石家庄市2019-2020学年第二学期期末检测高一数学(含答案)
,
2
单调递增，
又因为
h(x1) h(x2 )
g(t1) g(t2 )
g max
gmin
a 1
，
2
即 gmax
gmin
g
2
g
1 2
3a
3 2
a 1
，
2
解得 a 4 ， 5
所以 a 4 ， ………………………………………………………10 分
5
当 1 a 4 时， 1 1 a 1，
………………………………………………4 分
(2) a 、b 、 c 成等差数列 2b=a+c …………………………6 分
cosB=
=
−
…………………………7 分
即
，3 =3ac，
…………………9 分
S= acsinB=
= ………………………………………10 分
即
……………………………………………12 分
当 0 a 1时，方程有两个解，
t1
2 2
4a
1
a x1 log2 1
a
，
t2
2 2
4a
1
a x2 log2 1
a
， ……………………………5 分
当 a 1 时，方程仅有一个根，
t 2 4a 1 2
a x log2 1
a
；………………………………6 分
（2） h(x) 2x f (x) ，代入 f (x) ，
高一数学答案
1.A 2.C 3.A 4.D 5.B 6.D 7.B 8.C 9.C 10.A 11.A 12.B
13.
5 2
14. 0 k 8
15.
1, n 1
3
4n2
,
n
2且n
N
16. *
7
2
10
17、(1)l1 l2
m 2 0 …………………………………………………2 分
m 2 ……………………………………………………4 分 (2)l1 l2
试卷第 5页，总 5页
本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。 答案第 1页，总 1页
2 m 0 ,即 m 2 …………………………………………6 分
4n
5 ………………………………………………8 分
22 22
n 4 2 10 或 n 4 2 10 ……………………………10 分
18、(1)S= actanB= acsinB ………………………………………2 分
cosB=
19.解：(1) =2（
）=10
=5 ………………………………………………2 分
又
=4 且 d>0
=1, =4…………………………………………………3 分
3d= - =3 d=1 …………………………………………4 分
= +(n-1)d=1+n-1=n(n ) ……………………………6 分
试卷第 1页，总 5页
2
52
2
所以 1 a 4 ，
2
5
综上
1 2
a
4 5
.
……………………………………………………12 分
23、解（1） x2 y2 4x 4y 3 0
x2 4x 4 y2 4y 4 5
试卷第 4页，总 5页
x22 y22 5……………………………………………3 分
C 2 , 2 , r 5 ……………………………………………5 分
代入 f (x) 有 a 22x 2 2x 1 a (a 1) 4x ，
整理得 22x 2 2x 1 a 0 ， …………………………………………1 分
令 t 2x ， t 0, ，
即 t2 2t 1 a 0 ， 4 41 a 4a ，
当 a 0 时，方程无解，
当 a 0 时，方程有一个解，解得 t 1 x 0 ， …………………………3 分
则VC PAB
VP ABC1 3源自1 2AB BC PD
1 211 6
1 3
………………8
分
因为 AB PD, AB DM , 且 PD DM D
所以 AB 平面 PDM ，所以 AB PM .
在 RtPDM 中 PM 2 PD2 DM 2 2, 即 PM 2 . …………………9 分
sin 75 sin(30 45) sin 30cos 45 cos 30sin 45 2 6 ……10 分
4
AB AG BG AG 1.5 4 2 2 6 3 7 4 3 (米)………12 分
422
21、（1）如图，取 AB 中点为 M ，连接 PM , DM , BD
因为 AB 2CD, AM MB, DC BC 1,CD AB, BCD 90
所以四边形 BCDM 为正方形.…………………1 分
所以 DM BC AM MB 1,
所以 AD 2 , BD 2 , AB 2 . 所以 AB2 BD2 AD2
所以 AD BD ………………………………………………………3 分
（2） PC 5 22 0 22 13 …………………………7 分
PC r 13 5 ……………………………………………8 分 PC r 13 5 ………………………………………………9 分 PC r PQ PC r PC 13 5 , 13 5 ………………………………10 分
a 1
，
2
试卷第 3页，总 5页
即 gmax
gmin
g
2
g
1 2
3a
3 2
a 1
，
2
解得 a 4 ，舍去， …………………………………………………8 分
5
②当
1 2
a
1时，函数
g (t )
在
t
1 a 处取最小值， a
当 4 a 1时， 1 a 1 ，
5
a2
即函数
g
(t
)
在区间
1 2
试卷第 2页，总 5页
所以 S PAB
1 AB PM 2
1 2 2
2
2.
所以VC PAB
1 3
S
PAB
h
2 h .……………………………………11 分
3
所以 1 2 h ，所以 h 2 .
33
2
所以点 C 到平面 PAB 的距离为 2 .……………………………………12 分
2
22、（1）由题知 f (x) (a 1) 4x ，
2
52 a
即函数
h(x)
在区间
1 2
,
1a a 单调递减，
在区间
1
a
,
2
单调递增，
a
又因为
g
2
g
1 2
3a
3 2
0
g
2
g
1 2
，
即
g max
gmin
g
2
g
1 a a
3 2
a
1
2
aa22 ，
因为当 1 a 4 时， 3 a 1 2 a a 2 2 a 1 恒成立，
因为 PD 平面 ABCD ， AD 平面 ABCD ，所以 PD AD . ……………4 分
又因为 BD PD D
所以 AD 平面 PDB ， ………………………………………………5 分
而 PB 平面 PDB ，所以 AD PB ……………………………………6 分
（2）连接 AC ，设点 C 到平面 PAB 的距离为 h ，
(2) bn =
=
……………………………………………9 分
=1- + +…+
= ………………………………12 分
20.解：
ACE
中，由正弦定理得
AE sin 45
sin
CE
75
45
…………3
分
AE
4sin 45 sin 30
4 2 2
1
4
2 (米)
2
………………………………5 分
RtAEG 中， AG AE sin 75 4 2 sin 75 …………………………7 分
有 h(x) 2x a 22x 2 2x 1 a a 2x 2 1 a 2x ， ………………7 分
令
t
2x
，
t
1 2
,
2
，设
g (t )
at
2
1
t
a
，
①当
a
1
时，易知函数
g
(t
)
在区间
1 2
,
2
单调递增，
又因为
h(x1) h(x2 )
g(t1) g(t2 )
g max
gmin
石家庄市2019-2020学年高一下学期期末考试数学试题含解析
2019-2020学年河北省石家庄市高一（下)期末数学试卷一、选择题：（共12小题，每小题5分，共60分,在题目给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知直线l 经过()()1,1,2,3A B 两点,则l 的斜率为（） A.2B 。
23C. 43D 。
12【答案】A 【解析】 【分析】直接代入两点的斜率公式2121y y k x x -=-，计算即可得出答案．【详解】31221k -==- 故选A【点睛】本题考查两点的斜率公式,属于基础题． 2。
不等式31x x ->-解集为（ ）A 。
{x ｜﹣3＜x ＜1} B. {x |1＜x ＜3}C. ｛x |x ＜1或x ＞3｝ D 。
{x |x ＜﹣3或x ＞1}【答案】C 【解析】 【分析】把不等式301x x ->-转化为3010x x ->⎧⎨->⎩或3010x x -<⎧⎨-<⎩，即可求解。
【详解】由题意，不等式301x x ->-等价于3010x x ->⎧⎨->⎩或3010x x -<⎧⎨-<⎩，解得3x >或1x <，即不等式301x x ->-的解集为{|3x x 或1}x <。
故选：C 。
【点睛】本题主要考查了分式不等式的求解，其中解答中熟记分式不等式的解法是解答的关键，着重考查运算与求解能力，属于基础题。
3。
如果x ＞0，y ＞0，且111x y +=，则xy 有（ )A. 最小值4B. 最大值4 C 。
最大值14D 。
最小值14【答案】A 【解析】 【分析】利用基本不等式即可求解.【详解】x ＞0，y ＞0，且111x y +=，又11x y+≥1≤，114xy ≤，即4xy ≥，当2x y ==时取等号， 则xy 有最小值4, 故选：A【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，属于基础题。
4. 已知0a b <<，则下列不等式成立的是（ ） A 。
河北省石家庄市2019_2020学年高一数学上学期期末考试试题(含解析)
河北省石家庄市2019-2020学年高一数学上学期期末考试试题（含解析）（时间120分钟，满分150分）注意事项：本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目写在答题卡上.第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.设集合{2,4,6,8}A =，{|25}B x x =≤≤，则A B ⋂=（ ） A. {2,4} B. {4,6}C. {6,8}D. {2,8}【答案】A 【解析】 【分析】由交集运算，即可求得.【详解】由{2,4,6,8}A =，{|25}B x x =≤≤，可得：{}2,4A B ⋂=，故选：A.【点睛】本题考查交集的运算，属基础题. 2.下列函数中，其定义域和值域分别与函数lg 10xy =的定义域和值域相同的是（ ）A. y x =B.2log y x = C. 3xy =D. y =【答案】D 【解析】 【分析】 先求得lg 10xy =的定义域和值域，再逐项求解.【详解】函数lg 10xy =的定义域为()0,+∞，值域也为()0,+∞；对A ：定义域和值域均为R ，故舍去； 对B ：定义域为()0,+∞，值域为R ，故舍去； 对C ：定义域为R ，值域为()0,+∞，故舍去； 对D ：定义域为()0,+∞，值域为()0,+∞； 故选：D.【点睛】本题考查指数函数、对数函数、指数型函数的定义域值域的求解. 3.向量1e ，2e ，a ，b 在正方形网格中的位置如图所示，则a b -（ ）A. 1242e e --B. 1224e e --C. 123e e -D. 123e e -【答案】C 【解析】 【分析】由向量的减法法则，可求得a b -的有向线段，再在1e ，2e 的方向上进行分解即可. 【详解】根据减法运算法则，求得a b -，如下图：在1e ，2e 的方向上进行分解，容易知：123a b e e -=- 故选：C.【点睛】本题考查向量的减法法则，平面向量基本定理，属基础题. 4.3cos 45πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 2α=（ ） A.15B.725C. 15-D. 725-【答案】B 【解析】 【分析】由4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭凑出角度2α，再利用倍角公式求解即可. 【详解】()sin 2sin 242ππαα⎡⎤⎛⎫=+-⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=cos24πα⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=212cos 4πα⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=18125-=725故选：B.【点睛】本题考查给值求值，以及倍角公式的应用；问题的关键是凑角和题型的识别. 5.已知点()()1,3,4,1,A B -则与AB 同方向的单位向量为( ) A. 3455⎛⎫- ⎪⎝⎭， B. 4355⎛⎫- ⎪⎝⎭，C. 3455⎛⎫- ⎪⎝⎭，D.4355⎛⎫- ⎪⎝⎭， 【答案】A 【解析】【详解】试题分析：(41,13)(3,4)AB =---=-,所以与AB 同方向的单位向量为134(3,4)(,)555ABe AB ==-=-，故选A.考点：向量运算及相关概念. 【此处有视频，请去附件查看】6.函数()20.5()log 3fx x =-的单调递增区间为（ ） A. (0,)+∞B. (,0)-∞C. )+∞D.(,-∞【答案】D 【解析】 【分析】根据复合函数单调性判定原则(同增异减)，进行求解；同时要注意函数定义域.【详解】由题可知，函数()20.5log 3yx =-的定义域为：230x ->，解得(),x ∈-∞⋃+∞.令23y x =-，显然该函数在(,-∞单调递减；在)+∞单调递增，而0.5log y x =为减函数，故()20.5log 3y x =-的单调增区间为：(,-∞.故选：D.【点睛】本题考查复合函数的单调性，需要特别注意定义域的限制，否则容易出错.7.