函数极限与连续知识梳理
函数的极限和连续性
函数的极限和连续性是微积分学中最基本的概念之一。
它们不仅在数学中有着重要地位，而且在物理、工程学、金融等领域也有着广泛的应用。
本文将对进行详细的阐述和探讨。
一、函数的极限函数的极限是指函数随着自变量趋于某一值时，函数值的趋势。
它是微积分学中最基本的概念之一。
如果函数f(x)当x趋向于某一值a时，函数值f(x)趋向于一个唯一的有限数L，则称函数f(x)在点a处有极限，记作：lim（x→a）f(x)=L其中lim表示极限，x→a表示自变量x趋向于a，f(x)表示函数值，L表示极限值。
如果函数f(x)在点a处无极限，则称f(x)在点a处无极限。
如果函数f(x)在点a处有极限，则称f(x)在点a处收敛于L。
如果函数f(x)在点a的任何一个去心邻域内都无定义，则称f(x)在点a处为间断点。
二、函数的连续性函数的连续性是指函数在某一点处的极限与函数在此点处的取值相等。
设函数f(x)在点a的邻域内有定义，如果：lim（x→a）f(x)=f(a)则称函数f(x)在点a处连续。
函数的连续性是微积分学中最基本的概念之一。
一个函数在某一点处连续，就意味着函数在该点附近没有跳跃或震荡的现象。
因此，函数的连续性可用于描述许多现实世界中的现象，如温度、速度等都可以用连续函数来表示。
三、的关系是密不可分的概念。
在进行微积分运算时，是不可缺少的。
一些基本的微积分运算，如求导、积分等都依赖于。
同时，也为微积分学中更高级的概念，如微分方程、泰勒级数等打下基础。
可以将函数的连续性看作极限的一种特殊情况，即极限和取值相等的情况。
因此，如果函数f(x)在点a处连续，则f(x)在点a处存在极限。
反之，如果函数f(x)在点a处无极限，或其极限与函数值不相等，则f(x)在点a处不连续。
四、的应用在物理、工程学、金融等领域具有广泛的应用。
以物理学为例，物理中有许多现象都可以用函数来表示。
例如，速度、加速度、电流等，都可以被抽象为函数的形式。
而这些函数又可能存在极限和连续性的概念。
函数极限连续知识点总结
函数极限连续知识点总结一、函数极限的定义1.1 函数的极限概念首先，我们先来了解一下函数的极限概念。
对于给定的函数$f(x)$和实数$a$，如果当$x$趋于$a$时，函数$f(x)$的取值无限接近某个确定的实数$L$，那么我们称$L$为函数$f(x)$在$x$趋于$a$时的极限，记作$\lim_{x \to a}f(x) = L$，并称函数$f(x)$在$x$趋于$a$时收敛于$L$。
1.2 函数极限的定义根据上面的概念，我们可以得到函数极限的严格定义：设函数$f(x)$在点$a$的某个去心邻域内有定义，如果对于任意给定的正数$\varepsilon$，总存在正数$\delta$，使得当$0 <|x - a| < \delta$时，就有$|f(x) - L| < \varepsilon$成立，那么就称函数$f(x)$在$x$趋于$a$时的极限为$L$，记作$\lim_{x \to a}f(x) = L$。
上述定义可以用符号表示为：对于任意给定的$\varepsilon > 0$，总存在$\delta > 0$，使得当$0 < |x - a| < \delta$时就有$|f(x) - L| < \varepsilon$成立。
1.3 函数极限的几何意义函数极限的定义反映了函数在某一点附近的变化趋势。
通过函数图像可以直观地理解函数极限的几何意义：当$x$在点$a$的邻域内时，函数$f(x)$的图像逐渐接近直线$y=L$，并且可以任意地靠近直线$y=L$。
这也就意味着函数在$x$趋于$a$时，其值可以无限接近于$L$。
1.4 函数极限存在的充分条件函数极限的存在需要满足一定的条件，下面给出函数极限存在的充分条件：（1）函数$f(x)$在点$a$的某个邻域内有定义；（2）存在实数$L$，使得对任意给定的$\varepsilon > 0$，总存在$\delta > 0$，使得当$0 < |x - a| < \delta$时就有$|f(x) - L| < \varepsilon$成立。
数学中的函数极限与连续性知识点
数学中的函数极限与连续性知识点函数极限与连续性是数学中非常重要的概念，在解决实际问题和理论研究中起着至关重要的作用。
在本文中，我们将深入探讨函数极限与连续性的基本概念、性质以及相关定理，并举例说明其在实际问题中的应用。
