2018届高三数学二轮复习第一篇专题突破专题三三角函数及解三角形第2讲三角恒等变换与解三角形课件理
2
2
cos10(1 3 tan10) 2.(2017新疆第二次适应性检测) 的值是 cos50
.
答案 解析
(4)弦切互化:一般是切化弦.
跟踪集训
1.(2017洛阳第一次统一考试)若sin α = ,则cos 2α = 3 4 3
1
.
答案
-
7 8
解析 cos 2α =cos 2α =-cos 2α =- 1 2sin 2 α , 3 3 3 3
5
5 , 又β∈ , 3 ,故β-α∈ ,
2
2 4
∴cos(β-α)=- 3 10 ,∴cos(α+β)=cos[(β-α)+2α]=cos(β-α)cos 2α-sin(β-α)sin 2α
10 3 10 2 5 10 5 2 = × × = , 10 5 5 2 10
a2 1 解析 (1)由题设得 acsin B= , 3sin A 2 a 1 即 csin B= . 3sin A 2 sin A 1 由正弦定理得 sin Csin B= . 3sin A 2 2 故sin Bsin C= . 3
1 (2)由题设及(1)得cos Bcos C-sin Bsin C=- 2 , 1 即cos(B+C)=- 2 . 2 所以B+C= 3 ,故A= 3 . a2 1 由题设得 2 bcsin A= 3sin A ,即bc=8.
第2讲 三角恒等变换与解三角形
考情分析
总纲目录
考点一 三角恒等变换及求值 考点二 考点三 正弦定理、余弦定理（高频考点） 正、余弦定理的实际应用
考点一 三角恒等变换及求值
1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式
(1)sin(α±β)=sin αcos β±cos αsin β;
(2)cos(α±β)=cos αcos β∓sin αsin β;
典型例题
(1)(2017广西三市第一次联考)已知x∈(0,π),且cos 2 x =sin2x,则 2
1 A. 3
tan x 等于 4
( C.3
) D.-3
B.-
1 3
(2)若sin 2α= ( A. 7 )
10 5 3 , ,sin(β-α)= ,且α∈ , β ∈ , ,则α+β的值是 10 5 4 2
(2)∵α∈ , 所以 2 α ∈ , 又 sin 2 α = , 故 2 α ∈ , α ∈ , , , , , 2 5 4 2 4 2 2
tan x 1 1
5
所以cos 2α=- 2 5 .
tan α tan β (3)tan(α±β)= . 1 tan α tan β
2.二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin 2α=2sin αcos α; (2)cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α;
2tan α . 2 1 tan α
(3)tan 2α=
1.正弦ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ理及其变形
c a b = = =2R(R为△ABC的外接圆半径).变形:a=2 sin A sin B sin C a Rsin A,sin A= ,a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C. 2R
在△ABC中,
2.余弦定理及其变形 在△ABC中,a2=b2+c2-2bccos A, b2=a2+c2-2accos B, c2=a2+b2-2abcos C.
2
cos10(1 3 tan10) cos10 3 sin10 2sin(10 30) 2sin 40 = = = =2. cos50 cos50 sin 40 cos50
考点二 正弦定理、余弦定理(高频考点)
命题点
1.利用正、余弦定理求三角形的边长或角的大小. 2.利用正、余弦定理判定三角形的形状. 3.利用正、余弦定理求三角形的面积.
3.三角形面积公式 S△ABC= absin C= bcsin A= acsin B.
1 2 1 2 1 2
典型例题
(2017课标全国Ⅰ,17,12分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知
a2 △ABC的面积为 . 3sin A
(1)求sin Bsin C; (2)若6cos Bcos C=1,a=3,求△ABC的周长.
又α+β∈
7 5 , 2 ,所以α+β= ,故选A. 4 4
方法归纳 三角函数恒等变换“四大策略” (1)常值代换:特别是“1”的代换,1=sin2θ+cos2θ,1=tan 45°等; (2)项的分拆与角的配凑:如sin2α+2cos2α=(sin2α+cos2α)+cos2α,α=(α-β)+β 等; (3)降次与升次:正用二倍角公式升次,逆用二倍角公式降次;
4 C. 5 或 7 4 4
B. 9
4
D. 5 或 9
4
4
答案 解析
(1)A (2)A (1)由cos 2 x =sin2x得sin 2x=sin2x, 2
∵x∈(0,π),∴tan x=2,∴tan x = = . 1 tan x 3 4
b2 c2 a 2 变形:b +c -a =2bccos A,cos A= , 2bc a 2 c2 b2 2 2 2 a +c -b =2accos B,cos B= , 2ac a 2 b2 c2 2 2 2 a +b -c =2abcos C,cos C= . 2ab
2 2 2
2018年高考数学二轮复习第一部分专题二三角函数、平面向量第二讲三角恒等变换与解三角形教案
第二讲 三角恒等变换与解三角形[考情分析]三角变换及解三角形是高考考查的热点，然而单独考查三角变换的题目较少，题目往往以解三角形为背景，在应用正弦定理、余弦定理的同时，经常应用三角变换进行化简，综合性比较强，但难度不大.年份卷别 考查角度及命题位置 2017Ⅰ卷三角变换求值·T 15 正弦定理解三角形·T 11 Ⅲ卷 三角函数求值·T 4 正弦定理解三角形·T 15 2016Ⅰ卷利用余弦定理解三角形·T 4 Ⅱ卷 利用正弦定理解三角形·T 15 Ⅲ卷三角恒等变换求值问题·T 6解三角形·T 9[真题自检]1．(2017·高考全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知sin B ＋sin A (sin C －cos C )＝0，a ＝2，c ＝2，则C ＝( ) A.π12 B.π6 C.π4D.π3解析：因为sin B ＋sin A (sin C －cos C )＝0，所以sin(A ＋C )＋sin A ·sin C －sin A ·cos C ＝0，所以sin A cos C ＋cos A sin C ＋sin A sin C －sin A cos C ＝0，整理得sin C (sin A ＋cos A )＝0，因为sin C ≠0，所以sin A ＋cos A ＝0，所以tan A ＝－1，因为A ∈(0，π)，所以A ＝3π4，由正弦定理得sin C ＝c ·sin Aa ＝2×222＝12，又0<C <π4，所以C ＝π6.故选B. 答案：B2．(2016·高考全国卷Ⅲ)若tan θ＝－13，则cos 2θ＝( )A ．－45B ．－15C.15D.45解析：先利用二倍角公式展开，再进行“1”的代换，转化为关于tan θ的关系式进行求解． ∵cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＝1－tan 2θ1＋tan 2θ，又∵tan θ＝－13，∴cos 2θ＝1－191＋19＝45. 答案：D3．(2017·高考全国卷Ⅰ)已知α∈(0，π2)，tan α＝2，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝________. 解析：∵α∈(0，π2)，tan α＝2，∴sin α＝255，cos α＝55，∴cos(α－π4)＝cos αcosπ4＋sin αsin π4＝22×(255＋55)＝31010. 答案：31010三角恒等变换[方法结论]三角函数恒等变换“四大策略”(1)常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin 2θ＋cos 2θ＝tan 45° 等；(2)项的分拆与角的配凑：如sin 2α＋2cos 2α＝(sin 2α＋cos 2α)＋cos 2α，α＝(α－β)＋β等； (3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次； (4)弦、切互化：一般是切化弦．[题组突破]1．若tan α＝－22，且α是第四象限角，则cos 2(α－π2)＋sin(3π－α)cos(2π＋α)＋22cos 2(α＋π)＝( ) A ．