九年级数学上册22二次函数复习教案
第22章二次函数一、复习目标1、理解二次函数的概念;2、会把二次函数的一般式化为顶点式,确定图象的顶点坐标、对称轴与开口方向,会用描点法画二次函数的图象;3、会平移二次函数y ＝ax 2(a ≠0)的图象得到二次函数y ＝a(ax ＋m)2＋k 的图象,了解特殊与一般相互联系与转化的思想;4、会用待定系数法求二次函数的解析式;5、利用二次函数的图象,了解二次函数的增减性,会求二次函数的图象与x 轴的交点坐标与函数的最大值、最小值,了解二次函数与一元二次方程与不等式之间的联系。
6、二次函数的综合应用 二、课时安排 2三、复习重难点把握二次函数的性质,利用二次函数的图象,了解二次函数的增减性,会求二次函数的图象与x 轴的交点坐标与函数的最大值、最小值,了解二次函数与一元二次方程与不等式之间的联系,并能与其它知识点进行综合应用。
四、教学过程 (一)知识梳理 二次函数知识点:1、 二次函数的概念:一般地,形如2y ax bx c =++(a b c ，，就是常数,0a ≠)的函数,叫做二次函数。
2、 二次函数的基本形式(1)二次函数基本形式:2y ax =的性质:2、 2y ax c =+的性质:3、 ()2y a x h =-的性质: 4、 ()2y a x h k =-+的性质: 3、二次函数图象的平移 1、 平移步骤:(1) 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+,确定其顶点坐标()h k ，;(2)保持抛物线2y ax =的形状不变,将其顶点平移到()h k ，处,具体平移方法如下: 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位(3) 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移,负左移;k 值正上移,负下移”.概括成八个字“左加右减,上加下减”.4、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法:利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+,确定其开口方向、对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧,左右对称地描点画图、一般我们选取的五点为:顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，,()20x ，(若与x 轴没有交点,则取两组关于对称轴对称的点)、 画草图时应抓住以下几点:开口方向,对称轴,顶点,与x 轴的交点,与y 轴的交点、 5、二次函数2y ax bx c =++的性质(1) 当0a >时,抛物线开口向上,对称轴为2bx a =-,顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，.当2b x a <-时,y 随x 的增大而减小;当2b x a >-时,y 随x 的增大而增大;当2bx a=-时,y 有最小值244ac b a-.(2) 当0a <时,抛物线开口向下,对称轴为2bx a =-,顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，.当2b x a <-时,y 随x 的增大而增大;当2b x a >-时,y 随x 的增大而减小;当2bx a=-时,y 有最大值244ac b a-.6、二次函数解析式的表示方法(1) 一般式:2y ax bx c =++(a ,b ,c 为常数,0a ≠);(2) 顶点式:2()y a x h k =-+(a ,h ,k 为常数,0a ≠);(3)两根式:12()()y a x x x x =--(0a ≠,1x ,2x 就是抛物线与x 轴两交点的横坐标)、 7、二次函数与一元二次方程:1、 二次函数与一元二次方程的关系(二次函数与x 轴交点情况):一元二次方程20ax bx c ++=就是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况、图象与x 轴的交点个数:① 当240b ac ∆=->时,图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠,其中的12x x ，就是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根.这两点间的距离21AB x x =-=② 当0∆=时,图象与x 轴只有一个交点; ③ 当0∆<时,图象与x 轴没有交点、 7、二次函数的应用: (二)题型、方法归纳 类型一: 二次函数的平移【主题训练1】(枣庄中考)将抛物线y=3x 2向上平移3个单位,再向左平移2个单位,那么得到的抛物线的解析式为( )A 、y=3(x+2)2+3 B 、y=3(x-2)2+3 C 、y=3(x+2)2-3 D 、y=3(x-2)2-3【自主解答】选A 、由“上加下减”的平移规律可知,将抛物线y=3x 2向上平移3个单位所得抛物线的解析式为:y=3x 2+3;由“左加右减”的平移规律可知,将抛物线y=3x 2+3向左平移2个单位所得抛物线的解析式为:y=3(x+2)2+3、归纳:二次函数平移的两种方法1、确定顶点坐标平移:根据两抛物线前后顶点坐标的位置确定平移的方向与距离、2、利用规律平移:y=a(x+h)2+k 就是由y=ax 2经过适当的平移得到的,其平移规律就是“h 左加右减,k 上加下减”、即自变量加减左右移,函数值加减上下移、类型二:二次函数的图象及性质【主题训练2】(十堰中考)如图,二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)的图象的顶点在第一象限,且过点(0,1)与(-1,0),下列结论:①ab<0;②b2>4a;③0<a+b+c<2;④0<b<1;⑤当x>-1时,y>0、其中正确结论的个数就是( )A、5个B、4个C、3个D、2个【自主解答】选B、①∵对称轴在y轴右侧,∴- >0,∴ <0,∴a,b异号,∴ab<0,①正确;②把x=0,y=1代入y=ax2+bx+c得c=1,所以二次函数为y=ax2+bx+1; 又∵图象与x轴有两个交点,∴b2-4ac>0,∴b2>4a,②正确;③∵当x=1时,图象在x轴上方,∴a+b+c>0;把x=-1,y=0代入y=ax2+bx+1,得b=a+1,∵图象的开口向下,∴a<0,∴a+b+c= a+a+1+1=2a+2<2,∴0<a+b+c<2,③正确;④∵b=a+1,∴a=b-1,∵0<a+b+c<2,c=1,∴0<b-1+b+1<2,即0<2b<2,∴0<b<1,④正确;⑤当x>-1时,函数图象有部分在x轴上方,与x轴有交点,有部分在x轴下方,所以y>0,y=0,y<0都有可能、所以正确的共有4个,选B、归纳:类型三:二次函数与方程、不等式【主题训练3】(贺州中考)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,给出以下结论:①b2>4ac;②abc>0;③2a-b=0;④8a+c<0;⑤9a+3b+c<0,其中结论正确的就是、(填入正确结论的序号)【自主解答】∵抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴有两个交点,∴一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根,∴b2-4ac>0,即b2>4ac,①就是正确的、∵抛物线的b－开口方向向上,∴a>0;∵抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴,∴c<0;∵对称轴x=2ab－=1,∴=1>0,∴a与b异号,则b<0、∴abc>0,②就是正确的、∵抛物线的对称轴x=2ab=-2a,∴2a+b=0,③就是错误的、∵当x=-2时,y=4a-2b+c>0,又∵b=-2a,∴4a-2b+c=4a-2(-2a)+c=8a+c>0,④就是错误的、∵抛物线的对称轴为直线x=1,∴在x=-1与x=3时函数值相等,由函数图象可知x=-1的函数值为负数,∴x=3时的函数值y=9a+3b+c<0,⑤就是正确的、答案:①②⑤归纳:二次函数与方程、不等式的关系1、二次函数与方程:抛物线y=ax2+bx+c与x轴交点的横坐标满足ax2+bx+c=0、2、二次函数与不等式:抛物线y=ax2+bx+c在x轴上方部分的横坐标满足ax2+bx+c>0;抛物线y=ax2+bx+c在x轴下方部分的横坐标满足ax2+bx+c<0、类型四:二次函数的应用【主题训练4】(武汉中考)科幻小说《实验室的故事》中,有这样一个情节:科学家把一种珍奇的植物分别放在不同温度的环境中,经过一天后,测试出这种植物高度的增长情况(如表)、由这些数据,科学家推测出植物每天高度增长量y 就是温度x 的函数,且这种函数就是一次函数与二次函数中的一种、(1)请您选择一种适当的函数,求出它的函数关系式,并简要说明不选择另外两种函数的理由、(2)温度为多少时,这种植物每天高度增长量最大?(3)如果实验室温度保持不变,在10天内要使该植物高度增长量的总与超过250mm,那么实验室的温度x 应该在哪个范围内选择?直接写出结果、【自主解答】(1)选择二次函数、设抛物线的解析式为y=ax 2+bx+c, 根据题意,得4a 2b c 49,a 1,4a 2b c 41,b 2,c 49,c 49-+==-⎧⎧⎪⎪++==-⎨⎨⎪⎪==⎩⎩解得， ∴y 关于x 的函数解析式为y=-x 2-2x+49、不选另外两个函数的理由:点(0,49)不可能在任何反比例函数图象上,所以y 不就是x 的反比例函数;点(-4,41),(-2,49),(2,41)不在同一直线上,所以y 不就是x 的一次函数、(2)由(1)得y=-x 2-2x+49,∴y=-(x+1)2+50、 ∵a=-1<0,∴当x=-1时y 的最大值为50、即当温度为-1℃时,这种植物每天高度增长量最大、 (3)-6<x<4、归纳:解决二次函数应用题的两步骤1、建模:根据数量关系列二次函数关系建模或者根据图象的形状建模、2、应用:利用二次函数的性质解决问题、(三)典例精讲例题1: (2016·浙江省绍兴市·10分)课本中有一个例题:有一个窗户形状如图1,上部就是一个半圆,下部就是一个矩形,如果制作窗框的材料总长为6m,如何设计这个窗户,使透光面积最大？这个例题的答案就是:当窗户半圆的半径约为0.35m时,透光面积最大值约为1.05m2.我们如果改变这个窗户的形状,上部改为由两个正方形组成的矩形,如图2,材料总长仍为6m,利用图3,解答下列问题:(1)若AB为1m,求此时窗户的透光面积？(2)与课本中的例题比较,改变窗户形状后,窗户透光面积的最大值有没有变大？请通过计算说明.【分析】(1)根据矩形与正方形的周长进行解答即可;(2)设AB为xcm,利用二次函数的最值解答即可.【解答】解:(1)由已知可得:AD=,则S=1×m2,(2)设AB=xm,则AD=3﹣m,∵,∴,设窗户面积为S,由已知得:,当x=m时,且x=m在的范围内,,∴与课本中的例题比较,现在窗户透光面积的最大值变大.【点评】本题考查待定系数法确定二次函数解析式、二次函数性质等知识,解题的关键就是求出对称轴与直线BC交点H坐标,学会利用判别式确定两个函数图象的交点问题,属于中考常考题型.(四)归纳小结1、引导学生整理把握本章知识点并熟练掌握。
