湖北省武汉市洪山区2018-2019学年九年级(上)期中数学试卷(含解析)
2018-2019学年湖北省武汉市洪山区九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.将一元二次方程x（x-9）=-3化为一元二次方程的一般形式，其中二次项系数为1，一次项系数和常数项分别是（）A. 9，3B. 9，−3C. −9，−3D. −9，32.已知x1，x2是一元二次方程3x2-6x-5=0的两个实数根，则x1+x2等于（）C. 2D. −2A. 6B. −533.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，AB=10cm，以C为圆心，以9cm长为直径的⊙C与直线AB的位置关系为（）A. 相交B. 相离C. 相切D. 相离或相交4.某区2016年应届初中毕业生为5万人，2017年、2018年两届毕业生一共为12万人，设2016年到2018年平均每年学生人数增长的百分率为x，则方程可列为（）A. 5(1+x)2=12B. 5+5(1+x)2=12C. 5+5(1+x)+5(1+x)2=12D. 5(1+x)+5(1+x)2=125.如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB为⊙O的直径，点D为⊙O上一点，若∠ACD=40°，则∠BAD的大小为（）A. 35∘B. 50∘C. 40∘D. 60∘6.设A（-2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y=-（x+1）2+k上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（）A. y1>y2>y3B. y1>y3>y2C. y2>y3>y1D. y3>y1>y27.如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC顶点的横、纵坐标都是整数．若将△ABC以某点为旋转中心，顺时针旋转90°得到△DEF，则旋转中心的坐标是（）A. (0,0)B. (1,0)C. (1,−1)D. (2.5,0.5)8.将二次函数y=-2（x-2）2-3的图象先向左平移2个单位，再向上平移2个单位后顶点坐标为（）A. (4,−1)B. (−4,−1)C. (0,−1)D. (0,1)9.已如△ABC的面积18cm2，其周长为24cm，则△ABC内切圆半径为（）3310.如图，AB=2，BC=4，点A是⊙B上任一点，点C为⊙B外一点，△ACD为等边三角形，则△BCD的面积的最大值为（）A. 4√3+4B. 4√3C. 4√3+8D. 6√3二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）11.已知x=-1是关于x的一元二次方程x2+mx+2=0的解，则m=______．12.若二次函数y=（k-1）x2+2kx+k-2=0的图象与x轴有两交点，则k的取值范围是______．13.已知△ABC中，BC=6，∠A=120°，则△ABC外接圆的半径为______．14.飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）关于滑行时间t（单位：s）的函数解析式是y=60t-3t2，在飞机着陆滑行中，最后2s滑行的距离是______m．215.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A′B′C，M是BC的中点，P是A′B′的中点，连接PM，若BC=2，∠BAC=30°，则线段PM的最大值是______．16.已知抛物线y=-x2+mx+2-m，在自变量x的值满足-1≤x≤2的情况下，若对应的函数值y的最大值为6，则m的值为______．三、计算题（本大题共2小题，共16.0分）17.解方程：x2-4x-7=0．18.如图，ABCD是一块边长为8米的正方形苗圃，园林部门拟将其改造为矩形AEFG的形状，其中点E在AB边上，点G在A的延长线上，DG=2BE，设BE的长为x米，改造后苗圃AEFG的面积为y平方米．（1）求y与x之间的函数关系式（不需写自变量的取值范围）；（2）若改造后的矩形苗圃AEFG的面积与原正方形苗圃ABCD的面积相等，此时BE的长为______米．（3）当x为何值时改造后的矩形苗圃AEFG的最大面积？并求出最大面积．四、解答题（本大题共6小题，共56.0分）19.如图，AB为⊙O直径，弦CD⊥AB于E，△COD为等边三角形．（1）求∠CDB的大小．（2）若OE=3，直接写出BE的长______．20.小明决定自己设计一个画轴，如图，画轴长为20m，宽10m，正中央是一个与整个画轴长、宽比例相同的矩形，如果四周边衬所占的面积是整个画轴面积，且上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，求左、的925右边衬的宽．21.如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（-1，3），（-4，1），线段AB绕原点O顺时针旋转90°得到线段A1B1，点A的对应点为点A1，（1）画出线段A1B1，写出A1的坐标______；（2）网格中，线段CD与AB关于点P中心对称，其中A、B的对应点分别为C、D，若四边形ABCD为正方形，点P的坐标为______．22.如图一，AB为⊙O直径，PB为⊙O切线，点C在⊙O上，弦AC∥OP．（1）求证：PC为⊙O的切线．（2）如图二，OP交⊙O于D，DA交BC于G，作DE⊥AB于E，交BC于F，若CG=3，DF=5，求AC的长．223.如图，△ABC中，AC=BC=4，点D、E分别是AC、BC边上中点，将△DEC绕点C旋转角度α（0°＜α＜360°）得到△D′E′C，连接AD，BE．（1）如图一，若∠C=60°，在旋转过程中，求证：AD′=BE′；（2）如图二，在（1）的旋转过程中，边D′E′的中点为P，连接AP，求AP最大值．（3）如图三，若∠C=90°，△CDE绕点C顺时针旋转，得到△CD′E′，设旋转角为α（0＜α≤180°），直线AD′与BE′的交点为P，连接PC，直接写出△PBC面积的最大值为______．24.如图1，抛物线y=ax2+bx+2与x轴相交于点A（-1，0）和B（4，0），与y轴相交于点C．（1）直接写出该抛物线的解析______（结果用一般式表示）（2）如图2，将直线BC绕点B顺时针旋转45°后得到直线BD．与抛物线的另一个交点为D，求BD的长．（3）如图3，点P是该二次函数图象上位于第一象限上的一动点，连接PA分别交BC、y轴于点E、F，若△PEB、△CEF的面积分别为S1、S2，求S1-S2的最大值．答案和解析1.【答案】D【解析】解：x（x-9）=-3，x2-9x+3=0，所以一次项系数、常数项分别为-9、3，故选：D．先化成一元二次方程的一般形式，再根据方程的特点得出一次项系数和常数项即可．本题考查了一元二次方程的一般形式，把方程换成一般形式是解此题的关键，注意：说各个项的系数带着前面的符号．2.【答案】C【解析】解：∵x1，x2是一元二次方程3x2-6x-5=0的两个实数根，∴x1+x2=2．故选：C．根据根与系数的关系可得出x1+x2=2，此题得解．本题考查了根与系数的关系，牢记两根之和等于-是解题的关键．3.【答案】B【解析】解：∵AC=8cm，AB=10cm，∴BC==6，S△ABC=AC×BC=×6×8=24，∴AB上的高为：24×2÷10=4.8，即圆心到直线的距离是4.8，∵r=4.5，∴4.8＞4.5∴⊙C与直线AB相离，故选：B．此题首先应求得圆心到直线的距离d，据直角三角形的面积公式即可求得；若d＜r，则直线与圆相交；若d=r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离．本题主要考查了直线与圆的位置关系，根据三角形的面积求出斜边上的高的长度是解答此题关键．注意：直角三角形斜边上的高等于两条直角边的乘积除以斜边．4.【答案】D【解析】解：设2016年到2018年平均每年学生人数增长的百分率为x，根据题意得：5（1+x）+5（1+x）2=12．故选：D．设2016年到2018年平均每年学生人数增长的百分率为x，根据2017年、2018年两届毕业生一共为12万人，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．5.【答案】B解：连接BD，∵AB为圆O的直径，∴∠ADB=90°，∵∠ACD=∠ABD=40°，∴∠BAD=90°-40°=50°．故选：B．连接BD，由AB为圆的直径，利用直径所对的角为直角得到三角形ABD为直角三角形，再利用圆周角定理得到∠ACD=∠ABD=40°，利用直角三角形两锐角互余，即可求出∠BAD的大小．此题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解本题的关键．6.【答案】A【解析】解：∵二次函数线y=-（x+1）2+k，∴该二次函数的抛物线开口向下，且对称轴为：x=-1．∵A（-2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y=-（x+1）2+k上的三点，而三点横坐标离对称轴x=3的距离按由近到远为：（-2，y1）、（1，y2）、（2，y3），∴y1＞y2＞y3故选：A．由二次函数解析式可知抛物线开口向下，且对称轴为x=-1．根据图象上的点的横坐标距离对称轴的远近来判断纵坐标的大小．本题考查了函数图象上的点的坐标与函数解析式的关系，同时考查了函数的对称性及增减性．7.【答案】C【解析】解：∵将△ABC以某点为旋转中心，顺时针旋转90°得到△DEF，∴点A的对应点为点D，点B的对应点为点E，作线段AD和BE的垂直平分线，它们的交点为P（1，-1），∴旋转中心的坐标为（1，-1）．故选：C．先根据旋转的性质得到点A的对应点为点D，点B的对应点为点E，再根据旋转的性质得到旋转中心在线段AD的垂直平分线，也在线段BE的垂直平分线，即两垂直平分线的交点为旋转中心，而易得线段BE的垂直平分线为直线x=1，线段AD的垂直平分线为以AD为对角线的正方形的另一条对角线所在的直线．本题考查了坐标与图形变化-旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．8.【答案】C【解析】解：二次函数y=-2（x-2）2-3的图象的顶点坐标为（2，-3），先向左平移2个单位，再向上平移2个单位后顶点坐标为（0，-1）．故选：C．利用二次函数的性质得到二次函数y=-2（x-2）2-3的图象的顶点坐标为（2，-3），然后利用点平移的坐标规律求解．本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．解：设△ABC的内切圆的半径为rcm．由题意：×24×r=18，解得r=，故选：B．设△ABC的内切圆的半径为rcm．根据三角形的面积公式：S△ABC=（a+b+c）•r（r为内切圆半径）计算即可；本题考查三角形的内切圆与内心，解题的关键是记住三角形的面积公式：S△ABC=（a+b+c）•r（r为内切圆半径）．10.【答案】D【解析】解：当A，B，C四点共线时，D到BC的距离最大，则△BCD的面积的最大，过D作DH⊥AC于H，∵△ACD为等边三角形，AC=AB+BC=6，∴DH=3，∴△BCD的面积=×4×3=6，故选：D．当A，B，C四点共线时，D到BC的距离最大，则△BCD的面积的最大，过D作DH⊥AC 于H，根据等边三角形的性质和三角形的面积公式即可得到结论．本题考查了等边三角形的性质，三角形面积的计算，找出当A，B，C四点共线时，△BCD 的面积的最大是解题的关键．11.【答案】3【解析】解：根据题意得将x=-1代入方程式得1-m+2=0，解得m=3．故本题答案为m=3．方程的解就是能使方程的左右两边相等的未知数的值，因而把x=-1代入方程就得到一个关于m的方程，就可以求出m的值．本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义，把求未知系数的问题转化为解方程的问题．12.【答案】k＞2且k≠13【解析】解：根据题意得k-1≠0且△=4k2-4（k-1）（k-2）＞0，解得k＞且k≠1．故答案为k＞且k≠1．根据二次函数的定义和判别式的意义得到k-1≠0且△=4k2-4（k-1）（k-2）＞0，然后求出两个不等式的公共部分即可．本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标；△=b2-4ac决定抛物13.【答案】2√3【解析】解：连接OA交BC于D，∵O是等腰三角形ABC的外心，AB=AC，∴∠AOC=∠BOA，∵OB=OC，∴BD=DC，OA⊥BC，∴由垂径定理得：BD=DC=3，∠OAC=∠BAC=×120°=60°，∵OA=OC，∴△AOC是等边三角形，∴∠AOC=60°，∴∠DCO=90°-60°=30°∴OC=2OD，设OD=a，OC=2a，由勾股定理得：a2+32=（2a）2，a=，OC=2a=2（cm）．故答案是：2．连接OA交BC于D，根据三线合一定理得出BD=DC，∠OAC=∠BAC，得出等边三角形OAC，推出∠AOC=60°，在△ODC中根据勾股定理求出即可．本题考查了等腰三角形的性质，三角形的外接圆和外心，勾股定理，等边三角形的性质和判定等知识点，此题有一定的难度，注意：此等腰三角形的外心在三角形外部．14.【答案】6【解析】解：当y取得最大值时，飞机停下来，则y=60t-1.5t2=-1.5（t-20）2+600，此时t=20，飞机着陆后滑行600米才能停下来．因此t的取值范围是0≤t≤20；即当t=18时，y=594，所以600-594=6（米）故答案是：6．由于飞机着陆，不会倒着跑，所以当y取得最大值时，t也取得最大值，求得t的取值范围即可，结合取值范围求得最后2s滑行的距离．此题考查二次函数的实际运用，运用二次函数求最值问题常用公式法或配方法是解题关键．15.【答案】3【解析】解：如图连接PC．根据旋转不变性可知，A′B′=AB=4，∴A′P=PB′，∴PC=A′B′=2，∵CM=BM=1，又∵PM≤PC+CM，即PM≤3，∴PM的最大值为3（此时P、C、M共线）．故答案为：3．连接PC．首先依据直角三角形斜边上中线的性质求出PC=2，然后再依据三角形的三边关系可得到PM≤PC+CM，故此可得到PM的最大值为PC+CM．本题主要考查的是旋转的性质，直角三角形的性质、三角形的三边关系，掌握本题的辅助线的作法是解题的关键．16.【答案】-5或82【解析】解：抛物线的对称轴为直线x=-=，当＜-1，即m＜-2时，则-1≤x≤2，y随x的增大而减小，即x=-1时，y=6，所以-（-1）2-m+2-m=6，解得m=-；当-1≤≤2，即-2≤m≤4时，则-1≤x≤2，所以x=时，y=6，所以-（）2++2-m=6，解得m1=2+2（舍去），m2=2-2（舍去）；当＞2，即m＞4时，则-1≤x≤2，y随x的增大而增大，即x=2时，y=6，所以-22+2m+2-m=6，解得m=8，综上所述，m的值为-或8．故答案为-或8．先求出抛物线的对称轴方程为x=，讨论：若＜-1，利用二次函数的性质，当-1≤x≤2时，y随x的增大而减小，即x=-1时，y=6，所以-（-1）2-m+2-m=6；若-1≤≤2，根据二次函数的性质，当-1≤x≤2，所以x=时，y=6，所以-（）2-+2-m=6；当＞2，根据二次函数的性质，-1≤x≤2，y随x的增大而增大，即x=2时，y=6，所以-22+2m+2-m=6，然后分别解关于m的方程确定满足条件的m的值．本题考查了二次函数的最值：确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值．17.【答案】解：移项得：x2-4x=7，配方得：x2-4x+4=7+4，即（x-2）2=11，开方得：x-2=±√11，移项后配方得出x2-4x+4=7+4，推出（x-2）2=11，开方后得出方程x-2=±，求出方程的解即可．本题考查了解一元一次方程和用配方法解一元二次方程的应用，关键是配方后得出（x-2）2=11，题目比较典型，难度适中．18.【答案】4【解析】解：（1）y=（8-x）（8+2x）=-2x2+8x+64，故答案为：y=-2x2+8x+64；（2）根据题意可得：-2x2+8x+64=64，解得：x1=4，x2=0（不合题意，舍去），答：BE的长为4米；故答案为：y=-2x2+8x+64（0＜x＜8）；（3）解析式变形为：y=-2（x-2）2+72，所以当x=2时，y有最大值，∴当x为2时改造后的矩形苗圃AEFG的最大面积，最大面积为72平方米．（1）根据题意可得DG=2x，再表示出AE和AG，然后利用面积可得y与x之间的函数关系式；（2）根据题意可得正方形苗圃ABCD的面积为64，进而可得矩形苗圃AEFG的面积为64，进而可得：-2x2+8x+64=64再解方程即可；（3）根据二次函数的性质即可得到结论．此题主要考查了二次函数的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．19.【答案】2√3-3【解析】解：（1）∵△OCD是等边三角形∴OC=OD=CD，∠OCD=∠ODC=∠COD=60°∵OB⊥CD∴∠COB=30°∵∠COB=2∠CDB∴∠CDB=15°（2）∵sin∠OCD==∴∴OC=2∴BE=OB-BE=2-3故答案为2-3．