高考数学第一轮复习考纲《解三角形》课件1 文
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高考数学第一轮章节复习课件 第三章 三角函数 解三角形
2.已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一 点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数 的定义来求相关问题，若直线的倾斜角为特殊角，也 可直接写出角α的值.
【注意】 若角α的终边落在某条直线上，一般要分类讨论.
已知角α的终边在直线3x＋4y＝0上，求sinα， cosα，tanα的值.
.
解析：tan= 答案：
5.某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5 cm，秒针均匀 地绕点O旋转，当时间t＝0时，点A与钟面上标12的点B
重
合.将A、B两点间的距离d(cm)表示成t(s)的函数，则d
＝
，其中t∈[0,60].
解析：∵经过t(s)秒针转了 弧度
d
5. t
, d
t
10 sin
.
2 60
)内的单调性.
知识点
考纲下载
考情上线
函数y＝ Asin(ωx ＋φ)的图 象
1.考查图象的变换和 1.了解函数y＝Asin(ωx＋φ)
解析式的确定，以 的
及通过图象描绘， 物理意义；能画出y＝
观察讨论有关性质. Asin(ωx＋φ)的图象，了解
2.以三角函数为载体， 参数A、ω、φ对函数图象
考查数形结合的思想. 变化的影响.
当且仅当α＝ ，即α＝2时取等号， 此时 故当半径r＝1 cm，圆心角为2弧度时，扇形面积最大， 其最大值为1 cm2.
法二：设扇形的圆心角为α(0<α<2π)，半径为r，面积为S，
则扇形的弧长为rα，由题意有：2r＋rα＝4⇒α＝
×r2＝2r－r2＝－(r－1)2＋1，
∴当r＝1(cm)时，S有最大值1(cm2)，
为余弦线
有向线段 AT 为正切线
【注意】 若角α的终边落在某条直线上，一般要分类讨论.
已知角α的终边在直线3x＋4y＝0上，求sinα， cosα，tanα的值.
.
解析：tan= 答案：
5.某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5 cm，秒针均匀 地绕点O旋转，当时间t＝0时，点A与钟面上标12的点B
重
合.将A、B两点间的距离d(cm)表示成t(s)的函数，则d
＝
，其中t∈[0,60].
解析：∵经过t(s)秒针转了 弧度
d
5. t
, d
t
10 sin
.
2 60
)内的单调性.
知识点
考纲下载
考情上线
函数y＝ Asin(ωx ＋φ)的图 象
1.考查图象的变换和 1.了解函数y＝Asin(ωx＋φ)
解析式的确定，以 的
及通过图象描绘， 物理意义；能画出y＝
观察讨论有关性质. Asin(ωx＋φ)的图象，了解
2.以三角函数为载体， 参数A、ω、φ对函数图象
考查数形结合的思想. 变化的影响.
当且仅当α＝ ，即α＝2时取等号， 此时 故当半径r＝1 cm，圆心角为2弧度时，扇形面积最大， 其最大值为1 cm2.
法二：设扇形的圆心角为α(0<α<2π)，半径为r，面积为S，
则扇形的弧长为rα，由题意有：2r＋rα＝4⇒α＝
×r2＝2r－r2＝－(r－1)2＋1，
∴当r＝1(cm)时，S有最大值1(cm2)，
为余弦线
有向线段 AT 为正切线
高考数学一轮专项复习ppt课件-解三角形应用举例(北师大版)
南50°方向直线航行，30分钟后到达B处.在C处有一座灯塔，海轮在A处观
察灯塔，其方向是东偏南20°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那
么B，C两点间的距离是
√A.10 2 海里
B.10 3 海里
C.20 2 海里
D.20 3 海里
依题意，如图，在△ABC中， ∠BAC＝50°－20°＝30°，∠ABC＝40°＋65°＝105°， 则∠ACB＝45°，AB＝40×3600＝20(海里)， 由正弦定理得sin∠BCBAC＝sin∠ABACB， 即sinBC30°＝sin2045°，
跟踪训练2 (1)如图，在山脚A处测得山顶P的仰角为37°，沿坡角为23°
的斜坡向上走28 m到达B处，在B处测得山顶P的仰角为53°，且A，B，P，
C，Q在同一平面，则山的高度约为(参考数据：sin 37°≈0.6)
√A.30 m
B.32 m
C.34 m
D.36 m
∠BAQ＝23°，∠BPA＝∠QPA－∠BPC＝53°－37°＝16°，∠PAB＝ ∠PAQ－∠BAQ＝37°－23°＝14°，∠PBA＝180°－16°－14°＝150°.
