大学物理学习指导 第2章 流体力学基础
大学物理Chap2：流体力学
2. 牛顿粘滞定律（Newton’s law of viscosity） 牛顿粘滞定律（ 1867年 牛顿发现流层间（内磨檫力）粘滞力为： 1867年，牛顿发现流层间（内磨檫力）粘滞力为：
y
dv f =η ∆S dy
dy
f
△s
△s
v+d v
v f´ x
△S 所考察的流层面积。 dv 流速梯度度，沿径向的流速变化率。 dy
对理想流体,压强之静功: 对理想流体,压强之静功:
S
1
∆t
研究实际流体时， 研究实际流体时，必须考虑到粘滞阻力 P
v
h1
1
c
S
2
d
v2
1
a b
h2 P 2
W = P − P ∆V （1 ） 2
对实际流体,压强、阻力静功: 对实际流体,压强、阻力静功: S P
1
∆t
W = P − P ∆V − A∆V （1 ） 2
又：
SA
SB
P − P = ρgh B A
A B
（范丘里流量计） 范丘里流量计） 计示压强与绝对压强 以液柱高标示的压强为 计示压强。 计示压强。 管道中某点的实际压强 为绝对压强。 为绝对压强。 绝对压强差＝ 绝对压强差＝计示压强差
∴ Q= S S
2gh 2 2 SB − SA
Q 2gh vB = = SA 2 2 SB SB − SA
η称粘滞系数，简称粘度。其单位是Pa•s. 说明: 说明:
粘滞系数不但与流体的性质有关还与温度 有关，一般液体随温度升高其值减小， 有关，一般液体随温度升高其值减小，气体 随温度升高其值增加。 随温度升高其值增加。
上试便是牛 顿型流体的 定义， 定义，其它 类型的流体 一般不满足 上试。 上试。
汽车工程流体力学(02流体力学基本方程)
Q udA vA
A
v
/concepts
第二章 流体力学基本方程
1. 流体运动的描述方法
2. 流体运动的基本概念
3. 连续性方程
4. 流体微团的运动分析
5. 欧拉运动微分方程
6. 流体静力学
7. 伯努利（Bernoulli）方程
u x dx x 2
3. 连续性方程（Continuity equation）
x方向dt时间内净流出质量
1 ( ux ) 1 ( ux ) M x M右 -M 左 = u x dx dydzdt u x dx dydzdt 2 x 2 x ( ux ) = dxdydzdt x
同理y方向dt时间内净流出质量
My ( uy ) y dxdydzdt
同理z方向dt时间内净流出质量
Mz ( uz ) dxdydzdt z
3. 连续性方程（Continuity equation）
根据质量守恒原理，dt时间控制体的总净流出质量，必等于 控制体内由于密度变化而减少的质量
Q udA
A
u——微元断面的速度
有时，流量用单位时间内通过某一过流断面的流体质量来表示， 称为质量流量Qm，单位（kg/s）。
Qm Q
2. 流体运动的基本概念
八、流量和断面平均流速-2
2．断面平均流速（Mean velocity） 总流过流断面上各点的流速u一般是不相等的。为了便于 计算，设想过流断面上流速v 均匀分布，通过的流量与实 际流量相同。
dx dy dz dt u x uy uz
/blogger/post_show.asp?idWriter=0&Key=0&BlogID =1252939&PostID=21323050
中南大学《流体力学》课件第二章静力学.
