因式分解+分式
整式的因式分解和分式的简化
整式的因式分解和分式的简化在初中数学学习中，我们经常会遇到整式的因式分解和分式的简化的问题。
本文将介绍整式的因式分解和分式的简化的基本概念和方法。
一、整式的因式分解首先，我们来了解什么是整式。
整式是由常数、变量及其系数以及加、减、乘运算符号构成的算式。
例如，2x² + 3x - 6就是一个整式。
整式的因式分解是将一个整式写成若干个因子相乘的形式。
这样做的好处是使得整式更简洁、易于计算和理解。
下面，我们来看一个例子。
假设我们有一个整式：12x² + 8xy。
我们可以通过观察和分解公因式的方法进行因式分解。
首先，我们可以找到这个整式的公因式，即4x。
通过提取公因式，我们可以得到：4x(3x + 2y)。
这样，我们就将整式成功地因式分解了。
需要注意的是，有些整式可能无法进行因式分解，这时我们就需要通过其他方法进行处理。
二、分式的简化接下来，我们来了解分式的简化。
分式是由分子和分母组成的，其中分子和分母都是整式。
分式的简化是将一个分式约去它的最简形式，即分子和分母没有公因式。
这样做的好处是使得分式更易于计算和理解。
比如，我们有一个分式：(4x² + 2x) / (2x)。
我们可以通过分子和分母的公因式进行约分。
可以发现，分子和分母都可以被2x整除。
因此，我们可以约去2x，得到简化后的分式：2x + 1。
同样地，有些分式可能无法进行简化，这时我们就需要对分子和分母进行其他的处理。
三、整式的因式分解和分式的简化的联系整式的因式分解和分式的简化在一定程度上是密切相关的。
在进行因式分解时，我们常常需要对整式进行简化，以便于提取公因式。
而在进行分式的简化时，有时也需要将分式转化为整式，然后对整式进行因式分解，再转化为分式的最简形式。
总结起来，整式的因式分解和分式的简化都是数学中的基本操作，可以帮助我们更好地理解和计算问题。
在实际应用中，我们经常需要利用这些技巧来简化复杂的式子，使问题更易于解决。
因式分解与分式
第二部分 代数式与恒等变形部分★五、多项式的因式分解：1、把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做因式分解。
《因式分解和整式乘法是互逆变形.如，22))((n m n m n m -=-+是整式乘法，=-22n m ))((n m n m -+是因式分解》2、因式分解的方法、步骤和要求：（1）若多项式的各项有公因式，则先提公因式.如=+--cm bm am ⋅-m （ ）。
（2）若各项没有公因式或对于提取公因式后剩下的多项式，可以尝试运用公式法. 如229b a -= ，=++-=---)2(22222b ab a n n b abn n a 。
（3）如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用其他方法.*十字相乘法：))(()(2b x a x ab x b a x ++=+++.如)1)(3(322-+=-+x x x x 。
*分组分解法（适用于超过三项的多项式，有分组后再提公因式和分组后再用公式两种情况）.如=++-1222x y x =-++2212y x x 22)1(y x -+=)1)(1(y x y x -+++。
（4）因式分解必须分解到每一个因式不能再分解为止。
《因式分解要在指定的范围内进行.如，在有理数范围内分解)2)(2(4224-+=-x x x ，若在实数范围，还可继续分解至)2)(2)(2(2-++x x x .*在高中时还可进一步分解》【拓展型问题】：1.根据“因式分解和整式乘法是互逆变形”，你能对下列整式乘法的结果进行因式分解吗？①)1)(32(-+x x ；②))((z y x z y x --+-；③()()n m b a ++.2.试整理：能进行因式分解的二项式和三项式一般可用哪些方法？【中考真题】：1.代数式3322328714b a b a b a -+的公因式是（ ）A.327b aB.227b aC.b a 27D.3328b a2.若7,6=-=-mn n m ，则n m mn 22-的值是（ ）A.-13B.13C.42D.-423.分解因式：①31255x x -；②3228y y x -；③()()()x y x y y x -+----4423；④81721624+-x x .⑤122--x x ；⑥2)()(2-+-+y x y x ；⑦20)2)(1(---x x . 4.下列分解因式正确的是（ ） A.1)12(24422+-=+-x x xB.)(2n m m m mn m +=++C.)2)(4(822+-=--a a a aD.22)21(21-=+-x x x 5.若A n m n m mn n m ⋅+=+-+)()()(3，则A 是（ ）A.22n m +B.22n mn m +-C.223n mn m +-D.22n mn m ++6.若16)4(292+-+x m x 是一个完全平方式，则m 的值为 。
