(完整版)待定系数法求通项专项练习答案
待定系数法求数列通项公式
待定系数法求数列通项公式例題h在数列0｝中，O, - 1,--兀+1,试求其通项金弍，分折*显然,这不是等差豉等比数列，但如果在。
杠=2务+ 1的两迪同对工I上1,整理为+ 1 =2（^+1）.此时,把％"1和4+1看f乍1个整体#或者换元F令如!=%W，那么毎F +打即b^ = 2b ar E"］+l = 2・因此，数列｛耳+1｝或何｝就是以2为首项，以2为公土的筈土散列5 + 1-二或者阮".进一步求出a… = 2H-K启示；在送个何鬆中，容易看出空左苔两边帕上1就枸或了新的等比数歹［0十那不谢看出在左右两边该忙4后枸成新的等比数列时，该怎么办呢？其实，已知％］=加”十1,可变形为十2 = 2（比-心的形式.慝后履幵括号、移项后再与=2%亠1拒比较，利用待定系数法可得昭= L t这榕对于形如片七（其中严彳为羔蛻且驹*0屮*1〉的逵推数列，先变为心：+ —庶斗十心比形式，展开“移匝利弔行定系晝注有3」1）口・2=宀P-1菲七）p -1 P —1匹数列鼻+—M首项为町旦座比为卩的笔比数见I 戶―p-1那么.芝g 变为/(«),/(«)是关于川非零多项弍时.该怎么办呢？是否也能运冃待定系数法呢?二 a” [Jpa 尸十qn+r (pg*O ・Ep#l)型例題2.在数列Q}中，a=l,^：= 2厲+ 3卄1,试求其通项公式。
分析，按照例题1的思路，左两边既妄切上某一常数同时也妾加上n 的倍数，才能便新 的数列有一致的形式C 先变为弘.:+弘十1)一2 = 2(6十如十1,畏开比较得2 = 3•即ai + 3(M + l) = 2g+3n)+4进一步a”i + 3(n +1) + 4 = 2(a w — 3n + 4)则数列匕十3—4｝是a ：十3x1-4 =8苣坝为色十3x1 + 4 = 8公比为2的等比数列，所以同样，形如二叫十驴+ r 的违推数列，设+x{n+l)+y- pia^xn^y)展开.移项、整理，比较对应系数胡尊，歹［岀方程［9；叹・？X N ---解得 <P 」x +尸 q rv- - 2~y -+ - r P-i (P-ir P -I即 4心1 + g («+o + ?宀 +r= q 幺 +z (p-ir P 丿 L的等比数列，于是就可以进一步求出｛q ｝的通项•因此.形如巧="严这—类型的数列.都可以利用待定系数法来求解.则数列"Q+畀厂話是以鳥严二为首项,以卩为公比5 g jp_l (p — L)・ p —l-叵理，若= 其中/(“)是关于n的多项弍时，也可以构造新的等乂数列,利用待定系数法求岀其通项。
待定系数法练习题及答案
待定系数法练习题及答案一、选择题1. 下列关于待定系数法的说法，正确的是（）。
A. 待定系数法适用于求解一阶线性微分方程B. 待定系数法适用于求解二阶线性微分方程C. 待定系数法适用于求解非线性微分方程D. 待定系数法适用于求解所有类型的微分方程2. 在使用待定系数法求解非齐次线性微分方程时，假设特解形式为（）。
A. y = eaxB. y = ebxC. y = ax + bD. y = x^2 + ax + b3. 对于二阶线性非齐次微分方程 y'' + py' + qy = f(x)，其中f(x)为已知的函数，下列关于特解形式的说法，正确的是（）。
A. 当f(x) = eax时，特解形式为y = AeaxB. 当f(x) = cosbx时，特解形式为y = Acosbx + BsinbxC. 当f(x) = e^(x)时，特解形式为y = Ax + BD. 当f(x) = x^2时，特解形式为y = x^2 + ax + b二、填空题1. 使用待定系数法求解非齐次线性微分方程时，需要求出其______（通解/特解）。
