应用数学基础之函数、极限与连续
函数、极限、连续重要概念公式定理
一、函数、极限、连续重要概念公式定理（一）数列极限的定义与收敛数列的性质数列极限的定义：给定数列{}n x ,如果存在常数A ,对任给0ε>,存在正整数N ,使当n N >时,恒有n x A ε-<,则称A 是数列{}n x 的当n 趋于无穷时的极限,或称数列{}n x 收敛于A ,记为lim n n x A →∞=.若{}n x 的极限不存在,则称数列{}n x 发散.收敛数列的性质：(1)唯一性：若数列{}n x 收敛,即lim n n x A →∞=,则极限是唯一的．(2)有界性：若lim n n x A →∞=,则数列{}n x 有界,即存在0M >,使得对n ∀均有n x M ≤.(3)局部保号性：设lim n n x A →∞=,且()00A A ><或,则存在正整数N ,当n N >时,有()00n n x x ><或.(4)若数列收敛于A ,则它的任何子列也收敛于极限A .（二）函数极限的定义（三）函数极限存在判别法 (了解记忆)1．海涅定理：()0lim x x f x A →=⇔对任意一串0n x x →()0,1,2,n x x n ≠=,都有 ()lim n n f x A →∞=． 2.充要条件：(1)()()0lim ()lim lim x x x x x x f x A f x f x A +-→→→=⇔==;(2)lim ()lim ()lim ()x x x f x A f x f x A →∞→+∞→-∞=⇔==.3.柯西准则：()0lim x x f x A →=⇔对任意给定的0ε>,存在0δ>,当100x x δ<-<,200x x δ<-<时,有()()12f x f x ε-<.4.夹逼准则：若存在0δ>,当00x x δ<-<时,有)()()x f x x ϕφ≤≤（,且0lim ()lim (),x x x x x x A ϕφ→→==则0lim ()x x f x A →=.5.单调有界准则：若对于任意两个充分大的1212,,x x x x <,有()()12f x f x <(或()()12f x f x >),且存在常数M ,使()f x M <(或()f x M >),则()lim x f x →+∞存在.（四）无穷小量的比较 (重点记忆)1.无穷小量阶的定义,设lim ()0,lim ()0x x αβ==.(1)若()lim0()x x αβ=,则称()x α是比)x β（高阶的无穷小量. (2)()lim ,())()x x x x ααββ=∞若则是比（低阶的无穷小量. (3)()lim (0),())()x c c x x x ααββ=≠若则称与（是同阶无穷小量. (4)()lim 1,())()x x x x ααββ=若则称与（是等价的无穷小量,记为()()x x αβ~. (5)()lim(0),0,())()k x c c k x x k x ααββ=≠>若则称是（的阶无穷小量 2.常用的等价无穷小量 (命题重点,历年必考) 当0x →时,sin arcsin tan ~,arctan ln(1)e 1x x x x x x x ⎫⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪+⎪-⎪⎭()211cos ~2(1)1~x x x x ααα-+-是实常数 （五）重要定理 (必记内容,理解掌握)定理1 000lim ()()()x x f x A f x f x A -+→=⇔==.定理2 0lim ()()(),lim ()0x x x x f x A f x A a x a x →→=⇔=+=其中.定理3 (保号定理)：0lim (),0(0),0x x f x A A A δ→=><∃>设又或则一个,当000(,),()0(()0)x x x x x f x f x δδ∈-+≠><且时，或.定理4 单调有界准则：单调增加有上界数列必有极限;单调减少有下界数列必有极限. 定理5 (夹逼定理)：设在0x 的领域内,恒有)()()x f x x ϕφ≤≤（,且lim ()lim (),x x x x x x A ϕφ→→==则0lim ()x x f x A →=．定理6 无穷小量的性质：(1)有限个无穷小量的代数和为无穷小量; (2)有限个无穷小量的乘积为无穷小量; (3)无穷小量乘以有界变量为无穷小量．定理7 在同一变化趋势下,无穷大量的倒数为无穷小量;非零的无穷小量的倒数为无穷大量． 定理8 极限的运算法则：设()()lim ,lim f x A g x B ==,则 (1)lim(()())f x g x A B ±=± (2)lim ()()f x g x A B =⋅ (3)()lim(0)()f x AB g x B= ≠ 定理9 数列的极限存在,则其子序列的极限一定存在且就等于该数列的极限． 定理10 初等函数在其定义域的区间内连续． 定理11 设()f x 连续,则()f x 也连续．