利用待定系数法因式分解和分式的拆分等
有理函数的积分拆分方法
有理函数的积分拆分方法一、前言积分是高等数学中非常重要的概念。
而有理函数则是些基础的函数，其定义域是有理数的多项式函数。
在进行有理函数的积分时，我们有时可以通过拆分的方式，将原式转化为简单的形式，从而使求解变得更加容易。
本文将讨论有理函数的积分拆分方法，特别是常见的分式分解法和部分分式分解法。
二、分式分解法分式分解法是将原有理式拆分成若干个分式相加的形式。
下面我们将介绍一下分式分解法的具体步骤：1.将分母拆分成多项式的积。
例如：$\frac{x^2+2x}{(x+1)(x+2)}=\frac{A}{x+1}+\frac{ B}{x+2}$其中 $A$，$B$ 是待定系数。
2.将原式中的分式分别乘上其对应的除数。
例如：$x^2+2x=A(x+2)+B(x+1)$3.利用待定系数的方法求解 $A$，$B$。
例如：在上式中将 $x$ 替换为 $x=-1$，可以得到 $A=-1$。
在上式中将 $x$ 替换为 $x=-2$，可以得到 $B=2$。
最终得到：$\frac{x^2+2x}{(x+1)(x+2)}=\frac{-1}{x+1}+\frac{2}{x+2}$三、部分分式分解法部分分式分解法则是将有理式模拟成部分分式，之后进行求解。
下面我们将介绍部分分式分解法的具体步骤：1.将分母分解因式。
例如：$\frac{5x-1}{x^2-3x+2}=\frac{5x-1}{(x-1)(x-2)}$2.将各因式拆成单项式。
例如：$\frac{5x-1}{(x-1)(x-2)}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x-2}$3.用待定系数法求解。
例如：$5x-1=A(x-2)+B(x-1)$4.解得系数 $A$，$B$。
例如：在上式中将 $x=1$，可以得到 $A=-4$。
在上式中将 $x=2$，可以得到 $B=9$。
最终得到：$\frac{5x-1}{x^2-3x+2}=\frac{-4}{x-1}+\frac{9}{x-2}$四、总结：通过上述两种方法，我们可以将有理函数的积分拆分为若干个简单的分式相加。
因式分解的常用方法(基本公式法,分拆法,配方法,换元法,待定系数法)
因式分解方法归纳总结第一部分：方法介绍初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法.本讲及下一讲在中学数学教材基础上，进一步着重换元法，待定系数法的介绍.、提公因式法.：ma+mb=m(a+b)、运用公式法.(1) (a+b)(a -b) = a 2-b2 ---------- a 2-b2=(a+b)(a -b);, 2 2, 2 2 , 2,2(2) (a ± b) = a ± 2ab+b ----------------- a ± 2ab+b =(a ± b);(3) (a+b)(a 2-ab+b2) =a 3+b3------ a 3+b3=(a+b)(a 2-ab+b2);2 2、33 3 3 2 2、(4) (a -b)(a +ab+b ) = a -b -------------- a -b =(a -b)(a +ab+b ).F面再补充两个常用的公式：(5) a 2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c) 2;3,3 3 2,2 2(6) a +b +c -3abc=(a+b+c)(a +b +c -ab-bc-ca);例.已知a, b, c是ABC的三边，且a2 b2 c2则ABC的形状是()(二)分组后能直接运用公式ab bc ca,A.直角三角形B等腰三角形C等边三角形D等腰直角三角形解: a2 b2 c2 ab bc ca 2 2 22a 2b 2c 2ab 2bc 2ca(a b)2 2 2(b c) (c a)三、，分组分解法例 2、分解因式：2ax 10ay 5by解法一：第、二项为一组；第三、四项为一组。
解:原式=(2ax 10ay) (5by bx)= 2a(x 5y) b(x 5y)=(x 5y)(2a b)bx解法二：第一、四项为一组；第二、三项为一组。
