任意角的三角函数同角关系式与诱导公式
sinx· cosx· －tanx 【解析】(1)f(x)＝ tanx· [－sinπ＋x] sinx· cosx ＝－ ＝－cosx. sinx 3π 3π π (2)∵cos(α－ )＝cos( －α)＝cos[π＋( －α)] 2 2 2 π 1 ＝－cos( －α)＝－sinα＝ ， 2 5 1 ∴sinα＝－ ，又 α 是第三象限角． 5 2 6 2 ∴cosα＝－ 1－sin α＝－ . 5 2 6 ∴f(α)＝－cosα＝ . 5 . 【点评】诱导公式在应用时的易错点是符号确定 错误和名称转换错误，因此在运用诱导公式进行 三角变换时必须细心．
任意负角 任意正角 去负 ――→ 化负角为正角 的三角函数 360° 的三角函数 化为锐角 三角函数
也可简记为：负化正，大化小，化到锐角再查表．
一、任意角的三角函数、象限符号及其三角函数 线 例 1(1)(2011 全国新课标)已知角 θ 的顶点与原点 重合，始边与 x 轴正半轴重合，终边在直线 y＝2x 上， 则 cos2θ＝( B ) 4 3 3 4 A．－ B．－ C. D. 5 5 5 5 3 (2)已知角 α 满足 sinα≥ ，则角 α 的取值范围 2 π 2 { |2kπ+ 2kπ+ π,k Z 是 ； 3 3 (3)△ABC 为锐角三角形，若角 θ 的终边上一点 P sinθ 的坐标为 (sinA － cosB ， cosA － sinC) ，则 y ＝ ＋ |sinθ| |cosθ| tanθ －1 ＋ 的值为____. cosθ |tanθ|
(3)理解正弦函数、余弦函数在区间[0,2π]上的 性质(如单调性、 最大值和最小值以及与 x 轴的交点 π π 等)，理解正切函数在(－ ， )内的单调性． 2 2 (4) 理解同角三角函数的基本关系式： sin2x ＋ sinx 2 cos x＝1， ＝tanx. cosx (5)了解函数 y＝Asin(ωx＋φ)的物理意义；能画 出 y＝Asin(ωx＋φ)的图象，了解参数 A，ω，φ 对函 数图象变化的影响． (6) 了解三角函数是描述周期变化现象的重要 函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题．
3．任意角的三角函数 (1)三角函数的定义 设 P(x，y)是角 α 终边上任一点，且|PO| y x y ＝r(r＞0)，则有 sinα＝ ；cosα＝ ；tanα＝ . r r x (2)三角函数线
三角函数线是三角函数的一种几何表示， 即用如图所示的有向线段 MP，OM，AT 分别 表示角 α 的正弦、余弦、正切即正弦线、余弦 线、正切线．要注意的是当 α′在第二、三象 限时，α′角的终边与过 A 的切线不相交，因 而正切线中的 T 是其终边的反向延长线与过 A 的切线交点．
4．扇形周长为 6，面积为 2，则中心角的大小 为 1(rad)或4(rad) ．
【解析】设中心角为 α 弧度，半径为 r， 1 2 αr ＝2 则2 ， αr＋2r＝6 ⇒r2－3r＋2＝0， ∴r＝1 或 2，故 α＝1 或 4.
2 5 5．已知 sinα＝－ ，α∈(270° ，360° )， 5 5π 5 sin ＋α 2 2 则 tan(π＋α)＋ 的值为 . 5π cos －α 2
【点评】分子、分母都是关于sinα、cosα的齐次式， 分子、分母都除以cosnα，化正切导出结果．
1．三角函数
2．平面向量
一、基本初等函数Ⅱ(三角函数) 1．任意角的概念、弧度制 (1)了解任意角的概念． (2)了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互 化． 2．三角函数 (1)理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的 定义． π (2)能利用单位圆中的三角函数线推导出 ± α， 2 π±α 的正弦、 余弦、 正切的诱导公式， 能画出 y＝sinx， y＝cosx，y＝tanx 的图象，了解三角函数的周期性．
二、三角恒等变换 1．和与差的三角函数公式 (1) 会用向量的数量积推导出两角差的余 弦公式． (2) 能利用两角差的余弦公式推导出两角 差的正弦、正切公式． (3) 能利用两角差的余弦公式推导出两角 和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正 弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系． 2．简单的三角恒等变换 能运用上述公式进行简单的恒等变换 ( 包 括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对 这三组公式不要求记忆)．
三、 解三角形 1．正弦定理和余弦定理 掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些 简单的三角形度量问题． 2．应用 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方 法解决一些与测量和几何计算有关的实际问 题．
1．平面向量的实际背景及基本概念 (1)了解向量的实际背景． (2)理解平面向量的概念，理解两个向量相 等的含义． (3)理解向量的几何表示． 2．向量的线性运算 (1)掌握向量加法、减法的运算，并理解其 几何意义． (2)掌握向量数乘的运算及其几何意义，理 解两个向量共线的含义． (3) 了解向量线性运算的性质及其几何意 义．
3．(2011 江西)已知角 θ 的顶点为坐标原 点，始边为 x 轴的正半轴，若 P(4，y)是角 θ 2 5 终边上一点，且 sinθ＝－ ，则 y＝____. －8 5 【解析】∵r＝ x2＋y2＝ 16＋y2 2 5 且 sinθ＝－ 5 y y 2 5 ∴sinθ＝ ＝ 2＝－ 5 r 16＋y ∴θ 为第四象限角，解得 y＝－8.