分式因式分解的方法与技巧
分式因式分解的方法与技巧分式因式分解是高中数学中的一个重要概念，它是将一个分式表达式表示为两个或多个因式的乘积的形式。
分式因式分解的方法和技巧是解决这类问题的关键，下面将介绍一些常见的方法和技巧。
一、分式因式分解的基本概念分式因式分解是指将一个分式表达式表示为多个因式的乘积的形式。
在进行分式因式分解时，需要找出分子、分母的公因式，并将其约掉，从而得到分式的最简形式。
二、分式因式分解的方法1. 提取公因式法当分式的分子、分母中存在公因式时，可以提取公因式并约掉，从而实现分式的因式分解。
例如，对于分式表达式(2x+4)/(x+2)，我们可以提取公因式2，并得到2(x+2)/(x+2)，然后约掉(x+2)，得到最简形式2。
2. 分子分解法当分式的分子可以进行因式分解时，可以将分子进行因式分解，并与分母约掉相同的因式，从而得到分式的最简形式。
例如，对于分式表达式(x^2+3x+2)/(x+2)，我们可以将分子进行因式分解，得到(x+1)(x+2)/(x+2)，然后约掉(x+2)，得到最简形式(x+1)。
3. 分母分解法当分式的分母可以进行因式分解时，可以将分母进行因式分解，并与分子约掉相同的因式，从而得到分式的最简形式。
例如，对于分式表达式1/(x^2-x)，我们可以将分母进行因式分解，得到1/x(x-1)，然后约掉(x-1)，得到最简形式1/(x(x-1))。
4. 完全平方式当分式中存在二次因式时，可以使用完全平方式进行因式分解。
例如，对于分式表达式(x^2-4)/(x^2-2x)，我们可以使用完全平方式，将分子分解为(x+2)(x-2)，将分母分解为x(x-2)，然后约掉(x-2)，得到最简形式(x+2)/x。
三、分式因式分解的技巧1. 观察分子、分母的特征：分式中的分子和分母通常都具有一定的特征，例如是否存在公因式、是否可以因式分解等，观察这些特征可以帮助我们选择合适的分式因式分解方法。
2. 利用代数运算性质：在进行分式因式分解时，可以利用代数运算性质简化计算过程。
八年级因式分解分式与分式方程
因式分解、分式复习一、知识梳理知识点一 因式分解1．分解因式：把一个多项式化成 的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式．2．分解困式的方法：⑴提公团式法：如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．⑵运用公式法：平方差公式: ； 完全平方公式: ；3．分解因式的步骤：（1）分解因式时，首先考虑是否有公因式，如果有公因式，一定先提取公团式，然后再考虑是否能用公式法分解．（2）在用公式时，若是两项，可考虑用平方差公式；若是三项，可考虑用完全平方公式；若是三项以上，可先进行适当的分组，然后分解因式。
4．分解因式时常见的思维误区：提公因式时，其公因式应找字母指数最低的，而不是以首项为准．若有一项被全部提出，括号内的项“ 1”易漏掉．分解不彻底，如保留中括号形式，还能继续分解等【课前练习】1.下列各组多项式中没有公因式的是（ ）A ．3x －2与 6x 2－4x B.3（a －b ）2与11（b －a ）3C ．mx —my 与 ny —nxD ．ab —ac 与 ab —bc 2. 下列各题中，分解因式错误的是（ ） 3. 列多项式能用平方差公式分解因式的是（）22222222.949 .949.949 .(949)A x y B x y C x y D x y ---+-+4. 分解因式：x 2+2xy+y 2－4 =_____5. 分解因式：（1）()229=n ；()222=a（2）22x y -= ；（3）22259x y -= ； （4）22()4()a b a b +--；（5）以上三题用了 公式222222.1(1)(1) ;.14(12)(12).8164(98)(98);.(2)(2)(2)A x x x B y y y C x y x y x y D y x y x y x -=+--=+--=+---=-+-【经典考题剖析】 例 1. 分解因式：（1）33x y xy -；（2）3231827x x x -+；（3）()211x x ---；（4）()()2342x y y x ---分析：①因式分解时，无论有几项，首先考虑提取公因式。
