第十一章动量矩定理
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理论力学11—动量矩定理
Q
m v
y
O
r
x
d M O (mv ) M O ( F ) dt
质点对某定点的动量矩对时间的一阶导数，等于作用力对同一 点的矩。
11.2 动量矩定理
将上式投影在直角坐标轴上，并将对点的动量矩与对轴的动量 矩的关系代入，得
d d M x (mv ) M x ( F ) d M x (mv ) M x ( F ) d t d t M x (mv ) M x ( F ) d t d d M y (mv ) M y ( F ) d M y (mv ) M y ( F ) d t d t M y (mv ) M y ( F ) d t d d M z (mv ) M z ( F ) d M z (mv ) M z ( F ) d t d t M z (mv ) M z ( F ) dt
11.2 动量矩定理
dr d ( mv ) F , v 因为 dt dt d M O (mv ) v mv r F 所以 dt
又因为 v mv 0, r F M O ( F ) 所以 z F MO(m v) MO(F)
N FOy
v
M
O
FOx m1g
LO J m2vR
M O ( F (e) ) M m2 g sin R
m2 g
11.2 动量矩定理
由
d ，有 LO mO ( Fi (e) ) dt
d ( J m2vR) M m2 g sin R dt v dv a ,于是解得 因 , R dt
O
y
M z (mv ) mvl ml
m v
y
O
r
x
d M O (mv ) M O ( F ) dt
质点对某定点的动量矩对时间的一阶导数，等于作用力对同一 点的矩。
11.2 动量矩定理
将上式投影在直角坐标轴上，并将对点的动量矩与对轴的动量 矩的关系代入，得
d d M x (mv ) M x ( F ) d M x (mv ) M x ( F ) d t d t M x (mv ) M x ( F ) d t d d M y (mv ) M y ( F ) d M y (mv ) M y ( F ) d t d t M y (mv ) M y ( F ) d t d d M z (mv ) M z ( F ) d M z (mv ) M z ( F ) d t d t M z (mv ) M z ( F ) dt
11.2 动量矩定理
dr d ( mv ) F , v 因为 dt dt d M O (mv ) v mv r F 所以 dt
又因为 v mv 0, r F M O ( F ) 所以 z F MO(m v) MO(F)
N FOy
v
M
O
FOx m1g
LO J m2vR
M O ( F (e) ) M m2 g sin R
m2 g
11.2 动量矩定理
由
d ，有 LO mO ( Fi (e) ) dt
d ( J m2vR) M m2 g sin R dt v dv a ,于是解得 因 , R dt
O
y
M z (mv ) mvl ml
11第十一章 动量矩定理
（2） 刚体绕定轴转动 刚体对z轴的动量矩
Lz M z (mi vi ) mi vi ri
mi ri ri mi ri 2
令
J z mi ri 2
Lz J z
称为刚体对z轴的转动惯量
§11-2
1、质点的动量矩定理 设O为固定点,有
动量矩定理
d d MO (mv ) ( r mv ) dt dt F 0 dr d MO ( mv r ( mv ) F) dt dt d 其中: ( mv ) F dt dr v （O为固定点） dt
内力不能改变质点系的动量矩.
dLO 将 M O ( Fi e ) 改写为 dLO MO ( Fi e )dt dt
两边积分 得
LO 2
LO 1
dLO MO ( Fi e )dt
t1 t2 t1
t2
LO 2 LO1 MO ( Fi e )dt
式中
对O点的冲量矩。 即质点系对固定点O的动量矩在某一时段内的增量，等于 作用于质点系的外力在同一时段内对O点的冲量矩之和。
Ia sinO
b J IOx z
IOy
vC C A x
y
mvC 0
I
I Ox I cos
I Ox 0, I Oy 0
I Oy
工程实际中希望反力的冲量越小越好。 欲使 1、 2、 式 必须满足
mba I sin ( 1) JO
cos 0
即外碰撞冲量I垂直于OC连线 即
M z ( F e ) 0 , 则 Lz 常量。 若
例：质点在有心力作用下的面积速度定理 有心力：力作用线始终通过某固定点, 该点称为力心.
