证明命题的一般步骤：
6.5三角形内角和定理高品质版
驶向胜利 的彼岸
(6)检查表达过程是否正确,完善.
与同伴交流你在探索思路的过程 中的具体做法.
回顾与思考 ☞
言必有“据”
我们知道三角形三个内角的和等于1800.你还记得这个
结论的探索过程吗?
(1)如图,当时我们是
A
把∠A移到了∠1的位
这里的 CD,CE称为 辅助线,辅 助线通常画
成虚线.
∴ ∠A+∠B+∠ACB=1800 (等量代换).
你还有其它方法来证明三角形内角和定理吗?.
议一议P206
一题 多解
在证明三角形内角和定理时,小明的想法是把三个角“凑” 到A处,他过点A作直线PQ∥BC(如图),他的想法可以吗?
请你帮小明把想法化为实际行动. 证明:过点A作PQ∥BC,则
与同伴交流,你是如何提高证
独立
作业
知识的升华
P208习题6.6 1,2,3题;
祝你成功！
下课了!
结束寄语
• 严格性之于数学家,犹如道德之 于人.
• 由“因”导“果”,执“果”索 “因”.是探索证明思路的基本 方法.
再见
随着年岁的叠加，我们会渐渐发现：越是有智慧的人，越是谦虚，因为昂头的只是稗子，低头的才是稻子；越是富有的人，越是高贵，因为真正的富裕是灵魂上的高贵以 及精神世界的富足；越是优秀的人，越是努力，因为优秀从来不是与生俱来，从来不是一蹴而就。随着沧桑的累积，我们也会慢慢懂得：成功的路，其实并不拥挤，因为 能够坚持到底的人实在太少；所有优秀的人，其实就是活得很努力的人，所谓的胜利，其实最后就是自身价值观的胜利。人到中年，突然间醒悟许多，总算明白：人生， 只有将世间的路一一走遍，才能到尽头；生活，只有将尘世况味种种尝遍，才能熬出头。这世间，从来没有最好，只有更好。每天，总想要努力醒得比太阳还早，因为总 觉得世间万物，太阳是最能赐人力量和能量的。每当面对喷薄的日出，心中的太阳随之冉冉腾起，生命之火熊熊燃烧，生活的热情就会光芒四射。我真的难以想象，那些 从来不早起的人，一生到底能够看到几回日升？那些从来没有良好习惯的人，活到最后到底该是多么的遗憾与愧疚？曾国藩说：早晨不起，误一天的事；幼时不学，误一 生的事。尼采也说：每一个不曾起舞的日子，都是对生命的辜负。光阴易逝，岂容我待？越是努力的人，越是没有时间抱怨，越是没有工夫颓丧。每当走在黎明的曙光里， 看到那些兢兢业业清洁城市的“美容师”，我就会由衷地欣赏并在心底赞叹他们，因为他们活得很努力很认真。每当看见那些奔跑在朝霞绚烂里的晨练者，我就会从心里 为他们竖起大拇指，因为他们给自己力量的同时，也赠予他人能量。我总觉得：你可以不优秀，但你必须有认真的态度；你可以不成功，但你必须努力。这个世界上，从 来没有谁比谁更优秀，只有谁比谁更努力。我也始终认为：一个活得很努力的人，自带光芒万丈；一个人认真的样子，比任何时候都要美好；一个能够自律自控的人，他 的人生也就成功了大半。世间每一种的好，从来都只为懂得努力的人盛装而来。有时候，我真的感觉，人生的另一个名字应该叫做努力，努力了就会无悔，努力了就会无 愧；生活的另一种说法应该叫做煎熬，熬过了漫漫黑夜，天就亮了，熬过了萧萧冬日，春天就来了。人生不易，越努力越幸运；余生不长，越珍惜越精彩。人生，是一本 太仓促的书，越认真越深刻；生命，是一条无名的河，越往前越深邃。愿你不要为已逝的年华叹息，不要为前路的茫茫而裹足不前愿你相信所有的坚持总能奏响黎明的号 角，所有的努力总能孕育硕果的盛驾光临。愿你坚信越是成功的人越是不允许自己颓废散漫，越是优秀的人越是努力……生活中很多时候，我们遇到一些复杂的情况，会 很容易被眼前的障碍所蒙蔽，找不到解决问题的方法。