－23B.23C ．－13D.13解析：通解：因为α是第四象限角，tan α＝－22，故sin αcos α＝－22，由sin 2 α＋cos 2 α＝1可得cos 2 α＝23，cos α＝63，sin α＝－33.cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2＋sin(3π－α)cos(2π＋α)＋22cos 2(α＋π)＝sin 2α＋sin αcos α＋22cos 2α＝13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－33×63＋23＝13，故选D. 优解：因为α是第四象限角，tan α＝－22，故cos 2(α－π2)＋sin(3π－α)cos(2π＋α)＋22cos 2(α＋π)＝sin 2α＋sin αcos α＋22cos 2α＝sin 2α＋sin αcos α＋22cos 2αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α＋tan α＋22tan 2α＋1＝1232＝13，故选D. 答案：D2．(2017·蚌埠模拟)已知sin 2α－2＝2cos 2α，则sin 2α＋sin 2α＝________.解析：由sin 2α－2＝2cos 2α得sin 2α＝2＋2cos 2α，即2sin αcos α＝4 cos 2α，即cos α＝0或tan α＝2.当cos α＝0时，sin 2α＋sin 2α＝1；当tan α＝2时，sin 2α＋sin 2α＝sin 2α＋2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α＋2tan αtan 2α＋1＝85. 综上，sin 2α＋sin 2α＝1或85.答案：1或853．(2017·合肥检测)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝－14，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2. (1)求sin 2α的值； (2)求tan α－1tan α的值．解析：(1)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α· sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－14，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－12，因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2，所以2α＋π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，4π3，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－32.所以sin 2α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3－π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3cos π3－cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3sin π3＝12.(2)由(1)知tan α－1tan α＝sin αcos α－cos αsin α＝sin 2 α－cos 2αsin αcos α＝－2cos 2αsin 2α＝－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－3212＝2 3. [误区警示]三角函数求值问题易出错的是忽视角的范围，导致结果增解．解三角形[方法结论]正、余弦定理、三角形面积公式(1)a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C＝2R (R 为△ABC 外接圆的半径)． 变形：a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ； sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R；a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C .(2)a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C .推论：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab.变形：b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ，a 2＋c 2－b 2＝2ac cos B ，a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C . (3)S △ABC ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A .[典例](2017·广州模拟)如图，在△ABC 中，点D 在边AB 上，CD ⊥BC ，AC ＝53，CD ＝5，BD ＝2AD .(1)求AD 的长； (2)求△ABC 的面积．解析：(1)在△ABC 中，因为BD ＝2AD ，设AD ＝x (x ＞0)，则BD ＝2x .在△BCD 中，因为CD ⊥BC ，CD ＝5，BD ＝2x ，所以cos ∠CDB ＝CD BD ＝52x.在△ACD 中，因为AD ＝x ，CD ＝5，AC ＝53，则cos ∠ADC ＝AD 2＋CD 2－AC 22×AD ×CD ＝x 2＋52－5322×x ×5.因为∠CDB ＋∠ADC ＝π，所以cos ∠ADC ＝－cos ∠CDB ，即x 2＋52－5322×x ×5＝－52x.解得x ＝5.所以AD 的长为5.(2)由(1)求得AB ＝3x ＝15，BC ＝4x 2－25＝5 3. 所以cos ∠CBD ＝BC BD ＝32，从而sin ∠CBD ＝12. 所以S △ABC ＝12×AB ×BC ×sin∠CBA ＝12×15×53×12＝7534.[类题通法]等价转化思想在解三角形中的应用利用正、余弦定理解三角形关键利用定理进行边角互化．即利用正弦定理、余弦定理等工具合理地选择“边”往“角”化，还是“角”往“边”化．若想“边”往“角”化，常利用“a ＝2R sinA ，b ＝2R sinB ，c ＝2R sinC ”；若想“角”往“边”化，常利用sin A ＝a 2R ，sin B ＝b2R ，sin C＝c 2R ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab等． [演练冲关]1．(2017·合肥模拟)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos C ＝223，b cos A＋a cos B ＝2，则△ABC 的外接圆面积为( ) A ．4π B ．8π C ．9πD ．36π解析：c ＝b cos A ＋a cos B ＝2，由cos C ＝223得sin C ＝13，再由正弦定理可得2R ＝csin C ＝6，所以△ABC 的外接圆面积为πR 2＝9π，故选C. 答案：C2．(2017·武汉调研)如图，据气象部门预报，在距离某码头南偏东45°方向600 km 处的热带风暴中心正以20 km/h 的速度向正北方向移动，距风暴中心450 km 以内的地区都将受到影响，则该码头将受到热带风暴影响的时间为( )A ．14 hB ．15 hC ．16 hD ．17 h解析：记现在热带风暴中心的位置为点A ，t 小时后热带风暴中心到达B 点位置，在△OAB 中，OA＝600，AB ＝20t ，∠OAB ＝45°，根据余弦定理得6002＋400t 2－2×20t ×600×22≤4502，即4t 2－1202t ＋1 575≤0，解得302－152≤t ≤302＋152，所以Δt ＝302＋152－302－152＝15(h)，故选B. 答案：B3．(2017·海口模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知(a －3b )·cos C ＝c (3cosB －cos A )．(1)求sin Bsin A的值；(2)若c ＝7a ，求角C 的大小．解析：(1)由正弦定理得，(sin A －3sin B )cos C ＝sin C ·(3cos B －cos A )， ∴sin A cos C ＋cos A sin C ＝3sin C cos B ＋3cos C sin B ， 即sin(A ＋C )＝3sin(C ＋B )，即sin B ＝3sin A ，∴sin Bsin A ＝3.