一、函数极限的定义与性质函数极限是研究函数在某一点上的变化趋势的重要工具。
在介绍函数极限之前，我们首先需要定义一些基本的概念。
设函数f(x)在点x_0的某个去心邻域内有定义，如果对于任意给定的正数ε，都能找到另一个正数δ，使得当0 < |x - x_0| < δ时，有|f(x) - A| < ε成立，其中A为常数，则称函数f(x)在点x_0处极限为A，记作lim┬(x→x_0)f(x)=A。
函数极限具有以下性质：1.唯一性：函数极限是唯一的，即一个函数在某一点的极限只能有一个值。
2.局部有界性：若lim┬(x→x_0)f(x)=A，则存在正数δ，使得当0 < |x - x_0| < δ时，有|f(x)| < M成立，其中M为常数。
3.局部保号性：若lim┬(x→x_0)f(x)=A，则存在正数δ，使得当0 < |x - x_0| < δ时，有f(x)与A同号。
二、连续性的概念与性质连续性是函数学中的一个重要的概念，是函数极限的基础。
一个函数在一个点x_0处连续，意味着在该点的函数值与极限值相等。
函数f(x)在区间[a, b]上连续，是指f(x)在该区间内的每一个点都连续。
在具体分析连续性时，我们需要关注以下几个方面的性质：1. 初等函数的连续性：常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等初等函数在其定义域内连续。
2. 复合函数的连续性：若f(x)在点x_0处连续，且g(x)在点y_0=f(x_0)处连续，则复合函数h(x) = g[f(x)]在点x_0处连续。
3. 极限运算法则：若lim┬(x→x_0)f(x)=A，lim┬(x→x_0)g(x)=B，则lim┬(x→x_0)[f(x)±g(x)] = A±B，lim┬(x→x_0)[f(x)g(x)] = A·B，及lim┬(x→x_0)[f(x)/g(x)] = A/B（其中B≠0）。
高考数学中的极限与连续性相关知识点
高考数学中的极限与连续性相关知识点高考数学中，极限与连续性是比较重要的知识点。
掌握好这些知识点，可以帮助学生在数学考试中获取更好的成绩。
接下来，本文将详细地探讨高考数学中的极限与连续性相关知识点。
一、极限的定义及基本性质极限是数学中一个非常重要的概念。
在高考数学中，极限的定义及其基本性质是必须掌握的知识点。
极限的定义是：当自变量趋近于某个数时，函数值趋近于某个定值，这个定值称为函数的极限。
可以用符号“lim”表示，比如：lim f(x) = Ax→a其中，x→a 表示当 x 趋近于 a 时，f(x) 的极限存在。
极限的基本性质包括：1.唯一性：一个函数的极限只有一个。
2.有界性：如果一个函数的极限存在，则函数在某个区间内必定是有界的。
3.保号性：如果函数从左侧和右侧都趋近于同一个数，那么这个数必定在函数曲线的左侧或右侧。
4.夹逼性：如果函数在一个区间内的值被另外两个函数所夹逼，那么这个区间内的函数值的极限必定存在。
二、连续性的定义及基本性质除了极限之外，在高考数学中，连续性也是非常重要的知识点。
连续性是函数的一种性质，当函数在某个点处连续时，它的数值可以被无限地逼近这个点。
连续性的定义是：如果一个函数在某个点处的左右极限都存在且相等，并且这个极限等于函数在这个点处的函数值，那么这个函数在这个点处是连续的。
连续性的基本性质包括：1.局部有界性：如果一个函数在某个点处连续，那么它在这个点的一个小邻域内是有界的。
2.局部保号性：如果一个函数在某个点处连续，并且它在这个点的函数值不为零，那么它在这个点的一个小邻域内都是具有相同的符号的。
3.介值定理：如果一个函数在一个区间内连续，并且在这个区间的两个端点处函数值异号（或函数值相反），那么在这个区间内至少存在一个点，使得函数在这个点处的函数值为零。
4.连续函数的性质：如果一个函数在一个区间内连续，那么它在这个区间内必定是有界的，并且它可以在这个区间中任意小的子区间上取到最大值和最小值。
极限和连续的总结
极限存在性定理 两个重要极限
(1)
sin x lim 1 x 0 x 1 x lim (1 ) e x x
(2)
1 n lim (1 ) e n n
lim ( 1 x ) e x0
x x0 x x0
( x , x ) \ { x } 内 恒 有 f ( x) g ( x) ， 则
0 0 0
A B.