九年级数学上册22二次函数复习教案
第22章二次函数一、复习目标1.理解二次函数的观点；2.会把二次函数的一般式化为极点式，确立图象的极点坐标、对称轴和张口方向，会用描点法画二次函数的图象；3.会平移二次函数y ＝ax 2(a ≠0)的图象获得二次函数y ＝a(ax ＋m)2＋k 的图象，认识特别与一般互相联系和转变的思想；4.会用待定系数法求二次函数的分析式；5.利用二次函数的图象，认识二次函数的增减性，会求二次函数的图象与x 轴的交点坐标和函数的最大值、最小值，认识二次函数与一元二次方程和不等式之间的联系。
6.二次函数的综合应用 二、课时安排 2三、复习重难点掌握二次函数的性质，利用二次函数的图象，认识二次函数的增减性，会求二次函数的图象与x 轴的交点坐标和函数的最大值、最小值，认识二次函数与一元二次方程和不等式之间的联系，并能和其余知识点进行综合应用。
四、教课过程 （一）知识梳理 二次函数知识点：1. 二次函数的观点：一般地，形如2y ax bx c =++(a b c ，，是常数，0a ≠)的函数，叫做二次函数。
2. 二次函数的基本形式（1）二次函数基本形式：2y ax =的性质：2. 2y ax c =+的性质：3. ()2y a x h =-的性质： 4. ()2y a x h k =-+的性质： 3.二次函数图象的平移 1. 平移步骤：(1) 将抛物线分析式转变成极点式()2y a x h k =-+，确立其极点坐标()h k ，；(2)保持抛物线2y ax =的形状不变，将其极点平移各处()h k ，，详细平移方法以下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位（3） 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．归纳成八个字“左加右减，上加下减”．4.二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为极点式2()y a x h k =-+，确立其张口方向、对称轴及极点坐标，而后在对称轴双侧，左右对称地描点绘图.一般我们选用的五点为：极点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，对于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，(若与x 轴没有交点，则取两组对于对称轴对称的点). 画草图时应抓住以下几点：张口方向，对称轴，极点，与x 轴的交点，与y 轴的交点. 5.二次函数2y ax bx c =++的性质（1） 当0a >时，抛物线张口向上，对称轴为2bx a =-，极点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a-．（2） 当0a <时，抛物线张口向下，对称轴为2bx a=-，极点坐标为2424b ac b aa ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a -．6.二次函数分析式的表示方法（1） 一般式：2y ax bx c =++(a ，b ，c 为常数，0a ≠)；（2） 极点式：2()y a x h k =-+(a ，h ，k 为常数，0a ≠)；（3）两根式：12()()y a x x x x =--(0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标). 7.二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系(二次函数与x 轴交点状况)：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特别状况. 图象与x 轴的交点个数：① 当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，此中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离21AB x x =-=② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点； ③ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点. 7.二次函数的应用： （二）题型、方法归纳 种类一： 二次函数的平移【主题训练1】(枣庄中考)将抛物线y=3x 2向上平移3个单位,再向左平移2个单位,那么获得的抛物线的分析式为( )A.y=3(x+2)2+3 B.y=3(x-2)2+3 C.y=3(x+2)2-3D.y=3(x-2)2-3【自主解答】选A.由“上加下减”的平移规律可知,将抛物线y=3x 2向上平移3个单位所得抛物线的分析式为:y=3x 2+3;由“左加右减”的平移规律可知,将抛物线y=3x 2+3向左平移2个单位所得抛物线的分析式为:y=3(x+2)2+3.归纳：二次函数平移的两种方法1.确立极点坐标平移:依据两抛物线前后极点坐标的地点确立平移的方向与距离.2.利用规律平移:y=a(x+h)2+k 是由y=ax 2经过适合的平移获得的,其平移规律是“h 左加右减,k 上加下减”.即自变量加减左右移,函数值加减上下移.种类二：二次函数的图象及性质【主题训练2】(十堰中考)如图,二次函数y=ax 2+bx+c (a≠0)的图象的极点在第一象限,且过点(0,1)和(-1,0),以下结论:①ab<0;②b2>4a;③0<a+b+c<2;④0<b<1;⑤当x>-1时,y>0.此中正确结论的个数是( )A.5个B.4个C.3个D.2个【自主解答】选B.①∵对称轴在y轴右边,∴- >0,∴ <0,∴a,b异号,∴ab<0,①正确;②把x=0,y=1代入y=ax2+bx+c得c=1,因此二次函数为y=ax2+bx+1; 又∵图象与x轴有两个交点,∴b2-4ac>0,∴b2>4a,②正确;③∵当x=1时,图象在x轴上方,∴a+b+c>0;把x=-1,y=0代入y=ax2+bx+1,得b=a+1,∵图象的张口向下,∴a<0,∴a+b+c= a+a+1+1=2a+2<2,∴0<a+b+c<2,③正确;④∵b=a+1,∴a=b-1,∵0<a+b+c<2,c=1,∴0<b-1+b+1<2,即0<2b<2,∴0<b<1,④正确;⑤当x>-1时,函数图象有部分在x轴上方,与x轴有交点,有部分在x轴下方,因此y>0,y=0,y<0都有可能.因此正确的共有4个,选B.归纳：种类三：二次函数与方程、不等式【主题训练3】(贺州中考)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象以下图,给出以下结论:①b2>4ac;②abc>0;③2a-b=0;④8a+c<0;⑤9a+3b+c<0,此中结论正确的选项是.(填入正确结论的序号)【自主解答】∵抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴有两个交点,∴一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根,∴b2-4ac>0,即b2>4ac,①是正确的.∵抛物线的张b－ =1>0,口方向向上,∴a>0;∵抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴,∴c<0;∵对称轴x=2ab－=1,∴b=-2a,∴∴a与b异号,则b<0.∴abc>0,②是正确的.∵抛物线的对称轴x=2a2a+b=0,③是错误的.∵当x=-2时,y=4a-2b+c>0,又∵b=-2a,∴4a-2b+c=4a-2(-2a)+c=8a+c>0,④是错误的.∵抛物线的对称轴为直线x=1,∴在x=-1与x=3时函数值相等,由函数图象可知x=-1的函数值为负数,∴x=3时的函数值y=9a+3b+c<0,⑤是正确的.答案:①②⑤归纳：二次函数与方程、不等式的关系1.二次函数与方程:抛物线y=ax2+bx+c与x轴交点的横坐标知足ax2+bx+c=0.2.二次函数与不等式:抛物线y=ax2+bx+c在x轴上方部分的横坐标知足ax2+bx+c>0;抛物线y=ax2+bx+c在x轴下方部分的横坐标知足ax2+bx+c<0.种类四：二次函数的应用【主题训练4】(武汉中考)科幻小说《实验室的故事》中,有这样一个情节:科学家把一种珍异的植物分别放在不一样温度的环境中,经过一天后,测试出这栽种物高度的增加状况(如表).由这些数据,科学家推断出植物每日高度增加量y 是温度x 的函数,且这类函数是一次函数和二次函数中的一种.(1)请你选择一种适合的函数,求出它的函数关系式,并简要说明不选择此外两种函数的原因.(2)温度为多少时,这栽种物每日高度增加量最大?(3)假如实验室温度保持不变,在10天内要使该植物高度增加量的总和超出250mm,那么实验室的温度x 应当在哪个范围内选择?直接写出结果.【自主解答】(1)选择二次函数.设抛物线的分析式为y=ax 2+bx+c, 依据题意,得4a 2b c 49,a 1,4a 2b c 41,b 2,c 49,c 49-+==-⎧⎧⎪⎪++==-⎨⎨⎪⎪==⎩⎩解得， ∴y 对于x 的函数分析式为y=-x 2-2x+49.