2. 对于一阶线性非齐次微分方程 y' + py = f(x)，当f(x) = eax时，其特解形式为______。
3. 对于二阶线性非齐次微分方程 y'' + py' + qy = f(x)，当f(x) = cosbx时，其特解形式为______。
三、解答题1. 使用待定系数法求解下列微分方程的特解：y' y = 2x2. 使用待定系数法求解下列微分方程的特解：y'' + y = sinx3. 使用待定系数法求解下列微分方程的特解：y''' 3y'' + 3y' y = e^(x)4. 使用待定系数法求解下列微分方程的特解：y'' + 4y = 4x^2 + 3x + 25. 使用待定系数法求解下列微分方程的特解：y'' 2y' + y = e^x cosx四、应用题1. 某物体在直线运动中，其加速度a(t)与时间t的关系为a(t) = 4 t^2，初始速度为v(0) = 0，求物体在t时刻的速度v(t)。
2018-2019学年高中数学人教B版必修一练习：2.2.3 待定系数法 Word版含解析
2.2.3 待定系数法【选题明细表】知识点、方法题号待定系数法1,5,7数形结合与待定系数法2,4,6,8二次函数综合应用3,9,10,111.已知一个一次函数的图象过点(1,3),(3,4),则这个函数的解析式为( B )(A)y=x- (B)y=x+(C)y=-x+(D)y=-x-解析:可将点代入验证或用待定系数法求解.2.如果函数y=ax+2与y=bx+3的图象相交于x轴上一点,那么a,b的关系是( B )(A)a=b (B)a∶b=2∶3(C)a+2=b+3(D)ab=1解析:设两函数图象交于x轴上的点为(t,0),代入解析式有a=-,b=-,所以a∶b=∶=2∶3.3.(2018·北京海淀19中期中)已知二次函数f(x),f(0)=6,且f(3)=f(2)=0,那么这个函数的解析式是( D )(A)f(x)=x2+x+6(B)f(x)=x2-x+6(C)f(x)=x2+5x+6(D)f(x)=x2-5x+6解析:法一 由f(3)=f(2)=0可知二次函数对称轴方程为x=.四个选项中只有D选项对称轴方程为x=.故选D.法二 因为f(3)=f(2)=0,所以2,3是函数图象与x轴交点的横坐标,因此二次函数的解析式可设为f(x)=a(x-2)(x-3).结合f(0)=6可知a=1.所以选D.4.已知二次函数的二次项系数为1,该函数图象与x轴有且仅有一个交点(2,0),则此二次函数的解析式为 .解析:由题可设f(x)=x2+px+q,因为图象与x轴有且仅有一个交点(2,0),所以(2,0)是抛物线的顶点,即-=2,所以p=-4,又f(2)=22-4×2+q=0,所以q=4,所以f(x)=x2-4x+4.答案:f(x)=x2-4x+45.(2018·北京西城13中期中)已知一次函数f(x)=4x+3,且f(ax+b)=8x+7,则a-b= .解析:一次函数f(x)=4x+3,所以f(ax+b)=4(ax+b)+3=8x+7,得解得a=2,b=1.所以a-b=1.答案:16.如图所示,一次函数图象经过点A,且与正比例函数y=-x的图象交于点B,则该一次函数的表达式为( B )(A)y=-x+2(B)y=x+2(C)y=x-2(D)y=-x-2解析:设一次函数解析式为y=kx+b(k≠0),由已知可得A(0,2),B(-1,1)在一次函数图象上.所以解得所以一次函数表达式为y=x+2.故选B.7.二次函数f(x)=ax2+bx+c经过点(1,7),且有f(x)≥f(-2)=-2,则f(x)的解析式为( B )(A)f(x)=x2+2x+2(B)f(x)=x2+4x+2(C)f(x)=x2+4x-2(D)f(x)=x2+4x+4解析:依题意,f(x)=a(x+2)2-2,将点(1,7)代入得7=9a-2.