00:38
二、极限的四则运算法则
定理(四则运算法则)设
lim f ( x) A ， lim g ( x) B ,
则
法则 1
法则 2
法则 3
lim f ( x) g ( x) lim f ( x) lim g ( x) A B
第一类间断点 第二类间断点
左右极限至少有一 个不存在
00:38
第 一 类 间 断 点 第 二 类 间 断 点
y
y 可去型
y 跳跃型
o
x0
x
o y
x0
x
o
x0
x
o
x 振荡型
无穷型
（1）基本极限
（2）分子、分母分解因式，约去趋于 x→∞ 零但不等于零的因子 （3）分子分母同除以高次幂（39页例6）
（4）分子、分母有理化（39页例5） (5)利用两个重要极限公式求极限
（1）间断点分类:
第一类间断点: 及 若 若 第二类间断点: 均存在 , 称 称
x0 为可去间断点 . x0 为跳跃间断点 .
及
中至少一个不存在 ,
若其中有一个为 , 称
x0 为无穷间断点 . x0 为振荡间断点 .
函数极限与连续知识点总结大一
函数极限与连续知识点总结大一函数极限与连续知识点总结函数极限和连续是微积分中非常重要的概念，对于大一学生来说，掌握这些知识点是非常关键的。
在本文中，我将对函数极限和连续的相关知识进行总结，并强调一些必要的注意事项。
一、函数极限1. 定义：函数极限是指当自变量趋近于某个特定值时，函数对应的因变量的值也趋近于一个确定的值。
数学上可以表示为lim(f(x))=L，其中lim表示极限，f(x)表示函数，L表示极限值。
2. 基本性质：- 极限存在唯一性：当自变量趋近于某个特定值时，函数对应的极限值唯一。
- 有界性：如果函数在某个区间内有极限，那么函数在该区间内是有界的。
- 保号性：如果函数在某个点的左侧极限和右侧极限大于（或小于）某个特定值，那么函数在该点处的极限也大于（或小于）该特定值。
3. 常用的函数极限：- 常数函数的极限：对于常数函数f(x)=C，其极限值为C。
- 多项式函数的极限：多项式函数的极限与最高次项的系数有关。
- 幂函数的极限：幂函数的极限与指数之间的关系有关。
- 三角函数的极限：三角函数的极限可以通过泰勒展开或利用三角函数的性质推导得出。
二、连续函数1. 定义：连续函数是指在定义域内，函数的图像可以画成一条连续的曲线，即没有间断点。
数学上可以表示为f(x)在[a, b]上连续。
2. 基本性质：- 连续函数的和、差、积仍然是连续函数。
- 连续函数与常数的乘积仍然是连续函数。
- 连续函数的复合函数仍然是连续函数。
- 定义域上的有界函数与连续函数的乘积仍然是连续函数。
3. 常见连续函数：- 多项式函数与有理函数在其定义域上都是连续函数。
- 正弦函数、余弦函数、指数函数、对数函数在其定义域上都是连续函数。
三、注意事项1. 极限的计算要点：- 直接代入法：当极限形式符合直接代入法的条件时，可以直接将自变量的值代入函数中计算极限值。
- 四则运算法则：对于在极限运算过程中出现的加、减、乘、除操作，可以利用四则运算法则进行简化。
专升本-高数
性质保号性：flim( xf)
(x) A 0 f (x) 0 0且limf (x) limf
(
x)
0
第一章 函数、极限与连续 知识梳理
二、极限 3.四则运算
注意：(1）有限次运算 （2） 若limf (x) A, limg (x)不存在,
则lim[f (x) g(x)]不存在
