高数知识点总结(上册)

高数知识点总结（上册） 函数：绝对值得性质：(1)|a+b|≤|a|+|b| (2)|a-b|≥|a|-|b| (3)|ab|=|a||b|(4)|b a |=)0(||||≠b b a函数的表示方法：（1）表格法（2）图示法（3）公式法（解析法）函数的几种性质： （1）函数的有界性 （2）函数的单调性（3）函数的奇偶性 （4）函数的周期性反函数：定理：如果函数)(x f y =在区间[a,b]上是单调的，则它的反函数)(1x fy -=存在，且是单值、单调的。

基本初等函数： （1）幂函数（2）指数函数 （3）对数函数（4）三角函数（5）反三角函数复合函数的应用 极限与连续性： 数列的极限：定义：设{}n x 是一个数列，a 是一个定数。

如果对于任意给定的正数ε（不管它多么小），总存在正整数N ，使得对于n>N 的一切nx ，不等式ε<-a x n 都成立，则称数a 是数列{}n x 的极限，或称数列{}n x 收敛于a ，记做ax nn =∞→lim ，或ax n →（∞→n ）收敛数列的有界性： 定理：如果数列{}n x 收敛，则数列{}n x 一定有界推论：（1）无界一定发散（2）收敛一定有界 （3）有界命题不一定收敛函数的极限：定义及几何定义函数极限的性质：（1）同号性定理：如果Ax f x x =→)(lim 0，而且A>0(或A<0),则必存在x 的某一邻域，当x在该邻域内（点0x 可除外），有0)(>x f （或0)(<x f ）。

（2）如果Ax f x x =→)(lim 0，且在x 的某一邻域内（x x ≠），恒有0)(≥x f （或0)(≤x f ），则0≥A （0≤A ）。

（3）如果)(lim 0x f x x →存在，则极限值是唯一的（4）如果)(lim 0x f x x →存在，则在)(x f 在点0x的某一邻域内（0x x ≠）是有界的。

无穷小与无穷大：注意：无穷小不是一个很小的数，而是一个以零位极限的变量。

但是零是可作为无穷小的唯一的常数，因为如果0)(=x f 则对任给的0>ε，总有ε<)(x f ，即常数零满足无穷小的定义。

除此之外，任何无论多么小的数，都不满足无穷小的定义，都不是无穷小。

无穷小与无穷大之间的关系：（1）如果函数)(x f 为无穷大，则)(1x f 为无穷小（2）如果函数)(x f 为无穷小，且0)(≠x f ，则)(1x f 为无穷大具有极限的函数与无穷小的关系：（1）具有极限的函数等于极限值与一个无穷小的和（2）如果函数可表为常数与无穷小的和，则该常数就是函数的极限 关于无穷小的几个性质： 定理：（1）有限个无穷小的代数和也是无穷小（2）有界函数)(x f 与无穷小a 的乘积是无穷小推论：（1）常数与无穷小的乘积是无穷小（2）有限个无穷小的乘积是无穷小 极限的四则运算法则： 定理：两个函数)(x f 、)(g x 的代数和的极限等于它们的极限的代数和两个函数)(x f 、)(g x 乘积的极限等于它们的极限的乘积极限存在准则与两个重要极限： 准则一（夹挤定理）设函数)(x f 、)(g x 、)(h x 在0x x =的某个邻域内（点0x可除外）满足条件：（1）)()()(x h x f x g ≤≤ （2）Ax g x x =→)(lim 0，Ax h x x =→)(lim 0则Ax f x x =→)(lim 0准则二 单调有界数列必有极限定理：如果单调数列有界，则它的极限必存在重要极限：（1）1sin lim0=→x xx（2）21cos 1lim20=-→x x x （3）e x xx =+∞→)11(lim 或ex x x =+→10)1(lim无穷小阶的定义：设βα、为同一过程的两个无穷小。