【点评】三角函数的象限符号是学习三角函数 的基础知识，理解和记忆应数形结合，同时三 角函数线是三角函数值的形的表示，可应用它 作出三角函数图象，也可应用它解简单三角函 数不等式．
二、同角关系式和诱导公式及应用 sinπ－xcos2π－xtan－x＋π 例 2 已知函数 f(x)＝ . tanπ＋xsin－π－x (1)化简 f(x)的表达式； 3π 1 (2)若 α 是第三象限角，且 cos(α－ )＝ ，求 f(α) 2 5 的值．
三、三角函数中“齐次式”的求值问题 例 3 已知 sinα－ 2cosα＝0，求： cosα＋sinα (1) 的值； cosα－sinα (2)2sin2α－sinαcosα＋cos2α 的值．
【解析】∵sinα－ 2cosα＝0， ∴tanα＝ 2. tanα＋1 1＋ 2 (1)原式＝ ＝ ＝－3－2 2. 1－tanα 1－ 2 2sin2α－sinαcosα＋cos2α (2) 原 式 ＝ ＝ sin2α＋cos2α 2tan2α－tanα＋1 tan2α＋1 4－ 2＋1 5－ 2 ＝ ＝ . 3 3
【解析】 (1)设 P(t,2t)(t≠0)为角 θ 终边上任 意一点， t 则 cosθ＝ 5|t| 5 当 t>0 时，cosθ＝ ；当 t<0 时，cosθ＝ 5 5 － . 5 2 3 2 ∴cos2θ＝2cos θ－1＝ －1＝－ ，选 B. 5 5
3 (2)如图，作直线 y＝ 交单位圆于 A、B 2 两点，连结 OA、OB，则 OA 与 OB 围成的区 域(图中阴影部分)即为角 α 的终边的范围，故 π 满足条件的角 α 的集合为{α|2kπ＋ ≤α≤2kπ＋ 3 2π ，k∈Z}． 3
4．掌握正弦、余弦的诱导公式，并能灵活运用．
【基础检测】 1．sin600° 的值为( B ) 3 3 1 1 A. B．－ C．－ D. 2 2 2 2
【解析】sin600° ＝sin(360° ＋180° ＋60° ) 3 ＝－sin60° ＝－ ，选 B. 2
2．若 sinα<0 且 tanα>0，则 α 是(C ) A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【解析】由 sinα<0 且 tanα>0 得 α 是第三 象限角，选 C.
2 5 【解析】∵sinα＝－ ，又 α∈(270° ，360° )， 5 － 5 2 ∴cosα＝ 1－sin α＝ ， 5 5π π sin ＋α sin ＋α 2 2 ∴tan(π＋α)＋ ＝tanα＋ 5π π cos －α cos －α 2 2 sinα cosα 1 1 5 ＝ ＋ ＝ ＝ ＝－ . cosα sinα sinα· cosα 2 2 5 5 － · 5 5
【知识要点】 1．角的概念 (1)正角、负角和零角 按逆时针方向旋转而成的角叫做正角；按 顺时针方向旋转而成的角叫做负角；当一条射 线没有作任何旋转时而成的角叫做零角． (2)象限角 角的顶点与坐标原点重合，角的始边与 x 轴正半轴重合，角的终边落在第几象限，就把 这个角称作第几象限角． 角的终边落在坐标轴上，称为轴线角，这 个角不属于任何象限． (3)终边相同的角 所有与 α 角终边相同的角，连同 α 角在内 (而且只有这样的角)，可以用式子 k· 360° ＋α， k∈Z 表示，或 2kπ＋α，k∈Z.
(3)三角函数的定义域，值域 y＝sinα，y＝cosα 的定义域是 是 [－1,1] ． y＝tanα 的定义域是
R ，值域
π {α|α∈R且α≠kπ＋ ，k∈Z} 2
，
值域是 R . 4．同角三角函数的基本关系 sin2α＋cos2α＝1 ; (1)平方关系： (2)商数关系：
tan sin cos
3．平面向量的基本定理及坐标表示 (1)了解平面向量的基本定理及其意义． (2)掌握平面向量的正交分解及其坐标表示． (3)会用坐标表示平面向量的加法、减法与数 乘运算． (4)理解用坐标表示的平面向量共线的条件． 4．平面向量的数量积 (1) 理解平面向量数量积的含义及其物理意 义． (2) 了解平面向量的数量积与向量投影的关 系． (3)掌握数量积的坐标表示式，会进行平面向 量数量积的运算． (4)能运用数量积表示两个向量的夹角，会用 数量积判断两个平面向量的垂直关系．
.