已知()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x ≥，()2xf x m =+，则(2)f -=（ ）A. -3B. 54-C.54D. 3【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性得到00f =（） ，求出m 的值，从而求出2f （） 的值，即可得到2f -（）的值．【详解】因为f(x)为R 上的奇函数，所以f(0)＝0，即f(0)＝20＋m ＝0，解得m ＝－1，则f(－2)＝－f(2)＝－(22－1)＝－3.【点睛】本题考查了函数的奇偶性问题，考查函数求值问题，是一道中档题． 8.已知ln x π=，21log 3y =，12z e -=则（ ） A. x y z << B. y z x << C. z y x <<D. z x y <<【答案】B 【解析】 【分析】分别判断,,x y z 与1和0之间的大小关系，即可求得. 【详解】1x ln π=>；21log 03y =<；()120,1z e -=∈ 故x z y >>. 故选：B.【点睛】本题考查指数式和对数式大小的比较，注意与0和1为基准进行判断. 9.定义在R 上的奇函数()f x ，满足(2)()f x f x +=-，当01x <≤时，()1f x x ，则()f π=（ ）A. 3π-B. 3π-C. 4π-D. 4π-【答案】A 【解析】 【分析】由(2)()f x f x +=-可得函数的周期，再利用函数周期性计算函数值. 【详解】由(2)()f x f x +=-可得：函数的周期为4； 故()()()44ff f πππ=-=--因为(]40,1π-∈，故()4413f πππ-=--=- 代入得：()3?f ππ=-. 故选：A.【点睛】本题考查利用函数周期性、奇偶性求函数值，属综合基础题.10.在ABC 中，E 、F 分别为BC 、AB 边上的中点，AE 与CF 相交于点G ，设AB a =，AC b =，且BG a b λμ=+，则λμ+的值为（ ）A. 13- B.13C.23D. 1【答案】A 【解析】 【分析】由题可知，G 点为重心，故而利用向量运算法则，可求得结果. 【详解】连接BG ，延长交AC 于O ，作图如下：容易知：G 点为重心，故而：23BG BO =，而()12BO BA BC =+，又： BA a =-，BC b a =-，代入上式得：()21213233BG a b a a b =⨯-+-=-+故21,33λμ=-=，则13λμ+=-.故选：A.【点睛】本题考查向量的基本运算在三角形中的应用，属基础题.11.已知()cos2sin f x x a x =-在区间,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭上是增函数，则实数a 的取值范围为（ ） A. [2,)-+∞B. (2,)-+∞C. (,4)-∞-D.(,4]-∞-【答案】D 【解析】 【分析】用倍角公式将函数经过换元后转化为二次函数的单调性问题，进而求解. 【详解】()cos2sin f x x a x =- =22sin 1x asinx --+， 令sinx t =，由,62x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭，可得1,12t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则： ()cos2sin f x x a x =-在区间,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭上是增函数等价于221y t at =--+在1,12⎛⎫⎪⎝⎭是增函数，只需对称轴：14a-≥，解得4a ≤-. 故选：D.【点睛】本题考查倍角公式、换元法、二次函数的单调性问题，属综合基础题. 12.定义在R 上的函数2log (2),0()(1)(2),0x x f x f x f x x +≤⎧=⎨--->⎩，则函数(10)f =（ ）A. 2B. -2C. -1D. 1【答案】C 【解析】 【分析】将10x =代入分段函数，找到函数的周期性，多次迭代即可求解. 【详解】由题可知：()10,f -= ()01,f =()()()1011f f f =--= ()()()2100,f f f =-=()()()3211f f f =-=-， ()()()4321f f f =-=-， ()()()5430f f f =-=如此类推，可知()f x 是以周期为6重复出现，故而()()1041f f ==-，故选：C.【点睛】本题考查分段函数值的求解，涉及到函数的周期性，属综合基础题.第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13.已知向量()1,3a =-，(),6b m =，若a //b ，则m =________ 【答案】-2 【解析】 【分析】由a //b 的坐标计算，即可求得m .【详解】因为a //b ，故36m -=，解得2m =- 故答案为：-2.【点睛】本题考查向量平行的坐标表示，属基础题.14.若函数2()2f x x ax =+-在区间[1,2]上有零点，则实数a 的取值范围是________. 【答案】[1,1]- 【解析】 【分析】将函数有零点问题，转化为函数图像有交点的问题，数形结合求解. 【详解】函数()22f x x ax =+-在区间[1,2]有根，等价于2a x x=-+在区间[1,2]有根， 等价于函数y a =与函数2y x x=-+在[1,2]有交点，故作函数2y x x=-+的图像可得：由图可知：[]1,1a ∈-， 故答案为：[-1,1].【点睛】本题考查由函数存在零点求参数的范围；注意本题中的转化以及数形结合. 15.函数()()sin f x A x ωϕ=+（,,A ωϕ是常数，0,0A ω>>）的部分图象如图所示，则()0f = .6【解析】因为由图象可知振幅A 2，4T ＝712π－3π＝4π，所以周期T ＝π＝2πω，解得ω＝2，将7,212π⎛⎝代入，解得一个符合的φ＝3π，从而y2sin 23x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭，∴f(0)＝62【此处有视频，请去附件查看】16.已知函数()ln(f x x =，()()1g x f x =-，下列命题：①()f x 的定义域为(,)-∞+∞； ②()f x 是奇函数；③()f x 在(,)-∞+∞上单调递增；④若实数m ，n 满足()(1)0f m f n +-=，则1m n +=；⑤设函数()g x 在[2,2]-上的最大值为M ，最小值为m ，则4M m +=- 其中真命题的序号是________（写出所有真命题的序号） 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】对函数的性质进行逐一分析即可.【详解】对函数(y ln x =。
2019-2020学年河北省石家庄市高一下学期期末数学试题(解析版)
【答案】C
【解析】把不等式 转化为 或 ，即可求解.
【详解】
由题意，不等式 等价于 或 ，
解得 或 ，即不等式 的解集为 或 .
故选：C.
【点睛】
本题主要考查了分式不等式的求解，其中解答中熟记分式不等式的解法是解答的关键，着重考查运算与求解能力，属于基础题.
【点睛】
(1)本题主要考查不等式的性质和实数比较大小，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力
(2)比较实数大小，常用包括比差和比商两种方法.比差的一般步骤是：作差→变形（配方、因式分解、通分等）→与零比→下结论；比商的一般步骤是：作商→变形（配方、因式分解、通分等）→与1比→下结论.如果两个数都是正数，一般用比商，其它一般用比差.
【答案】B
【解析】利用等差数列的前 项和公式得出这个有限连续正整数数列的首项与项数的关系，然后分析其所有取值可能性.
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】画出几何体的图形，把A、B、C、D扩展为三棱柱，上下底面中心连线的中点与A的距离为球的半径，求出半径即可求解球的表面积．
【详解】
由题意画出几何体的图形如图，
把A、B、C、D扩展为三棱柱，上下底面中心连线的中点与A的距离
为球的半径，
， 是正三角形，所以 ．
所求球的表面积为：
故选C
【点睛】
本题考查面面平行的判定：当两条相交直线与另一平面平行时，则过这两条交线的平面与另一平面平行
9．直线y＝4x﹣5关于点P（2，1）对称的直线方程是（）
A．y＝4x+5B．y＝4x﹣5C．y＝4x﹣9D．y＝4x+9
【答案】C
【解析】设直线 上的点 关于点 的对称点的坐标为 ，求出 ， ，再代入直线 中即可得到对称直线的方程.
河北省石家庄市2019-2020学年高一下学期期末考试数学试卷
河北省石家庄市2019-2020学年高一下学期期末考试数学试卷一、选择题1.已知直线l 经过()()1,1,2,3A B 两点，则l 的斜率为（ ）A ．2B ．23C ．43D ．122.不等式301x x ->-的解集为（ ） A ．1{|}3x x <<- B ．3|}1{x x <<C ．{1|x x <或3}x >D ．{3|x x <-或1}x >3.如果00x y >>，，且111x y +=，则xy 有（ ） A ．最小值4 B ．最大值4 C ．最大值14 D ．最小值14 4.已知0a b <<，则下列不等式成立的是（ ）A ．22a b <B ．2a ab <C ．11a b >D ．1b a< 5.正方体1111ABCD A B C D -中，异面直线1AA 与1BC 所成的角为( )A ．60°B ．45°C ．30°D ．90°6.已知数列{}n a 为等比数列，若2q =，41S =，则8S =（ ）A ．115-B ．255-C ．1D ．177.已知点()1,3A ，动点(),P x y 的坐标满足02x y xx y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，则AP 的最大值为（ ） A．BCD8.平面α与平面β平行的条件可以是（ ）A ．α内有无数条直线都与β平行B ．直线////a a αβ，，且直线a 不在a 内，也不在β内C ．a 内的任何直线都与β平行D ．直线a 在a 内，直线b 在β内，且////a b βα，9.直线45y x =-关于点()2,1P 对称的直线方程是（ ）A ．45y x =+B ．45y x =-C ．49y x =-D ．49y x =+ 10.一个几何体的三视图如图所示，已知这个几何体的体积为h 的值为（ ）ABC．D．11.已知A B C D ,,,是同一球面上的四个点，其中ABC △是正三角形，AD ⊥平面ABC ，212AD AB ==，则该球的表面积为（ ）A. B.96π C.192π D.48π12.如果一个数列由有限个连续的正整数按从小到大的顺序组成（数列的项数大于2），且所有项数之和为N ，那么称该数列为“N 型标准数列”，例如，数列3,4,5,6,7为“25型标准数列”，则“5336型标准数列”的个数为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5 二、填空题13.水平放置的ABC △的直观图如图所示，已知34,2AC B C '''==，则原图中AB 边上中线的实际长度为_________.14.不等式220x kx k -+≥对于任意的实数x 恒成立，则实数k 的取值范围是__________. 15.数列{}n a 的前n 项和为n S ，若()11,1,31n n a a S n +=≥=则n a =__________.16.已知1,1,8a b ab >>=，则22210g 10g 10g (4)a b a ⋅的最大值为_____________. 三、解答题17.已知直线12::2020l x y l mx y n ++=++=；.（1）若12l l ⊥，求m 的值；（2）若12//l l ，求m n ，的值.18.ABC △的内角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，且ABC △的面积1tan 4S ac B =⋅. （1）求B ；（2）若a b c ，，成等差数列,ABC △b .19.已知数列{}n a 为等差数列，公差0d >，且144410a a S ==，.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令11n n n b a a +⋅=，求数列{}n b 的前n 项和n T . 20.已知AB 是底部B 不可到达的建筑物，A 是建筑物的最高点，为测量建筑物AB 的高度，先把高度为1.5米的测角仪放置在CD 位置，测得A 的仰角为45︒，再把测角仪放置在EF 位置，测得A 的仰角为75︒，已知4DF =米，D F B ，，在同一水平线上，求建筑物AB 的高度.21.如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，1PD DC BC ===，//2AB DC AB CD =，，90BCD ∠=︒.（1）求证：PB AD ⊥；（2）求点C 到平面PAB 的距离.22.已知2()2221x x f x a a =⋅-⋅+-，x ∈R ，a R ∈.（1）当1a =时，求函数()f x 的单调递减区间；（2）设()2()x h x f x -=，12a ≥时，对任意1x ，2[1,1]x ∈-总有121()()2a h x h x +-≤成立，求a 的取值范围.23.已知点()5,0P 和圆22:4430C x y x y +--+=.（1）写出圆C 的标准方程，并指出圆心C 的坐标和半径；（2）设O 为C 上的点，求PQ 的取值范围.参考答案1.答案：A解析：2.答案：C解析：3.答案：A解析：4.答案：D解析：5.答案：B解析：6.答案：D解析：7.答案：B解析：8.答案：C解析：9.答案：C解析：10.答案：A解析：11.答案：C解析：由题意画出几何体，如图所示观察图形可知三棱锥D ABC -的外接球即为所对应直三棱柱的外接球，把A B C D ,,,扩展为三棱柱，上、下底面所对应外接圆的圆心分别为F E ,，则EF 的中点为外接球的球心O ，球心O 与A 的距离为球的半径212AD AB ==，6AB =，ABC △是正三角形，设ABC △的外接圆的半径为r ，则ABC △的外接圆直径为62πsin 3r ==在直角OAE △中，62AD OE ==，AE r ==D ABC -外接球的半径为R ，则OA R =。
