(分式因式分解)
(因式分解分式)单元测试卷
（因式分解\分式）单元测试卷一、填空题：（每空格2分，共42分）1、 直接写出因式分解的结果：①2332255y x y x -= ②_________________22=+++n n na a a ③_____________________942=-x ④=+-3632a a 2、 若是完全平方式162+-mx x ，那么m=________。
若n x x ++1242是一个完全平方式，则n = 。
3、 如果_________;,2,52222=+=+==+y x xy y x xy y x 则4、 利用因式分解简便计算（必须写出完整计算过程）①____________________________________________75.225.722=－②______________________________________1443824382=+⨯+=5、 多项式.____________96922的公因式是与++-x x x6、 分式22-+x x 等于0,则x . 当x 时,分式354-+x x 有意义. 7、 ab a 21,312的最简公分母是 . 3912+-m m m 与的最简公分母是 . 8、 分式方程331-=-+x k x x 无解，则k=______. 9、分式方程134313=---+x x x 的解是_______. 10、件商品，进价为50元，售价为a 元，利润率为_____________.11、一项工作，甲要5小时才可完成，乙要x 小时完成，若甲乙合作, 3小时可完成_____________12、某班学生到距学校12千米的烈士陵园扫墓,一部分人骑自行车先行,经0.5时后,其余的人乘汽车出发,结果他们同时到达.已知汽车的速度是自行车的3倍,求自行车和汽车的速度.若设自行车的速度为x 千米/时，根据以上条件可列分式方程：_______________________________13、种原料和乙种原料的每千克单价比是2：3，将价值200元的甲种原料有价值100元的乙混合后，单价为9元，求甲的单价。
因式分解与分式
第二部分 代数式与恒等变形部分★五、多项式的因式分解：1、把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做因式分解。
《因式分解和整式乘法是互逆变形.如，22))((n m n m n m -=-+是整式乘法，=-22n m ))((n m n m -+是因式分解》2、因式分解的方法、步骤和要求：（1）若多项式的各项有公因式，则先提公因式.如=+--cm bm am ⋅-m （ ）。
（2）若各项没有公因式或对于提取公因式后剩下的多项式，可以尝试运用公式法. 如229b a -= ，=++-=---)2(22222b ab a n n b abn n a 。
（3）如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用其他方法.*十字相乘法：))(()(2b x a x ab x b a x ++=+++.如)1)(3(322-+=-+x x x x 。
*分组分解法（适用于超过三项的多项式，有分组后再提公因式和分组后再用公式两种情况）.如=++-1222x y x =-++2212y x x 22)1(y x -+=)1)(1(y x y x -+++。
（4）因式分解必须分解到每一个因式不能再分解为止。
《因式分解要在指定的范围内进行.如，在有理数范围内分解)2)(2(4224-+=-x x x ，若在实数范围，还可继续分解至)2)(2)(2(2-++x x x .*在高中时还可进一步分解》【拓展型问题】：1.根据“因式分解和整式乘法是互逆变形”，你能对下列整式乘法的结果进行因式分解吗？①)1)(32(-+x x ；②))((z y x z y x --+-；③()()n m b a ++.2.试整理：能进行因式分解的二项式和三项式一般可用哪些方法？【中考真题】：1.代数式3322328714b a b a b a -+的公因式是（ ）A.327b aB.227b aC.b a 27D.3328b a2.若7,6=-=-mn n m ，则n m mn 22-的值是（ ）A.-13B.13C.42D.-423.分解因式：①31255x x -；②3228y y x -；③()()()x y x y y x -+----4423；④81721624+-x x .⑤122--x x ；⑥2)()(2-+-+y x y x ；⑦20)2)(1(---x x . 4.下列分解因式正确的是（ ） A.1)12(24422+-=+-x x xB.)(2n m m m mn m +=++C.)2)(4(822+-=--a a a aD.22)21(21-=+-x x x 5.若A n m n m mn n m ⋅+=+-+)()()(3，则A 是（ ）A.22n m +B.22n mn m +-C.223n mn m +-D.22n mn m ++6.若16)4(292+-+x m x 是一个完全平方式，则m 的值为 。
分解因式 分式法 2)
n1
2a a
n
n 1
1 ( 4)( x 2)( x 3) 4 平凉市第十中学
◆创新应用:
已知(a+2b)2-2a-4b+1=0,求(a+2b)2011的值.
