利用待定系数法因式分解和分式的拆分等

【答案】
【解析】
试题分析：
思路1先设出关于 的二次三项式的表达式，然后利用已知条件求出各项的系数。可考虑利用恒等式的性质。
试题解析：
解：法1先设出关于 的二次三项式 ，
把已知条件分别代入，得 ，
解得
故所求的二次三项式为
思路2根据已知 时，其值为0这一条件可设二次三项式为 ，然后求出 的值.
法2由已知条件 时，这个二次三项式的值为0，
(1)确定所求问题含待定系数的解析式.
上面例题中，解析式就是：
(2)根据恒等条件，列出一组含待定系数的方程.
在这一题中，恒等条件是：
(3)解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决.
∴
二、应用举例
类型一利用待定系数法解决因式分解问题
【例题1】已知多项式 能被 整除.
（1）求a，b
（2）分解因式：
【答案】（1） （2）
故可设这个二次三项式为
把 代入上式，得 ，
故所求的二次三项式为 ，即
考点：多项式
点评：选用待定系数法,利用已知条件求多项式是解题关键.
【难度】一般
9.已知多项式 的系数都是整数，若 是奇数，证明这个多项式不能分解为两个整系数多项式的乘积.
【答案】见解析
【解析】
试题分析：
先设这个多项式能分解为两个整系数多项式的乘积，然后利用已知条件及其他知识推出这种分解是不可能的.
15.已知 的计算结果中不含x3的项，则m的值为（ ）
A.3B.-3C.－ D.0
【答案】B
【解析】
试题分析：
将多项式 展开、合并，按x的降幂排列，根据积中不含x3项等价于x3项的系数为零列方程即可求得m的值.
试题解析：
方法一
解：
∵结果中不含x3的项，
∴ ，解得 .
故选B.
方法二
由于x3项可由x项与x2项相乘或x3与常数项相乘得到，故展开式中只需计算x项乘以x2项及x3乘以常数项即可.
解：∵
又∵结果中不含 的项，
∴ ，解得 .
故选B.
考点：多项式乘法.
点评：多项式不含某项则某项的系数为零，根据这一条件列方程或方程组，从而求出待定系数的值.
【难度】一般
16.如果 的乘积中不含 项，则a为(??)
A.5B. C. D.－5
【答案】B
【解析】
试题分析：
将多项式 展开、合并，按x的降幂排列，根据积中不含x2项等价于x2项的系数为零列方程即可求得a的值.
点评：用待定系数法分解因式，就是先按已知条件把原式假设成若干个因式的连乘积，这些因式中的系数可先用字母表示，它们的值是待定的，由于这些因式的连乘积与原式恒等，然后根据恒等原理，建立待定系数的方程组，最后解方程组即可求出待定系数的值.
【难度】一般
【例题2】分解因式：
【答案】
【解析】
试题分析：
方法一因为 ，因此,如果多项式能分解成两个关于x、y的一次因式的乘积,那么设原式的分解式是 ,其中m、n为待定系数.然后展开，利用多项式的恒等，求出m、n的值.
把它们分别代入恒等式检验，得
∴
考点：1.待定系数法分解因式2.解方程组.
点评：本题解法中方程的个数多于未知数的个数，必须把求得的值代入多余的方程逐一检验.若有的解对某个方程或所设的等式不成立，则需将此解舍去；若得方程组无解，则说明原式不能分解成所设形成的因式.
【难度】较难
类型二利用待定系数法解决分式拆分问题
【答案】
【解析】
试题分析:
由于要将分式 拆分成一个整式和一个分式（分子为整数）的和的形式，可设
试题解析：
解：由于分母为 ，可设
∴
∵对于任意x，上述等式均成立，
∴ ∴
∴
这样分式 被拆分成了一个整式 与一个分式 的和.
考点：分式的加减法
点评：本题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题关键.
【难度】一般
【难度】容易
10.将分式 拆分成两个分式的和的形式.
【答案】
【解析】
试题分析：
设 ，将等式右边通分，再利用分子恒等求出a、b的值即可.
试题解析：
解：设
而
即
比较分子，得
解得 .
∴
考点：分式的恒等变形.
点评：拆分有理真分式的时候，分母含二次项，则设分子为 形式，分母只含一次项，则设分子为常数
【难度】一般
试题解析：
解：原式 .
∵不含 项，
∴ .
解得 .
故选B.
考点：多项式乘多项式．
点评：多项式不含某项则某项的系数为零，根据这一条件列方程或方程组，从而求出待定系数的值.
11.将分式 拆分成两个分式的和的形式.
【答案】 =
【解析】
试题分析：
设 = ，将等式右边通分，再利用分子恒等求出a、b的值即可.