又若A 0,则lim[f (x)g(x)]不存在， lim[g (x) / f (x)]不存在
若limf (x),limg(x)都不存在, 则lim[f (x) g(x)]，lim[f (x)g(x)], lim[f (x) / g(x)]不确定
第一章 函数、极限与连续 知识梳理
二、极限 4.极限存在准则
单调有界数列必有极限 两面夹定理
5.两个重要极限
6.无穷小与无穷大：定义、关系、性质、无穷小的比较
第一章 函数、极限与连续
（重点）
第一章 函数、极限与连续
• 知识结构
概念
初等函数
函数
性质
复合函数
反函数
第一章 函数、极限与连续
• 知识结构
概念
无穷小 无穷大
性质
极限
重要极限
四则运算
存在准则
第一章 函数、极限与连续
• 知识结构
概念
闭区间 连续函数
性质
连续性
运算性质
间断点 及分类
第一章 函数、极限与连续 知识梳理
二、极限
21.极.极限限的的性概质概念念函数数列极极限限：：nlillxxmiimmaxffn((xx))
A,
收敛数列，发散数列
A lim f (x) A lim f (x)
x
极限与连续知识点总结
极限与连续知识点总结在高等数学中，极限与连续是非常重要的基础概念，它们贯穿了整个数学分析的学习过程。
下面，我们就来对极限与连续的相关知识点进行一个系统的总结。
一、极限的概念极限是指当自变量无限趋近于某个值时，函数值无限趋近于一个确定的常数。
例如，对于函数$f(x) ＝＼frac{x^2 1}｛x 1}＄，当$x$趋近于 1 时，＄f(x)＄的极限为 2。
这是因为通过化简$f(x) ＝ x ＋ 1$，当$x$趋近于1 时，＄f(x)＄趋近于 2。
极限的定义有多种形式，常见的有$＼epsilon ＼delta$定义。
二、极限的计算1、代入法对于一些简单的函数，如果在极限点处函数有定义且连续，直接将极限点代入函数即可计算极限。
2、因式分解法当分子分母有公因式时，可以通过因式分解约去公因式来计算极限。
3、有理化法对于含有根式的式子，可以通过有理化来消除根式，从而计算极限。
4、利用重要极限常见的重要极限有：＄＼lim_{x ＼to 0} ＼frac{＼sin x}｛x} ＝ 1$，＄＼lim_{x ＼to ＼infty} （1 ＋＼frac{1}｛x}）＾x ＝ e$。
5、洛必达法则当遇到分子分母同时趋近于 0 或无穷大的情况，可以使用洛必达法则，对分子分母分别求导来计算极限。
三、无穷小与无穷大1、无穷小如果函数$f(x)＄在某个变化过程中极限为 0，那么称$f(x)＄为该变化过程中的无穷小。
例如，当$x ＼to ＼infty$时，＄＼frac{1}｛x}＄是无穷小。
2、无穷大如果在某个变化过程中，函数的绝对值无限增大，那么称该函数为无穷大。
例如，当$x ＼to 0$时，＄＼frac{1}｛x^2}＄是无穷大。
无穷小与无穷大之间有着密切的关系：在同一变化过程中，无穷大的倒数是无穷小，非零无穷小的倒数是无穷大。
四、极限的性质1、唯一性极限如果存在，则一定是唯一的。
2、有界性如果函数在某个区间上有极限，那么在该区间上一定有界。
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知识梳理••••函数极限内容网络图内容提要与释疑解难内容提要与释疑解难一、函数极限的概念1.。
2. 把1中“”换成“”。
3．把1中“”换成“”。
定理且4．设在的某空心邻域内有定义，若存在一个常数A，，都有。