5．诱导公式 (1)2kπ±α(k∈Z)，－α，π±α，2π±α 的三角函数等 于 α 的同名 三角函数值，前面加上一个把 α 看成锐 __ 角时原函数值的符号． π 3π (2) ± α， ± α 的三角函数值等于 α 的互余函数值， 2 2 前面加上一个把 α 看成 锐 角时原函数值的符号． 记忆方法为：奇变偶不变，符号看象限． π (注：奇、偶指 的奇数倍或偶数倍)． 2 (3)化任意角的三角函数为锐角三角函数，其一般 步骤是“去负——脱周——化锐”，即
考研必备三角函数公式
三角函数诱导公式常用的诱导公式有以下几组：公式一：设α为人意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin（2kπ＋α）＝sinαcos（2kπ＋α）＝cosαtan（2kπ＋α）＝tanαcot（2kπ＋α）＝cotα公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin（π＋α）＝－sinαcos（π＋α）＝－cosαtan（π＋α）＝tanαcot（π＋α）＝cotα公式三：任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：sin（－α）＝－sinαcos（－α）＝cosαtan（－α）＝－tanαcot（－α）＝－cotα公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（π－α）＝sinαcos（π－α）＝－cosαtan（π－α）＝－tanαcot（π－α）＝－cotα公式五：利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（2π－α）＝－sinαcos（2π－α）＝cosαtan（2π－α）＝－tanαcot（2π－α）＝－cotα公式六：π/2±α与α的三角函数值之间的关系：sin（π/2＋α）＝cosαcos（π/2＋α）＝－sinαtan（π/2＋α）＝－cotαcot（π/2＋α）＝－tanαsin（π/2－α）＝cosαcos（π/2－α）＝sinαtan（π/2－α）＝cotαcot（π/2－α）＝tanα诱导公式记忆口诀※规律总结※上面这些诱导公式可以概括为：对于k·π/2±α(k∈Z)的个三角函数值，①当k是偶数时，得到α的同名函数值，即函数名不改变；②当k是奇数时，得到α相应的余函数值，即sin→cos;cos →sin;tan→cot,cot→tan.（奇变偶不变）然后在前面加上把α看成锐角时原函数值的符号。
（符号看象限）例如：sin(2π－α)＝sin(4·π/2－α)，k＝4为偶数，所以取sinα。
角函数公式大全及推导过程
三角函数公式大全及推导过程一、任意角的三角函数在角α的终边上任取．．一点),(y x P ，记：22y x r +=， 正弦：r y =αsin 余弦：r x =αcos 正切：xy =αtan 二、同角三角函数的基本关系式 商数关系：αααcos sin tan =，平方关系：1cos sin 22=+αα，221cos 1tan αα=+ 三、诱导公式公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin （2kπ＋α）= sinα cos（2kπ＋α）= cosα tan（2kπ＋α）= tanα 公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin （π＋α）= -sinα cos（π＋α）= -cosα tan（π＋α）= tanα 公式三：任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：sin （-α）= -sinα cos（-α）= cosα tan（-α）= -tanα 公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： sin （π-α）= sinα cos（π-α）= -cosα tan（π-α）= -tanα 公式五： 利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： sin （2π-α）= -sinα cos（2π-α）= cosα tan（2π-α）= -tanα 公式六：2π±α及23π±α与α的三角函数值之间的关系： sin （2π-α）= cosα cos（2π-α）= sinα sin （2π+α）= cosα cos（2π+α）= -sinα sin （23π-α）= -cosα cos（23π-α）= -sinα sin （23π+α）= -cosα cos（23π+α）= sinα 三、两角和差公式βαβαβαsin cos cos sin )sin(⋅+⋅=+βαβαβαsin cos cos sin )sin(⋅-⋅=-βαβαβαsin sin cos cos )cos(⋅-⋅=+βαβαβαsin sin cos cos )cos(⋅+⋅=-βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(⋅-+=+ βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(⋅+-=- 四、二倍角公式αααcos sin 22sin =ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=…)(*ααα2tan 1tan 22tan -= 二倍角的余弦公式)(*有以下常用变形：（规律：降幂扩角，升幂缩角） αα2cos 22cos 1=+ αα2sin 22cos 1=-2)cos (sin 2sin 1ααα+=+ 2)cos (sin 2sin 1ααα-=-其它公式 五、辅助角公式：)sin(cos sin 22ϕ++=+x b a x b x a （其中ab =ϕtan ） 其中：角ϕ的终边所在的象限与点),(b a 所在的象限相同，(以上k ∈Z)六、其它公式：1、正弦定理：R Cc B b A a 2sin sin sin ===（R 为ABC ∆外接圆半径） 2、余弦定理 A bc c b a cos 2222⋅-+=B ac c a b cos 2222⋅-+=C ab b a c cos 2222⋅-+=3、三角形的面积公式 高底⨯⨯=∆21ABC S B ca A bc C ab S ABC sin 21sin 21sin 21===∆（两边一夹角）万能公式推导sin2α=2sinαcosα=2sinαcosα/(cos^2(α)+sin^2(α))......*，（因为cos^2(α)+sin^2(α)=1）再把*分式上下同除cos^2(α)，可得sin2α=2tanα/(1+tan^2(α))然后用α/2代替α即可。
三角函数笔记
cos2 1 cos .
2
2
公
式
tan
2=
1
2
tan tan
2
十、辅助角公式
令 cos a ,sin
a2 b2 a sin x b cos x
b a2 b2
a2 b2 ( a sin x b cos x)
a2 b2
a2 b2
a2 b2 cos sin x sin cos x
a2 b2 sin x cos cos x sin
a2 b2 sin x .