分式 因式分解
分式与因式分解在数学领域中，分式和因式分解是两个基础但极其重要的概念。
它们不仅在代数中占据核心地位，而且对于解决各种数学问题具有关键作用。
本文将详细探讨分式的定义、性质以及因式分解的方法和应用。
一、分式的概述分式，顾名思义，是指一个数学表达式被另一个数学表达式除所得的商。
具体来说，分式由分子和分母两部分组成，形如$\frac{a}{b}$，其中$a$是分子，$b$是分母。
需要注意的是，分母不能为0，否则分式无意义。
分式具有多种性质，如基本性质、运算性质等。
基本性质包括分式的值不变性，即分式的分子和分母同时乘以或除以同一个非零数，分式的值不变。
运算性质则涉及分式的加减乘除运算，这些运算都需遵循一定的法则和步骤。
二、因式分解的概念与方法因式分解是将一个多项式表示为几个整式的乘积的形式。
这种方法在解决代数方程、不等式以及函数问题等方面具有广泛应用。
因式分解的核心在于找到多项式中的公因式或利用公式进行分解。
常见的因式分解方法包括提取公因式法、公式法（如平方差公式、完全平方公式等）以及分组分解法等。
这些方法各有特点，适用于不同类型的多项式。
在实际应用中，我们需要根据具体情况选择合适的因式分解方法。
三、分式与因式分解的联系分式和因式分解在代数中紧密相连。
一方面，因式分解可以简化分式，使其更易于计算和理解。
例如，通过因式分解，我们可以将复杂的分式化简为几个简单分式的和或差，从而便于进行后续的运算和分析。
另一方面，分式运算中也经常需要用到因式分解的技巧。
例如，在求解分式方程时，我们通常需要对方程两边进行因式分解，以便消除分母或降低方程的次数。
此外，在分式的加减运算中，通过因式分解可以找到通分母，从而简化运算过程。
四、分式与因式分解的应用分式和因式分解在数学领域具有广泛的应用。
在代数中，它们是解决方程、不等式和函数问题的重要工具。
在几何中，分式和因式分解也被用来描述和解决与形状、面积和体积相关的问题。
此外，在实际生活中，分式和因式分解也发挥着重要作用。
代数式的因式分解与分式化简
代数式的因式分解与分式化简代数式是数学中常见的一类表达式，由数、字母和运算符号组成。
在数学问题中，经常需要对代数式进行因式分解和分式化简，以方便进行运算和推导。
本文将介绍代数式的因式分解和分式化简的方法和步骤。
一、代数式的因式分解因式分解是指将一个代数式表示为几个乘积的乘积形式，其中每个乘积因子称为因式。
因式分解的目的在于将复杂的代数式拆解为简单的成分，以便进行进一步的计算和推导。
1.1 一元二次三项式的因式分解一元二次三项式的一般形式为ax²+bx+c，其中a、b、c 为已知实数，且a≠0。
对于此类代数式，我们可以通过配方法进行因式分解。
步骤如下：1. 将三项式中的第一项和最后一项相乘，得到 ac。
2. 找出两个因数 m 和 n，使得它们的和等于第二项的系数 b，且乘积等于 ac。
3. 将第二项拆分为 mx 和 nx（注意要保持等式成立）。
4. 通过提取公因式的方式进行因式分解。
例如：ax²+bx+c =a(x+m)(x+n)。
1.2 多项式的因式分解对于多项式的因式分解，一般需要使用更复杂的方法，如提取公因式、分组分解、平方法、差二次平方和公式等。
例如，对于代数式 x³+3x²-4x-12，我们可以通过以下步骤进行因式分解：1. 尝试提取公因式，如果存在公因式，则进行提取。
例如，x³+3x²-4x-12 = x²(x+3)-4(x+3) = (x+3)(x²-4)。
2. 继续对括号中的二次式进行因式分解，如公式 a²-b² = (a+b)(a-b)。
例如，x²-4 = (x+2)(x-2)。
3. 将分解得到的因式整合，得到最终的因式分解形式。
例如，x³+3x²-4x-12 = (x+3)(x+2)(x-2)。
二、代数式的分式化简分式化简是指将一个复杂的分式表示为简单分式和整式的和的形式，以便进行运算和推导。
因式分解在分式中的应用
