工程应用数学基础_12_--矩阵序列
矩阵的基本概念和运算
矩阵的基本概念和运算矩阵是线性代数中的基本概念之一，广泛应用于数学、工程学、计算机科学和物理学等领域。
它是一个由数字排列成的矩形阵列，其中的数字称为矩阵的元素。
本文将详细介绍矩阵的基本概念和运算。
一、矩阵的基本概念矩阵由m行n列的数字排列组成，可以表示为一个m×n的矩阵。
其中，m为矩阵的行数，n为矩阵的列数。
每个元素可以用下标表示，例如矩阵A的第i行第j列的元素可以用A(i,j)表示。
二、矩阵的表示和分类矩阵可以用方括号表示，例如A = [aij]，其中aij表示矩阵A的第i 行第j列的元素。
矩阵还可以分为不同的类型，如行矩阵、列矩阵、方阵等。
行矩阵是只有一行的矩阵，可以表示为A = [a1, a2, ..., an]，其中ai 为矩阵A的第i个元素。
列矩阵是只有一列的矩阵，可以表示为A = [a1; a2; ...; an]，其中ai 为矩阵A的第i个元素。
方阵是行数和列数相等的矩阵，可以表示为A = [aij]，其中i和j都从1到n。
三、矩阵的运算1. 矩阵的加法对于两个相同大小的矩阵A和B，它们的加法可以定义为A + B = [aij+ bij]，其中aij和bij分别为矩阵A和B的对应元素。
2. 矩阵的减法对于两个相同大小的矩阵A和B，它们的减法可以定义为A - B = [aij- bij]，其中aij和bij分别为矩阵A和B的对应元素。
3. 矩阵的数乘对于一个矩阵A和一个实数k，它们的数乘可以定义为kA = [kaij]，其中aij为矩阵A的元素。
4. 矩阵的乘法对于两个矩阵A和B，它们的乘法可以定义为C = AB，其中C的第i行第j列的元素可以表示为C(i,j) = ∑(ai,k * bk,j)，其中k从1到n，n为矩阵A和B的列数。
四、矩阵的转置矩阵的转置是将矩阵的行和列互换得到的新矩阵。
例如，若A = [aij]为一个m×n的矩阵，它的转置矩阵记作AT，即AT = [aji]，其中a ji为矩阵A的第j行第i列的元素。
矩阵及应用
矩阵及应用矩阵是数学中一个非常重要的概念，它在数学和各个学科中有着广泛的应用。
在数学中，矩阵被用于解线性方程组、计算线性变换和表示向量等等。
在物理学、经济学和计算机科学等领域，矩阵也被广泛地应用于建模和计算中。
首先，让我们来了解一下矩阵的定义和基本概念。
矩阵是一个按照矩形排列的数的集合，通常用方括号或圆括号表示。
一个矩阵有m行n列，可以表示为一个m×n的矩阵。
一个矩阵中的每个元素都可以用行号和列号来确定，如A[i,j]表示矩阵A的第i行第j列的元素。
矩阵的加法和数乘定义如下：设A和B是两个m×n的矩阵，k是一个数，则定义A+B和kA如下：A+B = [a[i,j] + b[i,j]]kA = [ka[i,j]]矩阵的乘法定义如下：设A是一个m×n的矩阵，B是一个n×p的矩阵，则定义AB如下：AB = [c[i,j]]，其中c[i,j] = a[i,1]*b[1,j] + a[i,2]*b[2,j] + ... + a[i,n]*b[n,j]矩阵的转置定义如下：设A是一个m×n的矩阵，将A的所有元素按照对角线互换得到一个n×m的矩阵，称为A的转置矩阵，记作AT。
矩阵的逆定义如下：设A是一个n×n的矩阵，如果存在一个n×n的矩阵B，使得AB = BA = In（单位矩阵），则称A是可逆的，B称为A的逆矩阵。
若存在逆矩阵，则记作A-1。
接下来，我们来看看矩阵在线性方程组的求解中的应用。