5．设在的某左半邻域内有定义，若存在一个常数A，时，都有。
此时也可用记号或表示左极限值A，因此可写成6. 设在的某右半邻域内有定义，若存在一个常数，当时，都有。
此时也可用或表示右极限。
因此可写成。
定理且该定理是求分界点两侧表达式不同的分段函数在该分界点极限是否存在的方法，而如果在的左右极限存在且相等，则在该点的极限存在，否则不存在。
7．时，都有。
此时称时，是无穷大量。
而，只要把公式中“”改成“”，，只要把上式中“”改成“”。
8.。
当时，都有。
读者同理可给出定义。
注：（常数）与的区别，前者是表明函数极限存在，后者指函数极限不存在，但还是有个趋于无穷大的趋势。
因此，给它一个记号，但还是属于极限不存在之列，以后，我们说函数极限存在，指的是函数极限值是个常数。
9．。
称当是无穷小量。
这里的可以是常数，也可以是。
定理。
其中。
10．若时，都有，称时是有界量。
二、无穷小量阶的比较，无穷小量与无穷大量关系设，（这里可以是常数，也可以是，以后我们不指出都是指的这个意思）（1）若，称当时是的高阶无穷小量，记作。
（2）若，称时是的同价无穷小量。
（3）若，称时是的等价无穷小量，记作，此时（2）式也可记作。
（4）若，称时是的k阶无穷小量。
由等价无穷量在求极限过程中起到非常重要的作用，因此，引入若。
记作，如果均是无穷小量，称为等价无穷小量；如果均是无穷大量，称为等价无穷大量；如果既不是无穷小也不是无穷大，我们称为等价量。
例如，则。
注：A不能为零，若A=0，不可能和0等价。
无穷小量的性质：1．若均为无穷小量，则（i）其中均为常数。
（ii）。
2．若时是有界量，，则。
无穷大量的性质：1．有限个无穷大量之积仍是无穷大量。
2．有界量与无穷大量之和仍是无穷大量。
无穷小量与无穷大量之间的关系：若；若。
三、函数连续的概念。
定义1 若处连续。
用语言可写为定义设的某邻域内有定义，若时，都有，称连续。
用函数值增量形式可写为定义若，称在处连续。
若,称处左连续。
若称处右连续。
定理处连续处既是左连续又是右连续。
如果处不连续，称为的间断点。
间断点的分类：（1）若点。
若为函数的可去间断点，只须补充定义或改变函数在该点连续。
但须注意，这时函数与已经不是同一个函数但仅在处不同，在其它点相同。
我们正是利用这一性质去构造一个新的函数，使在某闭区间上处处连续，因而有某种性质。
当时，也具有这种性质。
而时，，所以在的范围内也具有这种性质，从而达到了我们的目的。
例如，但则在处连续，但与定义域不同，虽然，又如知。
设则在处连续，虽然与定义域相同，但在处，两个函数值不同，知与不是同一函数，但仅在不同，其余点函数值处处相同。
（2）若但，称为的跳跃间断点，称的跳跃度。
（1）（2）两种类型的特点是左右极限都存在，我们统称为第一类间断点。
（3）若处，左、右极限至少有一个不存在，我们称。
若，我们也称为的无穷型间断点，属于第二类间断点。
四、函数极限的性质在下述六种类型的函数极限：（1）（2）（3）（4）（4）（6）它们具有与数列极限相类似的一些性质，我们以为例，其它类型极限的相应性质的叙述只要作适当修改就可以了。
性质1（唯一性）若极限存在，则它只有一个极限。
性质2（局部有界性）若极限存在，则存在的某空心邻域，使在内有界。
注意：存在，只能得出在的某邻域内有界，得不出在其定义域内有界。
性质3 若，则存在的某空心邻域，使时，都有。
性质4（局部保号性）若，则对任何常数，存在的某空心邻域，使得对一切，都有成立。
