2223336x y +=所围成的图形, 绕x 轴旋转, 计算所得旋转体的体积.解：星形线的参数方程⎩⎨⎧==t a y ta x 33sin cos ， 上半平面图形对应π≤≤t 0，第一象限对应20π≤≤t ，注意上下限对应的t 值 ⎰⎰⎰===2422233sin cos 34)cos ()sin (44ππtdt t at a d t a ydx A a2206204283]sin sin [12a tdt tdt a πππ=-=⎰⎰.当a=6时，旋转体体积为272π （参看P285第13题）证明：P74-2.3；P134-6.9.10.11;P153-5。
高等数学第六版(同济版)第六章复习资料
第六章 定积分的应用引入：前面学习了定积分的理论，这一章要应用这些理论来分析和解决一些实际问题中出现的量.用定积分计算这些量，必须把它们表示成定积分，先介绍将所求量表示成定积分的方法——元素法.第一节 定积分的元素法我们先用定积分的引例——曲边梯形的面积，引出元素以及元素法的概念： 一、元素及元素法1.元素：由连续曲线)0)(()(≥=x f x f y 与直线b x a x ==、以及x 轴所围成的曲边梯形的面积为：∑==ni i A A 1∆∑=≈ni i i x f 1)(∆ξ∑==ni i i x d f 1)(ξ⎰=bax d x f )(.(由微分知识得i i x d x =∆)，称x d x f )(为面积元素或面积微元,记为x d x f dA )(=.2.元素法：用元素法将所求量表示成定积分的方法，称为元素法. 由此可知，曲边梯形的面积是将面积微元累加得到的.下面我们通过曲边梯形的面积来总结出实际问题中所求的量能用定积分表示的条件： 二、用元素法将所求量能表示成定积分的条件：(设所求量为U ) 1．量U 与变量x 的所在区间],[b a 有关; 2．量U 对于区间],[b a 具有可加性；3．量U 的部分量有近似值，即i i i x f U ∆ξ∆)(≈. 三、用元素法将所求量能表示成定积分的步骤：1．由实际情况选一变量如x 为积分变量，确定该其变化区间],[b a .2．分],[b a 为n 个小区间，取其中一个小区间],[x d x x +，计算其上的部分量U ∆的近似值：x d x f U d )(=，的所求量的一个元素.3．以x d x f U d )(=为被积表达式，在],[b a 上作定积分，即得所求量的定积分表达式：⎰=bax d x f U )(.注：元素的几何形状常取为:条,带,段,环,扇,片,壳等.内容小结：本节介绍了元素法以及用元素法将所求量表示成定积分的方法与步骤.第二节 定积分在几何上的应用一、平面图形的面积1.直角坐标情形:曲线)0)((≥=x f y 与直线)(b a b x a x <==、及x 轴所围成的曲边梯形面积为x d x f A ba )(⎰=，因为面积元素为x d x f A d )(=.2.参数方程情形：若曲线],[,)0)(()(b a x x f x f y ∈≥=的参数方程为⎩⎨⎧==)()(t y t x ψϕ，且满足(1). a =)(αϕ, b =)(βϕ;(2). )(t x ϕ=在],[βα或],[αβ上具有连续导数，且)(t y ψ=连续，则由曲线)(x f y =所围成的曲边图形的面积为：x d x f A ba )(⎰=t d t t )(')(ϕψβα⎰=.3.极坐标情形：设曲线的极坐标方程为]),[,0)(()(βαθθϕθϕρ∈≥=， 且)(θϕ在],[βα上连续，则由曲线)(θϕρ=与射线αθ=以及βθ=所 围成图形的面积为θθϕβαd A ⎰=)(212. 由于当θ在],[βα上变动时，极径)(θϕρ=也随之变动，故不能直接利用扇形面积公式θ221R A =来计算. 推导： ①.取极角θ为积分变量，],[βαθ∈.②.在],[βα上任取一小区间],[θθθd +，其上的曲边扇形面积的近似值：[]θθϕd A d 2)(21=. ③.以[]θθϕd 2)(21为被积表达式，在],[βα上作定积分，得曲边扇形的面积公式： θθϕβαd A ⎰=)(212.例1. 计算两条抛物线22x y x y ==、在第一象限所围所围图形的面积.解：首先确定图形的范围，由⎪⎩⎪⎨⎧==22xy xy 得交点)0,0(、)1,1(， 取x 为积分变量，由于面积元素()x d x x A d 2-=，所以所求面积为()⎰-=102x d x x A 103233132⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=x x 31=.