所以a=1,所以f(x)=(x+2)2-2=x2+4x+2.故选B.8.二次函数满足f(1+x)=f(1-x),且在x轴上的一个截距为-1,在y轴上的截距为3,则其解析式为 .解析:由f(1+x)=f(1-x)知二次函数的对称轴为x=1,且过(-1,0), (0,3),设f(x)=ax2+bx+c.则解得答案:f(x)=-x2+2x+39.已知二次函数y=f(x),当x=2时函数取最小值-1,且f(1)+f(4)=3.(1)求f(x)的解析式;(2)若g(x)=f(x)-kx在区间[1,4]上不单调,求实数k的取值范围.解:(1)由条件设f(x)=a(x-2)2-1;又f(1)+f(4)=3,则a=1,所以f(x)=x2-4x+3.(2)当x∈[1,4]时,由题意,g(x)=x2-(k+4)x+3,因其在区间[1,4]上不单调,则有1<<4,解得-2<k<4,即实数k的取值范围为(-2,4). 10.(2018·云南师范大学五华区实验中学期中)已知函数f(x)=x2+ ax+b.(1)若对任意的实数x都有f(1+x)=f(1-x)成立,求实数a的值;(2)若f(x)为偶函数,求实数a的值;(3)若f(x)在[1,+∞)内单调递增,求实数a的取值范围.解:(1)由f(1+x)=f(1-x)得,x=1为f(x)的对称轴.所以-=1,所以a=-2.(2)若f(x)为偶函数,则f(-x)=f(x),即(-x)2+a(-x)+b=x2+ax+b,x2-ax+b=x2+ax+b,所以a=0.(3)因为f(x)的对称轴为x=-,且f(x)在[1,+∞)上单调递增,所以-≤1,所以a≥-2.故实数a的取值范围为[-2,+∞).11.(2018·湖北襄阳四校联考)已知二次函数f(x)的最大值为3,且f(1)=f(5)=-5.(1)求f(x)的解析式;(2)求f(x)在区间[2,2+a](a>0)上的最大值.解:(1)设二次函数f(x)的解析式为y=a(x-k)2+h,由f(1)=f(5)知,f(x)图象关于直线x=3对称,所以k=3.又f(x)max=3,所以h=3.由f(1)=-5得a=-2.所以y=-2(x-3)2+3=-2x2+12x-15.(2)由(1)知,函数f(x)图象的对称轴为x=3.①当2+a≤3,即0<a≤1时,f(x)在[2,2+a]上为增函数,所以f(x)max=f(a+2)=-2a2+4a+1.②当2+a>3,即a>1时,f(x)在[2,3]上为增函数,在(3,2+a]上为减函数所以f(x)max=f(3)=3.综上f(x)max= 。
待定系数法求通项(很全很简洁)
第二类：形如：an+1=Aan+Ban-1
例3：已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。
解：法ห้องสมุดไป่ตู้：
设
比较系数得 或 ，不妨取 ，（取-3结果形式可能不同，但本质相同）
则 ，则 是首项为4，公比为3的等比数列
，所以
法2：an+2+Kan+1=(5+k)an+1-6an=(5+k)(an+1-6/(5+k)an)
K=-2或-3
an+2-2an+1=3（an+1-2an）
练习3.数列 中，若 ,且满足 ,求 .
答案： .
第三类：形如：an+1=Aan+f(n)
例4：已知 ,求an.
例5已知a1=-1, an=3an-1+2n(n≥2)，求an.
广州市铁一中学
第一类：形如an+1=A·an+B
例1已知 ，求
解：设 ，则由已知得k=2，即{an-2}成等比数列。
练1：已知数列{an}中，a1=1，an＋1=2an＋1。求an。
例2已知a1=1,n≥2时， ,求an.