（1）由题意可得∠COB的度数，根据同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍可求∠CDB的度数；（2）由锐角三角函数可求OC的长，即可求BE的长．本题考查圆周角的定理，等边三角形的性质，利用锐角三角函数解决问题是本题的关键．20.【答案】解：∵画轴长为20m，宽为10m，∴画轴的长宽比为：2：1．设中间的矩形的长为2xcm，宽为xcm，由题意，得20×10-2x×x=20×10×9，25解得：x =±8， ∵x =-8不符合题意，舍去，∴x =8．∴左右边衬为：（10-8）÷2=1cm ． 答：左右边衬的宽为1cm ．【解析】由条件知道中间矩形的长宽比是2：1，设中间的矩形的长为2xcm ，宽为xcm ．根据封面的面积关系建立方程求出其解即可．本题考查了一元二次方程解实际问题的运用，一元二次方程的解法的运用，解答时根据矩形的面积公式建立方程是关键．21.【答案】（3，1） （-32，12） 【解析】解：（1）如图，线段A 1B 1即为所求，其中A 1的坐标为（3，1），故答案为：（3，1）；（2）如图所示，点P 为坐标为（，），即（-，），故答案为：（-，）． （1）根据旋转的定义作出变换后的对应点，从而得出答案； （2）结合网格作出正方形ABCD ，再由中点左边公式求解可得．本题主要考查作图-旋转变换，解题的关键是熟练掌握旋转变换的定义和性质及正方形的判定、性质．22.【答案】（1）证明：连OC ，如图，∵AC ∥OP ，∴∠BOP =∠OAC ，∠POC =∠OCA ，∵OA =OC ，即∠OCA =∠OAC ，∴∠BOP =∠POC ，在△POB 与△POC 中，{OB =OC ∠BOP =∠POC OP =OP，∴△POB ≌△POC （SAS ），∴∠PBO =∠PC 0，而PB 为⊙O 的切线，∴∠OBP =90°，∴∠PC 0=90°，∴PC 为⊙O 的切线；（2）解：连BD ，∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ADB =90°，而DE ⊥AB ，∴∠BDE =∠BAD ，由（1）得∠BOP =∠COP ，∴∠BAD =∠DBF ，∴∠DBG =∠BDF ，∴BF =DF =FG =52，∵∠ADE +∠DAE =∠AGF +∠CAG =∠CAG +∠DGF =90°，∴∠ADE =∠DGF ，∴DF =GF ，∴BC =52+52+3=8，∴BH =12BC =4，在Rt △BOH 与Rt △DOE 中，{∠DOB =∠DOB OB =OD ∠BHO =∠DEO，∴Rt △BOH ≌Rt △DOE （ASA ），∴DE =BH =4．∴EF =DE -DF =32，在Rt △AEF 中，BE =√BF 2−EF 2=2，设⊙O 半径为r ，在Rt △DOE 中，r 2=42+（r -2）2．∴r =5．∴AB =10，∴AC =√AB 2−BC 2=6．【解析】（1）连OC ，由AC ∥OP ，得到∠BOP =∠OAC ，∠POC =∠OCA ，则∠BOP =∠POC ，可得△POB ≌△POC ，得到∠PBO =∠PC 0，而PB 为⊙O 的切线，得∠OBP =90°，所以∠PC 0=90°，根据切线的判定即可得到PC 为⊙O 的切线；（2）连BD ，由AB 为⊙O 的直径，得∠ADB =90°，而DE ⊥AB ，则∠BDE =∠BAD ，所以∠BDE =∠BAD ，从而易得到∠DBG =∠BDF ，有BF =DF =FG =，BC =8，得到BH =BC =8．易证Rt △BOH ≌Rt △DOE ，得DE =BH =8，则EF =DE -DF =8-5=3，在Rt △BEF 中，利用勾股定理可求得BE =4，在Rt △DOE 中，利用勾股定理即可得到⊙O 的半径于是得到直径，根据勾股定理得到AC ，于是得到结论．本题考查了切线的判定和性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．23.【答案】4√2【解析】解：（1）如图一中，∵CA=CB，∠ACB=60°，∴△ACB是等边三角形，∵点D、E分别是AC、BC边上中点，∴CE=CE′=CD=CD′，∵∠ACB=∠D′CE′=60°，∴∠BCE′=∠ACD′，∴△BCE′≌△ACD′（SAS），∴AD′=BE′．（2）如图二中，连接PC．∵CE′=CD′，∠E′CD′=60°，∴△E′CD′是等边三角形，∵PD′=PE′，∴PC⊥D′E′，∵CD′=2，PE′=1，∴PC==，∵AC=4，∴4-≤PA≤4+，∴PA的最大值为4+．（3）如图三中，设AC交BP于K．∵CB=CA，CE′=CD′，∠BCA=∠E′CD′=90°，∴∠BCE′=∠ACD′，∴△BCE′≌△ACD′，∴∠CBE′=∠CAD′，∵∠CBK +∠CKB =90°，∠CKB =∠AKP ， ∴∠AKP +∠PAK =90°， ∴∠APK =90°∴∠E ′CD ′+∠E ′PD ′=180°，∴P ，E ′，C ，D ′四点共圆，直径是D ′E ′=2，∴当四边形PE ′CD ′是正方形时，PC 的值最大，PC =D ′E ′=2，此时PC ⊥BC ，∴△PBC 的面积的最大值为×4×2=4． 故答案为4．（1）欲证明AD ′=BE ′，只要证明△BCE ′≌△ACD ′（SAS ）即可；（2）如图二中，连接PC ．求出PC 的值，利用三角形的三边关系即可解决问题；（3）如图三中，设AC 交BP 于K ．首先证明∠APK =90°由∠E ′CD ′+∠E ′PD ′=180°，推出P ，E ′，C ，D ′四点共圆，直径是D ′E ′=2，推出当四边形PE ′CD ′是正方形时，PC 的值最大，PC =D ′E ′=2，此时PC ⊥BC ，由此即可解决问题；本题考查几何变换综合题、旋转变换、全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质、四点共圆等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题．24.【答案】y =-12x 2+32x +2【解析】解：（1）∵抛物线y =ax 2+bx +2经过点A （-1，0），B （4，0），∴， 解得，∴抛物线解析式为y =-x 2+x +2．故答案是：y =-x 2+x +2；（2）由题意可知C （0，2），A （-1，0），B （4，0），∴AO =1，OC =2，OB =4，AB =5，∴AC ==，BC ==2，∴AC 2+BC 2=AB 2，∴△ABC 为直角三角形，即BC ⊥AC ，如图，设直线AC 与直线BE 交于点F ，过F 作FM ⊥x 轴于点M ，由题意可知∠FBC=45°，∴∠CFB=45°，∴CF=BC=2，∴=，即=，解得OM=2，=，即=，解得FM=6，∴F（2，6），且B（4，0），设直线BE解析式为y=kx+m，则可得，解得，∴直线BD解析式为y=-3x+12，联立直线BE和抛物线解析式可得，解得或，∴D（5，-3），∴BD==．（3）设P（t，-t2+t+2），∵AB=5，OC=2，∴S△PAB=（-t2+t+2）×5=-t2+t+5，∵=，∴OF=-（t-4），∴S△AFO=×1×[-（t-4）]=-（t-4），且S△BOC=×2×4，∴S1-S2=-t2+t+5+（t-4）-4=-t2+4t=-（t-）2+，∴当t=时，有S1-S2有最大值，最大值为．（1）由A、B的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（2）由条件可证得BC⊥AC，设直线AC和BD交于点F，过F作FM⊥x轴于点M，则可得BF=BC，利用平行线分线段成比例可求得F点的坐标，利用待定系数法可求得直线BD 解析式，联立直线BE和抛物线解析式可求得D点坐标，则可求得BD的长；（3）可设出P点坐标，表示出△PAB、△AFO、△COB，利用S1-S2=S△PAB-S△AFO-S△BOC可表示成关于P点坐标的二次函数，利用二次函数的性质可求得其最大值．本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、三角形面积、勾股定理及其逆定理、平行线分线段成比例、函数图象的交点、等腰直角三角形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）中由条件求得直线BD的解析式是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，特别是最后一问，有一定的难度．。
武昌部分学校2018~2019学年度第一学期部分学校九年级期中模拟测试数学试卷
武昌部分学校2018~2019学年度第一学期部分学校九年级期中模拟测试数学试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．方程3x2－4x－1＝0的二次项系数和一次项系数分别为（）A．3和4 B．3和－4 C．3和－1 D．3和12．二次函数y＝x2－2x＋2的顶点坐标是（）A．(1，1) B．(2，2) C．(1，2) D．(1，3)3．将△ABC绕O点顺时针旋转50°得△A1B1C1（A、B分别对应A1、B1），则直线AB与直线A1B1的夹角（锐角）为（）A．130°B．50°C．40°D．60°4．用配方法解方程x2＋6x＋4＝0，下列变形正确的是（）A．(x＋3)2＝－4 B．(x－3)2＝4 C．(x＋3)2＝5 D．(x＋3)2＝5 5．下列方程中没有实数根的是（）A．x2－x－1＝0 B．x2＋3x＋2＝0 C．2015x2＋11x－20＝0 D．x2＋x＋2＝0 6．平面直角坐标系内与点P(－2，3)关于原点对称的点的坐标是（）A．(3，－2) B．(2，3) C．(2，－3) D．(－3，－3)7．如图1，⊙O的直径CD＝10 cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，OM∶OC＝3∶5，则AB的长为（）A．91cm B．8 cm C．6 cm D．4 cm8．已知抛物线C的解析式为y＝ax2＋bx＋c，则下列说法中错误的是（）A．a确定抛物线的形状与开口方向B．若将抛物线C沿y轴平移，则a，b的值不变C．若将抛物线C沿x轴平移，则a的值不变D．若将抛物线C沿直线l：y＝x＋2平移，则a、b、c的值全变9．如图2，四边形ABCD的两条对角线互相垂直，AC＋BD＝16，则四边形ABCD的面积最大值是（）A．64 B．16 C．24 D．3210．已知二次函数的解析式为y＝ax2＋bx＋c（a、b、c为常数，a≠0），且a2＋ab＋ac＜0，下列说法：①b2－4ac＜0；②ab＋ac＜0；③方程ax2＋bx＋c＝0有两个不同根x1、x2，且(x1－1)(1－x2)＞0；④二次函数的图象与坐标轴有三个不同交点，其中正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）11．抛物线y＝－x2－x－1的对称轴解析式是__________________12．已知242acb b x -+-=（b 2－4c ＞0），则x 2＋bx ＋c 的值为___________13．⊙O 的半径为13 cm ，AB 、CD 是⊙O 的两条弦，AB ∥CD ．AB ＝24 cm ，CD ＝10 cm ，则AB和CD 之间的距离为___________14．如图，线段AB 的长为1，C 在AB 上，D 在AC 上，且AC 2＝BC ·AB ，AD 2＝CD ·AC ，AE 2＝DE ·AD ，则AE 的长为___________ .15．抛物线的部分图象如图所示，则当y ＜0时，x 的取值范围是_________________16．如图，△ABC 是边长为a 的等边三角形，将三角板的30°角的顶点与A 重合，三角板30°角的两边与BC 交于D 、E 两点，则DE 长度的取值范围是___________ 三、解答题（共8小题，共72分） 17．（本题8分）解方程：x 2＋x －2＝018．（本题8分）已知抛物线的顶点坐标是(3，－1)，与y 轴的交点是(0，－4)，求这个二次函数的解析式19．（本题8分）已知x 1、x 2是方程x 2－3x －5＝0的两实数根 (1) 求x 1＋x 2，x 1x 2的值 (2) 求2x 12＋6x 2－2015的值20．（本题8分）如图所示，△ABC与点O在10×10的网格中的位置如图所示(1) 画出△ABC绕点O逆时针旋转90°后的图形(2) 画出△ABC绕点O逆时针旋转180°后的图形(2) 若⊙M能盖住△ABC，则⊙M的半径最小值为__________21．（本题8分）如图，在⊙O中，半径OA垂直于弦BC，垂足为E，点D在CA的延长线上，若∠DAB＋∠AOB＝60°(1) 求∠AOB的度数(2) 若AE＝1，求BC的长22．（本题10分）飞机着陆后滑行的距离S（单位：m）关于滑行时间t（单位：s）的函数解析式是：S＝60－1.5t2(1) 直接指出飞机着陆时的速度(2) 直接指出t的取值范围(3) 画出函数S的图象并指出飞机着陆后滑行多远才能停下来23．（本题10分）如图，△ABC 是边长为6cm 的等边三角形，点D 从B 点出发沿B →A 方向在线段BA 上以a cm /s 速度运动，与此同时，点E 从线段BC 的某个端点出发，以b cm /s 速度在线段BC 上运动，当D 到达A 点后，D 、E 运动停止，运动时间为t （秒）(1) 如图1，若a ＝b ＝1，点E 从C 出发沿C →B 方向运动，连AE 、CD ，AE 、CD 交于F ，连BF .当0＜t ＜6时： ① 求∠AFC 的度数 ② 求FCAF BF FC AF ∙-+222的值(2) 如图2，若a ＝1，b ＝2，点E 从B 点出发沿B →C 方向运动，E 点到达C 点后再沿C →B 方向运动．当t ≥3时，连DE ，以DE 为边作等边△DEM ，使M 、B 在DE 两侧，求M 点所经历的路径长24．（本题12分）定义：我们把平面内与一个定点F 和一条定直线l （l 不经过点F ）距离相等的点的轨迹（满足条件的所有点所组成的图形）叫做抛物线.点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线.(1) 已知抛物线的焦点F (0，a 41)，准线l ：ay 41-=，求抛物线的解析式 (2) 已知抛物线的解析式为：y ＝x 2－n 2，点A (0，241n -)（n ≠0），B (1，2－n 2)，P 为抛物线上一点，求P A ＋PB 的最小值及此时P 点坐标(3) 若(2)中抛物线的顶点为C ，抛物线与x 轴的两个交点分别是D 、E ，过C 、D 、E 三点作⊙M ，⊙M 上是否存在定点N ？若存在，求出N 点坐标并指出这样的定点N 有几个；若不存在，请说明理由参考答案一、选择题 （每小题3分,共30分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案BBADBDBCCA二、填空题 （每小题3分，共18分）11. 0 ；0和正数（或非负数） 12. 63=x （开放性试题，符合要求的答案都对） 13. 12或0 14. －43 15. 2014，2017 16. 0三、计算题（17题每题4分，18题每题4分，共20分） 17、（1） 4－（－5）+（－6）＝4＋5－6 ………………………… 2′ ＝－3 ………………………… 4′（2） （413-312）×（－2）－223÷12＝65×（－2）－38×2 ………………… 2′＝－35－316＝－7 ………………………… 4′（3）()[]232315.011--⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯--＝）（926111-⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-- ………… 2′ ＝－761⨯ ＝－67……………………………………………………… 4′18、 （1） x 2+9=x 5+2移项，得 9252-=-x x …………………… 2′ 合并同类项 73-=-x 系数化为1，得 37=x ……………………………… 4′ （2）y y y 5.8655.216-=--移项，得 565.85.216+=+-y y y …………………… 2′ 合并同类项 1122=y系数化为1，得 5.0=y ……………………………… 4′四、解答题（19题6分，20题、21题每题8分，22题、23题每题10分，24题12分，共52分）19、原式=222399884y x xy y x xy x xy y -+---+=--.…………………………………………………………… 4′当x=3，y=13时 ，原式= 211423349163333-⨯-⨯=--=…………………………………………………… 6′ 20、解：﹙1﹚12＋﹙-5﹚＋2＋4＋（-9）＋14＋（-2）＋12＋8＋5 ＝41（千米）∴ 收工时距Ａ地41千米的地方。
2018-2019学年湖北省武汉市武昌区部分学校九年级(上)期中数学试卷
