解析-2020年江苏省高考数学试卷(解析版)
高为 2 cm，内孔半轻为 0.5 cm，则此六角螺帽毛坯的体积是____cm.
【答案】12 3 2
【解析】 【分析】 先求正六棱柱体积，再求圆柱体积，相减得结果.
【详解】正六棱柱体积为 6 3 22 2=12 3 4
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圆柱体积为 (1 )2 2
2
2
所求几何体体积为12 3 2
4 5
，当且仅当
1 5y2
4y2 5
，即 x2
3 , y2 10
1 时取等号. 2
∴
x2
y2
的最小值为
4 5
.
4
故答案为： .
5
【点睛】本题考查了基本不等式在求最值中的应用.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，
二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积
CD
的长度是________．
2
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18
【答案】
5
【解析】
【分析】
根据题设条件可设
PA
PD
0
，结合
PA
mPB
3 2
m
PC
与
B,
D,
C
三点共线，可求得
，再根据
勾股定理求出 BC ，然后根据余弦定理即可求解.
【详解】∵ A, D, P 三点共线，
∴可设
PA
PD
0
PA PD 0 ．
14.在平面直角坐标系 xOy 中，已知 P(
3 ，0) ，A，B 是圆 C：x2 2
(y 1)2 2
36 上的两个动点，满足 PA
PB ，
则△PAB 面积的最大值是__________．
【答案】10 5
【解析】 【分析】
根据条件得 PC AB ,再用圆心到直线距离表示三角形 PAB 面积，最后利用导数求最大值. 【详解】 Q PA PBPC AB
绝密★启用前
2020 年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）
数学Ⅰ 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1．本试卷共 4 页，均为非选择题(第 1 题~第 20 题，共 20 题)。本卷满分为 160 分，考试时间 为 120 分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回. 2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题 卡的规定位置. 3．请认真核对监考员从答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符. 4．作答试题，必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作 答一律无效. 5．如需作图，须用 2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗. 参考公式： 柱体的体积V Sh ，其中 S 是柱体的底面积， h 是柱体的高． 一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分．请把答案填写在答．题．卡．相．应．位．置． 上．． 1.已知集合 A {1, 0,1, 2}, B {0, 2, 3}，则 A B _____.
【答案】2 【解析】 【分析】 根据平均数的公式进行求解即可．
【详解】∵数据 4, 2a, 3 a, 5, 6 的平均数为 4 ∴ 4 2a 3 a 5 6 20 ，即 a 2 .
故答案为：2. 【点睛】本题主要考查平均数的计算和应用，比较基础． 4.将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷 2 次，观察向上的点数，则点数和为 5 的概率是_____.
4
【答案】
5
【解析】
【分析】
根据题设条件可得 x2
1 y4 5y2
，可得 x2
y2
1 y4 5y2
y2
1 5y2
+ 4y2 5
，利用基本不等式即可求解.
【详解】∵ 5x2 y2 y4 1
∴
y
0
且
x2
1 y4 5y2
∴
x2
y2
1 y4 5y2
y2
1 5y2
+ 4y2 5
2
1 4y2 5y2 5
依题意 Sn
Pn
Qn
，即 n2
n
2n
1
d 2
n2
a1
d 2
n
1
b1 q
q
n
b1 1q
，
d 2
1
d 2
通过对比系数可知
a1
d 2
q 2
1
aq120 ，故 d
q
4
.
b1 1 q
1
b1 1
故答案为： 4 【点睛】本小题主要考查等差数列和等比数列的前 n 项和公式，属于中档题.
12.已知 5x2 y2 y4 1(x, y R) ，则 x2 y2 的最小值是_______．
设圆心 C 到直线 AB 距离为 d ，则 |AB|=2 36 d 2 ,| PC | 3 1 1 44
所以 SV PAB
1 2
2
36 d 2 (d 1)
(36 d 2 )(d 1)2
令 y (36 d 2)(d 1)2(0 d 6) y 2(d 1)(2d 2 d 36) 0d 4 （负值舍去）
【详解】由于 2x 0 ，所以 y x 1 2 ，解得 x 3 .
故答案为： 3
【点睛】本小题主要考查根据程序框图输出结果求输入值，考查指数函数的性质，属于基础题.
6.在平面直角坐标系 xOy 中，若双曲线 x2 ﹣ y2 =1(a＞0)的一条渐近线方程为 y= 5 x，则该双曲线的离心
a2 5
0
，解得
x
18 5
，
∴ CD 的长度为 18 . 5
当 m 0 时，
PA
3
PC
，
C,
D
重合，此时
CD
的长度为
0
，
2
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当m
3
时， PA
3
PB ，
B, D 重合，此时
PA
12 ，不合题意，舍去.
2
2
18
故答案为：0 或 .
5
【点睛】本题考查了平面向量知识的应用、余弦定理的应用以及求解运算能力，解答本题的关键是设出
(8)
2
83
4 ，因为
f
(x) 为奇函数，所以
f
(8)
f
(8)
4
故答案为： 4
【点睛】本题考查根据奇函数性质求函数值，考查基本分析求解能力，属基础题.
8.已知 sin2 ( ) = 2 ，则 sin 2 的值是____.
4
3
【答案】 1 3
【解析】
【分析】
直接按照两角和正弦公式展开，再平方即得结果.
11.设{an}是公差为 d 的等差数列，{bn}是公比为 q 的等比数列．已知数列{an+bn}的前 n 项和
Sn n2 n 2n 1(n N ) ，则 d+q 的值是_______．
【答案】 4
【解析】
【分析】
结合等差数列和等比数列前 n 项和公式的特点，分别求得an,bn 的公差和公比，由此求得 d q .
【详解】设等差数列an 的公差为 d ，等比数列bn 的公比为 q，根据题意 q 1.
等差数列an 的前 n 项和公式为 Pn
na1
n n 1
d 2
d 2
n2
a1
d 2
n
，
等比数列bn的前 n 项和公式为 Qn
b1
1 qn 1 q
b1 q n b1 ， 1q 1q
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15.在三棱柱 ABC-A1B1C1 中，AB⊥AC，B1C⊥平面 ABC，E，F 分别是 AC，B1C 的中点．
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（1）求证：EF∥平面 AB1C1； （2）求证：平面 AB1C⊥平面 ABB1． 【答案】（1）证明详见解析；（2）证明详见解析. 【解析】 【分析】
（1）通过证明 EF //AB1 ，来证得 EF // 平面 AB1C1 . （2）通过证明 AB 平面 AB1C ，来证得平面 AB1C 平面 ABB1 . 【详解】（1）由于 E, F 分别是 AC, B1C 的中点，所以 EF //AB1 . 由于 EF 平面 AB1C1 , AB1 平面 AB1C1 ，所以 EF // 平面 AB1C1 . （2）由于 B1C 平面 ABC ， AB Ì 平面 ABC ，所以 B1C AB . 由于 AB AC, AC B1C C ，所以 AB 平面 AB1C , 由于 AB Ì 平面 ABB1 ，所以平面 AB1C 平面 ABB1 .
，
∵
PA
mPB
3 2
m
PC
，
∴
PD
mPB
3 2
m
PC
，即
PD
m
PB
3 2
m
PC
，
若 m 0 且 m 3 ，则 B, D, C 三点共线， 2
∴
m
3 2
m
，即
1
3 2
，
∵ AP 9 ，∴ AD 3 ，
∵ AB 4 , AC 3 , BAC 90 ，
【详解】 Q sin2 ( ) ( 2 cos 2 sin )2 1 (1 sin 2)
4
2
2
2
1 (1 sin 2 ) 2 sin 2 1
2
3
3
1
故答案为：
3
【点睛】本题考查两角和正弦公式、二倍角正弦公式，考查基本分析求解能力，属基础题.
9.如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为 2 cm，
2020年江苏省高考数学试卷 试题+答案详解
E 为 AC 的中点． （1）求直线 AB 与 DE 所成角的余弦值；
1
（2）若点 F 在 BC 上，满足 BF= BC，
4
设二面角 F—DE—C 的大小为θ，求 sinθ的值．
25.甲口袋中装有 2 个黑球和 1 个白球，乙口袋中装有 3 个白球．现从甲、乙两口袋中各任 取一个球交换放入另一口袋，重复 n 次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为 Xn，恰有 2 个 黑球的概率为 pn，恰有 1 个黑球的概率为 qn． （1）求 p1·q1 和 p2·q2； （2）求 2pn+qn 与 2pn-1+qn-1 的递推关系式和 Xn 的数学期望 E(Xn)(用 n 表示) ．
a1
d 2
q 2
1
aq120
，∴
d
q
4
.
