第四节 正弦交流电路的复数计算及三相电路的计算
第四节 正弦交流电路的复数计算及三相电路的计算
1、基尔霍夫电流定律
对电路中任一点，根据KCL有 Σ i = 0
其相量形式为
•
I 0
2、基尔霍夫电压定律
对电路任一回路，根据KVL有 Σ u = 0
其相量形式为
•
U 0
二、电阻、电感和电容元件的VCR相量形式
1、电阻元件 瞬时值表达式 iR R
+ uR -
uR RiR
+j
•
相量形式
•
IR R
•
求电压和电流的相位差。
30 (150) 180
i = 10 sin(314t+30°) = 10 cos(314t+30°-90°) = 10 cos(314t-60°)
60 (150) 90
正弦量相应符号的正确表示
瞬时值表达式 i = 10 cos(314 t + 30°)A 变量，小写字母
•
Ik
Yk
•
I,
Yeq
k = 1,2,…，n
•
I k 为第k个阻抗的电流,
•
I 为总电流.
例： 如图RLC串联电路。R= 15 ，L= 12 mH，C= 5 F，
端电压 u=141.4 cos ( 5000 t ) V。
求：i，各元件的电压相量。
解： 用相量法。
U 100 0 (V )
5000(rad / s)
•
U L jL IL
•
UC
j 1
C
•
IC
以上公式是在电压、电流关联参考方向的条件
下得到的；
如果为非关联参考方向，则以上各式要变号。
以上公式 既包含电压和电流的大小关系，
又包含电压和电流的相位关系。
三相交流电路计算
三相交流电路计算一、三相交流电路的基本原理三相交流电路是由三个相位相差120度的交流电源组成的电力系统。
三相电的生成原理是基于电磁感应定律，当三个相位的正弦电流通过线圈时，将产生一个旋转磁场。
通过三相电压和电流的组合，可以实现各种复杂的电力实现。
二、三相交流电路的计算方法1.三相电压和相电压关系在三相交流电路中，线电压（V）和相电压（Vφ）之间的关系可以通过以下公式计算：V=√3×Vφ其中，√3是一个常数。
2.三相电流和相电流关系在三相交流电路中，线电流（I）和相电流（Iφ）之间的关系可以通过以下公式计算：I=Iφ即，线电流和相电流相等。
3.三相功率的计算P = √3 × V × I × cosφ其中，φ是功率因数，表示电流和电压之间的相位差。
功率因数的常见取值范围为0到1之间。
4.每相功率的计算每相功率（Pφ）可以通过以下公式计算：Pφ=P/3即，每相功率等于总功率除以35.三相电力的计算三相电力（S）可以通过以下公式计算：S=√3×V×I即，三相电力等于线电压乘以线电流乘以√36.三相电路的电阻和电抗的计算在三相交流电路中，电阻（R）和电抗（X）的计算方法与单相交流电路相同。
三相电路的电阻可以使用欧姆定律计算：V=I×R三相电路的电抗可以使用单相电路的电抗计算公式计算。
7.三相电路的平衡特性三相电路中，如果各相的电流和电压相等且相角相差120度，称为平衡三相电路。
在平衡三相电路中，线电流和相电流相等，线电压和相电压之间存在√3的倍数关系。
三相平衡电路的功率因数为1，功率因数为1表示电路中没有无功功率，只有有用功率。
三相平衡电路的三相功率相等，每相功率相等。
总之，三相交流电路的计算方法包括三相电压和相电压关系、三相电流和相电流关系、三相功率的计算、每相功率的计算、三相电力的计算、三相电路的电阻和电抗的计算以及三相电路的平衡特性等。
正弦交流电公式总结
正弦交流电公式总结好嘞，以下是为您生成的关于“正弦交流电公式总结”的文章：在咱们学习电学的奇妙世界里，正弦交流电可是个相当重要的角色。
今天咱就来好好唠唠这正弦交流电的那些关键公式。
先来说说正弦交流电的瞬时值表达式，那就是e = E m sin(ωt + φ) 。
这里的 E m 表示电动势的最大值，ω 是角频率，t 是时间，φ 是初相位。
