应用数学基础
应用数学基础第三章-赋范线性空间和有界线性算子详解
则 d 为 X 上的度量，但这种度量不满足
d(x,y) d(x, y)
1.2 收敛函数与连续映射
定义2：设 X 为赋范线性空间，{xn}n1 X
如果存在
x0 X ，使得
lim
n
xn
x0
0，
则称 {xn} 依范数收敛于 x0，记为
lim
n
xn
x0
这时也称 x0 为序列{xn}n1 的极限。
10 如果 ||•||1 和 ||•||2 等价，则{xn} 为 (X, ||•||1) 中的 Cauchy 序列 {xn} 为 (X, ||•||2) 中的 Cauchy 序列；
20 如果 ||•||1 与 ||•||2 等价，则 {xn} 依范数 ||•||1 收敛于x {xn} 依范数 ||•||2 收敛于 x；
由连续映射的定义易知：
(1) f 在点 x0 X 处连续 对 {xn} X ，如
果 xn x0 ，则 f (xn ) f (x0 ) ； (2) 范数 ||•||：X R 是连续映射；
(3) X 上线性运算（加法与数乘）也是连续映射；
(4) 内积空间中内积运算是连续映射。
1.3 Cauchy 序列与 Banach 空间
第三章
§1 赋范线性空间
1.1 定义及示例
定义1：设 X 是数域 K 上的线性空间，
如果存在映射 ||•||：X→R，并满足：
(1) 非负性：对 xX, ||x||0, 并且
||x||=0 x=0
(2) 齐次性：对 xX，K，||x||=||||x|| (3) 三角不等式：对 x,yX，||x+y|| ||x||+||y||
定义4
应用数学基础知识点总结及课堂笔记
应用数学基础知识点总结及课堂笔记 1.函数、极限和连续 1.1函数1.1.1函数的概念 （1）函数的定义：设X ，Y 是两个非空实数集合，若存在对应法则f ，使得对于任给的x X ∈，存在唯一的y Y ∈与之对应，则称f 是X 到Y 的函数，记作()y f x =。
X 称为定义域，{|(),}W y y f x x X Y ==∈⊂，称为函数f 的值域。
（2）函数的表示法：a.公式法：如分段函数、隐函数、参数方程表示的函数；b.图形法：c.表格法：（3）分段函数：（4）要点：函数的定义的两个要素：定义域X 及对应法则f 。
当两个函数的定义域及对应法则均相同时，表示两个函数相同。
定义：设()f x 的定义域为X ，值域为W ，若对于任给y W ∈，在X 中只有一个数x 与之对应，使得()f x y =，把y 看作自变量，x 看作函数，得到的一个新函数，称为函数f 的反函数，记作1f-。
1()()fy x f x y -=⇔=原函数与反函数的图像关于直线y x =对称，原函数的定义域是反函数的值域，原函数的值域是反函数的定义域。
复合函数：设函数()y f u =的定义域为U ，函数()u x ϕ=的定义域为X ，值域为*U ，且*U U ⊂，则称函数(())y f x ϕ=为定义在X 上的复合函数，u 为中间变量。
1.1.6初等函数 定义：由基本初等函数经过有限次四则运算或有限次复合所构成并可用一个式子表示的函数叫做初等函数。
一些简单实际问题的函数关系式：（1）长方形z 绕轴线L 旋转一周（如右图）的所得体积为：2V x y π=（2）将边长为a 的正方形的四角截取边长为x 的小正方形，并将小正方形折起所得的正方体（如右图）的体积为：2(2)V a x x =-（3）收益函数：R PQ =（P ：价格，Q ：数量）成本函数：()C Q 利润函数：L R C =- 1.2极限1.2.1数列极限的概念数列的极限lim n n x a →+∞=：对于任意给定的正数ε，总存在正整数N ，使得当n N >时，有n x a ε-<。