◆综合拓展:
已知△ABC的三边分别为a,b,c,且a,b,c满足等式 3(a2+b2+c2)=(a+b+c)2,请你说明△ABC是等边三角形.
2
：
2
完全平方式的特点
1、必须是三项式； 2、有两个“项”的平方； 3、有这两“项”积的2倍或-2倍。
2 2 首 2首尾 尾
平凉市第十中学
1x 2 xy y 是 2 2 是 2 A 2 AB B 2 2是 3 甲 2 甲乙 乙 2 2 是 4 2
2 2
判别下列各式是不是完全平方 式
平凉市第十中学
填空：
（1）a2+ 2ab +b2=(a+b)2 b2
（2）a2-2ab+
（3）m2+2m+ （4）n2-2n+
=(a-b) 2
=( m+1 ) 2 =( n-1 ) 2
1
1
（5）x2-x+0.25=( x-0.5 ) 2 （6）4x2+4xy+( y ) 2=( 2x+y ) 2
3.(a+b)2
分解因式：
• （1）m2－8mn+16n2 • （2）m2+8mn+16n2 • （3）a2+2ab+b2 • （4）a2－2ab+b2
平凉市第十中学
现在我们把乘法公式反过来
整式、分式、因式分解
个性化教学辅导教案学科: 数学任课教师：讲课时刻（6）),0(1);0(10为正整数p a a a a a pp ≠=≠=- （7）多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加，单项式除以多项式是不能这么计算的。
二、分式的定义：如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子叫做分式。
1.分式有意义、无意义的条件：分式有意义的条件：分式的分母不等于0； 分式无意义的条件：分式的分母等于0。
2.分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。
（），其中A 、B 、C 是整式注意：（1）“C 是一个不等于0的整式”是分式基本性质的一个制约条件； （2）应用分式的基本性质时，要深刻理解“同”的含义，避免犯只乘分子（或分母）的错误；（3）若分式的分子或分母是多项式，运用分式的基本性质时，要先用括号把分子或分母括上，再乘或除以同一整式C ；（4）分式的基本性质是分式进行约分、通分和符号变化的依据。
3.分式的通分：和分数类似，利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把几个异分母分式化成相同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分。
通分的关键是确定几个式子的最简公分母。
几个分式通分时，通常取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母，这样的分母就叫做最简公分母。
求最简公分母时应注意以下几点：（1）“各分母所有因式的最高次幂”是指凡出现的字母（或含字母的式子）为底数的幂选取指数最大的；（2）如果各分母的系数都是整数时，通常取它们系数的最小公倍数作为最简公分母的系数；（3）如果分母是多项式，一般应先分解因式。
4..分式的运算：分式乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。
分式除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。
分式乘方法则：分式乘方要把分子、分母各自乘方。
5.任何一个不等于零的数的零次幂等于1，即；当n为正整数时，（注意：当幂指数为负整数时，最后的计算结果要把幂指数化为正整数。
因式分解公式大全-因式分开解公式
公式及方法大全待定系数法（因式分解）待走系数法是数学中的一种重要的解题方法，应用很广泛,这里介绍它在因式缠中的应用・在因式分解时” 一些多项式经过分析”可以断走它能分解成某几个因式，但这几个因式中的某些系数尚未确定,这时可以用一些字母来表示待走的系数.由于该多项式等于这几个因式的乘积,根据多项式恒等的性质,两边对应项系数应该相等，或取多项式中原有字母的几个特殊值,列出关于待定系数的方程（或方程组）,解出待走字母系数的值,这种因式分解的方法叫作待走系数法・常用的因式缠公式:@ 士疔=a2±2ab+i2（。