解：取倒数得 ,设 ,则 ,即归结为求{bn}的通项。
若c≠0,则可设常数k、m满足： ,转为求 的通项。
求数列通项公式的十种方法,例题答案详解
求数列通项公式的十一种方法（方法全，例子全，归纳细）总述：一.利用递推关系式求数列通项的11种方法：累加法、累乘法、待定系数法、阶差法（逐差法）、迭代法、对数变换法、倒数变换法、换元法（目的是去递推关系式中出现的根号）、数学归纳法、不动点法（递推式是一个数列通项的分式表达式）、特征根法二. 四种基本数列：等差数列、等比数列、等和数列、等积数列及其广义形式。
等差数列、等比数列的求通项公式的方法是：累加和累乘，这二种方法是求数列通项公式的最基本方法。
三. 求数列通项的方法的基本思路是：把所求数列通过变形，代换转化为等差数列或等比数列。
四. 求数列通项的基本方法是：累加法和累乘法。
五. 数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。
一、累加法1. ---------------------------------------------- 适用于：。
心=“"+/（，?）这是广义的等差数列累加法是最基本的二个方法之一。
2. 若％+]-%= /(〃)(〃 > 2),«2 - a\ =/(1)则I*)两边分别相加得。
心一明 =文/0?）A.1例1已知数列｛%｝满足。
心=% + 2n + 1, %=1,求数列｛%｝的通项公式。
解：由S =缶+2// + 1得《土一％= 2〃 +1则% =（% 一%）+（%.| - ％.2）+ •・• +（% - 务）+（% - 角）+ % =[2（〃一1） + 1] + [2（〃一2）+ 1] +…+ （2x2 + 1） +（2x1+ 1） + 1 =2[（〃一1） + （〃一2）+ …+ 2 +1] + （〃一1） +1（fi-l）n ,八， =2 +（〃一1） + 1=（〃一1）（〃+ 1） + 1=，?-所以数列｛劣｝的通项公式为％ =〃七例2已知数列｛%｝满足％|=%+2x3"+l,《=3,求数列｛丹｝的通项公式。
解法一：由““I =ci n +2x3" +1 得为+[ -％=2x3" +1 则% =（% 一《I）+ （%| —《一2）+ • • • + （% - 缶）+（缶一妃 + % =（2X3”T +1）+（2X3"-2 +1）+ ...+（2x3?+ l） + （2x3】+1） + 3= 2（3/,-1+3n-2+.-- + 32+31） + （n-l） + 33（1—3”T）=2•- ]-、一 + （〃_1） + 3=3”一3+ 〃一1 + 3=3”+〃一1所以a n = 3" +〃一1.解法二：“,*=3%+2x3”+1两边除以3”“，得参=3 + ： +名，an =(% _ 4-1)+(勺― , 3-2 %-3a3〃 3" )+(22^_4)+ ・.. +(查一 *%】a . 3〃-2 明 3〃-3 32 313/2 1、，2 1、，2 1、 2 13(—+ ) + ( — + r) + (— H + ■ . ■ + (— + -^r) + —3 3” 3 3〃-】 3 3心 3 32 32(n-1) ,11 1 11、「3 3" 3〃 3”-' 3〃-2 323“ 因此色=翌1 +剥一3")+1=空+- 1-33 2 2x3〃3〃32 1 1贝 ij a n = —x 〃x3" + —x3"——・3 2 2评注：已知4 =",匕由一。
必修一函数待定系数法含答案
必修一函数待定系数法含答案SANY标准化小组 #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8-HHMHGN#2．2.3待定系数法一、选择题1．将二次函数y＝x2的图象沿y轴向下平移h个单位，沿x轴向左平移k 个单位得到y＝x2－2x＋3的图象，则h，k的值分别为( )A．－2，－1B．2，－1C．－2,1D．2,12．二次函数y＝－x2－6x＋k的图象的顶点在x轴上，则k的值为( ) A．－9B．9C．3D．－33．已知二次函数的图象顶点为(2，－1)，且过点(3,1)，则函数的解析式为( )A．y＝2(x－2)2－1B．y＝2(x＋2)2－1C．y＝2(x＋2)2＋1D．y＝2(x－2)2＋14．已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，求此二次函数的解析式为( )A．4x2＋4x＋7B．4x2－4x－7C．－4x2－4x＋7D．－4x2＋4x＋75．已知函数y＝ax2＋bx＋c，如果a>b>c，且a＋b＋c＝0，则它的图象可能是图中的( )6．设函数f(x)＝，若f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，则关于x的方程f(x)＝x的解的个数为( )A．