福建省南平市浦城县19-20学年九年级上学期期末数学试卷 及答案解析

福建省南平市浦城县19-20学年九年级上学期期末数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）

1.下列说法正确的是()

A. 连续抛一枚硬币50次，出现正面朝上的概率一定是25次

B. “明天的降水概率为30%”是指明天下雨的可能性是30%

C. 连续三次掷一颗骰子都出现了奇数，则第四次出现的数一定是偶数

D. 某地发行一种福利彩票，中奖概率为1%，买这种彩票100张一定会中奖

2.用配方法解一元二次方程x2?4x=5时，此方程可变形为()

A. (x+2)2=1

B. (x?2)2=1

C. (x+2)2=9

D. (x?2)2=9

3.如果一个正多边形的中心角为72°，那么这个多边形的边数是()

A. 4

B. 5

C. 6

D. 7

4.在平面直角坐标系中，点P(2,?4)关于原点对称的点的坐标是()

A. (2,4)

B. (?2,4)

C. (?2,?4)

D. (?4,2)

5.在平面直角坐标系中，点A(?6,2)，B(?4,?4)，将△ABO以原点O为位似中心，相似比为2：1，

进行位似变换，则点A的对应点A′的坐标是()

A. (?3,1)或(?2,?2)

B. (?3,1)或(3,?1)

C. (?12,4)或(12,?4)

D. (?12,4)或(?8,?8)

6.如图，PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点，C是⊙O上一点，且∠ACB=65°，则∠P等于()

A. 45°

B. 50°

C. 55°

D. 60°

7.二次函数y=ax2+bx的图象如图所示，若一元二次方程ax2+bx+m?1=0有两个不相等的

实数根，则整数m的最小值为()

A. 0

B. ?1

C. 1

D. 2

8.如图，A、B两点在双曲线y=4

上，分别经过A、B两点向x轴、

x

y轴作垂线段，已知S阴影=1，则S1+S2=()

A. 3

B. 4

C. 5

D. 6

9.如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，交AB的延长线于D，且

CO=CD，则∠PCA=()

A. 30°

B. 45°

C. 60°

D. 67.5°

10.已知A(1,y1).B(2,y2).C(?3,y3)都在反比例函数y=2

的图象上，则y1，y2，y3的大小关系的是

x

()

A. y2>y1>y3

B. y1>y2>y3

C. y3>y2>y1

D. y1>y3>y2

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

11.如果△ABC∽△DEF，且△ABC的面积为2cm2，△DEF的面积为8cm2，那么△ABC与△DEF相

似比为______．

12.抛物线y=x2?4x+c的顶点在x轴上，则c的值为___________．

13.一个底面直径是10cm，母线长为15cm的圆锥，它的侧面积为______cm2．

14.在△ABC中，∠A=72°，若O为内心，则∠BOC=______°.

15.如图，一块飞镖游戏板由大小相等的小正方形格子构成，向游戏板随机投掷

一枚飞镖，击中黑色区域的概率是______．

16.如图，将矩形ABCD绕点A旋转至矩形AB′C′D′位置，此时AC的中

点恰好与D点重合，AB′交CD于点E.若DE=1，则矩形ABCD的面

积为_______．

三、计算题（本大题共3小题，共24.0分）

17.用适当的方法解一元二次方程

(1)x?2?2x?3=0．

(2)x?2?3x+1=0．

18.已知关于x的一元二次方程(m2?m)x2?2mx+1=0有两个不相等的实数根．

(1)求m的取值范围；

(2)若m为整数且m<3，a是方程的一个根，求代数式2a2?3a?2a2+1

+2的值．

4

19.如图，点D在△ABC的边AB上，∠ACD=∠B，AD=6cm，DB=8cm，

求：AC的长．

四、解答题（本大题共6小题，共62.0分）

20.已知，如图，AB是⊙O的直径，AD平分∠BAC交⊙O于点D，过点D的

切线交AC的延长线于E.求证：DE⊥AE．

21.如图，已知女排球场的长度OD为18米，位于球场中线处的球网AB的高度2.24米，一队员站

在点O处发球，排球从点O的正上方2米的C点向正前方飞去，排球的飞行路线是抛物线的一部分，当排球运行至离点O的水平距离OE为6米时，到达最高点G，以O为原点建立如图所示的平面直角坐标系．