（1）如果0lim=αβ，则称β是比α高阶的无穷小，记做)(αβo = （2）如果∞=αβlim，则称β是比α低阶的无穷小（3）如果)1,0(lim≠≠=c c c αβ，则称β与α是同阶无穷小 （4）如果1lim=αβ，则称β与α是等阶无穷小，记做βα~几种等价无穷小：对数函数中常用的等价无穷小：0→x 时，)0(~)1ln(→+x x x)0(ln 1~)1(log →+x x a x a三角函数及反三角函数中常用的等价无穷小：0→x 时，x x ~sin x x ~tan221~cos 1xx - x x ~arcsin x x ~arctan指数函数中常用的等价无穷小：0→x 时，x e x ~1- a e a a x x ln ~11ln -=-二项式中常用的等价无穷小：0→x 时，ax x a~1)1(-+n x x n~11-+函数在某一点处连续的条件： 由连续定义)()(lim 00x f x f x x =→可知，函数)(x f 在点0x处连续必须同时满足下列三个条件：（1）)(x f 在点0x处有定义（2）当x x →时，)(x f 的极限)(lim 0x f x x →存在（3）极限值等于函数)(x f 在点0x 处的函数值)(0x f极限与连续的关系：如果函数)(x f 在点0x处连续，由连续定义可知，当0x x →时，)(x f 的极限一定存在，反之，则不一定成立 函数的间断点：分类：第一类间断点 (左右极限都存在) 第二类间断点(有一个极限不存在)连续函数的和、差、积、商的连续性： 定理：如果函数)(x f 、)(g x 在点0x处连续，则他们的和、差、积、商（分母不为零）在点x 也连续反函数的连续性：定理：如果函数)(x f y =在某区间上是单调增（或单调减）的连续函数，则它的反函数)(y x ϕ=也在对应的区间上是单调增（或单调减）的连续函数最大值与最小值定理： 定理：设函数)(x f 在闭区间[]b a ,上连续，则函数)(x f 在闭区间[]b a ,上必有最大值和最小值推论：如果函数)(x f 在闭区间[]b a ,上连续，则)(x f 在[]b a ,上有界介值定理：定理：设函数)(x f 在闭区间[]b a ,上连续，两端点处的函数值分别为)()(,)(B A B b f A a f ≠==，而μ是介于A 与B 之间的任一值，则在开区间),(b a 内至少有一点ξ，使得μξ=)(f)(b a <<ξ推论（1）：在闭区间上连续函数必能取得介于最大值与最小值之间的任何值推论（2）：设函数)(x f 在闭区间[]b a ,上连续，且0)()(<•b f a f (两端点的函数值异号)，则在),(b a 的内部，至少存在一点ξ，使0)(=ξf导数与微分 导数：定义：x x f x x f y x ∆-∆+=→∆)()(lim'导数的几何定义：函数在图形上表示为切线的斜率 函数可导性与连续性之间的表示： 如果函数在x 处可导，则在点x 处连续，也即函数在点x 处连续一个数在某一点连续，它却不一定在该点可导据导数的定义求导：（1）x x f x x f x yy x x x x ∆-∆+=∆∆=→∆→∆=)()(limlim|'00000（2）0)()(lim|'00x x x f x f y x x x x --=→=（3）x x f x x f y x x x ∆-∆+=→∆=)()(lim|'0基本初等函数的导数公式： （1）常数导数为零 0)'(=c（2）幂函数的导数公式 1)'(-=n n nx x（3）三角函数的导数公式 x x cos )'(sin = x x sin )'(cos -=x x x 22sec cos 1)'(tan ==xx x 22csc sin 1)'(cot -=-= x x x tan sec )'(sec =x x x cot csc )'(csc -=（4）对数函数的导数公式： a x e x x a a ln 1log 1)'(log ==（5）指数函数的导数公式：a a a x x ln )'(=（6）xx e e =)'(（7）反三角函数的导数公式：211)'(arcsin x x -=211)'(arccos x x --=211)'(arctan x x +=211)'cot (x x arc +-=函数和、差、积、商的求导法则：法则一（具体内容见书106）'')'(v u v u +=+'')'(v u v u -=-函数乘积的求导法则：法则二（具体内容见书108）'')'(uv v u uv +=函数商的求导法则：法则三（具体内容见书109）2'')'(v uv v u v u -=复合函数的求导法则：（定理见书113页） 反函数的求导法则：反函数的导数等于直接函数导数的倒数基本初等函数的导数公式：（见书121页）高阶导数：二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数 )(22dx dydx d dxy d = 求n 阶导数：（不完全归纳法））2sin()(sin )(π⋅+=n x x n）2cos()(cos )(π⋅+=n x x n隐函数的导数：（见书126页）对隐函数求导时，首先将方程两端同时对自变量求导，但方程中的y 是x 的函数，它的导数用记号dx dy（或'y 表示）对数求导法：先取对数，后求导（幂指函数）由参数方程所确定的函数的导数：)()()(βαφϕ≤≤⎩⎨⎧==t t y t x)()(1''t t dt dx dt dy dx dt dt dy dx dy ϕφ=⋅=⋅=微分概念：函数可微的条件如果函数)(x f 在点0x 可微，则)(x f 在点0x一定可导 函数)(x f 在点0x 可微的必要充分条件是函数)(x f 在点0x可导xx f dy ∆=)(0'函数的微分dy 是函数的增量y ∆的线性主部（当0→∆x ），从而，当x∆很小时，有dy y ≈∆通常把自变量x 的增量x ∆称为自变量的微分，记做dx 。