板块 考试要求A 级要求B 级要求C 级要求因式分解 了解因式分解的意义及其与整式乘法之间的关系会用提公因式法、公式法（直接用公式不超过两次）进行因式分解（指数是正整数）能运用因式分解的方法进行代数式的变型，解决有关问题考查因式分解能力，在中考试题中，因式分解出现的频率很高。
重点考查的分式提取公因式、应用公式法、分组分解法及它们的综合运用。
习题类型以填空题为多，也有选择题和解答题。
重、难点中考要求因式分解在分式中的应用板块一：分式的基本概念及性质分式的概念：当两个整数不能整除时，出现了分数；类似的当两个整式不能整除时，就出现了分式．一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子AB叫做分式．整式与分式统称为有理式．在理解分式的概念时，注意以下两点：⑴分式的分母中必然含有字母；⑵分式的分母的值不为0；⑶分式必然是写成两式相除的形式，中间以分数线隔开．分式有意义的条件：两个整式相除，除数不能为0，故分式有意义的条件是分母不为0，当分母为0时，分式无意义．如：分式1x，当0x≠时，分式有意义；当0x=时，分式无意义．分式的值为零：分式的值为零时，必须满足分式的分子为零，且分式的分母不能为零，注意是“同时”．分式的基本性质：分式的基本性质：分式的分子与分母同时乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变．上述性质用公式可表示为：a amb bm=，a a mb b m÷=÷(0m≠)．注意：①在运用分式的基本性质时，基于的前提是0m≠；②强调“同时”，分子分母都要乘以或者除以同一个“非零”的数字或者整式；③分式的基本性质是约分和通分的理论依据．【例1】在下列代数式中，哪些是分式？哪些是整式？1 t ，(2)3xx+，2211x xx-+-，24xx+，52a，2m，21321xx x+--，3πx-，323a aa+例题精讲【例2】 ⑴x 为何值时，分式2141x x ++无意义？ ⑵x 为何值时，分式2132x x -+有意义？⑶x 为何值时，分式211x x -+有意义？【巩固】 求下列分式有意义的条件：（可放在例题之前讲解）⑴1x ⑵33x + ⑶2a b a b +-- ⑷21n m + ⑸22x y x y ++ ⑹2128x x -- ⑺293x x -+【例3】 当x 为何值时，下列分式的值为0？⑴1x x+ ⑵211x x -+ ⑶33x x -- ⑷237x x ++ ⑸2231x x x +-- ⑹2242x x x -+【巩固】 当x 为何值时，下列分式的值为0？⑴213x x -+ ⑵223(1)(2)x x x x --++ ⑶2656x x x ---⑷221634x x x -+- ⑸288x x + ⑹2225(5)x x -- ⑺(8)(1)1x x x -+-【例4】 若分式2160(3)(4)x x x -=-+，则x ；【巩固】 若分式233x x x--的值为0，则x = .板块二：分式的化简【例5】计算：222 2135333 x x x x x x x x+--+-++++【巩固】（2008杭州）化简22x yy x y x---的结果是（）A．x y--B．y x-C．x y-D．x y+【巩固】计算：22222621616x x xx x +-++--【例6】化简：3232 2423()(1) 2111x x x xx x x x x--÷-÷+-++【巩固】化简：22222222112()22a ba ab b ab a b a b ab ⎡⎤-+÷+⋅⎢⎥++-+⎣⎦【例7】化简：222222 222222()()() ()()()a b c b c a c a b a c b a b c b c a------+++-+-+-【例8】已知：2221()111a a a aa a a---÷⋅-++，其中3a=【巩固】求代数式()()22222222222a b c a b cab ac aa ab ab a b a b-----+⋅÷-++-的值，其中1a=，12b=-，23c=-【例9】 已知：34x y =，求2222222x y xy y x xy y x xy -+÷-+-的值板块三：分式与裂项【例10】 化简：111.....(1)(1)(2)(99)(100)x x x x x x ++++++++.【巩固】 设n 为正整数，求证：1111...1335(21)(21)2n n +++<⋅⋅-+.