证明
质量力 表面力
1 f x dxdydz 6
1 p 0 0 p A cos( n , x ） x dydz n n 2
导出关系式 得出结论
F 0
x
px pn
第一节 平衡流体中的应力特征
第二节 流体平衡微分方程
压强在流体运动、流体与固体相互作用中扮演重要角色，如 机翼升力、高尔夫球及汽车的尾流阻力，龙卷风产生强大的 负压强作用，液压泵和压缩机推动流体做功等都与压强有关。 然而，压强在静止流体、相对静止流体及粘性运动流体中的 分布规律将明显不同。
如图所示的密闭容器中，液面压强 问题1： p0＝9.8kPa，A点压强为49kPa， 则B点压强为多少 ,在液面下的深度为多少? 答案 39.2kPa;
3m
问题2： 露天水池水深5m处的相对压强为：
答案
49kPa
图示容器内 A、B 两点同在一水 问题3：平面上，其压强分别为 pA 及 pB。 因 h1 h 2，所以 pA pB。 答案
• 点压强的定义及特性 • 微元体法推导出流体平衡微分方程 即流体平衡的规律 • 重力作用下流体的平衡
p p ( U U ) 0 0
pp gh 0
等压– 绝对压强p‘ 绝对压强不可为负 – 相对压强（表压强）p 相对压强可正可负 – 真空压强（真空值）pv 真空压强恒为正值
自由面上 p 0 所以 AB 上各点的压强均为 0
[例]试标出如图所示盛液容器内A、B、C三点的位置水头、 测压管高度、测压管水头。以图示0-0为基准面。
pC g pB g
A
pA g
Z
Z
c
ZB
C 因为 ，所以，以A点的测压管水头为依据， g 可以确定B点的位置水头为2m和测压管高度为6m ；C点的 位置水头6m，测压管高度为2m.
流体力学 水静力学
p1=p+ρ1gh1 p2=pa+ρ2gh2 所以 p+ρ1gh1=pa+ρ2gh2 M点的绝对压强为 p=pa+ρ2gh2-ρ1gh1 M点的计示压强为 pe=p-pa=ρ2gh2-ρ1gh1 于是，可以根据测得的h1和h2以及已知的ρ1 和ρ2计算出被测点的绝对压强和计示压强值。
(2) 被测容器中的流体压强小于大气压强(即p<pa)： 如图2-19所示。在大气压强作用下，U形管右管内的液面下降， 左管内的液面上升，直到平衡为止。这时两管工作介质的液面高度差 为h2。过右管工作介质的分界面作水平面1-2，它是等压面。
由液体静力学方程得出的推论： （1）静压强的大小与液体的体积无关。 （2）两点的压强差，等于两点之间单位 面积垂直液柱的重量。 （3）在平衡状态下，液体内（包括边界 上）任意一点压强的变化，等值地传递到 其它各点。此即著名的帕斯卡原理。
水静力学基本方程也适用于气体，由于 气体的密度很小，在高差不很大时，气柱 所产生的压强很小，可以忽略。所以水静 力学方程可以简化为 p = p0 对于高程变化很大，如计算大气层压强 的分布，就必须考虑大气密度随高度的变 化。
列等压面方程 p+ρ1gh1+ρ2gh2=pa M点的绝对压强为 p=p-ρ1gh1-ρ2gh2 M点的真空或负压强为 pv=pa-p=ρ1gh1+ρ2gh2
3.倾斜式微压计 在测量气体的微小压强和压差时，为了 提高测量精度，常采用微压计。倾斜微压 计是由一个大截面的杯子连接一个可调节 倾斜角度的细玻璃管构成，其中盛有密度 为ρ的液体，如图2-20所示。
液体具有的压能。水力学中习惯用“水头”来称呼这些具有能量意义的长度量，即z称
为位置水头（即单位重量液体具有的位置势能），
大学物理学习指导(第2章)
^！"自(！饥
1 6,1
(？ ！
在经典力学中，77^恒定不变，上式则为
在直角坐标系中,其分量5^为
凡 二
饥"I
二
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0
尺 二
1
尺 二
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对于平面曲线运动，常用自然坐标系，其分量式为
1^『^ 171(1^ ^
舰"：
9
3^动量定理 微分形式 积分形式 ^
^1^1
^ 6(7^^ ^
二 ^ (！^ 171^ ^
