因式分解+分式

第四讲 因式分解+分式

一、因式分解 （一）方法： 1．提公因式法：

（1）多项式 mc mb ma ++中每一项都含有一个相同的因式m ，称之为公因式。 （2）方法 ：)(c b a m mc mb ma ++=++

（3）公因式可能是单项式（如（1）），也可能是多项式，如：)2)(21()2)(13(b a b b a a +--+- （4）公因式系数应取各项系数的最大公约数，字母取各项相同字母，指数取字母的最低次数； （5）如果第一项系数为负，一般先提出“-”号，使括号内第一项的系数为正，同时多项式的各

项都要变号。如：)53(5322+--=-+-y x xy xy xy y x

2．公式法：

（1）两个非常重要的公式： 平方差公式：))((22b a b a b a -+=-

完全平方公式：222)(2b a b ab a ±=+±

（2）有的公式需要先提公因式后才能体现。如：a ab ab ++442 （3）有的公式需要从整体上观察。如：22)32()32(y x y x --+ 3．分组分解法：当多项式的项数超过3项可考虑用此方法

（1）分组后能直接提公因式： 如：))(()()(b a n m n m b n m a bn bm an am ++=+++=+++ （2）分组后能直接运用公式： 如：2222z xz y x ++-

4．运用式子：ab x b a x b x a x +++=++)())((2进行分解。如：562+-x x 5、十字相乘法：如：322-+x x

例1、把x y xy x 442

-+-分解因式，下列的分组方法不正确的是 （ ）

（A ） ()

()x y xy x 442-+- （B ） ()()xy y x x -+-442 （C ） (

)

()x xy y x 442+-+ （D ） (

)

()y xy x x 442---

例2、因式分解：（1）()()()y x x y x y x x +--+ （2）()()87----b a b a

例3、已知 3223,0b abc c b c a a c b a +-++=++求的值。

例4、因式分解：

（1）101332--x x （2）311102+-x x

例5、已知3,5==+ab b a ，求.____________ __,__________1

122=+=+b a b

a （二）练习

1、下列因式分解，正确的是 （ ）

（A ）()()n m n m n m -+=--22 (B) ()2

22242y x y xy x +=++

(C) ()()y x y x y xy x 33222-+=-- (D) ()()

2233b ab a b a b a +++=+ 2、因式分解：32)()(2x y y x y ---为（ ）

（A ） ()()2

y x y x -+ （B ） ()()2

3y x x y --

（C ） ()()2

3x y y x -- （D ） ()3

x y -

3、623961b a ab +-因式分解为（ ）

（A ） )31)(31(ab ab +- （B ） 23)13(-ab

（C ） 22)31(ab - （D ） )31)(31(33ab ab +- 4、分解因式2228242c b ab a -++为（ ）

(A) )2(2c b a -+ (B) ))((2c b a c b a -+++ (C) )42)(42(c b a c b a -+++ (D) )2)(2(2c b a c b a -+++ 5、若a 为有理数，则整式1)1(222+++a a a 的值（ ）

(A) 不是负数 (B) 负数 (C) 非负数 (D) 正数、负数、0都有可能 6、不论b a ,为任何实数，3510622++-+b a b a 的值总是（ ）

(A) 正数 (B) 恒为正数 (C) 恒为负数 (D) 不等于0

7、计算：（1）__________________)2(2)2(1=-+--n n （2）___________________________)10

1

1()311)(211(222=---

二、分式

（一）分式的相关知识

1、 分式有意义、无意义或等于0的条件

分式有意义的条件：分母不等于0 分式无意义的条件：分母等于0

分式值为0的条件：分子等于0且分母不等于0 例1、x 取什么值时，分式3

+x x

有意义？

例2、x 取什么值时，分式7

21

5--x x 无意义？

例3、x 取什么值时，分式5

33

2-+x x 的值为零？

2、 分式的基本性质

分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变。 例4、如果把分式

y

x x

+中的x 和y 都扩大3倍，那么分式的值（ ） （A ）扩大3倍 （B ）不变 （C ）缩小3倍 （D ）缩小6倍

3、 分式的约分：分式的分子与分母中的公因式约去。

① 分时，注意分式的分子、分母都是乘积的形式。

② 如果分式的分子、分母都是单项式，则系数约去最大公约数，各字母约去公共字母，其指

数为最小指数；

③ 如分子、分母有多项式，则将其分解因式，再约去公共部分。

例5、将下列各式约分：

（1）2

326012xy y x - （2）201623

-+-x x x x

4、 最简分式

约分后，分子与分母不再有公因式，这样的分式称为最简分式。约分的结果应是最简分式。 分式各种运算的结果也一定要化为最简分式或整式。 例6、下列分式中是最简分式的是：

2

2

22)(,,,933,6y xy y x n m n m b a b a x a x ++-+-+-

5、 分式的通分

利用分式的基本性质把几个异分母分式分别化成与原来分式值相等的同分母分式。

通分的关键是确定最简公分母（系数娶大公约数，字母取所有，其指数取字母的最大指数；）

例7、把各分式通分： （1）22221,65,43ac c b b a - （2）x x x x x x 483

,2

,2222

---++

（二）分式的运算

1、分式的乘除法（归根到底是乘法运算，实质是分式的约分）

（1）分式乘以分式：用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母； （2）分式除以分式：把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。 （3）分式的运算结果一定要化为最简分式或整式。

例8、计算：

（1）b a x x b a 422489154• （2）4

42444222+-•++-a a a

a a a 分式的约分，要求把分子与分母

的公因式约去，首先要找出分子与分母的公因式。

分式相乘，用分子的积作为分子，用分母的积作为分母，最后结果为最简分式或整式。