2007年温州市摇篮杯高一数学竞赛试题及答案

2007年温州市摇篮杯高一数学竞赛试题及答案2007年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试题（2007年4月15日）1、已知集合{}|1,A x x x R =≠∈，AB R=，则集合B 不可能．．．是（ ）A 、{}|1,x x x R >-∈B 、{}|1,x x x R <-∈C 、{}|1,x x x R ≠-∈D 、{}0,1 2、已知sin36a ︒=，则sin108︒等于（ ）A 、3aB 、334a a - C 、334a a + D 、221a --3、已知c b a ,,均为正数,且都不等于1,若实数z y x ,,满足0111,=++==zy x c b a z y x ,则abc 的值等于（ ）A 、1B 、2C 、3D 、44、将正整数中所有被7整除的数删去，剩下的数依照从小到大的顺序排成一个数列{}na ，则100a 等于（ ） A 、114 B 、115C 、116D 、1175、今有一组实验数据如下：x 0 1 2 3 4 y15312最能近似地表达这些数据规律的函数模型是（ ）A 、xy b a =•B 、21y bxax =++C 、2()y x x a b=-+D 、sin()y A x B ωϕ=++6、已知函数()2f x xbx c=++，若方程()f x x =无实根，则（ ）A 、对一切实数x ，不等式()f f x x >⎡⎤⎣⎦都成立B 、对一切实数x ，不等式()f f x x <⎡⎤⎣⎦都成立C 、存在实数b 和c ，使得不等式()f f x x <⎡⎤⎣⎦对一切实3260OA OB OC +-=且::5:4:3AB BC CA =，下列结论错误．．的是 （）A 、点O 在ABC ∆外；B 、::6:3:2AOBBOC COA SS S ∆∆∆=C 、点O 到,,AB BC CA 距离的比是72:45:40D 、,,,O A B C 四点共圆；二、填空题：本大题共6小题，每小题8分，共48分。

9、函数()cos cos()2f x x x π=++的最小正周期是 ．10、设12,e e 是两个不共线的向量，若向量12()a e e R λλ=-∈与得分 评卷人向量12(4)b e e λ=--共线且方向相同，则λ=．11、已知,a b 满足约束条件：2122a b a b b a⎧-≥-⎪+≤⎨⎪≥⎩，则a b +的最大值等于 ．12、已知函数()()11,021,0xx f x f x x ⎧⎛⎫-≤⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪->⎩，则13()5f 21()5f （填“>”或“<”）.13、现有1000个苹果，分别装到10个箱子里，要求可随意拿到任何数目的苹果但不拆箱，是否可行？若行，每个箱子放的苹果数分别是多少？若不行，请说明理由； 答：．14、记{},max ,,a a ba b b a b≥⎧=⎨<⎩设221max ,x y t xy ⎧⎫+=⎨⎬⎩⎭，其中,x y R +∈，则t 的最小值为 ．三、解答题：本大题共3小题，共54分。

15、（本题满分16分）已知ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，G 为ABC∆的重心，且满足AB CG BC AG=．（1）证明：222,,a b c 成等差数列； （2）求函数223sin 23y B B π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的最大值．16、（本题满分18分）已知函数()af x x a x=+-， （1）若方程()0f x =有正根，求实数a得分 评卷人得分 评卷人的取值范围；（2）设()|()|，且()g x在区间[0,1]上是减函数，求g x xf x实数a的取值范围．17、（本题满分20分）已知斐波那契数列{}nF 满足：11F =，21F =，()21*n n n FF F n N ++=+∈，若数列{}1n n FF λ++是等比数列（λ为实常数）．（1）求出所有λ的值，并求数列{}nF 的通项公式；（2）求证:12200711172F F F +++<2007年温州市高一数学竞赛参考答案与评分标准一、选择题（每小题6分，共48分）题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８答案BBACCADD二、填空题（每小题8分，共48分）9、2π 10、2- 11、5312、＜ 13、行，各个箱子放的苹果数依次为1,2,4,8,16,32,64,128,256,489 14、2三、解答题（共5４分）15、（1）证明：由已知得11()()()()33CB CA CB CA AC AB AC AB -⋅+=-⋅+ 2222||||||AC BC AB ∴=+---------------------------------------------------------7分；即222,,a b c 成等差数列； -------------------------8分；（2）、由（1）得2222ba c =+，()22222112cos 222a c a cb B ac ac ++-∴==≥03B π∴<≤，----------------------------------------------------------------------12分；1333sin 2sin(2)323y B B B B π=-++=-又因为,3B yπ∴=当的最大值为332-----------------------------------------------16分。

16、解：（1）方程0a x a x +-=有正根⇔方程2xax a -+=有正根．-----------2分 24a a ∆=-①当∆=，即a =或4a =时，经检验4a =符合题意．------------------- 4分②当0∆>，即4a >或0a <时，设方程2xax a -+=的两个根为1x 、2x ，4a >时，使得1212x x x x +>⎧⎨>⎩成立，所以4a >符合题意a <时，使得12x x< 成立，所以0a <符合题意．综上，4a ≥或a <-------------------------------------------------- 9分（2）22()|()|24a a g x x a =-+-①当24a a -≥即04a ≤≤时，()g x 在区间(,]2a -∞上是减函数，又已知()g x 在区间[0,1]上是减函数，12a∴≥即2a ≥，24a ∴≤≤--------------------------------------------------12分②当24a a -<即40a a ><或时，设方程()0g x =的两根为12,x x 且12x x <，此时()g x在区间1(,]x -∞或区间2[,]2a x 上是减函数，若[0,1]⊂1(,]x -∞，则11121(1)0a x f ⎧>⎪≥⇔⎨⎪>⎩得2a >4a ∴>-------------------------------------------------15分 若[0,1]⊂2[,]2ax ，则2021a x ⎧≤⎪⎨⎪≥⎩021(1)0af ⎧≤⎪⇔⎨⎪≤⎩此时a 不存在综上，2a ≥--------------------------------------------------18分17、（1）解：设211()(0)n n n n F F q F F q λλ++++=+≠ 则21()n n nFq F q F λλ++=-+又因为21n n nFF F ++=+11q q λλ-=⎧∴⎨=⎩ 解得15151515q q λλ⎧⎧-+--==⎪⎪⎪⎪⎨⎨+-⎪⎪==⎪⎪⎩⎩或---------------------------------------3分；111515n n n n F F ++⎧⎫⎧⎫-+--⎪⎪⎪⎪∴+⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎭数列和都是等比数列111515(1515(nn n nn n F F ++⎧-++=⎪⎪∴⎨---⎪=⎪⎩两式相减得，1515[()(]5n nn F +-=-----------------------------------------8分； （2）证： 显然0nF>，211n n n n FF F F +++∴=+>，}{nF ∴为递增数列．21n n n n nF F F F F ++∴=+>+，即22n nF F +>------------------------------------------12分；22210011001759752007200520035225,2225,,22225F F F F F F F F F ∴>=⨯>>=⨯>>>>=⨯222100010008610862006200420026228,2228,,22228F F F F F F F F F ∴>=⨯>>=⨯>>>>=⨯------------------------------------------16分；21001212200710011000100011111111111111()(235825252528281111[1()][1()]15111115111112222)1128235858235858112255972602F F F ∴+++<+++++++++++⨯⨯⨯⨯⨯--++=++++⨯+⨯<+++++⨯--=+<12200711172F F F ∴+++<--------------------------------------------------20分；。