大一应用数学基础知识点
大一应用数学基础知识点本文将介绍大一学生需要掌握的应用数学基础知识点，包括数列与数列极限、函数与函数极限、导数与微分以及积分与定积分。
一、数列与数列极限数列是由一系列按照一定规律排列的数所组成的有序集合。
数列的极限是指当数列中的数趋于无穷时，数列整体的趋势或稳定的值。
大一学生需要了解以下几个重要的概念和性质：1. 数列的通项公式数列的通项公式是指通过一个常数或者变量来表示数列中的每一项。
例如等差数列的通项公式为an = a1 + (n-1)d，其中a1为首项，d为公差，n为项数。
2. 数列的极限数列的极限指的是当数列中的数趋于无穷时，数列整体趋于的稳定值。
例如，等差数列的极限为无穷或有限值，等比数列的极限为0或无穷。
3. 数列收敛与发散数列的极限存在且为有限值时，称为收敛；当极限不存在或为无穷时，称为发散。
4. 数列极限的性质常用的数列极限性质有唯一性、夹逼准则以及四则运算法则等，大一学生需要熟悉这些性质的应用和证明。
二、函数与函数极限函数是一种特殊的关系，将自变量和因变量联系起来。
函数极限则是指当自变量趋于某个值时，函数整体趋于的稳定值。
大一学生需要掌握以下几个重要的概念和性质：1. 函数的定义域和值域函数的定义域是指自变量的所有可能取值。
函数的值域是指所有因变量的可能取值。
2. 函数的极限函数的极限是指自变量趋于某个值时，函数整体趋于的稳定值。
例如，当自变量无穷趋近于某个值时，函数的极限可以是有限值、无穷大或无穷小。
3. 函数极限的性质常用的函数极限性质有唯一性、夹逼准则以及四则运算法则等，大一学生需要熟悉这些性质的应用和证明。
三、导数与微分导数是函数变化率的度量，描述了函数某一点的陡峭程度。
微分则是导数的几何解释，表示函数在某一点附近的线性近似。
大一学生需要了解以下几个重要的概念和性质：1. 导数的定义导数是函数在某一点处的变化率，用极限的方式表示。
记作f'(x)或dy/dx。
2. 常见函数的导数常用函数的导数公式包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数等。
应用数学基础上册(1-12章)全套课件
例1 用列举法或描述法表示下列集合.
（1）大于 3 小于 17 的偶数； （2）不等式 x2 4 0 的整数解
解 (1)用列举法可表示为:4,6,8,10,12,14,16 用描述
如果集合所包含的元素个数为有限个，称这个集合为 有限集合；如果集合所包含的元素个数为无限多个，称这 个集合为无限集合。
例如，实数集R，有理数集Q等都是无限集合，而上面的 例子中， (1) 、 (3) 、 (4) 、 (5) 都是有限集合.
二、集合的表示法
1、列举法 把某一集合的每个元素不重复、不遗漏、不 分次序地一一列举起来写在花括号 {}内表示集合的方法叫 做列举法。
Байду номын сангаас
例如,集合 1,2,3 与集合 1, 2,3, 4,5 ,由定义可知, 1, 2,3 是 1,2,3,4,5的子集, 记作1,2,3 1, 2,3, 4,5 或{1,2,3,4, 5} 1, 2,3 .
为方便起见,我们把至少含有一个元素的集合叫做非空集. 应该注意:
(1)空集“ ”与集{0}以及数“0”是三个不同概念；
(2)单元素集{ a }与单个元素 a 是两个不同的概念.{ a }表示 由 a 组成的集合，而 a 表示一个元素 a .
四、子集、真子集、集合的相等
对于两个集合 A 和B , 如果集合A的任何一个元素都是集 合B的元素,则称集合 A 为集合 B 的子集.记作 A B (也可 写成A B),或 B A (B A).读作" A包含于B "或" B包含A".