不选此外两个函数的原因:点(0,49)不行能在任何反比率函数图象上,因此y 不是x 的反比率函数;点(-4,41),(-2,49),(2,41)不在同向来线上,因此y 不是x 的一次函数.(2)由(1)得y=-x 2-2x+49,∴y=-(x+1)2+50. ∵a=-1<0,∴当x=-1时y 的最大值为50.即当温度为-1℃时,这栽种物每日高度增加量最大. (3)-6<x<4.归纳：解决二次函数应用题的两步骤1.建模:依据数目关系列二次函数关系建模或许依据图象的形状建模.2.应用:利用二次函数的性质解决问题.（三）典例精讲例题1：（2016·浙江省绍兴市·10分）课本中有一个例题：有一个窗户形状如图1，上部是一个半圆，下部是一个矩形，假如制作窗框的资料总长为6m，怎样设计这个窗户，使透光面积最大？这个例题的答案是：当窗户半圆的半径约为0.35m时，透光面积最大值约为1.05m2．我们假如改变这个窗户的形状，上部改为由两个正方形构成的矩形，如图2，资料总长仍为6m，利用图3，解答以下问题：（1）若AB为1m，求此时窗户的透光面积？（2）与课本中的例题比较，改变窗户形状后，窗户透光面积的最大值有没有变大？请经过计算说明．【剖析】（1）依据矩形和正方形的周进步行解答即可；（2）设AB为xcm，利用二次函数的最值解答即可．【解答】解：（1）由已知可得：AD=，则S=1×m2，（2）设AB=xm，则AD=3﹣m，∵，∴，设窗户面积为S，由已知得：，当x=m时，且x=m在的范围内，，∴与课本中的例题比较，此刻窗户透光面积的最大值变大．【评论】此题考察待定系数法确立二次函数分析式、二次函数性质等知识，解题的重点是求出对称轴与直线BC交点H坐标，学会利用鉴别式确立两个函数图象的交点问题，属于中考常考题型．（四）归纳小结1.指引学生整理掌握本章知识点并娴熟掌握。
九年级上册数学人教版第22单元复习教学设计 教案
第22章二次函数复习教案一、知识网络二、知识梳理+经典例题知识点一：二次函数的概念定义：一般地，形如y=ax2+bx+c（a,b,c是常数，a≠0）的函数叫做二次函数.其中x是自变量，a,b,c 分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项。
知识点三：二次函数y=ax2+k的图像和性质二次函数y=ax2+k（a≠0）的图像是一条抛物线，它的对称轴是y轴，顶点坐标是（0，k），它与y=ax2的图像形状相同，只是位置不同.函数y=ax2+k（a≠0）的图像是由抛物线y=ax2向上（或下）平移|k|个单位长度得到的.二次函数y=ax2+k（a≠0）与y=ax2（a≠0）的图像之间的关系如下表所示：y=ax2（a≠0）向上平移|k|个单位长度向下平移|k|个单位长度二次函数y=ax2+k的图像和性质如下:a的符号a>0a<0图像开口方向向上向下对称轴y轴y轴最值当x=h时，y有最小值y最小值=0当x=h时，y有最大值y最大值=0知识点五：二次函数y=a(x-h)2+k(a,h，k是常数，a≠0)的图像和性质1、二次函y=a(x-h)2+k(a≠0)的图象是一条抛物线，它的对称轴是x=h，顶点坐标为(h,k)，是由抛物线y=ax2(a≠0)向右（左）平移|h|个单位长度，再向上（下）平移|k|个单位长度得到的2、性质a的符号a>0a<0图像开口方向向上向下对称轴x=h x=h顶点坐标(h,k)(h,k)增减性当x<h时，y随x的增大而减小；当x>h时，y随x的增大而增大当x<h时，y随x的增大而增大；当x>h时，y随x的增大而减小最值当x=h时，y有最小值，y最小值=k 当x=h时，y有最大值，y最大值=k例5已知二次，函数y=a（x-1）2-c的图像如图所示，则一次函数y=ax+c 的大致图像可（）a a>0开口向上a<0开口向下b ab=0对称轴为y轴ab>0(a,b同号)对称轴在y轴左侧ab<0(a,b异号)对称轴在y轴右侧c c=0图像过原点c>0与y轴正半轴相交c<0与y轴负半轴相交b2-4ac b2-4ac=0与x轴有唯一一个交点b2-4ac>0与x轴有两个交点b2-4ac<0与x轴没有交点例7、二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则abc，b2-4ac，2a+b，a+b+c这四个式子中，值为正数的有（）A.4个B.3个C.2个D.1个知识点八：二次函数与一元二次方程的联系1、二次函数y=ax2＋bx＋c（a≠0），当y=0时，得到一元二次方程ax2＋bx＋c=0（a≠0）.那么一元二次方程的根就是二次函数的图像与x轴交点的横坐标，因此，二次函数的图像与x轴的交点情况决定了一元二次方程根的情况.（1）当二次函数y=ax2＋bx＋c（a≠0）的图像与x轴有两个交点时，b2-4ac>0,方程ax2＋bx＋c=0（a知识点九：二次函数与一元二次不等式的关系1、抛物线y=ax2＋bx＋c（a≠0）在x轴上方的部分点的纵坐标为正，所对应的x的所有值就是不等式ax2＋bx＋c >0（a≠0）的解集；在x轴下方的部分点的纵坐标都为负，所对应的x的所有值就是不等式ax2＋bx＋c<0（a≠0）的解集，不等式中如果带有等号，其解集也相应带有等号2、二次函数y=ax2＋bx＋c（a≠0）与一元二次不等式ax2＋bx＋c >0（a≠0）及ax2＋bx＋c<0（a≠0）之间的关系如下：例9、二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则函数值y＞0时，x的取值范围是（）A.x＜-1B.x＞3C.-1＜x＜3D.x＜-1或x＞3知识点十：二次函数与实际问题1、二次函数的应用：二次函数的应用关键在于建立二次函数的数学模型，这就需要认真审题，理解题意，利用二次函数解决实际问题，应用最多的是根据二次函数的最值确定最大利润、最节省方案等问题2、建立平面直角坐标系，用二次函数的图象解决实际问题：建立平面直角坐标系，把代数问题与几何问题进行互相转化，充分结合三角函数、解直角三角形、相似、全等、圆等知识解决问题，求二次函数的表达式是解题关键。
九年级数学上册第22章二次函数复习教案
第22章 二次函数 本章回顾（王继伟）一、思维导图二、典型例题例1. 如图，已知二次函数212y x bx c =-++的图象经过A （2，0）、B （0，﹣6）两点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）设该二次函数图象的对称轴与x 轴交于点C ，连接BA 、BC ，求△ABC 的面积；（3）若抛物线的顶点为D ，在y 轴上是否存在一点P ，使得△P AD 的周长最小？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【知识点】二次函数的图象与性质，三角形面积【数学思想】数形结合【解题过程】解：（1）将点A （2，0）、B （0，﹣6）代入得：2206b c c -++=⎧⎨=-⎩， 解得：46b c =⎧⎨=-⎩， 故这个二次函数的解析式为：21462y x x =-+-．（2）∵二次函数的解析式为：21462y x x =-+-，∴二次函数的对称轴为x =4，即OC =4， ∴AC =2， 故162ABC S AC BO ∆=⨯=．（3）存在，点P 的坐标为2(0,)3．AD 长度固定，只需找到点P 使AP+PD 最小即可，找到点A 关于y 轴的对称点A'，连接A'D ，则A'D 与y 轴的交点即是点P 的位置，∵点A'与点A 关于y 轴对称，∴点A'的坐标为（﹣2，0），又∵顶点D 的坐标为（4，2），∴直线A'D 的解析式为：1233y x =+，令x =0，则23y =，即点P 的坐标为2(0,)3．【思路点拨】（1）将点A 及点B 的坐标代入即可得出b 、c 的值，继而可得出二次函数解析式；（2）根据（1）求得的解析式，可得出对称轴，也可得出AC 的长度，根据S △ABC =12AC ×BO 可得出答案．（3）AD 长度固定，故只需找到点P 使AP +PD 最小即可，找到点A 关于y 轴的对称点A'，连接A'D ，则A'D 与y 轴的交点即是点P 的位置，求出直线A'D 的函数解析式，可得出点P 的坐标． 【答案】21462y x x =-+-，162ABC S AC BO ∆=⨯=，2(0,)3.例2．某商店销售一种销售成本为40元/千克的水产品，若按50元/千克销售，一个月可售出500千克，销售价每涨价1元，月销售量就减少10千克．（1）写出月销售利润y 与售价x 之间的函数关系式．（2）销售单价定为55元时，计算月销售量与销售利润．（3）商场想在月销售成本不超过3000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？（4）当售价定为多少元时，会获得最大利润？求出最大利润．【知识点】列函数解析式，二次函数的最值,解一元二次方程，销售问题【解题过程】解：（1）可卖出千克数为500－10(x －50)=1000－10x ，y 与x 的函数表达式为y =(x －40)(1000－10x )=﹣10x 2+1400x －40000；（2）∵当销售单价定为每千克55元时，则销售单价涨(55－50)元，减少的销售量是(55－50)×10千克，∴月销售量为：500－(55－50)×10=450(千克)，所以月销售利润为：(55－40)×450=6750元；（3）令y =8000，则8000=－10x 2+1400x －40000解得x 1=60，x 2=80．当x =60时，销售价为60元，月销售量为400千克，则成本价为40×400=16000（元），超过了3000元，不合题意，舍去；当x =80时，销售价为80元，月销售量为200千克，则成本价为40×200=8000（元），超过了3000元，不合题意，舍去；故无解；（4）y =－10x 2+1400x －40000=－10(x －70)2+9000当售价定为70元时，会获得最大利润，最大利润9000元．【思路点拨】（1）月销售利润=每千克的利润×可卖出千克数，把相关数值代入即可；（2）根据“销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克”，可知：月销售量=500﹣（销售单价﹣50）×10．由此可得出售价为55元/千克时的月销售量，然后根据利润=每千克的利润×销售的数量来求出月销售利润；（3）由（1）中y 与x 的关系式，令y=8000，解出x 即可；（4）利用二次函数性质求出最值即可．