的夹角为0，现沿斜面以恒力I拉杆，求杆内各部分间的相互作用〖张力）沿棒长方 向的变化规律。 解取杆V^为研究对象，设加速度为"则有 V
一
31X10
^
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再取长为工的一段/10：为研究对象，设在0：点杆内张力为/，^(：段受力如图所
示，则有
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X；2。求跳伞员的运
2 二 6.1
分离变量两边积分
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当,—①，极限速率为 1^
11
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2 - 8
一质量为7^
^
101^8的质点，在力7 ^ ^ 5111处，其速度^0
0.21
5，这力应在这物体上作用多少时间?试就一
流体力学基础连续性方程、流体运动方程与能量方程.PPT
14
根据动量定理
ρd d ud x d y d z (F b P x x P y y P z z)d x d y d z
约去 dxdydz ，得
du x d
Fbx
Pxx x
Pyx y
Pzx z
du y d
Fby
Pyx x
Pyy y
Pyz z
du z d
Fbz
Pzx x
同理
y(ρuyu)dzdxdyΔ
z(ρuzu)dxdydzΔ
10
EXIT
经全部控制面的恒定流动量通量的净变化率为
xuxuy uyu zuzudxdydz
ux
x(u)uy
yuuz
uuux uuy
z
x y
uuzzdxdydz
u•uu•udxdydz + (ρu )dxdydz
微元流体系统的动量变化率为：
第一章 流体力学基础 ——流体运动的微分方程
西安建筑科技大学粉体工程研究所 李辉
1
质量传递——连质续量性守方恒程定律 动量传递——纳动维量－定斯理托克斯方程 能量传递——能能量量方守程恒定律 状态方程
流体运 动微分 方程组
所有流体运动传递过程的通解
2
EXIT
1.3 流体运动的微分方程
• 质量守恒定律——连续性方程 • 动量定理——纳维-斯托克斯方程 • 能量守恒定律——能量方程 • 定解条件
3
EXIT
1.3.1 质量守恒定律——连续性方程
• 质量既不能产生，也不会消失，无论经历什么形式的运动， 物质的总质量总是不变的。
• 质量守恒在易变形的流体中的体现——流动连续性。
单组分流体运动过程中质量守恒定律的数学描述： 在控制体内不存在源的情况下，对于任意选定的控制体
大学物理-流体力学
为 U 形管中液体密度， 为流体密度。
较适合于测定气体的流速。
h
A B
常用如图示形式的比多管测液体的流速
1 2
v2
PA
PB
gh
v 2gh
3.飞机机翼周围的空气是如何流动的
假设在机翼右方的空气是水平方向以速度v1向左运动的，如图。 由于机翼倾斜，流经机翼的流线向 下偏移，如图中的v2。这两个矢量 之差v2- v1正是指向机翼对空气的 作用力的方向。根据牛顿第三定律， 空气对机翼施加大小相等、方向相 反的反作用，如图中的F。 这个力 的垂直分量正是飞机的升力(lift)。
所以： E
S
表示增大液体单位表面积所增加的表面能
2、表面张力系数的基本性质 （1）不同液体的表面张力系数不同，密度小、容易蒸发的 液体表面张力系数小。 （2）同一种液体的表面张力系数与温度有关，温度越高， 表面张力系数越小。 （3）液体表面张力系数与相邻物质的性质有关。 （4）表面张力系数与液体中的杂质有关。
二、液体的表面张力现象及微观本质
液体表面像张紧的弹性膜一样，具有收缩的趋势。
（1）毛笔尖入水散开，出水毛聚合； （2）水黾能够站在水面上； （3）硬币能够放在水面上； （4）荷花上的水珠呈球形； （5）肥皂膜的收缩；
液体表面具有收缩趋势的力， 这种存在于液体表面上的张力称为 表面张力。
表面张力的微观本质是表面层分子之 间相互作用力的不对称性引起的。
高尔夫球运动起源于15世纪的苏格兰。