b1 1 q
1
b1 1
12【答案】 4 5
【解析】∵
5x2
y2
y4
1，∴
y
0
且
x2
1 y4 5y2
∴
x2
y2
1 y4 5y2
y2
1 5y2
+
4y2 5
2
1 4y2 4 ， 5y2 5 5
当且仅当
1 5y2
4y2 5
，即
x2
3 , y2 10
等差数列 an 的前 n 项和公式为 Pn
na1
nn 1
d 2
d n2 2
a1
d 2
n
，
等比数列bn 的前
n
2020年江苏省高考数学试卷 试题详解
2020年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数 学 Ⅰ注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1．本试卷共4页，均为非选择题(第1题~第20题，共20题)。
本卷满分为160分，考试时间为120分钟。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.3．请认真核对监考员从答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.4．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效.5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.参考公式：柱体的体积V Sh =，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位．．．．．．置上．．． 1.已知集合{1,0,1,2},{0,2,3}A B =-=，则AB =_____. 【答案】{}0,2【解析】∵{}1,0,1,2A =-,{}0,2,3B =，∴{}0,2AB =. 2.已知i 是虚数单位，则复数(1i)(2i)z =+-的实部是_____.【答案】3【解析】∵复数()()12z i i =+-,∴2223z i i i i =-+-=+∴复数的实部为3.故答案为3.3.已知一组数据4,2,3,5,6a a -的平均数为4，则a 的值是_____.【答案】2【解析】∵数据4,2,3,5,6a a -的平均数为4∴4235620a a ++-++=，即2a =.4.将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是_____. 【答案】19 【解析】根据题意可得基本事件数总为6636⨯=个. 点数和为5的基本事件有()1,4,()4,1,()2,3,()3,2共4个.∴出现向上的点数和为5的概率为41369P ==. 5.如图是一个算法流程图,若输出y 的值为2-,则输入x 的值是_____.【答案】3-【解析】由于20x >，所以12y x =+=-，解得3x =-.6.在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线()222105x y a a-=>的一条渐近线方程为5y x =，则该双曲线的离心率是____. 【答案】32 【解析】∵双曲线22215x y a -=，∴5b =. 由于双曲线的一条渐近线方程为52y x =，即522b a a =⇒=， ∴22453c a b =+=+=，∴双曲线的离心率为32c a =. 7.已知()y f x =是奇函数，当0x ≥时()23 f x x =,则()8f -的值是____.【答案】4-【解析】23(8)84f ==,∵()f x 为奇函数，∴(8)(8)4f f -=-=-.8.已知2sin ()4πα+ =23，则sin2α的值是____. 【答案】13【解析】∵22221sin ()(cos sin )(1sin 2)42παααα+=+=+， ∴12(1sin 2)23α+=,∴1sin 23α=. 9.如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为2 cm ，高为2 cm ，内孔半轻为0.5 cm ，则此六角螺帽毛坯的体积是____cm.【答案】1232π【解析】正六棱柱体积为23622=1234⨯⨯,圆柱体积为21()222ππ⋅= ∴所求几何体体积为1232π.10.将函数πsin(32)4y x =﹢的图象向右平移π6个单位长度，则平移后的图象中与y 轴最近的对称轴的方程是____.【答案】524x π=- 【解析】3sin[2()]3sin(2)6412y x x πππ=-+=- 令2()122x k k Z πππ-=+∈,得7()242k x k Z ππ=+∈。
2020年江苏高考数学试题解析
绝密★启用前2020年一般高等学校招生全国统一考试(江苏卷)数学I参考公式： （1）样本数据12,,,n x x x 的方差2211()n i i s x x n ==-∑,其中11n i i x x n ==∑（2）直柱体的侧面积S ch =，其中c 为底面周长，h 是高 （3）柱体的体积公式V Sh =，其中S 为底面面积，h 是高一、填空题：本大题共14小题，每题5分，共70分。
请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．。
一、已知集合{1,1,2,4},{1,0,2},A B =-=- 那么_______,=⋂B A 答案：{}1－，2解析：考察简单的集合运算，容易题。
二、函数)12(log )(5+=x x f 的单调增区间是__________答案：+∞1（－）2解析：考察函数性质，容易题。
3、设复数i 知足i z i 23)1(+-=+（i 是虚数单位），那么z 的实部是_________ 答案：1解析：简单考察复数的运算和概念，容易题。
4、依照如下图的伪代码，当输入b a ,别离为2，3时，最后输出的m 的值是________答案：3解析：考察算法的选择结构和伪代码，是容易题。
五、从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，那么其中一个数是另一个的两倍的概率是______★此卷上交考点保存★ 姓名___________________ 准考证号___________________9第题图答案：13解析：简单考察古典概型的概率计算，容易题。
六、某教师从礼拜一到礼拜五收到信件数别离是10，6，8，5，6，那么该组数据的方差___2=s 答案：165解析：考察方差的计算，能够先把这组数都减去6再求方差，165，容易题。
7、已知,2)4tan(=+πx 那么xx2tan tan 的值为__________答案：49解析：考察正切的和差角与倍角公式及其运用，中档题。
22tan()11tan tan 1tan 44tan tan(),2tan 443tan 229tan()141tan x x x x x x x x x xππππ+-+-===++（－）＝＝＝－八、在平面直角坐标系xOy 中，过坐标原点的一条直线与函数xx f 2)(=的图象交于P 、Q 两点，那么线段PQ长的最小值是________ 答案：4解析：考察函数与方程，两点间距离公式和大体不等式，中档题。
2020年江苏省高考数学试卷(含答案详解)
绝密★启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1．本试卷共4页，均为非选择题(第1题~第20题，共20题)。
本卷满分为160分，考试时间为120分钟。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.3．请认真核对监考员从答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.4．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效.5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.参考公式：柱体的体积V Sh =，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上．．1.已知集合{1,0,1,2},{0,2,3}A B =-=，则A B = _____.2.已知i 是虚数单位，则复数(1i)(2i)z =+-的实部是_____.3.已知一组数据4,2,3,5,6a a -的平均数为4，则a 的值是_____.4.将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是_____.5.如图是一个算法流程图，若输出y 的值为2-，则输入x 的值是_____.6.在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22x a ﹣25y =1(a ＞0)的一条渐近线方程为y=2x ，则该双曲线的离心率是____.7.已知y =f (x )是奇函数，当x ≥0时，()23 f x x =，则f (-8)的值是____.8.已知2sin ()4πα+=23，则sin 2α的值是____.9.如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为2cm ，高为2cm ，内孔半轻为0.5cm ，则此六角螺帽毛坯的体积是____cm.10.将函数y =πsin(2)43x ﹢的图象向右平移π6个单位长度，则平移后的图象中与y 轴最近的对称轴的方程是____.11.设{a n }是公差为d 的等差数列，{b n }是公比为q 的等比数列．已知数列{a n +b n }的前n 项和221()n n S n n n +=-+-∈N ，则d +q 的值是_______．12.已知22451(,)x y y x y R +=∈，则22x y +的最小值是_______．13.在△ABC 中，43=90AB AC BAC ==︒，，∠，D 在边BC 上，延长AD 到P ，使得AP =9，若3()2PA mPB m PC =+- （m 为常数），则CD 的长度是________．14.在平面直角坐标系xOy 中，已知(0)2P ，A ，B 是圆C ：221(362x y +-=上的两个动点，满足PA PB =，则△PAB 面积的最大值是__________．二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB ⊥AC ，B 1C ⊥平面ABC ，E ，F 分别是AC ，B 1C 的中点．（1）求证：EF ∥平面AB 1C 1；（2）求证：平面AB 1C ⊥平面ABB 1．16.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3,2,45a c B ===︒．（1）求sin C 的值；（2）在边BC 上取一点D ，使得4cos 5ADC ∠=-，求tan DAC ∠的值．17.某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底O 在水平线MN 上、桥AB 与MN 平行，OO '为铅垂线(O '在AB 上).经测量，左侧曲线AO 上任一点D 到MN 的距离1h (米)与D 到OO '的距离a (米)之间满足关系式21140h a =；右侧曲线BO 上任一点F 到MN 的距离2h (米)与F 到OO '的距离b (米)之间满足关系式3216800h b b =-+.已知点B 到OO '的距离为40米.（1）求桥AB 的长度；（2）计划在谷底两侧建造平行于OO '的桥墩CD 和EF ，且CE 为80米，其中C ，E 在AB 上(不包括端点).桥墩EF 每米造价k (万元)、桥墩CD 每米造价32k (万元)(k >0).问O E '为多少米时，桥墩CD 与EF 的总造价最低?18.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22:143x y E +=的左、右焦点分别为F 1，F 2，点A 在椭圆E 上且在第一象限内，AF 2⊥F 1F 2，直线AF 1与椭圆E 相交于另一点B ．（1）求△AF 1F 2的周长；（2）在x 轴上任取一点P ，直线AP 与椭圆E 的右准线相交于点Q ，求OP QP ⋅ 的最小值；（3）设点M 在椭圆E 上，记△OAB 与△MAB 的面积分别为S 1，S 2，若S 2=3S 1，求点M 的坐标．19.已知关于x 的函数(),()y f x y g x ==与()(,)h x kx b k b =+∈R 在区间D 上恒有()()()f x h x g x ≥≥．（1）若()()222 2()f x x x g x x x D =+=-+=∞-∞+，，，，求h (x )的表达式；（2）若2 1 ln ,()()()(0) x x g k x h kx k D f x x x =-+==-=+∞，，，，求k 的取值范围；（3）若()422242() 2() (48 () 4 3 02 f x x x g x x h x t t x t t t =-=-=--+<，，，[] , D m n =⊆⎡⎣，求证：n m -≤．20.已知数列{}*()∈n a n N 的首项a 1=1，前n 项和为S n ．设λ与k 是常数，若对一切正整数n ，均有11111k k kn n n S S a λ++-=成立，则称此数列为“λ–k ”数列．（1）若等差数列{}n a 是“λ–1”数列，求λ的值；（2）若数列{}n a 是2”数列，且a n ＞0，求数列{}n a 的通项公式；（3）对于给定的λ，是否存在三个不同的数列{}n a 为“λ–3”数列，且a n ≥0?若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由，数学Ⅱ(附加题)【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两小题．．．．．．．．