重庆市2013年高考模拟数学(理)试题8
2013年重庆市高考数学试卷(理科)答案与解析
2013年重庆市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2013•重庆）已知全集U={1，2，3，4}，集合A={1，2}，B={2，3}，则∁U（A∪B）=（）A．{1，3，4} B．{3，4} C．{3} D．{4}考点：交、并、补集的混合运算．专题：计算题．分析：根据A与B求出两集合的并集，由全集U，找出不属于并集的元素，即可求出所求的集合．解答：解：∵A={1，2}，B={2，3}，∴A∪B={1，2，3}，∵全集U={1，2，3，4}，∴∁U（A∪B）={4}．故选D点评：此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．2．（5分）（2013•重庆）命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为（）A．对任意x∈R，都有x2＜0 B．不存在x∈R，都有x2＜0C．存在x0∈R，使得x02≥0 D．存在x0∈R，使得x02＜0考点：命题的否定；全称命题．专题：简易逻辑．分析：直接利用全称命题的否定是特称命题，写出命题的否定命题即可．解答：解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为．存在x0∈R，使得x02＜0．故选D．点评：本题考查命题的否定，全称命题与特称命题的否定关系，基本知识的考查．3．（5分）（2013•重庆）（﹣6≤a≤3）的最大值为（）A．9B．C．3D．考点：二次函数在闭区间上的最值．专题：函数的性质及应用．分析：令f（a）=（3﹣a）（a+6）=﹣+，而且﹣6≤a≤3，利用二次函数的性质求得函数f（a）的最大值，即可得到所求式子的最大值．解答：解：令f（a）=（3﹣a）（a+6）=﹣+，而且﹣6≤a≤3，由此可得函数f （a）的最大值为，故（﹣6≤a≤3）的最大值为=，故选B．点评：本题主要考查二次函数的性质应用，体现了转化的数学思想，属于中档题．4．（5分）（2013•重庆）以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为（）A．2，5 B．5，5 C．5，8 D．8，8考点：茎叶图．专题：概率与统计．分析：求乙组数据的平均数就是把所有乙组数据加起来，再除以5．找甲组数据的中位数要把甲组数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数为中位数．据此列式求解即可．解答：解：乙组数据平均数=（9+15+18+24+10+y）÷5=16.8；∴y=8；甲组数据可排列成：9，12，10+x，24，27．所以中位数为：10+x=15，∴x=5．故选：C．点评：本题考查了中位数和平均数的计算．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．将一组数据从小到大依次排列，把中间数据（或中间两数据的平均数）叫做中位数．5．（5分）（2013•重庆）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．200 D．240考点： 由三视图求面积、体积． 专题： 空间位置关系与距离． 分析：如图所示，该几何体是棱长分别为4，8，10的长方体砍去两个小三棱柱得到一个四棱柱，据此即可计算出体积． 解答：解：如图所示，该几何体是棱长分别为4，8，10的长方体砍去两个小三棱柱得到一个四棱柱，由图知V==200．故选C ．点评： 由三视图正确恢复原几何体是解题的关键． 6．（5分）（2013•重庆）若a ＜b ＜c ，则函数f （x ）=（x ﹣a ）（x ﹣b ）+（x ﹣b ）（x ﹣c ）+（x ﹣c ）（x ﹣a ）的两个零点分别位于区间（ ） A ． （a ，b ）和（b ，c ）内 B ． （﹣∞，a ）和（a ，b ）内 C ． （b ，c ）和（c ，+∞）内 D ． （﹣∞，a ）和（c ，+∞）内考点： 函数零点的判定定理． 专题： 函数的性质及应用． 分析： 由函数零点存在判定定理可知：在区间（a ，b ），（b ，c ）内分别存在一个零点；又函数f （x ）是二次函数，最多有两个零点，即可判断出． 解答： 解：∵a ＜b ＜c ，∴f （a ）=（a ﹣b ）（a ﹣c ）＞0，f （b ）=（b ﹣c ）（b ﹣a ）＜0，f （c ）=（c ﹣a ）（c ﹣b ）＞0，由函数零点存在判定定理可知：在区间（a ，b ），（b ，c ）内分别存在一个零点； 又函数f （x ）是二次函数，最多有两个零点， 因此函数f （x ）的两个零点分别位于区间（a ，b ），（b ，c ）内． 故选A ． 点评： 熟练掌握函数零点存在判定定理及二次函数最多有两个零点的性质是解题的关键． 7．（5分）（2013•重庆）已知圆C 1：（x ﹣2）2+（y ﹣3）2=1，圆C 2：（x ﹣3）2+（y ﹣4）2=9，M ，N 分别是圆C 1，C 2上的动点，P 为x 轴上的动点，则|PM|+|PN|的最小值为（ ） A ． 5﹣4 B ． 1 C ． 6﹣2 D ．考点： 圆与圆的位置关系及其判定；两点间的距离公式． 专题： 直线与圆． 分析： 求出圆C 1关于x 轴的对称圆的圆心坐标A ，以及半径，然后求解圆A 与圆C 2的圆心距减去两个圆的半径和，即可求出|PM|+|PN|的最小值．解答：解：如图圆C1关于x轴的对称圆的圆心坐标A（2，﹣3），半径为1，圆C2的圆心坐标（3，4），半径为3，|PM|+|PN|的最小值为圆A与圆C2的圆心距减去两个圆的半径和，即：=5﹣4．故选A．点评：本题考查圆的对称圆的方程的求法，两个圆的位置关系，两点距离公式的应用，考查转化思想与计算能力．8．（5分）（2013•重庆）执行如图所示的程序框图，如果输出S=3，那么判断框内应填入的条件是（）A．k≤6 B．k≤7 C．k≤8 D．k≤9考点：程序框图．专题：图表型．分析：根据程序框图，写出运行结果，根据程序输出的结果是S=3，可得判断框内应填入的条件．解答：解：根据程序框图，运行结果如下：S k第一次循环log23 3第二次循环log23•log34 4第三次循环log23•log34•log45 5第四次循环log23•log34•log45•log56 6第五次循环log23•log34•log45•log56•log67 7第六次循环log23•log34•log45•log56•log67•log78=log28=3 8故如果输出S=3，那么只能进行六次循环，故判断框内应填入的条件是k≤7．故选B．点评：本题考查程序框图，尤其考查循环结构．对循环体每次循环需要进行分析并找出内在规律．本题属于基础题．9．（5分）（2013•重庆）4cos50°﹣tan40°=（）A．B．C．D．2﹣1考点：两角和与差的正弦函数；同角三角函数间的基本关系；诱导公式的作用；二倍角的正弦．专题：三角函数的求值．分析：原式第一项利用诱导公式化简，第二项利用同角三角函数间的基本关系切化弦，通分后利用同分母分式的减法法则计算，再利用诱导公式及两角和与差的正弦函数公式化简，整理后利用两角和与差的余弦函数公式化为一个角的余弦函数，约分即可得到结果．解答：解：4cos50°﹣tan40°=4sin40°﹣tan40°======．故选C点评：此题考查了两角和与差的正弦、余弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，以及诱导公式的作用，熟练掌握公式是解本题的关键．10．（5分）（2013•重庆）在平面上，⊥，||=||=1，=+．若||＜，则||的取值范围是（）A．（0，]B．（，]C．（，]D．（，]考点：向量在几何中的应用；平面向量的基本定理及其意义．专题：压轴题；平面向量及应用．分析：建立坐标系，将向量条件用等式与不等式表示，利用向量模的计算公式，即可得到结论．解答：解：根据条件知A，B1，P，B2构成一个矩形AB1PB2，以AB1，AB2所在直线为坐标轴建立直角坐标系，设|AB1|=a，|AB2|=b，点O的坐标为（x，y），则点P的坐标为（a，b），由=1，得，则∵||＜，∴∴∴∵（x﹣a）2+y2=1，∴y2=1﹣（x﹣a）2≤1，∴y2≤1同理x2≤1∴x2+y2≤2②由①②知，∵||=，∴＜||≤故选D．点评：本题考查向量知识的运用，考查学生转化问题的能力，考查学生的计算能力，属于难题．二、填空题：本大题共3小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分，把答案填写在答题卡相应位置上．11．（5分）（2013•重庆）已知复数z=（i是虚数单位），则|z|=．考点：复数求模．专题：计算题．分析：通过复数的分子与分母同时求模即可得到结果．解答：解：|z|===．故答案为：．点评：本题考查复数的模的求法，考查计算能力．12．（5分）（2013•重庆）已知{a n}是等差数列，a1=1，公差d≠0，S n为其前n项和，若a1，a2，a5成等比数列，则S8=64．考点：等差数列的前n项和；等比数列的前n项和．专题：计算题；压轴题；等差数列与等比数列．分析：依题意，a1=1，=a1•（a1+4d），可解得d，从而利用等差数列的前n项和公式即可求得答案．解答：解：∵{a n}是等差数列，a1，a2，a5成等比数列，∴=a1•（a1+4d），又a1=1，∴d2﹣2d=0，公差d≠0，∴d=2．∴其前8项和S8=8a1+×d=8+56=64．故答案为：64．点评：本题考查等差数列的前n项和，考查方程思想与运算能力，属于基础题．13．（5分）（2013•重庆）从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是590（用数字作答）．考点：排列、组合及简单计数问题．专题：压轴题；概率与统计．分析：不同的组队方案：选5名医生组成一个医疗小组，要求其中骨科、脑外科和内科医生都至少有1人，方法共有6类，他们分别是：3名骨科、1名脑外科和1名内科医生；1名骨科、3名脑外科和1名内科医生，…，在每一类中都用分步计数原理解答．解答：解：直接法：3名骨科、1名脑外科和1名内科医生，有C33C41C51=20种，1名骨科、3名脑外科和1名内科医生，有C31C43C51=60种，1名骨科、1名脑外科和3名内科医生，有C31C41C53=120种，2名骨科、2名脑外科和1名内科医生，有C32C42C51=90种，1名骨科、2名脑外科和2名内科医生，有C31C42C52=180种，2名骨科、1名脑外科和2名内科医生，有C32C41C52=120种，共计20+60+120+90+180+120=590种故答案为：590．点评：本题主要考查了排列、组合及简单计数问题，解答关键是利用直接法：先分类后分步．14，15，16三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分：14．（5分）（2013•重庆）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AB=20，过C作△ABC 的外接圆的切线CD，BD⊥CD，BD与外接圆交于点E，则DE的长为5．考点：与圆有关的比例线段．专题：直线与圆．分析：利用直角△ABC的边角关系即可得出BC，利用弦切角定理可得∠BCD=∠A=60°．利用直角△BCD的边角关系即可得出CD，BD．再利用切割线定理可得CD2=DE•DB，即可得出DE．解答：解：在△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AB=20，∴BC=AB•sin60°=．∵CD是此圆的切线，∴∠BCD=∠A=60°．在Rt△BCD中，CD=BC•cos60°=，BD=BC•sin60°=15．由切割线定理可得CD2=DE•DB，∴，解得DE=5．故答案为5．点评：熟练掌握直角三角形的边角关系、弦切角定理、切割线定理是解题的关键．15．