Lz M z (mi vi ) mi vi ri
mi ri ri mi ri 2
令
J z mi ri 2
Lz J z
称为刚体对z轴的转动惯量
§11-2
1、质点的动量矩定理 设O为固定点,有
动量矩定理
d d MO (mv ) ( r mv ) dt dt F 0 dr d MO ( mv r ( mv ) F) dt dt d 其中: ( mv ) F dt dr v （O为固定点） dt
内力不能改变质点系的动量矩.
dLO 将 M O ( Fi e ) 改写为 dLO MO ( Fi e )dt dt
两边积分 得
LO 2
LO 1
dLO MO ( Fi e )dt
t1 t2 t1
t2
LO 2 LO1 MO ( Fi e )dt
式中
对O点的冲量矩。 即质点系对固定点O的动量矩在某一时段内的增量，等于 作用于质点系的外力在同一时段内对O点的冲量矩之和。
Ia sinO
b J IOx z
IOy
vC C A x
y
mvC 0
I
I Ox I cos
I Ox 0, I Oy 0
I Oy
工程实际中希望反力的冲量越小越好。 欲使 1、 2、 式 必须满足
mba I sin ( 1) JO
cos 0
即外碰撞冲量I垂直于OC连线 即
M z ( F e ) 0 , 则 Lz 常量。 若
例：质点在有心力作用下的面积速度定理 有心力：力作用线始终通过某固定点, 该点称为力心.
16第十一章 动量矩定理
)
质点系对某 定轴的动量矩对 时间的一阶导数， 等于作用于质点 系上的外力对该 轴之矩的代数和。
Theoretical Mechanics
第十一章 动量矩定理
刘习军
五、动量矩守恒
n
当 M O (Fi(e)) 0 i 1
LO 常矢量
或
M x (F (e)) 0
Lx=常量
n
当 MC (Fi(e) ) 0 i 1
LC 常矢量
或
MCx (F (e) ) 0
LCx=常量
刘习军
外力系对通过质心的某轴力矩的代数和为零时， 则质点系对该轴的动量矩为一常数。
第十一章 动量矩定理 跳水运动员的姿态
刘习军
对质心动量矩守恒的应用
Theoretical Mechanics
Qdt v2r2 cos2 (Qdt v1r1 cos1)
v2
即 dLz Qdt(v2r2 cos2 v1r1 cos1)
dLz dt
Q(v2r2 cos2
v1r1 cos1)
Theoretical Mechanics
第十一章 动量矩定理
由动量矩定理
(c)
此式是质点系用相对于质心的相对速度所表示的相
对于质心的动量矩定理，它对于解决刚体的动力学问
题非常方便。它建立了质点系相对质心的动量矩与刚
体角速度之间的关系，由于对刚体来说其相对速度可
表示为 vri ri ，则动量矩为 LCr JCω 。
JC
dω dt
MC
F (e) i
(d)
刘习军
§11-2 刚体绕定轴的转动微分方程
[理学]第十一章 动量矩定理
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Lz M z (mv) MO (mvxy )
质点的动量对于 z 轴的动量矩是代数量。 由投影关系可知
M z (mv) [ MO (mv)]z
即质点的动量对于某点 O 的动量矩矢在通过该点的 z 轴
上的投影时等于该质点的动量对于该轴的动量矩。动量矩
的单位为kg•m2/s。
11.1.2 质点系的动量矩
11.2.3 动量矩守恒定律
若作用于质点系上外力对某点之矩的矢量和(即外力偶 系的主矩)为零，则质点系的总动量矩保持不变。即如 果 MO (Fi e ) 0 ，则LO=常矢量。若作用在质点系上的外
i 1 n
力对某固定轴之矩的代数和等于零，如果
e m ( F z i )0，
则Lz=常数。这个结论称为动量矩守恒定律。
质点系对点O 的动量矩等于各质点对同一点O 的动量 矩的矢量和，或称为质点系动量对点O 的主矩，即