（六）重要公式 (重点记忆内容,应考必备)(1)0sin lim1x xx→=(2)11lim(1)e,lim(1)e n xx n x n→→∞+=+=.(通过变量替换,这两个公式可写成更加一般的形式：设()lim 0f x =,且()0f x ≠则有()()sin lim1f x f x =,()()1lim 1f x f x e +=⎡⎤⎣⎦)(3)10110100110,lim,,n n n n m m x m m n ma x a x a x a a n mb b x b x b x b n m---→∞-⎧ <⎪++++⎪= =⎨++++⎪⎪∞ >⎩．(4)函数()f x 在0x x =处连续()()()000f x f x f x -+⇔==. (5)当x →+∞时,以下各函数趋于+∞的速度()ln ,0,(1),a x xx x a a a x >>→+∞速度由慢到快()ln ,0,(1),!,a n nn n a a a n n >>→+∞速度由慢到快(6)几个常用极限)01,n a >=1,n = lim arctan 2x x π→+∞=lim arctan 2x x π→-∞=-lim arccot 0,x x →+∞= lim arccot x x π→-∞=lim e 0,x x →-∞= lim e ,x x →+∞=∞ 0lim 1x x x +→=.（七）连续函数的概念1. ()f x 在0x x =处连续,需满足三个条件：①()f x 在点0x 的某个领域内有定义②()f x 当0x x →时的极限存在③()()00lim x x f x f x →=()()0000lim lim 0x x x y f x x f x ∆→→⇔∆=+∆-=⎡⎤⎣⎦. 2. ()f x 在0x 左连续：()f x 在(]00,x x δ-内有定义,且()()00lim x x f x f x -→=. 3. ()f x 在0x 右连续：()f x 在[)00,x x δ+内有定义,且()()00lim x x f x f x +→=. 4. ()f x 在(),a b 内连续：如果()f x 在(),a b 内点点连续．5. ()f x 在[],a b 内连续：如果()f x 在(),a b 内连续,且左端点x a =处右连续,右端点x b =处左连续．（八）连续函数在闭区间上的性质 (重点记忆内容)1．有界性定理：设函数()f x 在[],a b 上连续,则()f x 在[],a b 上有界,即∃常数0M >,对任意的[],x a b ∈,恒有()f x M ≤．2．最大最小值定理：设函数()f x 在[],a b 上连续,则在[],a b 上()f x 至少取得最大值与最小值各一次,即,ξη∃使得：()(){}[]max ,,a x bf f x a b ξξ≤≤=∈; ()(){}[]min ,,a x bf f x a b ηη≤≤=∈.3．介值定理：若函数()f x 在[],a b 上连续,μ是介于()f a 与()f b (或最大值M 与最小值m )之间的任一实数,则在[],a b 上至少∃一个ξ,使得()().f a b ξμξ=≤≤．4．零点定理：设函数()f x 在[],a b 上连续,且()()0f a f b ⋅<,则在(),a b 内至少∃一个ξ,使得()()0.f a b ξξ=<<（九）连续函数有关定理1．连续函数的四则运算：连续函数的和、差、积、商(分母在连续点处的数值不为零)仍为连续函数． 2．反函数的连续性：单值、单调增加(减少)的连续函数,其反函数在对应区间上也单值、单调增加(减少)且连续．3．复合函数的连续性：()u x ϕ=在点0x 连续,()00x u ϕ=,而函数()y f u =在点0u 连续,则复合函数()y f x ϕ=⎡⎤⎣⎦在点0x 连续．4．初等函数的连续性：一切初等函数在其定义区间内是连续函数．（十）间断点的定义及分类1．定义：若在0x x =处,()0lim x x f x →不存在,或()0f x 无定义,或()()00lim x x f x f x →≠,则称()f x 在0x x =处间断,0x x =称为()f x 的间断点．2．间断点的分类一、函数、极限、连续（一）数列极限的定义与收敛数列的性质数列极限的定义：给定数列{}n x ,如果存在常数A ,对任给0ε>,存在正整数N ,使当n N >时,恒有n x A ε-<,则称A 是数列{}n x 的当n 趋于无穷时的极限,或称数列{}n x 收敛于A ,记为lim n n x A →∞=.若{}n x 的极限不存在,则称数列{}n x 发散.收敛数列的性质：(1)唯一性：若数列{}n x 收敛,即lim n n x A →∞=,则极限是唯一的．(2)有界性：若lim n n x A →∞=,则数列{}n x 有界,即存在0M >,使得对n ∀均有n x M ≤.