2019-2020学年石家庄市新高考高一数学下学期期末学业质量监测试题
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．与直线23y x =-+平行，且与直线34y x =+交于x 轴上的同一点的直线方程是（） A ．823yx =--B ．142y x =+ C ．1823y x =- D ．24y x =-+2．若实数,x y 满足221x y xy ++=，则x y +的最大值是（） A ．6B ．233C ．4D ．233．已知12F F ，是椭圆与双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且12PF PF >，线段1PF 的垂直平分线过2F ，若椭圆的离心率为1e ，双曲线的离心率为2e ，则21e 2e 2+的最小值为（） A ．6B ．3C ．6D ．34．连续两次抛掷一枚质地均匀的硬币，出现正面向上与反面向上各一次的概率是（ ） A ．14B ．13C ．12D ．235．要得到函数sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需将函数sin 2y x =的图象（ ） A ．向右平移6π个单位 B ．向右平移3π个单位 C ．向左平移3π个单位 D ．向左平移6π个单位 6．在△ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,且sin :sin :sin 3:5:7,A B C =则最大角为（ ） A ．56π B ．6π C ．23π D ．3π 7．若1l 、2l 为异面直线，直线31//l l ，则3l 与2l 的位置关系是（ ） A ．相交 B ．异面C ．平行D ．异面或相交8．如图，在ABC 中，60,23,3C BC AC ︒===，点D 在边BC 上，且27sin 7BAD ∠=，则CD 等于（ ）A 3B 3C 23D 439．为了得到函数2sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像，可以将函数2sin 2y x =的图像（ ） A ．向右平移3π个长度单位 B ．向左平移3π个长度单位 C ．向右平移6π个长度单位 D ．向左平移6π个长度单位 10．已知b 的模为1，且b 在a 方向上的投影为32，则a 与b 的夹角为（ ） A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°11．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知3215109S a a a =+=，，则1a = A ．19B ．19-C ．13D ．13-12．将函数()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像向右平衡6π个单位长度，再把图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得到函数()g x 的图象，则下列说法正确的是（ ） A ．函数()g x 的最大值为31+ B ．函数()g x 的最小正周期为2π C ．函数()g x 的图象关于直线3x π=-对称 D ．函数()g x 在区间2[,]3ππ上单调递增 二、填空题：本题共4小题 13．已知,αβ都是锐角，45sin ,cos()513ααβ=+=，则sin β=_____ 14． “1423a a a a +=+”是“数列1234,,,a a a a 依次成等差数列”的______条件（填“充要”，“充分非必要”，“必要非充分”，“既不充分也不必要”）.15．如图，曲线2(0)y x y =≥上的点1P 与x 轴的正半轴上的点i Q 及原点O 构成一系列正三角形，11OPQ △，122Q P Q △，1n n n Q P Q -，△设正三角形1n n n Q P Q -的边长为,*n a n N ∈（记0Q 为O ），(),0n n Q S .数列{}n a 的通项公式n a =______.16．在直角坐标系xOy 中，已知任意角θ以坐标原点O 为顶点，以x 轴的非负半轴为始边，若其终边经过点()00,P x y ，且(0)OP r r =>，定义： 00cos y x si rθ-=，称“sicos θ”为“θ的正余弦函数”，若cos 0si θ=，则sin 23πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭_________ ． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
河北省石家庄市第二中学2019-2020学年高一下学期期末考试数学试题 Word版含解析
2019～2020学年第二学期集团联考高一数学考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.3.本卷命题范围：解三角形，数列，不等式，立体几何与空间向量、直线和圆、椭圆.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.等差数列{}n a 中，若31a =-，711a =，则公差d =（ ）A.52B. 52-C. 3D. －3【答案】C 【解析】 【分析】由等差数列的通项公式直接得出结论． 【详解】因为31a =-，711a =，所以73373a a d -==-. 故选：C ．【点睛】本题考查等差数列的通项公式的应用．利用等差数列的通项公式可得n ma a d n m-=-．()n m m a a n m a =+-．2.下列说法正确的是（ ）A. 有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱B. 过空间内不同的三点，有且只有一个平面C. 棱锥的所有侧面都是三角形D. 用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台 【答案】C 【解析】 【分析】根据棱柱、棱锥、棱台的概念分别判断ACD ，根据平面的基本性质判断B ．【详解】如下图，两个三棱柱合在一起，仍然满足有两个面平行，其余各面都是四边形，但它不是棱柱，A 错；当空间三点共线时，过这三点有无数个平面，B 错； 根据棱锥的定义，C 正确；用一个与底面平行的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体才叫棱台，不是任意平面都能截出棱台的，D 错． 故选：C ．【点睛】本题考查棱柱、棱锥、棱台的概念，考查平面的基本性质，属于基础题． 3.如果0,0a b <>,那么下列不等式中正确的是( ) A.11a b< a b -< C. 22a b <D. a b >【答案】A 【解析】 【分析】根据已知条件分别对A 、B 、C 、D ，四个选项利用特殊值代入进行求解． 【详解】A 、如果a ＜0，b ＞0，那么1100a b ＜，＞，∴11a b＜，故A 正确； B 、取a ＝﹣2，b ＝1a b -＞B 错误；C 、取a ＝﹣2，b ＝1，可得a 2＞b 2，故C 错误；D 、取a 12=-，b ＝1，可得|a |＜|b |，故D 错误； 故选A ．【点睛】此题考查不等关系与不等式，利用特殊值法进行求解更加简便，此题是一道基础题． 4.在ABC ∆中，60A =︒，75B =︒，10BC =，则AB = A. B. C. D.3【答案】D 【解析】 【分析】 根据三角形内角和定理可知45C =︒，再由正弦定理即可求出AB . 【详解】由内角和定理知180(6075)45C =︒-︒+︒=︒，所以sin sin AB BCC A=， 即sin 10sin 45sin sin 603BC C AB A ⨯︒===︒， 故选D.【点睛】本题主要考查了正弦定理，属于中档题. 5.不等式112x ≥-的解集是（ ） A []2,3B. (]2,3C. ()[),23,-∞+∞D.(][),23,-∞⋃+∞【答案】B 【解析】 【分析】移项通分将分式不等式转化为一元二次不等式进行求解，注意分母不为零.【详解】()()1131100320222x x x x x x -≥⇒-≥⇒≤⇒--≤---且2x ≠， 解得23x <≤，所以不等式112x ≥-的解集是(]2,3. 故选：B【点睛】本题考查分式不等式的求法，属于基础题.6.若焦点在x 轴上的椭圆 22116x y m +=+m =（ ） A. 31 B. 28 C. 25 D. 23【答案】D 【解析】 【分析】根据椭圆定义，用m 表示出2a 和2c ，再根据离心率求得m 的值． 【详解】焦点在x 轴上，所以221,6a m b =+= 所以2165c m m =+-=-离心率e =，所以2225314c m e a m -===+解方程得m=23 所以选D【点睛】本题考查了椭圆定义及离心率，属于基础题．7.过点()2,1P -的直线与圆()()22:115C x y ++-=相切，则切线长为（ ）C. 【答案】C 【解析】 【分析】求出点P 到圆心的距离，利用勾股定理即可求得切线长.【详解】因为点()2,1P -到圆C 的圆心()1,1-=所以切==故选：C【点睛】本题考查直线与圆的位置关系、两点间的距离公式，属于基础题. 8.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且55S =，1030S =，则15S =（ ）. A. 90B. 125C. 155D. 180【答案】C 【解析】 【分析】由等比数列的性质，232,,n n n n n S S S S S --成等比数列，即可求得1510S S -，再得出答案. 【详解】因为等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，根据性质所以51051510,,S S S S S --成等比数列，因为5105,30S S ==，所以105151025,255125S S S S -=-=⨯=，故1512530155.S =+= 故选C【点睛】本题考查了等比数列的性质，若等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则232,,n n n n n S S S S S --也成等比数列，这是解题的关键，属于较为基础题.9.在正方体1111ABCD A B C D -中，M N ，分别为AD ，11C D 的中点，O 为侧面11BCC B 的中心，则异面直线MN 与1OD 所成角的余弦值为( ) A.16B.14C. 16-D. 14-【答案】A 【解析】 【分析】以D 为坐标原点，分别以1,,DA DC DD 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，求出1MN OD ，的坐标，由数量积求夹角公式求解．【详解】如图，以D 为坐标原点，分别以1,,DA DC DD 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系． 设正方体的棱长为2，则()()()()1100,012,121,002M N O D ，，，，，，，，， ∴()()11,1,2,1,2,1MN OD =-=--． 则1111cos ,66MN OD MN OD MN OD ⋅===． ∴异面直线MN 与1OD 所成角的余弦值为16,故选A ．【点睛】本题考查利用空间向量求解异面直线所成角，关键是正确标出所用点的坐标，是中档题．10.已知直线l 过点()2,3P ，且与x ，y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点.若AOB 的面积为12（O 为坐标原点），则直线l 的方程为（ ） A. 32120x y +-=B. 32240x y +-=C. 23130x y +-=D.23120x y +-=【答案】A 【解析】 【分析】 设直线l 的方程为()10,0x ya b a b+=>>，同三角形面积和直线所过点P 的坐标列出,a b 的方程组，解之可得,a b ，从而得直线方程，化为一般式即可．【详解】设直线l 的方程为()10,0x y a b a b +=>>，则AOB 的面积为1122ab =①. 因为直线l 过点()2,3P ，所以231a b+=②. 联立①②，解得4a =，6b =， 故直线l 的方程为146x y+=，即32120x y +-=. 故选：A ．【点睛】本题考查求直线方程，根据已知条件设直线方程的截距式，求解较方便．11.在直角坐标系xOy中，F是椭圆C：22221(0)x ya ba b+=>>的左焦点，,A B分别为左、右顶点，过点F作x轴的垂线交椭圆C于P，Q两点，连接PB交y轴于点E，连接AE交PQ 于点M，若M是线段PF的中点，则椭圆C的离心率为( )A. 2B.12C.13D.14【答案】C【解析】【分析】由题意结合几何性质找到a,c的关系即可确定椭圆的离心率．【详解】如图，连接BQ，则由椭圆的对称性易得∠PBF=∠QBF，∠EAB=∠EBA，所以∠EAB=∠QBF，所以ME//BQ.