(2)由(1)知b ＝3a ，∵c ＝7a ，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋9a 2－7a 22×a ×3a ＝3a 26a 2＝12，∵C ∈(0，π)，∴C ＝π3.解三角形与其他知识的交汇问题解三角形问题一直是近几年高考的重点，主要考查以斜三角形为背景求三角形的基本量、面积或判断三角形的形状，解三角形与平面向量、不等式、三角函数性质、三角恒等变换交汇命题成为高考的热点．[典例](1)在△ABC 中，AC →·AB →＝|AC →－AB →|＝3，则△ABC 面积的最大值为( ) A.21B.3214C.212D ．321解析：设角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ， ∵AC →·AB →＝|AC →－AB →|＝3，∴bc cos A ＝a ＝3.又cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ≥1－92bc ＝1－3cos A2，∴cos A ≥25，∴0＜sin A ≤215，∴△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝32tan A ≤32×212＝3214，故△ABC 面积的最大值为3214.答案：B(2)(2017·南昌模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos2B －C2－sin B ·sinC ＝2－24. ①求角A ；②若a ＝4，求△ABC 面积的最大值． 解析：①由cos2B －C2－sin B ·sin C ＝2－24，得cos B －C 2－sin B ·sin C ＝－24， ∴cos(B ＋C )＝－22， ∴cos A ＝22(0＜A ＜π)，∴A ＝π4. ②由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得16＝b 2＋c 2－2bc ≥(2－2)bc ，当且仅当b ＝c 时取等号，即bc ≤8(2＋2)．∴S △ABC ＝12bc sin A ＝24bc ≤4(2＋1)，即△ABC 面积的最大值为4(2＋1)．[类题通法]化归与转化能力思想是求解三角与其他知识交汇问题的核心，分析交汇知识点，利用其间的联系可找出突破口，从而解决问题．[演练冲关]1．(2017·沈阳模拟)已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，面积为S ，且满足4S ＝a 2－(b －c )2，b ＋c ＝8，求S 的最大值． 解析：由题意得：4×12bc sin A ＝a 2－b 2－c 2＋2bc ，又a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，代入上式得：2bc sin A ＝－2bc cos A ＋2bc ，即sin A ＋cos A ＝1，2sin(A ＋π4)＝1，又0＜A ＜π，∴π4＜A ＋π4＜5π4，∴A ＋π4＝3π4，∴A ＝π2，S ＝12bc sin A ＝12bc ，又b ＋c ＝8≥2bc ，当且仅当b ＝c 时取“＝”，∴bc ≤16，∴S 的最大值为8.2．(2017·贵阳模拟)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c ，若b 2＋c 2－a 2＝bc . (1)求角A 的大小；(2)若a ＝3，求BC 边上的中线AM 的最大值． 解析：(1)由b 2＋c 2－a 2＝bc ，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12，又0＜A ＜π，∴A ＝π3.(2)∵AM 是BC 边上的中线，∴在△ABM 中，AM 2＋34－2AM ·32·cos∠AMB ＝c 2，①在△ACM 中，AM 2＋34－2AM ·32·cos∠AMC ＝b 2，②又∠AMB ＝π－∠AMC ，∴cos ∠AMB ＝－cos ∠AMC ，即cos ∠AMB ＋cos ∠AMC ＝0， ①＋②得AM 2＝b 2＋c 22－34.又a ＝3，∴b 2＋c 2－3＝bc ≤b 2＋c 22，∴b 2＋c 2≤6， ∴AM 2＝b 2＋c 22－34≤94，即AM ≤32， ∴BC 边上的中线AM 的最大值为32.。
2018届高三数学文二轮复习课件全国通用专题突破 专题三 三角函数与解三角形 第2讲 解三角形 精品
sin AMC sin MCA
sin 45 sin 60
所以 AM=100 2 × 3 × 2 =100 3 (m).
2
2
Rt△MNA 中,∠MAN=60°,sin 60°= MN , AM
所以 MN=AM·sin 60°=100 3 × 3 =150(m).
答案:150
2
5.(2015·全国Ⅰ卷,文17)已知a,b,c分别为△ABC内角A,B,C的对边,sin2B= 2sin Asin C. (1)若a=b,求cos B; (2)设B=90°,且a= 2 ,求△ABC的面积.
而sin B≠0,所以cos B= 1, 结合0<B<π,得B=π . 2
3
(2)若a+c= 3 3 ,b=
2
3 ,求△ABC的面积.
解: (2)由余弦定理得 cos B= a2 c2 b2 = 1 ,
2ac
2
所以 (a c)2 2ac b2 = 1 ,又 a+c= 3 3 ,b= 3 ,
sin A a
热点二 三角恒等变换与解三角形的综合
【例 3】 (2016·四川广元一模)在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c. 已知 a≠b,cos2A-cos2B= 3 sin Acos A- 3 sin Bcos B. (1)求角 C 的大小;
解:(1)因为 cos2A-cos2B= 3 sin Acos A- 3 sin Bcos B,
剖典例·促迁移
【例 1】 (1)(2016·重庆适应性测试)在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 a2+b2-c2=ab= 3 ,则△ABC 的面积为( )
(A) 3 (B) 3
2018届高三数学理高考二轮复习书讲解课件第一部分 专题二 第二讲 三角恒等变换与解三角形 精品
由已知及余弦定理得 a2＋b2－2abcos C＝7，
故 a2＋b2＝13，从而(a＋b)2＝25.
所以△ABC 的周长为 5＋ 7.
考点三 三角恒等变换与解三角形的综合问题
试题 解析
考点一 考点二 考点三
5．(2016·高考山东卷)在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a， b，c.已知 2(tan A＋tan B)＝tcaons BA＋tcaons AB. (1)证明：a＋b＝2c； (2)求 cos C 的最小值．
试题 解析
(1)证明：根据正弦定理，可设sina A＝sinb B＝sinc C＝k(k>0)． 则 a＝ksin A，b＝ksin B，c＝ksin C， 代入coas A＋cobs B＝sinc C中，有kcsoisnAA＋kcsoisnBB＝kssiinnCC，变形可得 sin Asin B＝sin Acos B＋cos Asin B＝sin(A＋B)． 在△ABC 中，由 A＋B＋C＝π， 有 sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin C， 所以 sin Asin B＝sin C.
试题 解析
考点三
考点一 考点二 考点三
根据上面所做题目，请填写诊断评价
错因(在相应错因中画√)
考点 错题题号
诊
知识性 方法性 运算性 审题性
断 考点一
评 价 考点二
考点三
※ 用自己的方式诊断记录 减少失误从此不再出错
考点一 三角恒等变换
考点一 考点二 考点三
[经典结论·全通关] 三角函数恒等变换“四大策略” (1)常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin2θ＋cos2θ＝tan 45° 等； (2)项的分拆与角的配凑：如 sin2α＋2cos2α＝(sin2α＋cos2α)＋cos2α， α＝(α－β)＋β 等； (3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次； (4)弦、切互化：一般是切化弦．
高考数学大二轮复习专题三三角函数及解三角形第2讲三角恒等变换与解三角形课件理0315153
解析 因为 α 为锐角且 cosα＋π6 ＝45>0，
所以 α＋π6 ∈π6 ，π2 ，所以 sinα＋π6 ＝35.