LO MO (mi vi )
i 1
n
质点系对某轴z 的动量矩等于各质点对同一轴的动量矩
的代数和，即
Lz M z (mi vi )
i 1
n
11.1.3 刚体绕定轴转动时对转轴的动量矩
(1) 长为l，质量为m的均质直杆
z O
x dx l
x
均质直杆对过中点O的z 轴的转动惯量为
z x
Jz
l 2 l 2
m 1 2 x dx ml l 12
2
O l
x
dx
(2) 半径为r，质量为m的均质 薄圆环对中心轴的转动惯量为
mi
J O mi r 2 m r2
i 1
2
刚体对于任一轴z1的转动惯量，等于刚体对与此轴平 行的质心轴的转动惯量JzC，加上刚体的质量与z1轴到质 心轴zC的距离d平方的乘积。
第11章 动量矩定理
指向按右手规则确定； 瞬时量
O点为矩心
M O (F ) r (F )
描述：质点相对某点“转动”运动强度。
§11-1 动量矩计算
质点对轴的动量矩
Lz M z (mv ) [MO (mv )]z
M z (F ) M O (F )
一般规定：
与轴的正向一致（逆时针转动）取“+”， 与轴的正向相反（顺时针转动）取“-”。
n dLx M x (Fi ( e ) ) dt i 1 n dLy M y (Fi ( e ) ) dt i 1
§11-2 动量矩定理
3. 质点动量矩定理(固定点、动点)
A为动点 L A (mv ) r rA mv d d d L A (mv ) r rA mv r rA (mv ) dt dt dt
n (e) dLO MO ( Fi ) dt i 1
其中： LO M O (mi vi ) ri mi vi
i 1 i 1 n n
§11-2 动量矩定理
2. 质点系动量矩定理
B. 对固定轴
n (e) dLz M z ( Fi ) dt i 1
1 4 1 J z r dm r 2rdr 2 R MR2 4 2 0
2 2
R
2 z R 2
要求记住！
§11-1 动量矩计算
D. 匀质薄圆板对于径向轴的转动惯量
圆板对于x与y轴的转动惯量相等： Jx J y
J z mr i m( xi yi ) mx i my i
§11-2 动量矩定理
4. 质点系动量矩定理
任意质点对动点A动量矩定理：
O点为矩心
M O (F ) r (F )
描述：质点相对某点“转动”运动强度。
§11-1 动量矩计算
质点对轴的动量矩
Lz M z (mv ) [MO (mv )]z
M z (F ) M O (F )
一般规定：
与轴的正向一致（逆时针转动）取“+”， 与轴的正向相反（顺时针转动）取“-”。
n dLx M x (Fi ( e ) ) dt i 1 n dLy M y (Fi ( e ) ) dt i 1
§11-2 动量矩定理
3. 质点动量矩定理(固定点、动点)
A为动点 L A (mv ) r rA mv d d d L A (mv ) r rA mv r rA (mv ) dt dt dt
n (e) dLO MO ( Fi ) dt i 1
其中： LO M O (mi vi ) ri mi vi
i 1 i 1 n n
§11-2 动量矩定理
2. 质点系动量矩定理
B. 对固定轴
n (e) dLz M z ( Fi ) dt i 1
1 4 1 J z r dm r 2rdr 2 R MR2 4 2 0
2 2
R
2 z R 2
要求记住！
§11-1 动量矩计算
D. 匀质薄圆板对于径向轴的转动惯量
圆板对于x与y轴的转动惯量相等： Jx J y
J z mr i m( xi yi ) mx i my i
§11-2 动量矩定理
4. 质点系动量矩定理
任意质点对动点A动量矩定理：
第11章 动量矩定理
M z Q(v1r1 cos1 v2r2 cos2 )
例 3 （书上例 11-7，动量矩守恒。）
质量为 m1 = 5kg，半径 r = 30cm 的均质圆盘，可绕铅直轴 z 转