2018-2019学年湖北省武汉市武昌区部分学校九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（）A. 平行四边形B. 菱形C. 直角梯形D. 等边三角形2.抛物线y=-x2+3x-的对称轴是直线（）A. B. C. D.3.用配方法解方程x2+6x+4=0，下列变形正确的是（）A. B. C. D.4.如图，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A′B′C′，且点B刚好落在A′B′上，若∠A=25°，∠BCA′=45°，则∠A′BA等于（）A. B. C. D.5.在⊙O中，弦AB的长为8，圆心O到AB的距离为3，若OP=4，则点P与⊙O的位置关系是（）A. P在⊙内B. P在⊙上C. P在⊙外D. P与A或B重合6.将抛物线y=2（x-4）2-1先向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度，平移后所得抛物线的解析式为（）A. B. C. D.7.如图，在⊙O中，∠AOB=120°，P为弧AB上的一点，则∠APB的度数是（）A.B.C.D.8.如图，铁路MN和公路PQ在点O处交汇，∠QON=30°，公路PQ上A处距离O点240米，如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路MN上沿MN方向以72千米/小时的速度行驶时，A处受到噪音影响的时间为（）A. 12秒B. 16秒C. 20秒D. 24秒9.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=-x2+4x-3与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．垂直于y轴的直线l与抛物线交于点P（x1，y1），Q（x2，y2），与直线BC交于点N（x3，y3），若x1＜x2＜x3，记s=x1+x2+x3，则s的取值范围为（）A. B. C. D.10.如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，其中AB=4，A. 3B.C.D.二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）11.抛物线y=2（x+1）2的顶点坐标为______．12.已知点A（a，1）与点A′（5，b）关于原点对称，则a+b=______．13.有两个人患了流感，经过两轮传染后总共有162人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了______个人．14.若函数y=（k-3）x2+2x+1与坐标轴至少有两个不同的交点，则k的取值范围为______．15.⊙O的直径为2，AB，AC为⊙O的两条弦，AB=，AC=，则∠BAC=______．16.已知函数y=|x2+x-t|，其中x为自变量，当-1≤x≤2时，函数有最大值为4，则t的值为______．三、计算题（本大题共2小题，共18.0分）17.解方程：x2+4x-3=0．18.我市东湖高新技术开发区某科技公司，用480万元购得某种产品的生产技术后，并进一步投入资金1520万元购买生产设备，进行该产品的生产加工，已知生产这种产品每件还需成本费40元．经过市场调研发现：该产品的销售单价不低于100元，但不超过200元．设销售单价为x（元），年销售量为y（万件），年获利为w（万元）该产品年销售量y（万件）与产品售价x（元）之间的函数关系如图所示．（1）直接写出y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；（2）求第一年的年获利w与x间的函数关系式，并说明投资的第一年，该公司是盈利还是亏损？并求当盈利最大或亏损最小时的产品售价；（3）在（2）的条件下．即在盈利最大或亏损最小时，第二年公司重新确定产品售价，能否使两年共盈利不低于1370万元？若能，求出第二年的售价在什么范围内；若不能，请说明理由．四、解答题（本大题共6小题，共54.0分）19.如图，在⊙O中，AD=BC，求证：DC=AB．20.2+bx+c y x（1）根据表格中的数据，试确定二次函数的解析式和n的值；（2）抛物线y=ax2+bx+c与直线y=2x+m没有交点，求m的取值范围．21.在平面直角坐标系中，已知A（2，0）、B（3，1）、C（1，3）．（1）画出△ABC沿x轴负方向平移2个单位后得到的△A1B1C1，并写出B1的坐标______；（2）以A1点为旋转中心，将△A1B1C1逆时针方向旋转90°得△A1B2C2，画出△A1B2C2，并写出C2的坐标______；（3）直接写出过B、B1、C2三点的圆的圆心坐标为______．22.如图1，⊙O是△ABC的外接圆，连接AO，若∠BAC+∠OAB=90°．（1）求证：=（2）如图2，作CD⊥AB交于D，AO的延长线交CD于E，若AO=3，AE=4，求线段AC的长．23.在△ABC和△ADE中，AB=AC，∠BAC=120°，∠ADE=90°，∠DAE=60°，F为BC中点，连接BE、DF，G、H分别为BE，DF的中点，连接GH．（1）如图1，若D在△ABC的边AB上时，请直接写出线段GH与HF的位置关系______，=______．（2）如图2，将图1中的△ADE绕A点逆时针旋转至图2所示位置，其它条件不变，（1）中结论是否改变？请说明理由；（3）如图3，将图1中的△ADE绕A点顺时针旋转至图3所示位置，若C、D、E 三点共线，且AE=2，AC=，请直接写出线段BE的长______．24.抛物线y=x2+（2t-2）x+t2-2t-3与x轴交于A、B两点（A在B左侧），与y轴交于点C．（1）如图1，当t=0时，连接AC、BC，求△ABC的面积；（2）如图2，在（1）的条件下，若点P为在第四象限的抛物线上的一点，且∠PCB+∠CAB=135°，求P点坐标；（3）如图3，当-1＜t＜3时，若Q是抛物线上A、C之间的一点（不与A、C重合），直线QA、QB分别交y轴于D、E两点．在Q点运动过程中，是否存在固定的t值，使得CE=2CD．若存在，求出t值；若不存在，请说明理由．答案和解析1.【答案】D【解析】解：A、平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形．故本选项错误；B、菱形是轴对称图形，也是中心对称图形．故本选项错误；C、直角梯形不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故本选项错误；D、等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项正确．故选：D．根据轴对称图形的概念先求出图形中轴对称图形，再根据中心对称图形的概念得出其中不是中心对称的图形．本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；中心对称图形：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180°，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．2.【答案】B【解析】解：抛物线y=-x2+3x-的对称轴是直线x=-=，故选：B．根据配方法，或者顶点坐标公式，可直接求对称轴．此题考查了二次函数的性质，二次函数为y=a（x-h）2+k顶点坐标（h，k），对称轴是x=h．3.【答案】C【解析】解：∵x2+6x+4=0，∴x2+6x=-4，故选：C．把常数项4移到等号的右边，再在等式的两边同时加上一次项系数6的一半的平方，配成完全平方的形式，从而得出答案．此题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．4.【答案】C【解析】解：∵∠A=25°，∠BCA′=45°，∴∠BCA′+∠A′=∠B′BC=45°+25°=70°，∵CB=CB′，∴∠BB′C=∠B′BC=70°，∴∠B′CB=40°，∴∠ACA′=40°，∵∠A=∠A′，∠A′DB=∠ADC，∴∠ACA′=∠A′BA=40°．故选：C．首先根据旋转的性质以及三角形外角的性质得出∠BCA′+∠A′=∠B′BC=45°+25°=70°，以及∠BB′C=∠B′BC=70°，再利用三角形内角和定理得出∠ACA′=∠A′BA=40°．此题主要考查了旋转的性质以及三角形的外角的性质和三角形内角和定理等知识，根据已知得出∠ACA′=40°是解题关键．5.【答案】A【解析】解：连结OA，如图，∵OC⊥AB，∴AC=BC=AB=4，在Rt△OAC中，∵OC=3，AC=4，∴⊙O的半径为5cm，∵OP=4＜OA，∴点P在⊙O内．故选：A．连结OA，如图，先根据垂径定理得到AC=AB=4，然后在Rt△OAC中，根据勾股定理计算出OA即可判断．此题考查了点与圆的位置关系，垂径定理、勾股定理；熟练掌握垂径定理，由勾股定理求出OA是解决问题的关键．6.【答案】A【解析】解：抛物线y=2（x-4）2-1先向左平移4个单位长度，得到的抛物线解析式为y=2（x-4+4）2-1，即y=2x2-1，再向上平移2个单位长度得到的抛物线解析式为y=2x2-1+2，即y=2x2+1；故选：A．根据平移的规律即可得到平移后函数解析式．本题考查的是二次函数图象与几何变换，熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式是解题的关键．7.【答案】C【解析】解：在优弧AB上取点C，连接AC、BC，由圆周角定理得，∠ACB=AOB=60°，由圆内接四边形的性质得到，∠APB=180°-∠ACB=120°，故选：C．在优弧AB上取点C，连接AC、BC，根据圆周角定理和圆内接四边形的性质解答即可．本题考查的是圆周角定理和圆内接四边形的性质，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．8.【答案】B【解析】解：如图：过点A作AC⊥ON，AB=AD=200米，∵∠QON=30°，OA=240米，∴AC=120米，当火车到B点时对A处产生噪音影响，此时AB=200米，∵AB=200米，AC=120米，∴由勾股定理得：BC=160米，CD=160米，即BD=320米，∵72千米/小时=20米/秒，∴影响时间应是：320÷20=16秒．故选：B．过点A作AC⊥ON，求出AC的长，当火车到B点时开始对A处有噪音影响，直到火车到D点噪音才消失．本题考查的是点与圆的位置关系，根据火车行驶的方向，速度，以及它在以A 为圆心，200米为半径的圆内行驶的BD的弦长，求出对A处产生噪音的时间，难度适中．9.【答案】C【解析】解：当y=0时，-x2+4x-3=0，解得x1=1，x2=3，则A（1，0），B（3，0），当x=0时，y=-x2+4x-3=-3，则C（0，-3），∵y=-x2+4x-3=-（x-2）2+1，∴抛物线的顶点坐标为（2，1），易得直线BC的解析式为y=x-3，∵x＜x＜x，∴0＜y1=y2=y3≤1，当y3=1时，x-3=1，解得x=4，∴3＜x3＜4，∵点P和点Q为抛物线上的对称点，∴x2-2=2-x1，∴x1+x2=4，∴s=4+x3，∴7＜s＜8．故选：C．先解方程-x2+4x-3=0得A（1，0），B（3，0），再确定C（0，-3）和顶点坐标为（2，1），易得直线BC的解析式为y=x-3，利用x1＜x2＜x3得到0＜y1=y2=y3≤1，从而得到3＜x3＜4，然后根据对称性得到x1+x2=4，然后确定s的范围．本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．也考查了二次函数的性质．10.【答案】D【解析】解：如图，连接OQ，作CH⊥AB于H．∵AQ=QP，∴OQ⊥PA，∴∠AQO=90°，∴点Q的运动轨迹为以AO为直径的⊙K，连接CK，在Rt△OCH中，∵∠COH=60°，OC=2，∴OH=OC=1，CH=，在Rt△CKH中，CK==，∴CQ的最大值为1+，故选：D．如图，连接OQ，作CH⊥AB于H．首先证明点Q的运动轨迹为以AO为直径的⊙K，连接CK，当点Q在CK的延长线上时，CQ的值最大，利用勾股定理求出CK即可解决问题；本题考查圆周角定理、轨迹、勾股定理、点与圆的位置关系等知识，解题的关键是正确寻找点Q的运动轨迹，学会构造辅助圆解决问题，属于中考填空题中的压轴题．11.【答案】（-1，0）【解析】解：由y=2（x+1）2，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（-1，0），故答案为：（-1，0）．已知抛物线的顶点式，可直接写出顶点坐标．考查将解析式化为顶点式y=a（x-h）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是x=h．12.【答案】-6【解析】解：由题意，得a=-5，b=-1．a+b=-5+（-1）=-6，故答案为：-6．根据关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，可得答案．本题考查了关于原点对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．13.【答案】8【解析】解：设每轮传染中平均每人传染x个人，根据题意得：2+2x+x（2+2x）=162，整理得：x2+2x-80=0，解得：x1=8，x2=-10（不合题意，舍去）．故答案为：8．设每轮传染中平均每人传染x个人，根据经过两轮传染后总共有162人患了流感，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．14.【答案】k≤4【解析】解：当x=0时，y=1，∴此函数图象与y轴必有一个交点（0，1）；①若此函数是一次函数，即k=3，其解析式为y=2x+1，其函数图象与坐标轴有两个交点；②若此函数是二次函数，即k≠3，由题意知4-4（k-3）≥0，解得k≤4；综上，k的取值范围是k≤4，故答案为：k≤4．由解析式知函数图象与y轴有一交点（0，1），依据题意知函数图象与x轴还至少有一个交点，再分函数是一次函数和二次函数两种情况分别求解可得．本题考查了抛物线与函数的关系，利用一元二次方程的判别式来判断抛物线与坐标轴的交点个数，做题时要认真分析，找到它们的关系．15.【答案】15°或75°【解析】解：如图1，连接OC，OA，OB，过点O作OE⊥AC于点E，∵OA=OB=1，AB=，12+12=（）2，∴∠AOB=90°，∴△OAB是等腰直角三角形，∠OAB=45°，∵AC=，OE⊥AC，∴AE=，∴cos∠EAO=，∴∠EAO=30°，∴如图1时，∠BAC=∠CAO+∠OAB=30°+45°=75°；如图2时，∠BAC=∠BAC=∠OAB-∠OAC．=45°-30°=15°．故答案为15°或75°．根据题意点C的位置有两种情况，如图1，∠BAC=∠CAO+∠OAB；如图2，∠BAC=∠OAB-∠OAC，进而得出答案．此题主要考查了垂径定理以及勾股定理逆定理，利用分类讨论得出是解题关键．16.【答案】或2【解析】解：函数的图象如下图所示：从图象看，当-1≤x≤2时，函数可能在对称轴位置和=或x=2时，取得最大值解：函数y=|x2+x-t|=4，∴当x=-时或x=2时，|x2+x-t|=4，解得：t=或2．画出二次函数图象，确定函数取得最大值时x的值，即可求解．本题考查了二次函数的图象与性质，通过图象找出函数取得最值的位置是解题的关键．17.【答案】解：原式可化为x2+4x+4-7=0即（x+2）2=7，开方得，x+2=±，x1=-2+；x2=-2-．【解析】先利用配方法将原式化为完全平方的形式，再用直接开平方法解答．本题考查了解一元二次方程--配方法，熟悉完全平方公式是解题的关键．18.【答案】解：（1）设y=kx+b，将（100，20）和（200，10）代入，得：，解得：，∴y=-x+30（100≤x≤200）；（2）w=（-x+30）（x-40）=-x2+34x-1200=-（x-170）2+1690，∵-＜0，∴x=170，w最大值=1690＜1520+480=2000，第一年公司亏损，最少亏损是310万元，此时售价为170元；（3）当-x2+34x-1200=1370+310=1680时，解得：x1=160，x2=180，结合图象当两年共盈利不低于1370万元时，160≤x≤180．【解析】（1）利用待定系数法求解可得；（2）根据“年获利=（售价-成本价）×销售量”列出函数解析式，配方成顶点式得出其获利最大值，与前期总投入480+1520比较可得；（3）根据“年获利=1370+前期最少亏损钱数”求得x的值，从而得出答案．本题主要考查二次函数的应用与一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的相等关系，并依据相等关系得到一元二次方程和二次函数解析式．19.【答案】证明：∵AD=BC，∴=，∴+=+，即=，∴DC=AB．【解析】根据在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等，由AD=BC得到=，把两弧都加上弧AC得到=，于是得到DC=AB．本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．20.【答案】解：（1）把（0，3）、（1，0）、（2，-5）代入y=ax2+bx+c得，解得∴二次函数的解析式为：y=-x2-2x+3，把（-1，n）代入得n=-1+2+3=4；（2）∵-x2-2x+3=2x+m∴x2+4x+m-3=0∵抛物线y=ax2+bx+c与直线y=2x+m没有交点∴△=42-4（m-3）＜0，∴m＞7．【解析】（1）利用待定系数法求抛物线解析式，然后计算自变量为-1时对应的函数值得到n的值；（2）根据题意方程-x2-2x+3=2x+m没有实数解，然后利用判别式的意义得到42-4（m-3）＜0，从而解不等式即可得到m的取值范围．