习惯上，我们用大写字母 A、B、C、…表示集合，而用小写字 母a、 b、 c…表示集合的元素。 如果a 是集合 A 的元素， 记为 “ aA” ， 读作 “ a 属于 A” ； 如果 a 不是集合 A 的元素， 则记为 “ aA”(或 “a” )， 读作“ a 不属于 A” 。
应用数学基础 第二章-矩阵的相似标准形
记 f(x)= x n+ a1 x n-1 + + an-1 x + an，则 f(A)= A n+ a1 A n-1 + + an-1 A + an E
若 f()为的特征多项式，则 f(A)=0 .
( p60 Th2.11, Hamilton-Cayley定理 )
函数矩阵： 元素是函数的矩阵 多项式矩阵或-矩阵： 元素是的多项式的矩阵 如：方阵的A特征矩阵 E – A Note：多项式矩阵可以写成以矩阵为系数的多项式
Hint: 初等因子为 – 2，( + 1)2
cf. Mathematica示例 cf. Mathematica
例2.9 求矩阵A的Jö rdan标准形，其中
Hint: A1, A2初等因子分别为 i和 – 2，( – 1)2
示 例
19
§2.3 三、有理标准形
对任意的ni 次多项式 ()= 它的相伴矩阵Ci 定义为
特征值： f()= 0的根，即使 E – A为退化矩阵的数 特征向量：( E – A)X = 0的非零解 (为特征值) 谱：全部特征值的集合，记作(A)
有关特征值与特征向量的几个结论
2
§2.1－1
方阵的特征矩阵
矩阵多项式：以方阵 A代入一个多项式 f(x)的值，或者 说是 f(x)在 x = A处的值
15
§2.3 矩阵的相似标准形
一、矩阵相似的充分必要条件 定义2.8 设A, BCnn ，若存在可逆矩阵P Cnn ，使 P -1 A P = B , 则称A与B相似, 记作AB. 称 AB= P -1AP为相似变换， 称P为相似变换矩阵. 定理2.7 A, BCnn, A ~ B E – A E – B. Key
应用数学基础
《应用数学基础》试题一、选择题(10分)x 6•函数f(x)的定义域是 ___________ .J2x x 24•已知f(x)是2x 的一个原函数，且f(0)=—，则f(x)=( In 2C.2x ln2+C(C 是任意常数)D.2x ln2x 12.不定积分——dx .4 x 2---------------2x 214.设函数 f(x) cost 2dt ,则 f ' (2)=.0 ' ’ -------------------------------------------------------------17.求曲线y=e x +xcos3x 在点(0,1)处的切线方程函数f(x)= x 2 +ln(3-x)的定义域是(7 .函数f(x)= _1 ------ 的间断点是 __________x 2 5x 6 12.定积分V4 x 2dx= .2 4.对于函数f(x),下列命题正确的是()A .若X 0为极值点，则f (X 。
) 0B .若f (X 。
)0 ,则X 0为极值点C .若X 。
为极值点，则f (X 。
) 0A. 2x In2 C(C 是任意常数) B Z In 218.求极限 xsinxx im 0尹2CA . C. [-3,2] [-2,3)B . [-3,2) D . [-2,3]24. (1 )设 y y(x)由方程 x 33xy y 31确定，求业及dydx dx13.极限 l im 0Xsi nt 2dt14.无穷限反常积分2xdx= ________D •若x o为极值点且f(X。
)存在，则f(X。
)0 &设函数y e tanx，则y9.曲线y=x2+1在点(1, 2)处的切线方程为10.函数f (x) x3x的单调增加区间为19•计算定积分I 5x-, dx.2.x 1.1 x2 121 .设函数f (x)2x1 sin ax处连续.1.函数f(x)=arcsin 的定义域为(0 ,试确定常数a和b的值，使得f (x)在x=0A.[-1 , 1] C. (-1, 1)B.[-1 , 3] D. (-1 , 3)3.函数f(x)x33x1在x=1处的导数为1A.1 C.3B.2D.不存在6.设f(x) ,g(x)=x2+1,则f[g(x)]=.arcta nx7. lim 2 —x x2 116.求极限limxx x cos x 0x sin x19.已知函数f(x)满足dx e x C，求f (x)dx . x25.证明：当x>0 时,1+ 1X -1 x .2tan 2x 2.极限limx 0 6x A. 024. x=0 是函数 f(x)=e x x 的( )A .零点 C.极值点D.