，．并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．[选修4-2：矩阵与变换]21.平面上点(2,1)A -在矩阵11a b ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦M 对应的变换作用下得到点(3,4)B -．（1）求实数a ，b 的值；（2）求矩阵M 的逆矩阵1M -．B ．[选修4-4：坐标系与参数方程]22.在极坐标系中，已知点1π(,)3A ρ在直线:cos 2l ρθ=上，点2π(,6B ρ在圆:4sinC ρθ=上（其中0ρ≥，02θπ≤<）．（1）求1ρ，2ρ的值（2）求出直线l 与圆C 的公共点的极坐标．C ．[选修4-5：不等式选讲]23.设x ∈R ，解不等式2|1|||4x x ++≤．【必做题】第24题、第25题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．24.在三棱锥A —BCD 中，已知CB =CD =,BD =2，O 为BD 的中点，AO ⊥平面BCD ，AO =2，E 为AC 的中点．（1）求直线AB 与DE 所成角的余弦值；（2）若点F 在BC 上，满足BF =14BC ，设二面角F —DE —C 的大小为θ，求sin θ的值．25.甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球．现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复n 次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为X n ，恰有2个黑球的概率为p n ，恰有1个黑球的概率为q n ．（1）求p 1·q 1和p 2·q 2；（2）求2p n +q n 与2p n-1+q n-1的递推关系式和X n 的数学期望E (X n )(用n 表示)．绝密★启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1．本试卷共4页，均为非选择题(第1题~第20题，共20题)。
2020年江苏省高考数学试卷(解析版)
绝密★启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1．本试卷共4页，均为非选择题(第1题~第20题，共20题)。
本卷满分为160分，考试时间为120分钟。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.3．请认真核对监考员从答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.4．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效.5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.参考公式：柱体的体积V Sh =，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上．． 1.已知集合{1,0,1,2},{0,2,3}A B =-=，则A B =_____.2.已知i 是虚数单位，则复数(1i)(2i)z =+-的实部是_____.3.已知一组数据4,2,3,5,6a a -的平均数为4，则a 的值是_____.4.将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是_____.5.如图是一个算法流程图，若输出y 的值为2-，则输入x 的值是_____.6.在平面直角坐标系xOy中，若双曲线22x a ﹣25y =1(a ＞0)的一条渐近线方程为y=52x ，则该双曲线的离心率是____.7.已知y =f (x )是奇函数，当x ≥0时，()23 f x x = ，则f (-8)的值是____.8.已知2sin ()4πα+ =23，则sin 2α的值是____. 9.如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为2 cm ，高为2 cm ，内孔半轻为0.5 cm ，则此六角螺帽毛坯的体积是____cm.10.将函数y =πsin(2)43x ﹢的图象向右平移π6个单位长度，则平移后的图象中与y 轴最近的对称轴的方程是____.11.设{a n }是公差为d 的等差数列，{b n }是公比为q 的等比数列．已知数列{a n +b n }的前n 项和221()n n S n n n +=-+-∈N ，则d +q 的值是_______．12.已知22451(,)x y y x y R +=∈，则22x y +的最小值是_______．13.在△ABC 中，43=90AB AC BAC ==︒，，∠，D 在边BC 上，延长AD 到P ，使得AP =9，若3()2PA mPB m PC =+-（m 为常数），则CD 的长度是________．14.在平面直角坐标系xOy 中，已知3(0)P ，A ，B 是圆C ：221()362x y +-=上的两个动点，满足PA PB =，则△PAB 面积的最大值是__________．二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB ⊥AC ，B 1C ⊥平面ABC ，E ，F 分别是AC ，B 1C 的中点．（1）求证：EF∥平面AB1C1；（2）求证：平面AB1C⊥平面ABB1．16.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知3,2,45a c B===︒．（1）求sin C的值；（2）在边BC上取一点D，使得4cos5ADC∠=-，求tan DAC∠的值．17.某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底O 在水平线MN 上、桥AB 与MN 平行，OO '为铅垂线(O '在AB 上).经测量，左侧曲线AO 上任一点D 到MN 的距离1h (米)与D 到OO '的距离a (米)之间满足关系式21140h a =；右侧曲线BO 上任一点F 到MN 的距离2h (米)与F 到OO '的距离b (米)之间满足关系式3216800h b b =-+.已知点B 到OO '的距离为40米.（1）求桥AB 的长度；（2）计划在谷底两侧建造平行于OO '的桥墩CD 和EF ，且CE 为80米，其中C ，E 在AB 上(不包括端点).桥墩EF 每米造价k (万元)、桥墩CD 每米造价32k (万元)(k >0).问O E '为多少米时，桥墩CD 与EF 的总造价最低?18.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22:143x y E +=的左、右焦点分别为F 1，F 2，点A 在椭圆E 上且在第一象限内，AF 2⊥F 1F 2，直线AF 1与椭圆E 相交于另一点B ．（1）求△AF 1F 2的周长；（2）在x 轴上任取一点P ，直线AP 与椭圆E 的右准线相交于点Q ，求OP QP ⋅的最小值；（3）设点M 在椭圆E 上，记△OAB 与△MAB 的面积分别为S 1，S 2，若S 2=3S 1，求点M 的坐标．19.已知关于x 的函数(),()y f x y g x ==与()(,)h x kx b k b =+∈R 在区间D 上恒有()()()f x h x g x ≥≥．（1）若()()222 2()f x x x g x x x D =+=-+=∞-∞+，，，，求h (x )的表达式； （2）若2 1 ln ,()()()(0) x x g k x h kx k D f x x x =-+==-=+∞，，，，求k 的取值范围；（3）若()422242() 2() (48 () 4 3 02 f x x x g x x h x t t x t t t =-=-=--+<，，，[] , D m n =⊆⎡⎣，求证：n m -20.已知数列{}*()∈n a n N 的首项a 1=1，前n 项和为S n ．设λ与k 是常数，若对一切正整数n ，均有11111k k kn n n S S a λ++-=成立，则称此数列为“λ–k ”数列． （1）若等差数列{}n a 是“λ–1”数列，求λ的值；（2）若数列{}n a 2”数列，且a n ＞0，求数列{}n a 的通项公式；（3）对于给定的λ，是否存在三个不同的数列{}n a 为“λ–3”数列，且a n ≥0?若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由，数学Ⅱ(附加题)【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．[选修4-2：矩阵与变换]21.平面上点(2,1)A -在矩阵11a b ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦M 对应的变换作用下得到点(3,4)B -． （1）求实数a ，b 的值；（2）求矩阵M 的逆矩阵1M -．B ．[选修4-4：坐标系与参数方程]22.在极坐标系中，已知点1π(,)3A ρ在直线:cos 2l ρθ=上，点2π(,)6B ρ在圆:4sinC ρθ=上（其中0ρ≥，02θπ≤<）． （1）求1ρ，2ρ的值（2）求出直线l 与圆C 的公共点的极坐标．C ．[选修4-5：不等式选讲]23.设x ∈R ，解不等式2|1|||4x x ++≤．【必做题】第24题、第25题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．24.在三棱锥A—BCD中，已知CB=CD=5,BD=2，O为BD的中点，AO⊥平面BCD，AO=2，E为AC的中点．（1）求直线AB与DE所成角的余弦值；（2）若点F在BC上，满足BF=14BC，设二面角F—DE—C的大小为θ，求sinθ的值．25.甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球．现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复n次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为X n，恰有2个黑球的概率为p n，恰有1个黑球的概率为q n．（1）求p1·q1和p2·q2；（2）求2p n+q n与2p n-1+q n-1的递推关系式和X n的数学期望E(X n)(用n表示) ．绝密★启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1．本试卷共4页，均为非选择题(第1题~第20题，共20题)。
2020江苏高考数学试题答案解析
4
3
1
【答案】
3
直接按照两角和正弦公式展开，再平方即得结果.
【解析】 Q sin2 ( ) ( 2 cos 2 sin )2 1 (1 sin 2)
4
2
2
2
1 (1 sin 2 ) 2 sin 2 1
2
3
3
1
故答案为：
3
9.如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为 2 cm，
12 2
24 2
当 k 1时 x 5 24
故答案为： x 5 24
11.设{an}是公差为 d 的等差数列，{bn}是公比为 q 的等比数列．已知数列{an+bn}的前 n 项和
Sn n2 n 2n 1(n N ) ，则 d+q 的值是_______．
【答案】 4
结合等差数列和等比数列前 n 项和公式的特点，分别求得an,bn 的公差和公比，由此求得 d q . 【解析】设等差数列an 的公差为 d ，等比数列bn 的公比为 q，根据题意 q 1.
1 5y2
+ 4y2 5
，利用基本不等式即可求解.
【解析】∵ 5x2 y2 y4 1
∴
y
0
且
x2
1 y4 5y2
∴ x2
y2
1 y4 5y2
y2
1 5y2
+ 4y2 5
2
1 4y2 5y2 5
4 5
，当且仅当
1 5y2
4y2 5
，即 x2
3 , y2 10
1 时取等号. 2
∴
x2
y2
的最小值为
.
故答案为： 3 2
2020年江苏省高考数学试卷(理科)-解析版