同一水平高度的共线三点A，B，C处测得铜雕顶端P处的仰角分别为
π 3
，且AB＝BC＝20
m，则四门通天的高度为
π6，π4，
A.15 6 m
√B.10 6 m
C.6 6 m
D.5 6 m
设 OP＝h，则 OA＝ 3h，OB＝h，
OC＝ 33h， 在△ABO 中，由余弦定理得 cos∠ABO ＝4020×＋2h02－ ×3hh2＝4004－0h2h2， 在△BCO中，由余弦定理得
在△ABD中，有AB＝5，AD＝7，∠ABD＝60°， 由余弦定理可得，AD2＝AB2＋BD2－2AB·BDcos∠ABD， 即 49＝25＋BD2－2×5×BD×12， 整理可得BD2－5BD－24＝0， 解得BD＝8或BD＝－3(舍去). 在△BCD中，有BD＝8，∠CBD＝23°，∠BCD＝117°， 所以∠BDC＝180°－∠BCD－∠CBD＝40°.
高考数学一轮复习课件：解三角形PPT课件1 (人教课标版)
22.03.2022
小结：
一 、 余 弦 定 理 的 证 明 与 推 导 （ 两 种 基 本 方 法 ） ；
二 、 余 弦 定 理 的 应 用 ：（ I ） 已 知 两 边 及 它 们 的 夹 角，求第三边
（ ii） 已 知 三 边 求 三 角
22.03.2022
判断三角形的形状：
例已 . 知 ΔAB中 C，a2bcosC, 试确定三角形的 . 形状
解三角形复习
22.03.2022
一、正弦定理及应用
22.03.2022
welcome
正弦定理
在 一 个 三 角,各 形边 中和 它 所 对
A
的 角 的 正 弦 的 比 ,即相 等
c
b
abc
sinA sinB sinC
B
a
C
22.03.2022
正弦定理的应用
利用正弦定理，可解决以下两类有关三角形的 问题： （1）已知两角和任一边，求其他两边和一角。 （2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的 对角。
（2）在 ABC中，已知 a= 2 6 ， b= 2 2 ，c= 6 2 ，求 A、B、C 的值。
22.03.2022
例 2、在 ABC中，已知 a：b：c=3： 5：7，求 A、B、C 的值。
解： a：b：c=3：5：7
C 为 ABC的最大角
可令 a=3k（k>0），则 b=5k，c=7k
cosC
cos A b 2 c 2 a 2 2 bc
cos B a 2 c 2 b 2 2 ac
a2 b2 c2 cos C
2 ab
（2）注意每个等式中含有四个参数，那么只要知道其中三个量，必 定 可 以 求 出 第 四 个 量 （ 相 当 于 求 解 只 含 一 个 未 知 数 的 方 程 ）；
新教材高考数学一轮复习：三角函数与解三角形课件
1
S=2absin
6+ 2
,所以
4
3+ 3
C= 2 .
若选③bcos A+acos B= 3+1,
所以 acos B=1,即
2
2
a =6+c -2
所以
2 + 2 -6
a·
=1,所以
2
2
6c· =6+c2-2
2
1
S= bcsin
2
3+ 3
A=
.
2
a2=6+2c-c2.又因为
3c,所以 6+2c-c2=6+c2-2 3c,解得 c= 3+1.
A+acos B= 3+1
这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,并解决相应问题.
已知在锐角三角形 ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,△ABC 的面积为 S,
若 4S=b2+c2-a2,b= 6,且
,求△ABC 的面积 S 的大小.
解 因为 4S=b +c -a ,cos
2
2
2
2
2
2
时,角 A 为锐角(直角、钝角).
3.三个等价关系
在△ABC中,a>b⇔sin A>sin B⇔A>B.
2 + 2 - 2
A= 2 .当 b2+c2-a2>0(=0,<0)
关键能力 学案突破
考点1
三角函数与三角变换的综合
【例 1】 已知函数 f(x)=4sin
π
xcos(x- )3
=2sin
π
2x-3
.