因为△PME∽△PQB，所以PE PM EB MQ=，因为△PBF∽△EBO，所以OF EPOB EB=，从而有PM OFMQ OB=，又因为M是线段PF的中点，所以13OF PMcea OB MQ====.本题选择C选项.【点睛】椭圆离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a，c，代入公式cea =；②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝a2－c2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)．12.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且343n n S a n =+.若函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且()52f x f x ⎛⎫-=⎪⎝⎭，()32f =，则()()45f a f a +=（ ） A. 2- B. 0C. 2D. 4【答案】A 【解析】 【分析】根据n S 与n a 的关系11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩可得到递推式143n n a a -=-，再根据构造法即可求出n a 的表达式，从而得出45,a a 的值，然后由函数的奇偶性和周期性，即可求出()()45f a f a +的值．【详解】因为343n n S a n =+，所以13a =-，当2n ≥时，113433n n S a n --=+-， 作差变形可得，143n n a a -=-，由于13a =-，所以0n a <，故()1141n n a a --=- 即1141n n a a --=-，所以数列{}1n a -为等比数列．因为114a -=-，所以14n n a -=-，即41n n a =-+，则4441255a =-+=-，55411023a =-+=-，()()()()452551023f a f a f f +=-+-.因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()00f =，()5522f x f x f x ⎛⎫⎛⎫-=--=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()()5f x f x =-，即()f x 是以5为周期的周期函数， 则()()()()()25510230332f f f f f -+-=+-=-=-. 故选：A ．【点睛】本题主要考查n S 与n a 的关系的应用，构造法求数列的通项公式，函数性质奇偶性和周期性的应用，意在考查学生的转化能力和数学运算能力，属于中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知0a >，则342a a+的最小值为__________．【答案】【解析】 【分析】根据均值不等式即可求出342a a+的最小值. 【详解】因为0a > 所以302a>，40a > 根据均值不等式可得：342a a +≥=当且仅当342a a =，即4a =时等号成立. 【点睛】本题主要考查了均值不等式，属于中档题.14.若球的表面积为12π，球心到该球的一个截面圆的距离为1，则这个截面圆的面积是________. 【答案】2π 【解析】 【分析】作出图形，由球的表面积，可求出球的半径，结合△PAO 为直角三角形，可得截面圆的半径r =.【详解】如下图，设球心为O ，球的半径为R ，则24π12πR =，解得R =， 设截面圆的半径为r ，圆心为P ，球与截面圆的一个交点为A ，则1OP =，AP r =，OA R =，又△PAO 为直角三角形，所以r ===，所以截面圆的面积为2π2πr =.故答案为：2π.【点睛】本题考查球的截面，利用构造直角三角形的方法求解是解题的关键，考查学生的计算求解能力，属于基础题.15.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若2c b =，cos 2B C =，3a =ABC S ∆=____.【答案】22【解析】 【分析】先根据余弦定理得222b c a +=，再根据直角三角形求结果.【详解】因为cos 2cos B C =，所以)222222222a b c a c b ac ab+-+-=，结合2c b = 化简得3a b =，从而有222b c a +=，即在ABC ∆为直角三角形，将2c b =，3a =222b c a +=，得1b =，于是2c =122ABC S bc ∆==【点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.16.在菱形ABCD 中，60ABC ∠=︒，23AB =AC 折起，当以A ，B ，C ，D 四点为顶点的三棱锥体积最大时，三棱锥D ABC -的外接球体积为________. 【答案】53π【解析】 【分析】作出三棱锥的图象经分析可知平面ABC ⊥平面ADC 时，三棱锥D ABC -的体积最大，此时由面面垂直的性质推出DE ⊥平面ABC ，利用勾股定理求解外接球半径代入球体体积公式即可得解.【详解】如图所示，过点D 作底面ABC 的垂线交平面ABC 于点F ，DF 即为三棱锥D ABC -的高，取AC 中点为E ，连接DE 、EF ，133D ABC ABC V S DF DF -=⋅=，而在直角DFE 中DF DE <，所以当平面ABC ⊥平面ADC 时，三棱锥D ABC -的体积最大.此时，因为,60DA DC ADC =∠=，所以DAC △为等边三角形，同理ABC 为等边三角形，则DE AC ⊥，由面面垂直的性质可知DE ⊥平面ABC ，设ABC 的外接圆的圆心为O '，则O '在BE 上，且22O E O B ''==， 设三棱锥D ABC -的外接球的球心为O ，OO x '=，则R ==，解得1x =，则R =故三棱锥D ABC -的外接球的体积为334433R ππ==.【点睛】本题考查三棱锥外接球问题、面面垂直的概念及性质、三棱锥的体积，属于中档题.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.17.ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，4A π=，32a b =. （1）求sin B 的值；（2）若6a =，求ABC ∆的面积.【答案】（1；（2）4+【解析】 【分析】（1）由正弦定理可得3sin sin 2A B =，又因为4A π=，代入即可求出sin B ．（2）根据同角的三角函数关系式求出cos B =，进而可求出2sin sin()6C A B =+=，再由面积公式in 12s S ab C =，代入数据即可求解． 【详解】（1）因为sin sin a b A B =，32a b =，所以3sin sin 2A B =因为4A π=，所以2sin 323B =⨯=（2）因为6a =，所以4b = 因为b a <，所以B A <，B 为锐角，因为sin 3B =，所以cos B =所以()sin sin sin cos cos sin C A B A B A B =+=+==故ABC ∆的面积为112sin 644226ab C +=⨯⨯⨯=+【点睛】本题考查了正弦定理，两角和的正弦公式及求面积公式，考查了推理和计算能力，属基础题．正弦定理为解三角形中有力的工具，常见用法如下：（1）已知两边和一边对角，求另一边对角；（2）已知两角和其中一角的对边，求另一角对边；（3）证明化简；（4）求外接圆半径．18.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且111,2n n a S a +==． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）当()312log 3n n b a +=时，求数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ．【答案】（121? 113,222n n n a n -=⎧⎪=⎨⎛⎫⋅≥ ⎪⎪⎝⎭⎩）； （2）111n -+.【解析】 【分析】(1)由12n n s a +=,得 ()122n n s a n -=≥,两式作差得1122n n n n s s a a -+-=-,进而推得()1322n n a n a +=≥，检验1a ，即可求解；(2)利用()1111111n n b n n n n n +==-++，裂项求和即可 【详解】(1)12n n s a +=, ()122n n s a n -∴=≥,得1122n n n n s s a a -+-=-,所以()1322n n a n a +=≥,又11a =,2132a a ∴≠．故21,113,222n n n a n -=⎧⎪=⎨⎛⎫⋅≥ ⎪⎪⎝⎭⎩ (2)()312log 3n n b a n +==，所以()1111111n n b n n n n n +==-++， 所以1111111122311n T n n n =-+-++-=-++ 【点睛】本题考查数列通项公式及求和，递推关系的应用，裂项求和，准确计算是关键，是中档题19.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AC BC ==，2AB =，11B C =，1B C ⊥平面ABC .（1）证明：AC ⊥平面11BCC B ； （2）求点C 到平面11ABB A 的距离. 【答案】（1）见解析；（23【解析】 【分析】（1）先根据1B C ⊥平面ABC 得到1B C AC ⊥，再根据ACB ∆为等腰直角三角形得到AC BC ⊥，从而AC ⊥平面11BCC B .（2）利用1112C ABB A B ABC V V --=可得所求距离.【详解】（1）证明：因为1B C ⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，所以1B C AC ⊥. 因为1AC BC ==，2AB =AC BC ⊥，又1BC B C ⋂，所以AC ⊥平面11BCC B . （2）设点C 到平面11ABB A 的距离为h ，因为1B C ⊥平面ABC ，所以1B C AC ⊥，1B C BC ⊥. 则12AB =，12BB =2AB =1ABB ∆是等边三角形，故1233(2)ABB S ∆==111122C ABB A C ABB B ABC V V V ---==111233ABC B C S ∆=⨯⨯⨯=，11111133233C ABB A ABB A V S h h h -=⋅=⨯⨯⋅=.所以3h =.【点睛】线面垂直的判定可由线线垂直得到，注意线线是相交的，也可由面面垂直得到，注意线在面内且线垂直于两个平面的交线.而面面垂直的证明可以通过线面垂直得到，也可以通过证明二面角是直二面角.点到平面的距离的计算可利用面面垂直或线面垂直得到点到平面的距离，也可以根据等积法把点到平面的距离归结为一个容易求得的几何体的体积. 20.已知圆C 的圆心C 在x 轴的正半轴上，半径为4，直线10x y -+=被圆C 截得的弦长为42（1）求圆C 的方程；（2）已知直线l 过点()1,2P ，且与圆C 交于A ，B 两点.若A ，B 关于点P 对称，求直线l 的方程.【答案】（1）()22316x y -+=；（2）10x y -+=. 【解析】 【分析】（1）设圆C 的方程为()2216x a y -+=，圆中的弦长公式建立方程，可得圆C 的方程为； （2）分直线l 的斜率不存在和直线l 的斜率存在两种情况，设直线l 的斜率为k ，设()11,A x y ，()22,B x y ，由A ，B 关于点P 对称，和点A ，B 在圆C 上，可得直线l 的斜率为12121y y k x x -==-，从而求得直线l 的方程.【详解】解：（1）设圆C 的方程为()2216x a y -+=，由题意可得116820a a ⎧+=-⎪⎨>⎩，解得3a =.故：圆C 的方程为()22316x y -+=.（2）当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为1x =. 此时点A ，B 不关于点()1,2对称，所以1x =1不符合题意. 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的斜率为k .设()11,A x y ，()22,B x y ，因为A ，B 关于点P 对称，所以122x x +=，124y y +=.因为点A ，B 在圆C 上，所以()()22112222316316x y x y ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩， 所以()()22221212330x x y y ---+-=，整理得()()1212440x x y y --+-=，即12121y y x x -=-. 因为点A ，B 在直线l 上，所以直线l 的斜率为12121y y k x x -==-，则直线l 的方程为21y x -=-，即10x y -+=.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，圆的弦长的公式，圆的标准方程的求得，属于中档题.21.如图，在五面体ABCDFE 中，底面ABCD 为矩形，//EF AB ，BC FD ⊥，过BC 的平面交棱FD 于P ，交棱FA 于Q ．（1）证明：//PQ 平面ABCD ；（2）若,,2,CD BE EF EC CD EF BC tEF ⊥===，求平面ADF 与平面BCE 所成锐二面角的大小．【答案】（1）见解析； （2）4π. 【解析】 【分析】（1）根据线面平行的判定与性质定理，证明//PQ 平面ABCD ；（2）根据线面垂直的判定与性质，知CD CE ⊥，BC CE ⊥，以C 为坐标原点，,,CD CB CE 所在方向为,,x y z 轴正方向，建立空间直角坐标系，用空间向量法求二面角的大小. 