这时候，如果能从当前的环境脱离出来，从一个新角度去解决问题，也许就会柳暗花明。一个土豪，每次出门都担 心家中被盗，想买只狼狗栓门前护院，但又不想雇人喂狗浪费银两。苦思良久后终得一法：每次出门前把WiFi修改成无密码，然后放心出门每次回来都能看到十几个人捧 着手机蹲在自家门口，从此无忧。护院，未必一定要养狗换个角度想问题，结果大不同。一位大爷到菜市场买菜，挑了3个西红柿到到秤盘，摊主秤了下：“一斤半3块 7。”大爷：“做汤不用那么多。”去掉了最大的西红柿。摊主:“一斤二两，3块。”正当身边人想提醒大爷注意秤时，大爷从容的掏出了七毛钱，拿起刚刚去掉的那个大 的西红柿，潇洒地换种算法，独辟蹊径，你会发现解决问题的另一个方法。生活中，我们特别容易陷入非A即B的思维死角，但其实，遭遇两难困境时换个角度思考，也许 就会明白：路的旁边还有路。一个鱼塘新开张，钓费100块。钓了一整天没钓到鱼，老板说凡是没钓到的就送一只鸡。很多人都去了，回来的时候每人拎着一只鸡，大家 都很高兴！觉得老板很够意思。后来，钓鱼场看门大爷告诉大家，老板本来就是个养鸡专业户，这鱼塘本来就没鱼。巧妙的去库存，还让顾客心甘情愿买单。新时代，做 营销，必须打破传统思维。孩子不愿意做爸爸留的课外作业，于是爸爸灵机一动说：儿子，我来做作业，你来检查如何？孩子高兴的答应了，并且把爸爸的“作业”认真 的检查了一遍，还列出算式给爸爸讲解了一遍不过他可能怎么也不明白为什么爸爸所有作业都做错了。巧妙转换角色，后退一步，有时候是另一种前进。一个博士群里有 人提问：一滴水从很高很高的地方自由落体下来，砸到人会不会砸伤？或砸死？群里一下就热闹起来，各种公式，各种假设，各种阻力，重力，加速度的计算，足足讨论 了近�
1.2矩形的性质及判定(1)
C
由此可得推论:直角三角形斜边上 的中线等于斜边的一半.
驶向胜 利的彼 岸
例题欣赏
4
矩形性质的应用
已知:如图,AC,BD是矩形ABCD的两条对角线,AC,BD 相交于点O,∠AOD=1200,AB=2.5cm. 求矩形对角线的长. A D 解: ∵四边形ABCD是矩形, 1 O ∴AC=BD,且OA OC AC.
7、已知：如图，矩形ABCD中，E是BC上一点， DF⊥AE于F，若AE=BC． 求证：CE＝EF．
五、拓展延伸：
1已知：如图，O是矩形ABCD对角线的交点， AE平分∠BAD，∠AOD=120°，求∠EAO的度数． 2、如果矩形的一个内角平分线将它的一边分成3cm 和5cm两部分，则它的面积是多少？
矩形的性质
A D
定理:矩形的四个角都是直角. 已知:如图,四边形ABCD是矩形. 求证:∠A=∠B=∠C=∠D=900. 分析:由矩形的定义,利用对角 相等,邻角互补可使问题得证.
B
C
证明: ∵ 四边形ABCD是矩形,
想一想:正方形的四 个角都是直角吗?
∴∠A=900,四边形ABCD是平行四边形. ∴∠C=∠A=900, ∠B=1800-∠A=900, ∠D=1800-∠A=900. ∴四边形ABCD是矩形.
C
D
推论(直角三角形性质):直角三角形 斜边上的中线等于斜边的一半. 在△ABC中,∠ACB=900, ∵AD=BD,
CD 1 AB. 2
C
驶向胜利 的彼岸
B
独立 作业
知识的升华
P3习题1.4 1,2,3题.
祝你成功！
下课了!
结束寄语
严格性之于数学家,犹如道德之 于人. • 条理清晰，因果相应,言必有据 .是初学证明者谨记和遵循的原 则.