S=2absin
6+ 2
,所以
4
3+ 3
C= 2 .
若选③bcos A+acos B= 3+1,
所以 acos B=1,即
2
2
a =6+c -2
所以
2 + 2 -6
a·
=1,所以
2
2
6c· =6+c2-2
2
1
S= bcsin
2
3+ 3
A=
.
2
a2=6+2c-c2.又因为
3c,所以 6+2c-c2=6+c2-2 3c,解得 c= 3+1.
A+acos B= 3+1
这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,并解决相应问题.
已知在锐角三角形 ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,△ABC 的面积为 S,
若 4S=b2+c2-a2,b= 6,且
,求△ABC 的面积 S 的大小.
解 因为 4S=b +c -a ,cos
2
2
2
2
2
2
时,角 A 为锐角(直角、钝角).
3.三个等价关系
在△ABC中,a>b⇔sin A>sin B⇔A>B.
2 + 2 - 2
A= 2 .当 b2+c2-a2>0(=0,<0)
关键能力 学案突破
考点1
三角函数与三角变换的综合
【例 1】 已知函数 f(x)=4sin
π
xcos(x- )3
=2sin
π
2x-3
.
高考数学理一轮复习 5-4解三角形 精品课件
角，目标视线在水平视线下方时，称为俯角．
方法规律· 归纳
题型一
用正余弦定理解斜三角形
①三角形内角和等于180° ②三角形中两边之和大于第三边 思维提示 ③正弦定理、余弦定理 ④三角形的面积公式
3 例 1 如图，在△ABC 中，AC＝2，BC＝1，cosC＝ . 4 (1)求 AB 的值； (2)求 sin(2A＋C)的值．
他的边和角时，有时可能出现一解、两解或无
解情况，应结合图形并根据“三角形中大边对大角”来判断 解的情况，作出正确取舍． 2．在△ ABC中， C有解的充要条件是 cosA＋ cosB＞ 0， 利用该结论解选择题或填空题，十分方便．
3．在判断三角形的形状时，一般将已知条件中的边角 关系利用正弦定理或余弦定理转化为角的关系或边的关系，
2
AB BC 由正弦定理得， ＝ ， sinC sinA
BCsinC 14 5 2 解得 sinA＝ ＝ ，所以，cosA＝ . AB 8 8 5 7 由倍角公式， sin2A ＝ 2sinAcosA ＝ 且 cos2A ＝ 1 － 16 9 2sin A＝ ， 16
2
3 7 故 sin(2A＋C)＝sin2AcosC＋cos2AsinC＝ . 8
[规律总结]
利用正弦定理、余弦定理解三角形，是正、
余弦定理的基本应用，也是高考的常考知识点．解决这类问
题通常分两步思考：一是看清已知，确定最简捷的求解过程，
正确运用公式；二是根据已知条件分析所求三角形的解是唯 一的，还是有多种情形.
备选例题 1 已知△ABC 中， C＝60° ， c＝7， S△ABC＝10 3. 求 a、b 及 A、B 的正弦值．
“化异为同”是解此类问题的突破口．
5．在解实际问题时，应正确理解如下角的含义： (1)方向角——从指定方向线到目标方向的水平角．
高考数学一轮复习规划4.6解三角形课件
(2)(2021 黑龙江大庆中学高二开学考试)在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，
c，若(a2＋c2－b2)·tanB＝ 3ac，则角 B 的值为
()
π A. 6
π B. 3
C. π6 或56π
D. π3 或23π
解：因为(a2＋c2－b2)tanB＝ 3ac，所以a2＋2ca2c－b2＝ 23scinoBsB，即 cosB＝ 23scinoBsB，
(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比.
()
(2)在△ABC 中，sinA＞sinB⇔A＞B⇔a>b.
()
(3)在△ABC 中，当 b2＋c2－a2>0 时，△ABC 为锐角三角形.
(4)在△ABC 中，sianA＝sinA＋a＋sinbB－－c sinC.
()
(5)在三角形中，已知两边和一角，则该三角形唯一确定.
考试要求
必备知识
自主评价
核心考点
第四章 三角函数与解三角形
5. 重要关系 (1)等价关系：A>B⇔a>b⇔sinA>sinB⇔cosA<cosB. (2) 三 角 函 数 关 系 ： sin(A ＋ B) ＝ sinC ； cos(A ＋ B) ＝ － cosC ； tan(A ＋ B) ＝ － tanC.