1B．2C．3D．4题号123456答案二、填空题7.如图所示，抛物线y＝－x2＋2(m＋1)x＋m＋3与x轴交于A、B两点，且OA ＝3OB，则m＝________.8．已知a，b为常数，若f(x)＝x2＋4x＋3，f(ax＋b)＝x2＋10x＋24，则5a－b＝________.9．若一次函数y＝f(x)在区间[－1,3]上的最小值为1，最大值为3，则f(x)的解析式为__________．三、解答题10．已知二次函数f(x)对一切x∈R，有f(2－x)＝f(x)，f(－1)＝0，且f(x)≥－1.(1)求二次函数解析式；(2)若直线l过(1)中抛物线的顶点和抛物线与x轴左侧的交点，求l在y轴上的截距．11．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与y＝－x2＋2x＋3的形状相同，开口方向相反，与直线y＝x－2的交点坐标为(1，n)和(m,1)，求这个二次函数的解析式．能力提升12．已知函数f(x)＝x2＋2x＋a，f(bx)＝9x2－6x＋2，其中x∈R，a，b为常数，则方程f(ax＋b)＝0的解集为__________．13．若二次函数满足f(x＋1)－f(x)＝2x且f(0)＝1.(1)求f(x)的解析式；(2)若在区间[－1,1]上不等式f(x)>2x＋m恒成立，求实数m的取值范围．1．待定系数法的理论依据是多项式恒等，即等式左右两边对应项系数相等．2．利用待定系数法解决问题的步骤(1)根据已知条件写出待定函数的一般式；(2)由x、y的几对值，或图象上的几个点的坐标或其他条件，建立以待定系数为未知数的方程或方程组；(3)解方程(组)得到待定系数的值；(4)将求出的系数代回所设函数解析式中得函数解析式．用待定系数法求函数解析式步骤简缩成：第一步：设；第二步：代；第三步：求；第四步：写．即“设、代、求、写”．2．2.3 待定系数法知识梳理1．这个函数的一般形式一般形式题设条件待定系数2．(1)y＝kx(k≠0) (2)y＝kx＋b(k≠0) (3)y＝(k≠0) (4)①y＝ax2＋bx＋c(a≠0) ②y＝a(x－h)2＋k(a≠0)③y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)作业设计1．A2．A [∵y＝－(x＋3)2＋k＋9，∴k＋9＝0，k＝－9.]3．A [设顶点式y＝a(x－2)2－1，将(3,1)代入得a＝2.]4．D [设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，依题意有解之，得∴所求二次函数为y＝－4x2＋4x＋7.]5．D [由已知可知a>0，c<0，且f(1)＝0，所以选D.]6．C [由f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，解得b＝4，c＝2，∴f(x)＝∴方程f(x)＝x?或解得x＝2或x＝－1或x＝－2，均合题意．]7．0解析设B(x0,0)(x0<0)，则A(－3x0,0)，y＝－(x－x0)(x＋3x0)展开得：，解得m＝0或m＝－，由x0<0得m＋1>0，m>－1，∴m＝0.8．2解析f(ax＋b)＝(ax＋b)2＋4(ax＋b)＋3＝a2x2＋(2ab＋4a)x＋b2＋4b＋3又f(ax＋b)＝x2＋10x＋24，∴，∴或.∴5a－b＝2.9．f(x)＝x＋或f(x)＝－x＋解析设f(x)＝kx＋b(k≠0)．当k>0时，，解得.当k<0时，，解得.∴f(x)＝x＋或f(x)＝－x＋.10．解(1)由f(2－x)＝f(x)，得二次函数图象的对称轴为x＝1，由f(x)≥－1对一切x∈R成立，得二次函数的最小值为－1.设二次函数的解析式为f(x)＝a(x－1)2－1，∵f(－1)＝0，∴4a－1＝0，∴a＝，∴f(x)＝(x－1)2－1＝x2－x－.(2)设直线l的解析式为g(x)＝kx＋b.由(1)知，抛物线顶点为C(1，－1)，由x2－x－＝0，解得x1＝－1，x2＝3，∴l过点A(－1,0)，∴，解得，∴一次函数为y＝－x－.在y轴上的截距为b＝－.11．解∵y＝ax2＋bx＋c的图象与y＝－x2＋2x＋3的形状相同，开口方向相反，∴a＝.∴二次函数解析式变为y＝x2＋bx＋c.将点(1，n)和(m,1)代入直线方程y＝x－2，得解得∴二次函数与直线的交点为(1，－1)和(3,1)．将这两个点的坐标分别代入y＝x2＋bx＋c，得解得∴所求的二次函数的解析式为y＝x2－x－.12．?解析∵f(x)＝x2＋2x＋a，∴f(bx)＝(bx)2＋2bx＋a＝b2x2＋2bx＋a＝9x2－6x＋2.