2020年江苏省高考数学试卷（理科）一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1.已知集合A={−1,0，1，2}，B={0,2，3}，则A∩B=______．2.已知i是虚数单位，则复数z=(1+i)(2−i)的实部是______．3.已知一组数据4，2a，3−a，5，6的平均数为4，则a的值是______．4.将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是______．5.如图是一个算法流程图，若输出y的值为−2，则输入x的值是______．6.在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x2a2−y25=1(a>0)的一条渐近线方程为y=√52x，则该双曲线的离心率是______．7.已知y=f(x)是奇函数，当x≥0时，f(x)=x23，则f(−8)的值是______．8.已知sin2(π4+α)=23，则sin2α的值是______．9.如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为2cm，高为2cm，内孔半径为0.5cm，则此六角螺帽毛坯的体积是______cm3．10.将函数y=3sin(2x+π4)的图象向右平移π6个单位长度，则平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是______．11.设{a n}是公差为d的等差数列，{b n}是公比为q的等比数列．已知数列{a n+b n}的前n项和S n=n2−n+2n−1(n∈N∗)，则d+q的值是______．12.已知5x2y2+y4=1(x,y∈R)，则x2+y2的最小值是______．13. 在△ABC 中，AB =4，AC =3，∠BAC =90°，D 在边BC 上，延长AD 到P ，使得AP =9.若PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =m PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(32−m)PC ⃗⃗⃗⃗⃗ (m 为常数)，则CD 的长度是______．14. 在平面直角坐标系xOy 中，已知P(√32,0)，A 、B 是圆C ：x 2+(y −12)2=36上的两个动点，满足PA =PB ，则△PAB 面积的最大值是______． 二、解答题（本大题共11小题，共140.0分）15. 在三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，AB ⊥AC ，B 1C ⊥平面ABC ，E ，F 分别是AC ，B 1C 的中点．(1)求证：EF//平面AB 1C 1；(2)求证：平面AB 1C ⊥平面ABB 1．16. 在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.已知a =3，c =√2，B =45°．(1)求sin C 的值；(2)在边BC 上取一点D ，使得cos∠ADC =−45，求tan∠DAC 的值．17. 某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底O 在水平线MN 上，桥AB 与MN 平行，OO′为铅垂线(O′在AB 上).经测量，左侧曲线AO 上任一点D 到MN 的距离ℎ1(米)与D 到OO′的距离a(米)之间满足关系式ℎ1=140a 2；右侧曲线BO 上任一点F 到MN 的距离ℎ2(米)与F 到OO′的距离b(米)之间满足关系式ℎ2=−1800b 3+6b.已知点B 到OO′的距离为40米．(1)求桥AB 的长度；(2)计划在谷底两侧建造平行于OO′的桥墩CD 和EF ，且CE 为80米，其中C ，E 在AB 上(不包括端点).桥墩EF 每米造价k(万元)，桥墩CD 每米造价32k(万元)(k >0)，问O′E 为多少米时，桥墩CD 与EF 的总造价最低？18. 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆E ：x 24+y 23=1的左、右焦点分别为F 1、F 2，点A 在椭圆E 上且在第一象限内，AF 2⊥F 1F 2，直线AF 1与椭圆E 相交于另一点B ．(1)求△AF 1F 2的周长；(2)在x 轴上任取一点P ，直线AP 与椭圆E 的右准线相交于点Q ，求OP⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅QP ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值；(3)设点M 在椭圆E 上，记△OAB 与△MAB 的面积分别为S 1，S 2，若S 2=3S 1，求点M 的坐标．19. 已知关于x 的函数y =f(x)，y =g(x)与ℎ(x)=kx +b(k,b ∈R)在区间D 上恒有f(x)≥ℎ(x)≥g(x)．(1)若f(x)=x 2+2x ，g(x)=−x 2+2x ，D =(−∞,+∞)，求ℎ(x)的表达式； (2)若f(x)=x 2−x +1，g(x)=klnx ，ℎ(x)=kx −k ，D =(0,+∞)，求k 的取值范围；(3)若f(x)=x 4−2x 2，g(x)=4x 2−8，ℎ(x)=4(t 3−t)x −3t 4+2t 2(0<|t|≤√2)，D =[m,n]⊂[−√2,√2]，求证：n −m ≤√7．20. 已知数列{a n }(n ∈N ∗)的首项a 1=1，前n 项和为S n .设λ和k 为常数，若对一切正整数n ，均有S n+11k −S n 1k =λa n+11k 成立，则称此数列为“λ−k ”数列．(1)若等差数列{a n }是“λ−1”数列，求λ的值；(2)若数列{a n }是“√33−2”数列，且a n >0，求数列{a n }的通项公式；(3)对于给定的λ，是否存在三个不同的数列{a n }为“λ−3”数列，且a n ≥0？若存在，求出λ的取值范围；若不存在，说明理由．21. 平面上的点A(2,−1)在矩阵M =[a 1−1b]对应的变换作用下得到点B (3,−4)． (1)求实数a ，b 的值；(2)求矩阵M 的逆矩阵M −1．22. 在极坐标系中，已知A(ρ1,π3)在直线l ：ρcosθ=2上，点B(ρ2,π6)在圆C ：ρ=4sinθ上(其中ρ≥0，0≤θ<2π)． (1)求ρ1，ρ2的值；(2)求出直线l 与圆C 的公共点的极坐标．23.设x∈R，解不等式2|x+1|+|x|<4．24.在三棱锥A−BCD中，已知CB=CD=√5，BD=2，O为BD的中点，AO⊥平面BCD，AO=2，E为AC中点．(1)求直线AB与DE所成角的余弦值；BC，设二面角F−DE−C的大小为θ，求sinθ的(2)若点F在BC上，满足BF=14值．25.甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球．现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复n次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为X n，恰有2个黑球的概率为p n，恰有1个黑球的概率为q n．(1)求p1，q1和p2，q2；(2)求2p n+q n与2p n−1+q n−1的递推关系式和X n的数学期望E(X n)(用n表示)．答案和解析1.【答案】{0,2}【解析】解：集合B ={0,2，3}，A ={−1,0，1，2}， 则A ∩B ={0,2}， 故答案为：{0,2}．运用集合的交集运算，可得所求集合．本题考查集合的交集运算，考查运算能力，属于基础题．2.【答案】3【解析】解：复数z =(1+i)(2−i)=3+i ， 所以复数z =(1+i)(2−i)的实部是：3． 故答案为：3．利用复数的乘法的运算法则，化简求解即可．本题考查复数的乘法的运算法则以及复数的基本概念的应用，是基本知识的考查．3.【答案】2【解析】解：一组数据4，2a ，3−a ，5，6的平均数为4， 则4+2a +(3−a)+5+6=4×5， 解得a =2． 故答案为：2．运用平均数的定义，解方程可得a 的值．本题考查平均数的定义的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．4.【答案】19【解析】解：一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，可得基本事件的总数为6×6=36种，而点数和为5的事件为(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，共4种， 则点数和为5的概率为P =436=19． 故答案为：19．分别求得基本事件的总数和点数和为5的事件数，由古典概率的计算公式可得所求值． 本题考查古典概率的求法，考查运算能力，属于基础题．5.【答案】−3【解析】解：由题意可得程序框图表达式为分段函数y ={2x ,x >0x +1,x ≤0，若输出y 值为−2时，由于2x >0， 所以解x +1=−2， 即x =−3，故答案为：−3．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用程序框图表达式为分段函数计算并输出变量y的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．6.【答案】32【解析】解：双曲线x2a2−y25=1(a>0)的一条渐近线方程为y=√52x，可得√5a=√52，所以a=2，所以双曲线的离心率为：e=ca =√4+52=32，故答案为：32．利用双曲线的渐近线方程，求出a，然后求解双曲线的离心率即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．7.【答案】−4【解析】【分析】本题考查函数的奇偶性的定义和运用：求函数值，考查转化思想和运算能力，属于基础题．由奇函数的定义可得f(−x)=−f(x)，由已知可得f(8)，进而得到f(−8)．【解答】解：y=f(x)是奇函数，可得f(−x)=−f(x)，当x≥0时，f(x)=x23，可得f(8)=823=4，则f(−8)=−f(8)=−4，故答案为：−4．8.【答案】13【解析】解：因为sin2(π4+α)=23，则sin2(π4+α)=1−cos(π2+2α)2=1+sin2α2=23，解得sin2α=13，故答案为：13根据二倍角公式即可求出．本题考查了二倍角公式，属于基础题．9.【答案】12√3−π2【解析】【分析】本题考查柱体体积公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．通过棱柱的体积减去圆柱的体积，即可推出结果．【解答】解：六棱柱的体积为：6×12×2×2×sin60°×2=12√3，圆柱的体积为：π×(0.5)2×2=π2，所以此六角螺帽毛坯的体积是：(12√3−π2)cm3，故答案为：12√3−π2．10.【答案】x=−5π24【解析】【分析】本题考查三角函数的平移变换，对称轴方程，属于中档题．利用三角函数的平移可得新函数g(x)=f(x−π6)，求g(x)的所有对称轴x=7π24+kπ2，k∈Z，从而可判断平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程，【解答】解：因为函数y=3sin(2x+π4)的图象向右平移π6个单位长度可得g(x)=f(x−π6)=3sin(2x−π3+π4)=3sin(2x−π12)，则y=g(x)的对称轴为2x−π12=π2+kπ，k∈Z，即x=7π24+kπ2，k∈Z，当k=0时，x=7π24，当k=−1时，x=−5π24，所以平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是x=−5π24，故答案为：x=−5π24．11.【答案】4【解析】解：因为{a n+b n}的前n项和S n=n2−n+2n−1(n∈N∗)，因为{a n}是公差为d的等差数列，设首项为a1；{b n}是公比为q的等比数列，设首项为b1，所以{a n}的通项公式a n=a1+(n−1)d，所以其前n项和：n[a1+a1+(n−1)d]2=d2n2+(a1−d2)n，{b n }中，当公比q =1时，其前n 项和S n =nb 1，所以{a n +b n }的前n 项和S n =d2n 2+(a 1−d2)n +nb 1=n 2−n +2n −1(n ∈N ∗)，显然没有出现2n ，所以q ≠1， 则{b n }的前n 项和为：b 1(q n −1)q−1=b 1q n q−1−b 1q−1，所以S n =d2n 2+(a 1−d2)n +b 1q n q−1−b1q−1=n 2−n +2n −1(n ∈N ∗)，由两边对应项相等可得：{d2=1a 1−d 2=−1q =2b 1q−1=1解得：d =2，a 1=0，q =2，b 1=1，所以d +q =4， 故答案为：4．由{a n +b n }的前n 项和S n =n 2−n +2n −1(n ∈N ∗)，由{a n }是公差为d 的等差数列，设首项为a 1；求出等差数列的前n 项和的表达式；{b n }是公比为q 的等比数列，设首项为b 1，讨论当q 为1和不为1时的前n 项和的表达式，由题意可得q ≠1，由对应项的系数相等可得d ，q 的值，进而求出d +q 的值．本题考查等差数列及等比数列的综合及由前n 项和求通项的性质，属于中档题．12.【答案】45【解析】解：方法一、由5x 2y 2+y 4=1，可得x 2=1−y 45y 2，由x 2≥0，可得y 2∈(0,1]， 则x 2+y 2=1−y 45y 2+y 2=1+4y 45y 2=15(4y 2+1y 2)≥15⋅2√4y 2⋅1y 2=45，当且仅当y 2=12，x 2=310， 可得x 2+y 2的最小值为45； 方法二、4=(5x 2+y 2)⋅4y 2≤(5x 2+y 2+4y 22)2=254(x 2+y 2)2，故x 2+y 2≥45，当且仅当5x 2+y 2=4y 2=2，即y 2=12，x 2=310时取得等号， 可得x 2+y 2的最小值为45． 故答案为：45．方法一、由已知求得x 2，代入所求式子，整理后，运用基本不等式可得所求最小值； 方法二、由4=(5x 2+y 2)⋅4y 2，运用基本不等式，计算可得所求最小值．本题考查基本不等式的运用：求最值，考查转化思想和化简运算能力，属于中档题．13.