本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．21.【答案】（1，1）（-3，-1）（2，-6）【解析】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求，其中B1的坐标为（1，1），故答案为：（1，1）；（2）如图所示，△A1B2C2即为所求，其中C2的坐标为（-3，-1），故答案为：（-3，-1）．（3）如图所示，过B、B1、C2三点的圆的圆心P的坐标为（2，-6），故答案为：（2，-6）．（1）根据平移变换的定义和性质作图可得；（2）根据旋转变换的定义和性质作图可得；（3）作B1C2和BB1的中垂线，交点即为所求点．本题考查了旋转变换与平移变换作图，找出对应点的位置是作图的关键，对应点的连线的垂直平分线过旋转中心是找旋转中心常用的方法，需要熟练掌握．22.【答案】（1）证明：连BO并延长BO交AC于T．∵AO=BO，∴∠OAB=∠OBA，又∵∠BAC+∠OAB=90°，∴∠BAC+∠OBA=90°，∴∠BTA=90°，∴BT⊥AC，∴=．（2）延长AO并交⊙O于F，连接CF．∵CD⊥AB于D，∴∠CDA=90°，∴∠OAB+∠AED=90°，∵∠OAB+∠BAC=90°，∴∠AED=∠BAC=∠FEC，∵AF为⊙O直径，∴∠ACF=90°，同理：∠FCE=∠BAC，∴∠FEC=∠FCE，∴FE=FC，∵AO=3，AE=4，∴OE=1，FE=FC=2，在Rt△FCA中∴AC==4【解析】（1）连BO并延长BO交AC于T．只要证明BT⊥AC，利用垂径定理即可解决问题；（2）延长AO并交⊙O于F，连接CF．在Rt△AFC中，求出CF，AF即可解决问题；本题考查三角形的外接圆与外心，圆心角，弧，弦之间的关系、垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．23.【答案】GH⊥FH【解析】解：（1）如图1中，连接DG，FG．∵AB=AC，BF=CF，∴AF⊥BC，∴∠BAF=∠CAF=60°，∵ED⊥AB，∴∠BFE=∠BDE=90°，∵BG=GE，∴DG=BE，GF=BE，∴DG=FG，∵DH=HF，∴GH⊥DF，∵∠BAE=60°，∴∠ABE+∠AEB=120°，∵DG=BG=GF=GE，∴∠GBD=∠GDB，∠GEF=∠GFE，∴∠BGD+∠EGF=120°，∴∠DGF=60°，∴△DGF是等边三角形，∴=tan60°=．故答案为GH⊥HF，=．（2）结论不变．理由：如图2中，延长ED至S，使DS=DE，连接AS，BS，CE，FG，DG．∵∠ADE=90°∴AS=AE，∠DAE=∠DAS=60°∴∠BAC=∠SAE=120°∴∠SAB=∠EAC∵AB=AC∴△ABS≌△ACE∴BS=CE，∠ABS=∠ACE∵F，G分别为BC，BE中点∴FG∥CE，FG=CE，同理：DG∥BS，DG=BS，∴DG=FG，∵H为DF中点，∴GH⊥HF，延长SB交CE延长线于T，∵∠ABS+∠ABT=∠ACE+∠ABT=180°，∴∠BAC+∠T=120°，∴∠T=60°，延长FG交BT于P，∴∠T=∠BPF=∠DGF=60°，∴∠HGF=30°，∴=．（3）如图3中，延长ED到H，使得DH=DE，连接AH，BH，作BM⊥EC于M，设BC交AH于点O．∵AD⊥EH，ED=DH，∴AE=AH，∴∠AEH=∠AHE=30°，∴∠EAH=∠BAC=120°，∴∠BAH=∠CAE，∵AB=AC，AH=AE，∴△BAH≌△CAE（SAS），∴∠BHA=∠AEC=30°，BH=CE，∴∠OBA=∠OHC=30°，∵∠AOB=∠COH，∴△AOB∽△COH，∴=，∴=，∵∠AOC=∠BOH，∴△AOC∽△BOH，∴∠BHO=∠AOC=30°，∴∠BHE=30°+30°=60°，在Rt△ADE中，∵AE=2，∠AED=30°，∴AD=1，ED=DH=，在Rt△ADC中，CD==，∴BH=EC=2+，在Rt△BMH中，HM=（2+），BM=HM=（2+3），∴EM=EH-HM=2-（2+）=-1，在Rt△EBM中，BE===．故答案为．（1）如图1中，连接DG，FG．根据直角三角形斜边中线的性质，可得GD=GF，再证明△DGF是等边三角形即可解决问题；（2）结论不变．如图2中，延长ED至S，使DS=DE，连接AS，BS，CE，FG，DG．理由三角形的中位线定理，证明GD=GF，△GDF是等边三角形即可解决问题；（3）如图3中，延长ED到H，使得DH=DE，连接AH，BH，作BM⊥EC于M，设BC交AH于点O．想办法证明∠BHE=60°，解直角三角形求出BM，ME即可解决问题；本题属于几何变换综合题、考查了直角三角形斜边中线定理、三角形中位线定理、等腰三角形的性质和判定、解直角三角形、勾股定理、相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题，属于中考压轴题．24.【答案】解：（1）将t=0代入抛物线解析式得：y=x2-2x-3．当x=0时，y=x2-2x-3=-3，∴点C的坐标为（0，-3）；当y=0时，有x2-2x-3=0，解得：x1=3，x2=-1，∴点B的坐标为（3，0），点A的坐标为（-1，0）．∴S△ABC=AB•OC=×[3-（-1）]×3=6．（2）由（1）知：B（3，0），C（0，-3），∴OB=OC，∴∠ABC=45°，∴∠ACB+∠CAB=135°．又∵∠PCB+∠CAB=135°，∴∠ACB=∠PCB．在图2中，过B作BM∥y轴，交CP延长线于M．∴∠ABC=∠MBC．在△ABC和△MBC中，，∴△ABC≌△MBC（ASA），∴AB=MB=4，∴点M的坐标为（3，-4），∴直线CM解析式为：y=-x-3（利用待定系数法可求出该解析式）．联立直线CM及抛物线的解析式成方程组，得：，解得：（舍去），，∴点P的坐标为（，-）．（3）当y=0时，有x2+（2t-2）x+t2-2t-3=0，即[x+（t-3）]•[x+（t+1）]=0，解得：x1=-t+3，x2=-t-1，∴点A的坐标为（-t-1，0），点B的坐标为（-t+3，0）．当x=0时，y=x2+（2t-2）x+t2-2t-3=t2-2t-3，∴点C的坐标为（0，t2-2t-3）．设直线AQ的解析式为：y=k1x+b1，直线BQ的解析式为：y=k1x+b2．∴点D的坐标为（0，b1），点E的坐标为（0，b2），∴CD=（t2-2t-3）-b1，CE=b2-（t2-2t-3）．∵y=k1x+b1，y=x2+（2t-2）x+t2-2t-3，∴x2+（2t-2-k1）x+t2-2t-3-b1=0，∴x A•x Q=t2-2t-3-b1①．同理：x B•x Q=t2-2t-3-b2②．由②÷①，得：==-，∴=-=2，∴=-2，∴t=．【解析】（1）代入t=0可得出抛物线的解析式，利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点A，B，C的坐标，再利用三角形的面积公式即可求出△ABC的面积；（2）由点B，C的坐标可得出∠ABC=45°，利用三角形内角和定理可得出∠ACB+∠CAB=135°，结合∠PCB+∠CAB=135°可得出∠ACB=∠PCB，过B作BM∥y轴，交CP延长线于M，由平行线的性质可得出∠ABC=∠MBC，结合BC=BC即可证出△ABC≌△MBC（ASA），利用全等三角形的性质可得出AB=MB=4，进而可得出点M的坐标，根据点C，M的坐标，利用待定系数法可求出直线CM的解析式，再联立直线CM及抛物线的解析式成方程组，通过解方程组可求出点P的坐标；（3）利用二次函数图象上点的坐标特征及因式分解法解一元二次方程，可求出点A，B，C的坐标，设直线AQ的解析式为：y=k1x+b1，直线BQ的解析式为：y=k1x+b2，则CD=（t2-2t-3）-b1，CE=b2-（t2-2t-3），将直线解析式代入抛物线解析式中可得出关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系可得出x A•x Q=t2-2t-3-b1①，x B•x Q=t2-2t-3-b2②，利用②÷①结合CE=2CD，即可得出关于t的方程，解之即可得出结论．本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、三角形的面积、三角形内角和定理、全等三角形的判定与性质、待定系数法求一次函数解析式、解方程组、因式分解法解一元二次方程以及根与系数的关系，解题的关键是：（1）利用二次函数图象上点的坐标特征求出抛物线与坐标轴的交点坐标；（2）通过构造全等三角形找出直线PC的解析式；（3）利用根与系数的关系结合CE=2CD，找出关于t的方程．。
20182019新人教版九年级数学上册期中测试题含解析
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2018-2019学年度上学期期中九年级数学试卷及答案
2018-2019学年度上学期期中考试 九年级数学试题 （满分120分，时间120分钟）卷一（请将正确选项涂在答题卡上）一、选择题（本大题有16个小题，共42分.1～10小题各3分，11～16小题各2分，在每小题给出的四1. 下列图形中，旋转60°后可以和原图形重合的是( ) A ．正六边形 B ．正五边形 C ．正方形 D ．正三角形 2．二次函数y ＝12x 2－4x ＋3的顶点坐标和对称轴分别是( )A ．(1，2)，x ＝1B ．(－1，2), x ＝－1C ．(－4，－5)，x ＝－4D ．(4，－5)，x ＝43．抛物线y ＝x 2－2x ＋1与x 轴的交点个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．34．将y ＝(2x －1)(x ＋2)＋1化成y ＝a(x ＋m)2＋n 的形式为( ) A ．y ＝2(x ＋34)2－2516 B ．y ＝2(x －34)2－178C ．y ＝2(x ＋34)2－178D ．y ＝2(x ＋34)2＋1785．抛物线y ＝(x ＋2)2－3可以由抛物线y ＝x 2平移得到，则下列平移过程正确的是( )A ．先向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度B ．先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度C ．先向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度D ．先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度6．设A(－4，y 1)，B(－3，y 2)，C(0，y 3)是抛物线y ＝(x ＋1)2＋a 上的三点，则y 1，y 2，y 3的大小关系为( )A ．y 1＞y 2＞y 3B ．y 1＞y 3＞y 2C ．y 3＞y 2＞y 1D ．y 3＞y 1＞y 27．如图所示的桥拱是抛物线形，其函数的解析式为y ＝－14x 2，当水位线在AB 位置时，水面宽12 m ，这时水面离桥顶的高度为( )A ．3 mB ．2 6 mC ．4 3 mD ．9 m,(第8题图)),(第10题图))8．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，有以下结论：①a ＋b ＋c<0；②a －b ＋c>1；③abc>0；④4a －2b ＋c<0；⑤c －a>1.其中所有正确结论的序号是( ) A ．①② B ．①③④ C ．①②③⑤ D ．①②③④⑤9．下列方程采用配方法求解较简便的是( ) A ．3x 2＋x －1＝0 B ．4x 2－4x －8＝0 C ．x 2－7x ＝0 D.()x －32＝4x 210．如图，某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，为节约资源，现要按图中所示的方法从这些边角料上截取矩形(阴影部分)铁皮备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x ，y 应分别为( ) A ．x ＝10，y ＝14 B ．x ＝14，y ＝10 C ．x ＝12，y ＝15 D ．x ＝12，y ＝1211. 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋1(a ≠0)的图象的顶点在第一象限，且过点(－1，0)．设t ＝a ＋b ＋1，则t 值的变化范围是( )A ．0＜t ＜1B ．0＜t ＜2C ．1＜t ＜2D ．－1＜t ＜112. 如图，O 是等边三角形的旋转中心，∠EOF ＝120°，∠EOF 绕点O 进行旋转，在旋转过程中，OE 与OF 与△ABC 的边构成的图形的面积( )A ．等于△ABC 面积的13B ．等于△ABC 面积的12 C ．等于△ABC 面积的14 D ．不能确定13. 点P 1（-1，y 1），P 2（3，y 2），P 3（5，y 3）均在二次函数y =-x 2+2x +c 的图象上，则y 1，y 2，y 3的大小关系是（ ）A.y 3＞y 2＞y 1B.y 3＞y 1=y 2C.y 1＞y 2＞y 3D.y 1=y 2＞y 314. 如图，△ABC 是等边三角形，四边形BDEF 是菱形，其中线段DF 的长与DB 相等，将菱形BDEF 绕点B 按顺时针方向旋转，甲、乙两位同学发现在此旋转过程中，有如下结论． 甲：线段AF 与线段CD 的长度总相等；乙：直线AF 和直线CD 所夹的锐角的度数不变． 那么，你认为( )A ．甲、乙都对B ．乙对甲不对C ．甲对乙不对D ．甲、乙都不对15. 如图，将△AOB 绕点O 逆时针旋转90°，得到△A ′OB ′.若点A 的坐标为(a ，b)，则点A ′的坐标为( )．A . (－b ，a) B. (b ，a) C. (－b ，-a) D. (b ，-a)16. 平时我们在跳绳时，绳子甩到最高处的形状可近似看作抛物线，如图建立直角坐标系，抛物线的函数解析式为y ＝－16x 2＋13x ＋32，绳子甩到最高处时刚好通过站在点(2，0)处跳绳的学生小明的头顶，则小明的身高为( )m .A.1.6B.1.5C.1.4 D1.314题图 15题图12题图2018-2019学年度上学期期中考试九年级数学试题卷二2分.把答案写在题中横线上）17.如图，把抛物线y＝12x2平移得到抛物线m. 抛物线m经过点A(－6，0)和原点(0，0)，它的顶点为P，它的对称轴与抛物线y＝12x2交于点Q，则图中阴影部分的面积为．(第17题图) (第19题图)18.在二次函数y＝2则m的值为．19.如图，P是正三角形ABC内的一点，且PA＝6，PB＝8，PC＝10.若将△PAC绕点A逆时针旋转后，得到△P′AB，则点P与点P′之间的距离为，∠APB＝．三、解答题（本大题共7小题，共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）20. (本题8分）（1）用公式法解方程x2-3x-7=0．（2）解方程：4x（2x-1）=3（2x-1）21. (本题7分）如图，已知△ABC的顶点A，B，C的坐标分别是A（-1，-1），B（-4，-3），C（-4，-1）．（1）作出△ABC关于原点O中心对称的图形△A’B’C’；（2）将△ABC绕原点O按顺时针方向旋转90°后得到△A1B1C1，画出△A1B1C1，并写出点A1的坐标．22.(本题8分）如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝50°，P是BC边上一点，将△ABP绕点A逆时针旋转50°，点P旋转后的对应点为点P′.(1)画出旋转后的三角形；(2)连接PP′，若∠BAP＝20°，求∠PP′C的度数．23. (9分)如图，一个二次函数的图象经过A，B，C三点，点A的坐标为(－1，0)，点B的坐标为(4，0)，点C在y轴的正半轴上，且AB＝OC.(1)求点C的坐标；(2)求这个二次函数的解析式，并求出该函数的最大值．24. (10分)已知关于x的函数y＝ax2＋x＋1(a为常数)．(1)若函数的图象与x轴恰有一个交点，求a的值；(2)若函数的图象是抛物线，且顶点始终在x轴上方，求a的取值范围．25. (本题12分）感知：如图①，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ，D 是边BC 上一点(点D 不与点B ，C 重合)．连接AD ，将AD 绕着点D 逆时针旋转90°，得到DE ，连接BE ，过点D 作DF ∥AC 交AB 于点F ，可知△ADF ≌△EDB ，则∠ABE 的大小为________．并说明理由.探究：如图②，在△ABC 中，∠C ＝α(0°＜α＜90°)，AC ＝BC ，D 是边BC 上一点(点D 不与点B ，C 重合)，连接AD ，将AD 绕着点D 逆时针旋转α，得到DE ，连接BE ，求证：∠ABE ＝α. 应用：设图②中的α＝60°，AC ＝2.当△ABE 是直角三角形时，AE ＝________．并说明理由.26. (本题12分）某园林专业户计划投资种植花卉及树木，根据市场调查与预测，种植树木的利润y 1与投资成本x 成正比例关系，种植花卉的利润y 2与投资成本x 的平方成正比例关系，并得到了表格中的数据：(1)分别求出利润y 1与y 2关于投资量x 的函数关系式；(2)如果这位专业户计划用8万元资金投入种植花卉和树木，设他投入种植花卉金额m 万元，种植花卉和树木共获利润w 万元，求出w 与m 之间的函数关系式，并求他至少获得多少利润？他能获取的最大利润是多少？(3)若该专业户想获利不低于22万元，在(2)的条件下，直接写出投资种植花卉的金额m 的范围．。