动，在圆盘中心用铰链 D 连接一质量 m2 = 4kg 的均质细杆
AB，AB = 2r，可绕 D 转动。当 AB 杆在铅直位置时，圆盘的
三、 刚体 1. 平动刚体
11-1
LO r MvC
2. 转动刚体（对定轴或平面上定点）
Lz I z
LO IO
3. 平面运动刚体
对质心 C： LC IC
对定点 O： LO mO (MvC ) IC
对瞬心 C＇： LC IC
11.2 动量矩定理
一、 质点动量矩定理
由牛顿第二定律： ma F
l 3g
而 aC
2
4
则
W 3g W
NA W g
4
4
IV. 绳子剪断前后 A 反力的变化：
WW W ΔN A N A N A0
42 4
例 2 例 11-5 （较典型题目）
作业：11-18
11.4 质点系相对动点的动量矩定理(*)
此部分较难，特别是公式推导不易理解。主要掌握两种：①对质心的动量矩定理；②平
m2 g
转速为 n = 90rpm。试求杆转到水平位置，碰到销钉 C 而相对
静止时，圆盘的转速。
解：系统对 z 轴动量矩守恒。
初时系统动量矩： Lz I z盘 1 m1r 2 4
末时系统动量矩： Lz Iz盘 Iz杆 1 m1r2 1 m2 (2r)2
4
12
Lz Lz
11-4
1 4
m1r 2
理论力学：第11章 动量矩定理
·1·第11章 动量矩定理11.1 主要内容11.1.1 质点系动量矩计算质点系对任意一点的动量矩为各质点的动量对同一点之矩的矢量和或质点系中各质点的动量对同一点的主矩，即∑∑==⨯==n i n i i i i i O O m m 11)(iv r v M L质点系对于某轴，例如对z 轴的动量矩为∑==n i i i z z m M L 1)(v刚体对转动轴z 轴的动量矩为z z I L =质点系相对于质心的动量矩为质点系中各点动量对质心的主矩，即i i ni i C m v r L ⨯'=∑=1i r '为第i 个质点对质心的矢径。
质点系对任意一点的动量矩等于质点系对质心的动量矩，与将质点系的动量集中于质心对于O 点动量矩的矢量和。
C v r L L m C C O ⨯+=当刚体作平面运动时，又可表示为d mv L L C ±=C O其中d 为点至v C 的垂直距离，当C L 与矩d mv C 的符号相同时取正值，反之取负值， 11.1.2 质点系的动量矩定理（1）对固定点的动量矩定理质点系对固定点O 的动量矩对于时间的一阶导数等于外力系对同一点的主矩，即)(e O O dt d M L =在直角坐标系上的投影式为·2·⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫∑=∑=∑=)()()()()()(e z z e y y e x x M dt dL M dt dL M dt dL F F F（2）质点系相对于质心的动量矩定理质点系相对于质心的动量矩对时间的一阶导数等于外力系对质心的主矩。
即(e)C C M L =dt d 或 (e)C Cr M L =dt d式中Cr L 为质点系相对于质心平移坐标系的运动对质心的动量矩。
(3) 动量矩守恒定律在特殊情况下外力系对O 点的主矩为零，则质点系对O 点的动量矩为一常矢量，即()0=e OM ，常矢量=O L 或外力系对某轴力矩的代数和为零，则质点系对该轴的动量矩为一常数，例如0)()(=∑e x M F ，L x =常数11.1.3 刚体绕定轴转动微分方程若刚体绕固定轴z 的转动惯量为I z ，则刚体绕固定轴z 的微分方程为z z M tI =22d d ϕ 或z z M I =ε在工程中，常将转动惯量表示为2z z m I ρ=z ρ称为回转半径。
第十一章 动量矩定理
, Fn
对转轴运用动量矩定理
d ( J z ) M z ( Fi ) M z ( FNi ) dt
d 即 Jz M z (F ) dt 刚体定轴转动微分方程 或 J z M z ( F )