十一、正弦定理、余弦定理及推论
a b c. sin A sin B sin C
a2 =b2 c2 2bc cos A； b2 =a2 c2 2ac cos B； c2 =a2 + b2 - 2abcosC.
一般解法
由A+B+C=180°求角A,由正弦定理 求出b与c.
由余弦定理求出第三边c，再由 正弦定理求出剩下的角.
由正弦定理求出角B,再求角C, 最后求出c边.可有两解,一解 或无解. 先由余弦定理求出其中两个角,再利 用内角和为180°求出第三个角.
三角函数必记内容
一、弧长公式与扇形面积公式
1、弧长公式：
l = r
2、扇形面积公式：
1
S= 2 lr
S=
1 2
r2
R
L
α
二、单位圆中三角函数的定义
sin y cos x tan y(x≠0)
x
三、任意角的三角函数定义
sin y , cos x , tan y
r
r
x
四、同角三角函数的基本关系式
0
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第十八讲：同角三角函数基本关系与诱导公式
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5
考点陪练
1.α 是第四象限角，tanα＝－152，则 sinα＝(
)
1 A.5
B．－15
5 C.13
D．－
5 13
解析：由 tanα＝csoinsαα＝－152，sin2α＋cos2α＝1，及 α 是第四象
限角，解得csionsαα＝＝－11231.53，
)
A．1
B．0
C．－1
1 D.2
解析：原式＝cotαta－nαco－sαco－sαs3inα2＝ctaontααtan2α＝1.
❖ 答案：A
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9
4．cos－769π的值为(
A．－12
1 B.2
)
C．－
3 2
3 D. 2
解析：cos－769π＝cos769π＝cos13π＋π6＝－cosπ6＝－ 23，故 选 C.
由
tanα＝2 知
sinα＝
2 ，又 5
cosα＝13，
∵sin2α＋cos2α≠1，∴B 错．
由 sinα＝12得 cosα＝± 23，∴tanα＝± 33，
当 α 为第一象限角时有 tanα＝ 33，故选 C.
❖ 答案：C
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8
3．化简cotα－ tan4ππ＋·cαos·cαo＋s3π－·sαin－2πα－3π的结果是(
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❖ [点评] (1)掌握诱导公式，关键掌握函数名及 符号，口诀“奇变偶不变，符号看象限”．
❖ (2)k是奇数还是偶数，直接影响到用哪组诱导公 式．
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❖ 类型四 同角三角函数基本关系式与诱导公式 的综合应用
同角三角函数基本关系式、三角函数的诱导公式
一、知识概述1、同角三角函数的基本关系式同角三角函数基本关系可概括为平方关系，商数关系和倒数关系，如考虑sinα，cos α，tanα，cotα与secα，cscα六个函数，还可借助如下图表形象记忆：（1）对角线上两个函数的积为1（倒数关系）（2）任一顶点的函数等于与其相邻两个顶点的函数的积（商数关系）（3）阴影部分，顶角两个函数的平方和等于底角函数的平方（平方关系）由此图可得出公式的变形形式或其他同角函数关系式．平方关系：sin2α＋cos2α=1，sec2α=1＋tan2α，csc2α=1＋cot2α.商数关系：倒数关系：tanα·cotα=1，sinα·cscα=1，cosα·secα=1.注：课本上只介绍了其中两个重要的关系式，事实上，掌握好其余的五个关系式能在有关解题中节省过程，带来方便.2、三角函数的诱导公式公式一：sin(α＋k·)=sinαcos(α＋k·)=cosαtan(α＋k·)=tanα其中k∈Z．公式二：sin(＋α)=－sinαcos(＋α)=－cosαtan(＋α)=tanα公式三：sin(－α)=－sinαcos(－α)=cosαtan(－α)=－tanα公式四：sin(－α)=sinαcos(－α)=－cosαtan(－α)=－tanα总结：α＋k·2（k∈Z），－α，±α的三角函数，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号。
公式五：sin(－α)=cosαcos(－α)=sinα公式六：sin(＋α)=cosαcos(＋α)=－sinα总结：±α的正弦（余弦）函数值，分别等于α的余弦（正弦）函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．二、重、难点知识归纳及讲解（一）利用诱导公式可以把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，即：例1、求值：.分析：运用诱导公式，对于cot，可先求出sin，cos，然后由商数关系可求出cot.解：原式例2、设的值为（）A．B．C．－1 D．1分析：利用诱导公式将条件等式和欲求式都化到α的同名三角函数上去，再利用同角三角函数基本关系式求解.解答：（二）同角三角函数关系式在求值、化简、证明中的应用.1、已知角α的某一三角函数值，可求出α的其余三角函数值.例3、已知tanα=2，求2sin2α－3sinαcosα－2cos2α的值.分析：由平方关系知1=sin2α＋cos2α，可把式子的分母看成sin2α＋cos2α，然后分子分母同除以cos2α，可得.解：2、利用同角三角函数关系式进行化简：化简结果的基本要求：（1）函数个数尽可能少；（2）次数尽可能低；（3）项数尽可能少；（4）尽可能地去掉根号；（5）尽可能地不含分母；（6）能求出值的要求出值来.例4、若sinαcosα<0，sinαtanα<0，化简：.分析：要想去掉根号，就应考虑将被开方数配成完全平方的形式.解：∵sinαcosα<0，sinαtanα<0.∴α是第二象限角.故是第一或第三象限角.原式若是第一象限角，此时1±sin>0，cos>0. 原式=若是第三象限角，此时1±sin>0，cos<0. 原式=.3、利用同角关系式进行三角恒等式的证明.证明三角恒等式的方法较多，既可由一边证向另一边，也可先证得另一个等式成立，从而得出要证的等式，还可用比较法证明等，关键是要依题而定。
同角三角函数基本关系与64个诱导公式经典记忆法
2