原式=(2ax bx) ( 10ay 5by) =x(2a b)5y(2a b) =(2a b)(x 5y)练习：分解因式1、a2 ab ac bc 2、xy x y 1例3、分解因式：x2 y2 ax ay分析：若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因式，但提完后就能继续分解，所以只能另外分组。
待定系数法分解因式(含答案)-
待定系数法分解因式(含答案)-
待定系数法是一种常用的解题方法，可应用于因式分解、确定方程系数、解决应用问题等各种场合。
掌握待定系数法对于初中、高中甚至大学的许多课程都有很大帮助。
待定系数法的基本思路是将一个多项式表示成另一种含有待定系数的新形式，得到一个恒等式，然后根据恒等式的性质得出系数应满足的方程或方程组，通过解方程或方程组求出待定的系数或找出某些系数所满足的关系式。
本文主要介绍待定系数法在因式分解中的应用。
通过一系列题目的因式分解过程，同学们可以研究到用待定系数法进行因式分解时的方法、步骤和技巧。
例如，对于一个多项式，我们可以设其分解式为，然后通过比较系数得到方程组，进而求出待定系数m和n的值。
有时，我们也可以根据已知条件来设定二次三项式的表达式，然后利用恒等式的性质求出各项的系数，如在关于x的二次三项式中，当x=2时，其值为10，求这个二次三项式。
需要注意的是，有时方程的个数可能多于未知数的个数，此时需要将求得的值代入多余的方程逐一检验，若有的解对某个方程或所设的等式不成立，则需将此解舍去；若得方程组无解，则说明原式不能分解成所设形成的因式。
总之，掌握待定系数法可以在解题过程中事半功倍，同学们要认真研究和掌握。
因式分解的待定系数法
因式分解的待定系数法因式分解的待定系数法是一种通过设定待定系数，并利用已知条件解方程组来分解代数表达式的方法。
这种方法常用于分解多项式或解析函数的因式，对于一些复杂的多项式或函数，待定系数法能够提供一种简单有效的解决方案。
在待定系数法中，我们假设要分解的多项式或函数为P(x)，并设定待定系数a，b，c等，并利用已知条件建立方程组，通过求解方程组，我们可以确定待定系数的值，从而得到多项式或函数的因式。
具体来说，设定待定系数法通常分为以下几个步骤：1. 确定待定系数的个数：根据多项式或函数的次数，确定所需的待定系数的个数。
例如，对于二次多项式，我们需要设定两个待定系数。
2. 建立方程组：根据已知条件建立方程组，以求解待定系数。
已知条件通常来自于多项式或函数的根、零点、截距等，也可能包括导数的值等等。
方程组的个数应当与待定系数的个数相等。
3. 求解方程组：利用代数方法求解方程组，以确定待定系数的值。
4. 得到因式：将待定系数的值代入到多项式或函数中，得到因式的表达式。
下面通过一个具体的示例来解释待定系数法的具体过程：假设我们要分解二次多项式P(x) = ax^2 + bx + c，其中a，b，c为待定系数。
已知P(x)的图像上有一个零点为x = 1，并且在x = 2处有一个切线的斜率为3。
现在利用待定系数法分解P(x)。
根据已知条件，我们可以列出方程组：1. P(1) = a(1)^2 + b(1) + c = 02. P'(2) = 2a(2) + b = 3解这个方程组可以得到待定系数的值。
假设方程组的解为a = 2，b = 1，c = -1。
将待定系数的值代入P(x)，我们得到因式的表达式为P(x) =2x^2 + x - 1。
通过解方程组，我们成功地将二次多项式P(x)通过待定系数法分解成了三个一次因式。
这种方法同样适用于更高次的多项式或更复杂的函数，只要设定足够的待定系数，并利用已知条件建立方程组。
待定系数法在解题中的灵活运用
待定系数法在解题中的灵活运用待定系数法英文名称为undetermined coefficients 它是一种求未知数的方法。
一般用法是，设某一多项式的全部或部分系数为未知数，利用两个多项式恒等时同类项系数相等的原理或其他已知条件确定这些系数，从而得到待求的值。
例如，将已知多项式分解因式，可以设某些因式的系数为未知数，利用恒等的条件，求出这些未知数。
求经过某些点的圆锥曲线方程也可以用待定系数法。
从更广泛的意义上说，待定系数法是将某个解析式的一些常数看作未知数，利用已知条件确定这些未知数，使问题得到解决的方法。
求函数的表达式，把一个有理分式分解成几个简单分式的和，求微分方程的级数形式的解等，都可用这种方法。
对于某些数学问题，如果已知所求结果具有某种确定的形式，则可引进一些尚待确定的系数来表示这种结果，通过已知条件建立起给定的算式和结果之间的恒等式，得到以待定系数为元的方程或方程组，解之即得待定的系数。