非极值点6. _____________________________ 已知 f(x+1)=x 2，贝U f(x)= _______________________________ .10函数f(x)=2x 3+3x 2-12x+1的单调减少区间为 ___________ .11 .函数f( x)= x 3-3 x 的极小值为 ________ .13. __________________________________________ 设 f/ (x)=cos x-2x 且 f( 0)=2，贝U f(x)= _________________五、应用题(本大题 9分)24. 设区域D 由曲线y=e x , y=x 2与直线x=0, x=1围成.(1 )求D 的面积A ;(2 )求D 绕x 轴旋转一周的旋转体体积V x .28•极限 lim(1 2x)°=.x 09•曲线y=x+ln x 在点(1, 1 )处的切线方程为 ____________x2213.设 f(x)连续且 0 f(t)dt x cos x ，贝y f(x)= ___________219.计算定积分 2 sin . 2xdx .1 x20. 求不定积分2dx.1 x21. 求函数f(x)=x 3-6x 2+9x-4在闭区间［0 , 2］上的最大值和最小值3V x7.极限 lim 1 —= x 03 8. 当x 0时，sin(2x 2)与ax 2是等价无究小，则11. 设 y=x sin x ,贝U y = __ 12. 曲线y=x 3+3x 2-1的拐点为17.求极限x im 022xe sin x 1C.D. 3B.驻点 17.求极限x lim — x 0 1 xe 2 cosxa= __________9.极限limxsin x x 2 124.设曲线xy=1与直线y=2, x=3所围成的平面区域为 D （如图所示） （1） D 的面积；（2） D 绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积 .1/ 1x cos x 4. 6 dx (11 sin x A.—2 C.1 7. lim8. lim x cost xx 0x'1 x 19. limx 0 x 1 13.2dx2(x 1)16•求极限x 叫丁 2. 当X T +8时， F 列变量中为无穷大量的是（)A .1 xB. l n( 1+x)C. si nxD . e -x4. 设f （x ）可微，则d(e f (x))=()A. f ' (x)dxB. e f(x)dxC. f ‘(艰 dxD .f ‘(x )se 18.求不定积分 22.计算定积分 B. n D.0.求x 1 x 0 7•设函数f （X ）= x 2,，x 0，则极限即（X ） --------------------- 1 1 9 .不定积分牙cos dx x xd 2x t10. — ( si n — dt)= dx 02 — 1 /x 416. 求极限limx 5x 518.求由方程y=1+xe y 所确定的隐函数y=y （x ）的导数 少. dx24.从一块边长为a 的正方形铁皮的四个角各截去一个大小相等的方块，子，问截去的方块边长为多少时，所做成的盒子容积最大？25. 求由曲线y=x 3与直线x=2,y=0所围平面图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积当 X T 0 时，x In (x+1)是(F 列反常积分中收敛的是（11.设由参数方程x=-,y 21 t 确定的函数为y y （x ）,则巴=dxx 1求 y'.17.设 y=Rx(x 3)'做成一个无盖的盒A . 与x sin x 等阶的无穷小B. x sin x 同阶非等价的无穷小C. 比x sin x 高阶的无穷小D.x sin x 低阶的无穷小A .1 dx 3 x2 B.e x dxC.1dx xln xD.dy=17.设 y 1 x 2In cosx e 2，求 y .18.设由参数方程T , 1 t,确定的函数为 y(x),19.求不定积分 (1 121 .计算定积分xe 0dx.x)(2 x)x dx.A. 2, 1 C. 1,1 3. lim (1 -)x 1 ( )x x A.1 C.e+14. 下列反常积分中发散的是( )A. e xdx0 C.-—dx exln x9. 设 y=lnsinx 侧 y ___________ . x 10. 