【答案】y =﹣10x 2+1400x －40000；销售量：450(千克)，销售利润：6750元；无解；当售价定为70元时，会获得最大利润，最大利润9000元．例3. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线2y =+x 轴于A ，B 两点，交y 轴于点C ，抛物线上一点D 的横坐标为﹣5．（1）求直线BD 的解析式；（2）点E 是线段BD 上的动点，过点E 作x 轴的垂线交抛物线于点F ，当折线EF +BE 最大时，在对称轴上找一点P ，在y 轴上找一点Q ，连接QE 、OP 、PQ ，求OP +PQ +QE 的最小值；【知识点】二次函数的图象与性质，二次函数的最值，勾股定理【数学思想】数形结合【解题过程】解：（1）令y =0，则20x =，解得x =－4或1，∴A (－4，0)，B (1，0)，令x =0，则y C (0，当x =－5时，y =－3+3=－，∴点D 坐标（－5，－，设直线BD 的解析式为y =kx +b，则有50k b k b ⎧-+=-⎪⎨+=⎪⎩k b ⎧⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴直线BD 的解析式为yx． （2）如图1中，设BD 交y 轴于K ，则K (0，－3)，设E (m3m－3)，则F （m，－m 2m，∠ABD =30°，∴EF +EB =-m 2-m-m-）+2-m ）=-(m +3)2+ ∴m =-3时，EF +EB 的值最大，此时点E 坐标(-3，-3)， 如图2中，作点E 关于y 轴的对称点N ，EM ⊥AB 于M ，连接MN ，交对称轴于P ，交y 轴于Q ，∵M 、O 关于对称轴对称，∴OP =PM ，∵E 、N 关于y 轴对称，∴QE =QN ，∴OP +PQ +QE =PM +PQ +QN ，∴当M 、N 、P 、Q 共线时，OP +PQ +QE 最小，最小值为MN ，在Rt △MNE 中，MN ==∴OP +PQ +QE ． 【思路点拨】（1）先求出B 、D 两点坐标，再利用待定系数法即可解决问题．（2）如图1中，设BD 交y 轴于K ，则K (0)，设E (m m )，则F （m m 2m ，构建二次函数确定m 的值，求出点E 坐标，如图2中，作点E 关于y 轴的对称点N ，EM ⊥AB 于M ，连接MN ，交对称轴于P ，交y 轴于Q ，当M 、N 、P 、Q 共线时，OP +PQ +QE 最小，最小值为MN .【答案】y x , 第22章 章末检测题（王继伟）一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分）1．下列函数中，y 是x 的二次函数的是（ ）A ．21y x =-B ．1y x=- C ．31y x =+ D ．2y x x =-【知识点】二次函数的定义 【解题过程】解：A 、21y x =-，是一次函数，故此选项错误；B 、1y x=-，右边是分式，故此选项错误； C 、31y x =+，x 的指数是3，故此选项错误；D 、2y x x =-，是二次函数，故此选项正确；【思路点拨】此题主要考查了二次函数的定义，正确把握定义是解题关键．【答案】D2．抛物线224y x =+与y 轴的交点坐标是（ ）A ．（0，2）B ．（0，﹣2）C ．（0，4）D ．（0，﹣4）【知识点】二次函数图象上点的坐标特征．【解题过程】解：把x=0代入抛物线224y x =+中，解得：y=4，则抛物线224y x =+与y 轴的交点坐标是（0，4）．【思路点拨】此题考查学生会求函数图象与坐标轴的交点坐标，即要求函数与x 轴交点坐标就要令y=0，要求函数与y 轴的交点坐标就要令x=0，代入抛物线的解析式求出对应的y 值，写成坐标形式即可．【答案】C3．抛物线2113y x =+，232y x =-+，23y x =-+，224y x =+的图象开口最大的是（ ）A ．2113y x =+ B ．232y x =-+ C ．23y x =-+ D ．224y x =+【知识点】二次函数的图象 【解题过程】解：∵二次函数中a 的值越小，则函数图象的开口也越大， 又∵11233<-<<-， ∴抛物线2113y x =+的图象开口最大. 【思路点拨】根据二次函数中a 的值越小，则函数图象的开口也越大，可以得出那个选项是正确的．【答案】A4．二次函数23(2)9y x =--+的图象的开口方向，对称轴和顶点坐标分别为（ ）A. 开口向上，对称轴为2x =-，顶点为(2,9)-B. 开口向上，对称轴为2x =，顶点为(2,9)C. 开口向下，对称轴为2x =-，顶点为(2,9)D. 开口向下，对称轴为2x =，顶点为(2,9)【知识点】二次函数的图象和性质【解题过程】解：∵23(2)9y x =--+中，30-<，所以抛物线开口向下，对称轴为2x =，顶点为(2,9)【思路点拨】由二次函数的顶点式可得.【答案】D5．若二次函数的解析式为2243y x x =-+，则其函数图象与x 轴交点的情况是（ ）A ．没有交点B ．有一个交点C ．有两个交点D ．以上都不对【知识点】抛物线与x 轴的交点【解题过程】解：因为△=（﹣4）2﹣4×2×3=﹣8＜0，所以抛物线与x 轴没有交点．故选A ．【思路点拨】先计算判别式的值，然后根据判别式的意义进行判断．【答案】A6．已知点1(3,)A y -，2(1,)B y -，3(2,)C y 在函数22y x x b =--+的图象上，则y 1、y 2、y 3的大小关系为（ ）A ．y 1＜y 3＜y 2B ．y 2＜y 1＜y 3C ．y 3＜y 1＜y 2D ．y 3＜y 2＜y 1【知识点】二次函数图象上点的坐标特征．【解题过程】解：∵22y x x b =--+，∴函数22y x x b =--+的对称轴为直线1x =-，开口向下，当1x <-时，y 随x 的增大而增大，当y ＞﹣1时，y 随x 的增大而减小，∵﹣1﹣（﹣3）=2，﹣1﹣（﹣1）=0，2﹣（﹣1）=3，∴y 3＜y 1＜y 2，【思路点拨】根据二次函数图象具有对称性和二次函数图象上点的坐标特征，可以判断y 1、y 2、y 3的大小，从而可以解答本题．【答案】C7．某工厂2015年产品的产量为100吨，该产品产量的年平均增长率为x （x ＞0），设2017年该产品的产量为y 吨，则y 关于x 的函数关系式为（ ）A ．2100(1)y x =-B ．2100(1)y x =+C ．2100(1)y x =+ D ．2100100(1)100(1)y x x =++++ 【知识点】根据实际问题列二次函数关系式【解题过程】解：根据题意，得：y 关于x 的函数关系式为2100(1)y x =+【思路点拨】2017年的产量=2015年的产量×（1+年平均增长率）2，把相关数值代入即可．【答案】B ．8．一个二次函数的图象的顶点坐标为(3,1)-，与y 轴的交点(0,4)-，这个二次函数的解析式是（ ）A ．21243y x x =-+B ．21243y x x =-+- C ．21(3)13y x =-+- D ．2612y x x =-+- 【知识点】待定系数法求二次函数解析式.【解题过程】解：设抛物线解析式为y=a （x ﹣3）2﹣1，把（0，﹣4）代入得a•（﹣3）2﹣1=﹣4，解得a=﹣13， 所以抛物线解析式为2211(3)12433y x x x =---=-+-． 【思路点拨】由于已知顶点坐标，则可设顶点式y=a （x ﹣3）2﹣1，然后把（0，﹣4）代入求出a 的值即可得到抛物线解析式．【答案】B ．9．将二次函数22y x =-的图象平移后，可得到二次函数22(1)y x =-+的图象，平移的方法是（ ）A ．向上平移1个单位B ．向下平移1个单位C ．向左平移1个单位D ．向右平移1个单位【知识点】二次函数图象与几何变换．【解题过程】法1：解：抛物线y=﹣2x2的顶点坐标是（0，0）．抛物线y=﹣2（x+1）2的顶点坐标是（﹣1，0）．则由二次函数y=﹣2x2的图象向左平移1个单位即可得到二次函数y=﹣2（x+1）2的图象．法2：根据平移规律：“左加右减，上加下减”可得.【思路点拨】根据平移前后两个抛物线的顶点坐标的变化来判定平移方法．或者根据平移规律：“左加右减，上加下减”确定.【答案】C10．如果抛物线262y x x c =-+-的顶点到x 轴的距离是3，那么c 的值等于（ ）A ．8B ．14C ．8或14D ．﹣8或﹣14【知识点】待定系数法求二次函数解析式．【数学思想】分类讨论 【解题过程】解：根据题意24(2)(6)34c ---=±，解得c=8或14． 【思路点拨】本题考查了求顶点的纵坐标公式，根据题意，知顶点的纵坐标是3或﹣3，列出方程求出解则可．【答案】C11．在同一坐标系中，一次函数y ax b =+与二次函数2y ax b =+的大致图象是（ ）A ．B ． C. D ．【知识点】二次函数的图象，一次函数的图象【解题过程】解：A 、由一次函数y ax b =+的图象可得：a ＞0，此时二次函数2y ax b =+的图象应该开口向上，故A 错误；B 、由一次函数y ax b =+的图象可得：a ＜0，b ＞0，此时二次函数2y ax b =+的图象应该开口向下，顶点的纵坐标大于零，故B 错误；C 、由一次函数y ax b =+的图象可得：a ＜0，b ＞0，此时二次函数2y ax b =+的图象应该开口向下，顶点的纵坐标大于零，故C 正确；D 、由一次函数y ax b =+的图象可得：a ＞0，b ＞0，此时抛物线2y ax b =+的顶点的纵坐标大于零，故D 错误；【思路点拨】用矛盾排除法，可先根据一次函数的图象判断a 、b 的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误．【答案】C12．小明从二次函数y=ax 2+bx+c 的图象（如图）中观察得到了下面五条信息：①0abc > ②230a b -= ③240b ac -> ④0a b c ++> ⑤4b c <则其中结论正确的个数是（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【知识点】二次函数图象与系数的关系【解题过程】解：①因为函数图象与y 轴的交点在y 轴的负半轴可知，c ＜0， 由函数图象开口向上可知，a ＞0，由①知，c ＜0，由函数的对称轴在x 的正半轴上可知，02b x a =->，故b ＜0，故abc ＞0；故此选项正确； ②因为函数的对称轴为123b x a =-=，故23a b =-，即230a b +=；故此选项错误；③因为图象和x 轴有两个交点，所以240b ac ->，故此选项正确；④把1x =代入2y ax bx c =++得：0a b c ++<，故此选项错误；⑤当2x =时，422(3)24y a b c b b c c b =++=⨯-++=-，而点(2,4)c b -在第一象限，∴⑤40c b ->，故此选项正确；其中正确信息的有①③⑤，故选B ．