d2 或 J z 2 M z (F ) dt
M z ( Fi )
Fy
FN
v
M
RO
Fx
q
P 1
dLO (e) M O ( Fi ) dt
则 LO J m v R
mg
设物块速度和鼓轮角速度分别为 v ,
dLO M O ( Fi ( e ) ) dt
LO J m v R
d [ J mvR] M mg sin q R dt
薄壁圆筒
J z mR2
1 J z mR 2 2
z R
R z 2
圆柱
§11-3
动量矩定理
质点的动量矩定理 设Q点动量 m v , 对O点的动量矩 M O (mv )
z F MO(mv) MO(F) O x
Q
作用在Q点上的力 F ，对O点的矩 MO (F )
dLx (e) M x ( Fi ) dt
dLy dt dLz (e) M z ( Fi ) dt M y ( Fi )
(e)
例4 已知：小车质量为m，鼓轮半径为R，转动惯 量为J，主动力偶M, 不计摩擦。
求小车的加速度 a 。
解:取整体分析，画出 外力 对轮心O运用动量矩定理
均质薄圆环对中心轴的转动惯量
J z mR2
均质圆板对中心轴的转动惯量
对比两者
1 J O mR 2 2
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刚体转动惯量的大小表现了刚体转动状态改变 的难易程度。转动惯量是刚体转动时的惯性度 量。请比较 Jz = ∑Mz 与 m a = ∑F 。
从转动惯量的概念，看飞轮的作用
飞轮通常安装在经常受到冲击的机器上，如往复式 活塞发动机、冲床和剪床等。 制造飞轮时，要求尽可 能将质量分布在轮缘上，以使转动惯量尽可能大， 这 样，机器受到冲击时，角加速度很小，从而可以保持比 较稳定的运转状态。
平行轴定理
刚体对任意轴的转动惯量，等于刚体对于通 过质心、且与该轴平行的轴的转动惯量，加上刚 体的质量与两轴间距离平方的乘积。
J z J zc md 2
刚体对于通过质心轴的转动惯量最小。
叠加法求转动惯量举例
当物体由几个物体组合而成时，可用叠加法计
算整体的转动惯量，即 先计算各部分的转动惯量，
例：均质滑轮M，r，两重物质量m1，m2 。试求重物的加速度。
解：以系统为研究对象，画受力图。设系统运动如图。 YO
系统对定轴O的动量矩为
ω
Lo = Lo轮+ Lo1+ Lo2
O
XO
J o +m1vr + m2vr
1 2
Mr 2+m1r2ω+
m2r2ω
根据质点系对定轴的动量矩定理，有
v Mg
Lx
M x (mv)
Lo
y
Ly
M y (mv)
即
Lo
z
Lz
M z (mv)
质点系对某固定点的动量矩矢在通过该点的 轴上的投影等于质点系对该轴的动量矩。
问题：
• 质点系的动量 p =∑mivi = Mvc
• 质点系的动量矩 Lo = M o(Mvc) ？
例 已知无重细杆AB两端各铰接质量为m的小球，系统绕水平
解：分析小球受力。 z
∵ ∑MZ(F(e)) = 0， ∴ LZ = const !
r2
初瞬时(A处)， LZA = mv1r1，
B
B处，
LZB = mv2r2，
v2 F
r1
∴ mv1r1 = mv2r2 而 r1 =2r2
T
得
v2 = 2v1
A
mg v1
二、质点系的动量矩定理
设质点系由n个质点组成，mi， vi，受力：外力
Jz
d
dt
Mz
或
Jz
d 2
dt 2
Mz
或 J z Mz
刚体绕定轴的转动 微分方程。
根据刚体定轴转动微分方程可知：
作用于刚体的主动力对转轴的矩使刚体转动状态 发生变化；
如果作用于刚体的主动力对转轴的矩的代数和等 于零，则刚体作匀速转动；如 果 主 动 力 对 转 轴 的 矩为常量，则刚体作匀变速转动；
结论：
• 质点的动量对点O的矩称为质点对于O的动量矩。
Mo（mv）= r×mv
矢量
• 质点的动量mv 在Oxy平面内的投影(mv)xy对于点 O的矩定义为质点对于z轴的动量矩。