【例11】 化简：22222111113256712920x x x x x x x x x x +++++++++++++【巩固】 化简：[]1111()()(2)(2)(3)(1)()x x m x m x m x m x m x n m x nm ++++++++++-+【例12】 化简：()()()()()()a b b c c ac a c b b a a c b c b a ---++------【例13】 化简：222222b c c a a b a ab ac bc b ab bc ac c bc ac ab a b b c c a---++-----+--+--+---.【例14】 化简：222()()()()()()a bcb ac c aba b a c b c b a c a c b ---++++++++.练习 1． 若22032x xx x +=++，求21(1)x -的值.练习 2． ⑴若分式216(3)(4)x x x --+有意义，则x ;⑵若分式216(3)(4)x x x --+无意义，则x ;练习 3． (05年杭州市中考题)若2(1)(3)032m m m m --=-+，求m 的值.练习 4． 当12x =-时，求代数式22226124111x x x x x x x x ⎛⎫++-+-+÷ ⎪--+⎝⎭的值练习 5． (第9届希望杯试题)化简：422423216424(2)416844m m m m m m m m m m -+-+÷⨯÷+++--+练习 6． 化简：222222a b c b c a c a ba ab ac bc b ab bc ac c ac bc ab------++--+--+--+.家庭作业。
因式分解、分式易错点解析
因式分解、分式易错点解析
1、因式分解
因式分解是指将一个多项式拆分成有限项的乘积，其中每一项都是质
因数的乘积。
例如，把ax2+bx+c分解成a(x2+x)+b(x+c)，质因数中只
包括a、b、x、c，他们全部是一种质数。
要进行因式分解，可以通过求出多项式所有质因数，然后根据因数的
加减乘除法把同类的项拆分成有限的几种被乘数的乘积，其中最常见
的乘法有两种：指数型（a、x和x^2）和常数型（b和c）。
2、分式易错点解析
1、当分子和分母都是多项式的时候，要注记出每一项的质因数，如果
质因数有重复，则移除重复的质因数，这样可以避免出错。
2、当分数中包含平方根时，要先判断平方根是否能被expression平方，也就是把平方根部分拆出来。
3、要正确处理分数中包含的次方项，特别要注意只有相同质因数的两
项的次方相加之后的情况，这样才能正确地将分数重新分解成有限个
分母或分子的乘积形式。
4、如果分子分母中都有常数项，只要注意不是一样的常数项，就可以
进行一项乘以另一项的形式进行相乘，以此分解式子。
5、在计算分子分母中的乘积之后，要仔细检查分子分母中是否还有重
复的项，如果有，则需要移除重复的项，这样可以有效避免约分出错。
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第四讲 因式分解+分式一、因式分解 （一）方法： 1．提公因式法：（1）多项式 mc mb ma ++中每一项都含有一个相同的因式m ，称之为公因式。
（2）方法 ：)(c b a m mc mb ma ++=++（3）公因式可能是单项式（如（1）），也可能是多项式，如：)2)(21()2)(13(b a b b a a +--+- （4）公因式系数应取各项系数的最大公约数，字母取各项相同字母，指数取字母的最低次数； （5）如果第一项系数为负，一般先提出“-”号，使括号内第一项的系数为正，同时多项式的各项都要变号。
如：)53(5322+--=-+-y x xy xy xy y x2．公式法：（1）两个非常重要的公式： 平方差公式：))((22b a b a b a -+=-完全平方公式：222)(2b a b ab a ±=+±（2）有的公式需要先提公因式后才能体现。
如：a ab ab ++442 （3）有的公式需要从整体上观察。
如：22)32()32(y x y x --+ 3．分组分解法：当多项式的项数超过3项可考虑用此方法（1）分组后能直接提公因式： 如：))(()()(b a n m n m b n m a bn bm an am ++=+++=+++ （2）分组后能直接运用公式： 如：2222z xz y x ++-4．运用式子：ab x b a x b x a x +++=++)())((2进行分解。