(1)若排球运行的最大高度为2.8米，求排球飞行的高度p(单位：米)与水平距离x(单位：米)之间

的函数关系式(不要求写自变量x的取值范围)；

(2)在(1)的条件下，这次所发的球能够过网吗？如果能够过网，是否会出界？请说明理由；

(3)李明同学发球要想过网，又使排球不会出界(排球压线属于没出界)，求二次函数中二次项系

数的最大值．

(k为常数且k≠0)的图象交于A(?1,a)，B 22.如图，一次函数y=x+4的图象与反比例函数y=k

x

两点，与x轴交于点C．

(1)求a，k的值及点B的坐标；

S△BOC，直接写出点P的坐标．

(2)若点P在x轴上，且S△ACP=3

2

23.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，以边AB为直径作⊙O，交斜边BC于D，E在弧BD?上，

连接AE、ED、DA．

(1)求证：∠DAC=∠AED；

(2)若点E是BD?的中点，AE与BC交于点F，当BD=5，CD=4时，求DF的长．

24.如图，AB为圆O的直径，点C是AB延长线上一点，且BC=OB，

CD、CE分别与圆O相切于点D、E，若AD=5，求DE的长？

25.如图，已知抛物线y=?x2+2x的顶点为A，直线y=x?2与抛物

线交于B，C两点．

(1)求A，B，C三点的坐标；

(2)作CD⊥x轴于点D，求证：△ODC∽△ABC；

(3)若点P为抛物线上的一个动点，过点P作PM⊥x轴于点M，则

是否还存在除C点外的其他位置的点，使以O，P，M为顶点的三

角形与△ABC相似？若存在，请求出这样的P点坐标；若不存在，请说明理由．

-------- 答案与解析 --------

1.答案：B

解析：解：A、连续抛一枚硬币50次，出现正面朝上的概率是50%，故此选项错误；

B、“明天的降水概率为30%”是指明天下雨的可能性是30%，是对的，故此选项正确；

C、无论哪一次掷骰子，都有6种情况，其中有3种奇数点朝上，另外3种是偶数点朝上；故掷第四

，故此选项错误；

次偶数点朝上的可能性是1

2

D、如果某种福利彩票，中奖概率为1%，买100张这种彩票，不一定会有1张中奖，故此选项错误．故选B．

概率值只是反映了事件发生的机会的大小，不是一定会发生．

考查了概率的意义，本题解决的关键是理解概率的概念只是反映事件发生机会的大小；概率小的有可能发生，概率大的有可能不发生．

2.答案：D

解析：

此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．

配方法的一般步骤：

(1)把常数项移到等号的右边；

(2)把二次项的系数化为1；

(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方．

选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．解：∵x2?4x=5，

∴x2?4x+4=5+4，

∴(x?2)2=9．

故选D．

3.答案：B

解析：

根据正多边形的中心角和为360°和正多边形的中心角相等，列式计算即可．

本题考查的是正多边形的中心角的有关计算，掌握正多边形的中心角和为360°和正多边形的中心角相等是解题的关键．

解：这个多边形的边数是360÷72=5，

故选：B．

4.答案：B

解析：解：点P(2,?4)关于原点对称的点的坐标是(?2,4)，

故选：B．

根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得答案．

此题主要考查了关于原点对称的点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律．

5.答案：B

解析：

此题主要考查了位似图形的性质，根据如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标乘以k或?k是解题关键．根据已知得出位似图形对应坐标与位似图形比的关系进而得出答案．

解：∵△ABO的一个顶点A的坐标是(?6,2)，以原点O为位似中心相似比为2：1，将△ABO缩小得到它的位似图形△A′B′O，

∴点A′的坐标是：(?1

2×6,1

2

×2)或[?1

2

×(?6),?1

2

×2]，即(?3,1)，(3,?1)．

故选B．

6.答案：B

解析：

本题主要考查了切线的性质，四边形的内角和，以及圆周角定理，熟练运用性质及定理是解本题的关键．

利用切线的性质易得OA⊥AP，OB⊥BP，再由圆周角定理结合已知条件中∠C的度数求出∠AOB的度数，在四边形PAOB中，根据四边形的内角和定理即可求出∠P的度数．

解：连接OA、OB，

∵PA、PB是⊙O的切线，

∴OA⊥AP，OB⊥BP，

∴∠OAP=∠OBP=90°，

又∵∠AOB=2∠ACB=130°，

则∠P=360°?(90°+90°+130°)=50°.