（5分）（2013•重庆）在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若极坐标方程为ρcosθ=4的直线与曲线（t为参数）相交于A，B两点，则|AB|=16．考点：点的极坐标和直角坐标的互化；两点间的距离公式；参数方程化成普通方程．专题：压轴题；直线与圆．分析：先将直线极坐标方程ρcosθ=4化成直角坐标方程，再代入曲线（t为参数）中得A，B两点的直角坐标，最后利用两点间的距离公式即可得出|AB|．解答：解：将直线极坐标方程ρcosθ=4化成直角坐标方程为x=4，代入曲线（t为参数）中得A，B两点的直角坐标为（4，8），（4，﹣8），则|AB|=16．故答案为：16．点评：本题考查参数方程、极坐标方程、直角坐标方程间的转化，两点间的距离公式，考查转化、计算能力．16．（2013•重庆）若关于实数x的不等式|x﹣5|+|x+3|＜a无解，则实数a的取值范围是（﹣∞，8]．考点：绝对值不等式的解法．专题：压轴题；不等式的解法及应用．分析：利用绝对值的意义求得|x﹣5|+|x+3|最小值为8，由此可得实数a的取值范围．解答：解：由于|x﹣5|+|x+3|表示数轴上的x对应点到5和﹣3对应点的距离之和，其最小值为8，再由关于实数x的不等式|x﹣5|+|x+3|＜a无解，可得a≤8，故答案为：（﹣∞，8]．点评：本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，求得|x﹣5|+|x+3|最小值为8，是解题的关键，属于中档题．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（13分）（2013•重庆）设f（x）=a（x﹣5）2+6lnx，其中a∈R，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与y轴相交于点（0，6）．（1）确定a的值；（2）求函数f（x）的单调区间与极值．考点：利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：（1）先由所给函数的表达式，求导数fˊ（x），再根据导数的几何意义求出切线的斜率，最后由曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与y轴相交于点（0，6）列出方程求a的值即可；（2）由（1）求出的原函数及其导函数，求出导函数的零点，把函数的定义域分段，判断导函数在各段内的符号，从而得到原函数的单调区间，根据在各区间内的单调性求出极值点，把极值点的横坐标代入函数解析式求得函数的极值．解答：解：（1）因f（x）=a（x﹣5）2+6lnx，故f′（x）=2a（x﹣5）+，（x＞0），令x=1，得f（1）=16a，f′（1）=6﹣8a，∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣16a=（6﹣8a）（x﹣1），由切线与y轴相交于点（0，6）．∴6﹣16a=8a﹣6，∴a=．（2）由（I）得f（x）=（x﹣5）2+6lnx，（x＞0），f′（x）=（x﹣5）+=，令f′（x）=0，得x=2或x=3，当0＜x＜2或x＞3时，f′（x）＞0，故f（x）在（0，2），（3，+∞）上为增函数，当2＜x＜3时，f′（x）＜0，故f（x）在（2，3）上为减函数，故f（x）在x=2时取得极大值f（2）=+6ln2，在x=3时取得极小值f（3）=2+6ln3．点评：本小题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程、利用导数研究函数的单调性、函数的极值及其几何意义等基础知识，考查运算求解能力，考查分类讨论思想、化归与转化思想．属于中档题．18．（13分）（2013•重庆）某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定：在一次摸奖中，摸奖者先从装有3个红球与4个白球的袋中任意摸出3个球，再从装有1个蓝球与2个白球的袋中任意摸出1个球，根据摸出4个球中红球与蓝球的个数，设一、二、三等奖如下：奖级摸出红、蓝球个数获奖金额一等奖3红1蓝200元二等奖3红0蓝50元三等奖2红1蓝10元其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级．（1）求一次摸奖恰好摸到1个红球的概率；（2）求摸奖者在一次摸奖中获奖金额x的分布列与期望E（x）．考点：离散型随机变量及其分布列；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量的期望与方差．专题：计算题；概率与统计．分析：（1）从7个小球中取3的取法为，若取一个红球，则说明第一次取到一红2白，根据组合知识可求取球的种数，然后代入古典概率计算公式可求（2）先判断随机变量X的所有可能取值为200，50，10，0根据题意求出随机变量的各个取值的概率，即可求解分布列及期望值解答：解：（1）设A i表示摸到i个红球，B i表示摸到i个蓝球，则Ai与Bi相互独立（i=0，1，2，3）∴P（A1）==（2）X的所有可能取值为0，10，50，200P（X=200）=P（A3B1）=P（A3）P（B1）=P（X=50）=P（A3）P（B0）==P（X=10）=P（A2）P（B1）==P（X=0）=1﹣=∴X的分布列为x 0 10 50 200PEX==4元点评：本题主要考查了古典概型及计算公式，互斥事件、离散型随机变量的分布列及期望值的求解，考查了运用概率知识解决实际问题的能力．19．（13分）（2013•重庆）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，BC=CD=2，AC=4，∠ACB=∠ACD=，F为PC的中点，AF⊥PB．（1）求PA的长；（2）求二面角B﹣AF﹣D的正弦值．考点：用空间向量求平面间的夹角；点、线、面间的距离计算；二面角的平面角及求法．专题：计算题；证明题；空间位置关系与距离；空间角．分析：（I）连接BD交AC于点O，等腰三角形BCD中利用“三线合一”证出AC⊥BD，因此分别以OB、OC分别为x轴、y轴建立空间直角坐标系如图所示．结合题意算出A、B、C、D各点的坐标，设P（0，﹣3，z），根据F为PC边的中点且AF⊥PB，算出z=2，从而得到=（0，0，﹣2），可得PA的长为2；（II）由（I）的计算，得=（﹣，3，0），=（，3，0），=（0，2，）．利用垂直向量数量积为零的方法建立方程组，解出=（3，，﹣2）和=（3，﹣，2）分别为平面FAD、平面FAB的法向量，利用空间向量的夹角公式算出、夹角的余弦，结合同角三角函数的平方关系即可算出二面角B﹣AF﹣D的正弦值．．解答：解：（I）如图，连接BD交AC于点O∵BC=CD，AC平分角BCD，∴AC⊥BD以O为坐标原点，OB、OC所在直线分别为x轴、y轴，建立空间直角坐标系O﹣xyz，则OC=CDcos=1，而AC=4，可得AO=AC﹣OC=3．又∵OD=CDsin=，∴可得A（0，﹣3，0），B（，0，0），C（0，1，0），D（﹣，0，0）由于PA⊥底面ABCD，可设P（0，﹣3，z）∵F为PC边的中点，∴F（0，﹣1，），由此可得=（0，2，），∵=（，3，﹣z），且AF⊥PB，∴•=6﹣=0，解之得z=2（舍负）因此，=（0，0，﹣2），可得PA的长为2；（II）由（I）知=（﹣，3，0），=（，3，0），=（0，2，），设平面FAD 的法向量为=（x 1，y 1，z 1），平面FAB 的法向量为=（x 2，y 2，z 2）， ∵•=0且•=0，∴，取y 1=得=（3，，﹣2），同理，由•=0且•=0，解出=（3，﹣，2），∴向量、的夹角余弦值为cos ＜，＞===因此，二面角B ﹣AF ﹣D 的正弦值等于=点评：本题在三棱锥中求线段PA 的长度，并求平面与平面所成角的正弦值．着重考查了空间线面垂直的判定与性质，考查了利用空间向量研究平面与平面所成角等知识，属于中档题． 20．（12分）（2013•重庆）在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且a 2+b 2+ab=c 2． （1）求C ； （2）设cosAcosB=，=，求tan α的值．考点：余弦定理；同角三角函数间的基本关系；两角和与差的余弦函数． 专题：解三角形． 分析： （1）利用余弦定理表示出cosC ，将已知等式变形后代入求出cosC 的值，由C 为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出C 的度数；（2）已知第二个等式分子两项利用两角和与差的余弦函数公式化简，再利用同角三角函数间的基本关系弦化切，利用多项式乘多项式法则计算，由A+B 的度数求出sin （A+B ）的值，进而求出cos （A+B ）的值，利用两角和与差的余弦函数公式化简cos （A+B ），将cosAcosB 的值代入求出sinAsinB 的值，将各自的值代入得到tan α的方程，求出方程的解即可得到tan α的值．解答：解：（1）∵a 2+b 2+ab=c 2，即a 2+b 2﹣c 2=﹣ab ， ∴由余弦定理得：cosC===﹣，又C 为三角形的内角， 则C=；（2）由题意==，∴（cosA ﹣tan αsinA ）（cosB ﹣tan αsinB ）=，即tan 2αsinAsinB ﹣tan α（sinAcosB+cosAsinB ）+cosAcosB=tan 2αsinAsinB ﹣tan αsin （A+B ）+cosAcosB=，∵C=，A+B=，cosAcosB=，∴sin （A+B ）=，cos （A+B ）=cosAcosB ﹣sinAsinB=﹣sinAsinB=，即sinAsinB=，∴tan 2α﹣tan α+=，即tan 2α﹣5tan α+4=0，解得：tan α=1或tan α=4．点评： 此题考查了余弦定理，两角和与差的余弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．21．（12分）（2013•重庆）如图，椭圆的中心为原点O ，长轴在x 轴上，离心率，过左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于A 、A ′两点，|AA ′|=4． （Ⅰ）求该椭圆的标准方程；（Ⅱ）取垂直于x 轴的直线与椭圆相交于不同的两点P 、P ′，过P 、P ′作圆心为Q 的圆，使椭圆上的其余点均在圆Q 外．若PQ ⊥P'Q ，求圆Q 的标准方程．考点：圆锥曲线的综合．专题：压轴题；圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（Ⅰ）利用点A（﹣c，2）在椭圆上，结合椭圆的离心率，求出几何量，即可求得椭圆的标准方程；（Ⅱ）设出圆Q的圆心坐标及半径，由PQ⊥P'Q得到P的坐标，写出圆的方程后和椭圆联立，化为关于x的二次方程后由判别式等于0得到关于t与r的方程，把P点坐标代入椭圆方程得到关于t与r的另一方程，联立可求出t与r的值，经验证满足椭圆上的其余点均在圆Q外，结合对称性即可求得圆Q的标准方程．解答：解：（Ⅰ）由题意知点A（﹣c，2）在椭圆上，则，即①∵离心率，∴②联立①②得：，所以b2=8．把b2=8代入②得，a2=16．∴椭圆的标准方程为；（Ⅱ）设Q（t，0），圆Q的半径为r，则圆Q的方程为（x﹣t）2+y2=r2，不妨取P为第一象限的点，因为PQ⊥P'Q，则P（）（t＞0）．联立，得x2﹣4tx+2t2+16﹣2r2=0．由△=（﹣4t）2﹣4（2t2+16﹣2r2）=0，得t2+r2=8又P（）在椭圆上，所以．整理得，．代入t2+r2=8，得．解得：．所以，．此时．满足椭圆上的其余点均在圆Q外．由对称性可知，当t＜0时，t=﹣，．故所求圆Q的标准方程为．点评：本题考查椭圆的标准方程，考查椭圆的几何性质，考查方程组的解法，考查学生的计算能力，属于中档题．22．（12分）（2013•重庆）对正整数n，记I n={1，2，3…，n}，P n={|m∈I n，k∈I n}．（1）求集合P7中元素的个数；（2）若P n的子集A中任意两个元素之和不是整数的平方，则称A为“稀疏集”．求n的最大值，使P n能分成两个不相交的稀疏集的并集．