对于一个线性方程组，我们可以将其转化为矩阵表示，然后通过矩阵的运算求解。
例如，对于一个二元一次方程组：a1x + b1y = c1a2x + b2y = c2我们可以利用矩阵的乘法和逆矩阵来解方程组。
设A = [a1 b1; a2 b2]，X = [x, y]T，B = [c1, c2]T，则原方程组可以表示为AX = B。
如果A是可逆的，即存在A的逆矩阵A-1，则方程组的解可以表示为X = A-1B。
矩阵序列的定义
矩阵序列的定义
矩阵序列是由一系列矩阵组成的有序集合。
这种序列可以包含有限个或无限个矩阵，具体取决于问题的背景和需求。
矩阵序列在数学、线性代数、信号处理、优化问题等领域中都有广泛的应用。
一般地，如果有一个矩阵序列{A_n}，其中n 表示序列的索引（通常为整数）。
每个An都是一个矩阵。
矩阵序列可以是实数矩阵、复数矩阵或其他数域上的矩阵，具体取决于问题的背景和应用领域。
在某些情况下，矩阵序列可能满足一些特定的性质，例如收敛性、稳定性等。
例如，在数值分析中，矩阵序列的收敛性可能与某种矩阵范数有关。
在信号处理中，矩阵序列的性质可能与滤波、系统稳定性等问题有关。
矩阵序列的应用还涉及到动力系统、图论、概率论等多个领域。
在某些情况下，矩阵序列的收敛性和极限行为对于解决特定的问题非常关键。
总体而言，矩阵序列的定义是非常灵活的，具体形式会根据问题的背景和所研究的领域而有所不同。
矩阵与行列式知识点
矩阵与行列式知识点矩阵和行列式是线性代数中的重要概念，广泛应用于数学、物理、工程等领域。
本文将介绍矩阵和行列式的基本定义与性质，以及它们在实际问题中的应用。
一、矩阵的定义与性质矩阵是由一些数按照矩形排列而成的表格。
我们用$m\timesn$表示一个矩阵，其中$m$代表矩阵的行数，$n$代表矩阵的列数。
一个矩阵的元素通常用小写字母（如$a_{ij}$）表示，其中$i$表示元素所在的行数，$j$表示元素所在的列数。
矩阵的转置是指行和列互换，转置后的矩阵用$A^T$表示。
矩阵可以进行一些基本的运算，如矩阵的加法和数乘。
对于两个相同维数的矩阵$A$和$B$，它们的加法定义为$A+B$，即将对应位置的元素相加得到新的矩阵。
对于一个矩阵$A$和一个标量$c$，它们的数乘定义为$cA$，即将矩阵$A$中的每个元素都乘以$c$得到新的矩阵。
矩阵的乘法是指两个矩阵相乘得到一个新的矩阵。
对于一个$m\times n$的矩阵$A$和一个$n\times p$的矩阵$B$，它们的乘积$AB$是一个$m\times p$的矩阵。
矩阵相乘的条件是第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数。
二、行列式的定义与性质行列式是一个与方阵相关的标量值。
对于一个$n\times n$的方阵$A$，我们用$|A|$表示它的行列式。
行列式的计算主要依靠代数余子式和代数余子式矩阵。
对于方阵$A$的元素$a_{ij}$，它的代数余子式$M_{ij}$是去掉$a_{ij}$所在的行和列后的余下元素的行列式，即由$n-1$阶子方阵组成。
代数余子式矩阵$A^*$是由方阵$A$的每个元素的代数余子式按照一定的规则排布而成的矩阵。
行列式的计算方法有很多，包括拉普拉斯展开法、行列式按行展开法等。
其中，拉普拉斯展开法是最常用的方法，即选择方阵的任意一行或一列展开，并用代数余子式乘以对应元素后进行求和。