注：⎰=10x d x A ⎰-12x d x ()⎰-=102x d x x .例2. 计算抛物线x y 22=与直线4-=x y 所围图形的面积.解：由⎩⎨⎧-==422x y xy 得交点)2,2(-、)4,8(，若取x 为积分变量，则有⎰⎰--+=8220)]4(2[22x d x x x d x A 822238223421322324⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=x x x x 18=. 若取y 为积分变量，则有18642248232422=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎰-y y y y d y y A . 例3. 求椭圆12222=+by a x 所围图形的面积.解：由于椭圆关于两个坐标轴对称，设椭圆在第一象限所围成的面积 为1A ，则所求面积为x d y A A a⎰==0144.设π)20(sin cos ≤≤⎩⎨⎧==t tb y t a x ，当0=x 时，2π=t ，当a x =时，0=t ，且t d t a x d sin -=，于是t d t a t b x d y A a )sin (sin 4402/0-⋅==⎰⎰πt d t ab ⎰=2/02sin 4πt d ts ab ⎰-=2/022cos 14πb a π=. 例4.计算阿基米德螺线)0(>=a a θρ对应θ从0变到π2所围图形面积. 解：由题可知，积分变量],[βαθ∈，于是所求面积为θθπd a A ⎰=202)(211032312θ⋅=a 23π34a =.例5.计算心形线)0()cos 1(>+=a a θρ所围图形的面积.解：心形线所围成的图形关于极轴对称,设极轴上半部分图形的面积为1A ， 则心形线所围成的图形面积为12A .取极角θ为积分变量，],[βαθ∈，于是⎰+=πθθ022)cos 1(212d a A ⎰++=πθθθ022)cos 2cos 1(d a ⎰⎪⎭⎫⎝⎛++=πθθθ02cos 22cos 2123d a 2π23a =.二、体积1．旋转体的体积：(1).旋转体：由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体称为旋转体，该直线称为旋转轴.注：圆柱体、圆台、球体等都是旋转体，它们都可以看做是由连续曲线)(x f y =与直线a x =、b x =以及x 轴围成的曲边梯形绕x 轴旋转一周所围成的立体.(2).旋转体的体积：①．由曲线)(x f y =与直线a x =、b x =以及x 轴所围成的曲边梯形 绕x 轴旋转而成的旋转体的体积：)()]([2b a x d x f V ba <=⎰π.推导：取x 为积分变量，],[b a x ∈，在],[b a 上任取一小区间],[x x x ∆+，其上的窄曲边梯形绕x 轴旋转而成的薄层的体积近似等于以)(x f 为底面半径、以x d 为高的扁圆柱体的体积，即体积元素为x d x f V d 2)]([π=，以x d x f 2)]([π为被积表达式，在],[b a 上作定积分即得所求旋转体的体积：)()]([2b a x d x f V ba<=⎰π.②．由曲线)(y x ϕ=与直线c y =、d y =以及y 轴所围成的曲边梯形绕y 轴旋转而成的旋转体的体积：)()]([2d c y d y V dc <=⎰ϕπ.例6.连接坐标原点O 及点),(r h P 的直线、直线h x = 及x 轴围成 一个直角三角形，将它绕x 轴旋转构成一个底半径为r 、高为h 的 圆锥体，求其体积.解：过)0,0(O 及),(r h P 的直线方程为：x hry =. 取x 为积分变量，],0[h x ∈，则所求旋转体的体积为⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡=hx d x h r V 02πh r 231π=.例7.计算由椭圆12222=+by a x 所围成的图形绕x 轴旋转而成的旋转体的体积.解：该旋转椭球体可看做是由半椭圆与x 轴所围成的绕x 轴旋转而成的立体，半椭圆方程为：22x a ab y -=. 取x 为积分变量，],[a a x -∈，则所求立体体积为⎰--=aa x d x a ab V )(2222π234ab π=.例8.计算由摆线)sin (t t a x -=，)cos 1(t a y -=相应于π20≤≤t 的一拱， 直线0=y 所围成的图形分别绕x 轴、y 轴旋转而成的旋转体的体积.