【思路点拨】此题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a 与b 的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．由抛物线的开口方向判断a 与0的关系，由抛物线与y 轴的交点判断c 与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【答案】B二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）13. 已知抛物线2y ax =开口向下，且3a =，则a = .【知识点】二次函数图象与系数的关系 【解题过程】解：∵3a =，∴3a =?又∵抛物线2y ax =开口向下，∴0a <，∴3a =-【思路点拨】由抛物线的开口方向判断a 与0的关系.【答案】-314．若点(2,)A m 在抛物线2y x =上，则点A 关于y 轴对称点的坐标是 ．【知识点】二次函数图象上点的坐标特征，关于y 轴对称的点的坐标.【解题过程】解：∵点(2,)A m 在抛物线2y x =上，∴224y ==，∴(2,4)A ∴(2,4)A 关于y 轴对称点的坐标是（﹣2，4）【思路点拨】点在函数图象上代入解析式，求得点A 的坐标，关于y 轴对称，纵坐标不变，横坐标变为它的相反数.【答案】（﹣2，4）15．已知抛物线22y x x =--经过点(,5)m ，则22m m -+的值为_______【知识点】二次函数图象上点的坐标特征【数序思想】整体代换求代数式的值【解题过程】解：∵抛物线22y x x =--经过点(,5)m ，∴5=m 2﹣m ﹣2，故m 2﹣m=7，∴m 2﹣m+2=9．【思路点拨】直接利用二次函数图象上点的坐标性质得出关于m 的等式，进而得出答案．【答案】916．二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的部分对应值如下表：则二次函数2y ax bx c =++在2x =时，y=_________【知识点】二次函数图象上点的坐标特征．【解题过程】解：∵x=﹣3时，y=7；x=5时，y=7，∴二次函数图象的对称轴为直线x=1，∴x=0和x=2时的函数值相等，∴x=2时，y=﹣8．【思路点拨】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．观察表中的对应值得到x=﹣3和x=5时，函数值都是7，则根据抛物线的对称性得到对称轴为直线x=1，所以x=0和x=2时的函数值相等，【答案】﹣817．若抛物线231y ax x =+-与x 轴有两个交点，则a 的取值范围是 ．【知识点】抛物线与x 轴的交点．【解题过程】解：∵抛物线231y ax x =+-与x 轴有两个交点，∴a≠0，△＞0，∴9﹣4a×（﹣1）＞0，∴a ＞﹣94，故答案为a ＞﹣94且a≠0． 【思路点拨】此题主要考查一元二次方程与函数的关系，根据题意，令y=0，得方程ax 2+3x ﹣1=0，有两个不同的根得△＞0，从而解出a 的范围． 【答案】904a a >-≠且 18．如图，在△ABC 中，∠C =90°，AB =10cm ，BC =8cm ，点P 从点A 沿AC 向点C 以1cm/s 的速度运动，同时点Q 从点C 沿CB 向点B 以2cm/s 的速度运动（点Q 运动到点B 停止），在运动过程中，四边形P ABQ 的面积最小值为______．【知识点】二次函数的最值，勾股定理【解题过程】解：在Rt△ABC 中，∠C =90°，AB =10cm ，BC =8cm ，∴AC =6cm ． 设运动时间为t （0≤t≤4），则PC =（6﹣t ）cm ，CQ =2tcm ，∴S 四边形P ABQ =S△ABC ﹣S△CPQ =12AC •BC ﹣12PC •CQ =12×6×8﹣12（6﹣t ）×2t=t 2﹣6t+24=（t ﹣3）2+15，∴当t=3时，四边形P ABQ 的面积取最小值，最小值为15．【思路点拨】本题考查了二次函数的最值以及勾股定理，利用分割图形求面积法找出S 四边形PABQ=t 2﹣6t+24是解题的关键．在Rt△ABC 中，利用勾股定理可得出AC=6cm ，设运动时间为t （0≤t≤4），则PC=（6﹣t ）cm ，CQ=2tcm ，利用分割图形求面积法可得出S 四边形PABQ=t 2﹣6t+24，利用配方法即可求出四边形PABQ 的面积最小值，此题得解．【答案】15cm 2三．解答题（本大题共2个小题，每小题8分，共16分）19. 已知二次函数23y ax bx =+-中x 、y 满足下表：（1）求这个二次函数的解析式；（2）求m 的值【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征．【解题过程】解：（1）由题意得(1,0)-，(1,4)-在二次函数23y ax bx =+-图象上∴3034a b a b --=⎧⎨+-=-⎩，解得：1a =，2b =-，∴这个二次函数的解析式为223y x x =--．（2）当3x =时，2239630y x x =--=--=． ∴0m =．【思路点拨】考查了用待定系数法求二次函数解析式的方法．本题中要求熟练掌握二次函数的基本性质．（1）找一组点的坐标代入抛物线的解析式即可求出a 、b 值，进而求得解析式．（2）把x=3代入（1）中的解析式即可求得m 的值；【答案】（1）223y x x =--；（2）0m =.20. 如图，抛物线21y x bx c =+-经过直线23y x =-与坐标轴的两个交点A 、B ，此抛物线与x 轴的另一个交点为C ，抛物线顶点为D ．（1）求此抛物线的解析式；（2）求四边形ADBC 的面积；（3）直接写出使y 1＜y 2的x 的取值范围．【知识点】二次函数的性质；一次函数的性质【数学思想】数形结合【解题过程】解：（1）∵直线23y x =-与坐标轴的两个交点A 、B ，∴点B （0，﹣3），点A （3，0），将A 与B 坐标代入抛物线21y x bx c =+-得：3930c b c -=-⎧⎨+-=⎩，解得：c=3，b=﹣2， 则抛物线的解析式是y=x 2﹣2x ﹣3；（2）∵令y=x 2﹣2x ﹣3=0，解得：x=﹣1或x=3，∴点C 的坐标为（﹣1，0）， ∵y=x 2﹣2x ﹣3=（x ﹣1）2+4，∴顶点D 的坐标为（1，﹣4），作DE ⊥AC 于点E ，由题意得：OC =1，OB =3，DE =4，OE =1，AE =2，∴S 四边形ACBD =S △OBC +S 梯形OBDE +S △AED =12OC •OB +12(OB +DE)•OE +12AE •ED =12×1×3+12×（3+4）×1+12×2×4=32+72+4=9； （3）∵y 1＜y 2，∴抛物线位于直线的下方，∴x 的取值范围为：0＜x ＜3．【思路点拨】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是能够求得图中的几个点的坐标，能够将点的坐标转化为线段的长，从而求得四边形的面积．（1）对于一次函数23y x =-，分别令x 与y 为0求出对应y 与x 的值，确定出A 与B的坐标，代入抛物线解析式得到关于b与c的方程组，求出方程组的解得到b与c的值，即可确定出抛物线解析式；=S△OBC+S梯形OBDE+S△AED （2）分别求得A、B、C、D的坐标，利用S四边形ACBD求面积即可．（3）根据y1＜y2的可以得到抛物线位于直线的下方，从而可以写出自变量的取值范围．【答案】（1）y=x2﹣2x﹣3；（2）9；0＜x＜3．四．解答题（本大题共4个小题，每小题10分，共40分）21．如图，隧道的截面由抛物线AED和矩形ABCD构成，矩形的长BC为8m，宽AB为2m，以BC所在的直线为x轴，线段BC的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系．y轴是抛物线的对称轴，顶点E到坐标原点O的距离为6m．（1）求抛物线的解析式；（2）如果该隧道内设双行道，现有一辆货运卡车高4.2m，宽2.4米，这辆货运卡车能否通过该隧道？通过计算说明你的结论．【知识点】二次函数的应用【数学思想】数形结合【解题过程】解：（1）设抛物线的解析式为2(0)=++≠，由对称轴y ax bx c a是y轴得b=0，∵EO=6，∴c=6，∵矩形的长BC为8m，宽AB为2m，以BC所在的直线为x轴，线段BC 的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系∴(4,2)D，又∵抛物线经过点(4,2)D，∴16462a b ++=，解得14a =- ，所求抛物线的解析式为：2164y x =-+．（2）取 2.4x =±，代入（1）所求得的解析式中，得21( 2.4)64y =-⨯±+．解得：y=4.56＞4.2故这辆货运卡车能通过隧道．【思路点拨】求抛物线解析式有几种方法，因题而异，灵活处理．会找抛物线上几个关键点的坐标，确定抛物线解析式．（1）根据抛物线在坐标系中的特殊位置，可以设抛物线的一般式，顶点式，求抛物线的解析式．（2）抛物线的实际应用问题中，可以取自变量的值，求函数值．【答案】（1）2164y x =-+；（2）能通过隧道．22．如图，是将抛物线2y x =-平移后得到的抛物线，其对称轴为1x =，与x 轴的一个交点为(1,0)A -，另一个交点为B ，与y 轴的交点为C ．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点N 为抛物线上一点，且BC ⊥NC ，求点N 的坐标；【知识点】二次函数综合题【数学思想】数形结合【解题过程】解：（1）设抛物线的解析式是2(1)y x k =--+．把(1,0)-代入得20(11)k =---+，解得4k =，则抛物线的解析式是2(1)4y x =--+，即223y x x =-++；（2）在223y x x =-++中令0x =，则3y =，即C 的坐标是(0,3)，OC =3． ∵B 的坐标是(3,0)，∴OB =3，∴OC =OB ，则△OBC 是等腰直角三角形．