【答案】0或185【解析】解：如图，以A 为坐标原点，分别以AB ，AC 所在直线为x ，y 轴建立平面直角坐标系，则B(4,0)，C(0,3)，由PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =m PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(32−m)PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，得PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =m(PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )+(32−m)(PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )， 整理得：PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =−2m AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(2m −3)AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−2m(4,0)+(2m −3)(0,3)=(−8m,6m −9)．由AP =9，得64m 2+(6m −9)2=81，解得m =2725或m =0．当m =0时，PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−9)，此时C 与D 重合，|CD|=0； 当m =2725时，直线PA 的方程为y =9−6m 8mx ，直线BC 的方程为x4+y3=1，联立两直线方程可得x =83m ，y =3−2m ． 即D(7225,2125)，∴|CD|=√(7225)2+(2125−3)2=185．∴CD 的长度是0或185． 故答案为：0或185．以A 为坐标原点，分别以AB ，AC 所在直线为x ，y 轴建立平面直角坐标系，求得B 与C 的坐标，再把PA ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标用m 表示．由AP =9列式求得m 值，然后分类求得D 的坐标，则CD 的长度可求．本题考查向量的概念与向量的模，考查运算求解能力，利用坐标法求解是关键，是中档题．14.【答案】10√5【解析】解：圆C ：x 2+(y −12)2=36的圆心C(0,12)，半径为6，如图，作PC 所在直径EF ，交AB 于点D ，因为PA =PB ，CA =CB =R =6，所以PC ⊥AB ，EF 为垂径，要使面积S △PAB 最大，则P ，D 位于C 的两侧，并设CD =x ，可得PC =√14+34=1，故PD =1+x ，AB =2BD =2√36−x 2， 可令x =6cosθ，S △PAB =12|AB|⋅|PD|=(1+x)√36−x 2=(1+6cosθ)⋅6sinθ=6sinθ+18sin2θ，0<θ≤π2，设函数f(θ)=6sinθ+18sin2θ，0<θ≤π2， f′(θ)=6cosθ+36cos2θ=6(12cos 2θ+cosθ−6)，由f′(θ)=6(12cos 2θ+cosθ−6)=0，解得cosθ=23(cosθ=−34<0舍去)， 显然，当0≤cosθ<23，f′(θ)<0，f(θ)递减；当23<cosθ<1时，f′(θ)>0，f(θ)递增，结合cosθ在(0,π2)递减，故cosθ=23时，f(θ)最大，此时sinθ=√1−cos 2θ=√53，故f(θ)max =6×√53+36×√53×23=10√5，则△PAB 面积的最大值为10√5．故答案为：10√5．求得圆的圆心C 和半径，作PC 所在直径EF ，交AB 于点D ，运用垂径定理和勾股定理，以及三角形的面积公式，由三角换元，结合函数的导数，求得单调区间，计算可得所求最大值．本题考查圆的方程和运用，以及圆的弦长公式和三角形的面积公式的运用，考查换元法和导数的运用：求单调性和最值，属于中档题．15.【答案】证明：(1)E ，F 分别是AC ，B 1C 的中点． 所以EF//AB 1，因为EF ⊄平面AB 1C 1，AB 1⊂平面AB 1C 1， 所以EF//平面AB 1C 1；(2)因为B 1C ⊥平面ABC ，AB ⊂平面ABB 1， 所以B 1C ⊥AB ，又因为AB ⊥AC ，AC ∩B 1C =C ，AC ⊂平面AB 1C ，B 1C ⊂平面AB 1C ， 所以AB ⊥平面AB 1C ， 因为AB ⊂平面ABB 1，所以平面AB 1C ⊥平面ABB 1．【解析】(1)证明EF//AB 1，然后利用直线与平面平行的判断定理证明EF//平面AB 1C 1；(2)证明B 1C ⊥AB ，结合AB ⊥AC ，证明AB ⊥平面AB 1C ，然后证明平面AB 1C ⊥平面ABB 1． 本题考查直线与平面垂直的判断定理以及平面与平面垂直的判断定理的应用，直线与平面平行的判断定理的应用，是中档题．16.【答案】解：(1)因为a =3，c =√2，B =45°.，由余弦定理可得：b =√a 2+c 2−2accosB =√9+2−2×3×√2×√22=√5，由正弦定理可得csinC =bsinB ，所以sinC =cb ⋅sin45°=√2√5⋅√22=√55，所以sinC =√55；(2)因为cos∠ADC =−45，所以sin∠ADC =√1−cos 2∠ADC =35， 在三角形ADC 中，易知C 为锐角，由(1)可得cosC =√1−sin 2C =2√55， 所以在三角形ADC 中，sin∠DAC =sin(∠ADC +∠C)=sin∠ADCcos∠C +cos∠ADCsin∠C =2√525，因为∠DAC ∈(0,π2)，所以cos∠DAC =√1−sin 2∠DAC =11√525，所以tan∠DAC =sin∠DAC cos∠DAC =211．【解析】(1)由题意及余弦定理求出b 边，再由正弦定理求出sin C 的值；(2)三角形的内角和为180°，cos∠ADC =−45，可得∠ADC 为钝角，可得∠DAC 与∠ADC +∠C 互为补角，所以sin∠DAC =sin(∠ADC +∠C)展开可得sin∠DAC 及cos∠DAC ，进而求出tan∠DAC 的值．本题考查三角形的正弦定理及余弦定理的应用，及两角和的正弦公式的应用，属于中档题．17.【答案】解：(1)ℎ2=−1800b 3+6b ，点B 到OO′的距离为40米，可令b =40， 可得ℎ2=−1800×403+6×40=160， 即为|O′O|=160，由题意可设ℎ1=160， 由140a 2=160，解得a =80， 则|AB|=80+40=120米； (2)可设O′E =x ，则CO′=80−x ，由{0<x <400<80−x <80，可得0<x <40，总造价为y =32k[160−140(80−x)2]+k[160−(6x −1800x 3)] =k800(x 3−30x 2+160×800)，y′=k800(3x 2−60x)=3k800x(x −20)，由k >0，当0<x <20时，y′<0，函数y 递减； 当20<x <40时，y′>0，函数y 递增，所以当x =20时，y 取得最小值，即总造价最低．答：(1)桥|AB|长为120米；(2)O′E 为20米时，桥墩CD 与EF 的总造价最低．【解析】(1)由题意可令b =40，求得ℎ2，即O′O 的长，再令ℎ1=|OO′|，求得a ，可得|AB|=a +b ；(2)可设O′E =x ，则CO′=80−x ，0<x <40，求得总造价y =32k[160−140(80−x)2]+k[160−(6x −1800x 3)]，化简整理，应用导数，求得单调区间，可得最小值． 本题考查函数在实际问题中的应用，考查导数的应用：求最值，考查运算能力和分析问题与解决问题的能力，属于中档题．18.【答案】解：(1)由椭圆的标准方程可知，a 2=4，b 2=3，c 2=a 2−b 2=1， 所以△AF 1F 2的周长=2a +2c =6．(2)由椭圆方程得A(1,32)，设P(t,0)，则直线AP 方程为y =321−t(x −t)，椭圆的右准线为：x =a 2c =4，所以直线AP 与右准线的交点为Q(4,32⋅4−t1−t )，OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅QP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(t,0)⋅(t −4,0−32⋅4−t1−t)=t 2−4t =(t −2)2−4≥−4，当t =2时，(OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅QP ⃗⃗⃗⃗⃗ )min =−4．(3)若S 2=3S 1，设O 到直线AB 距离d 1，M 到直线AB 距离d 2，则12×|AB|×d 2=12×|AB|×d 1×3，即d 2=3d 1，A(1,32)，F 1(−1,0)，可得直线AB 方程为y =34(x +1)，即3x −4y +3=0，所以d 1=35，d 2=95，由题意得，M 点应为与直线AB 平行且距离为95的直线与椭圆的交点， 设平行于AB 的直线l 为3x −4y +m =0，与直线AB 的距离为95， 所以9+16=95，即m =−6或12，当m =−6时，直线l 为3x −4y −6=0，即y =34(x −2)，联立{y =34(x −2)x 24+y 23=1，可得(x −2)(7x +2)=0，即{x M =2y N =0或{x M =−27y M =−127， 所以M(2,0)或(−27,−127).当m =12时，直线l 为3x −4y +12=0，即y =34(x +4)，联立{y =34(x +4)x 24+y 23=1，可得214x 2+18x +24=0，△=9×(36−56)<0，所以无解，综上所述，M 点坐标为(2,0)或(−27,−127).【解析】(1)由椭圆标准方程可知a ，b ，c 的值，根据椭圆的定义可得△AF 1F 2的周长=2a +2c ，代入计算即可．(2)由椭圆方程得A(1,32)，设P(t,0)，进而由点斜式写出直线AP方程，再结合椭圆的右准线为：x=4，得点Q为(4,32⋅4−t1−t)，再由向量数量积计算最小值即可．(3)在计算△OAB与△MAB的面积时，AB可以最为同底，所以若S2=3S1，则O到直线AB距离d1与M到直线AB距离d2，之间的关系为d2=3d1，根据点到直线距离公式可得d1=35，d2=95，所以题意可以转化为M点应为与直线AB平行且距离为95的直线与椭圆的交点，设平行于AB的直线l为3x−4y+m=0，与直线AB的距离为95，根据两平行直线距离公式可得，m=−6或12，然后在分两种情况算出M点的坐标即可．本题考查椭圆的定义，向量的数量积，直线与椭圆相交问题，解题过程中注意转化思想的应用，属于中档题．19.【答案】解：(1)由f(x)=g(x)得x=0，又f′(x)=2x+2，g′(x)=−2x+2，所以f′(0)=g′(0)=2，所以，函数ℎ(x)的图象为过原点，斜率为2的直线，所以ℎ(x)=2x，经检验：ℎ(x)=2x，符合任意，(2)ℎ(x)−g(x)=k(x−1−lnx)，设φ(x)=x−1−lnx，设φ′(x)=1−1x =x−1x，在(1,+∞)上，φ′(x)>0，φ(x)单调递增，在(0,1)上，φ′(x)<0，φ(x)单调递减，所以φ(x)≥φ(1)=0，所以当ℎ(x)−g(x)≥0时，k≥0，令p(x)=f(x)−ℎ(x)所以p(x)=x2−x+1−(kx−k)=x2−(k+1)x+(1+k)≥0，得，当x=k+12≤0时，即k≤−1时，p(x)在(0,+∞)上单调递增，所以p(x)>p(0)=1+k≥0，k≥−1，所以k=−1，当 k+12>0时，即k>−1时，△≤0，即(k+1)2−4(k+1)≤0，解得−1<k≤3，综上，k∈[0,3]．42，所以f′(x)=4x31)(x−1)，y=(4x03−4x0)(x−x0)+(x04−2x02)=(4x03−4x0)x−3x04+2x02，可见直线y=ℎ(x)为函数y=f(x)的图象在x=t(0<|t|≤√2)处的切线．由函数y=f(x)的图象可知，当f(x)≥ℎ(x)在区间D上恒成立时，|t|∈[1,√2]，又由g(x)−ℎ(x)=0，得4x2−4(t3−t)x+3t4−2t2−8=0，设方程g(x)−ℎ(x)=0的两根为x1，x2，则x1+x2=t3−t，x1x2=3t4−2t2−84，所以|x 1−x 2|=√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√(t 3−t)2−(3t 4−2t 2−8)=√t 6−5t 4+3t 2+8，t 2=λ，则λ∈[1,2]，由图象可知，n −m =|x 1−x 2|=√λ3−5λ2+3λ+8， 设φ(λ)=λ3−5λ2+3λ+8，则φ′(λ)=3λ2−10λ+3=(λ−3)(3λ−1)， 所以当λ∈[1,2]时，φ′(λ)<0，φ(λ)单调递减， 所以φ(λ)max =φ(1)=7，故(n −m)max =|x 1−x 2|max =√7，即n −m ≤√7．【解析】(1)由f(x)=g(x)得x =0，求导可得f′(0)=g′(0)=2，能推出函数ℎ(x)的图象为过原点，斜率为2的直线，进而可得ℎ(x)=2x ，再进行检验即可．(2)由题可知ℎ(x)−g(x)=k(x −1−lnx)，设φ(x)=x −1−lnx ，求导分析单调性可得，φ(x)≥φ(1)=0，那么要使的ℎ(x)−g(x)≥0，则k ≥0；令p(x)=f(x)−ℎ(x)为二次函数，则要使得p(x)≥0，分两种情况，当x =k +1≤0时，当k +1>0时进行讨论，进而得出答案． (3)因为f(x)=x 4−2x 2，求导，分析f(x)单调性及图象得函数y =f(x)的图象在x =x 0处的切线为：y =(4x 03−4x 0)x −3x 04+2x 02，可推出直线y =ℎ(x)为函数y =f(x)的图象在x =t(0<|t|≤√2)处的切线．进而f(x)≥ℎ(x)在区间D 上恒成立；在分析g(x)−ℎ(x)=0，设4x 2−4(t 3−t)x +3t 4−2t 2−8=0，两根为x 1，x 2，由韦达定理可得x 1+x 2，x 1x 2，所以n −m =|x 1−x 2|=√t 6−5t 4+3t 2+8，再求最值即可得出结论． 