武汉市2018-2019学年度上学期期中考试九年级数学试卷(解析版)
九年级上学期期中测试一、选择题1．用配方法解方程21090x x ++=，下列变形正确的是（ A ） A ．()2516x += B ．()21091x += C ．()2534x -= D ．()210109x +=2．如图，在R t △ABC 中，∠BAC =90°，将R t △ABC 绕点C 按逆时针方向选择48°得到R t △A ′B ′C ′，点A 在边B ′C 上，则∠B ′的大小为（ A ） A ．42° B ．48° C ．52° D ．58°B3．目前我国已建立了比较完善的经济困难学生资助体系．某校去年上半年发给每个经济困难学生398元，今年上半年发放了438元，设每半年发放的资助金额的平均增长率为x ，则下面列出的方程中正确的是（ B ） A ．()24381389x += B ．()23891438x += C ．()38912438x += D ．()43812389x +=4．如图，一场篮球赛中，篮球运动员跳起投篮，已知出手时离地面高2.2米，与篮圈中心的水平距离为8米，当球出手后水平距离为4米时到达最大高度4米，设篮圈运行的轨迹为抛物线，篮圈中心距离地面3米，运动员发现未投中，若假设出手的角度和力度都不变，要使此球命中，运动员应该（ A ） A ．跳得比开始高0.8米 B ．跳得比开始低0.4米 C ．跳得比开始低0.8米 D ．跳得比开始高0.4米5．已知方程20x bx c ++=有两个相等的实数根，且当x a =与x a n =+时，2x bx c m ++=，则m ，n 的关系为（ D ）A ．12m n =B ．14m n = C ．212m n = D ．214m n =6．如图是二次函数2y ax bx c =++的图象的一部分，其对称轴为x =-1，且过点（-3，0）．下列说法：①0abc <；②20a b -=；③420a b c ++<；④若()15,y -，25,2y ⎛⎫⎪⎝⎭是抛物线上两点，则12y y >．其中说法正确的是（C ）A ．①②B ．②③C ．①②③D ．②③④二、填空题7．点（2，-3）关于（1，1）对称点的坐标为 （0，5）．8．如图，用篱笆靠墙围成矩形花圃ABCD ，墙可利用的最大长度为15m ，一面利用旧墙，其余三面用篱笆围，篱笆长为24m ，若围成的花圃面积为40m²时，平行于墙的BC 边长为4 m ．AD9．二次函数223y x x k =--+的图象在x 轴下方，则k 的取值范围是98k <-．10．如图，在平面直角坐标系中，将△ABO 绕点A 顺时针旋转到△AB 1C 1的位置，点B ，O 分别落在点B 1，C 1处，点B 1在x 轴上，再将△AB 1C 1绕点B 1顺时针旋转到△A 1B 1C 2的位置，点C 2在x 轴上，将△A 1B 1C 2绕点C 2顺时针旋转到△A 2B 2C 2的位置，点A 2在x 轴上，依次进行下去……．若点A 3,02⎛⎫⎪⎝⎭，B ()0,2，则点B 2016的坐标为()6048,2．11．如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，D 为边AB 的中点，E ，F 分别为边AC ，BC 上的点，且AE =AD ，BF =BD ，若DE =DF =4，则AB12．我们把函数()21320y x x x =-+>沿y 轴翻折得到函数2y ，函数1y 与函数2y 的图象合起来组成函数3y 的图象，若直线2y kx =+与函数的图象刚好有两个交点，则满足条件的k 的值为-3<k <3．三、解答题13．关于x 的一元二次方程()22110x k x +++=有两个不等实数根1x ，2x ． （1）求实数k 的取值范围；（2）若方程两个实数根1x ，2x 满足1212x x x x +=-，求k 值． 解：（1）34k >．（2）k =2. 14．四边形ABCD 是正方形，E ，F 分别是DC 和CB 的延长线上的点，且DE =BF ，连接AE ，AF ，EF ．(1)求证：△ADE ≌△ABF ；（2）填空：△ABF 可以由△ADE 绕旋转中心 A 点，按顺时针方向旋转 90 度得到． 解：（1）略C15．如图在△ABC 中，AB =5，AC =13，边BC 上的中线AD =6． （1）以点D 为对称中心，作出△ABD 的中心对称图形； （2）求点A 到BC 的距离．D B解：（1）作出△CDE （略）（2）由中心对称的性质，可证△ACE 是直角三角形，且∠AEC =90°．∴CD BC的长是 再由面积法求得点A 到BC 的距离．16．某商场销售一种产品，每件产品的成本为2400元，销售单价定为3000元．该商场为了促销，规定客户一次购买这种新型产品不超过10件时，每件按3000元销售；若一次购买该种产品超过10件时，每多购买一件，所购买的全部产品的销售单价均降低10元，但销售单价均不低于2600元． （1）设一次购买这种产品()10x x ≥件，商场所获得利润为y 元，求y （元）与x （件）之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（2）在客户购买产品的件数尽可能少的前提下，商场所获的利润为12000元，此时该商场销售了多少件产品？ （3）填空：该商场的销售人员发现：当客户一次购买产品的件数在某一个区间时，会出现随着一次购买的数量的增多，商场所获的利润反而减少这一情况．客户一次购买产品的数量x 满足的条件是3550x ≤≤．（其他销售条件不变）解：（1）()()210700105020050x x x y x x ⎧-+≤≤⎪=⎨>⎪⎩（其中x 取整数） （2）12000y =时，21070012000x x -+=，解得130x =，240x = ； 20012000x =时，解得60x =．∵客户购买产品的件数尽可能少，∴30x =．答：在客户购买产品的件数尽可能少的前提下，商场所获 的利润为12000元， 此时商场销售了30件产品．17．已知在△ABC 中，∠BAC =60°，点P 为BC 的中点，分别以AB 和AC 为斜边向外作Rt △ABD 和Rt△ACE ，且∠DAB =∠EAC =a ，连接PD ，PE ，DE ． （1）如图1，若a =45°，则DEDP=（2）如图2，若a 为任意角度，求证：∠PDE =a ； （3）如图3，若a =15°，AB =8，AC =6，则△PDE 的面积为254；图3图2图1P P P解：分别延长BD 至F ，使DF=BD,延长CE 至G ，使EG=CE,连接AF ，AG ，CF ，BG 交于M 点，∴DP ，PE 分别是中位线，∴DP ∥CF ，2DP =FC ；PE ∥BG ，2PE =BG ．由旋转易证△ACF ≌△AG B ，∴CF =B G ，∠BMF =∠BAF =2a ，∴PD =PE ，∠DPE =180°-2a ，∴∠PDE =a第17题答案图P18．如图1，抛物线23y ax bx =++经过()3,0A -，()1,0B -两点． （1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为M ，直线29y x =-+与直线OM 交于点D ，与y 轴交于点C ，现将抛物线平移，保持顶点在直线OD 上．若平移的抛物线与射线OD （含端点O ）只有一个公共点，求它的顶点横坐标的值或取值范围； （3）如图2，将抛物线平移，当顶点移至原点时，过Q （0，3）点作不平行于x 轴的直线交抛物线于E ，F 两点．问在y 轴的负半轴上是否存在点P ，使PQ 平分∠EPF ．若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．图2图1解：（1）抛物线解析式为243y x x =++．（2）由（1）配方得y ＝（x ＋2）²－1，∴抛物线的顶点M （-2，-1）．∴直线CD 的解析式为12y x =．于是设平移的抛物线的顶点坐标为1,2h h ⎛⎫⎪⎝⎭，∴平移的抛物线解析式为()21y x h h =-+．①当抛物线经过点C 时，∵C （0，9），∴2192h h +=，解得h =h ≤≤时，平移的抛物线与射线CD 只有一个公共点．②当抛物线与射线CD 只有一个公共点时，由方程组()21229y x h hy x ⎧=-+⎪⎨⎪=-+⎩得()22122902x h x h h +-+++-=，∴()221224902h h h ⎛⎫∆=-+-+-= ⎪⎝⎭，解得4h =．此时抛物线()242y x =-+与射线CD 唯一的公共点为（3，3），符合题意．综上：平移的抛物线与射线CD 只有一个公共点时，顶点横坐标的值或取值范围是：4h =h ≤≤ (3)由23y x y kx ⎧=⎨=+⎩得230x kx --=．∴E F y y k +=，3E F x x =-．设EF 的解析式为()30y kx k =+≠，点E ，F 的坐标分别为()2,m m ，．∴3mn =-．作点E 关于y 轴的对称点R ()2,m m -，作直线FR 交y 轴于点P ，由对称性知∠EPQ ＝∠FPQ ，∴点P 就是所求的点．由F ，R 的坐标，可得直线FR 的解析式为：()y n m x m =-+．当x ＝0，3y mn ==-，∴y 轴的负半轴上存在点()0,3P -，使PQ 平分∠EPF ．第18题答案图。
2018—2019学年上期期中联考答案
22. 解： （1） 证明： ∵AF⊥DE 于点 F， AG⊥BC 于点 G， ∴∠AFE＝90°， ∠AGC＝90°， ∴∠AEF＝90°－∠EAF，∠C＝90°－∠GAC， 又∵∠EAF＝∠GAC，∴∠AEF＝∠C 又∵∠DAE＝∠C，∴△ADE∽△ABC； ....5 分 （2）∵△ADE∽△ABC；∴∠C；
AN EM AM ∴ 2 0.35 42 EM
.....
4分
....2 分
解得:EM=7.35, ∴EF=EM+MF-1.75=7.3 答:城楼的高度为 7.3 米. ....1 分 ....1 分
20. 解： （1）四边形 ADEF 是平行四边形 ....1 分 .理由如下： ∵△ABD 和△EAC 都是等边三角形 ∴∠ABD=∠EBC=60° BD=AB BE=BC ∴∠ABD-∠EBA =∠EBC-∠EBA 即∠DBE =∠ABC ∴△DBE≌△ABC ....2 分 ∴DE=AC ∵△ACF 是等边三角形,AC=AF ∴DE=AF ...1 分 同理：EF=AD ∴四边形 ADEF 是平行四边形 ....1 分
4 1 概率为 12 3
2分
17.
(1)如图所示..........3 分 (2) (1,0)..........3 分 10..........3 分
18.1 a 2 4a 2 a 2 4a 8 a 2 4a 4 4 a 2 4
2
a 2 0 0
2
不论a取何实数，该方程都有 两个不相等的实数根
2将x 1带入方程x 2 ax a 2 0
1 a a 2 0, 解得，a 1 2
所以此方程为 x 解得 x
2018-2019学年湖北省武汉市洪山区九年级（上）期中数学试卷
2018-2019学年湖北省武汉市洪山区九年级（上）期中数学试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1.（3分）将一元二次方程x（x-9）=-3化为一元二次方程的一般形式，其中二次项系数为1,一次项系数和常数项分别是（）A.9,3B.9,-3C.-9,-3D.-9,32.（3分）已知冷，X2是一元二次方程3x2-6x-5=0的两个实数根，则Xi+x?等于（）5A.6B.--C.2D.-233.（3分）在RtAABC中，ZC=90°,AC=8cm,AB=10cm,以C为圆心，以9cm长为直径的③C与直线AB的位置关系为（）A.相交B,相离 C.相切D,相离或相交4.（3分）某区2016年应届初中毕业生为5万人，2017年、2018年两届毕业生一共为12万人，设2016年到2018年平均每年学生人数增长的百分率为X,则方程可列为（）A.5（1+x）2=12B.5+5（1+x）2=12C.5+5（1+x）+5（1+x）2=12D.5（1+x）+5（1+x）2=125.（3分）如图，^ABC是。
的内接三角形，AB为。
O的直径，点D为。
上一点，若ZACD=40°,则ZBAD的大小为（)A.35°B.50°C.40°D.60°6.（3分）设A(-2,yi),B(1,y2),C(2,y3)是抛物线y=-(x+1)2+k_h的三点，则yi，y2,y3的大小关系为（）A.yi>y2>y3B.yi>y3>y2 c.y2>y3>yi D.y3>yi>y27.（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，AABC顶点的横、纵坐标都是整数.若将^ABC以某点为旋转中心，顺时针旋转90。
得到ADEF,则旋转中心的坐标是（）8.C,(1,-1) D.(2.5,0.5)（3分）将二次函数y=-2（x-2）2-3的图象先向左平移2个单位，再向上平移2个单位后顶点坐标为（）A.(4,-1)B.(-4,-1)C.(0,-1)D,(0,1)9.（3分）已如^ABC的面积18cm2,其周长为24cm,则^ABC内切圆半径为（）A.lcm3B.-cm2C.2cm3D.-cm410.（3分）如图，AB=2,BC=4,点A是©B±任一点,点C为。
2018-2019 学年第一学期湖北省武汉市九年级期中考试数学试卷
2018-2019 学年第一学期湖北省武汉市九年级期中考试数学试卷一、选择题（共10 小题，每小题 3 分，共30 分）1.将一元二次方程4x2+5x＝81 化成一般式后，如果二次项系数是4，则一次项系数和常数项分别是（）A．5，81 B．5，﹣81 C．﹣5，81 D．5x，﹣81 【分析】根据一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c 是常数且a≠ 0）特别要注意a≠0 的条件，其中a，b，c 分别叫二次项系数，一次项系数，常数项，可得答案．解：一元二次方程4x2+5x＝81 化成一般式为4x2+5x﹣81＝0，二次项系数，一次项系数，常数项分别为4，5，﹣81，故选：B．【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c 是常数且a≠0）特别要注意a≠0 的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2 叫二次项，bx 叫一次项，c 是常数项．其中a，b，c 分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．2.下面有4 个汽车标致图案，其中是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心进行分析即可．解：A、是中心对称图形，故此选项正确；B、不是中心对称图形，故此选项错误；C、不是中心对称图形，故此选项错误；D、不是中心对称图形，故此选项错误；故选：A．【点评】此题主要考查了中心对称图形，关键是掌握中心对称图形定义．3．二次函数y＝4（x﹣3）2+7 的顶点为（）A．（﹣3，﹣7）B．（3，7）C．（﹣3，7）D．（3，﹣7）【分析】由抛物线解析式可求得答案．解：∵y＝4（x﹣3）2+7，∴顶点坐标为（3，7），故选：B．【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y＝a（x﹣h）2+k 中，对称轴为x＝h，顶点坐标为（h，k）．4.如果2是方程x2﹣c＝0 的一个根，则常数c是（）A．4 B．﹣4 C．±2 D．±4【分析】根据一元二次方程的定义，把x＝2 代入x2﹣c＝0 得4﹣c＝0，然后解关于c 的方程即可．解：把x＝2 代入x2﹣c＝0 得4﹣c＝0，解得c+4．故选：A．【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．5.用配方法解方程x2﹣8x+1＝0 时，方程可变形为（）A．（x﹣4）2＝15 B．（x﹣1）2＝15 C．（x﹣4）2＝1 D．（x+4）2＝15 【分析】将方程的常数项1 变号后移到方程右边，然后方程左右两边都加上一次项系数一半的平方16，方程左边写成完全平方式，右边合并即可得到结果．解：方程x2﹣8x+1＝0，移项得：x2﹣8x＝﹣1，两边都加上16 得：x2﹣8x+16＝﹣1+16，变形得：（x﹣4）2＝15，则用配方法解方程x2﹣8x+1＝0 时，方程可变形为：（x﹣4）2＝15．故选：A．【点评】此题考查了利用配方法解一元二次方程，利用此方法解方程时，首先将方程的二次项系数化为1，然后将常数项移项到方程右边，接着方程两边都加上一次项系数一半的平方，方程左边化为完全平方式，右边合并，开方转化为两个一元一次方程来求解．6.如图，⊙O 中，弦AB、CD 相交于点P，∠A＝40°，∠APD＝75°，则∠B＝（）A．15°B．40°C．75°D．35°【分析】由∠APD＝75°，可知∠BPD 的度数，由圆周角定理可知∠A＝∠D，故能求出∠B．解：∵∠APD＝75°，∴∠BPD＝105°，由圆周角定理可知∠A＝∠D（同弧所对的圆周角相等），在三角形BDP 中，∠B＝180°﹣∠BPD﹣∠D＝35°，故选：D．【点评】本题主要考查圆周角定理的知识点，还考查了三角形内角和为180°的知识点，基础题不是很难．7.若点M（a，﹣2），N（3，b）关于原点对称，则a+b＝（）A．5 B．﹣5 C．