考点：集合中元素个数的最值；子集与交集、并集运算的转换．专题：集合．分析：（1）对于集合P7 ，有n=7．当k=4时，根据P n中有3个数与I n={1，2，3…，n}中的数重复，由此求得集合P7中元素的个数．（2）先用反证法证明证当n≥15时，P n不能分成两个不相交的稀疏集的并集，再证P14满足要求，从而求得n的最大值．解答：解：（1）对于集合P7 ，有n=7．当k=1时，m=1，2，3…，7，P n={1，2，3…，7}，7个数，当k=2时，m=1，2，3…，7，P n对应有7个数，当k=3时，m=1，2，3…，7，P n对应有7个数，当k=4时，P n={|m∈I n，k∈I n}=P n={，1，，2，，3，}中有3个数（1，2，3）与k=1时P n中的数重复，当k=5时，m=1，2，3…，7，P n对应有7个数，当k=6时，m=1，2，3…，7，P n对应有7个数，当k=7时，m=1，2，3…，7，P n对应有7个数，由此求得集合P7中元素的个数为7×7﹣3=46．（2）先证当n≥15时，P n不能分成两个不相交的稀疏集的并集．假设当n≥15时，P n可以分成两个不相交的稀疏集的并集，设A和B为两个不相交的稀疏集，使A∪B=P n⊇I n ．不妨设1∈A，则由于1+3=22，∴3∉A，即3∈B．同理可得，6∈A，10∈B．又推出15∈A，但1+15=42，这与A为稀疏集相矛盾．再证P14满足要求．当k=1时，P14={|m∈I14，k∈I14}=I14，可以分成2个稀疏集的并集．事实上，只要取A1={1，2，4，6，9，11，13}，B1={3，5，7，8，10，12，14}，则A1和B1都是稀疏集，且A1∪B1=I14．当k=4时，集合{|m∈I14}中，除整数外，剩下的数组成集合{，，，…，}，可以分为下列3个稀疏集的并：A2={，，，}，B2={，，}．当k=9时，集合{|m∈I14}中，除整数外，剩下的数组成集合{，，，，…，，}，可以分为下列3个稀疏集的并：A3={，，，，}，B3={，，，，}．最后，集合C═{|m∈I14，k∈I14，且k≠1，4，9 }中的数的分母都是无理数，它与P n中的任何其他数之和都不是整数，因此，令A=A1∪A2∪A3∪C，B=B1∪B2∪B3，则A和B是不相交的稀疏集，且A∪B=P14．综上可得，n的最大值为14．点评：本题主要考查新定义，集合间的包含关系，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．。
2013重庆高考理科数学
2013年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）数学试题卷（理工农医类）数学试题卷（理工农医类）共5页.满分150分.考试时间120分钟. 注意事项：1、 答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上.2、 答选择题前，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号.3、 答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上.4、 所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效.5、 考试结束后，将试题和答题卡一并交回. 特别提醒：（14）、（15）、（16）三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分.一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.1、已知全集{1,2,3,4}U =,集合{1,2}A =,{2,3}B = 则U (A B)= ð ( ).A {1,3,4} .B {3,4} .C {3} .D {4}2、命题“对任意x R Î,都有20x ³ ”的否定为（ ）.A 对任意x R Î，都有20x < .B 不存在x R Î，都有20x <.C 存在0x R Î，都有200x ³ .D 存在0x R Î，都有200x <3、(3a)(6)(6a3)a ---＃ 的最大值为（ ）.A 9 .B 92.C 3 .D 3224、以下茎叶图记录了甲、乙两组各5名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分），已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则,x y 的值分别为（ ）.A 2,5 .B 5,5 .C 5,8 .D 8,8甲组 乙组9x 2 7 40 1 495 y 8 45、某几何体的三视图如下图所示，则该几何体的体积为（ ）.A 5603 .B 5803.C 200 .D 2406、若a b c << ，则函数f(x)(x a)(x b)(x b)(x c)(x c)(x a)=--+--+-- 的两个零点分别位于区间（ ）.A (a,b)和(b,c) 内 .B (,a)- 和(a,b)内 .C (b,c)和(,)c + 内 .D (,a)- 和(,)c + 内7、已知圆221:(x 2)(y 3)1C -+-=，圆222:(x 3)(y 4)9C -+-=，,M N 分别是圆1C ，2C 上的动点，P 为x 轴上的动点，则PM PN + 的最小值为（ ）.A 524- .B 171- .C 622- .D 171-8、执行如题（8）图所示的程序框图，如果输出3s = ，那么判断框内应填入的条件是（ ） .A 6k £ .B 7k £ .C 8k £ .D 9k £9、oo4cos 50tan 40-=（ ）.A 2 .B 232+ .C 3 .D 221-10、在平面上，121212,1,.A B A B OB OB A P A B A B ^===+ 若12OP < ，则OA 的取值范围是（ ）.A 5(0,]2.B 57(,]22.C 5(,2]2.D 7(,2]2二、填空题：本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分.把答案填写在答题卡相应位置上.11、已知复数512i z i=+（i 是虚数单位），则z = .12、已知{a }n 是等差数列，11a =，公差0d ¹，n S 为其前n 项和，若125,,a a a 成等比数列，则8S = .13、从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是 . （用数字作答）考生注意：14、15、16三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分.14、如题14图，在ABC D 中，90,60,AB 20C A o o ??=,过C 作ABC D 的外接圆的切线,BD ,CD CD BD ^与外接圆交于点E ，则DE 的长为 .15、在直角坐标系xoy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若极坐标方程为cos 4r q =的直线与曲线23x t y tì=ïíï=î，（t 为参）相交于,A B 两点.则A B = .16、若关于实数x 的不等式53x x a -++<无解，则实数a 的取值范围是 .三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17、（本小题满分13分，（1）小问6分，（2）小问7分）设2(x)a(x 5)6ln f x =-+，其中a R Î，曲线(x)y f =在点(1,f(1))处的切线与y 轴相交于点(0,6). （1）、确定a 的值；（2）、求函数(x)f 的单调区间与极值.18、（本小题满分13分，（1）小问5分，（2）小问8分）某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定：在一次摸奖中，摸奖者先从装有3个红球与4个白球的袋中任意摸出3个球，再从装有一个篮球与两个白球的袋中任意摸出1个球.根据摸出4个球中红球与篮球的个数，设一、二、三等奖如下：等级 摸出红、蓝球个数获奖金额 一等奖 3红1蓝 200元 二等奖 3红0蓝 50元 三等奖2红1蓝 10元其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个等级. （1）、求一次摸奖恰好摸到一个红球的概率；（2）、求摸奖者在一次摸奖中获奖金额X 的分布列与期望(X)E . 19、（本小题满分13分，（1）小问5分，（2）小问8分）如题（19）图，四棱锥P ABCD -中，2,4,3BC CD AC ACB ACDp ===??,F为PC 的中点，AF PB ^.（1）、求PA 的长； （2）、求二面角B AF D --的正弦值. 20、（本小题满分12分，（1）小问4分，（2）小问8分）在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2222a b ab c ++=. （1）、求C ； （2）、设232cos(A)cos(B)2cos cos ,5cos 5A B a a a ++==，求tan a 的值. 21、（本小题满分12分，（1）小问4分，（2）小问8分）如题（21）图，椭圆的中心为原点O ，长轴在x 轴上，离心率22e =，过左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于',A A 两点，'4A A =.（1）、求该椭圆的标准方程；（2）、取垂直于x 轴的直线与椭圆相交于不同的两点',P P ,过',P P 作圆心为Q 的圆，使椭圆上的其余点均在圆Q 外.若'PQ P Q ^,求圆Q 的标准方程 22、（本小题满分12分，（1）小问4分，（2）小问8分） 对正整数n ，记{1,2,,n}n I = ，{,}n n n m P m I k I k=挝.（1）、求集合7P 中元素的个数；（2）、若n P 的子集A 中任意两个元素之和不是．．整数的平方，则称A 为“稀疏集”.求n 的最大值，使n P 能分成两个不相交的稀疏集的并.。
2013高考重庆卷数学(理)
2013重庆卷(理)一、选择题1．已知全集U ＝{1,2,3,4}，集合A ＝{1,2}，B ＝{2,3}，则∁U (A ∪B )等于( ) A ．{1,3,4} B ．{3,4} C ．{3}D ．{4}答案 D解析 因为A ∪B ＝{1,2,3}，全集U ＝{1,2,3,4}，所以∁U (A ∪B )＝{4}，故选D. 2．命题“对任意x ∈R ，都有x 2≥0”的否定为( ) A ．对任意x ∈R ，都有x 2<0 B ．不存在x ∈R ，都有x 2<0 C ．存在x 0∈R ，使得x 20≥0 D ．存在x 0∈R ，使得x 20<0 答案 D解析 由于“对任意x ∈R ”的否定为“存在x 0∈R ”，对“x 2≥0”的否定为“x 2<0”，因此选D.3.(3－a )(a ＋6)(－6≤a ≤3)的最大值为( ) A ．9B.92C ．3D.322答案 B解析 因为(3－a )(a ＋6)＝18－3a －a 2 ＝－⎝⎛⎭⎫a ＋322＋814， 所以当a ＝－32时，(3－a )(a ＋6)的值最大，最大值为92.4．以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位：分)已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x ，y 的值分别为( )A ．2,5B ．5,5C ．5,8D ．8,8答案 C解析 由于甲组中有5个数，比中位数小的有两个数为9,12，比中位数大的也有两个数24,27，所以10＋x ＝15，x ＝5.又因9＋15＋10＋y ＋18＋245＝16.8，所以y ＝8，故选C.5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.5603B.5803 C ．200 D ．