就好比你骑自行车，速度有快有慢，这正弦交流电的大小和方向也在不断变化，而这个公式就能把它在每个瞬间的情况给描述出来。
再看看有效值，这可太有用啦！正弦交流电的有效值E = E m / √2 。
为啥要有有效值呢？我给您举个小例子。
假如您家里的灯泡标着“220V”，这可不是说灯泡两端的电压一直在 220V 不变，而是说这个交流电的有效值是 220V。
想象一下，您用电饭煲做饭，如果电压一会儿大一会儿小，饭能做好才怪呢！所以有效值让咱们能方便地衡量交流电的实际效果。
还有个重要的公式是周期和频率的关系，T = 1 / f 。
周期就是交流电完成一个完整变化所需要的时间，频率则是单位时间内完成的周期数。
这就像跑步，周期是跑一圈的时间，频率就是单位时间内跑的圈数。
接下来咱说说正弦交流电的平均值。
它的公式是E av = 2E m / π 。
平均值在某些情况下能帮助我们了解交流电在一段时间内的总体表现。
再讲讲正弦交流电通过电阻、电感和电容时的情况。
通过电阻时，电压和电流是同相位的，电流 I = U / R ，这个大家应该都很熟悉。
当通过电感时，就有点不一样啦！电压超前电流 90 度，感抗 X L = ωL ，电流 I = U / X L 。
而通过电容时，电流超前电压 90 度，容抗X C = 1 / (ωC) ，电流 I= U / X C 。
记得有一次，我在家里修一个小电器，就是因为没搞清楚这些公式，结果折腾了半天也没修好。
当时我就想，这电学知识可真是一点儿都不能马虎，一个公式没弄对，整个电路就没法正常工作。
三相电路功率的计算
三相电路功率的计算三相电路功率的计算是电力工程中非常重要的一部分。
在实际应用中，三相电路被广泛用于供电系统、电机驱动系统以及工业自动化等领域。
本文将从三相电压、电流的复数表示、功率的定义和计算公式、三相功率的平衡和不平衡等方面详细说明三相电路功率的计算。
一、三相电压与电流的复数表示在三相交流电路中，电压和电流可以通过复数来表示。
一个三相系统由三条相位不同的电压和电流组成，可以分别表示为Ua、Ub、Uc和Ia、Ib、Ic。
这些电压和电流可以通过复数形式表示，复数表示中包含了幅值和相位两个方面。
电压复数表示为：Ua = Uam∠θa，Ub = Ubm∠θb，Uc = Ucm∠θc电流复数表示为：Ia = Iam∠θa，Ib = Ibm∠θb，Ic = Icm∠θc其中Uam、Ubm、Ucm、Iam、Ibm、Icm分别为电压和电流的幅值；θa、θb、θc分别为电压和电流的相位角。
二、功率的定义和计算公式功率是电路中电能转化为其他形式能量的速率，其单位为瓦特（W）。
在三相电路中，功率可以分为有功功率和无功功率两个部分，其中有功功率用来做功，无功功率则用来维持电路的运行稳定。
1.有功功率的定义和计算公式有功功率P是电路中传输的实际功率，由电压和电流的乘积得到。
三相电路中，有功功率的计算公式如下：P = √3 * Uam * Iam * cos(θa-θ)其中√3为系数，表示三相电路中电压和电流的复数运算。
cos(θa-θ)表示电压和电流之间的相位差，即功率因数。
2.无功功率的定义和计算公式无功功率Q是电路中传输的无用功率，也被称为无功电能。
无功功率的计算公式如下：Q = √3 * Uam * Iam * sin(θa-θ)其中√3为系数，Uam和Iam分别为电压和电流的幅值。
sin(θa-θ)表示电压和电流之间的相位差，即功率因数。
三、三相功率的平衡和不平衡在实际应用中，三相电源供电系统和三相电动机驱动系统中通常会面临三相功率的平衡和不平衡问题。
正弦交流电路的相量表示法
解析式 波形图
1、相量图
相
量
法
2、相量式
（复数
符号法）
正弦交流电的3大类表示方法
iImsi nt
i
Im
t
T
U
.