• 质点对点O的动量矩矢在z轴上的投影，等于质点 对z轴的动量矩，即
[Mo(mv)]z= M z(mv)
代数量
二、质点系的动量矩
dt
n i1
Mo (mivi )
n i1
Mo (Fi(e) )
质点系对定点的动量矩定理
d
dt
n i1
Mo (mivi )
n i1
Mo (Fi(e) )
即
d
dt
Lo
n i 1
M o (Fi(e) )
质点系对某定点O的动量矩对时间的一阶导数， 等于作用于质点系的外力对同一点的主矩。
为一体，求Jo
O
解： Jo = Jo 杆+ Jo 盘
l
C1
Jo 杆=
JO盘 J
1 3
m1l
2
c2 m2l 2
1 2
m2 R 2
m2l
2
C2
Jo
1 3
m1l
2
1 2
m2
R
2
m2l 2
R
§11-2 动量矩定理 Moment of momentum theorem
一、质点的动量矩定理 根据质点的动量定理
2g
(2Q
P)
Q g
Rat
由 Lzo=Lz 得
o
2Qat (P 2Q)R
对上式求导 得
y
d
dt
(P
2Qa 2Q)R
§11-3 刚体绕定轴转动的微分方程
Differential equations for the rotation of a rigid body around a fixed-axis
Fi(e) 、内力Fi(i)
d dt
Mo
(mi vi
)
Mo (Fi(i) )
Mo (Fi(e)
)
对于n个质点，有n个这样的方程，将这些方程求和，则
内力系主矢 = 0
n
i1
d dt
Mo (mivi )
n i1
Mo (Fi(i) )
n i1
Mo (Fi(e) )
所以得
d
2 l
2
m l
dx
x2
1 12
ml2
均质薄圆环 z
R
J z mR2
均质圆轮（盘、柱） z
R
Jz
1 mR2 2
惯性半径（回转半径）
对于均质物体，其转动惯量与质量的比值
仅与物体的几何形状和尺寸有关，例如
均质细直杆
Jz
1 ml2 , 3
均质薄圆环 J z mR2
Jz 1l2, m3
o
Q g
o
R
R
Q
o R2 (2Q P)
2g
YA
y
ZA
续：
z B
ε
ω A
x
设瞬时t，盘的角速度为ω，角加速度为ε，
ve vr
动物相对于盘的速度为
vr
ds dt
at
绝对速度为va ve vr R at
∴系统对z轴的动量矩为
SLz
PR2 2g
Q g
va
R
R 2
转动惯量是刚体转动时的惯性度量
二、转动惯量的确定:计算法和实验法
积分法计算简单形状物体的转动惯量
z
zc
n
J z miri 2 r 2dm i1
o
x
C dx
x
对杆端轴z的转动惯量为
l
J z
l mdx x2 1 ml 2
0l
3
对质心轴zC的转动惯量为l
J zc
v
d dt
(m1
m2
1 2
M
)r
2
m1
gr
m2 gr
d (m1 m2 )g
dt
(m1
m2
1 2
M
)r
a r 2(m1 m2 ) g
2m1 2m2 M
m1 m1g
m2 m2g
思考题
图示两均质轮质量均为M，半径均为R，
且已知P＞Q，则 ⑴ε1＝ε2
第十一章 动量矩定理
Moment of Momentum Theorem
§11-1 动量矩的概念
z
Concept of moment of momentum
一、质点的动量矩
B
F
回顾：力对点的矩
A
Mo(F)= r×F
i jk
rm
MO(F) o
y
x y z
XYZ
x
( yZ zY )i (zX xZ)j 大小：│Mo(F) │ =2S△OAB
Jz R2 m
转动惯量与质量的比值的平方根， 常用表示。
即
z
Jz m
z
ρz ωm
惯性半径的特点
• 惯性半径仅与物体的形状、尺寸有关，与材料 无关。
• 查机械工程手册中简单几何形状或几何形状已 经标准化的零件的惯性半径，求Jz 。
J z m z 2
惯性半径不是物体的某一具体尺寸