第12章 定义与证明小结与思考小结与思考2
第12章小结与思考（2）知识梳理：1.定义：用（推理）的方法证实真命题的过程叫做证明。
2.证明文字命题的一般步骤为：（1）分析命题的条件与结论（2）根据题意，（）（3）写出（）和（）（4）写出证明过程。
3.互逆命题的概念：两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的（）又是第二个命题的（），那么这两个命题叫做互逆命题。
其中一个命题称为另一个命题的（）二．例题精讲：（一）类型一：命题的改写、逆命题例1.先把下列命题改写成“如果······那么······”的形式，然后写出题设和结论。
(1)平行于同一条直线的两条直线平行。
（2）同角的余角相等。
（3）相等的角是内错角。
（二）类型二证明例 1.如图所示，A B∥C D∥GH, EG平分∠BEF, F G平分∠EFD ，求证E G⊥F G.C例2 辅助线的添加如图所示，已知MN∥DE,∠ABC=130度,∠BFD=40度，求证：AB⊥MNND E当堂检测：1.命题“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的条件是（）A 垂直B 两条直线C 同一条直线D 两条直线垂直于同一条直线2.在三角形ABC中，∠A:∠B:∠C=1:2:3,则三角形ABC一定是（）A. 锐角三角形B. 直角三角形C.钝角三角形D. A,B都有可能3.”同角的补角相等“的逆命题是（）4.命题“直角三角形两锐角互余“的条件是（）结论是（）5.已知假命题“两个锐角的和是直角”请举出一个反例（）6.填空使之成为一个完整的真命题。
（1）若a⊥b,b∥c，则（）（2）若（），则这两个角互补。
（3）若a∥b∥c，则（）7.写出下列各命题的逆命题，并判断其逆命题是真命题还是假命题。
（1）两个直角必互补。
（2）三角形内角和等于180度，（3）若abc=0，则a,b,c,中至少有两个为0.8.已知：如图所示，AD是△ABC的角平分线，点E在BC上，点G在CA的延长线上，EG交AB于点F,且∠AFG=∠G,AD求证GE∥课堂小结：。
华东师大版数学八年级上册1命题、定理与证明(2课时20张)
练习：将下列命题改写成“如果…那么…”
的情势，然后指出这个命题的题设和结论。
（1）同角的补角相等。 （2）两直线平行，同位角相等。 （3）在同一平面内，同垂直于第三条
直线的两直线平行。
分析命题“不相等的两个角不可能是对顶角” 条件： 两个角不相等
结论： 这两个角不可能是对顶角
改写成“如果……，那么……”的情势： 如果两个角不相等， 那么这两个角不可能是对顶角。
华师版八年级上学期 第13章 《全等三角形》
1.1—1.2
命题、定理与证明
概念学习：
1、能清楚地规定某一名称或术语的意义 的句子叫做定义。
2、对某一件事情作出正确或不正确的 判断的句子叫做命题。
3、命题由条件和结论两部分组成。
4、命题可以写成“如果...那么...”的情势， 在如果后写条件，在那么后写结论。
5、命题是陈说句。
概念学习：
公理
综合法
真命题
命
定理 证 明
分析法
题
反证法
假命题
证 明
举反例
反例：具有命题条件，但不具有命题结论的例子。
概念学习：
推理方向是从已知到求证的思考方法 叫做综合法.
推理方向是从求证到已知的思考方法 叫做分析法.