∴45OCB ∠=︒，过点N 作NH ⊥y 轴，垂足是H ．∵∠NCB =90°，∴∠NCH =45°，∴NH =CH ，∴HO =OC +CH =3+CH =3+NH ，设点N 纵坐标是2(,23)a a a -++．∴2323a a a +=-++，解得a=0（舍去）或a=1，∴N 的坐标是(1,4).【思路点拨】（1）已知抛物线的对称轴，因而可以设出顶点式，利用待定系数法求函数解析式；（2）首先求得B 和C 的坐标，易证△OBC 是等腰直角三角形，过点N 作NH ⊥y 轴，垂足是H ，设点N 纵坐标是（a ，﹣a 2+2a+3），根据CH =NH 即可列方程求解；【答案】（1）223y x x =-++；（2）(1,4).23．为了“创建文明城市，建设美丽家园”，我市某社区将辖区内的一块面积为1000m 2的空地进行绿化，一部分种草，剩余部分栽花，设种草部分的面积为2()x m ，种草所需费用y 1(元)与x(m 2)的函数关系式为112(0600)(6001000)k x x y k x b x ≤<⎧=⎨+≤≤⎩，其图象如图所示：栽花所需费用y 2(元)与x(m 2)的函数关系式为220.012030000(01000)y x x x =--+≤≤．（1）请直接写出k 1、k 2和b 的值；（2）设这块1000m 2空地的绿化总费用为W (元)，请利用W 与x 的函数关系式，求出绿化总费用W 的最大值；（3）若种草部分的面积不少于700m 2，栽花部分的面积不少于100m 2，请求出绿化总费用W 的最小值．【知识点】二次函数的应用【数学思想】数形结合，分类讨论思想【解题过程】解：（1）将x=600、y=18000代入y 1=k 1x ，得：18000=600k 1，解得：k 1=30；将x=600、y=18000和x=1000、y=26000代入，得：2260018000100026000k b k b +=⎧⎨+=⎩， 解得：2206000k b =⎧⎨=⎩； （2）当0≤x ＜600时，2230(0.012030000)0.011030000W x x x x x =+--+=-++，∵0.010-<，20.01(500)32500W x =--+，∴当x=500时，W 取得最大值为32500元；当600≤x≤1000时，22206000(0.012030000)0.0136000W x x x x =++--+=-+， ∵0.010-<，∴当600≤x≤1000时，W 随x 的增大而减小，∴当x=600时，W 取最大值为32400，∵32400＜32500，∴W 取最大值为32500元；（3）由题意得：1000100x -≥，解得：900x ≤，由x≥700，则700≤x≤900，∵当700≤x≤900时，W 随x 的增大而减小，∴当x=900时，W 取得最小值27900元．【思路点拨】本题主要考查二次函数的应用，掌握待定系数法求函数解析式及分类讨论依据相等关系列出函数解析式是解题的关键．（1）将x=600、y=18000代入y 1=k 1x 可得k 1；将x=600、y=18000和x=1000、y=26000代入y 1=k 2x+b可得k 2、b ．（2）分0≤x ＜600和600≤x≤1000两种情况，根据“绿化总费用=种草所需总费用+种花所需总费用”结合二次函数的性质可得答案；（3）根据种草部分的面积不少于700m 2，栽花部分的面积不少于100m 2求得x 的范围，依据二次函数的性质可得．【答案】（1）k 1=30；2206000k b =⎧⎨=⎩；（2）W 取最大值为32500元；（3）W 取得最小值27900元．24. 设a 、b 是任意两个实数，用max{a ，b}表示a 、b 两数中较大者，例如：max{1,1}1--=-，max{1,2}2=，max{4,3}4=，参照上面的材料，解答下列问题： （1）max{5,2}=________，max{0,3}=_________；（2）若max{31,1}1x x x +-+=-+，求x 的取值范围；（3）求函数224y x x =--与2y x =-+的图象的交点坐标，函数224y x x =--的图象如图所示，请你在图中作出函数2y x =-+的图象，并根据图象直接写出2max{2,24}x x x -+--的最小值．【知识点】二次函数的最值；一次函数的图象与性质；二次函数的图象．【数学思想】转化思想，数形结合【解题过程】解：（1）max{5,2}5=，max{0,3}3=．故答案为：5；3．（2）∵max{31,1}1x x x +-+=-+，∴311x x +≤-+， 解得：0x ≤．（3）联立两函数解析式成方程组，2242y x x y x ⎧=--⎨=-+⎩，解得：1124x y =-⎧⎨=⎩，2231x y =⎧⎨=-⎩， ∴交点坐标为(2,4)-和(3,1)-．画出直线2y x =-+，如图所示，观察函数图象可知：当3x =时，2max{2,24}x x x -+--取最小值1-．【思路点拨】本题考查了二次函数的最值、一次函数的图象、一次函数的性质以及二次函数的图象，解题的关键是：（1）读懂题意，弄清max 的意思；（2）根据max{3x+1，﹣x+1}=﹣x+1，找出关于x 的一元一次不等式；（3）联立两函数解析式成方程组，通过解方程组求出交点坐标．（1）根据max{a ，b}表示a 、b 两数中较大者，即可求出结论；（2）根据max{3x+1，﹣x+1}=﹣x+1，即可得出关于x 的一元一次不等式，解之即可得出结论；（3）联立两函数解析式成方程组，解之即可求出交点坐标，画出直线y=﹣x+2的图象，观察图形，即可得出max{﹣x+2，x2﹣2x ﹣4}的最小值．【答案】（1）5；3；（2）0x ≤；（3）交点坐标为(2,4)-和(3,1)-；画出直线2y x =-+，如图所示，观察函数图象可知：当3x =时，2max{2,24}x x x -+--取最小值1-．五．解答题（本大题共2个小题，第25小题10分，第26小题12分，共22分）25. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，A 、B 、C 三点分别为坐标轴上的三个点，且OA =1，OB =3，OC =4．（1）求经过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式；（2）在平面直角坐标系xOy 中是否存在一点P ，使得以A 、B 、C 、P 为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．（3）若点M 为该抛物线上一动点，在（2）的条件下，请求出当||PM AM -为最大值时点M 的坐标，并直接写出||PM AM -的最大值．【知识点】二次函数综合题．【数学思想】转化思想，数形结合【解题过程】解：（1）∵OA =1，OB =3，OC =4．∴(1,0)A ，(0,3)B ，(4,0)C -，设抛物线的解析式为：(1)(4)y a x x =-+，把(0,3)代入得：34a =-，34a =-，∴3(1)(4)4y x x =--+， ∴抛物线的解析式为：239344y x x =--+；（2）在平面直角坐标系xOy 中存在一点P ，使得A 、B 、C 、P 为顶点的四边形为菱形，理由：∵OB =3，OC=4，OA =1，∴BC =AC =5，当BP =AC 且BP ∥AC 时，四边形ACBP 为菱形，∴BP =AC =5，且点P 到x 轴距离等于OB ，∴点P 的坐标为（5，3），如图2，当点P 在第二、三象限时，以A 、B 、C 、P 为顶点的四边形只能是平行四边形，不是菱形，∴当点P 的坐标为（5，3）时，以A 、B 、C 、P 为顶点的四边形是菱形；（3）设直线P A 的解析式为(0)y kx b k =+≠，∴点A 的坐标为（1，0）点P 的坐标为（5，3），则053k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得：3434k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，∴直线P A 的解析式为：3344y x =-， 当M 与P 、A 两点不在同一直线上时，根据三角形三边关系的得|PM ﹣AM |＜P A ．当点M 与P 、A 两点在同一直线上时，得|PM ﹣AM |=P A ，∴如图3，当点M 与P 、A 两点在同一直线上时．|PM ﹣AM |的值最大，此时点M 为直线P A 与抛物线的交点，联立 2334439344y x y x x ⎧=--⎪⎪⎨⎪=--+⎪⎩解得 1110x y =⎧⎨=⎩，22592x y =-⎧⎪⎨=-⎪⎩， ∴当点M 的坐标为(1,0)或9(5,)2--时，|PM ﹣AM |的值最大，最大值是5．【思路点拨】（1）利用待定系数法求二次函数的解析式；（2）当BP =AC 且BP ∥AC 时，四边形ACBP 为菱形，根据BP =AC =5，且点P 到x 轴距离等于OB ，则点P 的坐标为（5，3），且当点P 在第二、三象限时，以A 、B 、C 、P 为顶点的四边形只能是平行四边形，不是菱形；（3）求直线P A 的解析式为：y=3344x -，当M 与P 、A 两点不在同一直线上时，根据三角形三边关系的得|PM ﹣AM |＜P A ．当点M 与P 、A 两点在同一直线上时，得|PM ﹣AM|=P A ，则当点M 与P 、A 两点在同一直线上时．|PM ﹣AM |的值最大，此时点M 为直线P A 与抛物线的交点，列方程组解出即可．【答案】（1）239344y x x =--+；（2）存在，P 的坐标为（5，3）；（3）当点M 的坐标为(1,0)或9(5,)2--时，|PM ﹣AM |的值最大，最大值是5．26．如图1，在平面直角坐标系中，二次函数2y x =-的图象与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，抛物线的顶点为点D ，连接AD 交y 轴于点E ．（1）求直线AD 的解析式；（2）如图2，将直线AD 向右平移，与线段AB 交于点G ，与x 轴下方的抛物线交于点F ，连接AF 、BF ，当平移到使S △F AG ：S △FGB =3：5时，求点F 的坐标．