解：记摆线绕x 轴旋转而成的旋转体的体积为x V ，取x 为积分变量，],[a a x -∈，则⎰=a x x d x y V ππ202)(⎰--=ππ2022)cos 1()cos 1(t d t a t •a⎰-+-=ππ20323)cos cos 3cos 31(t d t t t •a⎰-=ππ203)cos 31(t d t •a⎰++ππ203)12(cos 23t d t •a ⎰--ππ2023)(sin )sin 1(t d t •a 325a π=.记摆线绕y 轴旋转而成的旋转体的体积为y V ，取y 为积分变量，]2,0[a y ∈，则⎰⎰-=aay y d y x y d y x V 20212022)()(ππ⎰⎰---=πππππ022222sin )sin (sin )sin (t d t a t t a t d t a t t a⎰-=0222sin )sin (ππt d t a t t a ⎰-+ππ022sin )sin (t d t a t t a ⎰--ππ022sin )sin (t d t a t t a⎰+--=ππ203223)sin sin 2sin (t d t t t t t a⎰-=ππ2023sin t d t t a ⎰-+ππ203)2cos 1(t d t t a ⎰-+ππ2023)(cos )cos 1(t d t a336a π=.2．平行截面面积为已知的立体的体积：设一非旋转体的 立体介于过点a x =、b x =且垂直于x 轴的两个平面之间， 该立体过x 轴上的点x 且垂直于x 轴的截面面积为)(x A ， 则该立体的体积为：⎰=ba dx x A V )(.推导：若)(x A 为连续函数且已知，取x 为积分变量，],[b a x ∈,在],[b a 上任取一小区间],[x d x x +，其上的薄层的体积近似等于底面积为)(x A 、高为x d 的扁圆柱体的体积，即得体积元素：x d x A V d )(=，以x d x A )(为被积表达式，在],[b a 上作定积分，得所求立体的体积公式：⎰=ba dx x A V )(.例9.一平面经过半径为R 的圆柱体的底圆的中心，并与底面交 成角α，计算着平面截圆柱体所得立体的体积.解：取该平面与圆柱体的底面的交线为x 轴，底面上过圆中心且 垂直于x 轴的直线为y 轴，则底面圆方程为：222R y x =+，该立体中过x 轴上的点x 且垂直于x 轴的截面是一个直角三角形，两直角边分别为y 和αtan y ，即22x R -和22tan x R -α，从而截面面积为αtan )(21)(22x R x A -=，于是所求体积为⎰--=R R x d x R V αtan )(2122⎰-=R x d •x R 022)(tan ααtan 223R =.例4.求以半径为R 的圆为底、以平行且等于底圆直径的线段为顶、高为h 的正劈锥体的体积.解：取底面圆所在的平面为xoy 平面，圆心o 为原点，并使x 轴 与正劈锥体的顶平行，底面圆方程为：222R y x =+，过x 轴上的点]),[(b a x x ∈作垂直于x 轴的平面截正劈锥体得等腰三角形，截面面积为22)(x R h y h x A -==，于是，所求正劈锥体的体积为⎰--=RRx d x R h V 22⎰-=R x d x R h 0222⎰=2/022cos 2πθθd h R ⎰+=2/02)2cos 1(πθθd h R 22hR π=.三、平面曲线的弧长引入：我们知道，用刘徽的割圆术可以定义圆的周长，即利用圆的内接正多边形的周长当边数无限增加时的极限来确定，现在将刘徽的割圆术加以推广，来定义平面曲线的弧长，从而应用定积分来计算平面曲线的弧长. 1.平面曲线弧长的相关概念(1).平面曲线弧长：若在曲线弧B A 上任取分点0M A =， ,,,,,121i i M M M M -，B M M n n =-,1，依次连接相邻分点得到该曲线弧的一内接折线，记|}{|max 11i i ni M M -≤≤=λ，若当分点的数目无限增加且每一个小弧段i i M M1-都缩向一点，即0→λ时，折线的长∑=-n i i i M M 11||的极限存在，则称此极限值为曲线弧B A的弧长，并称该曲线弧是可求长的，记作||lim 10i i M M s -→=λ.(2).光滑曲线：若曲线上每一点处都存在切线，且切线随切点的移动而连续转动，则称该曲线为光滑曲线.(3).定理：光滑曲线可求长. 2.光滑曲线弧长的计算(1).