士b）%±3舄+ 3必2 土护宀宀@一％+3）/士护=（a±b）（a2干必+胪）—护=⑺-耐(严+护門+汁留卄十护一2 *护)(乃为正整数)/ - &1血》心於-…+必心-旷1)(耳为偶数)a尢4•护=0 +血)(严_ d f 4•卅昭--------- 必心十b#】)@为奇数)(&+D+ E)2=a1 +3? 4-e2 + 2ab + 2be + 2caa^ -ib2 +c3-3abc = (a +b +c)((a2 4-^2 4-c?2一ab-bc-ca)例1 分解因式:x2+3xy+2y2+4x+5y+3 .分析由于(x2+3xy+2y2)=(x+2y) (x+y),若原式可以分解因式,那么它的两个一次项一走是x+2y+m和x+y+n的形式应用待定系数法即可求出m和n,使问题得到解决.解设x2+3xy+2y2+4x+5y+3=(x+2y+m)(x+y+n)=x2+3xy+2y2+(m + n)x+(m+2 n)y+m n ,比较两边对应项的系数,则有解之得m = 3 z n = l •所以原式=(x+2y+3)(x+y+l).说明本题也可用双十字相乘法,请同学们自己解一下・例2 分解因式：x4-2x3-27x2-44x+7 ・分析本题所给的是一元整系数多项式,根据前面讲过的求根法，若原式有有理根，则只可能是±1 , ±7(7的约数)” 经检验,它们都不是原式的根,所以”在有理数集内”原式没有一次因式■如果原式能分解,只能分解为(x2+ax+b)(x2+cx+d)的开彳式・原式=(x2+ax+b)(x2+cx+d)=x4+(a+c)x3+(b+d+ac)x2+(ad + bc)x+bd , 所以有由bd=7,先考虑b=「d=7有所以说明由于因式分解的唯一性，所以对b=-l z d二・7等可以不加以考虑•本题如果b=l,d=7代入方程组后，无法确走a , c的值，就必原式=(X2・7X+1)(X2+5X+7)・须将bd=7的其他解代入方程组，直到求出待定系数为止・本题没有一次因式,因而无法运用求根法分解因式•但利用待定系数法，使我们找到了二次因式•由此可见，待走系数法在因式分解中也有用武之地・求根法(因式分解)我们把开彳如anxn+an-lxn-l+...+alx+aO(n为非负整数)的代数式称为关于x的一元多项式，并用f(x) , g(x),... 等记号表示，如f(x)=x2-3x+2 z g(x)=x5+x2+6 z..., 当x二a时，多项式f(x)的值用f⑻表示・如对上面的多项式f(x) f(l) = 12-3x我们把开彳如a n x n+a n-ix n-1+...+aix+ao(n为非负整数)的代数式称为关于x的一元多项式，并用f(x) , g(x) z…等记号表示,如f(x)=x2-3x+2 , g(x)=x5+x2+6 ,...,例2分解因式:x3-4x2+6x-4・当x=a 时,多项式f(x)的值用f(a)表示・如对上面的多 项式f(x) f(l) = l 2-3xl+2=0 ;f(-2)=(-2)2-3x(-2)+2=12 ・若f(a)=O ,则称a 为多项式f(x)的一个根.定理1(因式定理)若a 是一元多项式f(x)的根，即 f(a)=O 成立，则多项式f(x)有一个因式x ・a ・根据因式走理,找出一元多项式f(x)的一次因式的关键 是求多项式f(x)的根・对于任意多项式f(x),要求出它的根是没有一般方法的,然而当多项式f(x)的系数都是整数时, 根.定理2的根，则必有p 是ao 的约数,q 是an 的约数・特别地, 当ao=l 时，整系数多项式f(x)的整数根均为a n 的约数・我们根据上述走理,用求多项式的根来确走多项式的_ 次因式，从而对多项式进行因式分解・分析这是一个整系数一元多项式,原式若有整数根, 必是・4的约数，逐个检验・4的约数:±1, ±2, ±4,只有即整系数多项式时，经常用下f(2)=23-4x22+6x2-4=0 ,即x=2是原式的一个根,所以根据走理1.原式必有因式x・2・解法1用分组分解法,使每组都有因式(x・2)・原式=(x3-2x2)-(2x2-4x)+(2x・4)=x2(x-2)-2x(x-2)+2(x-2)=(x-2)(x2-2x+2)・解法2用多项式除法,将原式除以(x・2),所以原式=(x-2)(x2・2x+2)・说明在上述解法中,特别要注意的是多项式的有理根一定是・4的反之不成立,即・4的约数不一走是多项式的根・因此，必须对约数z・4的约数逐个代入多项式进行验证・例3 分解因式:9x4-3x3+7x2-3x-2 .分析因为9的约数有±1 , ±3 , ±9 ;・2的约数有±1 ,所以，原式有因式9X2・3X・2・解9x4-3x3+7x2-3x-2=9x4-3x3-2x2+9x2-3x-2=x2(9x3-3x-2)+9x2-3x-2=(9x2-3x-2)(x2+l)=(3x+l)(3x-2)(x2+l)说明若整系数多项式有倉数根，可将所得出的含有分数的因式化为整系数因式，如上题中的因式可以化为9x2・3x・2 ,这样可以简化分解过程.