起初，人们认为表面光滑的球飞行阻力 小，因此当时用皮革制球。
最早的高尔夫球（皮革已龟裂）
后来发现表面有很多划痕的旧球反而飞得更远。 这个谜直到20世纪建立流体力学边界层理论后才解开。
光滑的球
南京理工大学工程流体力学基础 流体静力学
增量。
f 1 p 0
§2-2 欧拉平衡微分方程
等压面
等压面：流体中压强相等的点组成的面。
px, y, z const. dp 0
f dl fxdx f ydy fzdz 0
dp fxdx f ydy fzdz
压强差公式
重要性质：静止流体中，质量力垂直于等压面。
f 1 p 0
x
p p dx x 2
z
fx a
p p dx
o x 2
dx
y
§2-2 欧拉平衡微分方程
流体平衡微分方程
微元体在静压强和质量力的作用下平衡。 微元体上的力在x方向的平衡方程：
p
p x
dx dydz
2
p
p x
dx dydz 2
fx dxdydz 0
p p dx
化简：
fx
1
p x
0
同理：
由压强差公式
dp fxdx f ydy fzdz
dp gdz
dz dp 0
g
设不可压缩，积分 z p C
g
流体静力学 基本方程
对图中1、2点
z1
p1
g
z2
p2
g
适用条件：同一容器、同种不可 压缩重力流体。 §2-3 重力场中流体的平衡
流体静力学基本方程
物理意义
z p C
g
单位重量流体 单位重量流体 单位重量流体
第二章 流体静力学
第一节 流体静压强
流体静压强
流体平衡，则作用在流体上的应力只有法向应 力，而没有切向应力。流体作用面上负的法向 应力就是静压强。
pn
dF dA
pnn
§2-1 流体静压强
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第2章 流体力学基础2.1 内容提要(一)基本概念 1.流体：由许多彼此能够相对运动的流体元(物质微团)所组成的连续介质，具有流动性，常被称为流体。
流体是液体和气体的总称。
2.流体元：微团或流体质量元，它是由大量分子组成的集合体。
从宏观上看，流体质量元足够小，小到仅是一个几何点，只有这样才能确定流体中某点的某个物理量的大小；从微观上看，流体质量元又足够大，大到包含相当多的分子数，使描述流体元的宏观物理量有确定的值，而不受分子微观运动的影响。
因此，流体元具有微观大，宏观小的特点。
3.理想流体：指绝对不可压缩、完全没有黏滞性的流体。
它是实际流体的理想化模型。
4.定常流动：指流体的流动状态不随时间发生变化的流动。
流体做定常流动时，流体中各流体元在流经空间任一点的流速不随时间发生变化，但各点的流速可以不同。
5.流线：是分布在流体流经区域中的许多假想的曲线，曲线上每一点的切线方向和该点流体元的速度方向一致。
流线不可相交，且流速大的地方流线密，反之则稀。
6.流管：由一束流线围成的管状区域称为流管。
对于定常流动，流体只在管内流动。
流线是流管截面积为零的极限状态。
（二）两个基本原理 1.连续性原理：理想流体在同一细流管内，任意两个垂直于该流管的截面S 1、S 2，流速v 1、v 2，密度ρ1、ρ2，则有111211v v S S ρρ= （2.1a ） 它表明，在定常流动中，同一细流管任一截面处的质量密度、流速和截面面积的乘积是一个常数。
也叫质量守恒方程。
若ρ为常量，则有Q = S v = 常量 （2.1b ）它表明，对于理想流体的定常流动，同一细流管中任一截面处的流速与截面面积的乘积是一个常量。
也叫体积流量守恒定律或连续性方程。
2 伯努利方程：理想流体在同一细流管中任意两个截面处其截面积S ，流速v ，高度h ，压强p 之间有11222121gh p gh p ρρρρ++=++2122v v (2.2) 或写成常量=++gh p ρρ221v 。
其中p 、v 、h 都是对同一细流管的某一截面而言的。
它表明，同一细流管中任意截面处的压强能、单位体积流体的动能和单位体积流体的重力势能之和为一常量。
（三）伯努利方程的应用（1）小孔流速 托里拆利定律 ：用于大坝底部开口处流速或喷雾器出射水速度或高度等的估算。