240 答案 C解析 由三视图还原的几何体为两底面为梯形的直棱柱，梯形的面积为12(2＋8)×4＝20，所以棱柱的体积为20×10＝200.6．若a <b <c ，则函数f (x )＝(x －a )(x －b )＋(x －b )(x －c )＋(x －c )(x －a )的两个零点分别位于区间( )A ．(a ，b )和(b ，c )内B ．(－∞，a )和(a ，b )内C ．(b ，c )和(c ，＋∞)内D ．(－∞，a )和(c ，＋∞)内答案 A解析 由于a <b <c ，所以f (a )＝0＋(a －b )(a －c )＋0>0，f (b )＝(b －c )(b －a )<0，f (c )＝(c －a )(c －b )>0.因此有f (a )·f (b )<0，f (b )·f (c )<0，又因f (x )是关于x 的二次函数，函数的图象是连续不断的曲线，因此函数f (x )的两零点分别位于区间(a ，b )和(b ，c )内，故选A. 7．已知圆C 1：(x －2)2＋(y －3)2＝1，圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝9，M ，N 分别是圆C 1，C 2上的动点，P 为x 轴上的动点，则|PM |＋|PN |的最小值为( ) A ．52－4 B.17－1 C ．6－2 2D.17答案 A解析 两圆心坐标分别为C 1(2,3)，C 2(3，4)．C 1关于x 轴对称的点C 1′的坐标为(2，－3)，连接C 2C 1′，线段C 2C 1′与x 轴的交点即为P 点．(|PM |＋|PN |)min ＝|C 2C 1′|－R 1－R 2(R 1，R 2分别为两圆的半径)＝(3－2)2＋(4＋3)2－1－3＝50－4＝52－4.故选A.8．执行如图所示的程序框图，如果输出s ＝3，那么判断框内应填入的条件是( )A ．k ≤6B ．k ≤7C ．k ≤8D ．k ≤9答案 B解析 当k ＝2时，s ＝log 23，当k ＝3时，s ＝log 23·log 34，当k ＝4时，s ＝log 23·log 34·log 45.由s ＝3，得lg 3lg 2×lg 4lg 3×lg 5lg 4×…×lg (k ＋1)lg k ＝3，即lg(k ＋1)＝3lg 2，所以k ＝7.再循环时，k ＝7＋1＝8，此时输出s ，因此判断框内应填入“k ≤7”．故选B. 9．4cos 50°－tan 40°等于( ) A. 2B.2＋32C. 3D ．22－1答案 C解析 4cos 50°－tan 40°＝4sin 40°cos 40°－sin 40°cos 40°＝2sin 80°－sin 40°cos 40°＝2sin (50°＋30°)－sin 40°cos 40°＝3sin 50°＋cos 50°－sin 40°cos 40°＝3sin 50°cos 40°＝ 3.10．在平面上，AB 1→⊥AB 2→，|OB 1→|＝|OB 2→|＝1，AP →＝AB 1→＋AB 2→.若|OP →|<12，则|OA →|的取值范围是( ) A.⎝⎛⎦⎤0，52 B.⎝⎛⎦⎤52，72 C.⎝⎛⎦⎤52，2D.⎝⎛⎦⎤72，2答案 D解析 设B 1(cos α，sin α)，B 2(cos β，sin β)，A (x ，y )，O (0,0)．由AB 1→⊥AB 2→，得cos(α－β)－x (cos α＋cos β)－y (sin α＋sin β)＋x 2＋y 2＝0① OP →＝OA →＋AP →＝OA →＋AB 1→＋AB 2→＝(cos α＋cos β－x ，sin α＋sin β－y )． 而|OP →|<12，则0≤|OP →|2<14，整理得0≤x 2＋y 2＋2＋2cos(α－β)－2x (cos α＋cos β)－2y (sin α＋sin β)<14，②将①代入②，得0≤x 2＋y 2＋2－2(x 2＋y 2)<14，即0≤2－(x 2＋y 2)<14，整理得74<x 2＋y 2≤2.所以|OA →|2∈⎝⎛⎦⎤74，2，即|OA →|∈⎝⎛⎦⎤72，2. 二、填空题11．已知复数z ＝5i1＋2i (i 是虚数单位)，则|z |＝________.答案5解析 |z |＝⎪⎪⎪⎪5i 1＋2i ＝|5i||1＋2i|＝55＝ 5.12．已知{a n }是等差数列，a 1＝1，公差d ≠0，S n 为其前n 项和，若a 1，a 2，a 5成等比数列，则S 8＝________. 答案 64解析 因为a 1，a 2，a 5成等比数列，则a 22＝a 1·a 5，即(1＋d )2＝1×(1＋4d )，d ＝2.所以a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1，S 8＝(a 1＋a 8)×82＝4×(1＋15)＝64. 13．从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是________．(用数字作答) 答案 590解析 利用直接法分类求解．一脑一内三骨的选法有C 14C 15C 33＝20种，一脑二内二骨的选法有C 14C 25C 23＝120种，一脑三内一骨的选法有C 14C 35C 13＝120种，二脑一内二骨的选法有C 24C 15C 23＝90种，二脑二内一骨的选法有C 24C 25C 13＝180种，三脑一内一骨的选法有C 34C 15C 13＝60种，满足题意的选法共20＋120＋120＋90＋180＋60＝590(种)．14．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝60°，AB ＝20，过C 作△ABC 的外接圆的切线CD ，BD ⊥CD ，BD 与外接圆交于点E ，则DE 的长为______． 答案 5解析 由题意，得弦切角∠BCD ＝∠A ＝60°，∠C ＝∠D ＝90°，所以△ABC ∽△CBD .所以AB CB ＝ACCD ，CD ＝CB ×AC AB ＝20sin 60°×20cos 60°20＝5 3.又因CD 与圆相切，所以CD 2＝DE ×DB ，则DE ＝CD 2DB ＝(53)2CB sin 60°＝25×320×sin 60°×sin 60°＝5.15．在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若极坐标方程为ρcos θ＝4的直线与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝t 3(t 为参数)相交于A ，B 两点，则|AB |＝________. 答案 16解析 将极坐标方程ρcos θ＝4化为直角坐标方程得x ＝4，将x ＝4代入⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝t 3得t ＝±2，从而y ＝±8.所以A (4,8)，B (4，－8)．所以|AB |＝|8－(－8)|＝16.16．若关于实数x 的不等式|x －5|＋|x ＋3|<a 无解，则实数a 的取值范围是________． 答案 (－∞，8]解析 因为|x －5|＋|x ＋3|表示数轴上的动点x 到数轴上的点－3,5的距离之和，而(|x －5|＋|x ＋3|)min ＝8，所以当a ≤8时，|x －5|＋|x ＋3|<a 无解，故实数a 的取值范围为(－∞，8]． 三、解答题17．设f (x )＝a (x －5)2＋6ln x ，其中a ∈R ，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与y 轴相交于点(0,6)． (1)确定a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间与极值． 解 (1)因f (x )＝a (x －5)2＋6ln x ， 故f ′(x )＝2a (x －5)＋6x.令x ＝1，得f (1)＝16a ，f ′(1)＝6－8a ， 所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为 y －16a ＝(6－8a )(x －1)，由点(0,6)在切线上可得6－16a ＝8a －6，故a ＝12.(2)由(1)知，f (x )＝12(x －5)2＋6ln x (x >0)，f ′(x )＝x －5＋6x ＝(x －2)(x －3)x .令f ′(x )＝0，解得x 1＝2，x 2＝3. 当0<x <2或x >3时，f ′(x )>0， 故f (x )在(0,2)，(3，＋∞)上为增函数；当2<x <3时，f ′(x )<0，故f (x )在(2,3)上为减函数．由此可知f (x )在x ＝2处取得极大值f (2)＝92＋6ln 2，在x ＝3处取得极小值f (3)＝2＋6ln 3.18．某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定：在一次摸奖中，摸奖者先从装有3个红球与4个白球的袋中任意摸出3个球，再从装有1个蓝球与2个白球的袋中任意摸出1个球，根据摸出4个球中红球与蓝球的个数，设一、二、三等奖如下：(1)求一次摸奖恰好摸到1个红球的概率；(2)求摸奖者在一次摸奖中获奖金额X 的分布列与期望E (X )．解 设A i 表示摸到i 个红球，B j 表示摸到j 个蓝球，则A i (i ＝0,1,2,3)与B j (j ＝0,1)独立．(1)恰好摸到1个红球的概率为P (A 1)＝C 13C 24C 37＝1835.(2)X 的所有可能值为：0,10,50,200，且 P (X ＝200)＝P (A 3B 1)＝P (A 3)P (B 1)＝C 33C 37·13＝1105，P (X ＝50)＝P (A 3B 0)＝P (A 3)P (B 0)＝C 33C 37·23＝2105，P (X ＝10)＝P (A 2B 1)＝P (A 2)P (B 1)＝C 23C 14C 37·13＝12105＝435，P (X ＝0)＝1－1105－2105－435＝67.综上知X 的分布列为从而有E (X )＝0×67＋10×435＋50×2105＋200×1105＝4(元)．19．如图，四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，BC ＝CD ＝2，AC ＝4，∠ACB ＝∠ACD ＝π3，F 为PC 的中点，AF ⊥PB .(1)求P A 的长；(2)求二面角B －AF －D 的正弦值． 解 (1)如图，连接BD 交AC 于点O ，因为BC ＝CD ，即△BCD 为等腰三角形， 又AC 平分∠BCD ，故AC ⊥BD .以O 为坐标原点，OB →，OC →，AP →的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系O －xyz ， 则OC ＝CD cos π3＝1，而AC ＝4，得AO ＝AC －OC ＝3， 又OD ＝CD sin π3＝ 3.故A (0，－3,0)，B (3，0,0)，C (0,1,0)，D (－3，0,0)． 因P A ⊥底面ABCD ，可设P (0，－3，z )， 因为F 为PC 的中点，所以F ⎝⎛⎭⎫0，－1，z2. 又AF →＝⎝⎛⎭⎫0，2，z 2，PB →＝(3，3，－z )， 因AF ⊥PB ，故AF →·PB →＝0，即6－z 22＝0，z ＝23(舍去－23)，所以|P A →|＝2 3.(2)由(1)知AD →＝(－3，3,0)，AB →＝(3，3,0)，AF →＝(0,2，3)．设平面F AD 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，平面F AB 的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)． 由n 1·AD →＝0，n 1·AF →＝0得⎩⎨⎧－3x 1＋3y 1＝0，2y 1＋3z 1＝0，因此可取n 1＝(3，3，－2)． 由n 2·AB →＝0，n 2·AF →＝0得⎩⎨⎧3x 2＋3y 2＝0，2y 2＋3z 2＝0，故可取n 2＝(3，－3，2)． 