圆的认识(超级有趣)适合教学,吸引注意力

A
固定的端点O叫做圆心
O
r
·
线段OA叫做半径
以点O为圆心的圆，记作“⊙O”， 读作“圆O”．
我国古人很早 对圆就有这样 的认识了，战 国时的《墨经 》就有“圆， 一中同长也” 的记载．它的 意思是圆上各 点到圆心的距 离都等于半 径．
从画圆的过程可以看出：
（1）圆上各点到定点（圆心O）的距离都等于定长 （半径r）； （2）到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上．
分析： 联想到“角平分线的性质”，作弦心距OM、ON， 要证AB=CD ，只需证OM=ON
证明: 作OM AB , ON CD , 垂足分别为M 、 N 。
MP O NP O OM AB ON C D
OM=ON
AB=CD B A E
M
P C
.
N
O D
F
思考：
如图，P点在圆上，PB=PD吗？ P点在圆内，AB=CD吗？
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、 两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中 有一组量相等，那么它们所对应的其 余的各组量都分别相等。
Βιβλιοθήκη Baidu
延伸 整体理解： (1) 圆心角 B 知 一 得 三
α
(2) 弧
(3) 弦 (4) 弦心距
Oα A′ B′
A
1、已知：如图，AB、CD是⊙O的两条弦，OE、OF为AB、CD 的弦心距，根据本节定理及推论填空：
B
o
C
如果： ∠AOB=∠ COD
D
下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、 弧有什么关系？ A
B
o
C
如果： ∠AOB=∠ COD
D
下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、 弧有什么关系？ A
B
o
C
如果： ∠AOB=∠ COD
D
下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、 弧有什么关系？ A

圆是轴对称图形吗？
如果是,它的对称轴是什么?你能找到多少条 对称轴？你是用什么方法解决上述问题的? 圆是轴对称图形.
O
●
圆的对称轴是任意一条经 过圆心的直线,它有无数 条对称轴.
圆是轴对称图形。任何一条直径所在
的直线都是它的对称轴．
垂径定理及逆定理
垂径定理：垂直于弦的 直径平分弦，并且平分 弦所对的两条弧．
∠AOB=∠COD AB=CD OE=OF ______________,__________,____________。
（4）如果∠AOB=∠COD，那么 ⌒ ⌒ OE=OF AB=CD AB=CD _________,________,_________。
2.已知：如图，在⊙Ｏ中，弦ＡＢ＝ＣＤ． 求证：ＡＤ＝ＢＣ
A
弧
圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以A、B 为端点的弧记作 AB ，读作“圆弧AB”或“弧AB”．
圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧， 每一条弧都叫做半圆．
B O
·
C
A
劣弧与优弧
小于半圆的弧（如图中的AC）叫做劣弧； 大于半圆的弧（用三个字母表示，如图中的 ABC ）叫做优弧.
B O
② ④ ⑤ ① ④ ⑤
① ④ ① ② ① ⑤
③ ② ⑤ ③ ④ ⑤
那么，由五个条件中的任何 两个条件都可以推出其他三 个结论。
② ③ ④
一、判断是非： （1）平分弦的直径，平分这条弦所对的弧。
（2）平分弦的直线，必定过圆心。
（3）一条直线平分弦（这条弦不是直径）， 那么这 条直线垂直这条弦。
A C O D A C O B A C
B M P N E
B C P
A M N D
E
.
O D
.
O
F
F
例2：如图, AB、CD是⊙O的两条直径。 (1)顺次连结点A、C、B、D，所得的四边形是什 么特殊四边形？为什么？ (2)若直径为10cm， ∠AOD=1200，求四边形 ACBD的周长和面积。 Ｃ Ｄ
Ａ
Ｏ
Ｂ
例3：如图, AB、CD是⊙O的两条直径。


