运筹学习题集(第二章)

判断题

判断正误，如果错误请更正

第二章线形规划的对偶理论

1.原问题第i个约束是<=约束,则对偶变量yi>=0.

2.互为对偶问题,或则同时都有最优解,或则同时都无最优解.

3.原问题有多重解,对偶问题也有多重解.

4.对偶问题有可行解,原问题无可行解,则对偶问题具有无界解.

5.原问题无最优解,则对偶问题无可行解.

6.设X,Y分别为｛minZ=CX｜AX>=b,X>=0｝和｛maxw=Yb｜YA<=C,Y>=0｝的可行解,则有

(1)CX<=Yb;

(2)CX是w的上界;

(3)当X,Y为最优解,CX=Yb;

(4)当CX=Yb 时,有YXs+YsX=0;

(5)X为最优解且B是最优基时,则Y=CB-1是最优解;

(6)松弛变量Ys的检验数是λs,则X=-λs是基本解,若Ys是最优解, 则X=-λs是最优

解.

7.原问题与对偶问题都可行,则都有最优解.

8.原问题具有无界解,则对偶问题可行.

9.若X,Y是原问题与对偶问题的最优解.则X=Y.

10.若某种资源影子价格为0,则该资源一定有剩余.

11影子价格就是资源的价格.

12.原问题可行对偶问题不可行,可用对偶单纯形法计算.

13.对偶单纯形法比值失效说明原问题具有无界解.

14.对偶单纯形法是直接解对偶问题的一种解法.

15.减少一个约束,目标值不会比原来变差.

16.增加一个约束,目标值不会比原来变好.

17增加一个变量, 目标值不会比原来变差.

18.减少一个非基变量, 目标值不变.

19.当Cj(j=1,2,3,……，n)在允许的最大范围内同时变化时，最优解不变。

选择题

在下列各题中，从4个备选答案中选出一个或从5个备选答案中选出2~5个正确答案。

第二章线性规划的对偶理论

1.如果决策变量数列相等的两个线规划的最优解相同，则两个线性规划 A约束条件相同

B目标函数相同 C最优目标函数值相同 D以上结论都不对

2.对偶单纯形法的最小比值规则是为了保证 A使原问题保持可行 B使对偶问题保持可行

C逐步消除原问题不可行性 D逐步消除对偶问题不可行性

3.互为对偶的两个线性规划问题的解存在关系 A若最优解存在，则最优解相同 B原问题

无可行解，则对偶问题也无可行解 C对偶问题无可行解，原问题可能无可行解 D一个问题无界，则另一个问题无可行解 E一个问题无可行解，则另一个问题具有无界解4.已知规范形式原问题（max）的最优表中的检验数为（λ1，λ2，……λn），松弛变量

的检验数为（λn+1,λn+2,……λn+m）,则对偶问题的最优解为 A—（λ1，λ2，……

λn） B （λ1，λ2，……λn） C —（λn+1,λn+2,……λn+m）D（λn+1,λn+2,……

λn+m）

5.原问题与对偶问题都有可行解，则 A原问题有最优解，对偶问题可能没有最优解B原

问题与对偶问题可能都没有最优解 C可能一个问题有最优解，另一个问题具有无界解D 原问题与对偶问题都有最优解

计算题

线性规划问题和对偶问题

对于如下的线性规划问题

min z = 3x

1 + 2x

2

+x

3

. x

1 + x

2

+ x

3 ≤ 15 (1)

2x

1 - x

2

+ x

3≥ 9 (2)

-x

1 + 2x

2

+2x

3≤ 8 (3)

x

1 x

2

x

3 ≥ 0

1、写出题目中线性规划问题的对偶问题；

2、分别求出原始问题和对偶问题的最优解（求解的次序和方法不限）；

解答：1、写出题目中线性规划问题的对偶问题；

解：max w = 15y1 + 9y2 + 8y3

. y

1 + 2y

2

- y

3 ≤ 3 (1)

y

1 - y

2

+ 2y

3≤ 2 (2)

y

1 + y

2

+ 2y

3≤ 1 (3)

y

1≤0、 y2 ≥0、y3 ≤0

2、分别求出原始问题和对偶问题的最优解（求解的次序和方法不限）；

解：先将原问题化成以下形式，则有

mi n z = 3x1 + 2x2 + x3

. x

1 + x

2

+ x

3

+ x

4

= 15 (1)

-2x

1 + x

2

- x

3

+ x

5

= -9 (2)

-x

1 + 2x

2

+2x

3

+x

6

= 8 (3)

x

1 x

2

x

3

x

4

x

5

x

6 ≥ 0

原始问题的最优解为（X1 X2 X3 X4 X5 X6）=（2，0，5，8，0，0），minz=11

对偶问题的最优解为（y1 y2 y3 y4 y5 y6）=（0，7/5，-1/5，0，19/5，0），maxw=11对于以下线性规划问题

max z = -x

1 - 2x

2

. -2x

1 + 3x

2≤ 12 (1)

-3x

1 + x

2≤ 6 (2)

x

1 + 3x

2≥ 3 (3)

x

1≤ 0， x2≥ 0

1、写出标准化的线性规划问题；

2、用单纯形表求出这个线性规划问题的最优解和最优的目标函数值；

3、写出这个（极大化）线性规划问题的对偶问题；

4、求出对偶问题的最优解和最优解的目标函数值；

5、第（2）个约束右端常数b2=6在什么范围内变化，最优解保持不变。解答：1、写出标准化的线性规划问题:令x1*=- x1

max z = x1*- 2x2

. 2x

1* + 3x

2

+ x

3

= 12 (1)

3x

1* + x

2

+ x

4

= 6 (2)

-x

1* + 3x

2

-x

5

= 3 (3)