从而法向量n 1，n 2的夹角的余弦值为 cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝18.故二面角B －AF －D 的正弦值为378.20．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且a 2＋b 2＋2ab ＝c 2. (1)求C ；(2)设cos A cos B ＝325，cos (α＋A )cos (α＋B )cos α＝25，求tan α的值．解 (1)因为a 2＋b 2＋2ab ＝c 2，由余弦定理有cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－2ab 2ab ＝－22.又0<C <π，故C ＝3π4.(2)由题意得(sin αsin A －cos αcos A )(sin αsin B －cos αcos B )cos α＝25.因此(tan αsin A －cos A )(tan αsin B －cos B )＝25， tan 2αsin A sin B －tan α(sin A cos B ＋cos A sin B )＋cos A cos B ＝25， tan 2αsin A sin B －tan αsin(A ＋B )＋cos A cos B ＝25.① 因为C ＝3π4，A ＋B ＝π4，所以sin(A ＋B )＝22，因为cos(A ＋B )＝cos A cos B －sin A sin B ， 即325－sin A sin B ＝22，解得sin A sin B ＝325－22＝210.由①得tan 2α－5tan α＋4＝0， 解得tan α＝1或tan α＝4.21．如图，椭圆的中心为原点O ，长轴在x 轴上，离心率e ＝22，过左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于A ，A ′两点，|AA ′|＝4.(1)求该椭圆的标准方程；(2)取垂直于x 轴的直线与椭圆相交于不同的两点P ，P ′，过P ，P ′作圆心为Q 的圆，使椭圆上的其余点均在圆Q 外．若PQ ⊥P ′Q ，求圆Q 的标准方程． 解 (1)由题意知点A (－c,2)在椭圆上， 则(－c )2a 2＋22b 2＝1.从而e 2＋4b2＝1.由e ＝22得b 2＝41－e 2＝8，从而a 2＝b 21－e 2＝16.故该椭圆的标准方程为x 216＋y 28＝1.(2)由椭圆的对称性，可设Q (x 0,0)．又设M (x ，y )是椭圆上任意一点，则|QM |2＝(x －x 0)2＋y 2＝x 2－2x 0x ＋x 20＋8⎝⎛⎭⎫1－x 216＝12(x－2x 0)2－x 20＋8 (x ∈[－4,4])．设P (x 1，y 1)，由题意，P 是椭圆上到Q 的距离最小的点．因此，上式当x ＝x 1时取最小值，又因x 1∈(－4,4)，所以上式当x ＝2x 0时取最小值，从而x 1＝2x 0，且|QP |2＝8－x 20.因为PQ ⊥P ′Q ，且P ′(x 1，－y 1)，所以QP →·QP ′→＝(x 1－x 0，y 1)·(x 1－x 0，－y 1)＝0， 即(x 1－x 0)2－y 21＝0.由椭圆方程及x 1＝2x 0得14x 21－8⎝⎛⎭⎫1－x 2116＝0， 解得x 1＝±463，x 0＝x 12＝±263.从而|QP |2＝8－x 20＝163. 故这样的圆有两个，其标准方程分别为⎝⎛⎭⎫x ＋2632＋y 2＝163，⎝⎛⎭⎫x －2632＋y 2＝163.22．对正整数n ，记I n ＝{1,2,3，…，n }，P n ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫mk |m ∈I n ，k ∈I n .(1)求集合P 7中元素的个数；(2)若P n 的子集A 中任意两个元素之和不是整数的平方，则称A 为“稀疏集”．求n 的最大值，使P n 能分成两个不相交的稀疏集的并． 解 (1)当k ＝4时，⎩⎨⎧⎭⎬⎫mk |m ∈I 7中有3个数与I 7中的3个数重复，因此P 7中元素的个数为7×7－3＝46.(2)先证：当n ≥15时，P n 不能分成两个不相交的稀疏集的并．若不然，设A ，B 为不相交的稀疏集，使A ∪B ＝P n ⊇I n .不妨设I ∈A ，则因1＋3＝22，故3∉A ，即3∈B .同理6∈A,10∈B ，又推得15∈A ，但1＋15＝42，这与A 为稀疏集矛盾． 再证P 14符合要求．当k ＝1时，⎩⎨⎧⎭⎬⎫m k|m ∈I 14＝I 14可分成两个稀疏集之并，事实上，只要取A 1＝{1,2,4,6,9,11,13}，B 1＝{3,5,7,8,10,12,14}，则A 1，B 1为稀疏集，且A 1∪B 1＝I 14. 当k ＝4时，集⎩⎨⎧⎭⎬⎫mk |m ∈I 14中除整数外剩下的数组成集⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，32，52，…，132，可分解为下面两稀疏集的并：A 2＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，52，92，112，B 2＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫32，72，132.当k ＝9时，集⎩⎨⎧⎭⎬⎫mk |m ∈I 14中除正整数外剩下的数组成集⎩⎨⎧⎭⎬⎫13，23，43，53，…，133，143.可分解为下面两稀疏集的并：A 3＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫13，43，53，103，133，B 3＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫23，73，83，113，143.最后，集C ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫mk |m ∈I 14，k ∈I 14，且k ≠1，4，9中的数的分母均为无理数，它与P 14中的任何其他数之和都不是整数，因此，令A ＝A 1∪A 2∪A 3∪C ，B ＝B 1∪B 2∪B 3.则A 和B 是不相交的稀疏集，且A ∪B ＝P 14. 综上，所求n 的最大值为14. (注：对P 14的分拆方法不是唯一的)。
重庆市2013年高考数学(理科)考前模拟题及答案
重庆市2013年（春）高三考前模拟测试数学（理）试题满分150分。
考试时间120分钟。
注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。
2．答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。
3．答非选择题时，必须使用0．5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
5．考试结束后，将试题卷和答题卡一并收回。
6．考生注意：（14）、（15）、（16）三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分。
一、选择题：本大题10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．在复平面内，复数3(2ii i-+为虚数单位）对应的点在A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知向量(2,),(1,2)a k b ==，若a ／／b ，则k 的值为A ．4B ．1C ．－1D ．－43．设{a n }是等比数列，函数y=x 2－x －2013的两个零点是a 2，a 3，则a l a 4= A ．2013 B ．1 C ．－1 D ．－2013 4．“a=2”是“1(0,),18x ax x∀∈+∞+≥”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件5．3名大学生分配到4个单位实习，每个单位不超过2名学生，则不同的分配方案有 （A ） 10种 B ．36种 C ． 48种 D ． 60种6．一个几何体的三视图如题（6）图所示，则这个几何体的体积为 A ．6．5 B ．7 C ．7．5 D ．87．对于数集A ，B ，定义A+B={x|x=a+b ，a ∈A ，b ∈B ）， A ÷B={x|x=ab，,}a A b B ∈∈，若集合A={1，2}，则集合（A+A ）÷A 中所有元素之和为A ．102B ．152C ．212D ．2328．已知函数y=sinax+b （a>0）的图象如题（8）图所示，则函数y=log a （x －b ）的图象可能是9．已知A 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左顶点，F 1、F 2分别为双曲线的左、右焦点，P 为双曲线上一点，G 是△PF 1F 2的重心，若1GA PF λ=，则双曲线的离心率为 A ．2 B ．3 C ．4 D ．与λ的取值有关10．某学生在复习指数函数的图象时发现：在y 轴左边，y=3x 与y=2x 的图象均以x 轴负半轴为渐近线，当x=0时，两图象交于点（0，1）．这说明在y 轴的左边y=3x 与y=2x 的图象从左到右开始时几乎一样，后来y=2x 的图象变化加快使得y=2x 与y=3x 的图象逐渐远离，而当x 经过某一值x 0以后 y= 3x 的图象变化加快使得y=2x 与y=3x 的图象又逐渐接近，直到x=0时两图象交于点（0，1）．那么x 0=A ．31(12)n ogB ．2231(13)og ogC ．32221(13)1(13)og og og og -D ．213og -二、填空题：本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分把答案填写在答题卡相对应位置上．11．某商场有来自三个国家的进口奶制品，其中A 国、B 国、C 国的奶制品分别有40种、10种、30种，现从中抽取一个容量为16的样本进行三聚氰胺检测，若采用分层抽样的方法抽取样本， 则抽取来自B 国的奶制品 种． 12．定义一个新的运算a*b ：a*b=2a b+，则同时含有运算符号“*”和“+”且对任意三个实数a ，b ，c 都能成立的一个等式可以是 （只要写出一个即可） 13．执行如题（13）图所示的程序框图，输出的结果为 。
2013年高考理科数学重庆卷(含详细答案)