所以 sin2α＋π12＝sin2α＋π6 －π4
＝sin 2α＋π6 cos
－17，故 cos2π4 －α＝1＋cos2π2 －2α＝1＋si2n 2α＝12＋
sin
α cos
α，其中
sin
αcos
α
＝
sin αcos α sin2α＋cos2α
＝
tatna2nαα＋1＝－570，故12＋sin αcos α＝295.
答案
9 25
2．设 α 为锐角，若 cosα ＋π6 ＝45，则 sin2α ＋π12 的值为________．
asin x＋bcos x＝
a2＋b2sin(x＋φ)其中tan
φ
＝ba.
3．三角函数恒等变换“四大策略”
(1)常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin2θ ＋cos2θ ＝
tan 45°等．
(2)项的分拆与角的配凑：如 sin2α ＋2cos2α ＝(sin2α
＋cos2α )＋cos2α ，α ＝(α－β)＋β 等．
17 2 50
3．(2018·浙江)已知角 α 的顶点与原点 O 重合，始 边与 x 轴的非负半轴重合，它的终边过点 P－35，－45.
(1)求 sin(α＋π )的值； (2)若角 β 满足 sin(α＋β)＝153，求 cos β 的值．
解析 (1)由角 α 的终边过点 P－35，－45得 sin α ＝－45，所以 sin(α＋π)＝－sin α＝45.
答案 C
2．(2018·全国卷Ⅱ)已知sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，则sin(α＋β)＝________．
【推荐精选】2018届高考数学大二轮复习 专题三 三角函数及解三角形 第2讲 三角恒等变换与解三角形复习指导
专题三 第二讲A 组1．(2017·河北三市联考)若2sin(θ＋π3)＝3sin(π－θ)，则tan θ等于导学号 52134419( B )A ．－33B ．32C ．233D ．2 3[解析] 本题主要考查三角恒等变换．由已知得sin θ＋3cos θ＝3sin θ，即2sin θ＝3cos θ，所以tan θ＝32，故选B ． 2．(文)如果sin α＝45，那么sin(α＋π4)－22cos α等于导学号 52134420( A )A ．225B ．－225C ．425D ．－425[解析] sin(α＋π4)－22cos α＝sin αcos π4＋cos αsin π4－22cos α＝45×22＝225．(理)已知α∈R ，sin α＋2cos α＝102，则tan2α＝导学号 52134421( C ) A ．43 B ．34 C ．－34D ．－43[解析] 本题考查三角函数同角间的基本关系． 将sin α＋2cos α＝102两边平方可得， sin 2α＋4sin αcos α＋4cos 2α＝52，∴4sin αcos α＋3cos 2α＝32，∴4sin αcos α＋3cos 2αsin 2α＋cos 2α＝32．将左边分子分母同除以cos2α得，3＋4tanα1＋tan2α＝32，解得tanα＝3或tanα＝－13，∴tan2α＝2tanα1－tan2α＝－34．3．若三角形ABC中，sin(A＋B)sin(A－B)＝sin2C，则此三角形的形状是导学号 52134422( B )A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形[解析] ∵sin(A＋B)sin(A－B)＝sin2C，sin(A＋B)＝sin C≠0，∴sin(A－B)＝sin(A ＋B)，∴cos A sin B＝0，∵sin B≠0，∴cos A＝0，∴A为直角．4．设tanα、tanβ是方程x2－3x＋2＝0的两根，则tan(α＋β)的值为导学号 52134423( A )A．－3 B．－1C．1 D．3[解析] 本题考查了根与系数的关系与两角和的正切公式．由已知tanα＋tanβ＝3，tanα·tanβ＝2，所以tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanα·tanβ＝31－2＝－3.故选A．[点评] 运用根与系数的关系，利用整体代换的思想使问题求解变得简单．5．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若B＝2A，a＝1，b＝3，则c＝导学号 52134424( B )A．2 3 B．2C． 2 D．1[解析] 由正弦定理得：asin A＝bsin B，∵B＝2A，a＝1，b＝3，∴1sin A＝32sin A cos A．∵A为三角形的内角，∴sin A≠0，∴cos A＝32．又0<A <π， ∴A ＝π6，∴B ＝2A ＝π3．∴C ＝π－A －B ＝π2，∴△ABC 为直角三角形． 由勾股定理得c ＝12＋32＝2．6．(2016·四川卷)cos2π8－sin 2π8＝2导学号 52134425 [解析] 由二倍角公式，得cos2π8－sin 2π8＝cos(2×π8)＝22． 7．已知△ABC 的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC 的面积为导学号 52134426[解析] 设三角形的三边长分别为a －4，a ，a ＋4，最大角为θ，由余弦定理得(a ＋4)2＝a 2＋(a －4)2－2a (a －4)·cos120°，则a ＝10，所以三边长为6,10,14.△ABC 的面积为S ＝12×6×10×sin120°＝153． 8．(文)(2016·北京高考)在△ABC 中，a 2＋c 2＝b 2＋2ac .导学号 52134427 (1)求∠B 的大小；(2)求2cos A ＋cos C 的最大值．[解析] (1)由余弦定理及题设得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝2ac 2ac ＝22．又0<∠B <π，所以∠B ＝π4．(2)由(1)知∠A ＋∠C ＝3π4，则2cos A ＋cos C ＝2cos A ＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫3π4－A ＝2cos A －22cos A ＋22sin A ＝22cos A ＋22sin A ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫A －π4．因为0<∠A <3π4，所以当∠A ＝π4时，2cos A ＋cos C 取得最大值1．(理)(2016·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos C (a cos B ＋b cos A )＝c ，导学号 52134428(1)求C ；(2)若c ＝7，△ABC 的面积为332，求△ABC 的周长．[解析] (1)由已知及正弦定理得， 2cos C (sin A cos B ＋sin B cos A )＝sin C ， 2cos C sin(A ＋B )＝sin C ， 故2sin C cos C ＝sin C 可得cos C ＝12，所以C ＝π3．(2)由已知，12ab sin C ＝332．又C ＝π3，所以ab ＝6．由已知及余弦定理得，a 2＋b 2－2ab cos C ＝7， 故a 2＋b 2＝13，从而(a ＋b )2＝25． 所以△ABC 的周长为5＋7．9．(文)(2017·天津卷，15)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a sin A ＝4b sin B ，ac ＝5(a 2－b 2－c 2).导学号 52134429(1)求cos A 的值； (2)求sin(2B －A )的值．[解析] (1)由a sin A ＝4b sin B 及a sin A ＝bsin B ，得a ＝2b ．由ac ＝5(a 2－b 2－c 2)及余弦定理， 得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－55ac ac ＝－55．(2)由(1)，可得sin A ＝255，代入a sin A ＝4b sin B 中，得sin B ＝a sin A 4b ＝55． 由(1)知，A 为钝角，所以cos B ＝1－sin 2B ＝255．于是sin 2B ＝2sin B cos B ＝45，cos 2B ＝1－2sin 2B ＝35，故sin(2B －A )＝sin 2B cos A －cos 2B sin A ＝45×(－55)－35×255＝－255． (理)(2017·天津卷，15)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a >b ，a ＝5，c ＝6，sin B ＝35.导学号 52134430(1)求b 和sin A 的值； (2)求sin(2A ＋π4)的值．[解析] (1)在△ABC 中，因为a >b ， 所以由sin B ＝35，得cos B ＝45．由已知及余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝13， 所以b ＝13．由正弦定理a sin A ＝bsin B ， 得sin A ＝a sin B b ＝31313．所以b 的值为13，sin A 的值为31313．(2)由(1)及a <c ，得cos A ＝21313， 所以sin 2A ＝2sin A cos A ＝1213，cos 2A ＝1－2sin 2A ＝－513．