【详解】（1）证明：因为底面ABCD 为矩形，所以//AD BC ，又因为AD ⊂平面ADF ，BC ⊄平面ADF ，所以//BC 平面ADF ，又因为BC ⊂平面BCPQ ，平面BCPQ ⋂平面ADF PQ =，所以//BC PQ ， 又因为PQ ⊄平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以//PQ 平面ABCD ． （2）解：,,CD BE CD CB BE CB B ⊥⊥⋂=，CD ∴⊥平面BCE ，又因为CE ⊂平面BCE ，所以CD CE ⊥；因为,,BC CD BC FD CD FD D ⊥⊥⋂=，所以BC ⊥平面CDFE ，所以BC CE ⊥， 以C 为坐标原点，,,CD CB CE 所在方向为,,x y z 轴正方向建立如图所示空间直角坐标系C xyz -，设1EF CE ==，则()()()2,,0,2,0,0,1,0,1A t D F ，所以()()0,,0,1,,1AD t AF t =-=--,设平面ADF 的一个法向量为(),,n x y z =，则00n AD ty n AF x ty z ⎧⋅=-=⎨⋅=--+=⎩，令1x =，得()1,0,1n =,易知平面BCE 的一个法向量为()1,0,0m =，设平面ADF 与平面BCE 所成的锐二面角为θ，则2cos 2n m n mθ⋅==⋅， 所以4πθ=，故平面ADF 与平面BCE 所成锐二面角为4π． 【点睛】本题考查了线面平行的证明，考查了空间向量法求二面角，求二面角的空间向量坐标法的一般步骤：建立空间直角坐标系，确定点及向量的坐标，分别求出两个平面的法向量，通过两个法向量的夹角得出二面角的大小.另外需注意本题中所求的为锐二面角.22.已知椭圆2222:1(0)x y C ab a b+=>>，1(2,2)P ，2P ，3(2,3)P -，4(2,3)P 四点中恰有三点在椭圆C 上. （1）求C 的方程；（2）已知点(0,1)E ，问是否存在直线p 与椭圆C 交于,M N 两点，且ME NE =，若存在，求出直线p 斜率的取值范围；若不存在说明理由.【答案】（1）2211612x y +=；（2）11(,)22-. 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的对称性，得到P 2，P 3，P 4三点在椭圆C 上．代入椭圆C ，求出a 2=16，b 2=12，由此能求出椭圆C 的方程．（2）设l ：y=kx+m ，联立，得（3+4k 2）x 2+8kmx+4m 2﹣48=0，由此利用根的判别式、韦达定理、直线方程，结合已知条件求出直线p 斜率的取值范围．【详解】（1）由于34,P P 两点关于y 轴对称，故由题设知34,P P 两点， 又由22224449a b a b+<+知，C 不经过点1P ，所以点2P 在C 上， 因此222121491b a b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得221612a b ⎧=⎨=⎩，故C 的方程为2211612x y +=.（2）假设存在满足条件的直线:p y kx m =+，()()1122,,,M x y N x y ，将直线:p y kx m =+与椭圆联立可得2211612y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得()2223484480k xkmx m +++-=，由()()2222644344480k m k m∆=-+->，得221612k m +>，①故122834km x x k -+=+，212244834m x x k-=+. 设MN 的中点为()00,F x y ， 故12024234x x km x k +-==+， 002334my kx m k=+=+， 因为ME NE =，所以EF MN ⊥，则·1EF k k =-，所以223134·1434mk k km k -+=--+，即()243m k =-+. 将()243m k =-+代入①可得：()222161243k k +>+，所以4216830k k +-<，解得1122k -<<，存在直线p ，使得ME NE =， 直线p 的斜率的取值范围是11,22⎛⎫-⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查椭圆方程的求法，考查椭圆、直线方程、根的判别式、韦达定理、直线方程位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想，是中档题．。
石家庄市重点名校2019-2020学年高一下学期期末调研数学试题含解析
石家庄市重点名校2019-2020学年高一下学期期末调研数学试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．8π B ．4π C ．2π D ．π【答案】D 【解析】 【分析】由几何体的三视图得该几何体是一个底面半径1r =，高2h =的扣在平面上的半圆柱，由此能求出该几何体的体积 【详解】由几何体的三视图得：该几何体是一个底面半径1r =，高2h =的放在平面上的半圆柱，如图， 故该几何体的体积为：21122V ππ=⨯⨯⨯= 故选：D【点睛】本题考查几何体的体积的求法，考查几何体的三视图等基础知识，考查推理能力与计算能力，是中档题． 2．ABC ∆中，3,,4sin sin 3a Ab Bc C π==，则cos C （ ）A 3B ．3C ．33D ．0【答案】D 【解析】 【分析】根据正弦定理把角化为边，可得2c b =，然后根据余弦定理，可得,b c ，最后使用余弦定理，可得结果. 【详解】由4sin sin b B c C =，所以224b c =，即2c b =由2222cos a b c bc A =+-，又3a A π==所以()222224cos3b b b π=+-，则1b = 故2c =，又222cos 02a b c C ab故选：D 【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理的应用，属基础题. 3．已知0m >，0n >，21m n +=，若不等式2m nt mn+≤恒成立，则t 的最大值为（ ） A ．4 B ．6C ．8D ．9【答案】C 【解析】 【分析】 因为不等式2m n t mn+≤恒成立，所以只求得2m nmn + 的最小值即可，结合21m n +=，用“1”的代换求其最小值. 【详解】因为0m >，0n >，21m n +=，若不等式2m nt mn+≤恒成立，令y=212124(2)448+⎛⎫=+=+⨯+=++≥+= ⎪⎝⎭m n m n m n mn n m n m n m ， 当且仅当4m nn m = 且21m n +=即11,24m n ==时，取等号 所以min 8y = 所以8t ≤ 故t 的最大值为1． 故选：C 【点睛】本题主要考查不等式恒成立和基本不等式求最值，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 4．函数()42log 1y x =-的定义域为（ ）A ．(),1-∞B ．(),2-∞C ．()1,+∞D ．()2,+∞【答案】A 【解析】 【分析】根据对数函数的定义域直接求解即可. 【详解】由题知函数()42log 1y x =-， 所以101x x ->⇒<，所以函数()42log 1y x =-的定义域是(),1-∞. 故选：A. 【点睛】本题考查了对数函数的定义域的求解，属于基础题. 5．已知三棱锥D ABC -中，1,2,3,2AB BC AD BD AC =====，BC AD ⊥，则三棱锥的外接球的表面积为（ ） A ．6π B ．4πC ．6πD ．86π【答案】B 【解析】 【分析】依据题中数据，利用勾股定理可判断出,AB BC AB AD ⊥⊥从而可得三棱锥各面都为直角三角形，进而可知外接圆的直径，即可求出三棱锥的外接球的表面积 【详解】如图，因为222AB AD BD += ,222AB BC AC +=,AB AD AB BC ∴⊥⊥又BC AD ⊥，CB ABD ∴⊥面,从而可得三棱锥各面都为直角三角形，CD 是三棱锥的外接球的直径， 在Rt CBD ∆中，1BC =,3BD =2CD ∴=即22,1R R == ，2=4R =4S ππ表，故选B ． 【点睛】本题主要考查学生空间想象以及数学建模能力，能够依据条件建立合适的模型是解题的关键． 6．不论m 为何值，直线()()21250m x m y -+++=恒过定点 A ．()1,2-- B ．()1,2-C ．()1,2-D ．()1,2【答案】B 【解析】 【分析】根据直线方程分离参数，再由直线过定点的条件可得方程组，解方程组进而可得m 的值． 【详解】()()21250m x m y -+++=恒过定点，∴()()2250x y m x y ++-++=恒过定点，由20,250,x y x y +=⎧⎨-++=⎩解得1,2,x y =⎧⎨=-⎩即直线()()21250m x m y -+++=恒过定点()1,2-. 【点睛】本题考查含有参数的直线过定点问题，过定点是解题关键．7．如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则称这些函数为“同簇函数”． 给出下列函数： ①()sin cos f x x x =； ②()2sin 4f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭；③()sin f x x x =； ④()21f x x =+． 其中“同簇函数”的是 （ ）A ．①②B ．①④C ．②③D ．③④ 【答案】C 【解析】试题分析：对于①中的函数而言，()1sin cos sin 22f x x x x ==，对于③中的函数而言，()f x =sin 2sin 3x x x π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，由“同簇函数”的定义而知，互为“同簇函数”的若干个函数的振幅相等，将②中的函数向左平移12π个单位长度，得到的新函数解析式为2sin 124y x ππ⎡⎤⎛⎫=++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦2sin 3x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故选C.考点：1.新定义；2.三角函数图象变换8．圆锥的母线长为4，侧面展开图为一个半圆，则该圆锥表面积为（ ） A ．10π B ．12πC ．16πD ．18π【答案】B 【解析】 【分析】由圆锥展开图为半径为4的半圆，得出其弧长等于圆锥的底面圆周长，可得出圆锥底面圆的半径，然后利用圆锥的表面积公式可计算出圆锥的表面积. 【详解】一个圆锥的母线长为4，它的侧面展开图为半圆， 半圆的弧长为12442l ππ=⨯⨯=，即圆锥的底面周长为4π， 设圆锥的底面半径是r ，则得到24r ππ=，解得2r，这个圆锥的底面半径是2，∴圆锥的表面积为242212S πππ=⋅⋅+⋅=．故选：B ．【点睛】本题考查圆锥表面积的计算，计算时要结合已知条件列等式计算出圆锥的相关几何量，考查运算求解能力，属于中等题.9．一个正四棱锥的底面边长为2，则该正四棱锥的全面积为 A ．8 B ．12 C ．16 D ．20【答案】B 【解析】 【分析】先求侧面三角形的斜高，再求该正四棱锥的全面积. 【详解】，所以该四棱锥的全面积为212+422=122⋅⋅⋅. 故选B 【点睛】本题主要考查几何体的边长的计算和全面积的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.10．若集合{}2123A =-，，，，{}2B x x n n N ==∈，，则A B =（ ）A ．{}2-B ．{}2C ．{}22-，D ．∅【答案】B 【解析】 【分析】通过集合B 中n N ∈，用列举法表示出集合B ，再利用交集的定义求出A B ．【详解】由题意，集合{}{}202468B x x n n N ==∈=，，，，，，， 所以{}2A B ⋂= 故答案为：B 【点睛】本题主要考查了集合的表示方法，以及集合的运算，其中熟记集合的表示方法，以及准确利用集合的运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．11．ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若ABC 的面积为212a t ，则t =（ ） A ．sin sin sin A BCB ．sin sin sin A CBC ．sin sin sin B CAD ．sin sin cos B CA【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得211sin 22ab C a t =，化简后利用正弦定理将“边化为角“即可．【详解】解：ABC ∆的面积为212a t ， ∴211sin 22ab C a t =，sin sin sin sin b C B Ct a A∴==， 故选：C ． 【点睛】本题主要考查正弦定理的应用和三角形的面积公式，属于基础题．12．运行如图程序，若输入的是2-，则输出的结果是（ ）A ．3B ．9C ．0D ．3-【答案】B 【解析】分析：首先根据框图中的条件，判断-2与1的大小，从而确定出代入哪个解析式，从而求得最后的结果，得到输出的值.详解：首先判断21-<成立，代入221y x =+中， 得到22(2)19y =⨯-+=，从而输出的结果为9，故选B.