先假设命题不成立，从这样的假设出发， 经过推理得出和已知条件矛盾，或者与 定义、公理、定理等矛盾，从而得出假 设不成立是错误的，即所求证命题正确， 这样的思考方法叫做反证法。
A
D
证法二：
1
如图，连接BC. B
2
C
∵在△ABC中, ∠BAC +∠ABC +∠ACB ＝180º
在△BDC中, ∠BDC+∠1+∠2＝180º
命题逻辑中几种常见的推理证明方法
路漫漫其修远兮，吾将上下而求索- 百度文库ljlj逻辑学论文数学科学学院09级3班吴洁琼学号2009040288命题逻辑中几种常见的推理证明方法吴洁琼 哈尔滨师范大学 （黑龙江·哈尔滨 150025）【摘 要】：命题逻辑的推理证明是《离散数学》课程的重点难点内容，其主要原因有两个： 一是内容比较抽象且方法较独特，其灵活性很大, 故很难掌握；二是题型以证明题居多, 大多数题的知识面涉及较广, 故习题较难。
而命题逻辑又是数理逻辑的基础, 熟练而灵活地掌握好命题逻辑中推理证明的方法既是学习命题逻辑的重点, 又会为进一步学习谓词逻辑打下良好的基础。
本文结合适当的例题讲解，总结了命题逻辑中几种常见的推理证明方法，并进行了分析和探讨,以加深学生的理解，以及知识的灵活使用。
以期在帮助学生掌握命题逻辑的推理证明方法的同时, 又能对学生进行逻辑思维能力的训练,培养学生分析问题和解决问题的能力。
【关键词】：命题逻辑；推理；证明方法数理逻辑是《离散数学》课程的主要内容之一，它主要包括命题逻辑和谓词逻辑两大部分, 而命题逻辑又是谓词逻辑的基础,其中的内容也比较抽象，所以学好命题逻辑又是学好数理逻辑的关键。
学好数理逻辑既能加强学生的逻辑思维能力，又同时能够帮助同学学习数字电路和人工智能等其它课程。
数理逻辑中关于命题逻辑证明题比较多，学好数理逻辑的关键是能不能很好的掌握这些证明题。
一、命题逻辑中推理的相关概念定义1：一个命题公式序列1α，2α， ，n α；β，即βααα→ΛΛΛ)(21n 称为推理形式，其中序列最后一项β称为推理的结论，1α，2α， ，n α称为推理的条件。
定义2：对于命题公式序列1α，2α， ，n α；β的命题变元组);,,,(21p p p p n 的任意指派);,,,(21t t t t n 存在使n αααΛΛΛ 21为真，而β为假，则称此推理为无效推理，否则是有效推理。
证明命题公式β为有效结论的过程就是命题逻辑推理证明的过程。
高中数学中常见的证明方法
高中数学中常见的证明方法一、直接证明法直接证明法是最基本也是最常见的证明方法之一。
它通过对所要证明的命题进行逻辑推理和分析，直接给出证明的过程和结论。
要使用直接证明法，一般需要明确以下几个步骤：1. 提出所要证明的命题：首先，明确所要证明的命题，即要证明的结论。
2. 建立前提条件：在进行证明前，需要明确前提条件，即已知条件或已知命题。
3. 逻辑推理：通过逻辑推理和分析，根据已知条件和逻辑关系，逐步推导出结论。
4. 结论：最后，根据已有的证明过程，给出结论。
二、间接证明法间接证明法又称反证法，它是通过假设所要证明的命题不成立，然后推导出与已知事实矛盾的结论，从而证明所要证明的命题是正确的。
间接证明法的一般步骤如下：1. 假设反命题：首先，假设所要证明的命题的反命题是正确的。
2. 推导过程：根据假设和已知条件，通过逻辑推理进行推导，尽可能多地得到信息。
3. 矛盾结论：最终推导出一个与已知事实矛盾的结论。
4. 否定假设：由于假设的反命题与已知事实矛盾，所以可以否定假设，即所要证明的命题是正确的。
间接证明法常用于证明一些数学定理、存在性证明和最大最小值的存在性等问题。
三、数学归纳法数学归纳法是一种常用的证明方法，特别适用于证明一类命题或定理，如整数性质、等差数列的性质等。
它基于两个基本步骤：基本情况的验证和归纳假设的使用。
数学归纳法的一般步骤如下：1. 基本情况的验证：首先，验证当命题成立的最小情况，通常是n=1或n=0的情况。
2. 归纳假设的使用：假设当n=k时命题成立，即假设命题对于某个特定的正整数k是成立的。
3. 归纳步骤的推理：在归纳假设的基础上进行推理和分析，证明当n=k+1时命题也成立。
4. 归纳法的结论：根据归纳步骤的推理和基本情况的验证，可以得出结论，即所要证明的命题对于所有正整数都成立。
数学归纳法在数学推理和定理证明中有着广泛的应用，尤其适用于证明具有递推性质的命题。
四、逆否命题证明法逆否命题证明法是通过对命题的逆否命题进行证明，从而间接地证明所要证明的命题。
一轮难题复习 推理与证明典型解答题 (教师版)
一轮难题复习推理与证明典型解答题一、知识网络二、合情推理（一）归纳推理1.归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理。
简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理。
2.归纳推理的一般步骤：第一步，通过观察个别情况发现某些相同的性质；第二步，从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般命题（猜想）。
题型1：用归纳推理发现规律（1）观察：对于任意正实数，试写出使成立的一个条件可以是____.点拨：前面所列式子的共同特征特征是被开方数之和为22，故（2）蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图。
其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以表示第幅图的蜂巢总数。
则【解题思路】找出的关系式[解析]总结：处理“递推型”问题的方法之一是寻找相邻两组数据的关系（二）类比推理1.类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理。
简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理。
2.类比推理的一般步骤：第一步：找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；第二步：用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想.题型2：用类比推理猜想新的命题（1）已知正三角形内切圆的半径是高的，把这个结论推广到空间正四面体，类似的结论是______.【解题思路】从方法的类比入手[解析]原问题的解法为等面积法，即，类比问题的解法应为等体积法，即正四面体的内切球的半径是高总结：①不仅要注意形式的类比，还要注意方法的类比。
②类比推理常见的情形有：平面向空间类比；低维向高维类比；等差数列与等比数列类比；实数集的性质向复数集的性质类比；圆锥曲线间的类比等（三）合情推理1.定义：归纳推理和类比推理都有是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理。
3.1平行四边形(3) 平行四边形的判定
证明后的结论,以后可以直接运用. 证明后的结论,以后可以直接运用.