D. 7
解：因为 absinC＝20sinB，由正弦定理得 abc＝20b，ac＝20，又 a＋c＝9， 所以 b2＝a2＋c2－2accosB＝(a＋c)2－2ac－2accosB＝92－2×20－2×20×18＝36，所以 b ＝6. 故选 B.
考试要求
必备知识
自主评价
核心考点
第四章 三角函数与解三角形
高三数学一轮总复习第三章三角函数解三角形3.7解三角形应用举例课件.ppt
解析：如图所示，某人在 C 处，AB 为塔高，他沿 CD 前进，CD＝40，此时∠ DBF＝45°，过点 B 作 BE⊥CD 于 E，则∠AEB＝30°，
在△BCD 中，CD＝40，∠BCD＝30°，∠DBC＝135°，由正弦定理，得 sin∠CDDBC＝sin∠BDBCD， ∴BD＝4s0insi1n3350°°＝20 2(米)。 ∠BDE＝180°－135°－30°＝15°。 在 Rt△BED 中，
29
通关特训 3 如图所示，位于 A 处的信息中心获悉：在其正东方向相距 40 海里
的 B 处有一艘渔船遇险，在原地等待营救。信息中心立即把消息告知在其南偏西 30°，
相距 20 海里的 C 处的乙船，现乙船朝北偏东 θ 的方向即沿直线 CB 前往 B 处救援， 则 cosθ 等于( )
A.
21 7
解析：如图所示，
由题意知∠C＝45°，
由正弦定理得siAn6C0°＝sin245°，
∴AC＝
2× 2
23＝
6。
2
答案： 6
13
4．一船向正北航行，看见正东方向有相距 8 海里的两个灯塔恰好在一条直线 上。继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏东 60°，另一灯塔在船的南偏东 75°， 则这艘船每小时航行__________海里。
并测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°，求 A、B 之间的距
离。
16
解析：如图所示，在△ACD 中，∠ACD＝120°，∠CAD＝∠ADC＝30°，
∴AC＝CD＝ 3 km。
在△BCD 中，∠BCD＝45°，
∠BDC＝75°，∠CBD＝60°。
∴BC＝
s3isni6n07°5°＝
高考数学一轮总复习第四章三角函数与解三角形 3三角恒等变换第1课时简单的三角恒等变换课件
1
4
1
4
即cos cos + sin sin = .故cos − = .
故选C.
D.−
)
7
8
【点拨】和、差、倍角公式的综合应用，关键在于把握式子的结构特点，灵活应用
整体思想求解，尤其是对于含两个不相关联角的问题.
变式3（1） （2023年新课标Ⅰ卷）已知sin − =
5
π
(0， )，tan
2
2 =
C.
5
3
cos
，则tan
2−sin
=(
D.
)
15
3
cos
sin 2
2sin cos
cos
π
解：因为tan 2 =
,所以tan 2 =
=
=
.因为 ∈ (0， )，
2−sin
cos 2
1−2sin2
2−sin
2
2sin
1
cos 45∘ =
2
，D不符合.故选AC.
2
【点拨】和、差、倍角公式对使公式有意义的任意角都成立，使用中要注意观察角之
间的和、差、倍、互补、互余等关系.
变式1 【多选题】下列化简正确的是(
√
tan 48 +tan 72
C.
√1−tan 48 tan 72
A.cos 82∘ sin 52∘ − sin 82∘ cos 52∘ = −
tan 48∘ +tan 72∘
对于C，
1−tan 48∘ tan 72∘
1
sin
2
∘
15 cos 15 =
1
sin
4
4
1
4
即cos cos + sin sin = .故cos − = .
故选C.
D.−
)
7
8
【点拨】和、差、倍角公式的综合应用，关键在于把握式子的结构特点，灵活应用
整体思想求解，尤其是对于含两个不相关联角的问题.
变式3（1） （2023年新课标Ⅰ卷）已知sin − =
5
π
(0， )，tan
2
2 =
C.
5
3
cos
，则tan
2−sin
=(
D.