(3)局部保号性：设lim n n x A →∞=,且()00A A ><或,则存在正整数N ,当n N >时,有()00n n x x ><或.(4)若数列收敛于A ,则它的任何子列也收敛于极限A .(了解记忆)1．海涅定理：()0lim x x f x A →=⇔对任意一串0n x x →()0,1,2,n x x n ≠=,都有 ()lim n n f x A →∞=． 2.充要条件：(1)()()0lim ()lim lim x x x x x x f x A f x f x A +-→→→=⇔==; (2)lim ()lim ()lim ()x x x f x A f x f x A →∞→+∞→-∞=⇔==.3.柯西准则：()0lim x x f x A →=⇔对任意给定的0ε>,存在0δ>,当100x x δ<-<,200x x δ<-<时,有()()12f x f x ε-<.4.夹逼准则：若存在0δ>,当00x x δ<-<时,有)()()x f x x ϕφ≤≤（,且0lim ()lim (),x x x x x x A ϕφ→→==则0lim ()x x f x A →=.5.单调有界准则：若对于任意两个充分大的1212,,x x x x <,有()()12f x f x <(或()()12f x f x >),且存在常数M ,使()f x M <(或()f x M >),则()lim x f x →+∞存在.（四）无穷小量的比较 (重点记忆)1.无穷小量阶的定义,设lim ()0,lim ()0x x αβ==.(1)若()lim0()x x αβ=,则称()x α是比)x β（高阶的无穷小量. (2)()lim ,())()x x x x ααββ=∞若则是比（低阶的无穷小量. (3)()lim(0),())()x c c x x x ααββ=≠若则称与（是同阶无穷小量.(4)()lim 1,())()x x x x ααββ=若则称与（是等价的无穷小量,记为()()x x αβ~. (5)()lim(0),0,())()k x c c k x x k x ααββ=≠>若则称是（的阶无穷小量 2.常用的等价无穷小量 (命题重点,历年必考) 当0x →时,sin arcsin tan ~,arctan ln(1)e 1x x x x x x x ⎫⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪+⎪-⎪⎭()211cos ~2(1)1~x x x x ααα-+-是实常数 （五）重要定理 (必记内容,理解掌握)定理1 000lim ()()()x x f x A f x f x A -+→=⇔==.定理2 0lim ()()(),lim ()0x x x x f x A f x A a x a x →→=⇔=+=其中.定理3 (保号定理)：0lim (),0(0),0x x f x A A A δ→=><∃>设又或则一个,当000(,),()0(()0)x x x x x f x f x δδ∈-+≠><且时，或.定理4 单调有界准则：单调增加有上界数列必有极限;单调减少有下界数列必有极限. 定理5 (夹逼定理)：设在0x 的领域内,恒有)()()x f x x ϕφ≤≤（,且lim ()lim (),x x x x x x A ϕφ→→==则0lim ()x x f x A →=．定理6 无穷小量的性质：(1)有限个无穷小量的代数和为无穷小量; (2)有限个无穷小量的乘积为无穷小量; (3)无穷小量乘以有界变量为无穷小量．定理7 在同一变化趋势下,无穷大量的倒数为无穷小量;非零的无穷小量的倒数为无穷大量． 定理8 极限的运算法则：设()()lim ,lim f x A g x B ==,则 (1)lim(()())f x g x A B ±=± (2)lim ()()f x g x A B =⋅ (3)()lim(0)()f x AB g x B= ≠ 定理9 数列的极限存在,则其子序列的极限一定存在且就等于该数列的极限． 定理10 初等函数在其定义域的区间内连续． 定理11 设()f x 连续,则()f x 也连续．（六）重要公式 (重点记忆内容,应考必备)(1)0sin lim1x xx→=(2)11lim(1)e,lim(1)e n xx n x n→→∞+=+=.(通过变量替换,这两个公式可写成更加一般的形式：设()lim 0f x =,且()0f x ≠则有()()sin lim1f x f x =,()()1lim 1f x f x e +=⎡⎤⎣⎦)(3)10110100110,lim,,n n n n m m x m m n ma x a x a x a a n mb b x b x b x b n m---→∞-⎧ <⎪++++⎪= =⎨++++⎪⎪∞ >⎩．