曲线y =e 2在x = 0处的切线斜率是11. _________________________________________________ 若 f(x)dx F (x) C,贝U e x f (e x )dx ____________________________________________________ 0dt12. ----------------------------------------------------------- 设(x) x ,1 t 3,则(x)213. ____________________________ 曲线y =e x 的拐点为 . 17. 设方程xy-e x +e y =0确定了隐函数y = y(x)，求y (0). 18.函数 f (x)= 3xv 1 3x ,x',在x =1处是否连续？是否可导？ 2x 1, x 1 21.求不定积分 x dx.1 e22.计算定积分dx 2x 22x 2 '1 1 25•证明 x m (1 x)n dx x n (1 x)mdx.oo1•下列函数中是偶函数的为( )A.y =x 4+x 5B.y = x 5 xC.y =e x -e -xD.y = xsin x1 x 22. 设函数y = f(x)的定义域为 0,1 ,则f (x+2)的定义域为(B. 2,1 D. 0,1B.e D.1 B.2 dx1x’ 1 D. 2 dx1 x 225.设f (x)是连续函数，证明xf (x)dx xf (x) f (x) C.1 •下列函数中是奇函数的为( )2A. y=ln(x +1)-secxC.1y=l n1B. y= x3 +11 x, x 0, D.y=1 x, x 0.&设f(x)是可导函数，y=f(仮),则dy= __________________ .dx9 .设f(x) =ln(1+x),则f (0) ________ .10 .设由参数方程x=a(t-sint),y=a(1-cost)(其中a>0为常数)确定的函数为y y(x),则dydx1 213.不定积分一^cos—dx ___________x x16.求极限lim ( n2 2n 1 n2 n 1).e17. 设y=p ln3,求y .x1 dy18.求由方程x-y+ siny=0所确定的隐函数y=y(x)的一阶导数.2 dx21 .求不定积分ln xdx.0ln(te t)dt1 cosxA.2x-1 (X T 0)sin xB. (X T 0)x1C. 2 (X T 1)(x 1)24.下列反常积分收敛的是()D.2-X-1(X T 1)22.计算极限limx 02.下列变量在给定的变化过程中为无穷小量的是()A. 2x dxC. xdx0 B. e x dxD.dx1x -------- dx = 1..2 x 2 设方程y 2-2xy+9=0确定了隐函数y=y(x),求®. dxnlim xsin =x14•无穷限反常积分 ________exln x22 .计算定积分sin 3 x sin 5 xdx.12.19.20. 计算定积分1-dx. x21. 求由参数方程t2，所确定的函数y=y(x)的一阶导数列及二阶导数 仝y2e t dx dx 222. 讨论函数 lim xsin — 2.x0 xy=/-6x+8的单调性.A.0B.1C *D 不存在也不是a13.设 x ln(1 t2),,则 y t arcta ntdy =dx14. 25.丄石dx 1，则常数k=____ 1 x 2求由直线y=x 与抛物线y 2=x 所围成的平面图形的面积 若无穷限反常积分11. 已知x 7(t y 7(1Sint)，则虬cost), dx12. 如果 f (x)dx xln x C ，贝U f(x)14卯0xcost 2dtsin x, x x —,20.已知f(x) 2求f(x)dx.x —,—x , 22 225•求由曲线xy=1与直线y=2,x=3所围成的平面图形的面积x 22•设f(x) 2 ,g(x) x ,则g[f(x)]=( )2A.2xB.x 2xC.4D.x22x3•下列变量在给定的变化过程中为无穷小量的是()A.2x 1 (x 0)B.(x 0)xC.—(x 1)D.2 x 1 (x 1)(x 1)24•设曲线y x2x 1在点M的切线的斜率为3,则点M的坐标为() A. (0,1 )1 .设函数y=f (x)的定义域为［0,A .[0, 1]C .[-2, 1]2.当X T 0时，下面无穷小量中与A. 3xC. ln (1+x2)6. lim (1 -)2x 3____________ .X x4 121 .计算定积分 -------- dx .1 1 J xx22 .设y=e 2 cos3x,求y .2•若f』)(—)2，则f(x)=(x xA.(宀 2 x 1C.(1 + x)211・设f(x。
应用数学基础 10-1初等函数
有时又需要分清楚一个复合函数是由哪些简单函数复合而成的.