再将△AFG 绕点A 顺时针旋转60°得到△AF′G′，求此时点F′的坐标与△FGF′的面积．（3）如图3，平移抛物线，使抛物线的顶点D 在射线DA 上移动，若抛物线的对称轴始终在y 轴的左侧时，点D 平移后的对应点为D′，平移后的抛物线与y 轴的交点为点P ，△D′EP 是否能为等腰三角形？若能，请求出所有符合条件的点P 的坐标；若不能，请说明理由．【知识点】二次函数综合题【数学思想】转化思想，数形结合,分类讨论思想.【解题过程】解：（1）对于抛物线2y-，令y=020=，解得1x=-或3，∴(1,0)A-，(3,0)B，∵221)222y x x=-=---∴顶点(1,D-，设直线AD的解析式为y kx b=+，则有k bk b-+=⎧⎪⎨+=-⎪⎩kb⎧=⎪⎨=⎪⎩∴直线AD的解析式为y=-．（2）如图2中，由（1）可知(0,E，1OA=，OE=在AOERt∆中，2AE=，∴30OEA∠=︒，∴∠OAE=∠BGF=60°，∴∠AGF=120°∵将△AFG绕点A顺时针旋转60°得到△AF′G′，∴△AFF′是等边三角形，且AF′⊥x轴于A，∴G′在直线AD上，△AGG′是等边三角形，∴∠AG′G=60°，∵∠AGF=∠AG′F′=120°∴G、G′、F共线，∴GF′=GG′+F′G′=AG+GF，∵S△F AG：S△FGB=3:5，AB=4，∴33482AG+⨯=，∴12OG AG OA=-=，∴1(,0)2G，∵FG∥AD，∴直线FG的解析式为y =，由222y y x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩解得2x y =⎧⎪⎨=⎪⎩或2x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩， ∴点F坐标(2,2-，∴32AG =，FG =3，∴F 'G =AG +FG = 92， ∴A F '=AF =33,∴点F '坐标为（74-, 作FH ⊥GF′于H ，在Rt △GFH 中，∵∠FGH =60°，∴FH= ， ∴S △FGF′=12 F′G •FH= 1922⨯= （3）存在．如图3中，设(,D m '，则平移后的抛物线的解析式为222)y x m -+--∴22P，∵(0,E ，∴2PE ，2ED m '=-，①当ED′=PE 时，222m m -=，解得2m =0舍弃），此时4)P ．②当D′P =D′E 时， PE E '=，2=-，解得2m =-（0舍弃），此时P ， ③观察图象可知，不存在PD′=EP 这种情形．综上所述，满足条件的点P 坐标为4)或． 【思路点拨】本题考查二次函数综合题、一次函数的应用、等边三角形的性质、等腰三角形的判定和性质、锐角三角函数、一元二次方程等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，第二个问题的突破点是证明GF′=AG +GF ，学会用分类讨论的思想思考问题.（1）求出A 、D 两点坐标，利用待定系数法即可解决问题．（2）首先求出直线GF 的解析式，然后利用方程组求交点F 的坐标，再证明GF′=AG +FG ，作FH ⊥GF′于H ，根据S △FGF′=12F′G •FH 计算即可．（3）设D′（m m ），则平移后的抛物线的解析式为（x﹣m ）2﹣=2x 2x+2m 2m P （0，2m 2），∵E （0），推出PE =2m 2，ED′=﹣2m ，分三种情形讨论即可．【答案】（1）y =（2）F (2,2-，F '（74-,，S △FGF′（3）能，满足条件的点P 坐标为4)或．。
人教版九年级数学上册22.1.1二次函数(教案)
此外，我也注意到，在解答学生疑问时，需要更加耐心和细致。有些学生对于二次函数的理解可能还不够深入，这就需要我在课后给予他们更多的关注和指导，帮助他们真正掌握这部分内容。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《二次函数》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过抛物线形状的情况？”（如篮球投篮的轨迹）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索二次函数的奥秘。
5.二次函数的实际应用：求解最值问题。
二、核心素养目标
1.理解并掌握二次函数的定义、图像与性质，培养直观想象和逻辑推理能力；
2.学会运用二次函数顶点式及其图像变换，提高问题解决能力和数学建模素养；
3.通过二次函数的实际应用，培养数据分析、数学抽象及数学应用素养，增强解决实际问题的能力；
4.在探索二次函数图像与性质的过程中，培养数学运算和数学探究素养，提高合作交流与反思评价的能力。
人教版九年级数学上册22.1.1二次函数（教案）
一、教学内容
人教版九年级数学上册22.1.1二次函数：
1.二次函数的定义：形如y=ax^2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的函数；
2.二次函数的图像与性质：开口方向、顶点、对称轴、最小（大）值；
3.二次函数的顶点式：y=a(x-h)^2+k；
4.二次函数的图像变换：平移、伸缩；
人教版初三数学上册第22章：二次函数总复习课教学设计
二次函数中考复习专题教学重点◆二次函数的三种解析式形式◆二次函数的图像与性质教学难点◆二次函数与其他函数共存问题◆根据二次函数图像，确定解析式系数符号◆根据二次函数图像的对称性、增减性解决相应的综合问题教学过程一、数学知识及要求层次二、近年二次函数考题及分值分布情况纵观近两年调考，样卷及中考试卷，可以发现中考中二次函数的题型有如下一些特点：1、综合性强。
初中阶段所有的知识点几乎都可以与二次函数联系起来，特别是与一元二次方程，几何图形、实际问题的联系更紧密些。
2、分值较重。
从07年到08年，二次函数的分值逐年加大。
3、覆盖面广。
二次函数的图象性质在调考、样题、中考中都出现了。
三、二次函数知识点1. 二次函数的定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x的二次函数. 例：如果函数y=(m －2)x 42-+m m是二次函数, 求常数m 的值.【思路点拨】该函数是二次函数, 那么m 2+m －4=2, 且m －2≠0 解: ∵y=(m －2)x 42-+m m是二次函数∴m 2+m －4=2, 即m 2+m －6=0解这个一元二次方程, 得m 1=－3, m 2＝2 当m=－3时, m －2=－5≠0, 符合题意 当m=2时, m －2＝0, 不合题意. ∴常数m 的值为－3.同类练习：已知：函数x m x m y m m )1()1(232-++=--（m 是常数）. m 为何值时，它是二次函数？2. 二次函数的解析式三种形式一般式 ： y=ax 2 +bx+c(a ≠0) 顶点坐标（24,24b ac b a a--） 顶点式 ： 二次函数c bx ax y ++=2用配方法可化成：()k h x a y +-=2的形式（a b ac a b x a c bx ax y 442222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=），其中ab ac k a b h 4422-=-=，.()k h x a y +-=2顶点坐标（h, k ）224()24b ac b y a x a a-=-+交点式 12()()y a x x x x =-- 对称轴122x x x +=例：1.将二次函数y ＝x 2－2x ＋3，化为y ＝(x －h )2＋k 的形式，结果为（ ）A ．y ＝(x ＋1)2＋4 B ．y ＝(x －1)2＋4 C ．y ＝(x ＋1)2＋2D ． y ＝(x －1)2＋22．若二次函数52++=bx x y 配方后为k x y +-=2)2(则b 、k 的值分别为（ ） A 、0.5 B 、0.1 C 、—4.5 D 、—4.1 3. 二次函数图像与性质（1）抛物线c bx ax y ++=2中，c b a ,,的作用1）a 决定抛物线的开口方向：-1 y x5 x =22 O 当0>a 时，开口向上；当0<a 时，开口向下；a 相等，抛物线的开口大小、形状相同.2）b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置：对称轴：2bx a=-a 与b 同号（即ab ＞0） 对称轴在y 轴左侧 a 与b 异号（即ab ＜0） 对称轴在y 轴右侧3)c 的大小决定抛物线c bx ax y ++=2与y 轴交点的位置.当0=x 时，c y =，∴抛物线c bx ax y ++=2与y 轴有且只有一个交点(0，c )： ①0=c ，抛物线经过原点; ②0>c ,与y 轴交于正半轴；③0<c ,与y 轴交于负半轴.总结：以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y 轴右侧，则 0<a b .（中考非常喜欢考查根据图像判断a 、b 、c 的符号或者反过来根据a 、b 、c 符号来判断图像。
人教版九年级数学上册第22章《二次函数》期末复习课教案
第22章二次函数期末复习课
教学目标：
知识与技能：
理解二次函数的概念，掌握二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0)的图象与性质；会用描点法画抛物线，能确定抛物线的顶点、对称轴、开口方向，能较熟练地由抛物线y＝ax2(a≠0)经过适当平移得到y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的图象。
会结合二次函数的图象分析问题、解决问题，并在运用中体会二次函数的实际意义，会运用二次函数求实际问题中的最大值或是最小值。
过程与方法：
会用待定系数法求二次函数的解析式，能结合二次函数的图象掌握二次函数的性质。
情感态度价值观：
使学生体会数学建模思想，函数思想，数形结合思想等数学思想。
教学的重点：
1.用配方法求二次函数的顶点，对称轴，根据图象概括二次函数的性质。
2.二次函数三种解析式的求法。
3.利用二次函数的知识解决数学问题，并对解决问题的方法进行反思。
教学的难点：1.将实际问题转化为二次函数，并运用二次函数性质将以解决。
2.二次函数与一元二次方程、不等式的联系，数形结合思想的渗透于应用。
3. 运用二次函数知识解决综合性的问题。