)
15
3
cos
sin 2
2sin cos
cos
π
解：因为tan 2 =
,所以tan 2 =
=
=
.因为 ∈ (0， )，
2−sin
cos 2
1−2sin2
2−sin
2
2sin
1
cos 45∘ =
2
，D不符合.故选AC.
2
【点拨】和、差、倍角公式对使公式有意义的任意角都成立，使用中要注意观察角之
间的和、差、倍、互补、互余等关系.
变式1 【多选题】下列化简正确的是(
√
tan 48 +tan 72
C.
√1−tan 48 tan 72
A.cos 82∘ sin 52∘ − sin 82∘ cos 52∘ = −
tan 48∘ +tan 72∘
对于C，
1−tan 48∘ tan 72∘
1
sin
2
∘
15 cos 15 =
1
sin
4
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解析：∵a、b、c 成等比数列，∴b2＝ac.∵cosA＝b2＋2cb2c－a2＝ ac＋2cb2c－a2＝2bbcc＝12，∴∠A＝60°.
5．锐角三角形的内角分别是 A、B、C，并且 A>B.下面三 个不等式成立的是__①__②__③___.
①sinA>sinB；②cosA<cosB；③sinA＋sinB>cosA＋cosB.
及边 c.
解：由正弦定理，sinA＝asibnB＝
3 2
∵B＝45°＜90°，b＜a，∴A＝60°或 120°.
①当 A＝60°时，C＝180°－(A＋B)＝75°，
c＝bssiinnBC＝
s2isni4n57°5°＝
6＋ 2
2；
②当 A＝120°时，C＝180°－(A＋B)＝15°.
c＝bssiinnBC＝
解析：A>B⇔a>b⇔sinA>sinB，故①成立．函数 y＝cosx 在
区间[0，π]上是减函数，∵A>B，∴cosA<cosB.故②成立．在锐
角三角形中
A＋
π B>2
，则
有
A>
π 2
－
B
，
∴ sinA>sin
π2－B
，
即
sinA>cosB，同理 sinB>cosA，故③成立．
考点 1 正弦定理、余弦定理的应用 例 1：在△ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c， 已知 a＝2，c＝3，cosB＝14. (1)求 b 的值； (2)求 sinC 的值．
3．已知三角形的内角分别是 A、B、C，命题 A>B⇔sinA>sinB 的依据是__大__边__对__大__角__和__正__弦__定__理____．
4．已知三角形的内角分别是 A、B、C，命题 A>B⇔cosA<cosB 的依据是_余__弦__函__数__在__[_0_，__π_]_上__是__减__函__数___．
∴sin2A＝sin2B， ∴0°<A<180°，0°<B<180°， ∴2A＝2B 或 2A＋2B＝180°， ∴A＝B 或 A＋B＝90°， ∴△ABC 是等腰三角形或直角三角形．
本题主要考查运用正弦定理与余弦定理来判断三 角形的形状．常见思路是利用正弦定理化边为角，再进行三角 恒等变形，或利用正弦定理与余弦定理化角为边，再进行代数 恒等变形．
方法二：∵cosB＝14，且 B 是△ABC 的内角，
∴sinB＝
1－cos2B＝
15 4.
根据正弦定理sibnB＝sincC得
sinC＝csibnB＝3×10415＝3 8 6.
三角形内角和定理、正弦定理、余弦定理是解三角 形的常用工具．
【互动探究】
1．在△ABC 中，已知 a＝ 3，b＝ 2，B＝45°，求 A、C
1．正弦定理：_s_ian_A_＝__s_i_bn_B_＝__s_inc_C__＝__2_R_(_R_为__△__A_B__C__的__外__接__圆__半__径__) ． 2．余弦定理：_c_2＝__a_2_＋__b_2_－__2_a_b_c_o_sC__或___c_o_sC__＝__a_2＋__2b_a2_b－__c_2__.
2ssinin4155°0°＝
6－ 2
2 .