广泛应用于多项式的因式分解，求函数的解析式和曲线的方程等。
如果我们的学生能掌握这种待定系数法在数学中的灵活应用，对我们解题思维，解题速度，解题方向都很有帮助。
下面就让我们一起体会一下：待定系数法在我们求不等式的取值范围中的灵活应用我们在解不等式时，若给定，求或或等等这些都是比较容易完成的题目，可以直接利用我们数学中的，则有这不等式的基本性质就可以完成，但我们对于稍微复杂一点，不能直接用我们的不等式性质完成的题目，我又该如何解答呢，例如：例：已知且，求的取值范围。
这个题目，我们首先想到的是把不能直接去求解和b的范围求解出，再利用我们的数学中不等式的基本性质完成就可以了。
但是，就这个求和b的范围是非常复杂的过程，花费的时间是不用说的，说不定有点题目到最后我们还求不出来呢。
这时我们就要想想是否有别的方法可以完成，我们不妨试试我们的待定系数法。
我们可以保持和范围的完整性，能不能把分解成与的和或者差的问题呢，如果能我们就可以用不等式的则把这个问题解决了。
代定系数法因式分解
待定系数法因式分解待定系数法因式分解定理是一种用于因式分解多项式的方法，它基于多项式的根与系数之间的关系。
1、解题思路待定系数法是一种用于因式分解多项式的方法，其中我们假设多项式的因式可以表示为待定系数与特定项的乘积。
然后通过解方程组来确定待定系数的值。
2、基本步骤因式分解多项式f(x)=3x^2+7x+2。
按照待定系数法，可以假设f（x）可以因式分解为（ax+b）（cx+d）的形式，其中a、b、c、d是待定系数。
展开括号得到：f(x)=(ax+b)(cx+d)=acx^2+(ad+bc)x+bd我们可以观察到，多项式f(x)=3x^2+7x+2的系数分别是ac、ad+bc和bd。
现在，我们需要通过解方程组来确定待定系数的值。
将多项式的系数与我们假设的形式相比较，得到以下方程组：ac=3ad+bc=7bd=2解这个方程组，我们可以得到a=1，b=2，c=3，d=1。
3、得出结果因此，多项式f（x）可以因式分解为（x+2）（3x+1)。
利用待定系数法因式分解定理进行因式分解的具体实例。
假设我们要因式分解多项式f(x)=x^3-7x^2+16x-12。
按照待定系数法因式分解定理，我们可以假设f（x）可以表示为以下形式的乘积：f(x)=a(x-r1)(x-r2)(x-r3)其中，r1、r2、r3是多项式的根，a是待定系数。
我们需要找到多项式f（x）的根。
通过观察多项式的系数，我们可以猜测其中一个根本可能是1，因此我们可以使用这个猜测来进行试验。
将多项式f（x）使用综合除法除以x-1（当作一个因式），我们得到上式为x^2-6x+10。
现在我们有一个二次多项式，我们可以使用求根公式或其他方法来找到其根。
假设该二次多项式的根是r2和r3。
根据待定系数法因式分解定理，我们可以写出以下方程：(x-1)(x-r2)(x-r3)=a(x^3-7x^2+16x-12)展开右侧的乘积，并与原多项式f（x）进行比较，我们得到以下等式：x^3-(r2+r3)x^2+(r2r3+r3+r2)x-r2r3=ax^3-7ax^2+16ax-12a通过比较系数，我们得到以下方程组：(r2+r3)=-7(r2r3+r3+r2)=16-r2r3=-12a现在我们需要了解这个方程组，求解待定系数a和根r2、r3的值。
因式分解常用的六种方法详解
一、提公因式法这种方法是最简单的，如果看到多项式中有公因子，不管三七二十一，先提取一个公因子再说，因为这样整个问题就被简化了，有点类似我们刚提到的利用因子定理进行因式分解。
例题：因式分解下列多项式：(1)x3y−xy3=xy(x2−y2)=xy(x+y)(x−y) ;(2) 3x3−18x2+27x=3x(x2−6x+9)=3x(x−3)2 ;(3) 3a3+6a2b−3a2c−6abc=3a(a2+2ab−ac−2bc)=3a[a(a−c)+2b(a−c)]=3a(a+2b)(a−c).二、公式法因式分解是把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，是整式乘积的逆运算，所以如果我们熟悉整式乘积的公式，那么解决因式分解也会很快。