行列式具有很多重要的性质，如行列式的性质对换、行列式的性质正交等。
矩阵知识点总结图解
矩阵知识点总结图解一、矩阵的定义1.1 矩阵的概念矩阵是一个由m行n列的数域中的数字组成的矩形数组。
例如，一个3行2列的矩阵可以表示为：\[ \begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} \\a_{21} & a_{22} \\a_{31} & a_{32} \\\end{bmatrix}\]1.2 矩阵的基本术语- 行数：矩阵中的行数为m。
- 列数：矩阵中的列数为n。
- 元素：矩阵中的每个数字称为元素，如矩阵中的a11、a12等。
- 维数：一个m行n列的矩阵的维数为m×n。
1.3 矩阵的表示矩阵可以用方括号表示，矩阵中的元素用逗号隔开，例如：\[ A = \begin{bmatrix}1 &2 &3 \\4 &5 &6 \\\end{bmatrix}\]二、矩阵的基本运算2.1 矩阵的加法对于两个相同维数的矩阵A和B，它们的加法定义为矩阵中相应位置元素的和。
即：\[ A + B = \begin{bmatrix}a_{11}+b_{11} & a_{12}+b_{12} & a_{13}+b_{13} \\a_{21}+b_{21} & a_{22}+b_{22} & a_{23}+b_{23} \\\end{bmatrix}\]2.2 矩阵的数乘对于一个m行n列的矩阵A和一个数k，它们的数乘定义为矩阵中每个元素与k的乘积。
即：\[ kA = \begin{bmatrix}ka_{11} & ka_{12} & ka_{13} \\ka_{21} & ka_{22} & ka_{23} \\\end{bmatrix}\]2.3 矩阵的乘法对于一个m行n列的矩阵A和一个p行q列的矩阵B，若n=p，则它们的乘法定义为：\[ AB = C \]其中C是一个m行q列的矩阵，其中元素cij的计算方式为：\[ c_{ij} = a_{i1}b_{1j} + a_{i2}b_{2j} + \cdots + a_{in}b_{nj} \]2.4 矩阵的转置一个m行n列的矩阵A的转置是一个n行m列的矩阵，其中元素aij转置为aji。
02《工程数学(本)》第二讲
例如
5 3
6 7
与
8 3
4 9
为同型矩阵.
2. 两个矩阵 A (aij ) 与 B (bij )为同型矩阵，并且对应元 素相等，即 aij bij (i 1, 2,, m; j 1, 2,, n)
则称矩阵 A 与 B 相等，记作 A = B .
0 0 0 0
例如
0
0
0 0
0 0
0
s
cij ai1b1 j ai 2b2 j aisbsj aik bkj k 1 (i 1, 2, m; j 1, 2,, n)
并把此乘积记作 C = AB．
1
例：设
A
1 0
0 1 5
1 3 1
2
0 4
,
B
0
1
3
1
3 2 1 2
4
1
1
1
5 6 7
则
AB
10 2
2 17
矩阵的定义
由 m×n 个数 aij (i 1, 2,, m; j 1, 2,, n) 排成的 m 行 n 列的数表
a11 a12 a1n
a21 a22 a2n
am1 am2 amn
称为 m 行 n 列矩阵，简称 m×n 矩阵． 记作
A
a11
a21
a12 a22
a1 n a2 n
纯量阵不同 于对角阵
推论：矩阵乘法不一定满足交换律，但是纯量阵 E 与任何
同阶方阵都是可交换的.