教法方法：自主学习法合作学习法
教学手段：多媒体
教学课时：1课时
教学活动：学生活动及设计意图
；⑤若抛物线顶点坐
教学活动：学生活动及设计意图
=x+b的图象交
教学活动：学生活动及设计意图
7.已知抛物线y=ax2+bx和直线y=ax+b在同一坐标系内的图象
如图，其中正确的是（）
专题三：二次函数解析式的确定
求下列二次函数解析式：（学生分组完成）
1.已知二次函数的图象的顶点坐标为（－2，－3），。
人教版九年级数学上册第二十二章二次函数大单元教学设计
（1）完成课本第22章练习题1、2、3，要求学生熟练掌握二次函数的定义、图像性质、顶点式与标准式的转换。
（2）利用图形计算器或计算机软件，绘制几个典型二次函数的图像，观察并分析开口方向、顶点、对称轴、最值等性质。
2.实际问题应用：
（3）结合生活实际，编写一道关于二次函数的应用题，要求学生将实际问题抽象为二次函数模型，并求解。
人教版九年级数学上册第二十二章二次函数大单元教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
1.让学生掌握二次函数的定义，能够准确地识别和描述二次函数的一般形式，即f(x) = ax^2 + bx + c（a≠0）。
2.使学生理解二次函数图像的基本性质，包括开口方向、对称轴、顶点、最小（大）值等，并能够利用这些性质解决相关问题。
2.教学方法：采用情境导入法，通过生活实例激发学生的兴趣，引导学生从实际问题中发现数学规律。
3.教学步骤：
a.展示生活中抛物线运动的图片或视频，让学生观察并描述其运动轨迹。
b.学生分享观察到的运动轨迹特点，教师引导总结出抛物线的一般形式。
c.提问：“这些运动轨迹都可以用一个数学模型来描述，你们知道是什么吗？”由此引出二次函数的定义。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对数学的兴趣和热情，使他们认识到数学在现实生活中的广泛应用和价值。
2.通过二次函数的学习，让学生感受到数学的对称美和秩序美，培养他们的审美情趣。
3.引导学生树立正确的价值观，认识到数学知识的学习不仅是为了应对考试，更重要的是为了解决实际问题，为我国的社会发展做出贡献。
3.教学步骤：
a.将学生分成若干小组，每组分配一个讨论题目，如二次函数的性质、图像特点等。
人教版数学九年级上册第22章二次函数小结与复习(3)教案
教学时间课题 《二次函数》小结与复习（3） 课型 新授课 教学目标 知 识 和 能 力 1．使学生掌握二次函数模型的建立，并能运用二次函数的知识解决实际问题。
2．能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，获得用数学方法解决实际问题的经验，感受数学模型、思想在实际问题中的应用价值。
过 程 方 法 情 感 态 度价值观教学重点 利用二次函数的知识解决实际问题，并对解决问题的策略进行反思。
教学难点 将实际问题转化为函数问题，并利用函数的性质进行决策。
教学准备教师 多媒体课件 学生 “五个一” 课 堂 教 学 程 序 设 计 设计意图一、例题精析，引导学法，指导建模 1．何时获得最大利润问题。
例：重庆市某区地理环境偏僻，严重制约经济发展，丰富的花木产品只能在本地销 售，区政府对该花木产品每投资x 万元，所获利润为P=－150(x －30)2＋10万元，为了响应我国西部大开发的宏伟决策，区政府在制定经济发展的10年规划时，拟开发此花木产品，而开发前后可用于该项目投资的专项资金每年最多50万元，若开发该产品，在前5年中，必须每年从专项资金中拿出25万元投资修通一条公路，且5年修通，公路修通后，花木产品除在本地销售外，还可运往外地销售，运往外地销售的花木产品，每投资x 万元可获利润Q=－4950(50－x)2＋1945(50－x)＋308万元。
(1)若不进行开发，求10年所获利润最大值是多少?(2)若按此规划开发，求10年所获利润的最大值是多少?(3)根据(1)、(2)计算的结果，请你用一句话谈谈你的想法。
学生活动：投影给出题目后，让学生先自主分析，小组进行讨论。
教师活动：在学生分析、讨论过程中，对学生进行学法引导，引导学生先了解二次函数的基本性质，并学会从实际问题中抽象出二次函数的模型，借助二次函数的性质来解决这类实际应用题。
教师精析：(1)若不开发此产品，按原来的投资方式，由P=－150(x －30)2＋10知道，只需从50万元专款中拿出30万元投资，每年即可获最大利润10万元，则10年的最大利润为M 1＝10×10=100万元。
《二次函数》的复习教学设计
《二次函数》的复习教学设计数学《二次函数》优秀教案篇一一、教材分析本节课在讨论了二次函数y=a(x-h)2+k(a≠0)的图像的基础上对二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像和性质进行研究。
主要的研究方法是通过配方将y=ax2+bx+c(a≠0)向y=a(x-h)2+k(a≠0)转化，体会知识之间在内的联系。
在具体探究过程中，从特殊的例子出发，分别研究a0和a0的情况，再从特殊到一般得出y=ax2+bx+c(a≠0)的图像和性质。
二、学情分析本节课前，学生已经探究过二次函数y=a(x-h)2+k(a≠0)的图像和性质，面对一般式向顶点式的转化，让学上体会化归思想，分析这两个式子的区别。
三、教学目标（一）知识与能力目标1、经历求二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴和顶点坐标的过程；2、能通过配方把二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)化成y=a(x-h)2+k(a≠0)的形式，从而确定开口方向、顶点坐标和对称轴。
（二）过程与方法目标通过思考、探究、化归、尝试等过程，让学生从中体会探索新知的方式和方法。
（三）情感态度与价值观目标1、经历求二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴和顶点坐标的过程，渗透配方和化归的思想方法；2、在运用二次函数的知识解决问题的过程中，亲自体会到学习数学知识的价值，从而提高学生学习数学知识的兴趣并获得成功的体验。
四、教学重难点1、重点通过配方求二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴和顶点坐标。
2、难点二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像的性质。
五、教学策略与设计说明本节课主要渗透类比、化归数学思想。
对比一般式和顶点式的区别和联系；体会式子的恒等变形的重要意义。
六、教学过程教学环节（注明每个环节预设的时间）（一)提出问题(约1分钟）教师活动：形如y=a(x-h)2+k(a≠0)的抛物线的对称轴、顶点坐标分别是什么？那么对于一般式y=ax2+bx+c(a≠0)顶点坐标和对称轴又怎样呢？图像又如何？学生活动：学生快速回答出第一个问题，第二个问题引起学生的思考。
数学人教版九年级上册第二十二章：二次函数复习教案
单位：桦川县第三中学 教师：王敏 日期： 审阅签字：课题 二次函数复习教学目标 二次函数的三种解析式形式 二次函数的图像与性质的综合应用教学重点、难点1、二次函数与其他函数共存问题2、根据二次函数图像，确定解析式系数符号3、根据二次函数图像的对称性、增减性解决相应的综合问题 教学方法数形结合法、讲授法、练习法教学过程二次函数复习知识点1.二次函数的定义二次项系数必须是非零实数时才是二次函数，这也是判断函数是不是二次函数的重要依据． 例1、下列函数中，二次函数的是（ ）A ．y=ax 2+bx+cB 、2)1()2)(2(---+=x x x yC 、xx y 12+= D 、y=x(x —1) 例2、如果函数1)3(232++-=+-mx x m y m m是二次函数，那么m 的值为知识点2.二次函数的图像及性质1、已知一个二次函数，确定它的图象名称、开口方向、对称轴、顶点坐标、增减范围、极值。
已知条件中含二次函数开口方向或对称轴、顶点坐标、增减范围、极值，求解析中待定系数的取值。
（1）、二次函数 c bx ax y ++=2的图像是对称轴平行于(包括重合)y 轴的抛物线. （2）、二次函数 c bx ax y ++=2，当0>a 时⇔抛物线开口向上⇔顶点为其最低点；当0<a 时⇔抛物线开口向下⇔顶点为其最高点（3）、对于y=ax 2+bx+c 而言，其顶点坐标为（ ，）．对于y=a （x －h ）2+k 而言其顶点坐标为（ ， ）。
二次函数c bx ax y ++=2用配方法或公式法（求h 时可用代入法）可化成：k h x a y +-=2)(的形式，其中h= ,k=例1、抛物线1822-+-=x x y 的图象的开口方向是_____, 顶点坐标是_ ___. 例2、若抛物线232)1(2-++-=m mx x m y 的最低点在x 轴上，则m 的值为 （4）、二次函数 c bx ax y ++=2的对称轴为直线x=－2ba运用抛物线的对称性求对称轴，由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称点的连线段的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.若抛物线上有两点A （m,n ）、B(p,n)的纵坐标相等,则它的对称轴为直线x=2pm +例3、已知A 、B 是抛物线243y x x =-+上位置不同的两点，且关于抛物线的对称轴对称，则点A 、B 的坐标可能是_____________．（写出一对即可）（5）增减性：二次函数 c bx ax y ++=2的增减性分对称轴左右两侧描述（数形结合理解它的增减性）若0>a ，当x 时（在对称轴 侧），y 随x 的增大而增大，当x 时（在对称轴 侧），y 随x 的增大而减小，若0<a ，当x 时（在对称轴 侧），y 随x 的增大而增大，当x 时（在对称轴 侧），y 随x 的增大而减小，例4、已知抛物线2y ax bx c =++（a ＞0）的对称轴为直线1x =，且经过点()()212y y -1，，，，试比较1y 和2y 的大小：1y _2y （填“>”，“<”或“=”）例5、二次函数542+-=mx x y ，当2-<x 时，y 随x 的增大而减小；当2->x 时，y 随x 的增大而增大。