常用的公式如下：(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab(a±b)2=a2±2ab+b2(a±b)3=a3±3a2b+3ab2±b3a2−b2=(a−b)(a+b)a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2)(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2caa3+b3+c3−3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2−ab−bc−ca)还有两个常考的n次方展开的公式：an−bn=(a−b)(an−1+an−2b+an−3b2+⋯+abn−2+bn−1)(n∈Z+)an+bn=(a+b)(an−1−an−2b+an−3b2−⋯−abn−2+bn−1)(n is odd)例题：因式分解：(a2+b2−1)2−4a2b2=(a2+b2−1+2ab)(a2+b2−1−2ab)=[(a+b)2−1][(a−b)2−1]=(a+b+1)(a+b−1)(a−b+1)(a−b−1)三、十字相乘法（双十字相乘法）简单的十字相乘其实就是公式(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab的运用，这个大家都很熟悉，还有一句口诀：首尾分解，交叉相乘，求和凑中。
因式分解常用的六种方法详解
因式分解常用的六种方法详解因式分解常用的六种方法详解因式分解是代数式变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学中，并成为解决许多数学问题的有力工具。
因式分解方法灵活，技巧性强，研究这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用。
本文将介绍因式分解的方法、技巧和应用。
1.运用公式法在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：1) $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$；2) $a^2±2ab+b^2=(a±b)^2$；3) $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$；4) $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$。
下面再补充几个常用的公式：5) $a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)^2$；6) $a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$；7) $a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^2+…+ab^{n-2}+b^{n-1})$，其中$n$为正整数；8) $a^n-b^n=(a+b)(a^{n-1}-a^{n-2}b+a^{n-3}b^2-…+ab^{n-2}-b^{n-1})$，其中$n$为偶数；9) $a^n+b^n=(a+b)(a^{n-1}-a^{n-2}b+a^{n-3}b^2-…-ab^{n-2}+b^{n-1})$，其中$n$为奇数。
在运用公式法分解因式时，需要根据多项式的特点，正确恰当地选择公式，考虑字母、系数、指数、符号等因素。
例如，分解因式：1) $-2x^{5n-1}y^n+4x^{3n-1}y^n+2-2x^{n-1}y^n+4$原式=$-2x^{n-1}y^n(x^{4n-2}-2x^{2n}y^2+y^4)$2x^{n-1}y^n[(x^{2n})^2-2x^{2n}y^2+(y^2)^2]$2x^{n-1}y^n(x^{2n}-y^2)^2$2x^{n-1}y^n(x^n-y)^2(x^n+y)^2$。