(5) 矩阵的幂 若 A 是 n 阶方阵，定义
Ak AAA k
显然 Ak Al Akl , (Ak )l Akl
思考：下列等式在什么时候成立？
( AB)k Ak Bk ( A B)2 A2 2AB B2 ( A B)( A B) A2 B2
矩阵和行列式基础PPT课件
也就是说：行列式对行成立的性质，对列也同样成
立，反之亦然。
11
• 性质2 对调行列式的任意两行（列），所得的行列 式的绝对值不变，但符号相反。
• 推论 若行列式中有两行（列）元素完全相同，则 行列式为零。
性质3 某一行所有元素的公因子可提到行列式符号的 外面。 推论 若行列式中有两行元素对应成比例，则行列式 为零 。
行列式和矩阵
－－－《线性代数》
1
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总体概述
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2
线性代数起源于处理线性关系问题，它是代数学的一 个分支，形成于20世纪，但历史却非常久远，部分内 容在东汉初年成书的《九章算术》里已有雏形论述， 不过直到18—19世纪期间，随着研究线性方程组和变 量线性变换问题的深入，才先后产生了行列式和矩阵 的概念，为处理线性问题提供了强有力的理论工具， 并推动了线性代数的发展。
21
• 矩阵的运算是线性代数的基本内容。 1849年英国数学家凯莱介绍了可逆方阵 对乘法成群。凯莱 —— 毕业于剑桥三一 学院，他与西勒维斯特长期合作作了大 量的开创性的工作创立了矩阵论；与维 尔斯特拉斯一起创立了代数型理论，奠 定了代数不变量的理论基础；他对几何 学的统一也有重大贡献，一生发表近千 篇论文。
表示这个元素所在的行数，称为行标，第二个下标 j 表示
这个元素所在的列数，称为列标。
6
二阶行列式D的计算可用对角线法帮助记忆： 主对角线上元素的乘积 - 次对角线上元素的乘积。
a11 a12＝a a －a a
a a 21 22
11 22 2112
工科数学--矩阵的概念.ppt
1 2 1
A1 A* A
1 2
0 1
2 2
2 1
B b1b2b3 0时, B可逆,
b1
B b2
b3
2019-12-2
1
b1
B 1
1 b2
1
b3
谢谢你的观看
记作
a11
A
a21
am1
a12 a22
am2
简记为 A aij mn
a1n a2n
amn
例
17 7 11 21
A 15 9 13 19
18 8 14 19
记号 A 2019-12-2
mn
实矩谢阵谢你的观看 复矩阵
2019-12-2
谢谢你的观看
15
(四)方阵的行列式
定义:
由n阶方阵Ann的元素所构成的行列式, 称为方阵Ann的行列式.
记作: A 或 detA
运算规律: Ann , Bnn , 是数
1 AT A;
2 A n A;
A B. 2019-12-2 3 AB
谢谢你的观看
b3
18
解:
3 2 1 A 1 1 1
1 0 1
3 21 A 1 1 120
1 01
A11
1 11
1 0
1 1
1
A12
1 12
1 1
1 0
1
A13
1 13
1 1
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设
A
2
0
0 2
，判断
k 1
1 k
Ak
的敛散性.
3
2)
设
A
1
2
0
1
，判断
k 1
1 k2
Ak
的敛散性.
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第12讲 矩阵级数
三、方阵幂级数
工程应用数学基础
解
1)
因为幂级数
k 1
1 k
zk
的收敛半径为R
第12讲 矩阵级数
二、矩阵级数
1
k (k 1)
Ak
k 1
k 1 0
0
2k 3k
1 0
0
3 2
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第12讲 矩阵级数
三、方阵幂级数
工程应用数学基础
定义3(方阵幂级数) 设 A nn ，称 ck Ak 为方阵幂级数. k 0
求极限
lim
k
Ak
.
sin k
3k
k
2
1
，
(
k
1，2，
)
k2
解
lim
k
2k 2
k k2
1
2
lim
k
sin k
k
0
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第12讲 矩阵级数
一、矩阵序列的极限
lim ek sin k
k
lim
k
sin ek
k
0
lim
k
使得
lim
k
a(k ij
)
aij
(1 i m， 1 j n)
则称矩阵序列 { Ak }收敛到 矩阵 A ，记为
lim
k
Ak
A
or Ak A
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一、矩阵序列的极限
2k 2 k 1
例
1
设 Ak
k2
ek sin k
)
(ik )
ik
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(r
1 1)!