Lz=Jzω
根据
d dt
Lz
n i1
M z (Fi(e) )
F1
且轴承反力对z轴的矩为零，所以有
J z
d
dt
n i1
M z (Fi )
F2
或 J z Mz (Fi )
x
z FN1
Fi
Fn
ω
FN2 y
结论：
刚体对定轴的转动惯量与角加速度的乘积，等于 作用于刚体的主动力对该轴的矩的代数和。
(xY yX )k
方向：按右手螺旋规则定。
质点A的动量对固定点O的矩： z
Mo(mv)= r×mv
i
j
k MO(mv)
x y z
o
mvx mvy mvz
x
大小= mv·rsinφ
B
mv φ
A
r
y B'
A' (mv)xy
方位：过O且⊥△OAB；指向：按右手螺旋规则定。
从转动惯量的概念，看飞轮的作用
飞轮通常安装在经常受到冲击的机器上，如往复式 活塞发动机、冲床和剪床等。 制造飞轮时，要求尽可 能将质量分布在轮缘上，以使转动惯量尽可能大， 这 样，机器受到冲击时，角加速度很小，从而可以保持比 较稳定的运转状态。
平行轴定理
刚体对任意轴的转动惯量，等于刚体对于通 过质心、且与该轴平行的轴的转动惯量，加上刚 体的质量与两轴间距离平方的乘积。
J z J zc md 2
刚体对于通过质心轴的转动惯量最小。
叠加法求转动惯量举例
当物体由几个物体组合而成时，可用叠加法计
算整体的转动惯量，即 先计算各部分的转动惯量，
例：均质滑轮M，r，两重物质量m1，m2 。试求重物的加速度。
解：以系统为研究对象，画受力图。设系统运动如图。 YO
系统对定轴O的动量矩为
ω
Lo = Lo轮+ Lo1+ Lo2
O
XO
J o +m1vr + m2vr
1 2
Mr 2+m1r2ω+
m2r2ω
根据质点系对定轴的动量矩定理，有
v Mg
Lx
M x (mv)
Lo
y
Ly
M y (mv)
即
Lo
z
Lz
M z (mv)
质点系对某固定点的动量矩矢在通过该点的 轴上的投影等于质点系对该轴的动量矩。
问题：
• 质点系的动量 p =∑mivi = Mvc
• 质点系的动量矩 Lo = M o(Mvc) ？
例 已知无重细杆AB两端各铰接质量为m的小球，系统绕水平
解：分析小球受力。 z
∵ ∑MZ(F(e)) = 0， ∴ LZ = const !
r2
初瞬时(A处)， LZA = mv1r1，
B
B处，
LZB = mv2r2，
v2 F
r1
∴ mv1r1 = mv2r2 而 r1 =2r2
T
得
v2 = 2v1
A
mg v1
二、质点系的动量矩定理
设质点系由n个质点组成，mi， vi，受力：外力
Jz
d
dt
Mz
或
Jz
d 2
dt 2
Mz
或 J z Mz
刚体绕定轴的转动 微分方程。
根据刚体定轴转动微分方程可知：
作用于刚体的主动力对转轴的矩使刚体转动状态 发生变化；
如果作用于刚体的主动力对转轴的矩的代数和等 于零，则刚体作匀速转动；如 果 主 动 力 对 转 轴 的 矩为常量，则刚体作匀变速转动；
结论：
• 质点的动量对点O的矩称为质点对于O的动量矩。
Mo（mv）= r×mv
矢量
• 质点的动量mv 在Oxy平面内的投影(mv)xy对于点 O的矩定义为质点对于z轴的动量矩。
• 质点对点O的动量矩矢在z轴上的投影，等于质点 对z轴的动量矩，即
[Mo(mv)]z= M z(mv)
代数量
二、质点系的动量矩
dt
n i1
Mo (mivi )
n i1
Mo (Fi(e) )
质点系对定点的动量矩定理
d
dt
n i1
Mo (mivi )
n i1
Mo (Fi(e) )
即
d
dt
Lo
n i 1
M o (Fi(e) )
质点系对某定点O的动量矩对时间的一阶导数， 等于作用于质点系的外力对同一点的主矩。
为一体，求Jo
O
解： Jo = Jo 杆+ Jo 盘
l
C1
Jo 杆=
JO盘 J
1 3
m1l
2
c2 m2l 2
1 2
m2 R 2
m2l
2
C2