本题考查恒成立问题，参数的取值范围，导数的综合应用，解题过程中注意数形结合思想的应用，属于中档题．20.【答案】解：(1)k =1时，a n+1=S n+1−S n =λa n+1，由n 为任意正整数，且a 1=1，a n ≠0，可得λ=1； (2)√S n+1−√S n =√33√a n+1，则a n+1=S n+1−S n =(√S n+1−√S n )⋅(√S n+1+√S n )=√33⋅√a n+1(√S n+1+√S n )，因此√S n+1+√S n =√3⋅√a n+1，即√S n+1=23√3a n+1，S n+1=43a n+1=43(S n+1−S n )， 从而S n+1=4S n ，又S 1=a 1=1，可得S n =4n−1， a n =S n −S n−1=3⋅4n−2，n ≥2， 综上可得a n ={1,n =13⋅4n−2,n ≥2，n ∈N ∗；(3)若存在三个不同的数列{a n }为“λ−3”数列， 则S n+113−S n 13=λa n+113，则S n+1−3S n+123S n 13+3S n+113S n 23−S n =λ3a n+1=λ3(S n+1−S n )， 由a 1=1，a n ≥0，且S n >0，令p n =(S n+1S n)13>0，则(1−λ3)p n 3−3p n 2+3p n −(1−λ3)=0，λ=1时，p n =p n 2，由p n >0，可得p n =1，则S n+1=S n ， 即a n+1=0，此时{a n }唯一，不存在三个不同的数列{a n }，λ≠1时，令t =31−λ3，则p n 3−tp n 2+tp n −1=0，则(p n −1)[p n 2+(1−t)p n +1]=0，①t ≤1时，p n2+(1−t)p n +1>0，则p n =1，同上分析不存在三个不同的数列{a n }； ②1<t <3时，△=(1−t)2−4<0，p n2+(1−t)p n +1=0无解， 则p n =1，同上分析不存在三个不同的数列{a n }；③t =3时，(p n −1)3=0，则p n =1，同上分析不存在三个不同的数列{a n }.④t >3时，即0<λ<1时，△=(1−t)2−4>0，p n 2+(1−t)p n +1=0有两解α，β， 设α<β，α+β=t −1>2，αβ=1>0，则0<α<1<β，则对任意n ∈N ∗，S n+1Sn=1或S n+1S n=α3或S n+1S n=β3，此时S n =1，S n ={1,n =1β3,n ≥2，S n={1,n =1,2β3,n ≥3均符合条件． 对应a n ={1,n =10,n ≥2，a n ={1,n =1β3−1,n =20,n ≥3，a n ={1,n =1β3−1,n =30,n =2,n ≥4，则存在三个不同的数列{a n }为“λ−3”数列，且a n ≥0，综上可得0<λ<1．【解析】(1)由“λ−1”数列可得k =1，结合数列的递推式，以及等差数列的定义，可得λ的值；(2)运用“√33−2”数列的定义，结合数列的递推式和等比数列的通项公式，可得所求通项公式；(3)若存在三个不同的数列{a n }为“λ−3”数列，则S n+113−S n 13=λa n+113，由两边立方，结合数列的递推式，以及t 的讨论，二次方程的实根分布和韦达定理，即可判断是否存在λ，并可得取值范围．本题考查数列的新定义的理解和运用，考查等差数列和等比数列的通项公式的运用，以及数列的递推式的运用，考查分类讨论思想，以及运算能力和推理论证能力，是一道难题．21.【答案】解：(1)由题意，知[a1−1b ]⋅[2−1]=[2a −1−2−b ]=[3−4]， 则{2a −1=3−2−b =−4，解得a =2，b =2； (2)由(1)知，矩阵M =[21−12]，设矩阵M 的逆矩阵为M −1=[mn p q ]，∴M ⋅M −1=[21−12]⋅[mn pq ]=[2m +p 2n +q −m +2p −n +2q ]=[1001]， ∴{2m +p =12n +q =0−m +2p =0−n +2q =1，解得m =25，n =−15，p =15，q =25， ∴M −1=[25−151525]．【解析】(1)由[a 1−1b ]⋅[2−1]=[3−4]，列方程组，求出a 、b 的值； (2)设矩阵M 的逆矩阵为M −1=[mn p q ]，利用M ⋅M −1=[1001]，列方程组求出m 、n 、p 和q 的值即可．本题考查了矩阵的变换与计算问题，也考查了运算求解能力，是中档题．22.【答案】解：(1)∵A(ρ1,π3)在直线l ：ρcosθ=2上，∴ρ1cos π3=2，解得ρ1=4． ∵点B(ρ2,π6)在圆C ：ρ=4sinθ上， ∴ρ2=4sin π6，解得ρ2=2．(2)由直线l 与圆C 得，方程组{ρcosθ=2ρ=4sinθ，则sin2θ=1．∵θ∈[0,2π)，∴2θ=π2，∴θ=π4． ∴ρ=4×sin π4=2√2．故公共点的极坐标为(2√2,π4).【解析】(1)直接根据点A 在直线l 上，列方程求出ρ1的值，点B 在圆C 上，列方程求出ρ2的值；(2)联立直线l 与圆C 的方程，然后求出其公共点的极坐标即可． 本题考查的知识要点：极坐标与极坐标方程的关系和根据简单曲线极坐标方程求交点坐标，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．23.【答案】解：2|x +1|+|x|={3x +2,x >0x +2,−1≤x ≤0−3x −2,x <−1．∵2|x +1|+|x|<4，∴{3x +2<4x >0或{x +2<4−1≤x ≤0或{−3x −2<4x <−1，∴0<x <23或−1<x <0或−2<x <−1，∴−2<x <23， ∴不等式的解集为{x|−2<x <23}.【解析】先将2|x +1|+|x|写为分段函数的形式，然后根据2|x +1|+|x|<4，利用零点分段法解不等式即可．本题考查了绝对值不等式的解法，考查了分类讨论思想，属基础题．24.【答案】解：(1)如图，连接OC ，∵CB =CD ，O 为BD 的中点，∴CO ⊥BD ．以O 为坐标原点，分别以OB ，OC ，OA 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系． ∵BD =2，∴OB =OD =1，则OC =√BC 2−OB 2=√5−1=2． ∴B(1,0，0)，A(0,0，2)，C(0,2，0)，D(−1,0，0)， ∵E 是AC 的中点，∴E(0,1，1)，∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,−2)，DE⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,1)． 设直线AB 与DE 所成角为α， 则cosα=|AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√1+4⋅√1+1+1=√1515， 即直线AB 与DE 所成角的余弦值为√1515；(2)∵BF =14BC ，∴BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =14BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 设F(x,y ，z)，则(x −1,y ，z)=(−14，12，0)，∴F(34,12,0)．∴DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,1)，DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(74,12,0)，DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2,0)．设平面DEF 的一个法向量为m⃗⃗⃗ =(x 1,y 1,z 1)， 由{m ⃗⃗⃗ ⋅DE⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1+y 1+z 1=0m ⃗⃗⃗ ⋅DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =74x 1+12y 1=0，取x 1=−2，得m ⃗⃗⃗ =(−2,7,−5)； 设平面DEC 的一个法向量为n⃗ =(x 2,y 2,z 2)， 由{n ⃗ ⋅DE⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 2+y 2+z 2=0n ⃗ ⋅DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =x 2+2y 2=0，取x 2=−2，得n⃗ =(−2,1,1)． ∴|cosθ|=|m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=√4+49+25⋅√4+1+1=√1313． ∴sinθ=√1−cos 2θ=√1−113=2√3913．【解析】(1)由题意画出图形，连接OC ，由已知可得CO ⊥BD ，以O 为坐标原点，分别以OB ，OC ，OA 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，求出所用点的坐标，得到AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,−2)，DE⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,1)，设直线AB 与DE 所成角为α，由两向量所成角的余弦值，可得直线AB 与DE 所成角的余弦值；(2)由BF =14BC ，得BF ⃗⃗⃗⃗⃗=14BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，设F(x,y ，z)，由向量等式求得F(34,12,0)，进一步求出平面DEF 的一个法向量与平面DEC 的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值求得cosθ，再由同角三角函数基本关系式求解sinθ．本题考查利用空间向量求空间角，考查空间想象能力与逻辑思维能力和运算求解能力，是中档题．25.【答案】解：(1)由题意可知：p 1=13，q 1=23，则p 2=13p 1+23×13q 1=727；q 2=23p 1+(23×23+13×13)q 1=1627．(2)由题意可知：p n+1=13p n +23×13q n =13p n +29q n ， q n+1=23p n +(23×23+13×13)q n +23(1−p n −q n )=−19q n +23， 两式相加可得2p n+1+q n+1=23p n +13q n +23=13(2p n +q n )+23， 则：2p n +q n =13(2p n−1+q n−1)+23， 所以，2p n +q n −1=13(2p n−1+q n−1−1)，因为2p 1+q 1−1=13，数列{2p n +q n −1}是首项为13，公比为13的等比数列， 所以2p n +q n −1=(13)n ， 即2p n +q n =(13)n +1，所以E(X n )=2p n +q n +0×(1−p n −q n )=(13)n +1．【解析】(1)利用已知条件求出p 1=13，q 1=23，推出p 2；q 2即可．(2)推出p n+1=13p n +29q n ，q n+1=−19q n +23，得到2p n+1+q n+1=13(2p n +q n )+23，推出2p n +q n −1=13(2p n−1+q n−1−1)，说明数列{2p n +q n −1}是首项为13，公比为13的等比数列，然后求解的通项公式以及期望即可．本题考查数列与概率相结合，期望的求法，数列的递推关系式以及通项公式的求法，考查转化首项以及计算能力，是难题．。
2020年江苏高考数学试题解析
∴可设 ，
∵ ，
∴ ，即 ，
若 且 ，则 三点共线，
∴ ，即 ，
∵ ，∴ ，
∵ , , ，
∴ ，
设 ， ，则 ， .
∴根据余弦定理可得 ， ，
∵ ，
∴ ，解得 ，
∴ 的长度为 .
当 时， ， 重合，此时 的长度为 ，
当 时， ， 重合，此时 ，不合题意，舍去.
故答案为：0或 .
【解析】∵数据 的平均数为4
∴ ，即 .
故答案为：2.
4.将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是_____.
【答案】
【解析】根据题意可得基本事件数总为 个.
点数和为5的基本事件有 ， ， ， 共4个.
∴出现向上的点数和为5的概率为 .
故答案为： .
5.如图是一个算法流程图，若输出 的值为 ，则输入 的值是_____.
故答案为：
7.已知y=f(x)是奇函数，当x≥0时， ，则f(-8)的值是____.
【答案】
先求 ，再根据奇函数求
【解析】 ，因为 为奇函数，所以
故答案为：
8.已知 = ，则 的值是____.
【答案】
直接按照两角和正弦公式展开，再平方即得结果.
【解析】
故答案为：
9.如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为2 cm，高为2 cm，内孔半轻为0.5 cm，则此六角螺帽毛坯的体积是____cm.
14.在平面直角坐标系xOy中，已知 ，A，B是圆C： 上的两个动点，满足 ，则△PAB面积的最大值是__________．
【答案】
根据条件得 ,再用圆心到直线距离表示三角形PAB面积，最后利用导数求最大值.