点睛：该题考查的是有关程序框图的问题，在解题的过程中，需要注意的是要明确自变量的范围，对应的函数解析式应该代入哪个，从而求得最后的结果，属于简单题目. 二、填空题：本题共4小题 13．若为等比数列的前n 项的和，，则=___________【答案】-7 【解析】 设公比为，则，所以．．14．函数arcsin arccos (11)y x x x =+-≤≤的值域为______.【答案】2π⎧⎫⎨⎬⎩⎭【解析】 【分析】由反三角函数的性质得到arcsin arccos 2x x π=-，即可求得函数的值域.【详解】由()()sin arcsin 11x x x =-≤≤，则()()sin arccos cos arccos 112x x x x π⎛⎫-==-≤≤⎪⎝⎭， ()sin arcsin sin arccos 2x x π⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭，又[]arcsin ,,arccos 0,,arccos ,22222x x x ππππππ⎡⎤⎛⎫⎡⎤∈-∈-∈- ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦，arcsin arccos 2x x π∴=-，即arcsin arccos 2x x π∴+=，∴函数()arcsin arccos 11y x x x =+-≤≤的值域为2π⎧⎫⎨⎬⎩⎭.故答案：2π⎧⎫⎨⎬⎩⎭. 【点睛】本题考查反三角函数的性质及其应用，属于基础题.15．已知()()24C 13AB A ==，，，，则AB BC ⋅=________． 【答案】6- 【解析】 【分析】利用向量内积的坐标运算以及向量模的坐标表示，准确运算，即可求解． 【详解】由题意，向量()()24C 13AB A ==，，，，则214314AB AC ⋅=⨯+⨯=，2222420AB =+=，所以()214206AB BC AB AC AB AB AC AB ⋅=⋅-=⋅-=-=-． 故答案为6- 【点睛】本题主要考查了向量内积的坐标运算，以及向量模的坐标运算的应用，其中解答中熟记向量的数量积的运算公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．16．《九章算术》中，将底面为长方形且由一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥P ABC -为鳖臑，PA ⊥平面ABC ，2,4PA AB AC ===，三棱锥P ABC -的四个顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为__________. 【答案】20π 【解析】【分析】由题意得该四面体的四个面都为直角三角形，且PA ⊥平面ABC ，可得25PC =，22PB =．因为PBC 为直角三角形，可得23BC =，所以PB BC ⊥，因此AB BC ⊥，结合几何关系，可求得外接球O 的半径2222152PA R r ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭，，代入公式即可求球O 的表面积． 【详解】本题主要考查空间几何体．由题意得该四面体的四个面都为直角三角形，且PA ⊥平面ABC ，2PA AB ==，4AC =，25PC =，22PB =．因为PBC 为直角三角形，因此23BC =或27BC =（舍）． 所以只可能是23BC =， 此时PB BC ⊥，因此AB BC ⊥， 所以平面ABC 所在小圆的半径即为22ACr ==， 又因为2PA =，所以外接球O 的半径2222152PA R r ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭，所以球O 的表面积为24π20πS R ==． 【点睛】本题考查三棱锥的外接球问题，难点在于确定BC 的长，即得到AB BC ⊥，再结合几何性质即可求解，考查学生空间想象能力，逻辑推理能力，计算能力，属中档题． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
河北省石家庄市2019_2020学年高一数学上学期期末考试试题(含解析)
河北省石家庄市2019-2020学年高一数学上学期期末考试试题（含解析）（时间120分钟，满分150分）注意事项：本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目写在答题卡上.第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.设集合{2,4,6,8}A =，{|25}B x x =≤≤，则A B ⋂=（ ）A. {2,4}B. {4,6}C. {6,8}D. {2,8}【答案】A【解析】【分析】由交集运算，即可求得.【详解】由{2,4,6,8}A =，{|25}B x x =≤≤，可得： {}2,4A B ⋂=，故选：A.【点睛】本题考查交集的运算，属基础题.2.下列函数中，其定义域和值域分别与函数lg 10x y =的定义域和值域相同的是（ ）A. y x =B.2log y x = C. 3x y = D. y = 【答案】D【解析】【分析】先求得lg 10x y =的定义域和值域，再逐项求解.【详解】函数lg 10x y =的定义域为()0,+∞，值域也为()0,+∞；对A ：定义域和值域均为R ，故舍去；对B ：定义域为()0,+∞，值域为R ，故舍去；对C ：定义域为R ，值域为()0,+∞，故舍去；对D ：定义域为()0,+∞，值域为()0,+∞；故选：D.【点睛】本题考查指数函数、对数函数、指数型函数的定义域值域的求解.3.向量1e ，2e ，a ，b 在正方形网格中的位置如图所示，则a b -（ ）A. 1242e e --B. 1224e e --C. 123e e -D. 123e e -【答案】C【解析】【分析】 由向量的减法法则，可求得a b -的有向线段，再在1e ，2e 的方向上进行分解即可.【详解】根据减法运算法则，求得a b -，如下图：在1e ，2e 的方向上进行分解，容易知：123a b e e -=-故选：C.【点睛】本题考查向量的减法法则，平面向量基本定理，属基础题. 4.3cos 45πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 2α=（ ） A. 15B. 725C. 15-D. 725- 【答案】B【解析】【分析】 由4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭凑出角度2α，再利用倍角公式求解即可. 【详解】()sin 2sin 242ππαα⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ =cos24πα⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=212cos 4πα⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=18125-=725故选：B.【点睛】本题考查给值求值，以及倍角公式的应用；问题的关键是凑角和题型的识别.5.已知点()()1,3,4,1,A B -则与AB 同方向的单位向量为( ) A. 3455⎛⎫- ⎪⎝⎭， B. 4355⎛⎫- ⎪⎝⎭， C. 3455⎛⎫- ⎪⎝⎭， D.4355⎛⎫- ⎪⎝⎭， 【答案】A【详解】试题分析：(41,13)(3,4)AB =---=-,所以与AB 同方向的单位向量为134(3,4)(,)555AB e AB ==-=-，故选A. 考点：向量运算及相关概念.【此处有视频，请去附件查看】6.函数()20.5()log 3f x x =-的单调递增区间为（ ）A. (0,)+∞B. (,0)-∞C. )+∞D.(,-∞ 【答案】D【解析】【分析】根据复合函数单调性判定原则(同增异减)，进行求解；同时要注意函数定义域.【详解】由题可知，函数()20.5log 3y x =-的定义域为：230x ->，解得(),x ∈-∞⋃+∞.令23y x =-，显然该函数在(,-∞单调递减；在)+∞单调递增，而0.5log y x =为减函数，故()20.5log 3y x =-单调增区间为：(,-∞. 故选：D.【点睛】本题考查复合函数的单调性，需要特别注意定义域的限制，否则容易出错.7.已知()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x ≥，()2x f x m =+，则(2)f -=（ ）A. -3B. 54-C. 54D. 3【答案】A【解析】根据函数的奇偶性得到00f =（） ，求出m 的值，从而求出2f （） 的值，即可得到2f -（）的值．【详解】因为f(x)为R 上的奇函数，所以f(0)＝0，即f(0)＝20＋m ＝0，解得m ＝－1，则f(－2)＝－f(2)＝－(22－1)＝－3.【点睛】本题考查了函数的奇偶性问题，考查函数求值问题，是一道中档题．8.已知ln x π=，21log 3y =，12z e -=则（ ） A. x y z << B. y z x << C. z y x << D. z x y <<【答案】B【解析】【分析】分别判断,,x y z 与1和0之间的大小关系，即可求得.【详解】1x ln π=>；21log 03y =<；()120,1z e -=∈ 故x z y >>.故选：B.【点睛】本题考查指数式和对数式大小的比较，注意与0和1为基准进行判断.9.定义在R 上的奇函数()f x ，满足(2)()f x f x +=-，当01x <≤时，()1f x x ，则()f π=（ ）A. 3π-B. 3π-C. 4π-D. 4π- 【答案】A【解析】【分析】由(2)()f x f x +=-可得函数的周期，再利用函数周期性计算函数值.【详解】由(2)()f x f x +=-可得：函数的周期为4；故()()()44f f f πππ=-=--因为(]40,1π-∈，故()4413f πππ-=--=-代入得：()3?f ππ=-.故选：A.【点睛】本题考查利用函数周期性、奇偶性求函数值，属综合基础题.10.在ABC 中，E 、F 分别为BC 、AB 边上的中点，AE 与CF 相交于点G ，设AB a =，AC b =，且BG a b λμ=+，则λμ+的值为（ ）A. 13-B. 13 C. 23D. 1 【答案】A【解析】【分析】由题可知，G 点为重心，故而利用向量运算法则，可求得结果.【详解】连接BG ，延长交AC 于O ，作图如下：容易知：G 点为重心，故而： 23BG BO =，而()12BO BA BC =+，又：BA a =-，BC b a =-，代入上式得：()21213233BG a b a a b =⨯-+-=-+ 故21,33λμ=-=，则13λμ+=-. 故选：A.【点睛】本题考查向量的基本运算在三角形中的应用，属基础题.11.已知()cos2sin f x x a x =-在区间,62ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上是增函数，则实数a 的取值范围为（ ）A. [2,)-+∞B. (2,)-+∞C. (,4)-∞-D.(,4]-∞- 【答案】D【解析】【分析】用倍角公式将函数经过换元后转化为二次函数的单调性问题，进而求解.【详解】()cos2sin f x x a x =- =22sin 1x asinx --+，令sinx t =，由,62x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，可得1,12t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则： ()cos2sin f x x a x =-在区间,62ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上是增函数 等价于221y t at =--+在1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭是增函数， 只需对称轴：14a -≥，解得4a ≤-. 故选：D. 【点睛】本题考查倍角公式、换元法、二次函数的单调性问题，属综合基础题.12.定义在R 上的函数2log (2),0()(1)(2),0x x f x f x f x x +≤⎧=⎨--->⎩，则函数(10)f =（ ） A. 2B. -2C. -1D. 1【答案】C【解析】【分析】将10x =代入分段函数，找到函数的周期性，多次迭代即可求解.【详解】由题可知：()10,f -=()01,f =()()()1011f f f =--=()()()2100,f f f =-=()()()3211f f f =-=-，()()()4321f f f =-=-，()()()5430f f f =-=如此类推，可知()f x 是以周期为6重复出现，故而()()1041f f ==-，故选：C.【点睛】本题考查分段函数值的求解，涉及到函数的周期性，属综合基础题.第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13.已知向量()1,3a =-，(),6b m =，若a //b ，则m =________【答案】-2【解析】【分析】由a //b 的坐标计算，即可求得m .【详解】因为a //b ，故36m -=，解得2m =-故答案为：-2.【点睛】本题考查向量平行的坐标表示，属基础题.14.若函数2()2f x x ax =+-在区间[1,2]上有零点，则实数a 的取值范围是________.【答案】[1,1]-【解析】【分析】将函数有零点问题，转化为函数图像有交点的问题，数形结合求解.【详解】函数()22f x x ax =+-在区间[1,2]有根， 等价于2a x x=-+在区间[1,2]有根， 等价于函数y a =与函数2y x x=-+在[1,2]有交点， 故作函数2y x x =-+的图像可得：由图可知：[]1,1a ∈-，故答案为：[-1,1].【点睛】本题考查由函数存在零点求参数的范围；注意本题中的转化以及数形结合.15.函数()()sin f x A x ωϕ=+（,,A ωϕ是常数，0,0A ω>>）的部分图象如图所示，则()0f = .【答案】62【解析】 因为由图象可知振幅A 2，4T ＝712π－3π＝4π， 所以周期T ＝π＝2πω，解得ω＝2，将7,212π⎛ ⎝代入，解得一个符合的φ＝3π，从而y 2sin 23x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭6【此处有视频，请去附件查看】16.已知函数2()ln(1)f x x x =+，()()1g x f x =-，下列命题： ①()f x 的定义域为(,)-∞+∞；②()f x 是奇函数；③()f x 在(,)-∞+∞上单调递增；④若实数m ，n 满足()(1)0f m f n +-=，则1m n +=；⑤设函数()g x 在[2,2]-上的最大值为M ，最小值为m ，则4M m +=- 其中真命题的序号是________（写出所有真命题的序号）【答案】①②③④【解析】【分析】对函数的性质进行逐一分析即可. 【详解】对函数(21y ln x x =+。