所以sin(2A ＋π4)＝sin 2A cos π4＋cos 2A sin π4＝7226．B 组1．(2017·唐山市一模)若sin(π6－α)＝13，则cos(2π3＋2α)＝导学号 52134431( A )A ．－79B ．79C ．－29D ．29[解析] ∵cos(2π3＋2α)＝－cos(π3－2α)＝－[1－2sin 2(π6－α)]＝－(1－29)＝－79． 2．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，则角B 的值为导学号 52134432( D )A ．π6B ．π3C ．π6或5π6D ．π3或2π3[解析] 由(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac 得，a 2＋c 2－b 2ac ·tan B ＝3，再由余弦定理cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac 得，2cos B ·tan B ＝3，即sin B ＝32，∴角B 的值为π3或2π3，故应选D ． 3．(2017·西安第一次质检)sin45°cos15°＋cos225°sin165°＝导学号 52134433( B )A ．1B ．12C ．32D ．－12[解析] 本题主要考查三角函数的和差公式．sin45°cos15°＋cos225°sin165°＝sin45°cos15°＋(－cos45°)sin15°＝sin(45°－15°)＝sin30°＝12．4．钝角三角形ABC 的面积是12，AB ＝1，BC ＝2，则AC ＝导学号 52134434( B )A ．5B ． 5C ．2D ．1[解析] ∵S ＝12AB ·BC sin B ＝12×1×2sin B ＝12，∴sin B ＝22， ∴B ＝π4或3π4．当B ＝3π4时，根据余弦定理有AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B ＝1＋2＋2＝5，∴AC ＝5，此时△ABC 为钝角三角形，符合题意；当B ＝π4时，根据余弦定理有AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B ＝1＋2－2＝1，∴AC ＝1，此时AB 2＋AC 2＝BC 2，△ABC 为直角三角形，不符合题意．故AC ＝5． 5．设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且tan α＝1＋sin βcos β，则导学号 52134435( C ) A ．3α－β＝π2B ．3α＋β＝π2C ．2α－β＝π2D ．2α＋β＝π2[解析] 因为tan α＝sin αcos α＝1＋sin βcos β，去分母得sin αcos β＝cos α＋cos αsin β， 所以sin αcos β－cos αsin β＝cos α，即sin(α－β)＝cos α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α．又因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，则－π2<α－β<π2，0<π2－α<π2，所以α－β＝π2－α故2α－β＝π2．6．(2017·合肥三模)已知tan α＝2，则sin 2(π2＋α)－sin(3π＋α)cos(2π－α)＝__35__.导学号 52134436[解析] ∵tan α＝2，∴sin 2(π2＋α)－sin(3π＋α)cos(2π－α)＝cos 2α＋sin αcos α＝cos 2α＋sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝1＋tan αtan 2α＋1＝1＋24＋1＝35.7．(文)在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝4，BC ＝23，则△ABC 的面积等于__.导学号 52134437[解析] 本题考查正弦定理及三角形的面积公式，由正弦定理得，2332＝4sin B ，∴sin B ＝1，∴B ＝90°，∴AB ＝2，S ＝12×23×2＝23．(理)在△ABC 中，sin 2C ＝3sin A sin B ＋sin 2B ，a ＝23b ，则角C ＝__π6__.导学号 52134438[解析] 由正弦定理知c 2＝3ab ＋b 2，所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2－3ab2ab＝a －3b 2b ＝23b －3b 2b ＝32， 又C ∈(0，π)，所以C ＝π6．8．已知向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin A ，12与n ＝(3，sin A ＋3cos A )共线，其中A 是△ABC 的内角.导学号 52134439(1)求角A 的大小；(2)若BC ＝2，求△ABC 的面积S 的最大值，并判断S 取得最大值时△ABC 的形状． [解析] (1)因为m ∥n ，所以sin A ·(sin A ＋3cos A )－32＝0．所以1－cos2A 2＋32sin2A －32＝0，即32sin2A －12cos2A ＝1，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫2A －π6＝1．因为A ∈(0，π)，所以2A －π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，11π6．故2A －π6＝π2，A ＝π3．(2)设角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，则由余弦定理，得4＝b 2＋c 2－bc ． 而b 2＋c 2≥2bc ，∴bc ＋4≥2bc ，∴bc ≤4(当且仅当b ＝c 时等号成立)， 所以S △ABC ＝12bc sin A ＝34bc ≤34×4＝3，当△ABC 的面积取最大值时，b ＝c ． 又A ＝π3，故此时△ABC 为等边三角形．9．在△ABC 中，AC ＝6，cos B ＝45，C ＝π4.导学号 52134440(1)求AB 的长； (2)求cos(A －π6)的值．[解析] (1)因为cos B ＝45，0<B <π，所以sin B ＝1－cos 2B ＝1－452＝35． 由正弦定理知AC sin B ＝ABsin C，所以AB ＝AC ·sin C sin B＝6×2235＝52．(2)在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，所以A ＝π－(B ＋C )， 于是cos A ＝－cos(B ＋C )＝－cos(B ＋π4)＝－cos B cos π4＋sin B sin π4，又cos B ＝45，sin B ＝35，故cos A ＝－45×22＋35×22＝－210． 因为0<A <π，所以sin A ＝1－cos 2A ＝7210．因此，cos(A －π6)＝cos A cos π6＋sin A sin π6＝－210×32＋7210×12＝72－620．。
2018届高三数学二轮复习教案：模块二专题二第2讲 三角恒等变换与解三角形
专题二 三角函数、平面向量第二讲 三角恒等变换与解三角形高考导航利用各种三角函数进行求值与化简，其中降幂公式、辅助角公式是考查的重点．2．利用正、余弦定理进行边和角、面积的计算，三角形形状的判定以及有关范围的计算，常与三角恒等变换综合考查.1．(2016·全国卷Ⅱ)若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝35，则sin2α＝( ) A.725 B.15 C ．－15 D ．－725[解析] 解法一：∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝35， ∴sin2α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α＝cos2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α ＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫352－1＝－725.故选D. 解法二：∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝22(cos α＋sin α)＝35，∴cos α＋sin α＝325，∴1＋sin2α＝1825，∴sin2α＝－725.故选D.[答案] D2．(2017·山东卷)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若△ABC 为锐角三角形，且满足sin B (1＋2cos C )＝2sin A cos C ＋cos A sin C ，则下列等式成立的是( )A ．a ＝2bB ．b ＝2aC ．A ＝2BD ．