(4)函数()f x 在0x x =处连续()()()000f x f x f x -+⇔==. (5)当x →+∞时,以下各函数趋于+∞的速度()ln ,0,(1),a x xx x a a a x >>→+∞速度由慢到快()ln ,0,(1),!,a n nn n a a a n n >>→+∞速度由慢到快(6)几个常用极限)01,n a >=1,n = lim arctan 2x x π→+∞=lim arctan 2x x π→-∞=-lim arccot 0,x x →+∞= lim arccot x x π→-∞=lim e 0,x x →-∞= lim e ,x x →+∞=∞ 0lim 1x x x +→=. （七）连续函数的概念1. ()f x 在0x x =处连续,需满足三个条件：①()f x 在点0x 的某个领域内有定义②()f x 当0x x →时的极限存在③()()00lim x x f x f x →=()()0000lim lim 0x x x y f x x f x ∆→→⇔∆=+∆-=⎡⎤⎣⎦. 2. ()f x 在0x 左连续：()f x 在(]00,x x δ-内有定义,且()()00lim x x f x f x -→=. 3. ()f x 在0x 右连续：()f x 在[)00,x x δ+内有定义,且()()00lim x x f x f x +→=. 4. ()f x 在(),a b 内连续：如果()f x 在(),a b 内点点连续．5. ()f x 在[],a b 内连续：如果()f x 在(),a b 内连续,且左端点x a =处右连续,右端点x b =处左连续．（八）连续函数在闭区间上的性质 (重点记忆内容)1．有界性定理：设函数()f x 在[],a b 上连续,则()f x 在[],a b 上有界,即∃常数0M >,对任意的[],x a b ∈,恒有()f x M ≤．2．最大最小值定理：设函数()f x 在[],a b 上连续,则在[],a b 上()f x 至少取得最大值与最小值各一次,即,ξη∃使得：()(){}[]max ,,a x bf f x a b ξξ≤≤=∈; ()(){}[]min ,,a x bf f x a b ηη≤≤=∈.3．介值定理：若函数()f x 在[],a b 上连续,μ是介于()f a 与()f b (或最大值M 与最小值m )之间的任一实数,则在[],a b 上至少∃一个ξ,使得()().f a b ξμξ=≤≤．4．零点定理：设函数()f x 在[],a b 上连续,且()()0f a f b ⋅<,则在(),a b 内至少∃一个ξ,使得()()0.f a b ξξ=<<（九）连续函数有关定理1．连续函数的四则运算：连续函数的和、差、积、商(分母在连续点处的数值不为零)仍为连续函数． 2．反函数的连续性：单值、单调增加(减少)的连续函数,其反函数在对应区间上也单值、单调增加(减少)且连续．3．复合函数的连续性：()u x ϕ=在点0x 连续,()00x u ϕ=,而函数()y f u =在点0u 连续,则复合函数()y f x ϕ=⎡⎤⎣⎦在点0x 连续．4．初等函数的连续性：一切初等函数在其定义区间内是连续函数．（十）间断点的定义及分类1．定义：若在0x x =处,()0lim x x f x →不存在,或()0f x 无定义,或()()00lim x x f x f x →≠,则称()f x 在0x x =处间断,0x x =称为()f x 的间断点．2．间断点的分类。
应用数学基础 10-1初等函数
有时又需要分清楚一个复合函数是由哪些简单函数复合而成的.
这里说的简单函数是指基本初等函数以及由它们的和、差、积、商所形成的函数.
例2 说出下列复合函数是由怎样的简单函数复合而成的:
2
(1) = cos ;
(2) = e
cos 2
;
(3) = arctan
1−
.
1+ 2
解 (1)函数 = cos2 可以看成是由简单函数 = 2 和 = cos复合而成的.
生物科学等众多领域都展示了强大威力.
从本章开始我们将进入微积分内容的学习. 微积分研究的基本对象是函数,
函数和极限是微积分的基础, 连续性是微积分中的一个基本概念.
朴素的极限和微积分思想出现很早. 例如, 早在公元前4世纪,
我国就有“一尺之棰,日取其半,万世不竭”的说法. 这就是说,
一尺长的木棒, 每天取走一半, 永远也取不完;
并能用一个数学式子表示的函数, 称为初等函数.
如上面例1、例2中的各个函数, 多项式函数、有理分式函数等等,
都是初等函数.
那么称以x为自变量的函数 = [()] 为由 = ()和 = ()复合而成
的复合函数,简称复合函数,称u为中间变量.
类似地, 可以说明由三个或更多函数复合而成的复合函数.
需要说明一下, 并不是任何两个函数都能够复合成为一个复合函数的.
例如， = ln, ∈(0, + ∞) 和 = − 2 , ∈R分别是和的函数,
例1 已知函数 = ln, = , = 2 −1, 把 y 表示成 x的复合函数.
解
把 = 2 −1代入 = 中, 得 = 2 −1,
再把 = 2 −1代入 = ln中, 即得x的复合函数 = ln 2 −1.