回顾
思考
等腰梯形的性质
A D
定理:等腰梯形同一底上的两个角相等. 定理:等腰梯形同一底上的两个角相等. 在梯形ABCD中,AD‖BC, 在梯形ABCD中 ABCD ∵AB=DC, ∴∠A=∠ ∴∠ ∠D, ∠B=∠C. ∠ .
B
C
定理:等腰梯形的两条对角线相等. 定理:等腰梯形的两条对角线相等. 在梯形ABCD中 在梯形ABCD中,AD‖BC, ABCD ∵AB=DC, ∴AC=DB.. ..
M
5
4
x-3
′
∵(x 3) (x 5) = 4 .
2 2 2
O
x-5
N
∴MN = 5 = PO. ∴PM = 3 = ON.
四边形MNPO是平行四边形. MNPO是平行四边形 ∴四边形MNPO是平行四边形
∴x = 8.
我思,我进步 我思 我进步6
随堂练习
′
已知:如图,在□ ABCD中,BF=DE. 已知:如图, ABCD中 求证:四边形AFCE是平行四边形. 求证:四边形AFCE是平行四边形. AFCE是平行四边形 分析:由已知的平行四边形和BF=DE可知,CE=AF, BF=DE可知,CE=AF,则 分析:由已知的平行四边形和BF=DE可知,CE=AF,则 转化为利用一组对应边平行且相等来证明. 转化为利用一组对应边平行且相等来证明. 证明: 证明: D E C ∵四边形ABCD是平行四边形, 四边形ABCD是平行四边形, ABCD是平行四边形 ∴DC‖AB,DC=AB. ∵ DE=CF, ∴CE=AF, 四边形AFCE是平行四边形. AFCE是平行四边形 ∴四边形AFCE是平行四边形. 你还有几种不同的证法
数学证明的基本方法和技巧
数学证明的基本方法和技巧数学证明是数学研究中重要的一环，它旨在通过逻辑推理和数学语言的运用，来证明数学命题的真实性。
本文将介绍数学证明的基本方法和技巧，帮助读者更好地理解和运用数学证明。
一、直接证明法直接证明法是最常见的证明方法之一，它基于基本的逻辑推理和数学运算。
其基本思路是，首先假设命题为真，然后通过逐步推理、演算等方法，得出结论。
例如，证明一个数是偶数的命题可以采用直接证明法，假设这个数是 2k，经过一系列运算得出结论。
二、归纳证明法归纳证明法适用于具有重复性质的命题，即通过证明命题在某个特定条件下成立，再证明在下一步条件下也成立，从而推导出命题对所有情况都成立。
归纳证明法通常包括两个步骤：基础步骤和归纳步骤。
基础步骤证明命题在最小条件下成立，而归纳步骤证明命题在给定条件下成立。
例如，证明等差数列求和公式 Sn = n(a1 + an) / 2，可以使用归纳证明法。
三、反证法反证法是一种常用的证明方法，它通过假设命题的否定，然后推导出矛盾的结论，从而证明该命题为真。
其基本思路是，通过假设命题的否定，推导出与已知事实相矛盾的结论，从而得出原命题为真。
例如，证明根号2是无理数，可以采用反证法。
四、递推法递推法是一种经典的证明方法，常用于证明数列和递推关系的性质。
递推法基于递推关系的定义，通过已知情况得出下一步的结果，再逐步推导出结论。
例如，证明斐波那契数列的性质可以采用递推法。
五、等价转化法等价转化法是一种在数学证明中常用的方法，它通过将待证明的命题转化为等价的形式，从而更容易证明。
等价转化法常用于证明恒等式、不等式等问题。
例如，证明两个三角形全等时，可以通过等价转化法将问题转化为证明两个三角形的对应边和对应角相等，从而简化证明过程。
六、归纳假设法归纳假设法是一种常用的证明方法，它通过先假设命题对于某个特定情况成立，然后通过数学推理证明命题在一般情况下也成立。
这种方法常用于证明包含自然数的命题，如证明所有正整数之和的公式。