故选B.

7.答案：A

解析：[分析]

一元二次方程ax2+bx+m?1=0有实数根，则可转化为ax2+bx=1?m，既可以理解为y=

ax2+bx和y=1?m有交点，即可求出m的最小值．

[详解]

一元二次方程ax2+bx+m?1=0有两个不相等的实数根，可以理解为y=ax2+bx和y=1?m

有交点，可见1?m<2，∴m>?1，∴m的最小整数值为0，故答案选A．

[点睛]

本题主要考查了一元二次方程的基本性质，解此题的要点在于理解“ax2+bx+m?1=0有实数根，可以理解为y=ax2+bx和y=1?m有交点”这句话的意义．

8.答案：D

解析：

本题考查了反比例函数系数k的几何意义，以及反比例函数的图象和性质及任一点坐标的意义，有一定的难度．

欲求S1+S2，只要求出过A、B两点向x轴、y轴作垂线段求出与坐标轴所形成的矩形的面积即可，

的系数|k|，由此即可求出S1+S2．

而矩形面积为双曲线y=4

?x

解：∵点A、B是双曲线y=4

上的点，分别经过A、B两点向x轴、y轴作垂线段，

x

则根据反比例函数系数k的几何意义得两个矩形的面积都等于|k|=4，

∴S1+S2=4+4?1×2=6．

故选D．

9.答案：D

解析：

本题考查的是切线的性质，利用切线的性质得到OC⊥PD，然后进行计算求出∠PCA的度数．根据图形利用切线的性质，得到∠COD=45°，连接AC，∠ACO=22.5°，所以∠PCA=90°?22.5°=67.5°．解：如图，∵PD切⊙O于点C，

∴OC⊥PD，

又∵OC=CD，

∴∠COD=45°，

∵AO=CO，

∴∠ACO=22.5°，

∴∠PCA=90°?22.5°=67.5°．

故选D．

10.答案：B

解析：

(k为常数，k≠0)的图象是双曲线，本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=?k?

x

图象上的点(x,y)的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．

根据反比例函数图象上点的坐标特征分别计算出y1、y2、y3的值，然后比较大小即可．

的图象上，

解：∵A(1,y1)、B(2,y2)、C(?3,y3)都在反比例函数y=?2?

x

∴y1=2，y2=1，y3=??2?

，

3

∴y1>y2>y3．

故选B．

11.答案：1：2

解析：解：△ABC的面积为2cm2，△DEF的面积为8cm2，

∴△ABC与△DEF的面积比为1：4，

∵△ABC∽△DEF，

∴△ABC与△DEF相似比为1：2，

故答案为：1：2．

根据题意求出△ABC与△DEF的面积比，根据相似三角形的性质解答．

本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．12.答案：4

解析：

本题主要考查二次函数的顶点坐标，掌握顶点在x轴上其纵坐标为0是解题的关键．

把抛物线化为顶点式可得出其顶点坐标，根据顶点在x轴上，可知顶点的纵坐标为0可求得c．解：∵y=x2?4x+c=(x?2)2+c?4，

∴其顶点坐标为(2,c?4)，

∵顶点在x轴上，

∴c?4=0，

解得c=4，

故答案为4．

13.答案：75π

解析：

本题利用了扇形面积公式，圆的周长公式求解，根据圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2求得答案．解：圆锥的底面直径为10cm，则底面周长=10πcm，