高考数学应试技巧之极限与连续
高考数学应试技巧之极限与连续高考数学对于许多学生而言是一道难以逾越的关口，其中涉及的极限与连续更是让许多学生望而生畏。
然而，只要我们理解了它们的基本概念与思维方法，便可以化解我们的忧虑，轻松面对高考数学。
本文将从极限与连续的基本概念、思维模式与应试技巧三个方面为大家进行详细阐述。
一、极限与连续的基本概念1. 极限：极限是一种数学概念，是表示某个函数在一个点上的变化趋势的一种方法。
也就是说，极限是指在某一个自变量取值的时候，函数的取值向一个特定的值靠近，但并不一定等于这个值。
记作lim f(x) = A(x → x0)，其中x0表示自变量的趋近值，而A则表示函数的极限值。
2. 连续：连续是指函数在某一点附近的取值与该点处的函数值越来越接近，如果存在这种特性，就被称为函数在该点处是连续的。
也就是说，如果$f(x_0)$存在，且$\lim\limits_{x\rightarrow x_0}f(x)$存在，两者相等，则函数在$x_0$处是连续的。
二、极限与连续的思维模式1. 确定极限的方法：a. 代入法：将$x$趋近于某个值时，取对应的$f(x)$的值，然后判断是否趋近于某个值$A$，如果是则可能存在极限，否则不存在。
b. 夹逼准则：如果$\lim\limits_{x\rightarrow x_0}g(x)=L$，并且$\lim\limits_{x\rightarrow x_0}h(x)=L$，并且对于$x\rightarrowx_0$的所有$x$，有$g(x)≤f(x)≤h(x)$，则$f(x)$的极限存在，并且等于$L$。
c. 无穷小量：当$x\rightarrow x_0$时，如果$f(x)$可以表示为$kx$，其中$k$为确定的常数，则称$kx$是当$x\rightarrow x_0$时的函数的无穷小量。
2. 连续的判定：a. 定义法：如果$\lim\limits_{x\rightarrow x_0}f(x)=f(x_0)$，则$f(x)$在$x_0$处是连续的。
函数的极限与连续
函数的极限与连续函数是数学中的重要概念，研究函数的极限与连续是微积分的基础。
本文将介绍函数的极限与连续的定义及其性质，并探讨它们在数学和实际问题中的应用。
一、函数的极限函数的极限是指当自变量趋近于某个特定值时，函数的取值趋近于一个确定的值。
设函数f(x)在点x=a的某个去心邻域内有定义，如果存在一个实数A，使得对于任意给定的正数ε，总存在一个正数δ，使得当0＜|x-a|＜δ时，有|f(x)-A|＜ε成立，那么称函数f(x)在x=a处有极限，记为：lim┬(x→a)〖f(x)=A〗函数极限的性质：1.唯一性：函数的极限唯一，即如果lim┬(x→a)〖f(x)=A〗，且lim┬(x→a)〖f(x)=B〗，那么A=B。
2.有界性：若lim┬(x→a)〖f(x)=A〗存在，那么存在常数M＞0，使得在a的某个邻域内，有|f(x)|≤M。
3.保号性：若lim┬(x→a)〖f(x)=A〗>0，那么存在a的某个邻域，对于那些x值，有f(x)>0；同理，若lim┬(x→a)〖f(x)=A〗<0，那么存在a的某个邻域，对于那些x值，有f(x)<0。
二、函数的连续性函数的连续性是指函数在某点的取值与该点的极限值相等。
设函数f(x)在点x=a的某个邻域内有定义，如果lim┬(x→a)〖f(x)=f(a)〗成立，那么称函数f(x)在x=a处连续，否则称为不连续。
函数的连续性的性质：1.函数的和、差、积、商（除以非零函数）仍然是连续函数。
2.复合函数的连续性：如果g(x)在x=a处连续，f(x)在g(a)处连续，并且lim┬(x→a)〖g(x)=g(a)〗成立，那么复合函数f(g(x))在x=a处连续。
3.函数的初等函数运算仍然是连续函数。
函数的极限与连续在数学中有着广泛的应用。
例如，在微积分中，函数极限的概念被用来求解导数；在数学分析中，极限的性质是证明数列收敛的重要工具；在实际问题中，函数的极限与连续性可以用来描述物理现象的变化趋势，例如速度的变化、物体的位移等。
高考数学中的函数极限与连续性理解与应用
高考数学中的函数极限与连续性理解与应用函数是数学中一个非常重要的概念，而数学中的函数极限与连续性是函数理论中的核心内容。
在高考数学中，函数极限与连续性的理解与应用是考生们必须掌握的知识点。
本文将深入探讨函数极限与连续性的概念、性质以及应用，帮助读者更好地理解与应用这一知识。