即于是函数的微分可记为dx x f dy )('=，从而有)('x f dx dy=基本初等函数的微分公式： 几个常用的近似公式： x f f x f )0()0()('+≈x n x n111+≈+x x ≈sin （x 用弧度）x x ≈tan （x 用弧度）x e +≈12x x ≈+)1ln(中值定理与导数应用罗尔定理：如果函数)(x f 满足下列条件 （1）在闭区间[]b a ,上连续 （2）在开区间()b a ,内具有导数（3）在端点处函数值相等，即)()(b f a f =，则在()b a ,内至少有一点ξ，使0)('=ξf拉格朗日中值定理：如果函数)(x f 满足下列条件 （1）在闭区间[]b a ,上连续（2）在开区间()b a ,内具有导数，则在()b a ,内至少有一点ξ，使得))(()()(f 'a b f a f b -=-ξ定理几何意义是：如果连续曲线)(x f y =上的弧⋂AB 除端点处外处处具有不垂直于x 轴的切线，那么，在这弧上至少有一点c ，使曲线在点c 的切线平行于弧⋂AB推论：如果函数)(x f 在区间()b a ,内的导数恒为零，那么)(x f 在()b a ,内是一个常数柯西中值定理：如果函数)(x f 与)(F x 满足下列条件 （1）在闭区间[]b a ,上连续 （2）在开区间()b a ,内具有导数（3）)(F x ‘在()b a ,内的每一点处均不为零，则在()b a ,内至少有一点ξ使得)()()()()()(''ξξF f a F b F a f b f =--罗尔定理是拉格朗日中值定理的特例，柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广 洛必达法则：（理论根据是柯西中值定理）00未定式1、a x →情形 定理：如果 (1)当a x →时，)(x f 与)(x ϕ都趋于零（2）在点a 的某领域（点a 可除外）内，)('x f 与)('x ϕ都存在且0)('≠x ϕ（3）)()(lim ''x x f a x ϕ→存在（或为∞），则极限)()(lim x x f a x ϕ→存在（或为∞），且)()(limx x f a x ϕ→=)()(lim ''x x f a x ϕ→在一定条件下通过分子、分母分别求导数再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则 2、∞→x 情形 推论：如果 （1）当∞→x 时，)(x f 与)(x ϕ都趋于零（2）当|x|>N 时，)('x f 与)('x ϕ都存在且0)('≠x ϕ（3）)()(lim ''x x f x ϕ∞→存在（或为∞），则极限)()(lim x x f x ϕ∞→存在（或为∞），且)()(lim x x f x ϕ∞→=)()(lim ''x x f x ϕ∞→∞∞未定式1、a x →情形 如果 （1）a x →时，)(x f 与)(x ϕ都趋于无穷大（2）在点a 的某领域（点a 可除外）内，)('x f 与)('x ϕ都存在且0)('≠x ϕ（3）)()(lim ''x x f a x ϕ→存在（或为∞） ，则则极限)()(lim x x f a x ϕ→存在（或为∞），且)()(limx x f a x ϕ→=)()(lim ''x x f a x ϕ→ 2、∞→x 情形 推论：如果 （1）∞→x 时，)(x f 与)(x ϕ都趋于无穷大（2）当|x|>N 时，)('x f 与)('x ϕ都存在且0)('≠x ϕ（3）)()(lim ''x x f a x ϕ→存在（或为∞） ，则则极限)()(lim x x f a x ϕ→存在（或为∞），且)()(limx x f a x ϕ→=)()(lim ''x x f a x ϕ→注意：1、洛必达法则仅适用于00型及∞∞型未定式2、当)()(lim'')(x x f x a x ϕ∞→→不存在时，不能断定)()(lim)(x x f x a x ϕ∞→→不存在，此时不能应用洛必达法则泰勒公式（略） 迈克劳林公式（略） 函数单调性的判别法：必要条件：设函数)(x f 在[]b a ,上连续，在()b a ,内具有导数，如果)(x f 在[]b a ,上单调增加（减少），则在()b a ,内，0)('≥x f （0)('≤x f ）充分条件：设函数)(x f 在[]b a ,上连续，在()b a ,内具有导数， （1）如果在()b a ,内，0)('>x f ，则)(x f 在[]b a ,上单调增加（2）如果在()b a ,内，0)('<x f ，则)(x f 在[]b a ,上单调减少函数的极值及其求法极值定义（见书176页）极值存在的充分必要条件必要条件：设函数)(x f 在点0x 处具有导数，且在点0x处取得极值，则0)('=x f函数的极值点一定是驻点 导数不存在也可能成为极值点驻点：使0)('=x f 的点，称为函数)(x f 的驻点充分条件（第一）：设连续函数)(x f 在点0x 的一个邻域（0x 点可除外）内具有导数，当x由小增大经过0x 时，如果（1）)('x f 由正变负，则0x 是极大点 （2）)('x f 由负变正，则0x是极小点（3）)('x f 不变号，则0x 不是极值点充分条件（第二）：设函数)(x f 在点0x 处具有二阶导数，且0)(0'=x f ，0)(0;;≠x f（1）如果0)(0;;<x f ，则)(x f 在0x点处取得极大值（2）如果)(0;;>x f ，则)(x f 在0x点处取得极小值函数的最大值和最小值（略） 曲线的凹凸性与拐点：定义：设)(x f 在[]b a ,上连续，如果对于[]b a ,上的任意两点1x 、2x 恒有2)(()2(2121x f x f x x f +<+，则称)(x f 在[]b a ,上的图形是（向上）凹的，反之，图形是（向上）凸的。