B ＝2A[解析] 解法一：因为sin B (1＋2cos C )＝2sin A cos C ＋cos A sin C ，所以sin B ＋2sin B cos C ＝sin A cos C ＋sin(A ＋C )，所以sin B ＋2sin B cos C ＝sin A cos C ＋sin B ，即cos C (2sin B －sin A )＝0，所以cos C ＝0或2sin B ＝sin A ，即C ＝90°或2b ＝a ，又△ABC 为锐角三角形，所以0°<C <90°，故2b ＝a .故选A. 解法二：由正弦定理和余弦定理得b ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a 2＋b 2－c 2ab ＝2a ×a 2＋b 2－c 22ab ＋c ×b 2＋c 2－a 22bc ， 所以2b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a 2＋b 2－c 2ab ＝a 2＋3b 2－c 2， 即2b a (a 2＋b 2－c 2)＝a 2＋b 2－c 2，即(a 2＋b 2－c 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫2b a －1＝0， 所以a 2＋b 2＝c 2或2b ＝a ，又△ABC 为锐角三角形，所以a 2＋b 2>c 2，故2b ＝a ，故选A.[答案] A3．(2017·浙江卷)已知△ABC ，AB ＝AC ＝4，BC ＝2.点D 为AB 延长线上一点，BD ＝2，连接CD ，则△BDC 的面积是________，cos ∠BDC ＝________.[解析] 由余弦定理得cos ∠ABC ＝42＋22－422×4×2＝14， ∴cos ∠CBD ＝－14，sin ∠CBD ＝154，∴S △BDC ＝12BD ·BC ·sin ∠CBD ＝12×2×2×154＝152.又cos ∠ABC ＝cos2∠BDC ＝2cos 2∠BDC －1＝14，0<∠BDC <π2，∴cos ∠BDC ＝104.[答案] 152 1044．(2017·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知△ABC 的面积为a 23sin A .(1)求sin B sin C ；(2)若6cos B cos C ＝1，a ＝3，求△ABC 的周长．[解] (1)由题设得12ac sin B ＝a 23sin A ，即12c sin B ＝a 3sin A . 由正弦定理得12sin C sin B ＝sin A 3sin A .故sin B sin C ＝23.(2)由题设及(1)得cos B cos C －sin B sin C ＝－12，即cos(B ＋C )＝－12.所以B ＋C ＝2π3，故A ＝π3. 由题设得12bc sin A ＝a 23sin A ，即bc ＝8.由余弦定理得b 2＋c 2－bc ＝9，即(b ＋c )2－3bc ＝9，得b ＋c ＝33. 故△ABC 的周长为3＋33.考点一 三角恒等变换1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β.(2)cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β.(3)tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β. 2．二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin2α＝2sin αcos α.(2)cos2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α.(3)tan2α＝2tan α1－tan 2α. 3．辅助角公式a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫其中tan φ＝b a . [对点训练]1．(2017·贵阳监测)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝13，则cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α的值是( )A.79B.13 C ．－13 D ．－79[解析] ∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝13，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝79，∴cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋2α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2α＝－79. [答案] D2．(2017·福建省福州市高三综合质量检测)已知m ＝tan (α＋β＋γ)tan (α－β＋γ)，若sin2(α＋γ)＝3sin2β，则m ＝( )A.12B.34C.32 D ．2[解析] 设A ＝α＋β＋γ，B ＝α－β＋γ，则2(α＋γ)＝A ＋B,2β＝A －B ，因为sin2(α＋γ)＝3sin2β，所以sin(A ＋B )＝3sin(A －B )，即sin A cos B ＋cos A sin B ＝3(sin A cos B －cos A sin B )，即2cos A ·sin B ＝sin A cos B ，所以tan A ＝2tan B ，所以m ＝tan A tan B ＝2，故选D.[答案] D3．若sin2α＝55，sin(β－α)＝1010，且α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2，则α＋β的值是________．[解析] 因为α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π，故2α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，2π，又sin2α＝55，故2α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π，α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，∴cos2α＝－255，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2，故β－α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，5π4，于是cos(β－α)＝－31010，∴cos(α＋β)＝cos [2α＋(β－α)]＝cos2αcos(β－α)－sin2αsin(β－α)＝－255×⎝⎛⎭⎪⎫－31010－55× 1010＝22，且α＋β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π4，2π，故α＋β＝7π4. [答案] 7π4(1)三角恒等变换的三原则①一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理拆分，从而正确使用公式，如1题．②二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”．③三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”等．(2)解决条件求值应关注的三点①分析已知角和未知角之间的关系，正确地用已知角来表示未知角．②正确地运用有关公式将所求角的三角函数值用已知角的三角函数值来表示．③求解三角函数中给值求角的问题时，要根据已知求这个角的某种三角函数值，然后结合角的取值范围，求出角的大小，如3题．考点二 解三角形1．正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2R (2R 为△ABC 外接圆的直径)．变形：a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C .sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c 2R .a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C .2．余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C .推论：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab .变形：b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ，a 2＋c 2－b 2＝2ac cos B ，a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C .3．面积公式S △ABC ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝12ab sin C .角度1：利用正弦、余弦定理判断三角形的形状[解析] ∵2b cos C －2c cos B ＝a ，∴2sin B cos C －2sin C cos B ＝sin A ＝sin(B ＋C )，即sin B cos C ＝3cos B sin C ，∴tan B ＝3tan C ，又B ＝2C ，∴2tan C 1－tan 2C＝3tan C ，得tan C ＝33，C ＝π6，B ＝2C ＝π3，A ＝π2，故△ABC 为直角三角形．