2019年高考数学考纲与考试说明解读

2019年高考数学考纲与考试说明解读专题一：函数、极限与导数的综合问题（一）不等式、函数与导数部分考查特点分析与建议全国课标卷考查内容分析（考什么）（一）结论：考查的核心知识为:函数的概念、函数的性质、函数的图象、导数的应用函数的概念：函数的定义域、值域、解析式（分段函数）;函数的性质：函数的奇偶性、单调性、对称性、周期性;函数的图象：包含显性与隐性；导数的应用：导数的概念及其几何意义;利用导数求单调区间、极值、最值与零点；结合函数的单调性解不等式或证明不等式、求参数范围．（二）试题题型结构：全国卷基本上是2道选择题或填空题、1道解答题，共3道题.分值为22分．（三）试题难度定位：全国卷对函数与导数的考查难度相对稳定，选择、填空题中，有一道为中等难度，另一道作为选择、填空的“压轴题”进行考查；解答题均放置于“压轴”位置．小题考点可总结为八类：（1）分段函数；（2）函数的性质；（3）基本函数；（4）函数图像；（5）方程的根（函数的零点）；（6）函数的最值；（7）导数及其应用；（8）定积分。

解答题主要是利用导数处理函数、方程和不等式等问题，有一定的难度，往往放在解答题的后面两道题中的一个．纵观近几年全国新课标高考题，常见的考点可分为六个方面：（1）变量的取值范围问题；（2）证明不等式的问题；（3）方程的根（函数的零点）问题；（4）函数的最值与极值问题；（5）导数的几何意义问题；（6）存在性问题。

考点：题型1 函数的概念 例1 有以下判断：①f (x )＝|x |x 与g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1 x ≥0－1 x <0表示同一函数；②函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝1的交点最多有1个； ③f (x )＝x 2－2x ＋1与g (t )＝t 2－2t ＋1是同一函数；④若f (x )＝|x －1|－|x |，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0. 其中正确判断的序号是________.题型2 函数的概念、性质、图象和零点（2017年全国新课标Ⅰ卷理科第8题） 例 2、已知函数()()2112x x f x x x a e e --+=-++有唯一零点，则a = A. 12-B. 13C. 12D. 1 C 【解析】函数()f x 的零点满足()2112e e x x x x a --+-=-+， 设()11eex x g x --+=+，则()()21111111e 1eeee e x x x x x x g x ---+----=-=-='，当()0g x '=时， 1x =；当1x <时， ()0g x '<，函数()g x 单调递减；当1x >时， ()0g x '>，函数()g x 单调递增，当1x =时，函数()g x 取得最小值，为()12g =.设()22h x x x =-，当1x =时，函数()h x 取得最小值，为1-，若0a ->，函数()h x 与函数()ag x -没有交点；若0a -<，当()()11ag h -=时，函数()h x 和()ag x -有一个交点，即21a -⨯=-，解得12a =.故选C. 例3、（2012理科）（10） 已知函数1()ln(1)f x x x=+-；则()y f x =的图像大致为（ ）B（1）定义域 （2）奇偶性 （3）对称性 （4）单调性（求导） （5）周期性 （6）特征点 （7）变化趋势1,ln(1)y t x x t ==+-1'111x t x x -=-=++(1)0,31()034ln 44f f <-=<-1.考查角度(1)以指、对、幂函数为载体考查函数的单调性、奇偶性等性质; (2)考查分段函数的求值以及指数、对数的运算; (3)函数图象的考查主要是函数图象的识别及应用;(4)高考一般不单独考查函数零点的个数以及函数零点所在区间,有时在导数中考查函数的零点问题;(5)函数与方程的考查既可以是结合函数零点存在性定理或函数图象判断零点的存在性,也可以是利用函数零点的存在性求参数的值、范围或判断零点所在区间. 2.题型及难易度选择题或填空题.难度:中等或偏上.2求函数定义域常见结论：(1)分式的分母不为零；(2)偶次根式的被开方数不小于零；(3)对数函数的真数必须大于零； (4)指数函数和对数函数的底数大于零且不等于1；(5)正切函数y ＝tan x ，x ≠k π＋ (k ∈Z )； (6)零次幂的底数不能为零；(7)实际问题中除要考虑函数解析式有意义外，还应考虑实际问题本身的要求.题型3、函数、方程、不等式及导数的综合应用 例3（2013理科）若函数()f x =22(1)()x x ax b -++的图像关于直线2x =-对称，则()f x 的最大值是______. 