2019-2020学年河北省石家庄市中学高一上学期期末数学试题及答案解析版
2019-2020学年河北省石家庄市中学高一上学期期末数学试题及答案解析版一、单选题1．设集合102M x x ⎧⎫=<≤⎨⎬⎩⎭，{}|31xN x =≥，则M N =（ ）A ．10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．[]0,2C ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】D【解析】先解不等式求出集合M ，N ，再根据交集的定义求解即可． 【详解】解：由102x <≤得1012x x⎧>⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩，解得12x ≥，则1,2M ⎡⎫=+∞⎪⎢⎣⎭， 由31x ≥得0x ≥，则[)0,N =+∞， ∴MN =1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭， 故选：D ． 【点睛】本题主要考查集合的交集运算，考查分式不等式和指数不等式的解法，属于基础题．2．设3log 0.6a =，0.63b =，30.6c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b c a >>D ．c b a >>【答案】C【解析】取中间值0和1，利用取中间值法比较大小． 【详解】解：∵33log 0.6log 10a =<=，0.631b =>，300.61c <=<， ∴b c a >>， 故选：C ． 【点睛】本题主要考查比较指数式、对数式的大小，常用取中间值法，属于基础题． 3．函数()()2lg 1f x x =-的单调递减区间为（） A ．(),1-∞- B ．(),0-∞ C ．()0,∞+D ．()1,+∞【答案】A【解析】先求函数的定义域，再根据复合函数的单调性求解即可． 【详解】解：由210x ->得1x <-，或1x >，则函数的定义域为()(),11,-∞-+∞，又函数21y x =-在(),0-∞上单调递减，在()0,∞+上单调递增，函数lg y x =在()0,∞+上单调递增，由复合函数的单调性原则“同增异减”得函数()()2lg 1f x x =-的单调递减区间为(),1-∞-， 故选：A ． 【点睛】本题主要考查复合函数的单调性，要注意函数的定义域，属于易错的基础题．4．已知向量()3,1AB =，()6,1CD m =-，若//AB CD ，则实数m 的值为（ ） A ．19 B ．3 C ．-1 D ．-17【答案】B【解析】直接根据向量平行的坐标表示计算即可． 【详解】解：∵//AB CD ，()3,1AB =，()6,1CD m =-， ∴()3160m --=，解得3m =， 故选：B ． 【点睛】本题主要考查向量平行的坐标运算，属于基础题． 5．设tan160k ︒=，则sin160︒=（ ） AB C D【答案】B【解析】根据同角的平方关系与商关系求解即可． 【详解】解：∵tan160k ︒=，则k 0<，∴sin160cos160k ︒=︒，即sin160cos160k︒︒=， 又22cos 160sin 1601︒+︒=，∴222sin 160sin 1601k ︒+︒=，即222sin 1601k k ︒=+， 又160︒为第二象限角，∴sin160︒=，故选：B ． 【点睛】本题主要考查同角的三角函数关系，属于基础题． 6．已知02πα<<，()ln 1cos s α+=，1ln 1cos t α⎛⎫=⎪-⎝⎭，则lnsin α=（ ） A ．s t - B ．s t +C ．()12s t -D ．()12s t +【答案】C 【解析】由02πα<<得sin 0α>，cos 0α>，由1ln 1cos t α⎛⎫=⎪-⎝⎭得()ln 1cos t α-=-，从而有()()ln 1cos ln 1cos αα++-t s =-，根据对数的运算即可求出答案． 【详解】解：∵02πα<<，∴sin 0α>，cos 0α>，∵1ln 1cos t α⎛⎫= ⎪-⎝⎭， ∴()ln 1cos t α-=-， 又()ln 1cos s α+=，∴()()ln 1cos ln 1cos αα++-t s =-，即()()2ln sin 2ln sin s t αα==-，∴lnsin α=()12s t -， 故选：C ． 【点睛】本题主要考查对数的运算性质，属于基础题．7．设函数()()()sin cos f x a x b x παπβ=+++，其中a ，b ，α，β都是非零常数，且满足()120193f =-，则()2020f =（ ）A ．B ．13-C ．13D【答案】C【解析】代入后根据诱导公式即可求出答案． 【详解】 解：由题()2019f ()sin 2019a πα=+()cos 2019b πβ++1sin cos 3a b αβ=--=， ∴1sin cos 3a b αβ+=-， ∴()2020f =()sin 2020a πα+()cos 2020b πβ++1sin cos 3a b αβ=+=-， 故选：C ． 【点睛】本题主要考查三角函数的诱导公式的应用，属于基础题． 8．将函数()sin 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到()y g x =图象，则函数()y g x =（ ）A ．关于点,03π⎛-⎫⎪⎝⎭对称 B ．关于点,06π⎛⎫-⎪⎝⎭对称 C ．关于直线6x π=对称 D ．关于直线3x π=对称【答案】C【解析】先求出函数的解析式，再根据正弦型函数的对称性求解即可． 【详解】解：由题意可得，()sin 26g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 由2,62x k k Z πππ+=+∈得,62k x k Z ππ=+∈，故C 对、D 错；由2,6x k k Z ππ+=∈得,122k x k Z ππ=-+∈，故A 、B 错； 故选：C ． 【点睛】本题主要考查三角函数的图象变换，考查三角函数的对称性，属于基础题． 9．设函数()1,04,0x x x f x x -+≤⎧=⎨>⎩，则满足()()0f x f x -->的x 的取值范围为（ ）A ．11,,22⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．11,0,22⎛⎫⎛⎫-∞- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．11,22⎛⎫-⎪⎝⎭D ．11,0,22⎛⎫⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】D【解析】()()0f x f x -->()()f x f x ⇔>-，再借助函数图象即可求出答案． 【详解】解：()()0f x f x -->()()f x f x ⇔>-，由对称性可知，函数()f x 和()f x -的图象关于y 轴对称， 在同一直角坐标系中画出函数()f x 和()f x -的图象，由图可知，当11,0,22x ⎛⎫⎛⎫∈-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，函数()f x 的图象在()f x -的图象的上方，即()()f x f x >-， 故选：D ． 【点睛】本题主要考查根据函数图象的应用，考查数形结合思想，属于基础题．10．设函数()f x 的定义域为R ，满足()()22f x f x =+，且当[)2,0x ∈-时，()()22f x x x =-+.若对任意[),x m ∈+∞，都有()89f x ≤，则m 的取值范围是（ ）A ．2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ C ．5,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ D ．4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】D【解析】由题意得当[)0,2x ∈时，()()2f x x x =--()211x =--+，根据题意作出函数()f x 的部分图象，再结合图象即可求出答案． 【详解】解：当[)2,0x ∈-时，()()22f x x x =-+()2212x =-++，又()()22f x f x =+，∴当[)0,2x ∈时，()()2f x x x =--()211x =--+，∴()f x 在[]0,1上单调递增，在[)1,2上单调递减，且()()max 11f x f ==；又()()22f x f x =+，则函数图象每往右平移两个单位，纵坐标变为原来的12倍， 作出其大致图象得，当[)0,2x ∈时，由()()28119f x x =--+=得23x =，或43x =， 由图可知，若对任意[),x m ∈+∞，都有()89f x ≤，则43m ≥， 故选：D ． 【点睛】本题主要考查函数的图象变换，考查数形结合思想，属于中档题．二、多选题11．已知定义在区间[],ππ-的函数()2cos f x x x =-，则下列条件中能使()()12f x f x <恒成立的有（ ） A ．120x x π-≤<≤ B ．120x x π≤<≤ C ．12x x >D ．2212x x <【答案】AC【解析】分析得出函数的奇偶性与单调性，再结合性质即可求出答案． 【详解】解：∵()2cos f x x x =-，∴()()()2cos f x x x -=---()2cos x x f x =-=，∴函数()f x 是偶函数，由单调性的性质易知，函数()f x 在[],0π-上单调递增，在[]0,π上单调递减，则要使()()12f x f x <恒成立必须有12x x >，故选：AC ． 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，属于基础题．12．已知04πθ<<，若sin 2m θ=，cos2n θ=且m n ≠，则下列选项中与tan 4πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭恒相等的有（ ）A ．1nm + B ．1m n + C ．1n m -D ．1mn -【答案】AD【解析】由题意得221+=m n ，tan 4πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭1tan 1tan θθ-=+，切化弦即可得出结论． 【详解】解：∵sin 2m θ=，cos2n θ=， ∴221+=m n ，∴1m n -1nm=+，∴tan 4πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭1tan 1tan θθ-=+cos sin cos sin θθθθ-=+()()()()cos sin cos sin cos sin cos sin θθθθθθθθ--=+-1sin 2cos 2θθ-=1m n -=1nm=+， 故选：AD ． 【点睛】本题主要考查同角的三角函数关系，考查简单的三角恒等变换，属于中档题．三、填空题13．已知函数()(lg f x x =+为奇函数，则a =__________；【答案】1【解析】根据()()f x f x -=-求解出a 的值. 【详解】因为(()()lg lg lg f x x f x ⎛⎫⎛⎫-=-==-=，=0x ≠，所以1a =.【点睛】已知函数为奇函数，可通过定义法：()()f x f x -=-来求解其中参数的值.这里不能直接使用()00f =，因为定义域未知. 14．已知向量a ，b 夹角为30，且2a=，313a b -=，则b =______；【解析】由313a b -=得226cos 913a a b a b b -+=，，代入数据后即可求得答案． 【详解】 解：∵313a b -=，∴()2313a b-=，即226cos 913a a b a b b -+=，， 又a ，b 夹角为30，且2a =，∴24913b b -+=，即232330b b --=，解得3b =，或3b =-（舍去），【点睛】本题主要考查平面向量的数量积的应用，属于基础题．15．