则有即∴f(2x－3)＝(2x－3)2＋2(2x－3)＋2＝4x2－8x＋5＝0.∵Δ＝64－80<0，∴方程f(ax＋b)＝0无实根．13．解(1)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由f(0)＝1，∴c＝1，∴f(x)＝ax2＋bx＋1.∵f(x＋1)－f(x)＝2x，∴2ax＋a＋b＝2x，∴，∴，∴f(x)＝x2－x＋1.(2)由题意：x2－x＋1>2x＋m在[－1,1]上恒成立，即x2－3x＋1－m>0在[－1,1]上恒成立．令g(x)＝x2－3x＋1－m＝(x－)2－－m，其对称轴为x＝，∴g(x)在区间[－1,1]上是减函数，∴g(x)min＝g(1)＝1－3＋1－m>0，∴m<－1.。
数列通项公式与前n项和的18种求法(含详细例题)
求数列前N 项和的方法1. 公式法等差数列前n 项和：11()(1)22n n n a a n n S na d ++==+ 特别的，当前n 项的个数为奇数时，211(21)k k S k a ++=+，即前n 项和为中间项乘以项数。
这个公式在很多时候可以简化运算。
等比数列前n 项和： q=1时，1n S na =()1111n n a q q S q-≠=-，，特别要注意对公比的讨论。
其他公式：1、)1(211+==∑=n n k S nk n 2、)12)(1(6112++==∑=n n n k S nk n3、213)]1(21[+==∑=n n kS nk n [例1] 已知3log 1log 23-=x ，求⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++nx x x x 32的前n 项和. 解：由212log log 3log 1log 3323=⇒-=⇒-=x x x由等比数列求和公式得 nn x x x x S +⋅⋅⋅+++=32 （利用常用公式）＝x x x n --1)1(＝211)211(21--n ＝1－n 21 [例2] 设S n ＝1+2+3+…+n ，n ∈N *,求1)32()(++=n nS n S n f 的最大值.解：由等差数列求和公式得 )1(21+=n n S n ， )2)(1(211++=+n n S n （利用常用公式）∴ 1)32()(++=n n S n S n f ＝64342++n n n＝nn 64341++＝50)8(12+-nn 501≤∴ 当 88-n ，即n ＝8时，501)(max =n f2. 错位相减法这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列.[例3] 求和：132)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n n x n x x x S ………………………①解：由题可知，{1)12(--n x n }的通项是等差数列{2n －1}的通项与等比数列{1-n x}的通项之积设nn x n x x x x xS )12(7531432-+⋅⋅⋅++++=………………………. ②（设制错位）①－②得 nn n x n x x x x x S x )12(222221)1(1432--+⋅⋅⋅+++++=--（错位相减）再利用等比数列的求和公式得：n n n x n x x x S x )12(1121)1(1----⋅+=-- ∴ 21)1()1()12()12(x x x n x n S n n n -+++--=+[例4] 求数列⋅⋅⋅⋅⋅⋅,22,,26,24,2232n n前n 项的和. 解：由题可知，{n n 22}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{n 21}的通项之积设n n nS 2226242232+⋅⋅⋅+++=…………………………………①14322226242221++⋅⋅⋅+++=n n nS ………………………………② （设制错位）①－②得1432222222222222)211(+-+⋅⋅⋅++++=-n n n nS（错位相减）1122212+---=n n n∴ 1224-+-=n n n S练习：求：S n =1+5x+9x 2+······+(4n-3)x n-1解：S n =1+5x+9x 2+······+(4n-3)x n-1 ①①两边同乘以x ，得 x S n =x+5 x 2+9x 3+······+(4n-3)x n ②①-②得，（1-x ）S n =1+4（x+ x 2+x 3+······+ nx ）-（4n-3）x n当x=1时，S n =1+5+9+······+（4n-3）=2n 2-n当x ≠1时，S n = 1 1-x [ 4x(1-x n ) 1-x +1-（4n-3）x n ]3. 