试题解析：
方法一
解：设 =
而 =
即 =
比较分子，得
解得 .
∴ =
方法二
分式 还可以先变形为：
易知 =
所以 = ( )=
考点：分式的恒等变形.
点评：拆分有理真分式的时候，分母含二次项，则设分子为Ax+B形式，分母只含一次项，则设分子为常数
【答案】
【解析】
试题分析：
本题的10个分式相加，无法通分，而式子的特点是：每个分式的分母都是两个连续整数的积（若a是整数），所以我们探究其中一个分式，找到相通的规律，从而解题.
试题解析：
解：我们设
而
比较分子得： ，解得：
所以
所以，原式=
考点：分式计算.
点评：在做题的时候见到式子的特点是：每个分式的分母都是两个连续整数的积，可直接用公式 拆分.
试题解析：
解：设 =而ຫໍສະໝຸດ ∴解得 或∴
考点：待定系数法因式分解.
点评：本题考查了待定系数法因式分解解高次多项式，恰当设待定系数是关键.
【难度】容易
3.分解因式：
【答案】
【解析】
试题分析：
属于二次六项式，也可考虑用双十字相乘法，在此我们用待定系数法.
先分解 ，再设原式 ，展开后，利用多项式恒等列方程组即可求解.
解：设
由恒等性质有：
解得： ，代入 中，成立.
∴
说明：若设
由待定系数法解题知关于a与b的方程无解，
故
考点：因式分解应用
点评：根据多项式的特点恰当将多项式设成含待定系数的多项式的积的形式是解题的关键.
【难度】较难
8.在关于 的二次三项式中，当 ，其值为0；当 时，其值为0；当 时，其值为10，求这个二次三项式.
试题解析：
解：设
对比系数，得：
解得:
故, ，
多项式因式分解为：
考点：整式除法与因式分解
点评：本题考查的是多项式除以多项式，注意理解整除的含义，比如A被B整除，另外一层意思就是B是A的因式
7.分解因式：
【答案】
【解析】
试题分析：
本题是关于x的四次多项式可考虑用待定系数法将其分解为两个二次式之积.
试题解析：
试题解析：
解：∵ ，
∴设
即
对比系数，得：
由①、②解得：
代入③式也成立.
∴
试题分析：
方法二前面同思路1，因为 是恒等式，所以对任意 的值，等式都成立，所以给 取特殊值，即可求出 的值.
试题解析：
解：∵ ，
∴设
即 ?
∵该式是恒等式，
∴它对所有使式子有意义的x，y都成立，
那么令 ①
令 ②
解①、②组成的方程组，得 或
试题解析：
方法一
解：∵
∴可设原式
∴原式=
即 *
比较左右两个多项式的系数，得：
解得
∴
方法二
对于方法一中的恒等式（*）因为对a、b取任何值等式都成立，所以也可用特殊值法，求m、n的值.
令 ①
令 ②
令 ③
解②、③组成的方程组，得
当 时，①成立
∴
考点：1.待定系数法因式分解2.整式乘法3.解方程组.
点评：对于复杂的多项式分解因式，关键是列出恒等关系式，然后根据恒等原理，建立待定系数的方程组，最后解方程组即可求出待定系数的值.
【解析】
试题分析：
（1）由条件可知 是该多项式的一个二次因式，而该多项式次数为4，故可设 ，可解出m、n，最后代入即可求出a、b的值.
（2）由（1）可得结果
试题解析：
解：（1）∵多项式 能被 整除
∴设 ，
整理，得
∴
解得
∴a、b的值分别为 .
（2）
考点：1.待定系数法因式分解2.整式乘法3.解方程组.
【例题3】将分式 拆分成两个分式的和的形式.
【答案】
【解析】
试题分析：
设 ，将等式右边通分，再利用分子恒等求出a、b、c的值即可.
试题解析：
解：设
而
即
比较分子，得
解得 ， .
∴
考点：分式的恒等变形
点评：拆分有理真分式的时候，分母含二次项，则设分子为 形式，分母只含一次项，则设分子为常数
【难度】较难
【例题4】计算：
试题解析：
证明：
比较系数得：
因为 是奇数，则 都是奇数，那么 也是奇数，由奇数的性质得出 也都是奇数.
在 式中令 ，得
由 是奇数，得 是奇数。而 为奇数，故 是偶数，
所以 是偶数.这样 的左边是奇数，右边是偶数。这是不可能的.
因此题中多项式不能分解为两个整系数多项式的乘积.
考点：多项式除法.
点评：所要证的命题涉及到“不能”时，常常考虑用反证法来证明.
【答案】 =
【解析】
试题分析：