若()3f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间[],a a -上是增函数，则正实数a 的最大值为______；【答案】6π【解析】先求出函数()3f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的单调递增区间，再根据题意即可求出答案． 【详解】 解：由22,232k x k k Zπππππ-+≤-≤+∈得，522,66k x k k Z ππππ-+≤≤+∈，又()3f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间[],a a -上是增函数，∴06a π<≤，故答案为：6π．【点睛】本题主要考查正弦型函数的单调性的应用，属于基础题． 16．已知ABC ∆中，3AB AC ==，D 为边BC 上一点，6AB AD ⋅=，152AC AD ⋅=，则AB AC ⋅的值为______. 【答案】92【解析】以A 为原点，以AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，设(),D x y ，记BAC θ∠=，再根据同角的平方关系以及数量积的坐标运算求解即可． 【详解】解：以A 为原点，以AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，设(),D x y ，则(),AD x y =， ∵3AB AC ==，记BAC θ∠=， ∴()0,0A ，()3,0B ，()3cos ,3sin C θθ， 则()3,0AB =，()3cos ,3sin AC θθ=，∵6AB AD ⋅=，152AC AD ⋅=， ∴36x =，153cos 3sin 2x y θθ+=，∴2x =，52cos sin 2y θθ+=， 又D 为边BC 上一点，∴//BD BC ，则()3cos 33sin 0y θθ-+=，即()sin 1cos y θθ=-， 又()0,θπ∈， ∴sin 1cos y θθ=-∴2sin 2cos 1cos θθθ+-52cos 1cos 2θθ=++=，解得1cos 2θ=， ∴99cos 2AB AC θ⋅==， 故答案为：92．【点睛】本题主要考查数量积的坐标运算，考查同角的平方关系，考查设而不求思想，属于中档题．四、解答题17．已知全集U =R ，集合{}2|450A x x x =--≤，{}|24B x x =≤≤. （1）求()U A C B ⋂；（2）若集合{}|4,0C x a x a a =≤≤>，满足C A A =，C B B =，求实数a 的取值范围.【答案】（1）(){|12U A C B x x ⋂=-≤<或}45x <≤；（2）5|14a a ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭【解析】（1）由题{}|15A x x =-≤≤，再根据集合的补集与交集的定义求解即可； （2）由CA A =得C A ⊆，由CB B =得BC ⊆，再根据包含关系求解即可． 【详解】解：（1）由题{}|15A x x =-≤≤，{|2U C B x x =<或}4x >，，(){|12U A C B x x ⋂=-≤<或}45x <≤；（2）由C A A =得C A ⊆，则145a a ≥-⎧⎨≤⎩，解得514a -≤≤， 由CB B =得BC ⊆，则244a a ≤⎧⎨≥⎩，解得12a ≤≤， ∴实数a 的取值范围为5|14a a ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭． 【点睛】本题主要考查集合的基本运算以及集合的包含关系，属于基础题．18．已知函数()2cos cos 1x x x f x =+，x ∈R .（1）求函数()y f x =的单调递增区间；（2）求0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()y f x =的值域. 【答案】（1）(),36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦；（2）51,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】（1）先根据降幂公式以及辅助角公式化简三角函数，令()222262k x k k ππππ-≤+≤π+∈Z 即可得出答案； （2）由02x π≤≤得72666x πππ≤+≤，由此即可求出答案．【详解】解：2cos cos 1y x x x =++13cos 2222x x =++3sin 262x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭； （1）令()222262k x k k ππππ-≤+≤π+∈Z ，得()36k x k k πππ-≤≤π+∈Z ， 所以函数()y f x =的单调递增区间为(),36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦；（2）由02x π≤≤得72666x πππ≤+≤，∴1sin 2,162x π⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 从而函数()y f x =的值域为51,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 【点睛】本题主要考查三角函数的化简以及性质，属于基础题．19．已知向量(cos ,sin )a αα=，(cos ,sin )b ββ=，552||=-b a .（1）求cos()αβ-的值； （2）若022ππβα-<<<<，且5sin 13β=-，求sin α的值. 【答案】（1）3cos()5αβ-=（2）3365 【解析】（1）先由条件得2242.5a a b b -⋅+=再利用向量的坐标公式计算代入得解；（2）先计算αβ-和β的三角函数值，再由sin sin[()]ααββ=-+展开结合条件的三角函数可得解. 【详解】 （1）255a b -=，2242.5a ab b ∴-⋅+= 又(cos ,sin )a αα=，(cos ,sin )b ββ=，221a b ∴==，cos cos sin sin cos()a b αβαβαβ⋅=+=-， 3cos().5αβ∴-=（2）022ππβα-<<<<，0.αβπ∴<-< 由（1）得3cos()5αβ-=，4sin()5αβ∴-=，又5sin 13β=-，12cos 13β∴=，sin sin[()]sin()cos cos()sin ααββαββαββ∴=-+=-+-=4123533.51351365⎛⎫⨯+⨯-= ⎪⎝⎭ 【点睛】本题主要考查了三角函数的两角和的展开公式，属于基础题，第二问属于典型的给值求值问题，解题的关键是将未知角通过配凑用已知角表示，进而由三角函数的两角和的展开公式求解即可. 20．已知函数()()1log 011af x a x x -=<<+. （1）求函数()y f x =的定义域；（2）若方程()1log af x x =+有两个不等实根，求实数a 的取值范围.【答案】（1）{|1x x <-或}1x >，；（2）{|03a a <<-【解析】（1）解分式不等式101x x ->+即可得出答案；（2）由题意得()2110ax a x +-+=，()1,x ∈+∞，再根据二次方程的根的分布求解即可． 【详解】解：（1）由题意有101x x ->+，解得1x <-或1x >，所以函数()y f x =的定义域为：{|1x x <-或}1x >； （2）由（1）可知方程()log 1a f x x =+中()1,x ∈+∞， 化简1log log 11aa x x x -=++得()2110ax a x +-+=， 即方程()2110ax a x +-+=在区间()1,+∞上有两个不等实根，需满足()1120110a a a a -⎧>⎪⎪∆>⎨⎪+-+>⎪⎩，解得：03a <<-所以实数a的取值范围{|03a a <<-．【点睛】本题主要考查函数的定义域，考查二次方程根的分布，考查数形结合思想，属于中档题．21．经检测，餐后4小时内，正常人身体内某微量元素在血液中的浓度1y 与时间t 满足关系式：()1404y t t =-≤≤，服用药物N 后，药物中所含该微量元素在血液中的浓度2y 与时间t满足关系式：2123,14t y t t≤<=⎨-≤≤⎪⎩.现假定某患者餐后立刻服用药物N ，且血液中微量元素总浓度y 等于1y 与2y 的和. （1）求4小时内血液中微量元素总浓度y 的最高值； （2）若餐后4小时内血液中微量元素总浓度y 不低于4的累积时长不低于两小时，则认定该药物治疗有效，否则调整治疗方案.请你判断是否需要调整治疗方案. 【答案】（1）174；（2）不需要调整治疗方案【解析】（1）由题意得124,0127,14t t y y y t t t ⎧-≤<⎪=+=⎨⎛⎫-+≤≤⎪ ⎪⎝⎭⎩，求出每段的最大值后再比较即可求出答案； （2）分段讨论求出t 的范围即可得出答案． 【详解】解：（1）由题微量元素在血液内的总浓度y 与时间t 的关系为：124,0127,14t t y y y t t t ⎧-+≤<⎪=+=⎨⎛⎫-+≤≤⎪ ⎪⎝⎭⎩， 当01t <<时，2117424y t ⎫=-=-+⎪⎭，当14t =时取最大值174； 当14t ≤≤时，27y t t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，当t =时取得最大值7-因为1774>-174；（2）当01t ≤<时，44t -+≥，解得01t ≤<；当14t ≤≤时，274t t ⎛⎫-+≥⎪⎝⎭，解得12t ≤≤； 注射药物N 后两小时内血液中微量元素总浓度不低于4，所以不需要调整治疗方案． 【点睛】本题主要考查分段函数的性质及其应用，属于基础题． 22．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x <时，()()2log 21x f x x -=-+.（1）求0x >时，()f x 的解析式；（2）设[]1,2x ∈时，函数()()222f x x g x m m =+⋅-，是否存在实数m 使得()g x 的最小值为5，若存在，求m 的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）()()2log 21xf x x =++；（2）存在，7m =-【解析】（1）0x >时，0x -<，()()2log 21xx f x -=--+，再根据()()f x f x =--即可求解；（2）由题意可得()()()22122x x g x m m =++-，令[]22,4xt =∈，令()()212h t t m t m =++-，则函数()h t 在[]2,4上的最小值为5，再分类讨论即可求出答案． 【详解】解：（1）()f x 是定义在R 上的奇函数，则()()f x f x =--， 设0x >，则0x -<，()()()2log 21xf x x x f =⎡⎤---+--⎣=⎦()2log 21x x =++， 即0x >时，()()2log 21xf x x =++；（2）由（1）当[]1,2x ∈时，()()2log 21222x x xm g m x ++=+⋅-()()22122x xm m =++-，令[]22,4x t =∈，()()212h t t m t m =++-，函数()g x 在[]1,2x ∈上的最小值5，即为函数()h t 在[]2,4上的最小值， ①当122m +-<即5m ≥-时，函数()h t 在区间[]2,4上是增函数， 所以()()min 265h t h ==≠，所以m ∈∅，②当1242m +≤-≤即95m -≤≤-时，()min 210154m h t m ---==， 化简得210210m m ++=，解得3m =-或7m =-，所以7m =-，③当142m +->即9m <-时，函数()h t 在区间[]2,4上是减函数， 所以()()min 42205h t h m ==+=，解得152m =-，所以m ∈∅；综上：存在7m =-使得函数()g x 的最小值为5． 【点睛】本题主要考查根据函数的奇偶性求解析式，考查函数能成立问题，考查分类讨论思想，属于难题．。
河北省石家庄市2019-2020学年高二数学下学期期末考试试题(含解析)
【详解】
f
(x)
ln
x
ln x, 0 ln x, x 1
x
1
，
∴ f (x) 在 (0,1] 是 单调递减，在[1, ) 上单调递增， f (x)min f (1) 0 ，又
f
1 e
f
(e) 1
，
1 a 1
a1
由题意 e
，1 b e ，且 e 和 b e 中至少有一个取到．
值不影响概率值，考查逻辑推理能力和运算求解能力.
b 3 8. 若正实数 a, b ，满足 a b 1，则 3a b 的最小值为（ ）
A. 2
B. 2 6
C. 5
D. 4 3
【答案】C
【解析】
【分析】
b 3 b 3a 3b b 3a 3
根据题意，分析可得 3a b 3a
b
3a b ，结合基本不等式的性质分析可
所以 P 80 90 P 90 100 0.3 ，
P 100 1 P 80 100 1 0.6 0.2
所以
2
2
，
所以该班数学成绩在 100 分以上的人数为 60 0.2 12 （人）.
故选：A.
【点睛】本题考查正态分布曲线的应用，求解时注意利用曲线的对称性，同时注意一个端点
1 x2 9. 函数 f(x)＝ ex 的图象大致为()
A.
B.
C.
D.
【答案】D 【解析】 【分析】
根据函数为非偶函数可排除两个选项，再根据特殊值 f (2) 可区分剩余两个选项.
1 x2 【详解】因为 f(－x)＝ ex ≠f(x)知 f(x)的图象不关于 y 轴对称，排除选项 B，C.
14 3 又 f(2)＝ e2 ＝－ e2 <0.排除 A，故选 D.