意即为“A——all(全部)”、“S——sin”、“T——tan”、“C——cos” 。
2
（四）利用诱导公式，我们可以把任意角的三角函数转化为锐角三角函数。 具体步骤如下：
任意负角的 三角函数 用公式一或三 （负化正） 任意正角的 三角函数 用公式一或七 （大化小）
利用公式二和公式三可以得到公式四。 5、公式五：
2
-α与α的三角函数值之间的关系：
（1）sin（ （2）cos（
2
－α）= cosα ( * ) －α）= sinα ( * ) －α）= cotα －α）= tanα —α) = cscα —α) = secα 直线 y=x α 终边
2
（3）tan（ （4）cot（ （5）sec ( （6）csc (
3 +α与α的三角函数值之间的关系： 2 3 +α）=－cosα 2 3 +α）= 2
sinα
（1）sin（ （2）cos（ （3）tan（
同角三角函数基本关系与 64 个诱导公式的经典记忆法
说明：公式后标有 ( * ) 是课标要求熟练掌握的内容！
一、同角三角函数的基本关系式及六边形记忆法
构造以"上弦、中切、下割；左正、右余、中间 1"的六边形为模型（如 下图所示）：
sin
cos
tan
1
cot
sec
1、平方关系
顶点上的三角函数值的平方和 等于下面一个顶点上的三角函数值的平方。 （1）sin 2 α +cos 2 α =1 （2）1+tan α =sec α （3）1+cot 2 α =csc 2 α 2、商数关系 六边形任意一顶点上的三角函数值等于与它相邻的两个顶点上 三 角函数值的乘积 （主要是两条红线两端的三角函数值的乘积，
三角函数公式(填空)
三角函数公式1．锐角三角函数公式sin α=；cos α=；tan α=；cot α=4．同角三角函数的基本关系式倒数关系: tanα ·cotα＝；商的关系：tan a=；平方关系：sin2α＋cos2α＝5．诱导公式：公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin（2kπ＋α）= ；cos（2kπ＋α）=tan（kπ＋α）= ；cot（kπ＋α）=公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin（π＋α）= ；cos（π＋α）=tan（π＋α）= ；cot（π＋α）=公式三：任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： sin （-α）= ；cos （-α）= tan （-α）= ；cot （-α）= 公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： sin （π-α）= ；cos （π-α）= tan （π-α）= ；cot （π-α）= 公式五：利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： sin （2π-α）= ；cos （2π-α）= tan （2π-α）= ；cot （2π-α）= 公式六：π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： sin （π/2+α）= ； cos （π/2+α）= tan （π/2+α）= ； cot （π/2+α）= sin （π/2-α）= ； cos （π/2-α）= tan （π/2-α）= ； cot （π/2-α）= sin （3π/2+α）= ；cos （3π/2+α）= tan （3π/2+α）= ；cot （3π/2+α）= sin （3π/2-α）= ； cos （3π/2-α）=tan （3π/2-α）= ； cot （3π/2-α）=6．和角公式：sin(A+B) = ； sin(A-B) =cos(A+B) = ； cos(A-B) =()tan A B += ； ()t a n A B-=7．倍角公式Sin2A= ; Cos2A= = =tan2A =8．半角公式22a sin = 22a c o s =9．化asinα ±bcosα为一个角的一个三角函数的形式（辅助角的三角函数的公式）。
同角三角函数基本关系式与诱导公式知识点讲解+例题讲解(含解析)
同角三角函数基本关系式与诱导公式一、知识梳理1.同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.(2)商数关系：sin αcos α＝tanα.2.三角函数的诱导公式总结：1.同角三角函数关系式的常用变形(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α；sin α＝tan α·cos α.2.诱导公式的记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指π2的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化.3.在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号.二、例题精讲 + 随堂练习1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角.()(2)六组诱导公式中的角α可以是任意角.()(3)若α∈R，则tan α＝sin αcos α恒成立.()(4)若sin(k π－α)＝13(k ∈Z )，则sin α＝13.( ) 解析 (1)中对于任意α∈R ，恒有sin(π＋α)＝－sin α. (3)中当α的终边落在y 轴，商数关系不成立. (4)当k 为奇数时，sin α＝13， 当k 为偶数时，sin α＝－13. 答案 (1)× (2)√ (3)× (4)×2.已知tan α＝－3，则cos 2α－sin 2α＝( ) A.45B.－45C.35D.－35解析 由同角三角函数关系得cos 2α－sin 2α＝cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α＝1－91＋9＝－45.答案 B3.已知α为锐角，且sin α＝45，则cos (π＋α)＝( ) A.－35B.35C.－45D.45解析 因为α为锐角，所以cos α＝1－sin 2α＝35， 故cos(π＋α)＝－cos α＝－35. 答案 A4.(2017·全国Ⅲ卷)已知sin α－cos α＝43，则sin 2α＝( )A.－79B.－29C.29D.79 解析 ∵(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1－sin 2α， ∴sin 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫432＝－79.