1616)5()(,910)3(16)()3(16)34)(34()2(max 2222222==⇒-+-=+-=⇒+-=++-+-=-g t g t t t t t g x x x x x x x f 法二：知识点：函数的奇偶性、对称性和导数的应用数学思想：考查转化、数形结合 体现了多角度、多维度、多层次题型4 函数、方程、不等式及导数的综合应用 例4、已知函数()f x =x ﹣1﹣alnx ． （1）若()0f x ≥ ，求a 的值；（2）设m 为整数，且对于任意正整数n ，21111++1+)222n ()(1)(﹤m ，求m 的最小值． 解：（1）()f x 的定义域为()0，+∞.①若0a ≤，因为11=-+2＜022f a ln ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以不满足题意；②若＞0a ，由()1a x af 'x x x-=-=知，当()0x ,a ∈时，()＜0f 'x ；当()，+x a ∈∞时，()＞0f 'x ，所以()f x 在()0,a 单调递减，在()，+a ∞单调递增，故x=a 是()f x 在()0，+x ∈∞的唯一最小值点. 由于()10f =，所以当且仅当a=1时，()0f x ≥.故a=1（2）由（1）知当()1，+x ∈∞时，1＞0x ln x --(1)(3)8(1)(5)15f f a f f b -=-=⎧⎧⇒⇒⎨⎨=-=⎩⎩法一：导数求最值问题（6）复习重点函数作为几大主干知识之一，其主体知识包括1个工具：导数研究函数的单调性、极值、最值和证明不等式；1个定理：零点存在性定理； 1个关系：函数的零点是方程的根；2个变换：图象的平移变换和伸缩变换；2大种类：基本初等代数函数(正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数、三次函数、指数函数、对数函数、幂函数)和基本初等函数的复合函数(对勾函数、双曲函数、分段函数和其它函数)；2个最值：可行域背景下的二元函数最值和均值不等式背景下的一元函数最值;2个意义：导数的几何意义和定积分的几何意义；3个要素：定义域、值域、解析式；3个二次：二次函数、二次方程、二次不等式；5个性质：单调性、奇偶性、周期性、凸凹性、对称性.关注二阶导数在研究函数中的拓展应用虽然高中数学没有涉及二阶导数的提法和应用，但将函数的导数表示为新的函数，并继续研究函数的性质的试题比比皆是．因此有必要关注二阶导数在研究函数中的拓展应用，但要注意过程性的学习，而不是定理的记忆．① 当a 1≥时，恒有()'≥h x ()00'≥h ，从而()h x 是增函数，()00h =，()0h x ≥在[)0,+∞恒成立② 当a 1时，()h x '在[)0,+∞是增函数，()00=a 10,0,使'-∃h x ()0x 0'=h ，所用当()()0x 0,0时'∈x h x ，从而()h x 是减函数，()00h =，()0≤h x ，所以()0h x ≥在[)0,+∞不恒成立 故1a ≥即为所求.全国（2）卷文设函数f(x)=(1-x 2)e x . （1）讨论f(x)的单调性；（2）当x ≥0时，f(x)≤ax +1，求a 的取值范围. （2）∵0x ≥时，()1f x ax ≤+，∴()211x x e ax -≤+ ∴210x x x e e ax -++≥，令()21x x h x x e e ax =-++， 即[)0,x ∈+∞时，()0h x ≥，而()00h =再令()()22x x x x h x x e xe e a ϕ'==+-+，()()241x x x x e ϕ'=++ 0x ≥时，()0x ϕ'>恒成立. ∴()h x '在[)0,+∞是增函数（理21）已知函数()2ln f x ax ax x x =--，且()0f x ≥。

（1）求a 的值；（2）证明：()f x 存在唯一的极大值点0x ，且()2202e f x --<<.参考解法：（1）()f x 的定义域为(0,)+∞设()ln g x ax a x =--，则()(),()0f x xg x f x =≥等价于()0g x ≥ 因为(1)0,()0g g x =≥，故(1)0g '=，而1(),(1)1g x a g a x''=-=-，得1a = 若1a =，则1()1g x x'=-当01x <<时，()0,()g x g x '<单调递减； 当1x >时，()0,()g x g x '>单调递增所以1x =是()g x 的极小值点，故()(1)0g x g ≥=，综上，1a =且当()00,x x ∈时，()0x ϕ>；当()0,1x x ∈时，()0x ϕ<； 当()1,x ∈+∞时，()0x ϕ>.又()()'f x x ϕ=，所以0x x =是()f x 的唯一极大值点.且 0000)(1ln )x x x =--f （x 由()0'0f x =得()00ln 21x x =-，故()()0001f x x x =-.由()00,1x ∈得()014f x <.因为0x x =是()f x 在()0,1的唯一极大值点，由()10,1e -∈，()10f e -≠得 ()()120f x f e e -->=所以220()2ef x --<<.