O B
(1) B
(2) D
(3) D
(4)弦的垂直平分线一定是圆的直径。

（5）平分弧的直线，平分这条弧所对的 弦。 （6）弦垂直于直径，这条直径就被弦平分。
（7）平分弦的直径垂直于弦
C B O A C B C O A D A O E D (6)
B
(4)
(5)
活动三
练习
1．如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O 到AB的距离为3cm，求⊙O的半径． 解： OE
（1）如果AB=CD，那么
⌒ ⌒ ∠AOB=∠COD OE=OF AB=CD _____________,________,____________。
（2）如果OE=OF，那么
⌒ ⌒ ∠AOB=∠COD AB=CD AB=CD _____________,________,____________。 ⌒ ⌒ （3）如果AB=CD 那么
动态：如图，在一个平面内，线段OA绕它固 定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形 成的图形叫做圆．
静态：圆心为O、半径为r的圆可以看成是所有 到定点O的距离等于定长r 的点组成的图形．
与圆有关的概念
弦
连接圆上任意两点的线段（如图AC） 叫做弦， 经过圆心的弦（如图中的AB）叫做直径．
B O
·
C
(3)四边形ACBD有可能为正方形吗？若有可能,
当AB、CD有何位置关系时，四边形ACBD为正方 形？为什么？ Ｄ Ａ Ｃ Ｏ Ｂ
试一试

1.如图，AB是⊙O的直径，弦PQ交AB于点M，且PM
1 ＝OM，求证： AP= BQ 3
弧所对的圆心角相等 在同圆或等圆中 如果弧相等 那么 弧所对的弦相等 弧所对的弦的弦心距相等
弦所对的圆心角相等
在同圆或等圆中 如果弦相等
那么
弦所对的弧（指劣弧）相等
弦的弦心距相等
在同圆或等圆中 如果弦心距相等
弦心距所对应的圆心角相等 那么 弦心距所对应的弧相等 弦心距所对应的弦相等
推论：(圆心角定理的逆定理)
·
C
A
如图，请正确的方式表示出以点A为端点的优弧及劣弧.
D F A O
B
I
E C
优弧：ACD,ACF,ADE,ADC 劣弧AC,AE,AF,AD
圆心相同，半径不相等的两圆叫做同心圆 .
能够互相重合的两个圆叫等圆.
在同圆或等圆中， 能够互相重合的两个弧叫等弧.
巩固练习
1、下列说法错误的有（ A ） ①经过一点Ｐ的圆有无数个； ②以Ｐ为圆心的圆有无数个； ③半径为３ｃｍ且经过Ｐ点的圆有无数个 ④以Ｐ为圆心，以３cm为半径的圆有无数个． Ａ１个 Ｂ２个 Ｃ３个 Ｄ４个 2、填空: 与已知点A的距离为3cm的所有点组成的图形 是 以A为圆心，半径为3cm的圆。
C
·
O
E A D B
平分弦（不是直径）的直径垂直于 弦，并且平分弦所对的两条弧．
垂径定理
C
A
└ M
●
O
CD是直径, CD⊥AB, ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ B AM=BM, AC =BC, AD=BD.
D
课堂讨论
① ③ 根据已知条件进行推导： ①过圆心 ② ②垂直于弦 ③ ③平分弦 （不是直径） ④平分弦所对优弧 ⑤平分弦所对劣弧
①
②
③
④
2、下列图中弦心距做对了的是（
）
┐
①
②
┐
③
④
下面我们一起来观察一下：在⊙O中有哪些圆心角？ （请举出两个例子，并说出圆心角所对的弧，弦。） A
B
o
C
如果： ∠AOB=∠ COD D
下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、 弧有什么关系？ A
B
o
C
如果： ∠AOB=∠ COD
D
下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、 弧有什么关系？ A
Ｂ Ｄ Ｃ
· Ｏ
Ａ
3、已知:如图,A,B,C,D是⊙O上的点， ∠1=∠2。求证：AC=BD
如图： ⊙Ｏ的直径AB垂直于弦CD,AB与CD相交于点 E，∠ COD＝1000，求BC,AD的度数 解:∵OC=OD,OE⊥CD
A
∴∠1= ∠2 ∵∠COD=1000 ∴∠1=∠2=500
D ⌒ ⌒ ∴BC=500 BD=500 ⌒ ⌒ ⌒ ∴AD=ADB-BD =1800-500 =1300
AB
A
E
B
1 1 AE AB 8 4 2 2
在Rt△AOE中
2 2
O
·
AO OE AE
2
AO OE 2 AE 2 = 32 +42 =5cm
答：⊙O的半径为5cm.
2．如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的 两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证四边形 ADOE是正方形．
圆
“一切立体图形中最美的是球形，
一切平面图形中最美的是圆形.” ---------毕达哥拉斯
人民币
美圆
英镑
生活离不开圆
圆是我们的好朋友
www.czsx.com.cn
圆是生活中常见的图形，许多物体都给我们以圆的形象 .
圆的认识
1.圆的基本元素
圆的概念
线段OA绕它固定的一个，端点O旋转一周，另一个端 点A所形成的图形叫做圆．
A
24.1圆的认识
3.圆心角
顶点在圆心的角,叫圆心角， 如 AOB , 圆心角 AOB 所对 的弧为 AB， 所对的弦为AB； 过点O作弦AB的垂线, 垂足 为M, 则垂线段OM的长度,即圆 心到弦的距离，叫弦心距 , 图1 中，OM为AB弦的弦心距。 OM是唯一的。
O
B
M A
图1
1、判别下列各图中的角是不是圆心角， 并说明理由。
B
o
C
如果： ∠AOB=∠ COD
D
下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、 弧有什么关系？ A
B
o
C
如果： ∠AOB=∠ COD
D
下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、 弧有什么关系？ A
B
o
C
如果： ∠AOB=∠ COD
D
下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、 弧有什么关系？ A
B
o
C
如果： ∠AOB=∠ COD
D
下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、 弧有什么关系？ A
B
o
C
如果： ∠AOB=∠ COD
D
下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、 弧有什么关系？ A
B
o
C
如果： ∠AOB=∠ COD
D
已知:如图∠AOB=∠ COD, ⌒ 求证: AB=CD， = CD。 AB ⌒
想一想
判断下列说法的正误：
(1)弦是直径； (2)半圆是弧； (3)过圆心的线段是直径； (4)过圆心的直线是直径； (5)半圆是最长的弧； (6)直径是最长的弦； (7)半径相等的两个圆是等圆.
1.半径相等的两个半圆是等弧 2.长度相等的两条弧是等弧 3.度数相等的两条弧是等弧 4.直径相等的两个圆是等圆
证明： OE AC OD AB AB AC
OEA 90