1 D．﹣1【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得a、b 的值，进而可得答案．，N（3，b）关于原点对称，解：∵点M（a，﹣2）∴a＝﹣3，b＝2，∴a+b＝﹣1，故选：D．【点评】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律．8.将抛物线y＝3x2 向上平移3个单位，再向左平移2个单位，那么得到的抛物线的解析式为（）A．y＝3（x+2）2+3 B．y＝3（x﹣2）2+3C．y＝3（x+2）2﹣3 D．y＝3（x﹣2）2﹣3【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．解：由“上加下减”的原则可知，将抛物线y＝3x2 向上平移 3 个单位所得抛物线的解析式为：y＝3x2+3；由“左加右减”的原则可知，将抛物线y＝3x2+3 向左平移2 个单位所得抛物线的解析式为：y＝3（x+2）2+3．故选：A．【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知二次函数图象平移的法则是解答此题的关键．9.⊙O 的直径A B 长为10，弦M N⊥AB，将⊙O 沿M N 翻折，翻折后点B的对应点为点B′，若A B′＝2，MB′的长为（）A．2 B．2或2C．2 D．2 或2【分析】分点B'在线段AB 上，点B'在BA 延长线上两种情况讨论，根据勾股定理可求MB'的长度．解：①如图：当点B'在线段AB 上，连接OM∵AB＝10，AB'＝2∴AO＝BO＝5＝OM，BB'＝8∴B'O＝3∵折叠∴BE＝B'E＝4∵B'O＝3∴OE＝1在Rt△OME 中，ME2＝OM2﹣OE2＝25﹣1＝24在R t△B'ME 中，B'M＝＝2 ②若点B'在BA 的延长线上，连接OM∵AB'＝2，AB＝10∴B'B＝12，AO＝BO＝OM＝5∵折叠∴B'E＝BE＝6，∴OE＝BE﹣BO＝1在Rt△MEO，ME2＝MO2﹣OE2＝25﹣1＝24在R t△B'ME 中，B'M＝＝＝2综上所述B'M＝2或2故选：B．【点评】本题考查了翻折问题，圆的有关概念和性质，勾股定理，利用分类思想解决问题是本题的关键．10．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），过（1，y1）（2，y2）．①若y1＞0 时，则a+b+c＞0②若a＝b 时，则y1＜y2③若y1＜0，y2＞0，且a+b＜0，则a＞0④若b＝2a﹣1，c＝a﹣3，且y1＞0，则抛物线的顶点一定在第三象限上述四个判断正确的有（）个．A．1 B．2 C．3 D．4【分析】①若y1＞0 时，当x＝1 时，y1＝a+b+c，此时，确定不了y 的值，∴a+b+c ＞0，正确；②若a＝b 时，即函数的对称轴是x＝﹣，分两种情况，a＝b＞0，则y2＞y1，否则，故y1＜y2，故错误；③若y1＜0，y2＞0，即：a+b+c＜0，4a+2b+c＞0，而a+b＜0，即：﹣2a＜0，a＞0，正确；④若b＝2a﹣1，c＝a﹣3，且y1＞0，即：a+b+c＞0，把b、c 的值代入上式得：a＞1，则b＞1，c＞﹣2，代入顶点坐标即可求解，正确．解：①若y1＞0 时，当x＝1 时，y1＝a+b+c＞0 此时，正确；②若a＝b 时，即函数的对称轴是x＝﹣，也确定不了y1、y2 的大小，故y1＜y2，错误；③若y1＜0，y2＞0，即：a+b+c＜0，4a+2b+c＞0，解得：﹣3a﹣b＜0，而a+b＜0，即：﹣2a＜0，∴a＞0，正确；④若b＝2a﹣1，c＝a﹣3，且y1＞0，即：a+b+c＞0，把b、c 的值代入上式得：a＞1，则b＞1，c＞﹣2，顶点的x坐标＝﹣＜0，顶点的y坐标＝﹣＝﹣2﹣＜0，故顶点一定在第三象限，正确；故选：C．【点评】本题考查的是二次函数图象与系数的关系，涉及到函数基本性质、解不等式等相关知识，难度较大．二、填空题（共 6 小题，每小题 3 分，共18 分）11.已知方程x2﹣4x+3＝0 的两根分别为x1、x2，则x1+x2＝ 4 ．【分析】利用根与系数的关系x1+x2＝﹣解答并填空．解：∵方程x2﹣4x+3＝0 的二次项系数a＝1，一次项系数b＝﹣4，∴x1+x2＝﹣＝4．故答案是：4．【点评】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系．解答该题需要熟记公式：x1+x2＝﹣．12.若函数y＝x2+2x﹣m 的图象与x轴有且只有一个交点，则m的值为﹣1 ．【分析】由抛物线与x 轴只有一个交点，即可得出关于m 的一元一次方程，解之即可得出m 的值．解：∵函数y＝x2+2x﹣m 的图象与x 轴有且只有一个交点，∴△＝22﹣4×1×（﹣m）＝0，解得：m＝﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查了抛物线与x 轴的交点，牢记“当△＝b2﹣4ac＝0 时，抛物线与x 轴有1 个交点”是解题的关键．13.某村种的水稻前年平均每公顷产7 200kg，今年平均每公顷产8 450kg．设这两年该村水稻每公顷产量的年平均增长率为x，根据题意，所列方程为7200（1+x）2＝8450 ．，第二年水稻产量：7200（1+x）【分析】由题意得：第一年水稻产量7200（1+x），进而可得方程7200（1+x）2＝8450．（1+x）解：设这两年该村水稻每公顷产量的年平均增长率为x，根据题意得：7200（1+x）2＝8450，故答案为：7200（1+x）2＝8450．【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是掌握求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2＝b．14.以原点为中心，把点A（4，5）逆时针旋转90°，得到点B，则点B 的坐标为（﹣5，4）．【分析】分别过A、B 作x 轴的垂线，垂足分别为C、D，可证明△AOC≌△OBD，可求得BD 和OB 的长，则可求得B 点坐标．解：如图，分别过A、B 作x 轴的垂线，垂足分别为C、D，，∵A（4，5）∴OC＝4，AC＝5，∵把点A（4，5）逆时针旋转90°得到点B，∴OA＝OB，且∠AOB＝90°，∴∠BOD+∠AOC＝∠AOC+∠CAO＝90°，∴∠BOD＝∠CAO，在△AOC 和△OBD中，，∴△AOC≌△OBD（AAS）∴OD＝AC＝5，BD＝OC＝4，∴B（﹣5，4），．故答案为：（﹣5，4）【点评】本题主要考查旋转的性质，构造三角形全等求得线段的长度是解题的关键，注意旋转前后对应线段相等．15.如图，在中⊙O，AB 是直径，弦AE 的垂直平分线交⊙O 于点C，CD⊥AB于D，BD＝1，AE＝4，则A D 的长为 4 ．【分析】证明△AOF≌△COD（AAS），得CD＝AF＝2，设⊙O 的半径为r，则OD ＝r﹣1，根据勾股定理列方程可得结论．解：弦AE 的垂直平分线交⊙O 于点F，∴AF＝AE＝2，∠AFO＝90°，∵CD⊥AB，∴∠ODC＝∠AFO＝90°，∵OA＝OC，∠AOF＝∠COD，，∴△AOF≌△COD（AAS）∴CD＝AF＝2，设⊙O 的半径为r，则OD＝r﹣1，由勾股定理得：OC2＝OD2+CD2，r2＝（r﹣1）2+22，r＝，∴AD＝AB﹣1＝2×﹣1＝4，故答案为：4．【点评】本题考查了垂径定理的应用，同时还考查了全等三角形的性质和判定，与勾股定理相结合，列方程解决问题；解答有关于圆的计算题时，需要我们熟练各部分的内容，对学生的综合能力要求较高，一定要注意将所学知识贯穿起来．16.在△ABC 中，∠ABC＝60°，BC＝8，点D 是BC 边的中点，点E 是边AC上一点，过点D 作ED 的垂线交边AC 于点F，若AC＝7CF，且DE 恰好平分△ABC 的周长，则△ABC 的面积为10 ．【分析】如图，取AC 的中点M，连接DM，作AH⊥BC 于H．设DM＝a，AE ＝b．想办法证明DM＝EM＝FM＝a．AE＝CF＝b，2a＝5b，解直角三角形求出BH，CH 用b 表示，根据边长的长构建方程求出b 即可解决问题；解：如图，取AC 的中点M，连接DM，作AH⊥BC 于H．设DM＝a，AE＝b．∵BD＝DC，AM＝MC，∴AB＝2DM＝2a，∵AB+AE+BD＝EC+DC，∴EC＝2a+b，AC＝2a+2b，∴AM＝MC＝a+b，∴EM＝a，∴EM＝DM，∴∠MED＝∠MDE，∵∠MED+∠MFD＝90°，∠MDE+∠MDF＝90°，∴∠MFD＝∠MDF，∴MD＝MF＝a，∴CF＝AE＝b，∵AC＝7CF，∴2a+2b＝7b，∴2a＝5b，∵AB＝5b，AC＝7b，在Rt△ABH 中，∵∠B＝60°，∴BH＝AB＝b，AH＝b，在R t△ACH 中，CH＝＝b，∴BC＝BH+HC＝8b，∴8b＝8，∴b＝1，＝×8×＝10 ，∴S△ABC故答案为10．【点评】本题考查解直角三角形，三角形的面积，勾股定理，三角形的中位线定理等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考填空题中的压轴题．三、解答题（共8 小题，共72 分）17．（5 分）解方程：x2﹣2x﹣3＝0．【分析】通过观察方程形式，本题可用因式分解法进行解答．（x+1）＝0解：原方程可以变形为（x﹣3）x﹣3＝0，x+1＝0∴x1＝3，x2＝﹣1．【点评】熟练运用因式分解法解一元二次方程．注意：常数项应分解成两个数的积，且这两个的和应等于一次项系数．18．（6 分）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干、小分支的总数是91，每个支干长出多少小分支？【分析】由题意设每个支干长出的小分支的数目是x 个，每个小分支又长出x 个分支，则又长出x2 个分支，则共有x2+x+1 个分支，即可列方程求得x 的值．解：设每个支干长出的小分支的数目是x 个，根据题意列方程得：x2+x+1＝91，；解得：x＝9 或x＝﹣10（不合题意，应舍去）∴x＝9；答：每支支干长出9 个小分支．【点评】此题要根据题意分别表示主干、支干、小分支的数目，列方程求解，注意能够熟练运用因式分解法解方程．19．（8 分）如图，抛物线y1＝x2﹣2 与直线y2＝x+4 交于A，B 两点．（1）求A，B 两点的坐标；（2）当y1＜y2 时，直接写出自变量x 的取值范围．【分析】（1）求出由两函数解析式组成的方程组的解，即可得出答案；（2）根据A、B 的坐标和函数的图象得出答案即可．解：（1）解方程组得：，，即A 的坐标为（﹣2，2），B 的坐标为（3，7）；（2）当y1＜y2 时，自变量x 的取值范围是x＜﹣2 或x＞3．【点评】本题考查了二次函数与不等式、二次函数的图象和性质等知识点，能求出A、B 的坐标是解此题的关键．20．（9 分）在平面直角坐标系中，Rt△ABC 的三个顶点分别是A（﹣4，2），B．，C（﹣1，2）（﹣1，4）（1）将△ABC 以点C 为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的△A1B1C，A1 的坐标为（2，2）；（2）平移△ABC，点B 的对应点B2的坐标为（4，﹣1），画出平移后对应的△A2B2C2，C2 的坐标为（4，﹣3）；（3）若将△A1B1C 绕某一点旋转可以得到△A2B2C2，请直接写出旋转中心的坐标为（，﹣）．【分析】（1）根据旋转变换的定义作图可得；（2）根据平移变换的定义作图可得；（3）由中心对称变换的性质确定对称中心，再利用中点坐标公式求解可得．解：（1）如图所示，△A1B1C 即为所求，其中A1的坐标为（2，2）．．故答案为：（2，2）(2)如图所示，△A2B2C2即为所求，其中C2的坐标为（4，﹣3），故答．案为：（4，﹣3）(3)如图，点P即为所求，其坐标为（，﹣），故答（，﹣）．案为：【点评】本题主要考查作图﹣旋转变换与平移变换，解题的关键是熟练掌握旋转变换和平移变换的定义与性质．21．（10 分）如图，已知锐角△ABC 内接于⊙O，连接AO 并延长交BC 于点D．（1）求证：∠ACB+∠BAD ＝90°；（2）过点 D 作DE⊥AB 于E，若∠ADC＝2∠ACB，AC＝4，求DE 的长．（1）如图1 中，延长AD 交⊙O 于点F，连接B F．首先证明∠ABF＝90°，再【分析】证明∠AFB＝∠C 即可解决问题．（2）如图 2 中，过点O 作OH⊥AC 于H，连接BO．想办法证明△BDE≌△AOH 即可解决问题．（1）证明：延长AD 交⊙O 于点F，连接BF．∵AF 为⊙O 的直径，∴∠ABF＝90°，∴∠AFB+∠BAD＝90°，∵∠AFB＝∠ACB，∴∠ACB+∠BAD＝90°．（2）证明：如图2 中，过点O 作OH⊥AC 于H，连接BO．∵∠AOB＝2∠ACB，∠ADC＝2∠ACB，∴∠AOB＝∠ADC，∴∠BOD＝∠BDO，∴BD＝BO，∴BD＝OA，∵∠BED＝∠AHO，∠ABD＝∠AOH，，∴△BDE≌△AOH，（AAS）∴DE＝AH，∵OH⊥AC，∴AH＝CH＝AC，∴AC＝2DE＝4，∴DE＝2．【点评】本题考查垂径定理、直径的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．22．（10 分）如图，一个滑道由滑坡（AB 段）和缓冲带（BC 段）组成，滑雪者在滑坡上滑行的距离 y 1（单位：m ）和滑行时间 t 1（单位 s ）满足二次函数关系，并测得相关数据：滑雪者在缓冲带上滑行的距离 y 2（单位：m ）和滑行时间 t 2（单位：s ）满足：y 2＝52t 2﹣2t 22，滑雪者从 A 出发在缓冲带 BC 上停止，一共用了 23s ．（1）求 y 1 和 t 1 满足的二次函数解析式； （2） 求滑坡 AB 的长度．【分析】（1）设 y 1＝at +bt 1，把（1，4.5）和（2，14）代入函数解析即可求解；（2）y 2＝52t ﹣2t 2，函数在对称轴上取得最大值，即滑雪者停下，求出 t 值，即 可求解．解：（1）设 y 1＝at +bt 1，把（1，4.5）和（2，14）代入函数解析式得，， 解得：，∴二次函数解析式为：y 1＝2.5t 12+2t 1…①；（2）y2＝52t﹣2t2，函数在对称轴上取得最大值，即滑雪者停下，此时，t＝﹣＝13，则：滑雪者在AB 段用的时间为23﹣13＝10，把t＝10 代入①式，解得：则AB＝y1＝270（米），答：滑坡AB 的长度270m．【点评】本题考查的是二次函数的应用，本题的关键在于理解“函数在对称轴上取得最大值，即滑雪者停下”这个要点，这是一道中等难度的题目．23．（12 分）等腰△ABC 中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点P 为平面内一点．（1）如图1，当点P在边B C 上时，且满足∠APC＝120°，求的值；（2）如图2，当点P 在△ABC 的外部，且满足∠APC+∠BPC＝90°，求证：BP ＝AP；（3）如图3，点P 满足∠APC＝60°，连接BP，若AP＝1，PC＝3，直接写出BP 的长度．【分析】（1）由∠BAC＝120°，AB＝AC，推出∠B＝∠C＝30°，由∠APC＝120°，推出∠PAC＝∠C＝30°，推出PC＝PA，∠PAB＝90°，推出PB＝2PA，可得PB＝2PC 解决问题；（2）如图2 中，将线段AP 绕点A 顺时针旋转120°得到线段AF，连接PF，BF，BF 交PC 于点H．想办法证明PB＝PF 即可解决问题；（3）分两种情形分别求解即可解决问题；（1）解：如图 1 中，∵∠BAC＝120°，AB＝AC，∴∠B＝∠C＝30°，∵∠APC＝120°，∴∠PAC＝∠C＝30°，∴PC＝PA，∠PAB＝90°，∴PB＝2PA，∴PB＝2PC，∴＝2．（2）证明：如图2 中，将线段AP 绕点A 顺时针旋转120°得到线段AF，连接PF，BF，BF 交PC 于点H．∵∠BAC＝∠PAF＝120°，∴∠PAC＝∠BAF，∵AB＝AC，AF＝AP，，∴△ABF≌△ACP（SAS）∠APC＝∠AFB，设∠APC＝α，则∠AFB＝α，∠PFB＝30°+α，∠BPC＝90°﹣α∵∠PHB＝∠HPF+∠PFH＝（30°﹣α）+（30°+α）＝60°，∴∠PBH＝180°﹣（90°﹣α﹣60°）＝30°+α，∴∠PBF＝∠PFB，∴PB＝PF，在△PAF 中，易知P F＝PA，∴PB＝PA．（3）解：①如图3﹣1 中，当点P 在△ABC 外部时，将线段AP 绕点A 顺时针旋转120°得到线段AF，连接PF，BF．，则△ABF≌△ACP（SAS）∴∠AFB＝∠APC＝60°，BF＝PC＝3，∵∠AFP＝30°，∴∠BFP＝90°，∵PA＝AF＝1，∠PAF＝120°，∴PF＝，∴PB＝＝2 ．②如图3﹣2 中，当点P 在△ABC 内部时，将线段AP 绕点A 逆时针旋转120° 得到AH，连接PH，HC．作HM⊥PC 于M．，则△BAP≌△CAH（SAS）∴PB＝CH，∵∠PAH+∠APC＝120°+60°＝180°，∴AH∥PC，∴∠AHP＝∠HPM＝30°，∴HM＝PH＝，∴PM＝HM＝，∵PC＝3，∴CM＝PM＝，∵HM⊥PC，∴HC＝PH＝，∴PB＝，综上所述，满足条件的P B 的值为2或．【点评】本题考查三角形综合题、旋转变换、全等三角形的判定和性质、解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用旋转变换添加辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．24．（12 分）已知抛物线C1：y＝ax2过点（2，2）（1）直接写出抛物线的解析式；（2）如图，△ABC 的三个顶点都在抛物线C1 上，且边AC 所在的直线解析式为y＝x+b，若A C 边上的中线B D 平行于y轴，求的值；，点Q 为抛物线上C1上一动点，以PQ 为直径（3）如图，点P 的坐标为（0，2）作⊙M，直线y＝t 与⊙M 相交于H、K 两点是否存在实数t，使得HK 的长度为定值？若存在，求出HK 的长度；若不存在，请说明理由．【分析】（1）把点（2，2）坐标代入y＝ax2 即可求解；（2）把y＝x+b 和y＝x2得：x2﹣2x﹣2b＝0，设A、C 两点的坐标为（x1，y1）、（x2，y2），则：x1+x2＝2，x1•x2＝﹣2b，可以求出点D 坐标、B 坐标，即可求，点M的坐标为（，a2+1），圆的半径为r，（3）设点Q坐标为（a，a2）解；则r2＝+（a2﹣1）2＝a4﹣a2+1，点M到直线y＝t 的距离为d，用H K＝2 ＝2 ，当t﹣＝0 时，HK 为常数，t ＝，HK＝．（1）把点（2，2）坐标代入y＝ax2，解得：a＝，解：∴抛物线的解析式为y＝x2；（2）把y＝x+b 和y＝x2 得：x2﹣2x﹣2b＝0，设A、C 两点的坐标为（x1，y1）、（x2，y2），则：x1+x2＝2，x1•x2＝﹣2b，，B 坐标为（1，），，即D（1，﹣b）点D坐标为（，）AC2＝[ （x2﹣x1）]2＝16b+8，BD＝+b，∴＝16；（3）设点Q坐标为（a，a2），，由P、Q 坐标得点M的坐标为（，a2+1），设点P的坐标为（0，2）圆的半径为r，、M 两点坐标可以求出r2＝+（a2﹣1）2＝a4﹣a2+1，由P（0，2）则d2＝（a2+1﹣t）＝a4+ a2+1+t2﹣2t﹣a2t，则H K 设点M到直线y＝t 的距离为d，＝2 ＝2，当t﹣＝0 时，HK 为常数，t＝HK＝．【点评】本题为圆和抛物线运用的综合题，涉及到圆和抛物线性质的运用，其中点坐标尤其是中点坐标的计算是此类题目的破解点，这是一道难度较大的题目．。