Jo
1 3
m1l
2
1 2
m2
R
2
m2l 2
R
§11-2 动量矩定理 Moment of momentum theorem
一、质点的动量矩定理 根据质点的动量定理
2g
(2Q
P)
Q g
Rat
由 Lzo=Lz 得
o
2Qat (P 2Q)R
对上式求导 得
y
d
dt
(P
2Qa 2Q)R
§11-3 刚体绕定轴转动的微分方程
Differential equations for the rotation of a rigid body around a fixed-axis
Fi(e) 、内力Fi(i)
d dt
Mo
(mi vi
)
Mo (Fi(i) )
Mo (Fi(e)
)
对于n个质点，有n个这样的方程，将这些方程求和，则
内力系主矢 = 0
n
i1
d dt
Mo (mivi )
n i1
Mo (Fi(i) )
n i1
Mo (Fi(e) )
所以得
d
2 l
2
m l
dx
x2
1 12
ml2
均质薄圆环 z
R
J z mR2
均质圆轮（盘、柱） z
R
Jz
1 mR2 2
惯性半径（回转半径）
对于均质物体，其转动惯量与质量的比值
仅与物体的几何形状和尺寸有关，例如
均质细直杆
Jz
1 ml2 , 3
均质薄圆环 J z mR2
Jz 1l2, m3
o
Q g
o
R
R
Q
o R2 (2Q P)
2g
YA
y
ZA
续：
z B
ε
ω A
x
设瞬时t，盘的角速度为ω，角加速度为ε，
ve vr
动物相对于盘的速度为
vr
ds dt
at
绝对速度为va ve vr R at
∴系统对z轴的动量矩为
SLz
PR2 2g
Q g
va
R
R 2
转动惯量是刚体转动时的惯性度量
二、转动惯量的确定:计算法和实验法
积分法计算简单形状物体的转动惯量
z
zc
n
J z miri 2 r 2dm i1
o
x
C dx
x
对杆端轴z的转动惯量为
l
J z
l mdx x2 1 ml 2
0l
3
对质心轴zC的转动惯量为l
J zc
v
d dt
(m1
m2
1 2
M
)r
2
m1
gr
m2 gr
d (m1 m2 )g
dt
(m1
m2
1 2
M
)r
a r 2(m1 m2 ) g
2m1 2m2 M
m1 m1g
m2 m2g
思考题
图示两均质轮质量均为M，半径均为R，
且已知P＞Q，则 ⑴ε1＝ε2
第十一章 动量矩定理
Moment of Momentum Theorem
§11-1 动量矩的概念
z
Concept of moment of momentum
一、质点的动量矩
B
F
回顾：力对点的矩
A
Mo(F)= r×F
i jk
rm
MO(F) o
y
x y z
XYZ
x
( yZ zY )i (zX xZ)j 大小：│Mo(F) │ =2S△OAB
Jz R2 m
转动惯量与质量的比值的平方根， 常用表示。
即
z
Jz m
z
ρz ωm
惯性半径的特点
• 惯性半径仅与物体的形状、尺寸有关，与材料 无关。
• 查机械工程手册中简单几何形状或几何形状已 经标准化的零件的惯性半径，求Jz 。
J z m z 2
惯性半径不是物体的某一具体尺寸
Lz=Jzω
根据
d dt
Lz
n i1
M z (Fi(e) )
F1
且轴承反力对z轴的矩为零，所以有
J z
d
dt
n i1
M z (Fi )
F2
或 J z Mz (Fi )
x
z FN1
Fi
Fn
ω
FN2 y
结论：
刚体对定轴的转动惯量与角加速度的乘积，等于 作用于刚体的主动力对该轴的矩的代数和。
(xY yX )k
方向：按右手螺旋规则定。
质点A的动量对固定点O的矩： z
Mo(mv)= r×mv
i
j
k MO(mv)
x y z
o
mvx mvy mvz
x
大小= mv·rsinφ
B
mv φ
A
r
y B'
A' (mv)xy
方位：过O且⊥△OAB；指向：按右手螺旋规则定。