反序相加法求和这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n 个)(1n a a +.[例5] 求89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++的值解：设89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++=S …………. ①将①式右边反序得1sin 2sin 3sin 88sin 89sin 22222+++⋅⋅⋅++=S …………..②（反序）又因为 1cos sin ),90cos(sin 22=+-=x x x x①+②得（反序相加）)89cos 89(sin )2cos 2(sin )1cos 1(sin 2222222 ++⋅⋅⋅++++=S ＝89∴ S ＝44.54. 分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可. [例6] 求数列的前n 项和：231,,71,41,1112-+⋅⋅⋅+++-n a a a n ，… 解：设)231()71()41()11(12-++⋅⋅⋅++++++=-n aa a S n n将其每一项拆开再重新组合得)23741()1111(12-+⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+++=-n aa a S n n（分组）当a ＝1时，2)13(n n n S n -+=＝2)13(nn + （分组求和）当1≠a 时，2)13(1111n n aa S n n -+--=＝2)13(11n n a a a n -+---[例7] 求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n 项和.解：设k k k k k k a k ++=++=2332)12)(1(∴ ∑=++=n k n k k k S 1)12)(1(＝)32(231k k knk ++∑=将其每一项拆开再重新组合得S n ＝k k k nk n k nk ∑∑∑===++1213132（分组）＝)21()21(3)21(2222333n n n +⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++＝2)1(2)12)(1(2)1(22++++++n n n n n n n （分组求和）＝2)2()1(2++n n n练习：求数列∙∙∙+∙∙∙),21(,,813,412,211nn 的前n 项和。
待定系数法练习题及答案
待定系数法练习题及答案待定系数法是一种常用的解决代数方程的方法，它可以帮助我们求解一些复杂的方程，尤其是含有未知系数的方程。
在本文中，我们将通过一些练习题来探讨待定系数法的应用，并给出相应的答案。
1. 求解方程：3x + 4 = 2x - 1首先，我们需要将方程转化为标准形式，即将所有项移到等号的一侧。
将方程重新排列得到：3x - 2x = -1 - 4，简化得到 x = -5。
2. 求解方程：2x^2 - 5x + 2 = 0这是一个二次方程，我们需要找到它的根。
首先，我们可以尝试因式分解，但很明显这个方程不能被因式分解。
因此，我们可以使用待定系数法来解决。
假设方程的解为 x = a 和 x = b，那么我们可以将方程表示为 (x - a)(x - b) = 0。
将方程展开得到 x^2 - (a + b)x + ab = 0。
与原方程进行比较，我们可以得到以下等式：a + b = 5，ab = 2。
根据这两个等式，我们可以列出一个二元一次方程组：a + b = 5，ab = 2。
解这个方程组，我们可以得到 a = 2，b = 3。
因此，方程的解为 x = 2 和 x = 3。
3. 求解方程：x^3 + 3x^2 + 3x + 1 = 0这是一个三次方程，我们同样可以使用待定系数法来解决。
假设方程的解为 x = a，那么我们可以将方程表示为 (x - a)(x^2 + (a + 3)x + (a^2 + 3a + 1)) = 0。
展开方程得到 x^3 + (3a + 1)x^2 + (3a^2 + 6a + 1)x + (a^3 + 3a^2 + 3a + 1) = 0。
与原方程进行比较，我们可以得到以下等式：3a + 1 = 3，3a^2 + 6a + 1 = 3，a^3 + 3a^2 + 3a + 1 = 0。
解这个方程组，我们可以得到 a = 1。
因此，方程的解为 x = 1。
通过以上几个练习题，我们可以看到待定系数法在解决代数方程中的重要性。