【2020高 考江苏卷数学真题】2020年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)数学试卷含答案解析
绝密★启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1．本试卷共4页，均为非选择题(第1题~第20题，共20题)。
本卷满分为160分，考试时间为120分钟。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.3．请认真核对监考员从答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符. 4．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效.5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.参考公式：柱体的体积，其中是柱体的底面积，是柱体的高．V Sh =S h 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1.已知集合，则_____.{1,0,1,2},{0,2,3}A B =-=A B = 2.已知是虚数单位，则复数的实部是_____.i (1i)(2i)z =+-3.已知一组数据的平均数为4，则的值是_____.4,2,3,5,6a a -a 4.将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是_____. 5.如图是一个算法流程图，若输出的值为，则输入的值是_____.y 2-x6.在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线﹣=1(a ＞0)的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心22x a 25y 率是____.7.已知y =f (x )是奇函数，当x ≥0时， ，则f (-8)的值是____.()23f x x =8.已知 =，则的值是____. 2sin ()4πα+23sin 2α9.如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为2 cm ，高为2 cm ，内孔半轻为0.5 cm ，则此六角螺帽毛坯的体积是____cm.10.将函数y =的图象向右平移个单位长度，则平移后的图象中与y 轴最近的对称轴的方程是πsin(2)43x ﹢π6____.11.设{a n }是公差为d 的等差数列，{b n }是公比为q 的等比数列．已知数列{a n +b n }的前n 项和，则d +q 的值是_______．221()n n S n n n +=-+-∈N 12.已知，则的最小值是_______．22451(,)x y y x y R +=∈22x y +13.在△ABC 中，D 在边BC 上，延长AD 到P ，使得AP =9，若43=90AB AC BAC ==︒，，∠，（m 为常数），则CD 的长度是________． 3()2PA mPB m PC =+-14.在平面直角坐标系xOy 中，已知，A ，B 是圆C ：上的两个动点，满足0)P 221()362x y +-=，则△PAB 面积的最大值是__________．PA PB =二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB ⊥AC ，B 1C ⊥平面ABC ，E ，F 分别是AC ，B 1C 的中点．。
2020年全国高考数学-江苏卷解析(Word域、极致精编版)
2020年普通高等学校招生全国统一考试——江苏数学Ⅰ参考公式：柱体的体积V ＝Sh ，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高． 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1．已知集合A ＝{－1，0，1，2}，B ＝{0，2，3}，则A ∩B ＝▲________． 答案：{0，2}2．已知i 是虚数单位，则复数z ＝(1＋i )(2－i )的实部是▲________． 答案：3解析：因为复数z ＝(1＋i )(2－i )＝2－i ＋2i －i 2＝3＋i ，所以复数的实部为3．3．已知一组数据4，2a ，3－a ，5，6的平均数为4，则a 的值是▲________． 答案：2解析：由题得4＋2a ＋3－a ＋5＋6＝20，解得a ＝2．4．将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是▲________． 答案：19解析：基本事件总数为6×6＝36个，点数和为5的基本事件有(1，4)，(4，1)，(2，3)，(3，2)，共4个，所以概率为436＝19．5．如图是一个算法流程图，若输出y 的值为－2，则输入x 的值是▲________． 答案：－3解析：由于2x ＞0，所以y ＝x ＋1＝－2，得x ＝－3．6．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2a 2－y 25＝1(a ＞0)的一条渐近线方程为y ＝52x ，则该双曲线的离心率是▲________． 答案：32解析：由题得5a ＝52，得a ＝2，所以c ＝a 2＋b 2＝3，所以双曲线的离心率为c a ＝32．7．已知y ＝f (x )是奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 23，则f (－8)的值是▲________．答案：－4解析：f (－8)＝－f (8)＝－823＝－4．8．已知sin 2(π4＋α)＝23，则sin2α的值是▲________．答案：13解析：因为sin 2(π4＋α)＝(22cos α＋22sin α)2＝12(1＋sin2α)＝23，所以sin2α＝13．9．如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为2cm ，高为2cm ，内孔半轻为0.5cm ，则此六角螺帽毛坯的体积是▲________cm ． 答案：123－π2解析：正六棱柱体积为6×34×22×2＝123，圆柱体积为π(12)2·2＝π2，所求几何体体积为123－π2．10．将函数y ＝3sin(2x ＋π4)的图象向右平移π6个单位长度，则平移后的图象中与y 轴最近的对称轴的方程是▲________． 答案：x ＝－5π24解析：平移得y ＝3sin[2(x －π6)＋π4]＝3sin(2x －π12)，令2x －π12＝π2＋k π，得x ＝7π24＋k π2(k ∈Z )．当k ＝－1时，x ＝－5π24是与y 轴最近的对称轴．11．设{a n }是公差为d 的等差数列，{b n }是公比为q 的等比数列．已知数列{a n ＋b n }的前n 项和S n ＝n 2－n ＋2n －1(n ∈N *)，则d ＋q 的值是▲________． 答案：4解析：易知等差数列{a n }的前n 项和为n 2－n ，故d ＝2．等比数列{b n }的前n 项和为2n －1，故q ＝2． 故d ＋q ＝4．12．已知5x 2y 2＋y 4＝1(x ，y ∈R )，则x 2＋y 2的最小值是▲________． 答案：45解析：因为5x 2y 2＋y 4＝1，所以y ≠0且x 2＝1－y 45y2．于是x 2＋y 2＝1－y 45y 2＋y 2＝15y 2＋4y 25≥215y 2·4y 25＝45，当且仅当15y 2＝4y 25，即x 2＝310，y 2＝12时取等号．所以x 2＋y 2的最小值为45．法二：4＝(5x 2＋y 2)4y 2≤(5x 2＋y 2＋4y 22)2＝25(x 2＋y 2)24，得x 2＋y 2≥45．13．在△ABC 中，AB ＝4，AC ＝3，∠BAC ＝90º，D 在边BC 上，延长AD 到P ，使得AP ＝9．若P A →＝m PB →＋(32－m )PC →(m 为常数)，则CD 的长度是▲________．答案：0或185解析：设P A →＝λPD →(λ＞0)，因为P A →＝m PB →＋(32－m )PC →，所以λPD →＝m PB →＋(32－m )PC →，即PD →＝mλPB →＋(32－m )λPC →．因为B ，D ，C 三点共线，所以m λ＋(32－m )λ＝1，故λ＝32．因为AP ＝9，所以AD ＝3，因此△ACD 为等腰三角形或C ，D 重合．若△ACD 为等腰三角形，作AE ⊥BC 于E ，故E 为CD 中点，由等面积法得AE ＝125，由勾股定理得CE ＝DE ＝95，所以CD ＝185．若C ，D 重合，则CD ＝0． 所以，CD 的长度为0或185．14．在平面直角坐标系xOy 中，已知P (32，0)，A ，B 是圆C ：x 2＋(y －12)2＝36上的两个动点，满足P A ＝PB ，则△P AB 面积的最大值是▲________． 答案：10 5解析：因为P A ＝PB ，易得PC ⊥AB ．设圆心C 到直线AB 距离为d ，则|AB |＝236－d 2，|PC |＝34＋14＝1，S △P AB ＝12·AB ·d P －AB ≤12·236－d 2·max{d －1，1－d ，d ＋1}＝12·236－d 2·(d ＋1)＝(36－d 2)(d ＋1)2． 令y ＝(36－d 2)(d ＋1)2(0≤d ＜6)，由y'＝2(d ＋1)(－2d 2－d ＋36)＝0，得d ＝4． 当0≤d ＜4时，y'＞0，y (x )递增；当4＜d ＜6时，y'＜0，y (x )递减． 因此当d ＝4时，y max ＝500，故(S △P AB )max ＝105．二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ⊥AC ，B 1C ⊥平面ABC ，E ，F 分别是AC ，B 1C 的中点．(1)求证：EF ∥平面AB 1C 1； (2)求证：平面AB 1C ⊥平面ABB 1．解析：(1)因为E ，F 分别是AC ，B 1C 的中点，所以EF ∥AB 1．又EF ⊄平面AB 1C 1，AB 1⊂平面AB 1C 1，所以EF ∥平面AB 1C 1． (2)因为B 1C ⊥平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，所以B 1C ⊥AB ．又AB ⊥AC ，AC ∩B 1C ＝C ，所以AB ⊥平面AB 1C ． 因为AB ⊂平面ABB 1，所以平面AB 1C ⊥平面ABB 1．16．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝3，c ＝2，B ＝45º．(1)求sin C 的值；(2)在边BC 上取一点D ，使得cos ∠ADC ＝－45，求tan ∠DAC 的值．解析：(1)由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝9＋2－2×3×2×22＝5，所以b ＝5．由正弦定理得c sin C ＝b sin B ，故sin C ＝c sin B b ＝55．(2)由于cos ∠ADC ＝－45，∠ADC ∈(π2，π)，所以sin ∠ADC ＝1－cos 2∠ADC ＝35．易知C ∈(0，π2)，所以cos C ＝1－sin 2C ＝255．所以sin ∠DAC ＝sin(π－∠DAC )＝sin(∠ADC ＋∠C )＝sin ∠ADC ·cos C ＋cos ∠ADC ·sin C ＝35×255＋(－45)×55＝2525． 因为∠DAC ∈(0，π2)，所以cos ∠DAC ＝1－sin 2∠DAC ＝11525．于是，tan ∠DAC ＝sin ∠DAC cos ∠DAC ＝211．17．某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底O 在水平线MN 上、桥AB 与MN 平行，OO'为铅垂线(O'在AB 上)．经测量，左侧曲线AO 上任一点D 到MN 的距离h 1(米)与D 到OO'的距离a (米)之间满足关系式h 1＝140a 2；右侧曲线BO 上任一点F 到MN 的距离h 2(米)与F 到OO'的距离b (米)之间满足关系式h 2＝－1800b 3＋6b ．已知点B 到OO'的距离为40米．