性质5（不等式）若，且存在的某空心邻域，使得对一切，都有。
性质6 （复合函数的极限）若，且存在的某空心邻域，当时，，则。
性质6是求极限的一个重要方法——变量替换法，即。
性质7（函数极限的四则运算）若均存在，则函数（1）；（2）；（3）；又若在时的极限也存在，且有（4）。
利用极限的四则运算，可得下列重要结果。
上面的结论可作为公式用。
性质8（归结原则或海涅（Heine）定理）存在的充要条件是：都存在且相等。
逆否定理若存在两个数列==且或存在不存在，则不存在。
此定理是判断函数极限不存在的一个重要方法。
五、函数连续的性质若函数处连续，即，利用极限的性质1-5可得到函数在连续的局部有界性，局部保号性，不等式等，只要把即可，读者自己叙述出来。
利用极限的四则运算，我们有性质1（连续函数的四则运算）若处连续，则。
性质2 若处连续，则处也连续且在满足性质2的条件下，极限符号与外函数可交换顺序，如果仅要可交换顺序，有推论若。
证设则处连续，又处连续，由性质2知。
由于。
在这里，我们巧妙地利用可去间断点的性质，构造一个连续函数，以满足所需的条件，上面的性质2及推论也是求函数极限的一个重要方法。
即极限符号与外函数交换顺序，把复杂函数极限转化为简单函数极限。
定理初等函数在其定义域上连续。
六、闭区间上连续函数的性质定理（最大值与最小值定理）若在闭区间上连续，则在上一定能取到最大值与最小值，即存在，使得对一切，都有。
推论1 若上连续，则上有界。
定理（根的存在定理或零值点定理）若函数上连续，，则至少存在一点。
推论1 若函数上连续，且之间的任何常数，则至少存在一点。
推论2 若函数上连续，则。
这几个定理非常重要，请大家要记住这些定理的条件与结论，并会运用这些定理去解决问题。
七、重要的函数极限与重要的等价量利用初等函数的连续性及极限符号与外函数的可交换性及等价量替换，夹逼定理可得到下面的重要的函数极限。
1． 2. .3．.4..5. .6、.7．.8．.9．.10．.11．若=即。
注：不仅要记住这些公式的标准形式，更要明白一般形式。
即上面公式中的可换成，只要时，，结论依然成立。
利用上述重要极限，我们可以得到下列对应的重要的等价无穷小量，在解题中经常要利用他们当时，..注：上式中的可换成，只要时，.结论依然成立。
例如。
此外，若.解题基本方法与技巧解题基本方法与技巧一、求函数极限的有关定理等价量替换定理，若（1）；（2）；，则.证,即.这个定理告诉我们，在求函数极限时，分子、分母中的因式可用它的简单的等价的量来替换，以便化简，容易计算。
但替换以后函数极限要存在或为无穷大。
需要注意的是，分子、分母中加减的项不能替换，应分解因式，用因式替换，包括用等价无穷小量、等价无穷大量或一般的等价量来替换。
夹逼定理若，且存在的某空心邻域，使得对一切，都有，则。
单调有界定理（1）若在内递增（或递减）有下界（或上界），则存在。
（2）若在内递增（或递减）有下界（或上界），则存在。
请读者给出的叙述。
函数的单调有界定理应用的较少，大家只要了解就可以。
洛必达法则I 设（1）；（2）存在的某邻域，当时，都存在，且；（3），则.洛必达法则II，设（1）；（2）存在的某邻域，当时，都存在且；（3），则.1．上述两个法则中的改成时，条件（2）只须作相应的修改，结论依然成立。
2．在用洛必达法则求极限之前，应尽可能把函数化简，或把较复杂的因式用简单等价的因式来替换，以达到简化，再利用洛必达法则。