总之,对一元高次多项式f(x),如果能找到一个一次因式(x-a),那么f(x)就可以分解为(x-a)g(x)，而g(x)是比f(x) 低一次的一元多项式,这样,我们就可以继续对g(x)进行分解了・双十字相乘法(因式分解)分解二次三项式时,我们常用十字相乘法.对于某些二元二次六项式(ax2 + bxy+cy2+dx+ey+f),我们也可以用十字相乘法分解因式•例如，分解因式2x2-7xy-22y2-5x+35y-3・我们将上式按x降幕排列，并把y当作常数,于是上式可变形为2x2-(5+7y)x-(22y2-35y+3), 可分解二次三项式时,我们常用十字相乘法.对于某些二元二次六项式(ax2+bxy+cy2+dx+ey+f),我们也可以用十字相乘法分解因式・例如，分解因式2x2-7xy-22y2-5x+35y-3 •我们将上式按x 降幕排列，并把y当作常数,于是上式可变形为2x2-(5+7y)x-(22y2-35y+3),可以看作是关于x的二次三项式・对于常数项而言,它是关于y的二次三项式,也可以用十字相乘法,分解为即-22y2+35y-3=(2y-3)(-lly+l).再利用十字相乘法对关于X的二次三项式分解所以原式二[x+(2y・3)] [2x+(-lly+l)] =(x+2y-3)(2x-lly+l).上述因式分解的过程，实施了两次十字相乘法・如果把这两个步骤中的十字相乘图合并在一起,可得到下图：它表不的是下面三个关系式：(x+2y)(2x-lly)=2x2-7xy-22y2 ;(x-3)(2x+l)=2x2-5x-3 ;(2y-3)(-lly+l)=-22y2+35y-3 .这就是所谓的双十字相乘法・用双十字相乘法对多项式ax2+bxy+cy2+dx+ey+f进行因式分解的步骤是：⑴用十字相乘法分解ax2+bxy+cy2 z得到一个十字相乘图(有两列)；(2)把常数项f分解成两个因式填在第三列上妾求第二、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的ey ,第一、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的dx・例1分解因式：(1) x2-3xy-10y2+x+9y-2 ;(2) x2-y2+5x+3y+4 ;(3) xy+y2+x-y-2 ;⑷6x2-7xy-3y2-xz+7yz-2z2・解(1)原式=(x-5y+2)(x+2y-l)・(2)原式=(x+y+l)(x・y+4)・G)原式中缺x2项,可把这一项的系数看成0来分解・原式=(y+l)(x+y-2)・(4)原式=(2x・3y+z)(3x+y・2z)・说明（4）中有三个字母，解法仍与前面的类似・笔算开平方对于一个数的开方,可以不用计算机,也不用查表,直接笔算出来,下面通过一个例子来说明如何笔算开平方,对于其它数只需模仿即可例求316.4841的平方根.第一步，先将被开方的数，从小数点位置向左右每隔两位用逗号，分段，如把数316.4841分段成3Z16.48Z41.第二步,找出第一段数字的初商”使初商的平方不超过第一段数字,而初商加1的平方则大于第一段数字,本例中第一段数字为3 ,初商为1 ,因为12 = 1<3 , jfo（l+l）2=4>3.第三步，用第一段数字减去初商的平方，并移下第二段数字, 组成第一余数,在本例中第一余数为216.第四步,找出试商”使（20x初商+试商）x试商不超过第一余数，而【20x初商+（试商+1）】x（试商+1）则大于第—余数. 第五步，把第一余数减去（20x初商+试商）x试商，并移下第三段数字组成第二余数本例中试商为7第二余数为2748. 依此法继续做下去，直到移完所有的段数，若最后余数为零, 则开方运算告结束•若余数永远不为零,则只能取某一精度的近似值.第六步，定小数点位置,平方根小数点位置应与被开方数的小数点位置对齐•本例的算式如下：17.79^3,16 .48,411 ...................... -I220 X 1=20 2 16 ................. •第一余毅十7271 89 ................. (27X7)20x17 =340 27 48 .................. ■-第二余+7347 24 29 .............. (347X7)20X177 = 3540 3 19 41 …-第三余数十93549 3 19 41 3549X9【方根与根式】数a的n次方根是指求一个数，它的n次方恰好等于a.a的n次方根记为需（n为大于1的自然数）•作为代数式，籀称为根式・n称为根指数，a称为根底数•在实数范围内，负数不能开偶次方，一个正数开偶次方有两个方根, 其绝对值相同”符号相反. 