答案 A5.(2019·济南质检)若sin α＝－513，且α为第四象限角，则tan α＝( ) A.125B.－125C.512D.－512解析 ∵sin α＝－513，α为第四象限角，∴cos α＝1－sin 2α＝1213，因此tan α＝sin αcos α＝－512. 答案 D6.(2018·上海嘉定区月考)化简：sin 2(α＋π)·cos(π＋α)·cos(－α－2π)tan(π＋α)·sin 3⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α·sin(－α－2π)＝________.解析 原式＝sin 2α·(－cos α)·cos αtan α·cos 3α·(－sin α)＝sin 2αcos 2αsin 2αcos 2α＝1.答案 1考点一 同角三角函数基本关系式 角度1 公式的直接运用【例1－1】 (2018·延安模拟)已知α∈⎝⎛⎭⎪⎫－π，－π4，且sin α＝－13，则cos α＝( ) A.－223 B.223 C.±223 D.23解析 因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π，－π4，且sin α＝－13>－22＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，所以α为第三象限角，所以cos α＝－1－sin 2α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－132＝－223. 答案 A角度2 关于sin α，cos α的齐次式问题 【例1－2】 已知tan αtan α－1＝－1，求下列各式的值.(1)sin α－3cos αsin α＋cos α；(2)sin 2α＋sin αcos α＋2.解 由已知得tan α＝12. (1)sin α－3cos αsin α＋cos α＝tan α－3tan α＋1＝－53. (2)sin 2α＋sin αcos α＋2＝sin 2α＋sin αcos αsin 2α＋cos 2α＋2＝tan 2α＋tan αtan 2α＋1＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋1＋2＝135.角度3 “sin α±cos α，sin αcos α”之间的关系 【例1－3】 已知x ∈(－π，0)，sin x ＋cos x ＝15. (1)求sin x －cos x 的值； (2)求sin 2x ＋2sin 2x 1－tan x 的值.解 (1)由sin x ＋cos x ＝15，平方得sin 2x ＋2sin x cos x ＋cos 2x ＝125， 整理得2sin x cos x ＝－2425.所以(sin x －cos x )2＝1－2sin x cos x ＝4925. 由x ∈(－π，0)，知sin x <0，又sin x ＋cos x >0， 所以cos x >0，则sin x －cos x <0， 故sin x －cos x ＝－75.(2)sin 2x ＋2sin 2x 1－tan x＝2sin x （cos x ＋sin x ）1－sin x cos x＝2sin x cos x （cos x ＋sin x ）cos x －sin x＝－2425×1575＝－24175.【训练1】 (1)(2019·烟台测试)已知sin αcos α＝18，且5π4<α<3π2，则cos α－sin α的值为( )A.－32B.32C.－34D.34(2)已知sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5，则cos 2α＋12sin 2α的值是( )A.35B.－35C.－3D.3解析 (1)∵5π4<α<3π2，∴cos α<0，sin α<0且cos α>sin α， ∴cos α－sin α>0.又(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×18＝34， ∴cos α－sin α＝32.(2)由sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5得tan α＋33－tan α＝5，可得tan α＝2，则cos 2α＋12sin 2α＝cos 2α＋sin αcos α＝cos 2α＋sin αcos αcos 2α＋sin 2α＝1＋tan α1＋tan 2α＝35.答案 (1)B (2)A考点二 诱导公式的应用【例2】 (1)设f (α)＝2sin （π＋α）cos （π－α）－cos （π＋α）1＋sin 2α＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α(1＋2sin α≠0)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫76π＝________. (2)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝a ，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋θ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ的值是________. 解析 (1)∵f (α)＝（－2sin α）（－cos α）＋cos α1＋sin 2α＋sin α－cos 2α＝2sin αcos α＋cos α2sin 2α＋sin α＝cos α（1＋2sin α）sin α（1＋2sin α）＝1tan α，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫76π＝1tan 76π＝1tan π6＝ 3. (2)∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋θ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝－a ，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝a ， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋θ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ＝－a ＋a ＝0.