一、函数极限函数极限是函数理论中的重要概念，它描述了函数随着自变量趋近于某一特定值时的变化情况。
函数极限的计算需要借助计算方法和理论，下面以一些典型的例子来介绍函数极限的概念与计算方法。
例1：计算函数 f(x) = 2x^2 + 3x - 1 在 x = 2 处的极限。
解：要求函数在 x = 2 处的极限，可以使用直接代入法。
将 x = 2 代入函数 f(x) = 2x^2 + 3x - 1 中，得到 f(2) = 2*2^2 + 3*2 - 1 = 13。
因此，函数 f(x) 在 x = 2 处的极限为 13。
对于一些特殊的函数，无法使用直接代入法来计算极限。
这时，我们需要使用极限的定义与性质，通过近似与比较来求取极限的值。
例2：计算函数 g(x) = (x^2 - 4)/(x - 2) 在 x = 2 处的极限。
解：将 x = 2 代入函数 g(x) = (x^2 - 4)/(x - 2) 中，得到 g(2) = 0/0。
这时我们无法直接计算极限。
通过因式分解，我们可以将函数 g(x) 化简为 g(x) = x + 2，那么在 x = 2 处的极限即为 g(2) = 4。
这两个例子展示了函数极限的计算方法，但实际问题中的函数极限更多是通过近似与推导来求取的，需要借助函数极限的性质与定义进行计算。
二、函数连续性函数连续性是函数在定义域内没有突变或断裂的性质，它描述了函数图像在定义域内的连续变化。
函数连续性的理解与判断需要借助连续函数的定义与性质，下面将对函数连续性进行详细讨论。
连续性的定义：函数 f(x) 在点 x = a 处连续，是指在 x = a 处的函数值等于极限值，即f(a) = lim(x→a) f(x)。
函数的极限与连续性
函数的极限与连续性函数是数学中的重要概念，极限和连续性则是函数理论中的基础知识。
本文将介绍函数的极限和连续性的概念、性质以及它们在实际问题中的应用。
一、函数的极限在数学中，函数的极限描述了当自变量趋向于某个特定值时，函数取值的趋势。
具体而言，给定一个函数f(x)，当自变量x无限接近某个数a时，函数f(x)的极限表示为lim[x→a]f(x)。
如果对于任意给定的ε>0，存在正数δ，使得当0<|x-a|<δ时，有|f(x)-L|<ε成立，则称函数f(x)在x=a处的极限为L。
函数的极限有以下性质：1. 一致性：如果lim[x→a]f(x)=L，那么对于任意的从左右两侧趋近于a的数列，函数f(x)都会趋近于L。
即lim[x→a⁻]f(x)=L和lim[x→a⁺]f(x)=L。
2. 有界性：如果lim[x→a]f(x)=L，则存在正数M，使得当0<|x-a|<δ时，|f(x)|<M。
3. 保号性：如果lim[x→a]f(x)=L>0，那么存在正数δ，使得当0<|x-a|<δ时，f(x)>0。
类似地，如果lim[x→a]f(x)=L<0，则存在正数δ，使得当0<|x-a|<δ时，f(x)<0。
二、函数的连续性连续性是函数的另一个重要概念，描述了函数在某一点的“平滑”程度。
如果一个函数在某一点x=a的邻域内能够连续地绘制成一条曲线，那么称该函数在该点连续。
函数的连续性有以下性质：1. 初等函数的连续性：常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等初等函数在其定义域上均连续。
2. 连续函数的运算：如果f(x)和g(x)是函数f和g的连续函数，那么它们之和、差、积以及商(分母不为零)都是连续函数。
3. 复合函数的连续性：如果f(x)在点x=a处连续，g(x)在点x=b处连续，并且b是f(x)的定义域，那么复合函数h(x) = g(f(x))在点x=a处连续。
函数的极限与连续性的概念与应用
函数的极限与连续性的概念与应用函数是数学中的重要概念，它描述了数值之间的关系。
而函数的极限和连续性，更是函数理论中重要的概念和工具。
本文将讨论函数的极限和连续性的概念，并探讨它们在实际应用中的重要性。
一、函数的极限概念函数的极限是指当自变量逼近某个特定值时，函数值的趋势或取值趋近于某个确定的常数。
形式化地说，设函数为f(x)，当x接近于某个常数a时，如果对于任意给定的正数ε，都存在正数δ，使得只要0<|x-a|<δ，就有|f(x)-L|<ε成立，其中L为常数，则函数f(x)在x趋近于a时的极限为L。
函数的极限概念是数学分析中的基础概念，它对于研究函数的性质和变化趋势具有重要意义。
通过对函数的极限的研究，我们可以得到函数的单调性、凸凹性、极大值、极小值等性质，进而对函数进行更深入的分析。