考点 2 判断三角形的形状 例 2 在：ABC 中，a2tanB＝b2tanA，试判断△ABC 的形状． 解题思路：从边角统一入手． 解析：原式可化为a2sinB＝b2sinA ，
cosB cosA
∵a＝2RsinA，b＝2RsinB， ∴ sinc2oAssBinB＝sinc2oBssAinA. ∵sinA≠0，sinB≠0， ∴sinAcosA＝sinBcosB，
1．在△ABC 中，“A＞π6”是“sinA＞12”的( B ) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．图 7－1－1 所示某河段的两岸可视为平行，在河段的一 岸边选取两点 A、B，观察对岸的点 C，测得∠CAB＝75°， ∠CBA＝45°，且 AB＝200 米．则 A、C 两点的距离为( A )
A.2003 6米 C.1003 6米
图 7－1－1 B．100 6米 D．200 2米
3．在△ABC 中，三边 a、b、c 之比为 3∶5∶7，则这个三 角形的最大的角为__1_2_0_°_.
4．在△ABC 中，a、b、c 分别是∠A、∠B、∠C 的对边长， 已知 a、b、c 成等比数列，且 a2－c2＋bc＝ac，则∠A 的大小为 ___6_0_°___.
错源：对三角形中内角所受到的限制不清楚
例 3：在锐角三角形 ABC 中，已知内角 A＝π3，边 BC＝2 3. 设内角 B＝x，周长为 y.
(1)求函数 y＝f(x)的解析式和定义域； (2)求函数 y＝f(x)值域． 误解分析：锐角三角形 ABC 中，B＋C＝23π，故∠B 将受到双 重限制，即 0<B<π2，0<C<π2，不少同学பைடு நூலகம்容易忽略角 C 的限制，得 到函数 y＝f(x)的定义域为0，π2，将直接导致函数的值域出错．
第七章 解三角形
1．正弦定理和余弦定理 掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度 量问题． 2．应用 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测Z 量和几何计算有关的实际问题．
能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测 量和几何计算有关的实际问题．
第1讲 正弦定理和余弦定理
【互动探究】 2．在△ABC 中，sinA＝csoinsBB＋＋scionsCC，试判断这个三角形的形状．
解：应用正弦定理、余弦定理，可得 a＝c2＋2ac2a－bb2＋＋ac2＋2ba2b－c2，
所以 b(a2－b2)＋c(a2－c2)＝bc(b＋c)．所以(b＋c)a2＝(b3＋c3)＋ bc(b＋c)．所以 a2＝b2－bc＋c2＋bc.所以 a2＝b2＋c2.所以△ABC 是直角三角形．
解题思路：两边夹角问题使用余弦定理．
解析：(1)由余弦定理 b2＝a2＋c2－2accosB，得 b2＝22＋32－2×2×3×14＝10， ∴b＝ 10. (2)方法一：由余弦定理得 cosC＝a2＋2ba2b－c2＝24×＋21×0－190＝ 810， ∵C 是△ABC 的内角， ∴sinC＝ 1－cos2C＝3 8 6.
5．锐角三角形的内角分别是 A、B、C，并且 A>B.下面三 个不等式成立的是__①__②__③___.
①sinA>sinB；②cosA<cosB；③sinA＋sinB>cosA＋cosB.
及边 c.
解：由正弦定理，sinA＝asibnB＝
3 2
∵B＝45°＜90°，b＜a，∴A＝60°或 120°.
①当 A＝60°时，C＝180°－(A＋B)＝75°，
c＝bssiinnBC＝
s2isni4n57°5°＝
6＋ 2
2；
②当 A＝120°时，C＝180°－(A＋B)＝15°.
c＝bssiinnBC＝
解析：A>B⇔a>b⇔sinA>sinB，故①成立．函数 y＝cosx 在
区间[0，π]上是减函数，∵A>B，∴cosA<cosB.故②成立．在锐
角三角形中
A＋
π B>2
，则
有
A>
π 2
－
B
，
∴ sinA>sin
π2－B
，
即
sinA>cosB，同理 sinB>cosA，故③成立．
考点 1 正弦定理、余弦定理的应用 例 1：在△ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c， 已知 a＝2，c＝3，cosB＝14. (1)求 b 的值； (2)求 sinC 的值．
3．已知三角形的内角分别是 A、B、C，命题 A>B⇔sinA>sinB 的依据是__大__边__对__大__角__和__正__弦__定__理____．
4．已知三角形的内角分别是 A、B、C，命题 A>B⇔cosA<cosB 的依据是_余__弦__函__数__在__[_0_，__π_]_上__是__减__函__数___．
∴sin2A＝sin2B， ∴0°<A<180°，0°<B<180°， ∴2A＝2B 或 2A＋2B＝180°， ∴A＝B 或 A＋B＝90°， ∴△ABC 是等腰三角形或直角三角形．
本题主要考查运用正弦定理与余弦定理来判断三 角形的形状．常见思路是利用正弦定理化边为角，再进行三角 恒等变形，或利用正弦定理与余弦定理化角为边，再进行代数 恒等变形．
方法二：∵cosB＝14，且 B 是△ABC 的内角，
∴sinB＝
1－cos2B＝
15 4.