EAD 90

ODA 90
C

∴四边形ADOE为矩形， ∵ OE⊥AC OD⊥AB 1 1 ∴ AE AC，AD AB 2 2 ∵AC=AB ∴ AE=AD ∴ 四边形ADOE为正方形.
E
又
·
O D B
B
o
C
如果： ∠AOB=∠ COD
D
下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、 弧有什么关系？ A
B
o
C
如果： ∠AOB=∠ COD
D
下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、 弧有什么关系？ A
B
o
C
如果： ∠AOB=∠ COD
D
下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、 弧有什么关系？ A
O 1 2 C E
B
例1：如图，等边三角形ABC内接于⊙O,连结
OA,OB,OC。
(1)∠AOB、∠COB、∠AOC Ａ
的度数分别为__________ 0 1200 ,1200 ,120
(2)若⊙O的半径为r,则等边 ABC三角形的边长为_______ 3r Ｂ
Ｏ Ｃ
例2：如图，等边三角形ABC内接于⊙O,连结
OA,OB,OC。
(3)延长AO，分别交BC于点P， ⌒ BC于点D,连结BD,CD。试判 断四边形BDCO是哪一种特殊 四边形，并说明理由。 Ｂ
Ａ
Ｏ Ｐ
Ｃ
Ｄ
已知等边三角形ＡＢＣ的边长 为 2 3cm ． 求它的外接圆半径．
Ａ
Ｏ Ｂ Ｃ
例1 如图，已知点O是∠EPF 的平分线上一点，P点在圆外， 以O为圆心的圆与∠EPF 的两边分别相交于A、B和C、D。 求证：AB=CD
A
B
证明:∵OA=OC ，OB=OD，
∠AOB=∠COD,
∴ 当点A与点C重合时，
点B与点D也重合。 ∴
⌒ ⌒ ∴ AB = CD。 D
o
C
AB=CD，
圆心角定理：在同圆或等圆中， 相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。
条件
在同圆或等圆中 那么 如果圆心角相等
结论
圆心角所对的弧相等 圆心角所对的弦相等 圆心角所对的弦的弦心距相等
( √ ) ( ) ( ) ( √ )
5.大小不等的两个圆中不存在等弧( √ )
4. 圆中有几条弦?圆中以A为一个端点 的优弧有几条?劣弧有几条?
D
B E
O
C A
6.如图,两个同心圆的圆心为O,大圆的 半径OC,OD交小圆于A,B,求证:AB//CD.
O
A
B
C
D
圆的认识
2.垂径定理
圆的对称性