直角坐标情形：设曲线弧的直角坐标方程为)(x f y =，b x a ≤≤，若)(x f 在],[b a 上具有一阶连续函数，则曲线弧长为x d x f s ba ⎰'+=)(12.推导：取x 为积分变量，曲线)(x f y =上的相应于],[b a 上任意小区间],[x d x x +上的一段弧的长度近似等于曲线在点))(,(x f x 处切线上相应的一段的长度，又切线上相应小段的长度为x d x f y d x d 222))('(1)()(+=+，从而有弧长元素x d x f s d 2))('(1+=，以x d x f 2))('(1+为被积表达式，在],[b a 上作定积分，得弧长公式：x d x f s ba⎰'+=)(12.(2).参数方程情形：设曲线弧的参数方程为⎩⎨⎧==)()(t y t x ψϕ，βα≤≤t ，若)(t ϕ及)(t ψ在],[βα上具有连续导数，则曲线弧长为t d t t s ⎰'+'=βαψϕ)()(22.推导：取参数t 为积分变量，曲线上相应于],[βα上任意小区间],[t d t t +上的一段弧的长度的近似值即为弧长元素22)()(y d x d s d +=t d t t )(')('22ψϕ+=，以t d t t )(')('22ψϕ+为被积表达式，在],[βα上作定积分，得弧长公式：t d t t s ⎰+=βαψϕ)(')('22.(3).参数方程情形：设曲线弧的极坐标方程为)(θρρ=，],[βαθ∈，若)(θρ在],[βα上具有连续导数，则曲线弧长为：θθρθρβαd s ⎰+=)(')(22.推导：由直角坐标与极坐标的关系得：⎩⎨⎧==θθρθθρsin )(cos )(y x ，βθα≤≤，即为曲线的以极角θ为参数的参数方程，弧长元素为 θθρθρθθθd d y x s d )(')()]([)]([2222+='+'=， 于是曲线弧长为：θθρθρβαd s ⎰+=)(')(22.例11.计算曲线2332x y =上相应于x 从a 到b 的一段弧的长度.解：x d x x d x y s baba⎰⎰+=+=1)('12])1()1[(32)1(322323123a b x +-+=+=.例12.计算摆线⎩⎨⎧-=-=)cos 1()sin (θθθa y a x )0(>a 一拱π)20(≤≤θ的弧长.解：由于弧长元素为θθθd y x s d )(')('22+=θθθd a a 2222sin )cos 1(+-=θθd a )cos 1(2-=θθd a 2sin 2=，于是，所求弧长为a d a s 82sin2π20==⎰θθ.例13.求阿基米德螺线)0(>=a a θρ相应于π20≤≤θ一段的一拱. 解：弧长元素为θθρθρd s d )(')(22+=θθd a a 222+=θθd a 21+=，于是，所求弧长为θθd a s ⎰+=π2021⎥⎦⎤+++⎢⎣⎡+=πθθθθ20221ln 2112a )π41π2ln(2π41π22++++=a a .。
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同济六版高等数学上册总结第一章 函数与极限一. 函数的概念1．用变上、下限积分表示的函数（1） y ⎰=xdt t f 0)(，其中)(x f 连续，则，)(x f dxdy= （2）⎰=)()()(x x dt t f y ϕφ，其中)(),(x x φϕ可导，)(t f 连续，则)())(()())((''x x f x x f dxdyφφϕϕ-= 2 两个无穷小的比较 设0)(lim ,0)(lim ==x g x f 且l x g x f =)()(lim（1）l = 0，称f (x )是比g (x )高阶的无穷小，记以f (x) = 0[)(x g ]，称g(x)是比f(x)低阶的无穷小。
（2）l ≠ 0，称f (x )与g (x )是同阶无穷小。
（3）l = 1，称f (x )与g (x )是等价无穷小，记以f (x ) ~ g (x ) 3 常见的等价无穷小 当x →0时sin x ~ x ，tan x ~ x ，x arcsin ~ x ，x arccos ~ x1− cos x ~ 2/2^x ， x e −1 ~ x ，)1ln(x + ~ x ，1)1(-+αx ~ x α 二 求极限的方法1．利用极限的四则运算和幂指数运算法则（1）若n n x x ≤+1（n 为整数），且m x n ≥，则A n x n =∞→lim 存在（单调递减有下界，极限存在）（2）若n n x x ≥+1，且m x n ≤，则A n x n =∞→lim存在（单调递增有上界，极限存在）2．