【算术根】正数的正方根称为算术根•零的算术根规定为零.【基本性质】由方根的走义，有换式运算【乘积的方根】乘积的方根等于各因子同次方根的乘积; 反过来,同次方根的乘积等于乘积的同次方根”即lfab = ^fa>^/b(ci >Q z b>0)根式的彳【分式的方根】分式的方根等于分子、分母同次方根相除, 即恥临 >0,b>0)【根式的乘方】阳仁归牡0)【根式化简］祈=你(心0)(a > 0)、虑 + 4- 4-4- + y/b) _ ^Jb (气心_+ ^fb) a _b\/c 4- ^fd G 亦 + — J^) (dF 4- — \厉)气広 + y/h (气心 + ^b )(、後 _ ^/b) ct — b【同类根式及其加减运算】根指数和根底数都相同的根式 称为同类根式,只有同类根式才可用加减运算加以合并.亶进位制的基与数字任一醴可表为通常意义下的有限小数或无限小数，各数字 的值与数字所在的位置有关’任何位置的数字当小数点向右 移一位时其值扩大10倍,当小数点向左移一位时其值缩小 10倍•例如173.246 = 1X 102 +7X 10+3 + 2X 10-1+4X 10-2 +6X 10-3T 殳地，任一正数a 可表为a = a%i ・・・aA>d ・・・=a n xlO a +。
分式因式分解的方法与技巧
分式因式分解的方法与技巧分式因式分解是高中数学中的一个重要概念，它是将一个分式表达式表示为两个或多个因式的乘积的形式。
分式因式分解的方法和技巧是解决这类问题的关键，下面将介绍一些常见的方法和技巧。
一、分式因式分解的基本概念分式因式分解是指将一个分式表达式表示为多个因式的乘积的形式。
在进行分式因式分解时，需要找出分子、分母的公因式，并将其约掉，从而得到分式的最简形式。
二、分式因式分解的方法1. 提取公因式法当分式的分子、分母中存在公因式时，可以提取公因式并约掉，从而实现分式的因式分解。
例如，对于分式表达式(2x+4)/(x+2)，我们可以提取公因式2，并得到2(x+2)/(x+2)，然后约掉(x+2)，得到最简形式2。
2. 分子分解法当分式的分子可以进行因式分解时，可以将分子进行因式分解，并与分母约掉相同的因式，从而得到分式的最简形式。
例如，对于分式表达式(x^2+3x+2)/(x+2)，我们可以将分子进行因式分解，得到(x+1)(x+2)/(x+2)，然后约掉(x+2)，得到最简形式(x+1)。
3. 分母分解法当分式的分母可以进行因式分解时，可以将分母进行因式分解，并与分子约掉相同的因式，从而得到分式的最简形式。
例如，对于分式表达式1/(x^2-x)，我们可以将分母进行因式分解，得到1/x(x-1)，然后约掉(x-1)，得到最简形式1/(x(x-1))。
4. 完全平方式当分式中存在二次因式时，可以使用完全平方式进行因式分解。
例如，对于分式表达式(x^2-4)/(x^2-2x)，我们可以使用完全平方式，将分子分解为(x+2)(x-2)，将分母分解为x(x-2)，然后约掉(x-2)，得到最简形式(x+2)/x。
三、分式因式分解的技巧1. 观察分子、分母的特征：分式中的分子和分母通常都具有一定的特征，例如是否存在公因式、是否可以因式分解等，观察这些特征可以帮助我们选择合适的分式因式分解方法。
2. 利用代数运算性质：在进行分式因式分解时，可以利用代数运算性质简化计算过程。
八年级因式分解分式与分式方程
因式分解、分式复习一、知识梳理知识点一 因式分解1．分解因式：把一个多项式化成 的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式．2．分解困式的方法：⑴提公团式法：如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．⑵运用公式法：平方差公式: ； 完全平方公式: ；3．分解因式的步骤：（1）分解因式时，首先考虑是否有公因式，如果有公因式，一定先提取公团式，然后再考虑是否能用公式法分解．（2）在用公式时，若是两项，可考虑用平方差公式；若是三项，可考虑用完全平方公式；若是三项以上，可先进行适当的分组，然后分解因式。
