第3章 空间计量模型的极大似然估计

3.1 多权重矩阵Lacombe模型的单矩阵极大似然估计
多权重矩阵的Lacombe模型（2004）：
y 1W1 y 2W2 y X W1 X W2 X
其中， ~ N (0, I n 2 ) W1为同一州内相邻县市观察值影响； W2分别为州界处相邻县市观察值影响；
w为W 矩阵的n 1阶特征值向量
对数似然函数的Pace & Barry（1997）简化：
ln L( ) ln I n W (n 2) ln[ S ( )] 其中， 为与 不相关的常数；
T T S ( ) e( )T e( ) e0 e0 2 e0ed ed ed
2.4 SEM模型极大似然向SDM模型的可转化性
从PPT2.2-2.3的过程看，SEM模型的极大似然估计过程与SDM类似，那
么SEM模型的参数估计过程能否转化为SDM模型参数估计过程呢？
SEM
SDM模型参数估计的可转化性:
SEM 表达式： ( I n W ) y ( I n W ) X
这一简化式是 依据单参数优 化（PPT2.1） 而设计。
e0 y Z 0 ;ed Wy Z d ,
0 ( Z T Z ) 1 Z T y; d ( Z T Z ) 1 Z TWy
= 0 d e e0 ed
1.4 SAR、SDM模型的极大似然估计过程
1.2 SAR、SDM模型中多参数优化向单参数优化的转化
多参数优化向单参数优化转化：将模型中需要优化的多个参数通过等
价变形，转变为一个参数的优化问题，以使所分析的问题更为简单。
SAR、SDM模型的单元优化过程：
第一，设定SAR、SDM模型； y n Wy X ; y n Wy X WX
空间计量经济学导论（詹姆斯.勒沙杰）课件
范 巧 fanqmn@ 重庆科技学院经济系
小范经济工作室 在经济学的边缘上
拟讲授的主要内容
SAR、SDM模型参数的极大似然估计 SEM模型参数的极大似然估计
包含两个权重矩阵模型的极大似然估计 空间计量经济模型变量的参数显著性检验
ˆ) ˆ S ( 随机误差项的方差估计： 1 n
ˆW )T ( I n ˆW )]1 ˆ 2 [( I n 方差-协方差矩阵估计： =
空间自回归模型和空间杜宾模型的参数估计核心本质：通过构建包含
空间相关系数的对数似然函数，求解最优空间相关系数；并结合参数 估计的最小二乘法矩阵过程，最终对参数和随机误差项方差进行估计。
其中：S ( ) e( )T e( ) [ y ( ) X ( ) ( )]T [ y ( ) X ( ) ( )] =y ( )T y ( ) 2 ( )T X ( )T y( ) ( )T X ( )T X ( ) ( )
2.2 SEM模型的对数似然函数设定及简化
SEM模型的对数似然函数设定：
eT e ln L (n 2) ln( ) ln I n W 2 ，其中，e ( I n W )( y X ) 2
2
SEM模型的对数似然函数简化过程：
ln L ln I n W (n 2) ln( S ( ))
SEM模型参数估计的最小二乘法结果：
令（ ） ，y( ) ( I n W ) y, X ( ) ( I n W ) X , 则：
ˆ ） （ =[ X ( )T X ( )]1 X ( )T y( ) 解释变量的参数估计： 随机误差项的方差估计： ˆ 2 n1e( )T e( ) 样本随机误差项的计算： e( ) y( ) X ( ) ( )
解其他参数的过程。
1.3 空间相关系数 优化的对数似然函数及其简化
对数似然函数的Anselin(1988)设定： eT e 2 ln L (n 2) ln( ) ln I n W 2 2 其中，e y Wy Z ； ( Min( w) 1 , Max( w) 1 )；
Lacombe模型的多参数优化向两参数优化的转变过程：
设Z [ X ,W1 X ,W2 X ]; [ , , ]T , 则变形为：
y ( I n 1W1 2W2 )1 Z ( I n 1W1 2W2 )1
3.1 多权重矩阵Lacombe模型的单矩阵极大似然估计（续）
基于OLS方法的SEM模型参数估计有效性 基于SDM方法的SEM & SAC模型参数估计有效性 案例解析：参数估计、参数效应和估计模型选择
1.1 计量经济学基础知识
参数估计最小二乘法的矩阵过程(*)：