(ik
)( r 1)
1 2!
(ik
)
(ik ) ik
rr
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第12讲 矩阵级数
三、方阵幂级数
Sm (i )
Sm (i )
1 2!
Sm
(i
)
Sm(r1) (i )
k
Ak
Bk
)
AB
3) 若
Ak，A 可逆，则
lim
k
Ak1
A1
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第12讲 矩阵级数
一、矩阵序列的极限
工程应用数学基础
定理1 设 Ak [ai(jk ) ] mn，A [aij ] mn ，则有
m
lim
k
Ak
A
lim ||
图片
工程应用数学基础
第一篇：矩阵理论
第 12 讲：矩阵级数
主讲：国防科技大学 杨文强 副教授
第12讲 矩阵级数
内容提纲
1. 矩阵序列的极限 2. 矩阵级数 3. 方阵幂级数
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第12讲 矩阵级数
一、矩阵序列的极限
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定义1(收敛)设 Ak [ai(jk ) ] mn ，若存在矩阵 A [aij ] mn ，
k
Ak
A
||1
lim
k
max
1 jn
|
a(k) ij
i 1
aij
|0
lim
k
||
Ak
A ||
0
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一、矩阵序列的极限
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证明
lim
k
Ak
A
lim
k
a(k) ij
aij (1 i m，1
j n)
lim
k
|
a(k ij
)
aij
| 0
(1 i m，1
j n)
m
lim
k
i 1
|
a(k) ij
aij
|
0
(1 j n)
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lim
k
||
Ak
A
||1
0
推论
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一、矩阵序列的极限 设 A nn ，则有
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二、矩阵级数
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1
例
3
设
Ak
k(k
1)
0
0
2k 3k
，k
1，2，
. 求级数 Ak . k 1
解
1 1
k1 k (k 1)
k 1
2k 3k
?
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当|x|<1时
，其中
c
是实常数，试求
lim
k
Ak
O
的充要条件.
解 因为A 的特征值为 1 4c，2 c
A 的谱半径为
( A) 4 | c |
lim Ak O ( A) 1 | c | 1 / 4
k
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二、矩阵级数
1 x x2 xk 1 1 x
1 2x 3x2
kxk1
(1
1 x)2
x 2x2 3x3
kxk
x (1 x)2
2k
3k
k 1
2
k 1
k (13)k
3 2
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所以有
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ck Ak， ck z k 之间的收敛性有什么关系?
k 0
k 0
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三、方阵幂级数
定理3
设幂级数 ck zk 的收敛半径为R，则有 k 0
1) 当 ρ(A) < R 时， ck Ak 收敛. k 0
2) 当 ρ(A) > R 时， ck Ak 发散. k 0
3k 2 k
2
1
3
所以有
2 0
lim
k
Ak
0
3
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一、矩阵序列的极限 矩阵序列极限的性质:
设
lim
k
Ak
A，
lim
k
Bk
B
，则有
1) lkim(c1 Ak c2 Bk ) c1 A c2B
2)
lim(
J
k i
k 0
存在
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三、方阵幂级数
所以 当 ρ(A) < R 时， ck Ak 收敛. k 0
所以 当 ρ(A) > R 时， ck Ak 发散. k 0
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三、方阵幂级数
1
例
4
1)
一、矩阵序列的极限
所以有
lim
k
J
k i
O
| i
| 1，i
1，2，
，s.
( A) 1
由此得到
lim Ak O ( A) 1
k
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一、矩阵序列的极限
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例
2
设
c A 3c
2c 2c
P
1
J
k s
lim Ak
k
O
lim
k
J
k i
O，i
1，2，
，s
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设
i 1
Ji
i
1
i
rr
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则当 k r 有
ik
J
k i
3) 当 ρ(A) R 时， ck Ak 待定. k 0
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三、方阵幂级数
m
记部分和 Sm (z) ck zk k 0
设A 的Jordan标准形为