证明命题的一般步骤
证明命题的一般步骤
证明命题的一般步骤是一个逻辑推理过程，它包括以下几个步骤：
1. 确定命题的形式：首先要明确命题是什么形式的，例如是条件命题、逻辑联结命题还是量化命题等。
这是进行证明的基础。
2. 建立证明的前提：在证明命题之前，需要确定一些前提条件，这些条件可以是已知的定理、公理或者其他已经被证明的命题。
前提是确保证明过程正确性的基础。
3. 使用逻辑推理方法：根据命题的形式和前提条件，使用逻辑推理方法来推导出结论。
逻辑推理方法可以包括数学归纳法、反证法、直接证明法、逆证法等。
4. 逐步推理：在推导过程中，需要逐步展开推理，每一步都基于之前的推理结果，并根据逻辑规则进行推理。
每一步的推理都要清晰、准确，并且有严格的逻辑依据。
5. 注意特殊情况：在进行证明时，需要特别注意一些特殊情况，这些特殊情况可能导致命题的成立或者不成立。
对于这些特殊情况，需要引入额外的假设或者进行额外的推理。
6. 总结结论：最后，根据逻辑推理的过程，得到最终的结论，并清楚地说明这个结论是基于哪些前提条件和推理过程得出的。
总的来说，证明命题的一般步骤是明确命题的形式，建立证明的前提，使用逻辑推理方法进行推导，逐步展开推理，注意特殊情况，并最终总结结论。
这一过程需要合理运用逻辑规则和数学推理方法，确保证明的正确性。
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回顾与思考10
等腰三角形性质
定理:
等腰三角形的两个底角相等(等边对等角).
A
如图,在△ABC中, ∵AB=AC(已知), ∴∠B=∠C(等角对等边).
B
C
回顾与思考11
等腰三角形性质
推论:
A
等腰三角形顶角的平分线,底边
上的中线,底边上的高互相重合 (三线合一).
12
如图,在△ABC中,
B
C
∴BD=CD, ∠1=∠2 （三线合一）
回顾与思考12
等腰三角形性质
等边三角形的三个角都相等并且每个角都等于600.
A
B
C
如图,在△ABC中, ∵AB=AC=BC(已知). ∴∠A=∠B=∠C=600（等边三角形的三个角都相
等并且每个角都等于600）.
回顾与思考13
等腰三角形性质
等腰三角形两底角的平分线相等. 等腰三角形两腰上的中线相等. 等腰三角形两腰上的高相等.
线段垂直平分线的性质
定理 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相 等.
如图,
M P
∵AC=BC,MN⊥AB,P是MN上任
意一点(已知),
∴PA=PB(线段垂直平分线上A 的点到这条线段两个端点距
C
B
离相等).
N
逆定理 到一条线段两个端点距离相等的点,在这 条线段的垂直平分线上.
回顾与思考27
推论:两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等
（AAS）.
综上所述,直角三角形全等的判定条件可归纳为:
一边及一个锐角对应相等的两个直角三角形全等;
两边对应相等的两个直角三角形全等;
切记!!!
命题:两边及其中一边的对角对应相等
的两个三角形不一定全等.
即(SSA)是一个假冒产品!!!
回顾与思考25
C
定理:在直角三角形中, 如果一条直角边等于斜 边的一半,那么它所对的锐角等于300.
回顾与思考20
勾股定理
定理 如果直角三角形两直角边分别为a、b，斜
边为c，那么a2+b2=c2.即直角三角形两直角边的
平方和等于斜边的平方.勾股定理在西方文献中
又称为毕达哥拉斯定理（pythagoras
theorem）.