二、函数的连续性概念函数的连续性是指函数在其定义域上的每一点都存在极限，并且该极限等于该点的函数值。
换句话说，函数在定义域上的每一点上的左极限、右极限都存在，并且等于该点函数值。
如果函数在定义域上的每个点都连续，则称该函数在该定义域上连续。
函数的连续性概念对于研究函数的光滑性和连贯性具有关键作用。
连续函数具有许多重要性质，比如介值定理、最值定理等，这些性质在实际问题的建模和求解中具有重要的应用。
三、函数极限与连续性的应用1. 物理学中的运动学在物理学中，函数的极限和连续性的概念应用广泛，特别是在运动学中。
通过对物体运动过程中位移、速度、加速度等量的函数关系进行极限和连续性分析，可以精确描述和预测物体在运动过程中的状态。
2. 经济学中的边际效应在经济学中，函数的极限和连续性的概念被广泛用于描述边际效应。
通过对经济变量之间的关系进行极限和连续性分析，可以研究经济活动中的边际效应，比如边际成本、边际收益等。
3. 工程学中的信号处理在工程学中，函数的极限和连续性的概念在信号处理中得到广泛应用。
通过对信号的极限和连续性分析，可以对信号进行滤波、降噪等处理，提高信号的质量和准确性。
函数的极限与连续性
函数的极限与连续性函数的极限与连续性是微积分中的重要概念，它们对于研究函数的性质和计算函数值都有着关键的作用。
本文将从理论与实际应用两个方面探讨函数的极限与连续性。
1. 函数的极限函数的极限是指当自变量趋近于某个特定值时，函数的取值趋近于某个常数。
常用的表示方式为lim{x->a}f(x)=L，其中x是自变量，a是趋近的值，f(x)是函数，L是极限值。
函数的极限具有以下性质：1.1 兔耳极限法则：如果函数f(x)和g(x)在某一点a处有极限，那么f(x) + g(x)、f(x)-g(x)、k*f(x)、(f*g)(x)、f(x)/g(x)（其中g(a)≠0）在该点也有极限。
1.2 夹逼定理：如果存在两个函数g(x)和h(x)，当x趋近于a时，g(x)≤f(x)≤h(x)，且lim{x->a}g(x)=lim{x->a}h(x)=L，则lim{x->a}f(x)=L。
1.3 函数与数列的关系：如果当n趋近于无穷大时，数列{f(x_n)}的值都趋近于L，那么lim{n->∞}f(x_n)=L。
2. 连续函数连续函数是指在定义域上始终保持无断裂、无间断的性质。
也就是说，如果函数f(x)在某一点a处存在极限且等于f(a)，且lim{x->a}f(x)=f(a)，那么函数f(x)在点a处连续。
连续函数具有以下性质：2.1 四则运算：若f(x)和g(x)在点a处连续，则f(x) + g(x)、f(x)-g(x)、k*f(x)（k为常数）、(f*g)(x)也在点a处连续。
2.2 复合函数：若f(x)在点a处连续，g(x)在点b处连续，并且b是f(x)的定义域，那么复合函数[g∘f](x)在点a处连续。
2.3 初等函数的连续性：指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数在其定义域上均连续。
函数的极限与连续性在实际应用中有着广泛的运用。
例如在物理学中，速度是位移对时间的导数，而加速度则是速度对时间的导数。
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目录
本章主要内容： 1-1 函数 1-2 建立函数关系 1-3 极限的概念 1-4 极限的运算 1-5 函数的连续性
1-1 函 数
1.1.0 区间与邻域 区间
区间是指数轴上介于某两点之间的线段上点的全体，这两点称为区间的端 点，两端点间的距离称为区间的长度．区间包括有限区间和无限区间． • 有限区间：
函数的概念
例 1.1.2 求下列函数的定义域.
(1) y ln(x 1) 2 x 1
(2)
y1 x
3 x2
x 1 0
解
(1)
要使函数
y
有意义，当且仅当
x
1
0
，所以函数的定义域是
(1,1) (1, ) .
(2) 要使函数 y 有意义，必须同时满足：分母不为零且偶次根式的被
开方式非负，反正弦函数符号内的式子绝对值小于或等于 1. 即
3 x2 0 x 0
3 x 3
解得
x
0
因此，该函数的定义域为[ 3 , 0) (0, 3 ] .
1-1 函 数
1.1.1 函数的概念与重要性质
函数的概念
例 1.1.3 已知函数 y f (x) 的定义域是[3,7]，求函数 f (2x 1) 的定义
域.