I a jb
I (cos j sin )
I
具体见下页内容：
1.复数的实部、虚部和模
1
叫虚单位，数学上用 i 来代表它，因为在电工中i代表电流，所以改用 j 代表虚单位，即 j =
3. 复数的运算 1）复数的加减
实部与实部加减，作为结果的实部 虚部与虚部加减，作为结果的虚部
用有向线段加减时，符合平行四边形法则
例：A1=2+j3 A2=4+j4
则 A1+A2=（2+j3）+（4+j4）=6+j7 A1-A2=（2+j3）-（4+j4）=-2-j
正弦量的相量表示法
2) 复数的乘除
u(t)200sint V
解：
I1＝ 1 0－ 60 (A)
I2＝ 1 514(7 V)
U＝100 20(V )
3.3 正弦量的相量表示法
【例题讲解】
对应
u(t)2Usin(tθ)
•
U U θ
例1. 已知
i 141.4sin(314t 30o)A u311.1sin(314t60o)V
试用相量表示i, u .
u22 si(0 ω nt4)5 I 4ej30 复数
• 220
？
U 45
42si(n ωt30 ) ？
2
有效值
j45
瞬时值
U m22e0 45 ？
电路基础原理交流电的复数表示法
电路基础原理交流电的复数表示法交流电的复数表示法是电路基础原理中重要的概念之一。
它是一种用复数来描述交流电的方法，能够方便地计算和分析电路中的电压和电流。
在交流电路中，电流和电压是随时间变化的，而且它们的变化是周期性的。
为了描述这种变化，我们可以使用正弦函数。
正弦函数具有周期性，可以用来表示交流电的变化情况。
正弦函数可以表示为A*sin(ωt+ϕ)，其中A是幅值，表示波峰和波谷之间的最大值；ω是角频率，表示波形的周期；t是时间；ϕ是相位差，表示波形相对于原点的偏移。
对于交流电来说，我们一般用复数表示电压和电流。
复数是由实部和虚部组成的数字，可用于表示随时间变化的量。
在交流电路中，我们通常用以下形式的复数表示电压和电流：V = Vm*e^(jωt)其中Vm是电压的幅值，表示电压的最大值；e^(jωt)是欧拉公式表示的复数，表示电压的变化情况。
同样地，在交流电路中，电流也可以用复数表示：I = Im*e^(j(ωt+ϕ))Im是电流的幅值，表示电流的最大值；e^(j(ωt+ϕ))是欧拉公式表示的复数，表示电流的变化情况。
通过使用复数表示法，我们可以将交流电的计算和分析转化为对复数的运算。
这对于解决交流电路中的各种问题非常有帮助。
交流电的复数表示法还有一个重要的特点是复数的求模运算可以得到交流电的幅值。
换句话说，电压和电流的复数形式中的幅值部分就是它们的最大值。
此外，复数表示法还能够方便地进行相量运算。
相量是有大小和方向的量，它可以用复数表示出来。
通过对电压和电流进行复数相乘，我们可以得到功率的复数表示。
功率的实部表示有功功率，虚部表示无功功率。
综上所述，交流电的复数表示法是电路基础原理中重要的概念。
它能够方便地计算和分析交流电路中的电压和电流，并且能够进行相量运算。
掌握复数表示法，对于理解和解决交流电路中的各种问题非常有帮助。
三相正弦交流电路基础知识讲解
. UVW
－IW. U
. IU
(a)
(b)
图 5.10 负载的三角形连接及电压、 电流相量图
第5章 三相正弦交流电路
5.2.2 负载的三角形（△）连接（二）
1、负载的相电压等于电源的线电压
•
•
•
2、相电流为
•
I UV
UUV
,
•
I VW
U VW
,
•
I WU
U WU
ZUV
ZVW
ZWU
3、线电流为
•
•
•
U N'N
ZU 1
ZV 1
ZW 1
ZU ZV ZW
若负载对称, 即 ZU ZV ZW Z Z ，则
第5章 三相正弦交流电路
5.2.1 负载的星形（Y）连接（六）
•
•
•
•
U N'N
UU ZU
1
UV UW ZV ZW
11
1
•
(U U
•
UV
•
UW
)
Z 3
0
ZU ZV ZW
Z
•
•
•
UU UV UW
•
•
IV 2 I U 2 120
•
•
I W1 I U1 120 ,