三角形的外心
定理:三角形三条边的垂直平分线相交于一点,并 且这一点到三个顶点的距离相等.
aA
如图,在△ABC中,
c
∵c,a,b分别是AB,BC,AC的垂直平分线(
已知),
B
∴c,a,b相交于一点P,且PA=PB=PC(三角
形三条边的垂直平分线相交于一点,并
且这一点到三个顶点的距离相等).
b
P C
D
∵AB=AC, ∠1=∠2(已知).
∴BD=CD,AD⊥BC（三线合一）. 如图,在△ABC中,
轮换条件∠1=∠2, BD=CD,AD⊥BC可得三
∵AB=AC, BD=CD (已知).
线合一的三种不同形
∴∠1=∠2,AD⊥BC（三线合一）. 式的运用.
如图,在△ABC中,
∵AB=AC, AD⊥BC(已知).
回顾与思考28
角平分线的性质
定理 角平分线上的点到这个角的两边距离相等.
如图, ∵OC是∠AOB的平分线,P是OC上
任意一点,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足 O 分别是D,E(已知) ∴PD=PE(角平分线上的点到这个角 的两边距离相等).
A D
1
P
2
C
E B
逆定理 在一个角的内部,且到角的两边距离相等 的点,在这个角的平分线上.
证明命题的一般步骤:
(1)理解题意:分清命题的条件(已知),结论(求 证(2);)根据题意,画出图形;
(3)结合图形,用符号语言写出“已知”和“求 证(4”)分; 析题意,探索证明思路(由“因”导 “果”,执“果”索“因”.);
(5)依据思路,运用数学符号和数学语 言条理清晰地写出证明过程;
(6)检查表达过程是否正确,完善.
A
E
●
B1
D
●●
2C
回顾与思考14
等腰三角形的判定
定理： 有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）
.
A
B
C
在△ABC中 ∵∠B＝∠C（已知），
∴AB=AC（等角对等边）.
回顾与思考15
反证法
在证明时，先假设命题的结论不成立，然后推导出 与定义，公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果， 从而证明命题的结论一定成立.这种证明方法称为 反证法(reduction to absurdity)
c a
弦 勾
在△ABC中
b
股
∵∠ACB=900(已知),
∴ a2+b2=c2(直角三角形两直角边的平方和等于
斜边的平方).
回顾与思考21
勾股定理的逆定理
定理
如果三角形两边的平方和等于第三边平方, 那么 这个三角形是直角三角形. B
c a
在△ABC中
C
A
b
∵AC2+BC2=AB2(已知),
用反证法证明的一般步骤: 1.假设:先假设命题的结论不成立; 2.归谬:从这个假设出发,应用正确的推论方
法,得出与定义，公理、已证定理或已知条件 相矛盾的结果; 3.结论:由矛盾的结果判定假设不正确,从而 肯定命题的结论正确.
反证法是一种重要的数学证明方法.在解决某 些问题时常常会有出人意料的作用.
回顾与思考30
三角形的内心
定理:三角形的三条角平分线相交于一点 ,并且这一点到三边的距离相等.
回顾与思考16
等边三角形的判定
定理:有一个角是600的等腰三角形是等边三角形.
A A
600
600
B
C
600
B
600
C
定理:三个角都相等的三角形是等边三角形.
回顾与思考18
特殊的直角三角形的
性质
定理:在直角三角形中, 如果有一个锐角等于300, 那么它所对的直角边等于斜边的一半.
B
A 300
回顾与思考24
直角三角形全等的判定方
直角三角形全等的判定方法法:
定理:斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(斜
边,直角边或HL).
公理:三边对应相等的两个三角形全等（SSS）.
公理:两边及其夹角对应相等的两个三角形全等（SAS）.
公理:两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（ASA）.
(1)
∴△ABC是直角三角形(如果三角形两边的平 方和等于第三回顾与思考22
命题与逆命题 定理与逆定理
在两个命题中,如果一个命题的条件和结论分别 是另一个命题的结论和条件,那么这两个命题称 为互逆命题,其中一个命题称为另一个命题的逆 命题.
如果一个定理的逆命题经过证明是真命题,那 么它是一个定理,这两个定理称为互逆定理,其 中一个定理称另一个定理的逆定理.