[答案] B 角度2：在三角形中利用正、余弦定理进行边角计算[解析] 由b sin B －a sin A ＝12a sin C 及正弦定理得b 2－a 2＝12ac ，又c ＝2a ，所以b ＝2a ，∵cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋4a 2－2a 24a 2＝34，∴sin B ＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫342＝74.故选A. [答案] A 角度3：结合正、余弦定理进行面积的计算[思维流程] (1)代换A ＋C 为π－B →化简关系式→求出cos B(2)求sin B →结合面积公式求出ac →借助余弦定理求出b[解] (1)由题设及A ＋B ＋C ＝π得sin B ＝8sin 2B 2，故sin B ＝4(1－cos B )．上式两边平方，整理得17cos 2B －32cos B ＋15＝0，解得cos B ＝1(舍去)，cos B ＝1517.(2)由cos B ＝1517得sin B ＝817，故S △ABC ＝12ac sin B ＝417ac .又S △ABC ＝2，则ac ＝172.由余弦定理及a ＋c ＝6得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－2ac (1＋cos B )＝36－2×172×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1517＝4. 所以b ＝2.正、余弦定理的适用条件(1)“已知两角和一边”或“已知两边和其中一边的对角”应采用正弦定理．(2)“已知两边和这两边的夹角”或“已知三角形的三边”应采用余弦定理．【特别提醒】 应用定理要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”．[对点训练]1．[角度1](2017·洛阳模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，cos 2A 2＝b ＋c 2c ，则△ABC 的形状一定是( )A ．正三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形[解析] 在△ABC 中，∵cos 2A 2＝b ＋c 2c ，∴1＋cos A 2＝sin B ＋sin C 2sin C ＝12·sin B sin C ＋12，∴1＋cos A ＝sin Bsin C ＋1，∴cos A sin C ＝sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ，∴sin A cos C ＝0，sin A ≠0，∴cos C ＝0，∴C 为直角．故选B.[答案] B2．[角度2](2017·辽宁师大附中模拟)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且满足a sin B cos C ＋c sin B cos A ＝12b ，则B ＝( )A.π6或5π6B.π3C.π6D.5π6[解析] ∵a sin B cos C ＋c sin B cos A ＝12b ，∴由正弦定理可得sin A sin B cos C ＋sin C sin B cos A ＝12sin B .又∵sin B ≠0，∴sin A cos C ＋sin C cos A ＝12，解得sin(A ＋C )＝sin B ＝12.∵0<B <π，∴B ＝π6或5π6.故选A.[答案] A3．[角度3](2017·威海模拟)已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a ＝2，且(2＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C ，则△ABC 面积的最大值为________．[解析] 由正弦定理得，(2＋b )(a －b )＝(c －b )·c ，又a ＝2，所以b 2＋c 2－bc ＝4，所以cos A ＝b 2＋c 2－42bc ＝bc 2bc ＝12，故A ＝π3.因为b 2＋c 2≥2bc ，所以bc ≤4，所以S △ABC ＝12bc sin A ≤12×4×32＝3，当且仅当b ＝c 时取等号．[答案] 3考点三 正、余弦定理的实际应用1．实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解．2．实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解．[对点训练]1．(2017·济南二模)张晓华同学骑电动自行车以24 km/h 的速度沿着正北方向的公路行驶，在点A 处望见电视塔S 在电动车的北偏东30°方向上，15 min 后到点B 处望见电视塔在电动车的北偏东75°方向上，则电动车在点B 时与电视塔S 的距离是( )A ．2 2 kmB ．3 2 kmC ．3 3 kmD ．2 3 km[解析] 画出示意图如图，由条件知AB ＝24×1560＝6.在△ABS 中，∠BAS ＝30°，AB ＝6，∠ABS ＝180°－75°＝105°，所以∠ASB ＝45°.BS sin30°＝AB sin45°，所以BS ＝AB sin30°sin45°＝3 2.[答案] B2．(2017·广东省五校协作体高三一诊)如图所示，在一个坡度一定的山坡AC 的顶上有一高度为25 m 的建筑物CD ，为了测量该山坡相对于水平地面的坡角θ，在山坡的A 处测得∠DAC ＝15°，沿山坡前进50 m 到达B 处，又测得∠DBC ＝45°，根据以上数据可得cosθ＝________.[解析]由∠DAC＝15°，∠DBC＝45°可得∠BDA＝30°，∠DBA ＝135°，∠BDC＝90°－(15°＋θ)－30°＝45°－θ，由内角和定理可得∠DCB＝180°－(45°－θ)－45°＝90°＋θ，根据正弦定理可得50sin30°＝DBsin15°，即DB＝100sin15°＝100×sin(45°－30°)＝252(3－1)，又25sin45°＝252(3－1)sin(90°＋θ)，即25sin45°＝252(3－1)cosθ，得到cosθ＝3－1.[答案]3－1解三角形实际问题的4步骤热点课题8解三角形中的范围问题[感悟体验](2017·河南豫北联考)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且3a cos C ＝(2b －3c )cos A .(1)求角A 的大小；(2)求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2－B －2sin 2C 2的取值范围． [解] (1)由正弦定理将原等式化为3sin A cos C ＝2sin B cos A －3sin C cos A ， 从而可得，3sin(A ＋C )＝2sin B cos A ， 即3sin B ＝2sin B cos A .又B 为三角形的内角，所以sin B ≠0，于是cos A ＝32.又A 为三角形的内角，因此A ＝π6.(2)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2－B －2sin 2C 2 ＝sin B ＋cos C －1＝sin B ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－B －1 ＝sin B ＋cos 5π6cos B ＋sin 5π6sin B －1 ＝32sin B －32cos B －1＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π6－1， 由A ＝π6可知，B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，5π6， 所以B －π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，2π3， 从而sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π6∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，1， 因此，3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π6－1∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－3＋22，3－1， 故cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2－B －2sin 2C 2的取值范围为 ⎝ ⎛⎦⎥⎤－3＋22，3－1.。
2018高考新课标数学理二轮专题复习课件：专题二第2讲三角恒等变换与解三角形 精品
＝2
3sin12ωx·cos12
ωx＋2cos212
ωx
(ω>0)，且函数
f(x)的最小正周期为 π.(导学号 55460020)
(1)求 ω 的值； (2)求 f(x)在0，π2上的最大值和最小值．
解：(1)∵f(x)＝ 3sin ωx＋cos ωx＋1＝ 2sinωx＋π6＋1， 又 f(x)的最小正周期为 π， ∴π＝2ωπ，即 ω＝2.