( T ) OLS原理： 0 ˆ B
ˆ ) T (Y XB ˆ) OLS 过程：Min(Q i 2） T (Y XB
随机误差项方差估计值为：
ˆ 2 n1e( * )T e( * ), 其中，e( * ) y *Wy Z
2 SAR、SDM模型的单元优化过程，实际上是将 , ， , , 等五个参数 * 的优化求解过程，转化为了通过空间相关系数 的优化求解并求
第二，对SAR、SDM模型进行等价变形：
设Z1 n , X , 1 , ; Z2 n , X，WX , 2 , ，
T T
SAR : y Wy Z11 ;SDM : y Wy Z2 2
第三，将SAR、SDM模型一般化，并表示其数据生成过程： y Wy Z y ( I n W )1 Z ( I n W )1
则可得SEM模型的最终简化式如下：
ln L ln I n W (n 2) ln( S ( )) 其中,S ( ) Ayy ( )-2 ( )T AXy ( ) ( )T AXX ( ) ( )
（） =AXX ( ) 1 AXy ( )
依据对数似然函数的Pace & Barry（1997）简化设定，可知：
ln I n 1W ln L( 1 ) ln L( ) ln I n 2W 2 ln L ( ) q ln I n qW ln[ S ( 1 )] ln[ S ( )] 2 (n 2) ln[ S ( )] q
2.1 SEM模型及其单参数优化过程
SEM模型的基本表达式设定：
y X , W y X ( I n W )1 , ~ N (0, 2 I n )
SEM模型基本表达式的变形：
( I n W ) y ( I n W ) X
2.2 SEM模型的对数似然函数设定及简化（续）
SEM模型的对数似然函数最终简化式： 令AXX ( ) X ( )T X ( ) [( I n W ) X ]T [( I n W ) X ]
X T X X TWX X TW T X 2 X TW TWX AXy ( ) X ( )T y( ) X T y X TWy X TW T y 2 X TW TWy Ayy ( ) y ( )T y( ) yT y y TWy y TW T y 2 y TW TWy
2.3 SEM模型的极大似然估计结果
ˆ 。 依据SEM模型的极大似然估计结果，可以估算最优的
SEM模型的最终估计结果:
ˆ ˆ） 解释变量的参数估计值： （
ˆ) ˆ 2 n1S ( 随机误差项的方差估计值：
ˆW )T ( I ˆW )T ]1 方差-协方差矩阵估计值： ˆ 2 [( I n n
1.2 SAR、SDM模型中多参数优化向单参数优化的转化（续）
SAR、SDM模型的单元优化过程（续）：
第四，依据OLS参数估计过程将一般模型进行单元优化转化； * 在给定 = 条件下， 解释变量参数矩阵的估计值为：
ˆ =(Z T Z )1 Z T (y- *Wy )=(Z T Z )1 Z T (I - *W )y n
SEM 整理：y Wy +X +WX （ ）
上式就是一个经典的SDM模型表达式，其可转化性检验主要是：
??
带常数项的SEM模型参数估计向SDM参数估计的可转化性：
( I n W ) y ( I n W )n ( I n W ) X y Wy ( I n W )n +X +WX （ ）
i 1 n
ˆ T X T )(Y XB ˆ) Y T Y B ˆ T X T Y Y T XB ˆB ˆ T X T XB ˆ (Y T B ˆB ˆ T X T XB ˆ Y T Y 2Y T XB
OLS 估计结果：如X T X 可逆，即|X T X | 0， ( T ) ˆ 0 0 2 X T Y 2 X T XB ˆ B -1 T ˆ X TY B ˆ X T XB （X T X） X Y
Lacombe模型参数估计优化的最小二乘法过程： ˆ (Z T Z )1 Z T ( I W W ) y 参数估计结果： n 1 1 2 2
2 =n1eT e 随机误差项方差估计结果：
Lacombe模型的对数似然函数设定：
2
eT e ln L (n 2) ln( ) ln I n 1W1 -2W2 2 2 其中，e ( I n 1W1 2W2 ) y Z
* 依据上述表达式，可求得空间相关系数的最优值 ，并以此作为空间 ˆ 。 相关系数的估计值
ˆ *