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第2讲利用待定系数法因式分解、分式的拆分等一、 方法技巧1. 待定系数法运用于因式分解、分式的拆分等问题中，其理论依据是多项式恒等，也就是利用了多项式()()f x g x =的充要条件是：对于一个任意的x=a 值，都有()()f x g x =；或者两个多项式各关于x 的同类项的系数对应相等．2. 使用待定系数法解题的一般步骤是：（1）确定所求问题含待定系数的一般解析式；（2）根据恒等条件，列出一组含待定系数的方程（组）；（3）解方程（组），从而使问题得到解决.例如：“已知()2252x a x bx c -=-⋅++，求a ，b ，c 的值．”解答此题，并不困难．只需将右式与左式的多项式中的对应项的系数加以比较后，就可得到a ，b ，c 的值．这里的a ，b ，c 是有待于确定的系数，这种解决问题的方法就是待定系数法．3. 格式与步骤:(1)确定所求问题含待定系数的解析式.上面例题中，解析式就是：()22a x bx c -⋅++(2)根据恒等条件，列出一组含待定系数的方程.在这一题中，恒等条件是：2105a b c -=⎧⎪=⎨⎪=-⎩(3)解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决.∴105a b c =⎧⎪=⎨⎪=-⎩二、应用举例类型一 利用待定系数法解决因式分解问题【例题1】已知多项式432237x x ax x b -+++能被22x x +-整除.（1）求a ，b（2）分解因式：432237x x ax x b -+++【答案】（1） 12 6a b =-=和 （2）()()4322223127 6 2253x x x x x x x x --++=+---【解析】试题分析：（1）由条件可知22x x +-是该多项式的一个二次因式，而该多项式次数为4，故可设()()4322223722x x ax x b x x x mx n -+++=+-++，可解出m 、n ，最后代入即可求出a 、b 的值.（2）由（1）可得结果试题解析：解：（1）∵多项式432237x x ax x b -+++能被22x x +-整除∴设()()4322223722x x ax x b x x x mx n -+++=+-++，整理，得()()()43243223724222m x x ax x b x x m n x n m x n -+++=+++-+--+ ∴234272m m n a n m b n+=-⎧⎪+-=⎪⎨-=⎪⎪=-⎩ 解得53126m n a b =-⎧⎪=-⎪⎨=-⎪⎪=⎩ ∴a 、b 的值分别为126-和.（2）()()4322223127 6 2253x x x x x x x x --++=+---考点：1.待定系数法因式分解 2.整式乘法 3.解方程组.点评：用待定系数法分解因式，就是先按已知条件把原式假设成若干个因式的连乘积，这些因式中的系数可先用字母表示，它们的值是待定的，由于这些因式的连乘积与原式恒等，然后根据恒等原理，建立待定系数的方程组，最后解方程组即可求出待定系数的值.【难度】一般【例题2】分解因式：22253352x xy y x y +--+- 【答案】222533522132x xy y x y x y x y +--+-=-++-（）（）【解析】试题分析： 方法一 因为2225323x xy y x y x y +-=-+（）（），因此,如果多项式能分解成两个关于x 、y 的一次因式的乘积,那么设原式的分解式是23x y m x y n +（-+）（+）,其中m 、n 为待定系数. 然后展开，利用多项式的恒等，求出m 、n 的值.试题解析：解：∵2225323x xy y x y x y +-=-+（）（），∴设2225335223x xy y x y x y m x y n +--+-=-+++（）（）即 ()()222533522323?x xy y x y x y x y m n x m n y mn +--+-=-++++-+（）（） 对比系数，得：23352m n m n mn +=- -= =- ⎧⎪⎨⎪⎩①②③由①、②解得：12m n =⎧⎨=-⎩ 代入③式也成立. ∴222533522132x xy y x y x y x y +--+-=-++-（）（）试题分析：方法二 前面同思路1，因为()()()()222533522323x xy y x y x y x y m n x m n y mn +--+-=-++++-+是恒等式，所以对任意,x y 的值，等式都成立，所以给,x y 取特殊值，即可求出,m n 的值.