数学试卷 第1页（共24页） 数学试卷 第2页（共24页）绝密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）数学试题卷（理工农医类）数学试题卷（理工农医类）共4页.满分150分.考试时间120分钟. 注意事项：1.答题前,务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上.2.答选择题时,必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦擦干净后,再选涂其他答案标号.3.答非选择题时,必须使用0.5毫米黑色签字笔,将答案书写在答题卡规定的位置上.4.所有题目必须在答题卡上作答,在试题卷上答题无效.5.考试结束后,将试题卷和答题卡一并交回. 特别提醒：14、15、16三题为选做题,请从中任选两题作答,若三题全做,则按前两题给分. 一、选择题：本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个备选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知全集{1,2,3,4}U =,集合={1,2}A ,={2,3}B ,则()U AB =ð( ) A .{1,3,4}B .{3,4}C .{3}D .{4} 2.命题“对任意x ∈R ,都有20x ≥”的否定为( )A .对任意x ∈R ,都有20x <B .不存在x ∈R ,使得20x <C .存在0x ∈R ,使得20x ≥ D .存在0x ∈R ,使得20x < 3(63)a -≤≤的最大值为 ( )A .9B .92C .3D4.（单位：分）.7424已知甲组数据的中位数为15,乙组数据的平均数为16.8,则x ,y 的值分别为( ) A .2,5B .5,5C .5,8D .8,85.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )A .5603 B .5803C .200D .2406.若a b c <<,则函数()()()()()()()f x x a x b x b x c x c x a =--+--+--的两个零点分别位于区间( )A .(,)a b 和(,)b c 内B .(,)a -∞和(,)a b 内C .(,)b c 和(,)c +∞内D .(,)a -∞和(,)c +∞内7.已知圆1C ：22(2)(3)1x y -+-=,圆2C ：22(3)(4)9x y -+-=,M ,N 分别是圆1C ,2C 上的动点,P 为x 轴上的动点,则||||PM PN +的最小值为( ) A .4 B 1 C .6-D 8.执行如图所示的程序框图,如果输出3s =,那么判断框内应填入的条件是( )A .6k ≤ B .7k ≤ C .8k ≤D .9k ≤9.4cos50tan 40-=( ) ABC D .1 姓名________________ 准考证号_____________-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷 第3页（共24页） 数学试卷 第4页（共24页）10.在平面上,12AB AB ⊥,12||||1OB OB ==,12AP AB AB =+.若1||2OP <,则||OA 的取值范围是( ) A. B. C. D. 二、填空题：本大题共6小题,考生作答5小题,每小题5分,共25分.把答案填写在答题卡相应位置上.11.已知复数5i12iz =+（i 是虚数单位）,则||z = . 12.已知{}n a 是等差数列,11a =,公差0d ≠,n S 为其前n 项和,若1a ,2a ,5a 成等比数列,则8S = .13.从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组,则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是 （用数字作答）.考生注意：14、15、16三题为选做题,请从中任选两题作答,若三题全做,则按前两题给分. 14.（几何证明选讲）如图所示,在ABC △中,90C ∠=,60A ∠=,20AB =,过C 作ABC △的外接圆的切线CD ,BD CD ⊥,BD 与外接圆交于点E ,则DE 的长为 . 15.（坐标系与参数方程）在直角坐标系xOy 中,以原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若极坐标方程为cos 4ρθ=的直线与曲线23,,x t y t ⎧=⎨=⎩（t 为参数）相交于A ,B 两点,则||AB = .16.（不等式选讲）若关于实数x 的不等式|5||3|x x a -++<无解,则实数a 的取值范围是 . 三、解答题：本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分13分,（Ⅰ）小问6分,（Ⅱ）小问7分）设2()(5)6ln f x a x x =-+,其中a ∈R ,曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与y 轴相交于点(0,6). （Ⅰ）确定a 的值；（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间与极值.18.（本小题满分13分,（Ⅰ）小问5分,（Ⅱ）小问8分）某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定：在一次摸奖中,摸奖者先从装有3个红球与4个白球的袋中任意摸出3个球,再从装有1个蓝球与2个白球的袋中任意摸出1其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级. （Ⅰ）求一次摸球恰好摸到1个红球的概率；（Ⅱ）求摸奖者在一次摸奖中获奖金额X 的分布列与期望()E X . 19.（本小题满分13分,（Ⅰ）小问5分,（Ⅱ）小问8分）如图,四棱锥P ABCD -中,PA ⊥底面ABCD ,BC CD=2=,4AC =,π3ACB ACD ∠=∠=,F 为PC 的中点,AF PB ⊥.（Ⅰ）求PA 的长；（Ⅱ）求二面角B AF D --的正弦值.20.（本小题满分12分,（Ⅰ）小问4分,（Ⅱ）小问8分）在ABC △中,内角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ,且222a b c +=. （Ⅰ）求C ；（Ⅱ）设cos cos A B =,2cos()cos()cos A B ααα++=求tan α的值. 21.（本小题满分12分,（Ⅰ）小问4分,（Ⅱ）小问8分）如图,椭圆的中心为原点O ,长轴在x 轴上,离心率e =过左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于A ,A '两点,||4AA '=. （Ⅰ）求该椭圆的标准方程；（Ⅱ）取垂直于x 轴的直线与椭圆相交于不同的两点P ,P ',过P ,P '作圆心为Q的圆,使椭圆上的其余点均在圆Q 外.若PQ P Q '⊥,求圆Q 的标准方程.22.（本小题满分12分,（Ⅰ）小问4分,（Ⅱ）小问8分）对正整数n ,记{1,2,,}n I n =⋅⋅⋅,|,k }n n n P m I I =∈∈. （Ⅰ）求集合7P 中元素的个数； （Ⅱ）若n P 的子集A 中任意两个元素之和不是整数的平方,则称A 为“稀疏集”.求n 的最大值,使n P 能分成两个不相交的稀疏集的并.2013年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）数学试题卷（理工农医类）答案解析A B=){4}{1,2,3}A B=求出两集合的并集，由全集U，找出不属于并集的元素，即可求出所求的集合．- 3 - / 12()())0()0cf b f b f<<，，所以该函数在【提示】由函数零点存在判定定理可知：在区间数，最多有两个零点，即可判断出．log(k k⨯⨯，又∵不满足判断框内的条件时才能输出- 4 -- 5 - / 12D【解析】因为AB AB ⊥，所以可以为原点，分别以AB ，AB 所在直线为(,0)a ，2(0,)B b ，则2(,)AP AB AB a b =+=即||||1OB OB ==，得)1b -= 所以()1x a y -=-1||OP <，得所以24x <+||OA 的取值范围是【提示】建立坐标系，将向量条件用等式与不等式表示，利用向量模的计算公式，即可得到结论．DE DB，可求得的边角关系即可得出CD，BD DE DB，即可得出- 6 -3 3 3113105=- 7 - / 12- 8 -333223105=141123105C ==【解析】（Ⅰ）如图，连接BD 交AC 于O ，因为BC CD =，BD OB OC AP ，，的方向分别为而4AC =，得- 9 - / 12又(0,2,2AF =，(3,3,PB =故0AF PB =，即602-=因此，(3,3,PA =||23PA =（Ⅱ）由（Ⅰ）知(3,3,0)AD =-，(3,3,0)AB =，(0,2,AF =的法向量为1(,)n x y =，平面FAB 的法向量为(,n x =由10n AD =，10n AF =，得⎧-⎪⎨，因此可取(3,3,n =-由20n AB =，20n AF =，得，因此可取(3,n =-从而法向量n n 的夹角的余弦值为1221,8||||n n n n n n ==．AF D --的正弦值为，从而得到(3,3,PA =（Ⅱ）由（Ⅰ）的计算，得(3,3,0)AD =-，(3,3,0)AB =，(0,2,AF =的方法建立方程组，解出1(3,n =和2(3,n =-分别为平面用空间向量的夹角公式算出1n n 夹角的余弦，结合同角三角函数的平方关系即可算出二面角- 10 -- 11 - / 12所以101101(,)(,)0QP QP x x y x x y '=---=由椭圆方程及102x x =得2211181416x x ⎛⎫--= ⎪⎝⎭n A B P =⊇，即3B ∈．- 12 - 1114=B I ．14I ⎫∈⎬⎭中除整数外剩下的数组成集合13,,2⎫⎬⎭，可分解为下面两稀疏集的1314,,,33⎫⎬⎭123A A C ，123B B B =．是不相交的稀疏集，且14A B P =．的最大值为14.（注：对14P 的分拆方法不是唯一的）4时，根据。
重庆一中高2013级12-13学年(下)高考模拟——数学理
秘密★启用前2013级重庆一中高考模拟试题数 学 试 题 卷（理科）2013.5数学试题共4页。
满分150分。
考试时间120分钟。
注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。
2.答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。
3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
一．选择题：本大题共10个小题，每小题5分，满分50分. 1.复数ii 1-等于( )A.i 2B. 0C.i +1D.i 2-2.已知集合{}0,1,3M =,集合{}3,N x x a a M ==∈, 则M N =( )A.{}0B.{}0,3C. {}1,3,9D. {}0,1,3,93.设点M 是半径为R 的圆周上一个定点，其中O 为圆心，连接OM ，在圆周上等可能地取任意一点N ，连接MN ，则弦MN的概率为( )A.61B.31 C.41 D.21 4.执行右下方的程序框图,若输入的N 是4,则输出p 的值是( ) A.6 B.24 C.60 D.1205.某正三棱柱(底面是正三角形的直棱柱)的底面边长和侧棱长均为a , 体积为32. 正视图和俯视图如左上方所示. 则它的侧视图面积为( )第5题图俯视图第4题图A. 4B.32C.2D.36.给出以下结论：（1）命题P : “∃02,00≤∈x R x ”,则P ⌝是: “02,00>∈∀x R x ”;（2）若*(31)()n x n N -∈的展开式中各项系数和为128, 则展开式中2x 项的系数是189-. （3）已知2013届重庆市“二诊”考试的数学成绩)0)(,90(~2>σσξN ，统计结果显示6.0)11070(=≤≤ξP ，则2.0)70(=<ξP ;其中结论正确的个数为( ) A.3B.2C.1D.07.《莱因德纸草书》（Rhind Papyrus ）是世界上最古老的数学著作之一，书中有这样的一道题目：把100个面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的17是较小的两份之和，则最小1份为( ) A.56B.103 C .53D.1168.某地为“我的中国梦”主题歌咏比赛,特组织了3支青年队,2支中年队,1支老年队参数.现将这6支队伍排成一个节目单,要求同年龄段的队伍不相邻,则不同的排法有( )种.A.48 B .60 C.120 D.3209.正整数1210,,...,a a a 满足1021a a a <<< ,且2221210...a a a +++2013≤,则85a a -最大可取( ). A.17B.18C.19D.2010.已知函数⎩⎨⎧>≤-=)0(log )0()(2x x x xx f ，则函数[()]1y f f x =+的零点个数是( )A.4B.3C. 2D.1二．填空题：其中11~13小题为必做题，14~16小题为选做题，每小题5分，满分25分.（一）必做题11. 某产品的广告费用x (万元)与销售额y (万元)的统计数据如下表：根据上表中的数据用最小二乘法求得回归方程a x yˆ5ˆ+=，则由此可算得=aˆ . 12. 