这里说的简单函数是指基本初等函数以及由它们的和、差、积、商所形成的函数.
例2 说出下列复合函数是由怎样的简单函数复合而成的:
2
(1) = cos ;
(2) = e
cos 2
;
(3) = arctan
1−
.
1+ 2
解 (1)函数 = cos2 可以看成是由简单函数 = 2 和 = cos复合而成的.
生物科学等众多领域都展示了强大威力.
从本章开始我们将进入微积分内容的学习. 微积分研究的基本对象是函数,
函数和极限是微积分的基础, 连续性是微积分中的一个基本概念.
朴素的极限和微积分思想出现很早. 例如, 早在公元前4世纪,
我国就有“一尺之棰,日取其半,万世不竭”的说法. 这就是说,
一尺长的木棒, 每天取走一半, 永远也取不完;
并能用一个数学式子表示的函数, 称为初等函数.
如上面例1、例2中的各个函数, 多项式函数、有理分式函数等等,
都是初等函数.
那么称以x为自变量的函数 = [()] 为由 = ()和 = ()复合而成
的复合函数,简称复合函数,称u为中间变量.
类似地, 可以说明由三个或更多函数复合而成的复合函数.
需要说明一下, 并不是任何两个函数都能够复合成为一个复合函数的.
例如， = ln, ∈(0, + ∞) 和 = − 2 , ∈R分别是和的函数,
例1 已知函数 = ln, = , = 2 −1, 把 y 表示成 x的复合函数.
解
把 = 2 −1代入 = 中, 得 = 2 −1,
再把 = 2 −1代入 = ln中, 即得x的复合函数 = ln 2 −1.
应用数学基础
应用数学基础应用数学是一门研究数学在实际问题中的应用的学科，它不仅仅是为了解决数学问题，更是为了解决现实世界中的各种实际问题。
应用数学基础是应用数学的基石，它包含了数学中的基本概念、原理和方法，为解决实际问题提供了重要的工具和思维方式。
应用数学基础的核心内容之一是数学模型的建立和求解。
数学模型是将实际问题抽象化、简化为数学形式的表示，通过对模型的求解来获取问题的解答。
在建立数学模型时，我们需要考虑问题的背景、目标和限制条件，选择合适的数学方法和工具进行求解。
例如，在物理学中，我们可以使用微分方程来描述物体的运动状态；在经济学中，我们可以使用优化方法来寻找最优的决策方案。
另一个重要的内容是概率论和统计学。
概率论是研究随机事件发生的规律性和不确定性的数学分支，统计学是通过对数据的分析和推断来研究总体特征和个体差异的学科。
概率论和统计学可以帮助我们理解和解释实际问题中的不确定性，如风险评估、市场预测、医学诊断等。
通过概率论和统计学的方法，我们可以对实际问题进行量化分析，为决策提供科学依据。
线性代数是应用数学中的另一个重要分支。
线性代数研究向量、矩阵和线性变换的性质和运算规律，它在物理学、工程学、计算机科学等领域有着广泛的应用。
例如，在计算机图形学中，我们可以使用线性代数的方法来描述和处理图像的变换和渲染；在电力系统中，我们可以使用线性代数来分析电路的稳定性和功率流动等问题。
数值计算是应用数学中的一个重要分支，它研究通过数值方法来近似求解数学问题。
在实际问题中，往往无法通过解析方法得到精确解，这时就需要借助数值计算的方法来求解。
数值计算涉及到数值逼近、插值、数值积分、数值微分等技术，它在科学计算、工程设计、金融风险评估等领域发挥着重要作用。
优化理论和方法也是应用数学中的一大重要内容。
优化理论研究如何在给定的约束条件下，找到使某一指标达到最优的决策方案。
优化问题广泛存在于各个领域，如物流路径规划、生产调度、资源分配等。
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北京石油化工学院2012年高职升本科