•
•
I W 2 I U 2 120
第5章 三相正弦交流电路
5.3.2 对称三相电路的一般解法（五）
•
•
I UV2
IU2 3
30
•
•
I VW2
IV2 3
30
•
•
I WU2
IW2 3
交流电路的复数解法_2013
1
2
1
2
Z~ Z~ Z~
1
2
U~ U~1 U~2 ,
并联电路
I~ I~1 I~2 ,
1 Z~1
1 Z~2
1 Z~
例题：求R、L、C串并联电路的总阻抗
和相位差
• 先算L、R 串联电路
的复阻抗ZLR
Z~LR Z~L Z~R R jL
再算总电 路复阻抗
交流电路的复数解法
一、交流电路的复数解法
矢量图解法比较直观，运算简单。但在一些复 杂的电路中，特别是要用交流电路的基尔霍夫方程 组才能解决的复杂电路，矢量图往往无法预先画出， 采用矢量图解法就甚感困难。这里我们介绍另一种 普遍性计算方法，即借助复数理论讨论简谐交流电 路，这种方法称复数解法。用复数表示，交流电路 的各种公式都写成和直流电路十分相似的形式，这 是复数解法的一个很大优点。
由I P 可看出,要减小电流
Ucos
就必须设法提高电路的功率因数
cos 的值, 使其尽可能接近 1.
常用电路的功率因数
纯电阻电路
纯电感电路或 纯电容电路
R-L-C串联电路
电动机 空载 电动机 满载
日光灯 （R-L串联电路）
cos 1 ( 0)
cos 0 ( 90)
I
C
0
I/I 0 0
I
U0
R2 (L 1 )2
C
f
f1 fo f2
2
2
f o 0
f
arctan L 1/ C
R
根据以上结果，我们来分析串联谐振电路的主要特征： 1、谐振频率
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
| F1 | 1 | F2 | 2
F1 F2
/1 2
三、旋转因子
e j 1/
是一个模等于1，辐角为θ的复数。
任意复数A乘以e jθ
等于把复数A逆时针旋转一个角度θ， 而A的模值不变。
j
e2j
j
e 2 -j
e j -1
因此，“±j”和“-1”都可以看成旋转因子。
例如
一个复数乘以j， 等于把该复数逆时针旋转π/2，
1、基尔霍夫电流定律
对电路中任一点，根据KCL有 Σ i = 0
其相量形式为
•
I 0
2、基尔霍夫电压定律
对电路任一回路，根据KVL有 Σ u = 0
其相量形式为
•
U 0
二、电阻、电感和电容元件的VCR相量形式
1、电阻元件 瞬时值表达式 iR R
+ uR -
uR RiR
+j
•
相量形式
•
IR R
•
F1 + F2 = ( 3 - j 4 ) + ( -7.07 + j 7.07 )
= - 4.07 + j3.07 = 5.1 /143°
F1 F2
=
3-j4 10 /135°
= 5 /-53.1 ° 10 /135°
= 0.5 /-188.1 °
= 0.5 /171.9 ° 辐角应在主值范围内
i Im cos(t i )
u U m cos(t u ) 相位差 u i
相位差也是在主值范围内取值。 φ > 0，称u超前i； φ < 0，称u落后i； φ = 0，称u,i 同相；
φ = π/2，称u，i 正交； φ = π ，称u，i 反相。
例：i = 10 sin(314t+30°) A u= 5 cos(314t-150°) V
UR
IR
+
•-
UR
i u
•
•
UR RIR
O
+1
相量图
2、电感元件
瞬时值表达式 iL L
+
uL
-
uL
Hale Waihona Puke Ldi dt•
+j
相量形式
•
IL
L
+
•
UL
•
•
UL
-
•
u I L
i
O 相量图
+1
U L jL IL
3、电容元件
瞬时值表达式
iC C
+
iC
C
duC dt
uC -
求电压和电流的相位差。
30 (150) 180
i = 10 sin(314t+30°) = 10 cos(314t+30°-90°) = 10 cos(314t-60°)