根据正弦定理sibnB＝sincC得
sinC＝csibnB＝3×10415＝3 8 6.
三角形内角和定理、正弦定理、余弦定理是解三角 形的常用工具．
【互动探究】
1．在△ABC 中，已知 a＝ 3，b＝ 2，B＝45°，求 A、C
1．正弦定理：_s_ian_A_＝__s_i_bn_B_＝__s_inc_C__＝__2_R_(_R_为__△__A_B__C__的__外__接__圆__半__径__) ． 2．余弦定理：_c_2＝__a_2_＋__b_2_－__2_a_b_c_o_sC__或___c_o_sC__＝__a_2＋__2b_a2_b－__c_2__.
2ssinin4155°0°＝
6－ 2
2 .
考点 2 判断三角形的形状 例 2 在：ABC 中，a2tanB＝b2tanA，试判断△ABC 的形状． 解题思路：从边角统一入手． 解析：原式可化为a2sinB＝b2sinA ，
cosB cosA
∵a＝2RsinA，b＝2RsinB， ∴ sinc2oAssBinB＝sinc2oBssAinA. ∵sinA≠0，sinB≠0， ∴sinAcosA＝sinBcosB，
1．在△ABC 中，“A＞π6”是“sinA＞12”的( B ) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．图 7－1－1 所示某河段的两岸可视为平行，在河段的一 岸边选取两点 A、B，观察对岸的点 C，测得∠CAB＝75°， ∠CBA＝45°，且 AB＝200 米．则 A、C 两点的距离为( A )
A.2003 6米 C.1003 6米
图 7－1－1 B．100 6米 D．200 2米
3．在△ABC 中，三边 a、b、c 之比为 3∶5∶7，则这个三 角形的最大的角为__1_2_0_°_.
4．在△ABC 中，a、b、c 分别是∠A、∠B、∠C 的对边长， 已知 a、b、c 成等比数列，且 a2－c2＋bc＝ac，则∠A 的大小为 ___6_0_°___.
错源：对三角形中内角所受到的限制不清楚
例 3：在锐角三角形 ABC 中，已知内角 A＝π3，边 BC＝2 3. 设内角 B＝x，周长为 y.
(1)求函数 y＝f(x)的解析式和定义域； (2)求函数 y＝f(x)值域． 误解分析：锐角三角形 ABC 中，B＋C＝23π，故∠B 将受到双 重限制，即 0<B<π2，0<C<π2，不少同学பைடு நூலகம்容易忽略角 C 的限制，得 到函数 y＝f(x)的定义域为0，π2，将直接导致函数的值域出错．
第七章 解三角形
1．正弦定理和余弦定理 掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度 量问题． 2．应用 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测Z 量和几何计算有关的实际问题．
能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测 量和几何计算有关的实际问题．
第1讲 正弦定理和余弦定理
【互动探究】 2．在△ABC 中，sinA＝csoinsBB＋＋scionsCC，试判断这个三角形的形状．
解：应用正弦定理、余弦定理，可得 a＝c2＋2ac2a－bb2＋＋ac2＋2ba2b－c2，
所以 b(a2－b2)＋c(a2－c2)＝bc(b＋c)．所以(b＋c)a2＝(b3＋c3)＋ bc(b＋c)．所以 a2＝b2－bc＋c2＋bc.所以 a2＝b2＋c2.所以△ABC 是直角三角形．
解题思路：两边夹角问题使用余弦定理．
解析：(1)由余弦定理 b2＝a2＋c2－2accosB，得 b2＝22＋32－2×2×3×14＝10， ∴b＝ 10. (2)方法一：由余弦定理得 cosC＝a2＋2ba2b－c2＝24×＋21×0－190＝ 810， ∵C 是△ABC 的内角， ∴sinC＝ 1－cos2C＝3 8 6.