解 要使函数 f (2x 1) 有意义，当且仅当 3≤2x 1≤7 ，所以 2≤ x ≤4 ，
开区间： (a, b)= {x | a x b}
闭区间： [a,b] {x | a x b} 半开区间： [a,b) {x | a x b} (a,b] {x | a x b}
• 无穷区间：
（ ，+）=R
[a, ) {x | x a} (a, ) {x | x a}
(, b] {x | x b} (, b) {x | x b}
与之对应的函数关系。用数学的语言描述出来就得到了函数的定义。
1-1 函 数
1.1.1 函数的概念与重要性质 函数的概念
定义 设 D 为非空实数集. 如果按照某种对应法则（或关系）f，对于
任意 x D ，都有唯一的一个实数 y 与之对应. 则称 y 是定义在 D 上的 x
的函数，记作 y f (x) . 称 x 为自变量变化范围为函数的定义域，通常记作 D . 称 y 为因变量或
(1) 代数式中分母不能为零； (2) 偶次根式内被开方数非负； (3) 对数中真数大于零；
(4) 反三角函数特殊记.例如arcsinx，arccosx，要满足 | x |≤1 ；
(5) 多个函数代数和的定义域，应是各函数定义域的公共部分； (6) 对于表示实际问题的解析式，还应该保证符合实际意义.
1-1 函 数
1.1.1 函数的概念与重要性质 函数的概念
引例 自由落体的规律为
h
1 2
gt 2
（g
为重力加速度，是常量）
式中 t 表示下落的时间， h 表示质点 t 秒下降的距离.
这个公式给出了在物体自由降落的过程，距离 h 与时间 t 之间的依赖
关系. 而这种变量之间的相互依赖关系，蕴含着每一个 t 都有唯一的 h
函数，当自变量 x 取遍 D 上每一个值，而相应地 y f (x) 的变化范围称为
函数的值域，通常记作 R .
如果 x0 是一个确定的数，则 f (x0) 表示自变量 x x0 时的函数值，也可记
作 y(x0 ) 或者 y |x x0 .
1-1 函 数
1.1.1 函数的概念与重要性质 函数的概念
例 1.1.1
研究
y=x为同一函数.
解
y=x+1
的定义域是 (, ) ，而 y
x2 1
x 1 的定义域是 (,1)
. (1, ) 因
些，虽然这两个函数在 (,1) (1,) 的值是相同的，但由于它们的定义域
不同，因而它们不是同一函数.
1-1 函 数
1.1.1 函数的概念与重要性质
1-1 函 数
1.1.1 函数的概念与重要性质 关于函数的一些特性
(1) 有界性 定义 设函数 f (x) 在集合 D 上有定义，如果存在常数 M 0 ，使得对 于任意的 x D ，都有| f (x) |≤ M ，则称函数 f (x) 在 D 上有界，或者称 f (x) 是 D 上的有界函数. 例如，函数 sinx 在 (, ) 上是有界函数，函数 1 在 (1, ) 上是有界
即 f (2x 1) 的定义域为[2, 4] .
例 1.1.4 设函数 f (x) x2 4x 3 ，求 f(2)、f(3a)、f (x+2).
解
f (2) 22 4 2 3 1
f (a) (3a)2 4(3a) 3 9a2 12a 3
f (x 2) (x 2)2 4(x 2) 3 x2 1
x
函数. 但是函数 1 在 (0,) 上是无界函数. 因此，有界性是针对于某一 x
区间而言的. 有界函数的图像特征：存在某两条水平的平行线，曲线夹在存在这两 条水平的平行线之间.
1-1 函 数
1.1.1 函数的概念与重要性质
函数的概念
由函数的定义可知，对应法则和定义域是函数的两个要素，在描述任 何一个函数时，必须同时说明这两个要素. 只有两个函数的对应法 则和定义域都相同时，我们才能说这两个函数是相同的函数.
函数的定义域，一般是使得函数有意义的自变量的取值范围，为此求 函数的定义域时应遵守以下原则：
1-1 函 数
1.1.0 区间与邻域 邻域
设a为任意实数， 为任意小的正数，我们把以a为中心、 为半径 的开区间(a ,a )称为点 a的 邻域，记为U(a, ) ，即
U(a, ) (a , a ) ； 把将U(a,)的中心a去掉的区间称为点 a的 去心邻域（或空心邻域）， 记为U(a, ) ，即
U(a, ) (a , a) (a, a ) ．
1-1 函 数
1.1.1 函数的概念与重要性质 函数的概念
在研究自然的、社会的以及工程技术的某个过程中，经常会遇到各 种不同的量. 例如时间、速度、质量、温度、成本和利润等. 这些量 一般可以分为两类，其中一类在所研究的过程中保持不变，这样的 量称为常量，而另一类在所研究的过程中是变化的，这样的量称为 变量. 在同一过程中，往往会有几个变量同时变化，但是它们的变化不是 孤立的，而是按照一定的规律相互联系着，也就是说它们之间存在 着相互依赖关系.