3．利用洛必达法则求极限时，可在计算的过程中论证是否满足洛必达法则的条件，若满足洛必达法则的条件，结果即可求出；若不满足，说明不能使用洛必达法则，则需用其它求极限的方法。
此外，可重复使用洛必达法则，但只能用有限次。
注：洛比达法则是第三章内容。
二、函数极限的类型1．若是初等函数，的定义域，由初等函数的连续性知.2．若，则（1）（2）对于因式中含有对数函数，反三角函数时，一般放在分子、否则利用洛必达法则很繁，或求不出来。
（3）当同号时，这时，把化成分式，通分、化简，化成“”或“”，再利用洛必达法则。
（4）(i)当时，我们有两种方法求该未定式的极限，一种方法利用重要极限来计算，另一种方法，化为以e为底的指数函数，再利用洛必达法则。
即解法一再根据具体情况化成。
解法二这两种方法，我们经常还是利用解法一方便。
（ii）当时，（iii）当时这时，只有化成以e为底的指数函数，再利用洛必达法则。
即.而不属于未定式，因为。
已知函数的表达式三、已知函数的表达式，求函数的极限1．求函数极限的四种重要方法（1）极限的四则运算；（2）等价量替换；（3）变量替换；（4）洛必达法则。
对于未定式的极限，先用等价量替换或变量替换或极限的四则运算化简，再利用洛必达法则求极限。
很多情况下，这几种方法常常综合运用。
例1 求.解（）=。
例2 求.解,由得原式=。
注：本题虽然是未定式，但巧妙地用变量替换，并没用洛必法则就直接求出了极限。
例3 求。
解原式，由时，，得原式。
例4 求.解原式，由时，，得原式.例5 求.解原式.例6 求.解法一由，故原式=.解法二原式,由，得原式. 例7 求.解法一原式,且时，原式=.解法二原式例8 求.解原式由。
得原式. 例9 求.解原式由，，得原式.例10 求.解原式.例11 求.解原式.例12 求.解原式.例13 求.解法一原式.解法二原式.例14 求.解原式. 例15 求.解例16 求.解.例17 求.解例18 设在的某邻域内连续，，求解于是=例19 求.分析因为，所以洛必达法则不适用，宜改用其它方法。
解原式例20 求.无限循环，所以不能用洛必达法则.解原式.利用泰勒公式求函数极限2．利用泰勒公式求函数极限。
若。
事实上，.因此，利用带有佩亚诺余项的泰勒公式可以求出某些函数极限，当时，若则例21 求.解由于,，所以.对于求时的函数极限，若用泰勒公式求极限，可令，变成求时的的函数极限，再利用上述的方法去解决。
3．利用夹逼定理求函数极限。
例22 求.解.由，根据夹逼定理知，.例23 求.分析本题虽然属于型，但不能用洛必达法则，因为不存在。
因此，用其它方法，解对任意自然数，有，当时，成立不等式.由根据夹逼定理知原式=.注：这里是的函数，是分段函数，即.4．利用定义证明函数极限的存在利用函数极限定义证明函数极限与利用数列极限定义证明数列极限存在完全类似，在这里我们就不再重复了，一般情况，能不用尽量不用。
除非要求用定义证，且考研出这种题的可能性较小。
例24 用定义证明。
证不妨设，则，任给，要使，由，只要时，都有，由定义知。
注：这里用了公式。
至于用函数极限的单调有界定理求函数极限的可能性更小。
四、已知函数极限且函数表达式中含有字母常数，确定字母常数数值。
这种题型考的可能性更大，因为这种题型更能考察考生运用无穷小量阶的比较和洛必达法则分析问题，解决问题的能力。
例25 求，求常数a, b.解令，于是原式，由，知分子当时，是分母的同阶无穷小量，所以.得原式。