《应用数学基础》考试大纲
一、考试性质
“高职升本科”考试是为选拔北京市高等职业教育应届优秀毕业生进入本科学习所组织的选拔性考试。
二、考试科目
《应用数学基础》
三、适用专业
本课程考试适用于报考《计算机科学与技术》、《电子信息工程》、《电气工程与自动化》、《信息管理与信息系统》专业的考生。
四、考试目的
本次考试的目的主要是测试考生在高职或相当于高职阶段的学习中是否具有本科学习的能力。
是否了解或理解一元微积分各个部分的基本概念和基本理论，是否掌握了各种基本方法和基本运算，是否具有一定的抽象思维能力、逻辑推理能力、运算能力以及应用一元微积分基本知识分析并解决简单的实际问题的能力。
五、考试内容
根据应用数学基础课程大纲的要求，并考虑高职高专教育的教学实际，特制定本课程考试内容。
1．函数、极限和连续
1.1函数
1.1.1 知识范围
（1）函数的概念
函数的定义，函数的表示法，分段函数。
（2）函数的性质
单调性、奇偶性、有界性、周期性。
（3）反函数
反函数的定义，反函数的图像。
（4）基本初等函数
幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数。
（5）函数的四则运算与复合运算。
（6）初等函数。
1.1.2 要求
（1）理解函数的概念，会求函数的表达式及定义域，会求分段函数的定义域及函数值，会描绘简单的分段函数的图像。
（2）理解函数的有界性、单调性、奇偶性和周期性。
（3）掌握函数的四则运算与复合运算。
（4）熟练掌握基本初等函数的性质及其图像。
（5）了解初等函数的概念。
（6）会建立简单实际问题的函数关系式。
1.2 极限
1.2.1 知识范围
（1）数列极限的概念
数列、数列极限的定义。
（2）数列极限的性质
唯一性、有界性。
（3）函数极限的概念
自变量趋于有限值时函数的极限，左、右极限及其与极限的关系，自变量趋于无穷大时函数的极限，函数极限的性质。
（4）无穷小与无穷大
无穷小与无穷大的定义，无穷小与无穷大的关系，无穷小的性质，无穷小的比较。
（5）极限的运算法则。
（6）极限存在准则，两个重要极限。
1.2.2 要求
（1）理解极限的概念。
会求函数在一点处的左右极限。
（2）熟练掌握极限的四则运算法则。
（3）理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的性质，无穷小与无穷大的关系，会运用等价无穷小代换求极限。
（4）熟练掌握用两个重要极限求极限的方法。
1.3 连续
1.3.1 知识范围
（1）函数连续的概念
函数在一点处连续的定义，左连续与右连续，函数在一点连续的充分必要条件，函数的间断点及其分类，函数在区间上连续的概念。
（2）连续函数的运算
连续函数的四则运算，复合函数的连续性，反函数的连续性，基本初等函数和初等函数的连续性。
（3）闭区间上连续函数的性质
有界性定理，最大值与最小值定理，介值定理（包括零点定理）。
（4）初等函数的连续性。
1.3.2 要求
（1）理解函数在一点处连续与间断的概念，理解函数在一点处连续与极限的关系，掌握判断函数（含分段函数）在一点处的连续性的方法。
（2）会求函数的间断点并确定其类型。
（3）掌握闭区间上连续函数的性质。
（4）理解初等函数在其定义区间上的连续性，会利用连续性求极限。
2．微分学及其应用
2.1 导数与微分
2.1.1 知识范围
（1）导数的概念
导数的定义，导数的几何意义与物理意义，可导与连续的关系。
（2）求导法则与导数的基本公式
函数的和、差、积、商的求导法则，反函数的求导法则，复合函数的求导法则，常数和基本初等函数的求导公式。