（2）粉丘里流量计： 又称粉丘里管，是用来测量管道中液体流量的。
（3）液体流速计 ：又称比托管，是测量液体流速用的一种传统仪器。
(4) 气体流速计：用于测量气体的流速或流量。
（四）实际流体1.层流：当流体的流速较小时，流体保持分层流动，并且各流层之间只作相对滑动，彼此不相混合，这种流动状态叫层流。
2.黏滞力（黏滞性）：当两层流体之间有相对运动时，就会产生与运动方向平行的切向力，使快层变慢；慢层加快，这一对力称为内摩擦力或黏滞力。
其黏滞力的大小d f ，与相邻两流层间的接触面积d S ，以及垂直流动方向的流速梯度rd d v 成正比。
即S rf d d d d vη-= （2.3） 上式称为牛顿内摩擦定律。
3.黏滞系数：把影响黏滞力的系数η叫黏滞系数，即rS f d d d d v=η （2.4） 4.影响黏滞系数的因数有： （1）与流体种类有关。
（2）与温度有关。
对液体，随温度升高而减小；对气体，随温度升高而增加。
（3）与物质的分子结构有关。
5.实际流体的伯努利方程：同一流管中两截面之间有212122321211A gh p gh p +++=++ρρρρv v （2.5） 其中，A 为流体从位置1到达位置2时，因克服黏滞力而做的功。
说明：（1）在粗细均匀的水平管道中，为使黏滞流体作定常流动，必须有一定的压强差，弥补因黏滞力而引起的能量耗损。
（2）当水在横截面相同的渠道中作定常流动时，由于v A = v B ，p A = p B = p 0，则渠道必须有一定的高度差，才能使水在渠道中作定常流动。
即gAh h B A ρ=- （2.6） 6. 湍流 雷诺数（1）湍流：流体在管内的流速大于某一临界值时，流体不但沿管轴方向流动，而且产生垂直于管轴方向的速度量，出现局部环流，形成涡旋。
流体的这种流动称为湍流。
（2）雷诺数：流动由层流转变成湍流的条件ηρr R v =（2.7） R 称为雷诺数，是一个无量纲的纯数。
R 的意义：①决定了流动由层流转变为湍流的条件。
②在几何形状相似的管道中流动的流体，R 的大小决定了流体的运动状态。
实验指出：在圆管中流动时，R ＜1000时，流体的运动为层流；R ＞2000时，流体的运动为湍流；若1000＜R ＜2000，则流体的运动状态可能是层流也可能是湍流。
7. 泊肃叶定律 ：黏滞流体在圆管道中作层流时，流过管道的流量与管道半径R 4成正比,与流体的黏滞系数η成反比，即8)(π421R L p p Q η-= （2.8）式中L 为流体元的长度，p 1－p 2为流体元两端所受压力差。
利用此式可精确测定流体的黏滞系数η。
8.斯托克斯定律：黏滞液体相对小球作层流而速度又较小时，小球所受阻力为v r f ηπ6= （2.9） 当小球受力平衡时，其匀速下降速度（称收尾速度）为g r )(922ρρη'-=v （2.10） 或写为 g r )(922ρρη'-=v式中r 为小球半径，ρ′为液体的质量密度，ρ为小球的质量密度。
用此方法可测定球体的半径 r ，流体的黏滞系数η。
（五）生物流体力学1.定义：把与生命现象有关的流体称为生物流体，其中包括气体和液体；生物流体力学就是在传统流体力学的基础上研究生物流体流动规律的边缘学科。
2.研究对象：一类指的是生物体内流体的流动，如：植物体内水和糖分的输运过程，动物体内血液流动、呼吸气流、淋巴循环、胆汁分泌、肠道蠕动及吸收、排泄、细胞分裂中的流动与变形规律、水生植物细胞内以及黏菌体内原生质的运动等；另一类是指外部流体对生物体运动的影响，如动物泳动及飞行等。
3.生物流体的分类（1）满足牛顿内摩擦定律的流体，称为牛顿流体。
不满足牛顿内摩擦定律的流体是非牛顿流体。
一般可分为与时间无关的非牛顿流体和与时间有关的非牛顿流体，后者有时称为黏弹性流体。
（2）与时间无关的非牛顿流体包括塑性流体、假朔性流体和涨塑性流体。
①塑性流体：它与牛顿流体不同之处在于要有一个屈服应力τ0才能流动，一旦开始流动，其内摩擦力与速度梯度仍保持线性关系，可表示为y d d 0vηττ=-如泥浆、沥青、油漆、有机胶体、润滑脂等均属此类。