(1)求桥AB 的长度；(2)计划在谷底两侧建造平行于OO'的桥墩CD 和EF ，且CE 为80米，其中C ，E 在AB 上(不包括端点)．桥墩EF 每米造价k (万元)、桥墩CD 每米造价32k (万元)(k＞0)．问O'E 为多少米时，桥墩CD 与EF 的总造价最低?解析：(1)当b ＝40时，OO'＝－1800×403＋6×40＝160，又140|O'A |2＝OO'＝160，所以|O'A |＝80．所以|AB |＝|O'A |＋|O'B |＝80＋40＝120米． (2)设|O'E |＝x ，总造价为f (x )万元．f (x )＝k (160＋1800x 3－6x )＋32k [160－140(80－x )2]＝k (160＋1800x 3－380x 2)(0＜x ＜40)，由f'(x )＝k (3800x 2－680x )＝0，得x ＝20(0舍去)．当0＜x ＜20时，f'(x )＜0，f (x )递减；当20＜x ＜40时，f'(x )＞0，f (x )递增．因此当x ＝20时，f (x )取最小值．答：当O'E ＝20米时，桥墩CD 与EF 的总造价最低．18．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆E ：x 24＋y 23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点A 在椭圆E 上且在第一象限内，AF 2⊥F 1F 2，直线AF 1与椭圆E 相交于另一点B ．(1)求△AF 1F 2的周长；(2)在x 轴上任取一点P ，直线AP 与椭圆E 的右准线相交于点Q ，求OP →·QP →的最小值；(3)设点M 在椭圆E 上，记△OAB 与△MAB 的面积分别为S 1，S 2，若S 2＝3S 1，求点M 的坐标．解析：(1)因为椭圆E 的方程为x 24＋y 23＝1，所以a ＝2，c ＝1，所以△AF 1F 2的周长为2a ＋2c ＝6．(2)设P (x 0，0)，x 0≠1，Q (4，y Q )．易得A (1，32)．所以OP →·QP →＝(x 0，0)·(x 0－4，－y Q )＝(x 0－4)x 0＝(x 0－2)2－4≥－4，当且仅当x 0＝2时取等号． 所以OP →·QP →的最小值为－4．(3)设M (x 1，y 1)，点M 到直线AB 的距离为d ．因为A (1，32)，F 1(－1，0)，所以直线AF 1的方程为y ＝34(x ＋1)，即3x －4y ＋3＝0，因此点O到直线AB 的距离为35．因为S 2＝3S 1，12|AB |·d M －AB ＝3×12×|AB |×35，所以d M －AB ＝95＝|3x 1－4y 1＋3|5，得3x 1－4y 1＋12＝0或3x 1－4y 1－6＝0．由⎩⎪⎨⎪⎧3x 1－4y1＋12＝0，x 124＋y 123＝1，得7x 2＋24x ＋32＝0，此方程无解；由⎩⎪⎨⎪⎧3x 1－4y 1－6＝0，x 124＋y 123＝1，得7x 2－12x －4＝0，解得M (2，0)或(－27，－127)．19．已知关于x 的函数y ＝f (x )，y ＝g (x )与h (x )＝kx ＋b (k ，b ∈R )在区间D 上恒有f (x )≥h (x )≥g (x )．(1)若f (x )＝x 2＋2x ，g (x )＝－x 2＋2x ，D ＝(－∞，＋∞)，求h (x )的表达式； (2)若f (x )＝x 2－x ＋1，g (x )＝k ln x ，h (x )＝kx －k ，D ＝(0，＋∞)，求k 的取值范围；(3)若f (x )＝x 4－2x 2，g (x )＝4x 2－8，h (x )＝4(t 3－t )x －3t 4＋2t 2(0＜|t |≤2)，D ＝[m ，n ]⊆[－2，2]，求证：n －m ≤7．解析：(1)由题得－x 2＋2x ≤kx ＋b ≤x 2＋2x 对任意的x ∈R 恒成立．令x ＝0，则0≤b ≤0，所以b ＝0．由kx ≤x 2＋2x ，即x 2＋(2－k )x ≥0对任意的x ∈R 恒成立，所以Δ＝(2－k )2≤0，因此k ＝2． 此时也满足－x 2＋2x ≤2x 对任意的x ∈R 恒成立． 所以h (x )＝2x ．(2)令F (x )＝h (x )－g (x )＝k (x －1－ln x )(x ＞0)，则F (1)＝0，由题得F (x )≥F (1)恒成立．易得F'(x )＝k ·x －1x．若k ＜0，则F (x )在(0，1)上递增，在(1，＋∞)上递减，则F (x )≤F (1)＝0，不合题意． 当k ＝0时，F (x )＝F (1)＝0，h (x )＝g (x )，符合题意．当k ＞0时，F (x )在(0，1)上递减，在(1，＋∞)上递增，则F (x )≥F (1)＝0，符合题意． 综上，k ≥0．又f (x )－h (x )＝x 2－x ＋1－(kx －k )＝x 2－(k ＋1)x ＋(k ＋1)≥0．当x ＝k ＋12＜0，即k ＜－1时，y ＝x 2－(k ＋1)x ＋k ＋1在(0，＋∞)为增函数，因为y (0)＝k ＋1＜0，不合题意．当x ＝k ＋12＝0，即k ＝－1时，f (x )－h (x )＝x 2≥0，符合题意．当x ＝k ＋12＞0，即k ＞－1时，应有Δ＝(k ＋1)2－4(k ＋1)≤0，解得－1＜k ≤3．综上，k 的取值范围是k ∈[0，3]．(3)由题得x 4－2x 2≥4(t 3－t )x －3t 4＋2t 2≥4x 2－8对任意x ∈[m ，n ]⊆[－2，2]恒成立．x 4－2x 2≥4(t 3－t )x －3t 4＋2t 2对任意x ∈[m ，n ]⊆[－2，2]恒成立， 等价于(x －t )2(x 2＋2tx ＋3t 2－2)≥0对任意x ∈[m ，n ]⊆[－2，2]恒成立， 故x 2＋2tx ＋3t 2－2≥0对任意x ∈[m ，n ]⊆[－2，2]恒成立．令M (x )＝x 2＋2tx ＋3t 2－2．当Δ＝－8t 2＋8＞0，即0＜t 2＜1时，对称轴x ＝－t ∈(－1，1)，记M (x )的两个零点为x 1＜x 2，此时n －m ≤max{2－x 2，x 1－(－2)}≤max{2－(－t )，(－t )－(－2)}＝max{2±t }≤2＋|t |＜2＋1＜7．当Δ＝－8t 2＋8≤0，即1≤t 2≤2时，M (x )≥0对x ∈R 恒成立． 而4x 2－8≤4(t 3－t )x －3t 4＋2t 2对任意的x ∈[m ，n ]⊆[－2，2]恒成立， 等价于4x 2－4(t 3－t )x ＋(3t 2＋4)(t 2－2)≤0对任意的x ∈[m ，n ]⊆[－2，2]恒成立．记4x 2－4(t 3－t )x ＋(3t 2＋4)(t 2－2)＝0的两根为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝t 3－t ，x 1·x 2＝3t 4－2t 2－84，所以n －m ＝|x 1－x 2|＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝t 6－5t 4＋3t 2＋8．令λ＝t 2∈[1，2]，则n －m ＝λ3－5λ2＋3λ＋8．记P (λ)＝λ3－5λ2＋3λ＋8，λ∈[1，2]，P'(λ)＝3λ2－10λ＋3＝(λ－3)(3λ－1)，所以当λ∈[1，2]时，P'(λ)＜0，P (λ)递减，所以P (λ)max ＝P (1)＝7．所以(n －m )max ＝7，即n －m ≤7．20．已知数列{a n }(n ∈N *)的首项a 1＝1，前n 项和为S n ．设λ与k 是常数，若对一切正整数n ，均有Sn ＋11k －S n 1k＝λa n ＋11k 成立，则称此数列为“λ－k ”数列．(1)若等差数列{a n }是“λ－1”数列，求λ的值； (2)若数列{a n }是“33－2”数列，且a n ＞0，求数列{a n }的通项公式； (3)对于给定的λ，是否存在三个不同的数列{a n }为“λ－3”数列，且a n ≥0?若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由．解析：(1)若等差数列{a n }是“λ－1”数列，则S n ＋1－S n ＝λa n ＋1，即a n ＋1＝λa n ＋1．因为a n 不恒为0，所以λ＝1． (2)因为S n ＋112－S n 12＝33a n ＋112，所以(S n ＋112－S n 12)2＝13(S n ＋1－S n )＝13(S n ＋112－S n 12)(S n ＋112＋S n 12)． 因为a n ＞0，所以S n ＋1＞S n ，因此S n ＋112－S n 12＞0，于是S n ＋112－S n 12＝13(S n ＋112＋S n 12)，即S n ＋112＝2S n 12，所以S n ＋1＝4S n ．因为S 1＝a 1＝1，所以S n ＝4n －1，a n ＝4n －1－4n －2＝3·4n －2，n ≥2．所以a n ＝⎩⎨⎧1，n ＝1，3·4n －2，n ≥2．(3)假设存在三个不同的数列{a n }为“λ－3”数列，且a n ≥0．由S n ＋113－S n 13＝λa n ＋113，得(S n ＋113－S n 13)3＝λ3(S n ＋1－S n )，所以S n ＋113＝S n 13或(S n ＋113－S n 13)2＝λ3(S n ＋123＋S n 23＋S n ＋113S n 13)，即S n ＋1＝S n 或(λ3－1)Sn ＋123＋(λ3－1)S n 23＋(λ3＋2)S n ＋113S n 13＝0．由S n ＋1＝S n ，得a n ＝⎩⎨⎧1，n ＝1，0，n ≥2．因为存在三个不同的数列{a n }为“λ－3”数列，且a n ≥0，所以(λ3－1)S n ＋123＋(λ3－1)S n 23＋(λ3＋2)S n ＋113S n 13＝0(λ≠1)有两个不等的正根．(λ3－1)S n ＋123＋(λ3－1)S n 23＋(λ3＋2)S n ＋113S n 13＝0(λ≠1)可转化为(λ3－1)S n ＋123S n 23＋(λ3－1)＋(λ3＋2)S n ＋113S n 13＝0(λ≠1)，不妨设(S n ＋1S n )13＝x (x ＞0)，则(λ3－1)x 2＋(λ3＋2)x ＋(λ3－1)＝0(λ≠1)有两个不等正根，设f (x )＝(λ3－1)x 2＋(λ3＋2)x ＋(λ3－1)＝0(λ≠1)．①当λ＜1时，令Δ＝(λ3＋2)2－4(λ3－1)2＞0，得0＜λ3＜4，故0＜λ＜1，此时f (0)＝λ3－1＜0，对称轴x ＝－(λ3＋2)2(λ3－1)＞0，满足题意．②当λ＞1时，令Δ＝(λ3＋2)2－4(λ3－1)2＞0，得0＜λ3＜4，故1＜λ＜34，此时f (0)＝λ3－1＞0，对称轴x ＝－(λ3＋2)2(λ3－1)＜0，此情况有两个不等负根，不满足题意，舍去．综上，0＜λ＜1．数学Ⅱ(附加题)[选做题]本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两小题．．．．．．．．，．并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．[选修4－2：矩阵与变换] 21．平面上点A (2，－1)在矩阵M ＝⎣⎡⎦⎤a 1 －1b 对应的变换作用下得到点B (3，－4)．(1)求实数a ，b 的值； (2)求矩阵M 的逆矩阵M －1．解析：(1)由题得⎣⎡⎦⎤ a 1 －1 b ⎣⎡⎦⎤2－1＝⎣⎡⎦⎤ 3－4，所以⎩⎨⎧2a －1＝3，－2－b ＝－4，解得a ＝2，b ＝2．(2)设M －1＝⎣⎡⎦⎤m n c d ，则MM －1＝⎣⎡⎦⎤2m ＋c 2n ＋d －m ＋2c －n ＋2d ＝⎣⎡⎦⎤1 00 1，所以⎩⎨⎧2m ＋c ＝1，2n ＋d ＝0，－m ＋2c ＝0，－n ＋2d ＝1，解得m ＝25，n ＝－15，c ＝15，d ＝25，所以M －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤25 －1515 25．B ．[选修4－4：坐标系与参数方程]22．在极坐标系中，已知点A (ρ1，π3)在直线l ：ρcos θ＝2上，点B (ρ2，π6)在圆C ：ρ＝4sin θ上(其中ρ≥0，0≤θ＜2π)．(1)求ρ1，ρ2的值；(2)求出直线l 与圆C 的公共点的极坐标．解析：(1)以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系。