4．分解因式时常见的思维误区：提公因式时，其公因式应找字母指数最低的，而不是以首项为准．若有一项被全部提出，括号内的项“ 1”易漏掉．分解不彻底，如保留中括号形式，还能继续分解等【课前练习】1.下列各组多项式中没有公因式的是（ ）A ．3x －2与 6x 2－4x B.3（a －b ）2与11（b －a ）3C ．mx —my 与 ny —nxD ．ab —ac 与 ab —bc 2. 下列各题中，分解因式错误的是（ ） 3. 列多项式能用平方差公式分解因式的是（）22222222.949 .949.949 .(949)A x y B x y C x y D x y ---+-+4. 分解因式：x 2+2xy+y 2－4 =_____5. 分解因式：（1）()229=n ；()222=a（2）22x y -= ；（3）22259x y -= ； （4）22()4()a b a b +--；（5）以上三题用了 公式222222.1(1)(1) ;.14(12)(12).8164(98)(98);.(2)(2)(2)A x x x B y y y C x y x y x y D y x y x y x -=+--=+--=+---=-+-【经典考题剖析】 例 1. 分解因式：（1）33x y xy -；（2）3231827x x x -+；（3）()211x x ---；（4）()()2342x y y x ---分析：①因式分解时，无论有几项，首先考虑提取公因式。
分式 因式分解
分式与因式分解在数学领域中，分式和因式分解是两个基础但极其重要的概念。
它们不仅在代数中占据核心地位，而且对于解决各种数学问题具有关键作用。
本文将详细探讨分式的定义、性质以及因式分解的方法和应用。
一、分式的概述分式，顾名思义，是指一个数学表达式被另一个数学表达式除所得的商。
具体来说，分式由分子和分母两部分组成，形如$\frac{a}{b}$，其中$a$是分子，$b$是分母。
需要注意的是，分母不能为0，否则分式无意义。
分式具有多种性质，如基本性质、运算性质等。
基本性质包括分式的值不变性，即分式的分子和分母同时乘以或除以同一个非零数，分式的值不变。
运算性质则涉及分式的加减乘除运算，这些运算都需遵循一定的法则和步骤。
二、因式分解的概念与方法因式分解是将一个多项式表示为几个整式的乘积的形式。
这种方法在解决代数方程、不等式以及函数问题等方面具有广泛应用。
因式分解的核心在于找到多项式中的公因式或利用公式进行分解。
常见的因式分解方法包括提取公因式法、公式法（如平方差公式、完全平方公式等）以及分组分解法等。
这些方法各有特点，适用于不同类型的多项式。
在实际应用中，我们需要根据具体情况选择合适的因式分解方法。
三、分式与因式分解的联系分式和因式分解在代数中紧密相连。
一方面，因式分解可以简化分式，使其更易于计算和理解。
例如，通过因式分解，我们可以将复杂的分式化简为几个简单分式的和或差，从而便于进行后续的运算和分析。
另一方面，分式运算中也经常需要用到因式分解的技巧。
例如，在求解分式方程时，我们通常需要对方程两边进行因式分解，以便消除分母或降低方程的次数。
此外，在分式的加减运算中，通过因式分解可以找到通分母，从而简化运算过程。
四、分式与因式分解的应用分式和因式分解在数学领域具有广泛的应用。
在代数中，它们是解决方程、不等式和函数问题的重要工具。
在几何中，分式和因式分解也被用来描述和解决与形状、面积和体积相关的问题。
此外，在实际生活中，分式和因式分解也发挥着重要作用。
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1、下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是( )
A 、()()2339a a a +-=-
B 、()()22a b a b a b -=+-
C 、()24545a a a a --=--
D 、23232m m m m m ⎛
⎫--=-- ⎪⎝
⎭
2、下面各分式：
44
16121222
222+-+---++-x x x x x y x y x x x x ，，，，其中最简分式有（ ）个。
A. 4
B. 3
C. 2
D. 1
3、 如果m 为整数，那么使分式
1
3
++m m 的值为整数的m 的值有（ ） （A ）2个 （B ）3个 （C ）4个 （D ）5个 4、已知正方形的面积是()22168x x cm -+(x >4cm)，则正方形的边长是( ) A 、()4x cm - B 、()4x cm - C 、()164x cm - D 、()416x cm - 5、下面各式，正确的是（ ）
A. 32
6
x x x =
B. b a c b c a =++
C.