湖北省2018-2019学年上学期期中调研测试九年级数学试卷(解析版)
湖北省2018-2019学年上学期期中调研测试九年级数学试卷（解析版）一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】C【解析】解：第1个图形，是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；第2个图形，是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意；第3个图形，是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；第4个图形，是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意．故选：C．根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转后两部分重合．2.解一元二次方程，用配方法可变形为A. B. C. D.【答案】A【解析】解：，，即，故选：A．移项后两边配上一次项系数一半的平方即可得．本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．3.关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是A. B. C. D.【答案】A【解析】解：关于x的一元二次方程有实数根，，解得：，故选：A．根据根的判别式得出不等式，求出不等式的解集即可．本题考查了根的判别式和一元二次方程的定义，能得出关于k的不等式是解此题的关键．4.从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度米与小球运动的时间秒之间的关系式为若小球在第7秒与第14秒时的高度相同，则在下列时间中小球所在高度最高的是A. 第8秒B. 第10秒C. 第12秒D. 第15秒【答案】B【解析】解：由题意可得，当时，y取得最大值，二次函数具有对称性，当，10，12，15时，t取10时，y取得最大值，故选：B．根据题意可以求得该函数的对称轴，然后根据二次函数具有对称性，离对称轴越近，对应的y值越大，即可解答本题．本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．5.抛物线与坐标轴的交点个数是A. 3B. 2C. 1D. 0【答案】A【解析】解：抛物线解析式，令，解得：，抛物线与y轴的交点为，令，得到，即，分解因式得：，解得：，，抛物线与x轴的交点分别为，，综上，抛物线与坐标轴的交点个数为3．故选：A．令抛物线解析式中，求出对应的y的值，即为抛物线与y轴交点的纵坐标，确定出抛物线与y轴的交点坐标，令抛物线解析式中，得到关于x的一元二次方程，求出方程的解有两个，可得出抛物线与x轴有两个交点，综上，得到抛物线与坐标轴的交点个数．此题考查了抛物线与x轴的交点，以及一元二次方程的解法，其中令抛物线解析式中，求出的y值即为抛物线与y轴交点的纵坐标；令，求出对应的x的值，即为抛物线与x 轴交点的横坐标．6.若a是方程的一个解，则的值为A. 3B.C. 9D.【答案】C【解析】解：若a是方程的一个根，则有，变形得，，故．故选：C．将a代入方程中，再将其变形可得所要求代数式的值．此题主要考查了方程解的定义及运算，此类题型的特点是，直接将方程的解代入方程中，再将其变形即可求出代数式的值．7.如图，已知圆的半径是5，弦AB的长是6，则圆心O到弦AB的距离弦心距是A. 3B. 4C. 5D. 8【答案】B【解析】解：过点O作于点D，连接OA，，，．故选：B．过点O作于点D，连接OA，先根据垂径定理求出AD的长，再由勾股定理即可得出OD的长．本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．8.如图，AB是的直径，弦CD交AB于点P，，，，则CD的长为A.B.C.D. 6【答案】C【解析】解：作于H，连接OC，如图，，，，，，，，在中，，，，在中，，，，，故选：C．作于H，连接OC，根据垂径定理由得到，再利用，可计算出半径，则，接着在中根据含30度的直角三角形的性质计算出，然后在中利用勾股定理计算出，所以．本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧也考查了勾股定理以及含30度的直角三角形的性质．9.当时，函数的最小值为1，则a的值为A. 1B. 2C. 1或2D. 0或3【答案】D【解析】解：当时，有，解得：，．当时，函数有最小值1，或，或，故选：D．利用二次函数图象上点的坐标特征找出当时x的值，结合当时函数有最小值1，即可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出结论本题考查了二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数的最值，利用二次函数图象上点的坐标特征找出当时x的值是解题的关键．10.如图所示，在等边中，点D是边AC上一点，连接BD，将绕着点B逆时针旋转，得到，连接ED，则下列结论中：；；；，其中正确结论的序号是A. B. C. D.【答案】D【解析】解：是等边三角形，，，将绕着点B逆时针旋转，得到，，，，是等边三角形是等边三角形故正确，，故正确，故错误．故选：D．由题意可得，，，可判断，根据三角形的外角等于不相邻的两个内角和可判断．本题考查了旋转的性质，平行线的判定和性质，等边三角形的性质，熟练运用这些性质解决问题是本题的关键．二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）11.一元二次方程的根是______．【答案】，【解析】解：这里，，，，，即，．故答案为：，．找出a，b，c的值，代入求根公式即可求出解．此题考查了解一元二次方程公式法，熟练掌握求根公式是解本题的关键．12.将抛物线向左平移3个单位，再向上平移5个单位，得到抛物线的表达式为______．【答案】【解析】解：，将抛物线向左平移3个单位，再向上平移5个单位，平移后的抛物线的解析式为：．即，故答案为：．先把解析式化成顶点式，然后直接利用抛物线平移规律：上加下减，左加右减进而得出平移后的解析式．此题主要考查了二次函数图象的平移变换，正确掌握平移规律是解题关键．13.在国庆节的一次同学聚会上，每人都向其他人赠送了一份小礼品，共互送110份小礼品，则参加聚会的有______名同学．【答案】11【解析】解：设参加聚会的有x名学生，根据题意得：，解得：，舍去，即参加聚会的有11名同学，故答案为：11．设参加聚会的有x名学生，根据“在国庆节的一次同学聚会上，每人都向其他人赠送了一份小礼品，共互送110份小礼品”，列出关于x的一元二次方程，解之即可．本题考查了一元二次方程的应用，正确找出等量关系，列出一元二次方程是解题的关键．14.已知的直径为10cm，AB，CD是的两条弦，，，，则弦AB和CD之间的距离是______cm．【答案】7或1【解析】解：分两种情况考虑：当两条弦位于圆心O一侧时，如图1所示，过O作，交AB于点E，交CD于点F，连接OA，OC，，，、F分别为AB、CD的中点，，，在中，，，根据勾股定理得：，在中，，，根据勾股定理得：，则；当两条弦位于圆心O两侧时，如图2所示，同理可得，综上，弦AB与CD的距离为7cm或1cm．故答案为：7或1．分两种情况考虑：当两条弦位于圆心O一侧时，如图1所示，过O作，交CD于点F，交AB于点E，连接OA，OC，由，得到，利用垂径定理得到E与F分别为CD与AB的中点，在直角三角形AOF中，利用勾股定理求出OF的长，在三角形COE 中，利用勾股定理求出OE的长，由即可求出EF的长；当两条弦位于圆心O两侧时，如图2所示，同理由求出EF的长即可．此题考查了垂径定理，勾股定理，利用了分类讨论的思想，熟练掌握垂径定理是解本题的关键．15.已知实数x，y满足，则的最大值是______．【答案】10【解析】解：由知，，当时，取得最大值10，故答案为：10．由知，，依据二次函数的性质求解可得．本题主要考查二次函数的最值，解题的关键是根据已知等式得到关于x的二次函数解析式，并熟练掌握二次函数的图象和性质．16.如图，中，，，，绕点C顺时针旋转得，当落在AB边上时，连接，取的中点D，连接，则的长度是______．【答案】【解析】解：，，，，，，，是等边三角形，，，，是等边三角形，，，，，．故答案为：．首先证明，是等边三角形，推出是直角三角形即可解决问题．本题考查旋转的性质、30度角的直角三角形性质、等边三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是证明，是等边三角形，属于中考常考题型．三、解答题（本大题共9小题，共72.0分）17.解方程：【答案】解：原方程可化为，，，．，方程有两个不相等的实数根，即，；【解析】先将原方程化为一般形式，然后利用公式法解方程即可；本题考查了公式法解一元二次方程的知识，解题的关键是了解一元二次方程的求根公式，难度不大．18.已知抛物线经过点，，请求出该抛物线的顶点坐标．【答案】解：根据题意，得解得，当时，，这条抛物线的顶点坐标为．【解析】将已知点的坐标代入函数的解析式后即可确定其解析式，然后确定抛物线的顶点坐标即可．本题考查了二次函数的性质及图象上的点的坐标特征，解题的关键是了解二次函数的对称轴方程．19.如图，在中，，将尧点A按逆时针方向旋转后得当时，求的度数．【答案】解：，．由旋转的性质可知：，．，，．【解析】先依据平行的性质可求得的度数，然后再由旋转的性质得到为等腰三角形，，再求得的度数，最后依据求解即可．本题主要考查的是旋转的性质、平行线的判断，求得的度数是解题的关键．20.如图，一农户要建一个矩形鸭舍，鸭舍的一边利用长为13m的住房墙，另外三边用27m长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门所围矩形鸭舍的长、宽分别为多少时，鸭舍面积为？【答案】解：设鸭舍垂直于住房墙的一边长为xm，则鸭舍的另一边长为，依题意，得，化简，得，解这个方程，得，，当时，舍去，当时，，答：所建矩形鸭舍的长为12m，宽为8m．【解析】设鸭舍垂直于住房墙的一边长为xm，则鸭舍的另一边长为，根据“一农户要建一个矩形鸭舍，鸭舍的一边利用长为13m的住房墙，另外三边用27m长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门所围矩形鸭舍的长、宽分别为多少时，鸭舍面积为”，列出关于x的一元二次方程，解之即可．本题考查了一元二次方程的应用，正确找出等量关系，列出一元二次方程是解题的关键．21.如图，点O在的边AN上，以O为圆心的圆交AM于B，C两点，交AN于D，E两点，若，，，求的半径r．【答案】解：过点O作于点F．，，，，在和中，由勾股定理，得，即，解得负值舍去，．的半径为2．【解析】过点O作于点在和中，由勾股定理，得，由此构建方程即可解决问题．本题考查垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题．22.如图，在中，，将绕顶点B逆时针方向旋转至的位置，AB与相交于点D，AC与，分别交于点E，F．求证：；若，求证：四边形是菱形．【答案】解：，．将绕顶点B逆时针方向旋转至的位置，≌ ，，．在和中≌ ，．，，，，．，，四边形是平行四边形．，四边形是菱形．【解析】根据等腰三角形的性质得到，，由旋转的性质得到，，，根据全等三角形的判定定理得到 ≌ ，从而证得；由旋转的性质得到，根据得到，，从而证得，，证得四边形是平行四边形，由于，即可得到四边形是菱形．本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，正确的理解题意是解题的关键．23.某民俗村为了维护消费者利益，限定村内所有商品的利润率不得超过，村内一商店以每件16元的价格购进一批商品，该商品每件售价定为x元，每天可卖出件，每天销售该商品所获得的利润为y元．求y与x的函数关系式；若每天销售该商品要获得280元的利润，每件商品的售价应定为多少元？求商店每天销售该商品可获得的最大利润．【答案】解：．．由，得．此方程整理，得．解这个方程，得，．由题意可知，，．答：每件商品的售价应定为20元．，，当时，y随x的增大而增大．当时，y的值最大，此时．答：商店每天销售该商品可获得的最大利润为400元．【解析】根据：每件盈利销售件数总盈利额；其中，每件盈利每件售价每件进价建立等量关系；由每天销售该商品要获得280元的利润，结合列方程解出即可；根据自变量的取值范围，利用二次函数的性质即可解决问题．本题考查了一元二次方程和二次函数的应用，解答本题的关键是读懂题意，找出合适的等量关系，列方程求解．24.在和中，，，．如图1，点D在BC上，求证：，．将图1中的绕点C按逆时针方向旋转到图2所示的位置，旋转角为为锐角，线段DE，AE，BD的中点分别为P，M，N，连接PM，PN．请直接写出线段PM，PN之间的关系，不需证明；若，求．【答案】证明：如图1，延长AD交BE于F．在和中，，≌ ．，．，，，．解：，．理由是：如图2，连接BE，AD，交于点Q，，，即，在和中，，≌ ，，，，，，是AE的中点，P是ED的中点，，，同理得：，，，．由知，又，．在和中≌．，，．【解析】证明 ≌ ，可得，根据直角三角形两锐角互余可得：，所以；先证明 ≌ ，得，，再证明，根据三角形的中位线定理得：，，，，所以，；证明 ≌ 得根据周角定义和直角可得的值．本题考查几何变换综合题、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、三角形的中位线定理等知识，解题的关键是灵活运用这些知识，学会利用三角形全等的性质解决问题，属于中考压轴题．25.如图所示，已知抛物线与一次函数的图象相交于，两点，点P是抛物线上不与A，B重合的一个动点，点Q是y轴上的一个动点．请直接写出a，k，b的值及关于x的不等式的解集；当点P在直线AB上方时，请求出面积的最大值并求出此时点P的坐标；是否存在以P，Q，A，B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出P，Q的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】解：把，代入中，可得：，把，代入中，可得：，解得：，所以，，，关于x的不等式的解集是或，过点A作y轴的平行线，过点B作x轴的平行线，两者交于点C．，，，，设点P的横坐标为m，则点P的纵坐标为．过点P作于D，作于则，，，．．，，，当时，的值最大．当时，，，即面积的最大值为，此时点P的坐标为存在三组符合条件的点，当以P，Q，A，B为顶点的四边形是平行四边形时，，，，，可得坐标如下：的横坐标为，代入二次函数表达式，解得：，；的横坐标为3，代入二次函数表达式，解得：，；的横坐标为1，代入二次函数表达式，解得：，．故：P的坐标为或或，Q的坐标为：或或．【解析】根据待定系数法得出a，k，b的值，进而得出不等式的解集即可；过点A作y轴的平行线，过点B作x轴的平行线，两者交于点C，连接根据三角形的面积公式解答即可；根据平行四边形的性质和坐标特点解答即可．主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．。
2018-2019学年九年级上期中数 学试卷含答案解析