（2016年Ⅱ卷理21）（本小题满分12分）（Ⅰ）讨论函数2()e 2xx f x x -=+的单调性，并证明当0x >时，(2)e 20x x x -++>；（Ⅱ）证明：当[0,1)a ∈时，函数2e ()=(0)x ax ag x x x -->有最小值．设()g x 的最小值为()h a ，求函数()h a 的值域．解：（Ⅰ）略（Ⅱ）【零点分布和运用极值点满足等式】33(2)e (2)(2)'()(())x x a x x g x f x a x x -+++==+．由（Ⅰ）知，()f x a +单调递增，对任意[0,1)a ∈，(0)10f a a +=-<，(2)0f a a +=≥．因此存在唯一0(0,2]x ∈，使得0()0f x a +=，即0'()0g x =．当00x x <<，0()0f x a +<，0'()0g x <，()g x 单调递减； 当0x x >，0()0f x a +>，0'()0g x >，0()g x 单调递增． 因此()g x 在0x x =处取得最小值，最小值为000000022000e (1)e ()(1)e ()=2x x x a x f x x g x x x x -+-+==+． 于是()h a 00e 2x x =+，由000200(1)e e ()02(2)x x x x x +'=>++，00e 2x x +单调递增． 所以，由0(0,2]x ∈，得002201()2022224x e e e e h a x =<=≤=+++．【以上是稳定，后面是新意】因为2x e x +单调递增，对任意21(,]24e λ∈，存在唯一的0(0,2]x ∈，0()[0,1)a f x =-∈，使得(),h a λ=所以()h a 的值域是21(,]24e ．综上，当[0,1)a ∈时，()g x 有最小值()h a ，()h a 的值域是21(,]24e ．【注】由0()0f x a +=，得0002e 2xx a x +=--，常理是用a 去表示0x ，办不到，我们只能用0x 去表示a ，00002e ()2x x a f x x -==-+．可以由第Ⅰ问2e 2x x a x -=+在(0,)x ∈+∞单调递减，再由第Ⅰ问的不等式“当0x >时，(2)e 20xx x -++>”启发，有结论0[0,1)(0,2]a x ∈⇔∈．从而()([0,1))h a a ∈的值域就是00()((0,2])g x x ∈的值域．这个0(0,2]x ∈不是前面试根得到的范围，而是由[0,1)a ∈与0002e 2x x a x -=+单调得出的，这个方向很重要！教学思考与建议 （一）必拿的分数 1．必拿分数的知识内容选择填空题中的中等题，此类问题主要考查函数的概念（函数的定义域、值域、解析式）、函数的性质（函数的奇偶性、单调性）、函数的图象、导数的应用：导数的概念及其几何意义（求切线问题）; 2．拿分策略（1）定义域优先原则；（2）重点对分段函数、函数的奇偶性与单调性简单应用、函数的图象、求切线问题进行题组训练； （3）由于所有基本问题的讨论都涉及函数的基本性质，而函数的图象的直观表达函数性质的最佳方式，因此，作出函数的图象是解决函数与导数的重要途径．应通过具体实例让学生掌握作函数的图象的步骤：第1步：确定定义域；第2步：求导数和导函数的零点；第3步：列表（含自变量取值、导数符号、函数增减与极值）；第4步：确定特殊点（图象与坐标轴的交点、极值点）；第5步：确定图象的渐近线；第6步：画图象．从另一个角度考虑，应灵活应用函数的图象的平移与对称变换．（4）在选择填空题中，应注意数形结合思想的应用；应关注特殊与一般思想的应用．（二）争取拿的分数1．争取拿分数的知识内容选择填空题中的压轴题（函数的性质的综合应用，涉及到对称性、周期性）、解答题中的第Ⅰ问，函数的单调性（如导数求单调区间、极值、最值与零点）、切线的应用;2．争取拿分策略（1）熟练掌握函数的周期性及对称性的相关结论，并应用． （2）调整心态，大胆准确的求导（正确求导1~2分）； （3）关注分类与整合思想的应用，合理的进行分类； （三）希望能拿的分数1．希望能拿分数的知识内容解答题的第Ⅱ问，结合函数的单调性解不等式或证明不等式、求参数范围． 2．拿分策略（1）根据函数图象的性态，利用化归与转化思想，转化为熟悉的问题进行解决（函数的单调性、极值、最值问题）；（2）了解常见解题思路：运用零点分布和运用极值点满足等式方法、找分界点方法与极值点偏离方法．2018年高考数学（文）(函数与导数)2018年普通高等学校招生全国统一考试大纲已于2017年12月新鲜出炉，它是高考命题的规范性文件和标准，是考试评价、复习备考的指明灯，为考生努力的方向指明了道路．与《2017年高考文科数学考试大纲》相比，《2018年高考文科数学考试大纲》在考核目标、考试范围与要求等方面都没有明显变动.无论是知识内容及其要求的三个层次（了解、理解、掌握），还是能力（空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力、应用意识和创新意识）要求、个性品质要求和考查要求都没有变化.这说明2018年高考数学学科的命题仍然保持相对的稳定.下面对2018年考纲中函数与导数部分进行综合解读：函数与导数，一般在高考中至少三个小题，一个大压轴题，分值在30分左右。