试题解析： 解：∵2225323x xy y x y x y +-=-+（）（），∴设2225335223x xy y x y x y m x y n +--+-=+（－＋）（＋）即 ()()222533522323?x xy y x y x y x y m n x m n y mn +--+-=-++++-+（）（） ∵该式是恒等式，∴它对所有使式子有意义的x ，y 都成立，那么令002x y mn ===-，得： ①令01330x y m n mn ==-+-=，得：② 解①、②组成的方程组，得12m n ==-⎧⎨⎩或-323m n ==⎧⎪⎨⎪⎩把它们分别代入恒等式检验，得12m n ==-⎧⎨⎩ ∴222533522132x xy y x y x y x y +--+-=-++-（）（）考点：1.待定系数法分解因式 2.解方程组.点评：本题解法中方程的个数多于未知数的个数，必须把求得的值代入多余的方程逐一检验.若有的解对某个方程或所设的等式不成立，则需将此解舍去；若得方程组无解，则说明原式不能分解成所设形成的因式.【难度】较难类型二 利用待定系数法解决分式拆分问题【例题3】 将分式21(1)(1)x x ++拆分成两个分式的和的形式. 【答案】22111(1)(1)2(1)2(1)x x x x x -+=+++++ 【解析】试题分析： 设221(1)(1)11ax b c x x x x +=+++++，将等式右边通分，再利用分子恒等求出a 、b 、c 的值即可. 试题解析： 解：设221(1)(1)11ax b c x x x x +=+++++ 而222()()11(1)(1)ax b c a c x a b x b c x x x x +++++++=++++ 即2221()()(1)(1)(1)(1)a c x ab x bc x x x x +++++=++++ 比较分子，得001a c a b b c +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩ 解得12a =-， 12b c ==. ∴22111(1)(1)2(1)2(1)x x x x x -+=+++++ 考点：分式的恒等变形点评：拆分有理真分式的时候，分母含二次项，则设分子为Ax B +形式，分母只含一次项，则设分子为常数【难度】较难【例题4】计算：()()()()()()()1111...11223910a a a a a a a a +++++++++++【答案】()1010a a + 【解析】试题分析：本题的10个分式相加，无法通分，而式子的特点是：每个分式的分母都是两个连续整数的积（若a 是整数），所以我们探究其中一个分式，找到相通的规律，从而解题.试题解析：解：我们设()111A B a a a a =+++ 而()()()11(1)1A a Ba A B a A A B a a a a a a +++++==+++ 比较分子得：01A B A +=⎧⎨=⎩，解得：11A B =⎧⎨=-⎩所以()11111a a a a =-++ 所以，原式=11111111 (11223910)a a a a a a a a -+-+-+-+++++++ 1110a a =-+ ()1010a a =+ 考点：分式计算.点评：在做题的时候见到式子的特点是：每个分式的分母都是两个连续整数的积，可直接用公式()11111n n n n =-++拆分. 【难度】较难类型三 利用待定系数法解决多项式中不含某项问题【例题5】 已知()()2332x mx x -+-的积中不含x 的二次项，则m 的值是（ ） A. 0 B.23 C. 23- D. 32- 【答案】C【解析】试题分析：将多项式()()2332x mx x -+-展开、合并，按x 的降幂排列，根据积中不含x 的二次项等价于2x 项的系数为零列方程即可求得m 的值.试题解析：解：∵ ()()2322332 339226x mx x x mx x x mx -+-=-+-+-()()32 332926x m x m x =-+++- ∵积中不含x 的二次项，∴320m +=， 解得23m =-. 故选C .考点：多项式乘以多项式.点评：多项式不含某项则某项的系数为零，根据这一条件列方程或方程组，从而求出待定系数的值.【难度】一般三、 实战演练1.若多项式223529x xy y x y n +-+++能被34x y -+整除，则_______n =.