在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边是a 、b 、c ，)21,23()cos ,(sin ==n A A m ，.若C B sin 3sin =，1=⋅n m 且=∆ABC S 433，则=c .13. 已知直线1:4l x =和2:2160l x y +-=,椭圆22143x y +=上的动点P 到1l 和2l 的距离分别为12,d d , 则122d d +的最小值是 . （二）选做题（考生任选两题作答，若三题都做，则按前面两题给分） 14. 如右图, PC 与圆O 相切于点C , 割线PAB 经过圆心O ,4,8PC PB ==, 则线段BC 的长为 .15. 直线l 与圆⎩⎨⎧+-==θθsin 21cos 2:y x C (θ为参数)相交于A 、B 两点.现取与直角坐标系xOy 相同的单位长度, 且以原点O 为极点, 以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标. 若弦AB 的中点极坐标是)4,2(π-, 则直线l 的倾斜角为 ．16. 若关于x 的不等式a x x +≥+||2|1|有实数解,则a 的取值范围是 . 三、解答题: 本大题共6小题，满分75分.解答应写文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分13分）已知)1ln(4)()(2++-=x a x x f 的图像在))1(,1(f 处的切线与y 轴垂直. (1)求实数a 的值; (2)求)(x f 的极值.18.（本小题满分13分）已知函数2()2sin cos 2cos 1f x x x x =-++(1)设方程()10f x -=在(0，π)内有两个零点12x x 、，求12x x +的值；(2)若把函数()y f x =的图像向左移动m (0)m >个单位，再向下平移2个单位，使所得函数的图象关于y 轴对称，求m 的最小值。
重庆市2013年高考模拟数学(理)试题4
（2）法一：如图建立空间直角坐标系
A xyz
1 2
[来源:学|科|网 Z|X|X|K]
则 A0,0,0, B0,2,0, C 1,1,0, D1,0,0, P0,0,1, M 0,1,
故 AC 1,1,0, AM 0,1, ,设面 AMC 的法向量为 n1 x1 , y1 , z1 ，则有
[来源:学科网]
19． 已知四棱锥 P ABCD 的底面为直角梯形, AB // DC, DAB 90, PA 底面 ABCD ,且
PA AD DC
1 AB 1, M 2
是 PB 的中点.(1)判断在 PD 上是否存在一点 E ,使面
ABE 面
PCD ,并说明理由;(2)求面 AMC 与面 BMC 所成的二面角正弦值的大小;
又 f ( x) 的定义域为 0, f ( x) 在 0, 上单减，在 ,2 单增，在 2, 单减
1 2
1 2
Go the distance
5 3 f ( x) 在 x 2 处取得极大值为 f 2 ln 2 2 2
2 2 1 1 m m 1 1 1 1 m m 1 （2） f x m x 2 4 x x m
2 3
,在 RtPAB中，得AM
5 ， 2
在 RtPBC中，得MC
6 5 ,而 AC= 2 故在 AMC 中，由面积相等求得： AR 2 5
AQ 5 AR 3
故在 RtAQR中，得 sin ARQ 20.（1）当 m=2 时， f ( x)
5 1 5 1 (2 x 1)x 2 ln x x f ( x) 2 1 2 x 2x x 2x 2
13年高考真题——理科数学(重庆卷)
2013年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）数学试题卷（理工农医类）特别提醒：（14）、（15）、（16）三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分。
一．选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给也的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）（1）已知集合{}1,2,3,4U =，集合{}=1,2A ，{}=2,3B ，则()U A B =ð（ ）（A ）{}1,3,4 （B ）{}3,4 （C ）{}3 （D ）{}4（2）命题“对任意x R ∈，都有20x ≥”的否定为（ ）（A ）对任意x R ∈，使得20x < （B ）不存在x R ∈，使得20x <（C ）存在0x R ∈，都有200x ≥ （D ）存在0x R ∈，都有200x <（3（63a -≤≤）的最大值为（ ）（A ）9 （B ）92（C ）3（D（4）以下茎叶图记录了甲、乙两组各5名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）。
已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x 、y 的值分别为（ ）（A ）2、5 （B ）5、5 （C ）5、8 （D ）8、8（5）某几何体的三视图如题（5）图所示，则该几何体的体积为（ ） （A ）5603 （B ）5803（C ）200 （D ）240 （6）若a b c <<，则函数()()()()()()()f x x a x b x b x c x c x a =--+--+--两个零点分别位于区间（ ） （A ）(),a b 和(),b c 内 （B ）(),a -∞和(),a b 内 （C ）(),b c 和(),c +∞内 （D ）(),a -∞和(),c +∞内（7）已知圆1C ：()()22231x y -+-=，圆2C ：()()22349x y -+-=，M 、N 分别是圆1C 、2C 上的动点，P 为x 轴上的动点，则||||PM PN +的最小值为（ ）（A ）4 （B 1 （C ）6- （D （8）执行如题（8）图所示的程序框图，如果输出3s =，那么判断框内应填入的条件是（ ）（A ）6k ≤ （B ）7k ≤ （C ）8k ≤ （D ）9k ≤（9）004cos50tan 40-=（ ）（A （B ）2（C （D ）1 （10）在平面上，12AB AB ⊥，12||||1OB OB ==，12AP AB AB =+。
重庆市2013年高考模拟数学(理)试题11
22.设正项数列 {an } 的前 n 项和为 S n ，且满足 a1＝
n
3 3 2 * ， S n 1 S n an 1 (n N ) ；数列 2 4
e 2 (1 2 S n )bn {bn}满足，b1＝1，bn＋1＝ （其中 e 为自然对数的底数） ． 2Sn
(Ⅰ) 求 {an } 的通项公式 an ； (Ⅱ) 求证： bn e2 .
则 E(X)＝20E(Y)－10＝20×
[来源:学科网 ZXXK]
分布 B(4,
2 )， 3
2 3 1 2 4 16 ) × ＋( ) ＝ ． 3 3 27 3 19．(Ⅰ)解：以 A 为坐标原点，AD 长为单位长度，如图建立空间直
3 故至少有 3 人获得礼品的概率 P＝ C 4 (
Go the distance
角坐标系，则各点坐标为 A(0,0,0)，B(0,2,0)，C(1,1,0)，D(1,0,0)，P(0,0,1)，M(0,1， 1 )．因 AC ＝(1,1,0)， PB ＝(0,2，－1)， 2 故| AC |＝ 2，| PB |＝ 5， AC · PB ＝2， 10 AC · PB 所以 cos< AC ， PB >＝ ＝ . 5 | AC |·| PB | (2)在 MC 上取一点 N(x，y，z)，则存在 λ∈R，使 NC ＝λ MC ，
x 4 cos , 动点，点 N 为曲线 C2： （ 为参数）上的动点，若 m y 3sin
O B M P
题(14)图
为线段 MN 的最大长度， n 为线段 MN 的最短长度，则 m n ＝_________ 16.若 x R ，则使不等式 | x 2 | | 2 x 8 | a(a 1) 恒成立的实数 a 的取值范围为______
2013年重庆高考模拟调研卷理数3
2013年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）数学（理工类）高考模拟调研卷（三）数学试题卷（理工类），满分150分。
考试时间120分钟。
注意事项：1. 答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。
2. 答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。
3. 答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4. 所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
5. 考试结束后，将试题卷和答题卡一并收回。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）已知i 是虚数单位，则43173425i ii +++=+ （A ）1425i （B ）1 （C ）i （D ）14125i -（2）已知集合{1,2,3,4}A =，{2,3,4,5}B =，则集合{|,,}y y a b a A b B =+∈∈中元素个数为（A ）5（B ）6（C ）7（D ）8（3）已知函数()2sin()(0)3f x x πωω=+>的最小正周期为4π，则cos()3πωπ+=（A ）12- （B ）12 （C（D）（4）“0a b >>”是“ln 0ab>”的（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件（5）一个三棱锥的三视图如题5（A ）1003（B）30（C ）90（D ）503题5图正视图侧视图（6）已知等差数列{}n a 的首项10a >，公差0d <，181153a a =，则其前n 项和n S 的最大值为（A ）25S （B ）26S（C ）27S（D ）28S（7）已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>+=)0)(3(log )0≤()31()(3x x x x f x，若3≤)(x f ，则x 的取值范围是 （A ）]24,1[- （B ）),24[]1,(+∞--∞ （C ）]24,0[（D ）),24[+∞（8）已知圆:C 22430x y x +-+=，过原点随机作一条直线l ，则l 与圆C 不相交的概率为（A ）56（B ）16（C ）23 （D ）13 （9）已知实数a 、b 满足230a b -+≥，函数321()3f x x ax bx =++无极值，则1+2b a +的取值范围为（A）[4]- （B）134,]14（C）4,2]（D ）13[,2]14（10）已知F 为抛物线22(0)y px p =>的焦点，过F 的直线l 交抛物线于1122(,),(,)A x y B x y ，O 为坐标原点，若OAB ∆的面积为2p ，则2212y y +（A ）210p （B ）212p （C ）214p（D ）216p二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填写在答题卡相应位置上．（11）已知向量(3,2),(3,2)AB k CD ==，AB 与CD共线，则实数k = .（12）41(1)x x++展开式中常数项为 . （13）执行题13图给出的程序框图，输出的S = .考生注意：14～16题为选做题，请从中任选两题作答，若三题 全做，则按前两题给分．题13图（14）如题14图，AB 为圆O 的直径，P 为AO 的中点，CD 为过P 的任一条弦，则CPBAPDS S ∆∆的取值范围为 .（15）已知直线:1l mx ny +=与曲线1cos 2:1sin 2x C y ϕϕ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（ϕ为参数）无公共点，则过点(,)m n 的直线与曲线222364cos 9sin ρθθ=+的公共点个数为 .