两个准则准则1．单调有界数列极限一定存在准则2．（夹逼定理）设g (x ) ≤ f (x ) ≤ h (x ) 若A x h A x g ==)(lim ,)(lim ，则A x f =)(lim3．两个重要公式公式11sin lim0=→xxx公式2e x x x =+→/10)1(lim4．用无穷小重要性质和等价无穷小代换 5．用泰勒公式（比用等价无穷小更深刻）当x 0→时，有以下公式，可当做等价无穷小更深层次)()!12()1(...!5!3sin )(!...!3!2112125332++++-+++-=++++++=n n nn nxx o n x x x x x x o n x x x x e )(!2)1(...!4!21cos 2242n n n x o n x x x x +-+++-= )()1(...32)1ln(132n nn x o nx x x x x +-++-=++ )(!))1()...(1(...!2)1(1)1(2n n x o x n n x x x +---++-++=+ααααααα)(12)1(...53arctan 1212153+++++-+-+-=n n n x o n x x x x x 6．洛必达法则定理1 设函数)(x f 、)(x F 满足下列条件：（1）0)(lim 0=→x f x x ，0)(lim 0=→x F x x ；（2）)(x f 与)(x F 在0x 的某一去心邻域内可导，且0)(≠'x F ；（3）)()(lim0x F x f x x ''→存在（或为无穷大），则 这个定理说明：当)()(lim 0x F x f x x ''→存在时，)()(lim 0x F x f x x →也存在且等于)()(lim 0x F x f x x ''→；当)()(lim 0x F x f x x ''→为无穷大时，)()(lim 0x F x f x x →也是无穷大． 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的极限值的方法称为洛必达（H L 'ospital ）法则.例1计算极限0e 1lim x x x→-.解 该极限属于“00”型不定式，于是由洛必达法则，得0e 1lim x x x→-0e lim 11x x →==. 例2计算极限0sin lim sin x axbx→．解 该极限属于“00”型不定式，于是由洛必达法则，得00sin cos lim lim sin cos x x ax a ax a bx b bx b→→==． 注 若(),()f x g x ''仍满足定理的条件，则可以继续应用洛必达法则，即()()()lim lim lim ()()()x a x a x a f x f x f x g x g x g x →→→'''==='''L二、∞∞型未定式定理2 设函数)(x f 、)(x F 满足下列条件： （1）∞=→)(lim 0x f x x ，∞=→)(lim 0x F x x ；（2）)(x f 与)(x F 在0x 的某一去心邻域内可导，且0)(≠'x F ；（3）)()(lim0x F x f x x ''→存在（或为无穷大），则 注：上述关于0x x →时未定式∞∞型的洛必达法则，对于∞→x 时未定式∞∞型同样适用．例3计算极限lim (0)nxx x n e →+∞>．解 所求问题是∞∞型未定式，连续n 次施行洛必达法则，有lim e n x x x →+∞1lim e n x x nx -→+∞=2(1)lim e n x x n n x -→+∞-= !lim 0ex x n →+∞===L ． 使用洛必达法则时必须注意以下几点：)()(lim)()(lim 00x F x f x F x f x x x x ''=→→)()(lim )()(lim 00x F x f x F x f x x x x ''=→→（1）洛必达法则只能适用于“00”和“∞∞”型的未定式，其它的未定式须先化简变形成“00”或“∞∞”型才能运用该法则；（2）只要条件具备，可以连续应用洛必达法则；（3）洛必达法则的条件是充分的，但不必要．因此，在该法则失效时并不能断定原极限不存在．7．利用导数定义求极限 基本公式)()()(lim0'000x f xx f x x f x =∆-∆+→∆(如果存在）8．利用定积分定义求极限基本格式⎰∑==∞→11)()(1lim dx x f n kf n n k n （如果存在）三．函数的间断点的分类函数的间断点分为两类：（1）第一类间断点设0x 是函数y = f (x )的间断点。