【答案】4-【解析】试题分析：此题可通过因式分解得到：被除式=商×除式（余式为0），其除式为34x y -+即可试题解析：解：设原式()()342x y x y m =-+++()()22352+3484x xy y m x m y m =+-++-+ 比较系数，得：341894m m n m +=⎧⎪-=⎨⎪=⎩①②③由①，②解得1m =-，代入③得4n =-考点：因式分解的应用点评：此题考查知识点是因式分解的应用，运用公式被除式=商×除式（余式为0）是解题关键.【难度】容易2. 分解因式：4321x x x x ++++【答案】4321x x x x ++++=22(1)(1)x x x x +++ 【解析】试题分析：这个多项式各项之间没有公因式也不符合乘法公式，又因为不是二次三项式所以不适用十字相乘法；虽多于三项，但分组之后分解不能继续.因此，我们应采用其他的办法—待定系数法.这是一个四次五项式，首项系数为1，尾项也是1，所以它可以写成两个二次三项式的积，再利用恒等式的性质列方程组求解即可.试题解析：解：设4321x x x x ++++=22(1)(1)x mx x nx ++++而22(1)(1)x mx x nx ++++ 4323221x nx x mx mnx mx x nx =++++++++432()(2)()1x m n x mn x m n x =+++++++∴121m n mn +=⎧⎨+=⎩解得1212m n ⎧+=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩或1212m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴432221(1)(1)x x x x x x x ++++=++ 考点：待定系数法因式分解.点评：本题考查了待定系数法因式分解解高次多项式，恰当设待定系数是关键.【难度】容易3.分解因式：2223914320a ab b a b +-+-+【答案】()222391432023435a ab b a b x b a b +-+-+=-+++（） 【解析】试题分析：属于二次六项式，也可考虑用双十字相乘法，在此我们用待定系数法.先分解()()22239233a ab b a b a b +-=-+，再设原式()()233a b m a b n =-+++，展开后，利用多项式恒等列方程组即可求解.试题解析：方法一解：∵()()22239233a ab b a b a b +-=-+ ∴可设原式()()233a b m a b n =-+++∴原式=()()22239233a ab b m n a m n b mn +-+++-+ 即()()222223914320239233a ab b a b a ab b m n a m n b mn +-+-+=+-+++-+ *比较左右两个多项式的系数，得：21433320m n m n mn +=⎧⎪-=-⎨⎪=⎩解得45m n =⎧⎨=⎩∴()222391432023435a ab b a b x b a b +-+-+=-+++（）方法二对于方法一中的恒等式（*）因为对a 、b 取任何值等式都成立，所以也可用特殊值法，求m 、n 的值.令0020a b mn ===，，得 ①令10214a b m n ==+=，，得 ②令011a b m n ==-=-，，得 ③解②、③组成的方程组，得45m n =⎧⎨=⎩当45m n =⎧⎨=⎩时，①成立 ∴()222391432023435a ab b a b x b a b +-+-+=-+++（）考点：1.待定系数法因式分解 2.整式乘法 3.解方程组.点评：对于复杂的多项式分解因式，关键是列出恒等关系式，然后根据恒等原理，建立待定系数的方程组，最后解方程组即可求出待定系数的值.【难度】较难4. 已知()f x 表示关于x 的一个五次多项式，若()()()()()()210102243360f f f f f f -=-=====，，，求()4f 的值.【答案】1800【解析】试题分析：因为()()()()21010f f f f -=-===，所以这个多项式中必有因式()()()211x x x x ++-、、、，而四个因式的乘积为四次多项式，故原多项式可以分解为以上四项因式的乘积以及还有一项一次因 式的乘积，故式的乘积，故这个多项式可以设为()()()()211x x x x ax b ++-+，利用待定系数法求出a 、b 的值最后代入原多项式，即可求出()4f 的值. 