（16）关于x 的不等式|5+1|23x x <-的解集为 .三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． （17）（本小题满分13分）若2()sin sin cos (0)f x ax ax ax a =->的最小正周期为2π． （Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）求()f x 的单调递减区间．（18）（本小题满分13分）一盒中装有大小形状均相同的6个小球，其中有4个黑球2个白球，现从中无放回的随机取出小球，每次取一个，直到将两个白球全部取出为止，设此时盒中剩余的黑球数为ξ．（Ⅰ）求取出的第三个球为白球的概率； （Ⅱ）求随机变量ξ的概率分布列及数学期望．（19）（本小题满分13分）如题19图，四边形ABCD 是矩形，平面⊥ABCD 平面ABF ，E G ,分别是边AB DF ,的中点，90,1,2=∠===ABF BC BF AB ．（Ⅰ）求证：⊥GE 平面CDF ；（Ⅱ）在边FD 上是否存在一点P ，使直线AP 与平面DEF 所成角的正弦值为71，若存在，求出P 的位置，若不存在，说明理由．题19图B DCFEGA图（20）（本小题满分12分）已知函数()(1)xaf x e x=-(0)x >，其中e 为自然对数的底数．（Ⅰ）当2a =时，求曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积； （Ⅱ）若函数()f x 存在一个极大值点和一个极小值点，且极大值与极小值的积为5e ，求a 的值．（21）（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的下顶点在抛物线2x =的准线上，且椭圆C 的离心率为12．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设直线:l x my t =+与椭圆C 相交于不同的两点,A B ，与x 轴、y 轴分别相交于点D 、E ．若EA AD λ=，EB BD μ=，[1,1]t ∈-，求λμ+的取值范围．（22）（本小题满分12分）已知数列}{n a 满足：)1,0(1∈a ，121+=+n n n a a a ，其中*N n ∈． （Ⅰ）证明：对任意*N n ∈，有10<<n a ； （Ⅱ）证明：212222211)1()1()1()1(a na a a a a a a n n n +<++++++ ，其中*N n ∈且1n >．。
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18.某高校设计了一个实验学科的实验考查方案： 考生从 6 道备选题中一次性随机抽取 3 题， 按照题目要求独立完成全部实验操作。规定：至少正确完成 其中 2 题的便可提交通过。已 知 6 道备选题中考生甲有 4 道题能正确完成，2 道题不能完成；考生乙每题正确完成的概率 都是
2 ，且每题正确完成与否互不影响。 3
[来源:学。科。网]
[来源:]
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重庆市 2013 年高考数学模拟题(理工类)（8）参考答案
一．选择题：BACCB CDACD 二．填空题 11. (2,3)∪(3,4) 三． 解答题 17.解： （Ⅰ） m n 12. 0.018 13. [ ,2)
A. (1,1)
0.5
C. (1, 1)
2. 若 a 2 , b log 3, c log 2 sin A． a
2 ,则 （ 5
） D． b
bc
B． b
ac
C． c a b
ca
）
3.在等比数列 {an } 中，若 a2 a3 2, a12 a13 3 ，则 a 22 a 23 的值是（ A．
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重庆市 2013 年高考数学模拟题(理工类)（8）
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的. 1.复数
(1 i ) 2 在复平面上对应的点的坐标是（ 1 i
B. (1,1)
） D. (1, 1)
所以考生甲正确完成实验操作的题数的概率分布列为：
P
1
2
3
1 3 5 5 1 3 1 E ( ) 1 2 3 2 5 5 5
1 5
~ B(3, )
因为
2 2 3 ,所以考生乙正确完成实验操作的题数的期望 E 3 3 2
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P( 2)
）
8.已知 a, b 0, , 且 2a b 1, 则 s 2 ab 4a b 的最大值为（
A.
2 1 2
B. 2 1
C. 2 1
D.
2 1 2
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9.现有 16 张不同的卡片,其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各 4 张.从中任取 3 张,要求这 3 张卡片不能是同一种颜色,且红色卡片至多 1 张.不同取法的种数为（ ） A. 232 B. 252 C .472 D.484
20.多面体 ABCDEF 中， M、 N 分别为 EC、 AB 的中点， 底面 ABCD 为菱形， 且 BAD 60 ，
ED⊥平面 ABCD，ED∥BF，且 ED=AD=2BF=2. （Ⅰ）求证：MN∥平面 BCF； （Ⅱ）求二面角 A―EF―C 的余弦值.
[来源:学&科&网 Z&X&X&K]
1 1 2 x 2 x 1 ( x 1)(2 x 1) ，由 f ( x) >0 得 x 2 x 1 x 2 ( x 1) x 2 ( x 1)
， 所以 f ( x) 的单调增区间为 (1, )和(1, ) ，单调递减区间为 ( ， 0)和(0， 1) .
cos(
2 1 x) cos( x ) . 3 3 2
（Ⅱ）∵ (2a c) cos B b cos C ， 由正弦定理得 (2sin A sin C ) cos B sin B cos C ， ∴ 2sin AcosB sin C cos B sin B cos C ，∴ 2sin A cos B sin( B C ) ， ∵ A B C ∴ sin( B C ) sin A ，且 sin A 0 ，∴ cos B ∴0 A
90,100 ，则图中 x 的值是
x 1, 0 x 1 13. 已 知 函 数 f ( x) x 1 ， 设 ab0 ， 若 2 , x 1 2
f (a ) f (b) ，则 b f (a ) 的取值范围是
.
注意：14,15,16 三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分。 14.如图,在圆 O 中,直径 AB 与弦 CD 垂直,垂足为 E, EF DB ,垂足为 F,若 AB 6 , AE 1 ,则 DF DB __________. 15.已知直线 l 的参数方程为
9 4
B．
4 9
C．
)
9 2
D．
2 9
4．阅读如图所示的程序框图，则输出的 S＝( A．14 B．20 C．30
D．55
5.若 ( x 2 ) n 展开式的所有二项式系数和为 512，则该展开式中的常数项为 （ ） B． 84 C． 36 ) ． 24+ D． 36
1 x
A． 84
6.某四面体的三视图如图所示，该四面体的表面积是( A． 40 4 34 D． 48 12 2 B． 20 2 34 C
x 1 ax 2 x 1 a 2 x 1 3 3 0 ，即 恒成立，即 2 x ， x 2,4, 2 , a x ( x 1) x 4 4
20. 证明：取 CD 的中点 P，连结 MP，PN，则 MP∥ ED ∵FB∥ ED， ∴MP∥FB，PN∥BC. 在平面 MPN 和平面 BCF 中，由
A1
C2 B O
y P
C1
A x ，满足 x1 4, xn1
x 2 xn 2 ， a n lg n xn 2 2 xn
（1）证明：数列 a n 成等比数列，并求数列 x n 的通项公式； （2） 若 bn xn 2, Tn 是数列 bn 的前 n 项和，证明： Tn 3 。
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21 如图，椭圆 C：
x2 y2 1 的焦点在 x 轴上，左、右顶点分别为 A1 , A ，上顶点为 B．抛 2 a2
物线 C1、C2 分别以 A、B 为焦点，其顶点均为坐标原点 O ，C1 与 C2 相交于直线 y 2 x 上 一点 P． （1）求椭圆 C 及抛物线 C1、C2 的方程； （2）若动直线 l 与直线 OP 垂直，且与椭圆 C 交于不同两点 M、N，已知 点 Q ( 2，0) ，求 QM QN 的最小值．
1 2
1 2
1 f ( x) 的极大值为 f 2 2 ln 2 ，极小值为 f (1) 1 2 ln 2 . 2
（Ⅱ） f ( x)
ax 2 x 1 ， 若 f ( x) 在区间[2， 4]上为增函数， 则当 x [2, 4] 时， f ( x) 0 x 2 ( x 1)
（Ⅱ）因为
3 1 4 12 8 20 , P( 2) 5 5 5 27 27 27 ，所以 P( 2) P( 2)
从做对题的数学期望考察，两人水平相当；从至少正确完成 2 题的概率考察，甲通过的可能 性大，因此可以判断甲的实验操作能力较强。 19.解： （1）由 x 0且x 1 0得函数f ( x)的定义域为( 1, 0) (0, ) ， 又 f ( x)
（Ⅰ）分别写出甲、乙两考生正确完成题数的数学期望； （Ⅱ）试从两位考生正确完成题数的数学期望及甲，乙能通过提交的概率，分析比较两位考 生的实验操作能力.
19.已知函数 f ( x)
1 a ln( x 1) ． x
（Ⅰ）当 a 2 时，求 f ( x) 的单调区间和极值； （Ⅱ）若 f ( x) 在[2，4]上为增函数，求实数 a 的取值范围．
3 ）. 2
故函数 f ( A) 的取值范围是（1,
18.解： （Ⅰ）设考生甲、乙正确完成实验操作的题数分别为 ， ，则 的取值分别为 1、2、 3， 的 取值分别,0、1、2、3，
P( 1)
1 2 2 1 3 0 C4 C2 1 C4 C2 3 C4 C2 1 , P ( 2) , P ( 3) 3 3 3 C6 5 C6 5 C6 5
1 ,B ， 2 3
A 2 A 1 ∴ , sin( ) 1 6 2 6 2 2 2 6 3
又∵ f ( x) m n sin(
A 1 x 1 ) ， ∴ f ( A) sin( ) ， 2 6 2 2 6 2
EF ( 3,1, 1) EA ( 3, 1, 2) EC (0, 2, 2) ，
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设平面 AEF 的法向量为 m ( x, y, z ) ，
x 1 t ( t 为参数)，曲线 C 的极坐标方 y 3t
程为 4 cos 则直线 l 被曲线 C 截得的弦长为 16.存在 x R ，使 3x 1 2 x a 成立，则实数 a 的取值范围是 三.解答题.(共 6 小题,共 75 分) 解答过程应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤， 并写在答题卷相应的位置上．
3 4
14. 5
15.
13
16. a
2 3
3 x 1 x 1 x 1 x x x sin cos ＝ sin( ) 3 sin cos cos 2 ＝ 2 2 2 2 2 2 6 2 4 4 4
∵ m n 1，∴ sin(
x 1 x 1 ) ， cos( x ) 1 2sin 2 ( ) ＝ ， 3 2 6 2 2 6 2
10.已知向量 a ， b 满足 a 1, a b a 2b 0 ,则 b 的取值范围值为（