圆锥的侧面积=1

2

×10π×15=75πcm2，

故答案为75π．

14.答案：126

解析：解：连接OB、OC，如图1，

∵O为内心，

∴OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，

∴∠OBC=1

2∠ABC，∠OCB=1

2

∠ACB，

∴∠BOC=180°?∠OBC?∠OCB=180°?1

2(∠ABC+∠ACB)=180°?1

2

×(180°?72°)=126°；

故答案为：126．

连接OB、OC，由内心的性质可求得∠OBC+∠OCB，在△OBC中可求得∠BOC

本题主要考查三角形的内心，掌握内心为三角形三个内角平分线的交点是解题的关键．

15.答案：1

3

解析：

本题考查了几何概率，熟练掌握概率的计算公式是解题的关键.注意面积之比=几何概率．求出黑色区域面积与正方形总面积之比即可得答案．

解：图中有9个小正方形，其中黑色区域一共可以凑成3个小正方形，

所以随意投掷一个飞镖，击中黑色区域的概率是=3

9=1

3

，

故答案为：1

3

．

16.答案：3√3

解析：

本题考查了旋转的性质、矩形的性质、特殊角的三角函数，三角形面积计算等知识点.根据旋转的性

质得到AC=AC′，由AC的中点恰好与D点重合，得到AD=?1

2

?AC，根据三角函数的定义得到∠DAE=∠ACD=30°，求得AD=?√3，AE=2，AE=CE=2，根据矩形的面积公式即可得到结论．

解：∵将矩形ABCD绕点A旋转至矩形AB′C′D′位置，

∴AC=AC′，

∵AC的中点恰好与D点重合，

∴AD=?1

2

?AC，

∴∠DAE=∠ACD=30°，

∵DE=1，

∴AD=?√3，AE=2，

∵∠DAC=90°?30°=60°，

∴∠EAC=30°，

∴∠EAC=∠ACD=30°，

∴AE=CE=2，

∴CD=3，

∴矩形ABCD的面积=CD?AD=3√3．

故答案为3√3．

17.答案：解：(1)x2?2x?3=0

(x+1)(x?3)=0，

x+1=0，x?3=0，

x 1=?1，x 2=3；

(2)x 2?3x +1=0

∵a =1，b =?3，c =1， ∴b 2?4ac =9?4=5>0， ∴x =

3±√5

2， ∴x 1=3+√52

，x 2=

3?√52

．

解析：此题考查了解一元二次方程?因式分解法，公式法，熟练掌握各自解法是解本题的关键． (1)首先对该方程进行因式分解，然后再进行解答即可； (2)找出a ，b ，c 的值，代入求根公式即可求出解． 18.答案：解：(1)由题意有：{m 2?m ≠0

4m 2?4(m 2?m)>0， 解得m >0且m ≠1； (2)∵m >0且m ≠1， 而m 为小于3的整数， ∴m =2，

当m =2时，方程化为2x 2?4x +1=0， ∵a 是方程的一个根， ∴2a 2?4a +1=0， 即2a 2=4a ?1， ∴原式=4a ?1?3a ?

4a?1+1

4

+2

=a ?1?a +2

=1．

解析：(1)根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到关于m 的不等式组，然后解不等式组即可； (2)先利用m 的范围确定整数m 的值得到2a 2=4a ?1，然后利用整体代入的方法计算代数式的值． 本题考查了根的判别式：一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的根与△=b 2?4ac 有如下关系：当△>0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△<0时，方程无实数根．

19.答案：解：∵∠ACD=∠B，∠A=∠A，∴△ADC∽△ACB，

∴AD

AC =AC

AB

，即6

AC

=AC

8+6

，

解得，AC=2√21．

解析：根据相似三角形的性质定理列出比例式，计算即可．

本题相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．

20.答案：证明：连接OD．

∵DE与⊙O相切于D，

∴OD⊥DE，

∴∠ODE=90°，

∵OA=OD，

∴∠OAD=∠ODA，

∵AD平分∠BAC，

∴∠CAD=∠DAB，

∴∠CAD=∠ADO，

∴OD//AE，

∴∠E+∠ODE=180°，

∴∠E=90°，

∴DE⊥AE．

解析：由切线的性质可知∠ODE=90°，纵坐标OD//AE即可解决问题；

本题考查切线的性质，平行线的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．

21.答案：解：(1)由排球运行的最大高度为2.8米，则顶点的坐标为G(6,2.8)，则设抛物线的解析式

为p=a(x?6)2+2.8．

∵点C的坐标为(0,2)，点C在抛物线上，

∴2=a(0?6)2+2.8，

，

解得a=?1

45

∴p=?1

(x?6)2+2.8，

45

(x?6)2+2.8．即排球飞行的高度p(单位：米)与水平距离x(单位：米)之间的函数关系式为p=?1

45

×(9?6)2+2.8=2.6>2.24，

(2)当x=9时，p=?1

45

×(18?6)2+2.8=?0.4<0，

当x=18时，p=?1

45

故这次发球可以过网且不出界．

(3)设抛物线的解析式为p=a(x?6)2+?，

将点C代入得36a+?=2，即?=2?36a，

∴抛物线的解析式为p=a(x?6)2+2?36a，

;