试题解析：解：∵()()()()21010f f f f -=-===，∴设()()()() 21()1f x x x x x ax b =++-+由()()2243360f f ==，，可得方程组432(2)245432(3)360a b a b ⨯⨯+= ⎧⎨⨯⨯⨯+=⎩2133a b a b +=⎧ ⎨+=⎩整理得：解得：2-3a b =⎧⎨=⎩∴()()()()2112()3f x x x x x x =++--∴()6543(83)18040f ⨯⨯⨯⨯-==考点：1.解二元一次方程组 2.多项式变形点评：此题考查了解二元一次方程组以及多项式的变形，弄清题意是解本题的关键.【难度】较难5.m n 、为何值时，多项式422511x x x mx n -+++能被221x x -+整除？【答案】11m =-，4n =【解析】试题分析：由于多项式422511x x x mx n -+++能被221x x -+整除，可设商为2x ax b ++，再利用逆运算，除式×商式=被除式，利用等式的对应相等，可求出,a b .试题解析：解：设原式=()()2221x x x ax b -+++=432322222x ax bx x ax bx x ax b ++---+++=()()()4322212x a x b a x a b x b +-+-++-+ 对比系数，得：2521112a b a m a bn b-=-⎧⎪-+=⎪⎨=-⎪⎪=⎩解得：34114a b m n =-⎧⎪=⎪⎨=-⎪⎪=⎩故11m =-，4n =.考点：整式的除法点评：本题考查的是多项式除以多项式，注意多项式除以多项式往往可转化成多项式乘以多项式.【难度】一般6.若多项式32x ax bx ++能被()5x -和()6x -整除，那么________a b ==.该多项式因式分解为：_______.【答案】【解析】试题分析：因为多项式32x ax bx ++能被()5x -和()6x -整除，则说明()5x -和()6x -都是多项式32x ax bx ++的一个因式，故设()()()3256x ax bx x x x m ++=--+，展开即可求解.试题解析：解：设()()()3256x ax bx x x x m ++=--+()()21130x x x m =-++()32301130x mx m x m =++-+对比系数，得：113011300a m b m m =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩解得:01130m a b =⎧⎪=-⎨⎪=⎩故,11,30a b =-=，多项式因式分解为：()()32113056x x x x x x -+=-- 考点：整式除法与因式分解点评：本题考查的是多项式除以多项式，注意理解整除的含义，比如A 被B 整除，另外一层意思就是B 是A 的因式7. 分解因式：432435x x x x -+++【答案】()()43222435125x x x x x x x x -+++=++-+【解析】试题分析：本题是关于x 的四次多项式可考虑用待定系数法将其分解为两个二次式之积.试题解析：解：设432435x x x x -+++()()2215x ax x bx =++++ ()()()432655x a b x ab x a b x =+++++++由恒等性质有：16453a b ab a b +=-⎧⎪+=⎨⎪+=⎩解得：12a b =⎧⎨=-⎩，代入64ab +=中，成立.∴()()43222435125x x x x x x x x -+++=++-+说明：若设432435x x x x -+++()()2215x ax x bx =+-+-由待定系数法解题知关于a 与b 的方程无解，故()()43222435125x x x x x x x x -+++==++-+考点：因式分解应用点评：根据多项式的特点恰当将多项式设成含待定系数的多项式的积的形式是解题的关键.【难度】较难8. 在关于x 的二次三项式中，当1x =，其值为0；当3x =-时，其值为0；当2x =时，其值为10，求这个二次三项式.【答案】2246x x +-【解析】试题分析：思路 1 先设出关于x 的二次三项式的表达式，然后利用已知条件求出各项的系数。