60 (150) 90
正弦量相应符号的正确表示
瞬时值表达式 i = 10 cos(314 t + 30°)A 变量，小写字母
一个复数除以j， 等于把该复数乘以-j， 等于把它顺时针旋转π/2 。
虚轴等于把实轴+1乘以j而得到的。
例：设F1=3-j4，F2=10 /135° 求 : F1+ F2 和 F1/ F2 。
解：求复数的代数和用代数形式：
F2 = 10 /135°
=10（cos135°+jsin135°) = -7.07 + j7.07
正弦量的概念
一、正弦量
电路中按正弦规律变化的电压或电流，统称为正 弦量。
对正弦量的描述，可以用sine，也可以用cosine。 用相量法分析时，不要两者同时混用。本讲采用 cosine。
二、正弦量的三要素
i
+
u-
瞬时值表达式： i I m cos(t i )
1、振幅（最大值） Im
正弦量在整个振荡过程中达到的最大值。
j 1 为虚单位 复数F 的实部 Re[F ] = a
+j b
复数F 的虚部 Im[F ] = b
复数 F 在复平面上可以用一条从 O 原点O 指向F 对应坐标点的有向 线段表示。
F a +1
2、三角形式
+j
b
O
F a +1
F F (cos j sin )
模
F a2 b2
辐角 arctan b
• 1、掌握正弦量的三要素和有效值 • 2、掌握电感、电容元件电流电压关系的
相量形式及基尔霍夫定律的相量形式 • 3、掌握阻抗、导纳、有功功率、无功功
率、视在功率和功率因数的概念 • 4、熟练掌握正弦电路分析的相量方法
• 5、了解频率特性的概念
预备知识——复数
一、复数的形式
1、代数形式
F = a + jb
O
π
2π
ωt
i
(t i ) 称为正弦量的相位，或称相角。
三、正弦量的有效值
def
I
1 T i2dt T0
def
I
1 T
T 0
Im 2
cos2
(t
i
)dt
c os2
(t
i
)
1
c os [2(t
2
i
)]
I Im / 2 0.707Im
I Im 2
U Um 2
E Em 2
四、同频率正弦量相位的比较
F1 F2 (a1 jb1) (a2 jb2 )
几何意义 +j (a1 a2 ) j(b1 b2 )
F1 F2
F1
F2
O
F2
F1 F2
+1
3、乘法
用极坐标形式比较方便
设
F1 | F1 | 1
F2 | F2 | 2
F1F2 F1 1 F2 2 F1 F2 /1 2
4、除法
最大值 Im= 10A
有效值
I=
10 2
A
常数，大写字母加下标m 常数，大写字母
最大值相量
•
Im
10
/30
A
有效值相量
•
I
10
/ 30
2
常数，大写字母加 下标m再加点
常数，大写字母加点
5 2 / 30 A
电路定律的相量形式
一、基尔霍夫定律
正弦电流电路中的各支路电流和支路电压都
是同频正弦量，所以可以用相量法将KCL和KVL 转换为相量形式。
a
3、指数形式 根据欧拉公式
e j cos j sin
F F (cos j sin )
F F e j
4、极坐标形式
F =|F| /θ
3+j4= 5 /53.1°
× -3+j4= 5 /-53.1 °
10 /30 ° =10(cos30 °+ jsin30 °)
=5 /126.9 °
=8.66+j5
二、复数的运算
1、加法
用代数形式进行，
设
F1 a1 jb1
F2 a2 jb2
F1 F2 (a1 jb1) (a2 jb2 )
(a1 a2 ) j(b1 b2 )
几何意义
+j F1 F2
F2
F1
O
+1
2、减法
用代数形式进行，
设
F1 a1 jb1
F2 a2 jb2
2、角频率ω
i
反映正弦量变化的快慢
Im
单位 rad/s ωT=2π ω=2πf
2π O
π 2π ωt
i
f=1/T
频率f 的单位为赫兹（Hz）
周期T的单位为秒（s）
工频，即电力标准频率：f =50Hz,
T = 0.02s
ω =314 rad/s
3、初相位（角） i
主值范围内取值 i 180
i
Im 2π