答案 (1)3 (2)0【训练2】 (1)(2019·衡水中学调研)若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝23，则cos(π－2α)＝( )A.29B.59C.－29D.－59 (2)(2017·北京卷)在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称.若sin α＝13，则sin β＝________. 解析 (1)由cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝23，得sin α＝23.∴cos(π－2α)＝－cos 2α＝－(1－2sin 2α)＝2sin 2α－1＝2×29－1＝－59. (2)α与β的终边关于y 轴对称，则α＋β＝π＋2k π，k ∈Z ，∴β＝π－α＋2k π，k ∈Z .∴sin β＝sin(π－α＋2k π)＝sin α＝13. 答案 (1)D (2)13考点三 同角三角函数基本关系式与诱导公式的综合应用【例3】 (1)(2019·菏泽联考)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝13，则tan(π＋2α)＝( ) A.427B.±225C.±427D.225(2)(2019·福建四地六校联考)已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋β＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0，则sin α的值是( ) A.355B.377C.31010D.13解析 (1)∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝13，∴cos α＝13，sin α＝－223，tan α＝sin αcos α＝－2 2.∴tan(π＋2α)＝tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－421－（－22）2＝427. (2)由已知得⎩⎨⎧3sin β－2tan α＋5＝0，tan α－6sin β－1＝0.消去sin β，得tan α＝3，∴sin α＝3cos α，代入sin 2α＋cos 2α＝1，化简得sin 2α＝910，则sin α＝31010(α为锐角). 答案 (1)A (2)C(3)已知－π<x <0，sin(π＋x )－cos x ＝－15. ①求sin x －cos x 的值； ②求sin 2x ＋2sin 2 x 1－tan x的值.解 ①由已知，得sin x ＋cos x ＝15， 两边平方得sin 2x ＋2sin x cos x ＋cos 2x ＝125，整理得2sin x cos x ＝－2425.∵(sin x －cos x )2＝1－2sin x cos x ＝4925，由－π<x <0知，sin x <0， 又sin x cos x ＝－1225<0， ∴cos x >0，∴sin x －cos x <0， 故sin x －cos x ＝－75.②sin 2x ＋2sin 2x 1－tan x＝2sin x （cos x ＋sin x ）1－sin x cos x＝2sin x cos x （cos x ＋sin x ）cos x －sin x＝－2425×1575＝－24175.【训练3】 (1)(2019·湖北七州市联考)已知α∈(0，π)，且cos α＝－513，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α·tan α＝( ) A.－1213 B.－513C.1213D.513(2)已知θ是第四象限角，且sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝35，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝________.解析 (1)∵α∈(0，π)，且cos α＝－513，∴sin α＝1213，因此sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α·tan α＝cos α·sin αcos α＝sin α＝1213.(2)由题意，得cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝45，∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝34.∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4－π2＝－1tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝－43. 答案 (1)C (2)－43三、课后练习1.若sin θ，cos θ是方程4x 2＋2mx ＋m ＝0的两根，则m 的值为( ) A.1＋ 5 B.1－5 C.1± 5D.－1－5解析 由题意知sin θ＋cos θ＝－m 2，sin θ·cos θ＝m4.又()sin θ＋cos θ2＝1＋2sin θcos θ，∴m 24＝1＋m2，解得m ＝1± 5.又Δ＝4m 2－16m ≥0，∴m ≤0或m ≥4，∴m ＝1－ 5. 答案 B2.已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π2＋α＝1225，且0<α<π4，则sin α＝________，cos α＝________.解析 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π2＋α＝－cos α·(－sin α)＝sin αcos α＝1225.∵0<α<π4，∴0<sin α<cos α.又∵sin 2α＋cos 2α＝1，∴sin α＝35，cos α＝45. 答案 35 453.已知k ∈Z ，化简：sin （k π－α）cos[（k －1）π－α]sin[（k ＋1）π＋α]cos （k π＋α）＝________.