如：562+-x x 5、十字相乘法：如：322-+x x例1、把x y xy x 442-+-分解因式，下列的分组方法不正确的是 （ ）（A ） ()()x y xy x 442-+- （B ） ()()xy y x x -+-442 （C ） ()()x xy y x 442+-+ （D ） ()()y xy x x 442---例2、因式分解：（1）()()()y x x y x y x x +--+ （2）()()87----b a b a例3、已知 3223,0b abc c b c a a c b a +-++=++求的值。
例4、因式分解：（1）101332--x x （2）311102+-x x例5、已知3,5==+ab b a ，求.____________ __,__________1122=+=+b a ba （二）练习1、下列因式分解，正确的是 （ ）（A ）()()n m n m n m -+=--22 (B) ()222242y x y xy x +=++(C) ()()y x y x y xy x 33222-+=-- (D) ()()2233b ab a b a b a +++=+ 2、因式分解：32)()(2x y y x y ---为（ ）（A ） ()()2y x y x -+ （B ） ()()23y x x y --（C ） ()()23x y y x -- （D ） ()3x y -3、623961b a ab +-因式分解为（ ）（A ） )31)(31(ab ab +- （B ） 23)13(-ab（C ） 22)31(ab - （D ） )31)(31(33ab ab +- 4、分解因式2228242c b ab a -++为（ ）(A) )2(2c b a -+ (B) ))((2c b a c b a -+++ (C) )42)(42(c b a c b a -+++ (D) )2)(2(2c b a c b a -+++ 5、若a 为有理数，则整式1)1(222+++a a a 的值（ ）(A) 不是负数 (B) 负数 (C) 非负数 (D) 正数、负数、0都有可能 6、不论b a ,为任何实数，3510622++-+b a b a 的值总是（ ）(A) 正数 (B) 恒为正数 (C) 恒为负数 (D) 不等于07、计算：（1）__________________)2(2)2(1=-+--n n （2）___________________________)1011()311)(211(222=---二、分式（一）分式的相关知识1、 分式有意义、无意义或等于0的条件分式有意义的条件：分母不等于0 分式无意义的条件：分母等于0分式值为0的条件：分子等于0且分母不等于0 例1、x 取什么值时，分式3+x x有意义？例2、x 取什么值时，分式7215--x x 无意义？例3、x 取什么值时，分式5332-+x x 的值为零？2、 分式的基本性质分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变。
例4、如果把分式yx x+中的x 和y 都扩大3倍，那么分式的值（ ） （A ）扩大3倍 （B ）不变 （C ）缩小3倍 （D ）缩小6倍3、 分式的约分：分式的分子与分母中的公因式约去。
① 分时，注意分式的分子、分母都是乘积的形式。
② 如果分式的分子、分母都是单项式，则系数约去最大公约数，各字母约去公共字母，其指数为最小指数；③ 如分子、分母有多项式，则将其分解因式，再约去公共部分。
例5、将下列各式约分：（1）2326012xy y x - （2）201623-+-x x x x4、 最简分式约分后，分子与分母不再有公因式，这样的分式称为最简分式。
约分的结果应是最简分式。
分式各种运算的结果也一定要化为最简分式或整式。
例6、下列分式中是最简分式的是：2222)(,,,933,6y xy y x n m n m b a b a x a x ++-+-+-5、 分式的通分利用分式的基本性质把几个异分母分式分别化成与原来分式值相等的同分母分式。
通分的关键是确定最简公分母（系数娶大公约数，字母取所有，其指数取字母的最大指数；）例7、把各分式通分： （1）22221,65,43ac c b b a - （2）x x x x x x 483,2,2222---++（二）分式的运算1、分式的乘除法（归根到底是乘法运算，实质是分式的约分）（1）分式乘以分式：用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母； （2）分式除以分式：把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。