根据题意，要使球不出边界，有：a(18?6)2+2?36a≤0，解得a≤?1

54

，

要使球过网，有：a(9?6)2+2?36a>2.24，解得a

225

所以a≤?1

，

54

故李明同学发球要想过网，又使排球不会出界(排球压线属于没出界)，

．

则二次函数中二次项系数的最大值为?1

54

解析：本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．可根据二次函数的解析式的最值作为临界值来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．

(1)利用抛物线的顶点坐标为(6,2.8)，设出抛物线的顶点式，将点(0,2)代入解析式求出即可；

(2)分别求出当x=9，x=18时p的值即可判断；

(3)设抛物线的解析式为p=a(x?6)2+?，将点C代入，可知此时抛物线的解析式为p=a(x?6)2+ 2?36a，再根据当x=9时，p>2.24和当x=18时，p≤0即可得a的取值范围，从而求得最大值．22.答案：(1)a=3；k=?3；B(?3,1)；(2)P(?6,0)或(?2,0)

解析：[分析]

(1)求出A 点坐标，代入函数解析式，联立方程组即可解题， (2)根据面积即可求解． [详解]

解：(1)把点A(?1,a)代入y =x +4，得a =3，

∴A(?1,3)

把A(?1,3)代入反比例函数y =k

x ∴k =?3．

∴反比例函数的表达式为y =?3x 联立两个函数的表达式得{

y =x +4

y =?3x 解得{x =?1y =3或{x =?3y =1 ∴点B 的坐标为B(?3,1)． (2)P(?6,0)或(?2,0)

∵B(?3,1)，A(?1,3)，C(?4,0)， ∴S △BOC =2，即S △ACP =3

2S △BOC =3，

∴

CP?32

=3，CP =2，

∵P 在x 轴上， ∴P(?6,0)或(?2,0)． [点睛]

本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，中等难度，联立解方程组是解题关键．

23.答案：证明：(1)∵AB是⊙O的直径，

∴AD⊥BC，

∵∠BAC=90°，

∴∠CAD+∠BAD=∠BAD+∠ABD=90°，

∴∠CAD=∠ABD，

∵∠AED=∠ABD，

∴∠DAC=∠AED；

(2)解：∵点E是BD?的中点，

∴∠BAE=∠EAD，

∵∠CFA=∠ABC+∠BAE，∠CAE=∠CAD+∠EAD，

∴∠CFA=∠CAE，

∴CA=CF，

∵∠BAC=∠ADB=90°，∠ACD=∠BCA，

∴△ADC∽△BAC．

∴AC

BC =CD

AC

．

即AC2=BC×CD=(5+4)×4=36．

解得AC=6．

∴CA=CF=6，

∴DF=CF?CD=2．

解析：本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，相似三角形判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．

(1)根据圆周角定理得到AD⊥BC，根据余角的性质和圆周角定理即可得到结论；

(2)根据等腰三角形的性质得到CA=CF，根据相似三角形的性质即可得到结论．

24.答案：解：连接OD，OE，AE，

∵CD、CE分别与圆O相切于点D、E，

∴∠ODC=∠OEC=90°，

∵BC =OB ， ∴OC =2OD ， ∴∠DCO =30°， ∴∠DCE =60°， ∴∠DOE =120°， ∴∠DAE =60°，

∵CD =CE ，∠DCO =∠ECO ， ∴AC 垂直平分DE ， ∴AD =AE ，

∴△ADE 是等边三角形， ∴DE =AD =5．

解析：连接OD ，OE ，AE ，由于CD 、CE 分别与圆O 相切于点D 、E ，得到∠ODC =∠OEC =90°，根据已知条件得到OC =2OD ，求得∠DCO =30°，推出AC 垂直平分DE ，于是得到△ADE 是等边三角形，即可得到结论．

本题考查了切线的性质，等边三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定，正确的作出辅助线是解题的关键．

25.答案：解：

(1)∵y =?x 2+2x =?(x ?1)2+1， ∴A(1,1)，

联立直线与抛物线解析式可得{y =?x 2+2x

y =x ?2，解得{x =2y =0或{x =?1y =?3，

∴B(2,0)，C(?1,?3)；

(2)证明：

∵A(1,1)，B(2,0)，C(?1,?3)，

∴AB =√(1?2)2+(1?0)2=√2，BC =√(2+1)2+(0+3)2=3√2，AC =√(1+1)2+(1+3)2=2√5， ∴AB 2+BC 2=2+18=20=AC 2， ∴△ABC 是以AC 为斜边的直角三角形，