解析 当k ＝2n (n ∈Z )时，原式＝sin （2n π－α）cos[（2n －1）π－α]sin[（2n ＋1）π＋α]cos （2n π＋α）＝sin （－α）·cos （－π－α）sin （π＋α）·cos α＝－sin α（－cos α）－sin α·cos α＝－1；当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，原式＝sin[（2n ＋1）π－α]·cos[（2n ＋1－1）π－α]sin[（2n ＋1＋1）π＋α]·cos[（2n ＋1）π＋α]＝sin （π－α）·cos αsin α·cos （π＋α）＝sin α·cos αsin α（－cos α）＝－1. 综上，原式＝－1. 答案 －14.是否存在α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，β∈(0，π)，使等式sin(3π－α)＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－β，3cos(－α)＝－2cos(π＋β)同时成立？若存在，求出α，β的值；若不存在，请说明理由. 解 假设存在角α，β满足条件，则由已知条件可得⎩⎨⎧sin α＝2sin β， ①3cos α＝2cos β，②由①2＋②2，得sin 2α＋3cos 2α＝2. ∴sin 2α＝12，∴sin α＝±22.∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，∴α＝±π4. 当α＝π4时，由②式知cos β＝32，又β∈(0，π)，∴β＝π6，此时①式成立； 当α＝－π4时，由②式知cos β＝32，又β∈(0，π)，∴β＝π6，此时①式不成立，故舍去.∴存在α＝π4，β＝π6满足条件.5.已知sin α＝23，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则cos(π－α)＝________，cos 2α＝________.解析 cos(π－α)＝－cos α＝－1－sin 2α＝－73，cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－732－⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝59.答案 －73 59。
同角三角函数的基本关系及诱导公式
同角三角函数的基本关系及诱导公式同角三角函数是指在同一个角度上的三角函数的关系。
基本的同角三角函数有正弦函数（sin），余弦函数（cos），正切函数（tan），割函数（sec），余割函数（csc）和余角函数（cot）。
这些函数之间存在一系列基本关系和诱导公式，用来计算各个函数的值。
下面是同角三角函数的基本关系及诱导公式。
1. 正弦函数（sin）：正弦函数表示任意角的对边与斜边的比值。
正弦函数在数学中常用于求解三角形的边长和角度。
基本关系：sinθ = y / r即正弦函数的值等于垂直边（对边）与斜边的比值。
诱导公式：sin(π/2 - θ) = cosθsin(π - θ) = sinθsin(3π/2- θ) = -cosθsin(2π - θ) = -sinθsin(θ + 2πn) = sinθ2. 余弦函数（cos）：余弦函数表示任意角的邻边与斜边的比值。
余弦函数在物理学、工程学和几何学中经常使用。
基本关系：cosθ = x / r即余弦函数的值等于邻边与斜边的比值。
诱导公式：cos(π/2 - θ) = sinθcos(π - θ) = -cosθcos(3π/2 - θ) = -sinθcos(2π - θ) = cosθcos(θ + 2πn) = cosθ3. 正切函数（tan）：正切函数表示任意角的对边与邻边的比值。
正切函数在三角学和物理学中经常用于计算角度的度量单位。
基本关系：tanθ = y / x即正切函数的值等于对边与邻边的比值。
诱导公式：tan(π/2 - θ) = 1 / tanθtan(π - θ) = -tanθtan(3π/2 - θ) = 1 / tanθtan(2π - θ) = tanθtan(θ + πn) = tanθ4. 割函数（sec）：割函数是余弦函数的倒数，表示任意角的斜边与邻边的比值的倒数。
基本关系：secθ = r / x即割函数的值等于斜边与邻边的比值的倒数。
三角函数的基本关系及诱导公式
2．诱导公式:
奇变偶不变，符号看象限
（二）常见题型：
1．化简. 2．求值. 3. 证明.
石色、天空变成了淡红色、四周发出了温柔的巨响……。只听一声飘飘悠悠的声音划过，二只很像甩鬼鸡窝般的瀑布状的串串闪光物体中，突然同时射出三缕奇妙无比 的蓝宝石色鸟影，这些奇妙无比的蓝宝石色鸟影被光一窜，立刻变成星月飞光的泡泡，不一会儿这些泡泡就跃动着奔向庞然怪柱的上空，很快在六大广场之上变成了清 晰可见的跳动自由的团体操……这时，瀑布状的物体，也快速变成了令牌模样的米黄色发光体开始缓缓下降，只见Ｂ．可日勃教主神力一转古老的披风，缓缓下降的米 黄色发光体又被重新颤向天穹！就见那个亮闪闪、胖墩墩的，很像熊猫模样的发光体一边狂舞抖动，一边飞舞升华着发光体的色泽和质感。蘑菇王子：“哇！看来玩这 玩意儿并不复杂，只要略知一二，再加点花样翻新一下就可以弄出来蒙世骗人混饭吃了……知知爵士：“嗯嗯，关键是活学活用善于创新！本人搞装潢的专业可是经过 著名领袖亲传的．”蘑菇王子：“哈哈，学知识就需要你这种的革新态度！”知知爵士：“嗯嗯，谢谢学长鼓励，我真的感到无比自豪……”这时，Ｂ．可日勃教主忽 然抖动深橙色火苗样的嘴唇一闪，露出一副诡异的神色，接着扭动弯曲的春绿色猪肘耳朵，像灰蓝色的九爪海湾鹏般的一抖，晶亮的春绿色猪肘耳朵瞬间伸长了五十倍 ，喷出的心脏也忽然膨胀了五十倍……接着修长的手指忽然颤动摇晃起来……短粗的亮黄色令牌般的鼻子窜出亮蓝色的丝丝惨烟……歪斜的亮蓝色细小轻盈一样的胡须 射出水红色的隐隐奇寒！紧接着亮橙色肥肠一样的心脏骤然跳出明粉色的风景桐摇淡歌味……散射的深青色磨盘一样的气味窜出鳄耍 蹦声和喇喇声……柔软的纯黄 色火腿一般的骨骼时浓时淡透出腐酣垃圾般的飘动……最后甩起弯曲的墨绿色门扇般的手掌一晃，突然从里面滚出一道幽光，他抓住幽光恬淡地一摇，一套红晶晶、蓝 冰冰的兵器『绿金骨圣鸡窝刀』便显露出来，只见这个这件奇物儿，一边疯耍，一边发出“唰唰”的神声。忽然间Ｂ．可日勃教主急速地使自己高雅的深橙色耳坠般的 神态绕动出亮蓝色的枷锁味，只见他冒烟的戒指中，萧洒地涌出九组榴莲状的仙翅枕头尺，随着Ｂ．可日勃教主的晃动，榴莲状的仙翅枕头尺像小鬼一样在双腿上傲慢 地调弄出阵阵光墙……紧接着Ｂ．可日勃教主又念起咿咿呀呀的宇宙语，只见他脏脏的淡黄色刀峰似的眉毛中，快速窜出九串陀螺状的糖块，随着Ｂ．可日勃教主的转 动，陀螺状的糖块像车灯一样，朝着俊蛙玛瑙台上面悬浮着的发光体狂冲过去。紧跟着Ｂ．可日勃教主也摇耍着兵器像马心般的怪影一样向俊蛙玛瑙台上面悬浮着的发 光体狂冲过