故 2b－c＝4sin B－2sin C＝4sin B－2sin23π－B＝ 3sin B－ 3cos B＝2 3sinB－π6. ∵b≥a， ∴π3≤B<23π，π6≤B－π6<π2， ∴2b－c＝2 3sinB－π6∈[ 3，2 3)．
[规律方法] 解三角形与三角函数的综合题，要优先 考虑角的范围和角之间的关系；对最值或范围问题，可以 转化为三角函数的值域来求．
解析：(1)法一：∵f(x)＝( 3sin x＋cos x)·( 3cos x－
sin x)＝
4
3 2 sin
x＋12cos
x
3 2 cos
x－12sin
x＝
4sinx＋π6cosx＋π6＝2sin2x＋π3，
∴T＝22π＝π.
法二：∵f(x)＝( 3sin x＋cos x)( 3cos x－sin x)＝3sin xcos x＋ 3cos2x－ 3sin2x－sin xcos x＝sin 2x＋ 3cos 2x ＝2sin2x＋π3，
∴T＝22π＝π. (2)(sin α＋cos α)2＝1＋sin 2α＝4295，又 0<α<π2， 则 sin α＋cos α＝75， 2cosπ4－α＝sin α＋cos α＝75. 答案：(1)B (2)C
2018年高考数学二轮复习课件 专题3 第2讲三角恒等变换与解三角形(58张)
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[解析] 等式右边＝sin Acos C＋(sin Acos C＋cos Asin C) ＝sin Acos C＋sin(A＋C) ＝sin Acos C＋sin B， 等式左边＝sin B＋2sin Bcos C， ∴sin B＋2sin Bcos C＝sin Acos C＋sin B． 由cos C>0，得sin A＝2sin B． 根据正弦定理，得a＝2b． 故选A．
• (3)tan 2α＝______________．
1－cos 2α • 5．降幂公式 2 1＋cos 2α 2 (1)sin2α＝_____________ ；
1－tan2α
•
• (2)cos2α＝_____________．
6．正弦定理
b a c sin B sin A＝__________＝sin C＝2R(2R 为△ABC 外接圆的直径)．
1 bcsin A 1 1 2 S△ABC＝____________＝2acsin B＝2absin C．
• 1．同角关系应用错误：利用同角三角函数的平方关系开 方时，忽略判断角所在的象限或判断出错，导致三角函数 符号错误． • 2．诱导公式的应用错误：利用诱导公式时，三角函数名 变换出错或三角函数值的符号出错．
2 2 2 2 a ＋ b sin( α ＋ φ ) ＝ a ＋ b cos(α＋θ) ． (4)辅助角公式：asin α＋bcos α＝____________________________________
• 4．二倍角的正弦、余弦、正切公式 2sin αcos α • (1)sin 2α＝_____________ ； cos2α－sin2α 2α－1＝1－2sin2α； • (2)cos 2α＝_______________ ＝ 2cos 2tan α
2018高考数学文二轮复习课件：第二编 专题整合突破 专题三 三角函数与解三角形 第二讲 三角恒等变
第二编 专题整合突破
专题三 三角函数与解三角形
第二讲 三角恒等变换与解三角形
主干知识整合
[必记公式]
1．同角三角函数之间的关系 (1)平方关系： sin2α＋cos2α＝1 ；
(2)商数关系： tanα＝csoinsαα
.
2．诱导公式
(1)公式：Sα＋2kπ；Sπ±α；S－α；S
π 2±α
sinAcosC＋ 3sinAsinC－sinB－sinC＝0.
因为 B＝π－A－C，所以 3sinAsinC－cosAsinC－sinC
＝0.
易知 sinC≠0，所以 3sinA－cosA＝1，
所以 sinA－π6＝12.又 0＜A＜π，所以 A＝π3.
(2)解法一：由(1)得 B＋C＝23π⇒C＝23π－B0＜B＜23π，
考点 正、余弦定理的实际应用 典例示法 典例 6 如图，游客从某旅游景区的景点 A 处下山至 C 处有两种路径．一种是从 A 沿直线步行到 C，另一种是先 从 A 沿索道乘缆车到 B，然后从 B 沿直线步行到 C.现有甲、 乙两位游客从 A 处下山，甲沿 AC 匀速步行，速度为 50 m/min. 在甲出发 2 min 后，乙从 A 乘缆车到 B，在 B 处停留 1 min 后，再从 B 匀速步行到 C.假设缆车匀速直线运动的速度为
(7)A，B，C 成等差数列⇔ B＝60°； (8)a2＜b2＋c2(A 为三角形中的最大角)⇒三角形为 锐角 三角形(A 为 锐 角)； (9)a2＝b2＋c2⇒三角形为 直角 三角形(A 为 直 角)； (10)a2＞b2＋c2⇒三角形为 钝角 三角形(A 为 钝
角)．
2．射影定理
a＝bcosC＋ccosB.
33cos2B＋
高考数学二轮复习专题篇素养提升 专题1三角函数三角恒等变换与解三角形第2讲三角恒等变换与解三角形文理
②由 f(x)＝12sin2x－π6＝ 63，
得 sin2x－π6＝ 33，
∵x∈0，π4，∴－π6≤2x－π6≤π3，
∴cos2x－π6＝
6 3.
∴cos 2x＝cos2x－π6＋π6 ＝cos2x－π6× 23－sin2x－π6×21 ＝ 36× 23－ 33×12＝ 22－ 63.
三角恒等变换的“四大策略” (1)常值代换：特别是“1”的代换, 1＝sin2θ＋cos2θ＝tan 45°等． (2)项的拆分与角的配凑： 如sin2α＋2cos2α＝(sin2α＋cos2α)＋cos2α,α＝(α－β)＋β等． (3)降次与升次：正用二倍角公式升次,逆用二倍角公式降次． (4)弦、切互化：一般是切化弦．
分值 10 12 10
年份 卷别 Ⅰ卷
2019 Ⅱ卷 Ⅲ卷 Ⅰ卷
2018 Ⅱ卷 Ⅲ卷
题号
考查角度
分值
17 正余弦定理
12
二倍角公式、基本关系式、余弦定理、
15
5
三角形面积公式
18
正余弦定理、三角形面积公式
12
17
正余弦定理、解三角形
12
二倍角、辅助角公式、基本关系式、
10、15 和的正弦公式、余弦定理
10°＝
典例1
A．34
(1)(2020·全国Ⅱ卷模拟)cos2 40°＋2sin 35°sin 55°sin
( A)
B．14
C．12＋
3 2
D．3
3 4
(2)(2020·宜宾模拟)已知 α∈0，π2，且 3sin2α－5cos2α＋sin 2α＝0，则
sin 2α＋cos 2α＝
( A)
A．1
B．－2137