此类流体中有两类著名流体，一类是可用上式表示的宾汉体；另一类是卡森体，它的内摩擦定律可表示为ye k b keb d d υττ===+=,,022121常数其中。
在大多数情况下，牛和人的血液可看作卡森流体。
②假塑性流体：这类流体的内摩擦定律可表示为2d d ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=y k v τ 式中，k 为常数，淀粉浆糊、纤维素脂、玻璃溶液等均属此类。
③涨塑性流体：这类流体与假塑性流体不同之处在于随着y d d v的增大而增大，最常见的有淀粉中加水，云母中加水等。
2.2学习指导2.2.1 基本要求1、学习流体力学研究问题的思路，要求掌握连续性原理。
2、掌握伯努利方程及其应用。
3、了解黏滞流体的运动规律。
4、了解生物流体的特点。
2.2.2 知识结构图2.3 典型题解析例2.1 在流体力学中引入流管这一概念有什么意义?答：流管是由一组流线围成的管状区域，它可以用来形象地描述流体的运动。
对定常流动的流体来说，流管的侧壁由流线构成。
将流体分成若干个流管后，只要知道每一个流管中流体的运动规律，就能了解整个流体的运动规律。
从而把整个流体的研究转化为对某一选定流管中流体的研究。
【评注】力学中提出的质点和刚体模型，简化了对实际物体运动的研究。
与此类似，流体力学提出的流线和流管，也是将复杂问题还原为简单模型而进行研究。
在应用时，实际流体可看作是由很多流管组成，流管又可看作是由流线组成，只要知道每个流线和流管的运动特征，就能了解整个流体的流动规律。
例2.2. 何谓定常流动？定常流动是否指的是任一流体元在运动过程中流速永远不变？答：流体流动时，如果在不同时刻通过任一固定点的流速都不随时间而变，即不同流体元通过同一固定点的流速是相同的，这种流动称为定常流动。
定常流动是指流体元在空间某点的流速不随时间发生变化，并非意味着某一流体元的流速不随空间发生变化。
【评注】实际流体的流动情况非常复杂，空间各点的流速是随位置和时间的变化而变化的。
为了简化实际问题，物理学提出了理想流体的定常流动，它是不可压缩、没有黏滞性的流体不随时间变化的一种流动。
但应注意的是，定常流动并不是说空间各点流速相同，而是说每一流体元流过空间某一点时，都具有相同的流速。
例2.3 连续性原理与伯努利方程各自成立的条件是什么？答：连续性原理适用的条件是：①理想流体；② 同一细流管中。
对于某管道内的实际流体的流动，连续性原理可表述为：定常流动时管内不同截面处的流量相等。
伯努利方程适用条件是：① 理想流体；② 定常流动；③ 在同一细流管内。
【评注】连续性原理与伯努利方程是流体力学中两大基本定律，实际中，大多数流体的流动都遵从这两大规律，但是如果流体的黏滞性较大，或者易于压缩，或者两个截面不在同一流管内，或流动为非定常流动，则上述两大规律就不成立。
所以在应用时，应先注意到规律成立的条件。
例2.4有一水桶，截面积很大，桶内水深1m ，在桶底开一截面积为0.2m 2的小孔，使水能连续流出。
流体力学基础求：①水的流量；②在水桶下方多少距离处，水流截面积变为孔口面积的一半。
解：①水可看作理想流体处理。
水桶截面积很大，则此处流速可近似为零。
故桶底小孔处可用小孔流速公式计算，从而求出流量。
小孔流速为gh 2=v 1s m 43.418.92-⋅=⨯⨯=水的流量为Q = S v =0.2×4.43=0.886 m 3·s -1②流体从小孔流出后，由于重力作用，流速增大，流管变细，对孔口及孔口面积的一半两截面处应用连续性原理可求出。
设距小桶下方h '处，水流截面积变为孔口面积一半，由连续性原理有)(22111h h g S S '+⋅=v h gh -='212v m 318.9)43.4(22=-⨯=【评注】理想流体作定常流动时，在同一细流管中任意两个截面处其截面积S ，流速v ，高度h ，压强P 之间有：112122222121gh p gh p ρρρρ++=++v v ，但若两截面面积相差很大时，或者处在同一水平管道中，伯努利方程可作进一步的简化，如：小孔流速，粉丘里管等的应用。
伯努利方程和连续性原理是解决流体力学问题的两大基本原理，读者应深刻理解，熟加记忆。