1=++b a b
a
D. 0=--b a b
a
6、已知1=ab ，则⎪
⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-b b a a 11的值为（ ） A. 2
2a
B. 2
2b
C. 2
2a b -
D. 2
2b a -
7、下列各式的分解因式：①()()2210025105105p q q q -=+-
②()()22422m n m n m n --=-+-③()()2632x x x -=+-④2
21142x x x ⎛
⎫--+=-- ⎪⎝⎭其中正
确的个数有( )
A 、0
B 、1
C 、2
D 、3
8、下列各式中，能用完全平方公式分解因式的是( )
A 、()()4x y y x xy +--
B 、2224a ab b -+
C 、2144
m m -+
D 、()2
221a b a b ---+ 9、若多项式()281n
x -能分解成()()()2
49
2323x x x ++-，那么n=( )
A 、2
B 、4
C 、6
D 、8
10、如图①，在边长为a 的正方形中挖掉一个
边长为b 的小正方形(a >b )，把余下的部分
剪拼成一个矩形(如图②)，通过计算两个图 形(阴影部分)的面积，验证了一个等式，则 这个等式是( )
A 、()()2222a b a b a ab b +-=+-
B 、()2
222a b a ab b +=++ C 、()2
222a b a ab b -=-+ D 、()()22a b a b a b -=+-
11、对于分式39
2+-x x ，当x__________时，分式无意义；当x_________时，分式的值为0；
12、若
5
9
22=-+b a b a ，则a ：b =__________； 13、已知13a a -= ，那么221
a a
+=_________ ；
14、若分式732
-x x 的值为负数，则x 的取值范围为_______________；
15、221.229 1.334⨯-⨯=__________；
16、若26x x k -+是x 的完全平方式，则k =__________。
17、若()()2310x x x a x b --=++，则a =________，b =________。
18、若5,6x y xy -==则22x y xy -=_________，2222x y +=__________。
19、若()2
22,8x y z x y z ++=-+=时，x y z --=__________。
①
②
20、已知2221440x y x xy y --+++=，则x y +=___________。
21、（1）x x x -+-++11
11112 （2）
x x x x x x x 4126)3(446222
--+⋅+÷+--
22、、把下列各式分解因式：
(1) 3222a a b ab -+ (2) 322159a ab ac -+-
(3) ()()2
2141m m m --- (4) ()2
22416x x +-
（5）22216)4(x x -+ （6）
()
132)3(2
22+-+-x x
23、(1) 3199199-能被198整除吗？能被200整除吗？说明你的理由。
(2)说明：当n 为正整数时，3n n -的值必为6的倍数。
(14分)
24、甲、乙两个同学分解因式2x ax b ++时，甲看错了b ，分解结果为()()24x x ++；乙看错了a ，分解结果为()()19x x ++，求a 和b 的值
25、已知1x +1y =3，求2232x xy y x xy y
++-+的值．
26、先化简:⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛++÷--a b ab a a ab b a 2
2222,当1-=b 时，再从22<<-a 的范围内选取一个合适的整数代入求值。
27、（1）()()()()()()()
()()201620151
....43132121111++++++++++++++n n n n n n n n n n
（2）)2
1
1.().........
211)(211)(211)(211(2015432+++++。