（3）分式的运算结果一定要化为最简分式或整式。
例8、计算：（1）b a x x b a 422489154• （2）442444222+-•++-a a aa a a 分式的约分，要求把分子与分母的公因式约去，首先要找出分子与分母的公因式。
分式相乘，用分子的积作为分子，用分母的积作为分母，最后结果为最简分式或整式。
例9、计算：（1）1154122+-÷---m m m m m （2）91961222--÷+--a a a a a2、分式的乘方把分式的分子、分母各自乘方，乘方时一定要把分式加括号，如a b a b 22≠⎪⎭⎫ ⎝⎛，另外分式本身的符号也要同时乘方。
例10、计算：（1）234⎪⎭⎫ ⎝⎛-n m （2）2223222⎪⎪⎭⎫⎝⎛-÷⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+ba ab b a ab （本题应对22b a -分解因式）3、分式的加减法（包括同分母分式的加减法和异分母分式的加减法） （1）同分母分式加减法：分母不变，分子相加减；（2）异分母分式加减法：先通分化为同分母分式，然后再加减；（3）注意：① “分子相加减”是指把各个分式的“分子整体”相加减，各分子都应加括号； ② 异分母分式的加减必须转化为同分母分式的加减，转化的关键是通分。
例11、计算： （1）m n nm m n n n m m -++---22 （2）82142144222---+-+-+x x x x x x分式相除，把除式的分子分母颠倒位置后与被除式相乘，最后结果为最简分式或整式。
（1） 分子相减时，要把各分子看作一个整体，加上括号； （2） 计算结果必须是最简分式或整式4、分式的四则混合运算应先乘方，再乘除，最后算加减，如有括号，先算括号内的。
运算结果必须是最简分式或整式。
例12、计算：（1）332141222+-+÷⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+a a a aa a a （2）x x x x x x x -+-÷-+-2221112（三）练习1、若分式33||+-x x 的值为零，则x 等于__________; 2、已知711=+y x ，则代数式yxy x y xy x +++-252的值为_________________; 3、已知分式91862-+-a a 的值为正整数，求a 的值。
4、计算：（1）)9(322-•-x xx x （2）1121222+-÷++-a a a a a a（3）3)3(32-+-x xx x （4）1242168162222244+++++--÷++-x x x x x x x x x x5、已知32,32+=-=b a ，计算222222232ba aba b ab a b a b a --÷+++的值。
三、作业： 1．因式分解：（1）2233-+-a x x a （2）224129y xy x +-（3）4422+--x y x （4）16-x2．多项式a x x +-32可分解为()()b x x --5 ，则a , b 的值是 （ ）（A ）2,10-==b a （B ） 2,10-=-=b a（C ） 2,10==b a （D ） 2,10=-=b a 3．分解因式 204.01x +-等于 （ ）（A ） ()22.01x +- （B ）()()102.0102.0-+x x（C ） ()()x x 2.012.01--+- （D ） ()()12.012.0-+x x 5．如果2542++kx x 是一个完全平方式，那么k 的值是 ( )(A) 20 (B) －20 (C) ±20 (D) 406．已知 y x ,满足5)(,9)(22=-=+y x y x ，求xy y x 1122-+的值。
7、51=+a a ，则_____________122=+aa ； 8、若1=xy ，则______________1111=+++yx ； 9、已知09|4|=-+-b a ，计算22222b a aba b ab a --•+的值； 10、化简：443)2111(2+++÷++-+-x x x x x x x。