（3）求导方法
用导数的定义求导，隐函数的求导法，由参数方程确定的函数的求导法，对数求导法。
（4）高阶导数
高阶导数的定义、高阶导数的计算。
（5）微分
微分的定义，微分的几何意义，可微与可导的关系，基本初等函数微分公式与微分运算法则，微分的计算与应用。
2.1.2 要求
（1）理解导数的概念及其几何意义，了解可导性与连续性的关系，掌握用定义求函数在一点处的导数的方法。
（2）会求曲线上一点处的切线方程与法线方程。
（3）熟练掌握导数的基本公式及四则运算法则和复合函数的求导方法。
（4）掌握隐函数求导方法，由参数方程所确定的函数的求导方法。
（5）理解高阶导数的概念，会求显函数的二阶导数。
（6）理解函数微分的概念，了解可微与可导的关系，会求函数的微分。
2.2 导数的应用
2.2.1 知识范围
（1）微分中值定理。
（2）洛必达(L’Hospital)法则。
（3）麦克劳林(Maclaurin)公式和泰勒(Taylor)公式。
（4）函数的单调性，曲线的凹凸性与拐点。
（5）函数的极值与极值点，最大值与最小值。
（6）函数图形的描绘。
2.2.2 要求
（1）理解微分中值定理。
（1）熟练掌握用洛必达法则求未定式的极限的方法。
（2）掌握利用导数判定函数单调性的方法。
（3）理解函数极值的概念，掌握求函数的极值，最大值与最小值的方法，掌握简单的极值应用问题的求解。
（4）掌握曲线凹凸性的判别方法，会求曲线的拐点。
（5）会描绘函数的图形。
3．积分学及其应用
3.1 不定积分
3.1.1 知识范围
（1）不定积分的概念
原函数与不定积分的定义、原函数存在定理。
（2）基本积分公式、不定积分的性质。
（3）不定积分的第一（第二）类换元积分法，不定积分的分部积分法。
（4）简单有理函数的积分。
3.1.2 要求
（1）理解原函数与不定积分的概念，原函数存在定理。
（2）掌握基本积分公式、不定积分的性质。
（3）熟练掌握不定积分第一（第二）类换元积分法。
（4）熟练掌握不定积分的分部积分法。
3.2 定积分
3.2.1 知识范围
（1）定积分的概念
定积分的定义及其几何意义，定积分存在的充分和必要条件。
（2）定积分的性质。
（3）定积分的计算
积分上限的函数及其导数，牛顿（Newton）—莱布尼兹(Leibniz)公式，换元积分法，分部积分法。
（4）定积分的应用
定积分的元素法，平面图形的面积，旋转体的体积和平行截面面积为已知的立体的体积，定积分在物理上的简单应用。
（5）无穷限的反常积分和无界函数的反常积分。
3.2.2 要求
（1）理解定积分的概念及其几何意义，了解函数可积的条件。
（2）掌握定积分的基本性质。
（3）会求积分上限的函数的导数，熟练掌握牛顿—莱布尼兹公式。
（4）熟练掌握定积分的换元积分法与分部积分法。
（5）了解定积分元素法的思想，会计算平面图形的面积、旋转体的体积、平行截面面积为已知的立体的体积。
（6）理解无穷限的反常积分的概念，掌握其计算方法。
六、考试方式及试卷结构
考试方式为闭卷笔试考试，笔试时间为120分钟，试卷满分为100分。
试卷结构如下：
序号项目名称题数计分
一选择题 5 10
二填空题 5 10
三计算题10 60
四证明题 1 6
五应用题 2 14
合计23 100分
七、参考书目
参考书目一：《高等数学》（上册）同济大学（五版）高等教育出版社 2002年7月出版
参考书目二：《高等数学》（上册）刘书田等编北京大学出版社 2007年8月出版
参考书目三：《大学数学简明教程》王信峰等编高等教育出版社2001年7月出版
参考书目四：《应用数学基础》邢春峰等编高等教育出版社2008年6月出版。