2018—2019学年九年级（上）期中数学试卷一．细心选一选1．（3分）将图所示的图案按顺时针方向旋转90°后可以得到的图案是（）A．B．C．D．2．（3分）方程x2﹣3x=0的解是（）A．x=3 B．x=0 C．x=1或x=3 D．x=3 或x=03．（3分）设x1，x2是一元二次方程x2+3x﹣4=0的两个根，则x1+x2的值是（）A．3 B．﹣3 C．4 D．﹣44．（3分）如图，在圆O中，圆心角∠BOC=100°，那么∠BAC=（）A．50°B．60°C．70°D．75°5．（3分）抛物线y=2（x﹣3）2+1的顶点坐标是（）A．（3，1）B．（3，﹣1）C．（﹣3，1）D．（﹣3，﹣1）6．（3分）将抛物线y=（x﹣1）2+3向左平移1个单位，再向右平移3个单位得到的解析式是（）A．y=（x﹣2）2 B．y=（x﹣2）2+6 C．y=x2 D．y=x2+67．（3分）某商品原价200元，连续两次降价a%后售价为148元，下列所列方程正确的是（）A．200（1+a%）2=148 B．200（1﹣a%）2=148 C．200（1﹣2a%）=148 D．200（1﹣a2%）=1488．（3分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，如果AB=10，CD=8，那么线段OE的长为（）A．6 B．5 C．4 D．39．（3分）已知A（﹣1，y1），B（2，y2）是抛物线y=﹣（x+2）2+1上的两点，则y1，y2的大小关系（）A．y1＞y2 B．y1≥y2 C．y1＜y2 D．y1≤y210．（3分）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列说法不正确的是（）A．b2﹣4ac＞0 B．a＞0 C．c＞0 D．二．耐心填一填11．（3分）已知抛物线y=﹣2（x﹣1）2+3，当x时，y随x的增大而减小．12．（3分）如图，AB是圆O的直径，点C在圆O上，若∠A=40°，则∠B的度数为．13．（3分）已知点A（﹣3，b）与点B（a，2）关于原点对称，则a+b=．14．（3分）二次函数y=x2﹣2x﹣3的图象如图所示．当y＜0时，自变量x的取值范围是．15．（3分）已知点P（3，2），将OP绕点O逆时针旋转90°到OP′，那么点P′的坐标是．16．（3分）一个足球被从地面向上踢出，它距地面的高度h（m）与足球被踢出后经过的时间t（s）之间具有函数关系h=at2+19.6t，已知足球被踢出后经过4s落地，则足球距地面的最大高度是m．三．用心答一答17．解方程（1）x2﹣4x﹣5=0（2）2x（x﹣1）+x﹣1=0．18．已知关于x的方程：3x2﹣kx+1=0的一根是x=1，求k的值以及方程的另一个根．19．抛物线y=2x2+bx+c经过（﹣3，0），（1，0）两点（1）求抛物线的解析式，并求出其开口方向和对称轴（2）用配方法求出该抛物线的顶点坐标．20．已知△ABC，点A（﹣3，1），B（﹣1，﹣1），C（0，2）（2）利用关于原点对称的点的坐标的关系作出与△ABC关于原点对称的△A′B′C′；（3）写出△A′B′C′三个顶点的坐标．21．如图小张想用总长60m的篱笆围成矩形ABCD场地，其中AD边靠墙，墙体最多能用30m，矩形ABCD的面积S（m2）随矩形边长AB设为x（m）的变化而变化．（1）求S与x之间的函数关系（2）当x为多少m时，矩形的面积是400m2？此时长宽分别是多少m？22．已知关于x的方程（k﹣1）x2+2kx+2=0（1）求证：无论k为何值，方程总有实数根（2）设x1，x2是上述方程的两个实数根，记，S的值能为6吗？若能，求出此时的k值，若不能请说明理由．23．在△ABC中，∠A=90°，AC=AB，点D再射线BA上（不与B，A重合），连接CD，将CD 绕点D顺时针旋转90°得到DE，连接BE．（1）如图1，点D在BA边上．依题意补全图1作DF⊥BA交CB与点F，若AC=6，DF=2，求BE的长（2）如图2，点D在BA边的延长线上，用等式表示线段CB，BD，BE之间的数量关系（直接写出结论）24．如图，在平面直角坐标系中，点B（﹣1，﹣1），A（3，﹣3），抛物线经过A，O，B三点，连接OA，OB，AB，线段AB交y轴于点C．（2）若点P为线段OA上的一个动点（不与O，A重合），直线PC与抛物线交于D，E两点（点D在y轴右侧），连接OD，AD①当△OPC为等腰三角形，求点P的坐标；②求△AOD面积的最大值，并求出此时点D的坐标．25．如图1点M为x轴上的一点，圆M与x轴交于点B，A，与y轴交于点C，D，设C（0，），A（3，0）（1）求点M的坐标（2）如图2所示，点F为弧AC的上的任一点，点E为弧CF上的中点，AF，DE交于点G，求AG的长（3）如图3所示，连BC，AC，做∠ACG的平分线CF交圆M于点E，连接BE，求的值．参考答案与试题解析一．细心选一选1．（3分）将图所示的图案按顺时针方向旋转90°后可以得到的图案是（）A．B．C．D．【解答】解：根据旋转的性质可知，图案按顺时针方向旋转90°，得到的图案是．故选：B．2．（3分）方程x2﹣3x=0的解是（）A．x=3 B．x=0 C．x=1或x=3 D．x=3 或x=0【解答】解：x2﹣3x=0x（x﹣3）=0∴x=0或x﹣3=0，∴x1=0，x2=3．故选：D．3．（3分）设x1，x2是一元二次方程x2+3x﹣4=0的两个根，则x1+x2的值是（）A．3 B．﹣3 C．4 D．﹣4【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2+3x﹣4=0的两个根，∴x1+x2=﹣3，故选：B．4．（3分）如图，在圆O中，圆心角∠BOC=100°，那么∠BAC=（）A．50°B．60°C．70°D．75°【解答】解：∵圆心角∠BOC=100°，∴∠BAC=50°．故选：A．5．（3分）抛物线y=2（x﹣3）2+1的顶点坐标是（）A．（3，1）B．（3，﹣1）C．（﹣3，1）D．（﹣3，﹣1）【解答】解：由y=2（x﹣3）2+1，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（3，1）．故选：A．6．（3分）将抛物线y=（x﹣1）2+3向左平移1个单位，再向右平移3个单位得到的解析式是（）A．y=（x﹣2）2 B．y=（x﹣2）2+6 C．y=x2 D．y=x2+6【解答】解：∵向左平移1个单位，再向上平移3个单位，∴y=（x﹣1+1）2+3+3．故得到的抛物线的函数关系式为：y=x2+6．故选：D．7．（3分）某商品原价200元，连续两次降价a%后售价为148元，下列所列方程正确的是（）A．200（1+a%）2=148 B．200（1﹣a%）2=148 C．200（1﹣2a%）=148 D．200（1﹣a2%）=148【解答】解：依题意得两次降价后的售价为200（1﹣a%）2，∴200（1﹣a%）2=148．故选：B．8．（3分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，如果AB=10，CD=8，那么线段OE的长为（）A．6 B．5 C．4 D．3【解答】解：连接OC，∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，AB=10，CD=8，∴OC=5，CE=4，∴OE===3．故选：D．9．（3分）已知A（﹣1，y1），B（2，y2）是抛物线y=﹣（x+2）2+1上的两点，则y1，y2的大小关系（）A．y1＞y2 B．y1≥y2 C．y1＜y2 D．y1≤y2【解答】解：∵y=﹣（x+2）2+1，∴当x＞﹣2时，y随x的增大而减小，∵A（﹣1，y1），B（2，y2）是抛物线y=﹣（x+2）2+1上的两点，﹣2＜﹣1＜2，∴y1＞y2，故选：A．10．（3分）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列说法不正确的是（）A．b2﹣4ac＞0 B．a＞0 C．c＞0 D．【解答】解：A、正确，∵抛物线与x轴有两个交点，∴△=b2﹣4ac＞0；B、正确，∵抛物线开口向上，∴a＞0；C、正确，∵抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴，∴c＞0；D、错误，∵抛物线的对称轴在x的正半轴上，∴﹣＞0．故选：D．二．耐心填一填11．（3分）已知抛物线y=﹣2（x﹣1）2+3，当x＞1时，y随x的增大而减小．【解答】解：抛物线y=﹣2（x﹣1）2+3的顶点坐标为（1，3），对称轴为直线x=1；当x＞1时，y随x增大而减小．故答案为：＞112．（3分）如图，AB是圆O的直径，点C在圆O上，若∠A=40°，则∠B的度数为50°．【解答】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠B=90°﹣∠A=90°﹣40°=50°，故答案为50°．13．（3分）已知点A（﹣3，b）与点B（a，2）关于原点对称，则a+b=1．【解答】解：平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），所以得到a=3，b=﹣2，故a+b=1．故答案为：1．14．（3分）二次函数y=x2﹣2x﹣3的图象如图所示．当y＜0时，自变量x的取值范围是﹣1＜x＜3．【解答】解：∵二次函数y=x2﹣2x﹣3的图象如图所示．∴图象与x轴交在（﹣1，0），（3，0），∴当y＜0时，即图象在x轴下方的部分，此时x的取值范围是：﹣1＜x＜3，故答案为：﹣1＜x＜3．15．（3分）已知点P（3，2），将OP绕点O逆时针旋转90°到OP′，那么点P′的坐标是（﹣2，3）．【解答】解：如图所示，将OP绕点O逆时针旋转90°到OP′，那么点P′的坐标是（﹣2，3），故答案为：（﹣2，3），16．（3分）一个足球被从地面向上踢出，它距地面的高度h（m）与足球被踢出后经过的时间t（s）之间具有函数关系h=at2+19.6t，已知足球被踢出后经过4s落地，则足球距地面的最大高度是19.6m．【解答】解：由题意得：t=4时，h=0，因此0=16a+19.6×4，解得：a=﹣4.9，∴函数关系为h=﹣4.9t2+19.6t，足球距地面的最大高度是：=19.6（m），故答案为：19.6．三．用心答一答17．解方程（1）x2﹣4x﹣5=0（2）2x（x﹣1）+x﹣1=0．【解答】解：（1）（x﹣5）（x+1）=0，x﹣5=0或x+1=0，所以x1=5，x2=﹣1；（2）（x﹣1）（2x+1）=0，x﹣1=0或2x+1=0，所以x1=1，x2=﹣．18．已知关于x的方程：3x2﹣kx+1=0的一根是x=1，求k的值以及方程的另一个根．【解答】解：设方程的另一根为x=m，∵方程的一个根为x=1，∴m×1=，即m=，∵m+1=，∴+1=，解得k=4，∴k的值为4，方程的另一个根为x=．19．抛物线y=2x2+bx+c经过（﹣3，0），（1，0）两点（1）求抛物线的解析式，并求出其开口方向和对称轴（2）用配方法求出该抛物线的顶点坐标．【解答】解：（1）将点（﹣3，0）、（1，0）代入解析式可得：，解得：，则抛物线解析式为y=2x2+4x﹣6，开口向上，对称轴为直线x==﹣1；（2）∵y=2x2+4x﹣6=2（x2+2x）=2（x2+2x+1﹣1）﹣6=2（x+1）2﹣8，∴抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣8）．20．已知△ABC，点A（﹣3，1），B（﹣1，﹣1），C（0，2）（1）作出△ABC；（2）利用关于原点对称的点的坐标的关系作出与△ABC关于原点对称的△A′B′C′；（3）写出△A′B′C′三个顶点的坐标．【解答】解：（1）如图所示，△ABC即为所求；（2）如图所示，△A′B′C′即为所求；（3）由图可知，点A′（3，﹣1）、B′（1，1）、C′（0，﹣2）．21．如图小张想用总长60m的篱笆围成矩形ABCD场地，其中AD边靠墙，墙体最多能用30m，矩形ABCD的面积S（m2）随矩形边长AB设为x（m）的变化而变化．（1）求S与x之间的函数关系（2）当x为多少m时，矩形的面积是400m2？此时长宽分别是多少m？【解答】解：（1）当AB=x时，BC=60﹣2x，则S=x（60﹣2x）=﹣2x2+60x；（2）根据题意知S=400时，﹣2x2+60x=400，解得：x=10或x=20，∵，∴15≤x＜30，∴x=20，则AB=20米，BC=60﹣40=20米，答：当x为20m时，矩形的面积是400m2，此时长，宽分别是20m、20m．22．已知关于x的方程（k﹣1）x2+2kx+2=0（1）求证：无论k为何值，方程总有实数根（2）设x1，x2是上述方程的两个实数根，记，S的值能为6吗？若能，求出此时的k值，若不能请说明理由．【解答】（1）证明：当k﹣1=0时，则k=1，方程为2x+2=0，解得x=﹣1，方程有实数根；当k﹣1≠0时，则△=（2k）2﹣4（k﹣1）×2=4k2﹣8k+8=4（k﹣1）2+4＞0恒成立，即方程有两个实数根，综上可知，无论k为何值，方程总有实数根；（2）解：∵x1，x2是上述方程的两个实数根，∴x1+x2=﹣，x1x2=，∴=+x1+x2=+x1+x2=﹣，令S=6，即﹣=6，解得k=4，即当k的值为4时，S的值为6．23．在△ABC中，∠A=90°，AC=AB，点D再射线BA上（不与B，A重合），连接CD，将CD 绕点D顺时针旋转90°得到DE，连接BE．（1）如图1，点D在BA边上．依题意补全图1作DF⊥BA交CB与点F，若AC=6，DF=2，求BE的长（2）如图2，点D在BA边的延长线上，用等式表示线段CB，BD，BE之间的数量关系（直接写出结论）【解答】解：（1）补全图形，如图1所示．由题意可知CD=DE，∠CDE=90°．∵DF⊥BA，∴∠FDB=90°．∴∠CDF=∠EDB．∵∠A=90°，AC=BA，∴∠ABC=∠DFB=45°．∴DB=DF．∴△CDF≌△EDB．∴CF=EB．在△ABC和△DFB中，AC=6，DF=2，∴BC=6，BF=2．∴CF=CB﹣BF=4，即BE=4．（2）BD=BE+CB．理由如下：如图2，过D作DF⊥AB交BC的延长线于点F，∵∠BAC=90°，AC=AB，∴∠F=∠ACB=∠ABC=45°，∴DF=DB，由旋转可得，∠BDF=∠EDC=90°，CD=ED，∴∠FDC=∠BDE，∴△DCF≌△DEB，∴CF=BE，又∵等腰Rt△BDF中，BF=BD，BF=BC+CF，∴BD=BE+CB．24．如图，在平面直角坐标系中，点B（﹣1，﹣1），A（3，﹣3），抛物线经过A，O，B三点，连接OA，OB，AB，线段AB交y轴于点C．（1）求点C的坐标；（2）若点P为线段OA上的一个动点（不与O，A重合），直线PC与抛物线交于D，E两点（点D在y轴右侧），连接OD，AD①当△OPC 为等腰三角形，求点P 的坐标；②求△AOD 面积的最大值，并求出此时点D 的坐标．【解答】解：（1）设直线AB 的解析式为y=kx+b ．∴，解得：，∴直线AB 的解析式为y=﹣x ﹣，∴C 点坐标为（0，﹣）．（2）①∵直线OB 过点O （0，0），A （3，﹣3），∴直线OA 的解析式为y=﹣x ．∵△OPC 为等腰三角形，∴OC=OP 或OP=PC 或OC=PC ．设P （x ，﹣x ）（0＜x ＜3），当OC=OP 时，x2+（﹣x ）2=．解得x1=，x2=﹣（舍去），此时P 点坐标为（，﹣）；当OP=PC 时，点P 在线段OC 的中垂线上，此时P 点坐标为（，﹣）；当OC=PC 时，x2+（﹣x +）2=，解得x1=，x2=0（舍去）．此时P 点坐标为P （，﹣）．综上所述，P 点坐标为（，﹣）或（，﹣）或（，﹣）；②作DG ∥y 轴于G ，如图，设D （t ，﹣t2+t ），则G （t ，﹣t ），∴DG=﹣t2+t﹣（﹣t）=﹣t2+t，∴S△AOD=S△ODG+S△ADG=DG•3=﹣t2+t=﹣（t﹣）2+，当t=时，△AOD面积有最大值，最大值为，此时D点坐标为（，﹣）．25．如图1点M为x轴上的一点，圆M与x轴交于点B，A，与y轴交于点C，D，设C（0，），A（3，0）（1）求点M的坐标（2）如图2所示，点F为弧AC的上的任一点，点E为弧CF上的中点，AF，DE交于点G，求AG的长（3）如图3所示，连BC，AC，做∠ACG的平分线CF交圆M于点E，连接BE，求的值．【解答】解：（1）如图1，连接CA、CB、CM、DA、DB，∵x轴⊥y轴，即AB⊥CD，又AB为⊙M直径，∴AB垂直平分C D，∴CO=DO，BC=BD，AC=AD，∵点C坐标为（0，），点A坐标为（3，0），∴CO=DO=，OA=3，设点M坐标为（a，0），则OM=a，∴MC=MA=OA﹣OM=3﹣a，Rt△COM中，CO2+OM2=CM2，可求得a=1，∴点M坐标为（1，0），（2）如图2，连接AC、AD、AQ，∵点M坐标为（1，0），∴OM=1，MB=MA=MC=3﹣1=2，AB=2+2=4，BO=BM﹣OM=2﹣1=1，由勾股定理可求得：BC=BD=2，AC=AD=2．点E为弧CF上的中点，∴=，∴∠1=∠2，又∠1=∠5，∴∠2=∠5，∵AC=AD，∴∠4=∠5+∠6，又∠3=∠4，∴∠3=∠5+∠6，∵∠3=∠2+∠G（三角形外角），∴∠2+∠G=∠5+∠6，∴∠6=∠G，∴AG=AD=2；（2）如图3，过点E作FK⊥AG于点K，连接EA，∵AB为直径，∴∠AEB=∠ACB=90°，∴∠ACG=180°﹣90°=90°，∵CE平分∠ACG．∴∠ACE=∠ECK=∠ACG=45°，∵∠ABE=∠ACE=45°，∠AEB=90°，∴△AEB为等腰Rt△，∴AE=BE===2，∵∠ECK=45°，∠EKC=90°，∴△EKC为等腰Rt△，设CE=m，则CK=KE=m，BK=BC+CK=2+m，Rt△BKE中，BK2+KE2=BE2，即（2+m）2+（m）2=（2）2，解得：m=﹣，∴==．。