数值计算方法第二章

第二章 非线性方程数值解法

在科学计算中常需要求解非线性方程

()0f x = (2.1)

即求函数()f x 的零点．非线性方程求解没有通用的解析方法，常采用数值求解算法．数值解法的基本思想是从给定的一个或几个初始近似值出发，按某种规律产生一个收敛的迭代序列0{}k k x +∞=，使它逐步逼近于方程(2.1)的某个解．本章介绍非线性方程实根的数值求解算法：二分法、简单迭代法、Newton 迭代法及其变形，并讨论它们的收敛性、收敛速度等．

§2.1 二分法

一、实根的隔离

定义 2.1 设非线性方程(2.1)中的()f x 是连续函数．如果有*x 使*()0f x =，则称*x 为方程(2.1)的根，或称为函数()f x 的零点；如果有*()()()m f x x x g x =-，且()g x 在*x 邻域内连续，*()0g x ≠，m 为正整数，则称*x 为方程(2.1)的m 重根．当1m =时，称*x 为方程的单根．

非线性方程根的数值求解过程包含以下两步

(1) 用某种方法确定有根区间．称仅存在一个实根的有根区间为非线性方程的隔根区间，在有根区间或隔根区间上任意值为根的初始近似值；

(2) 选用某种数值方法逐步提高根的精度，使之满足给定的精度要求．

对于第(1)步有时可以从问题的物理背景或其它信息判断出根的所在位置，特别是对于连续函数()f x ，也可以从两个端点函数值符号确定出有根区间． 当函数()f x 连续时，区间搜索法是一种有效的确定较小有根区间的实用方法，其具体做法如下

设[,]a b 是方程(2.1)的一个较大有根区间，选择合适的步长()/h b a n =-，k x a kh =+，(0,1,,)k n =L ．由左向右逐个计算()k f x ，如果有1()()0k k f x f x +<，则区间1[,]k k x x +就是方程的一个较小的有根区间．

一般情况下，只要步长h 足够小，就能把方程的更小的有根区间分离出来；如果有根区间足够小，例如区间长度小于给定的精度要求，则区间内任意一点可

视为方程(2.1)的根的一个近似．

例2.1 确定出方程32()3430f x x x x =-+-=的一个有根区间．

解 由22()3643(1)10f x x x x '=-+=-+>知()f x 为(,)-∞∞上的单调递增函数，进而()f x 在(,)-∞∞内最多只有一个实根．经计算知(0)0f <，(2)0f >，所以()0f x =在区间[0,2]内有惟一实根．

如果希望将有根区间再缩小，可以取步长0.5h =，在点0.5x =，1x =， 1.5x =计算出函数值的符号，最后可知区间[1.5,2]内有一个实根． 二、二分法

二分法是求非线性方程实根近似值的最简单的方法．其基本思想是将有根区间分半，通过判别函数值的符号，逐步缩小有根区间，直到充分逼近方程的根，从而得到满足一定精度要求的根的近似值．

设()f x 在区间[,]a b 上连续，()()0f a f b <，且方程(2.1)在区间(,)a b 内有惟一实根*x ．记1a a =，1b b =，中点111()/2x a b =+将区间11[,]a b 分为两个小区间11[,]a x 和11[,]x b ，计算函数值1()f x ，根据如下3种情况确定新的有根区间：

(1) 如果1()0f x =，则1x 是所要求的根；

(2) 如果11()()0f a f x <，取新的有根区间2211[,][,]a b a x =； (3) 如果11()()0f x f b <，取新的有根区间2211[,][,]a b x b =．

新有根区间22[,]a b 的长度为原有根区间11[,]a b 长度的一半．对有根区间22[,]a b 施以同样的过程，即用中点222()/2x a b =+将区间22[,]a b 再分为两半，选取新的有根区间，并记为33[,]a b ，其长度为22[,]a b 的一半(如图2.1所示)．

图2.1 二分法示意图

重复上述过程，建立如下嵌套的区间序列

1122[,][,][,][,]k k a b a b a b a b =????L L

其中每个区间的长度都是前一个区间长度的一半，因此[,]k k a b 的长度为

1

1()

2k k k b a b a --=

-

由*

[,]k k x a b ∈和()/2k k k x a b =+，得

*11

()()22

k k k k x x b a b a -≤

-=- 当k →∞时，显然，有*k x x →．总结得到如下收敛定理：

定理2.1 设()f x 在隔根区间[,]a b 上连续，且()()0f a f b <，则由二分法产生的

序列0{}k k x +∞=收敛于方程(2.1)在[,]a b 上的根*

x ，并且有误差估计

*1

()(1,2,)2k k

x x b a k -≤-=L (2.2) 设预先给定根*x 的绝对误差限为ε，要求*k x x ε-≤，只要1

()2

k b a ε-≤成立，

这样求得对分次数

ln()ln ln 2

b a k ε

--≥

． (2.3)

取k 为大于(ln()ln )/ln 2b a ε--的最小整数．此时k x 是方程(2.1)的满足精度要求的根近似值．

注：由于舍入误差和截断误差存在，利用浮点运算不可能精确计算函数值，二分法中的判断()0k f x =几乎不可能满足，取而代之为判断条件0()k f x ε<，其中0ε为根近似值的函数值允许误差限．

总结以上内容，给出如下算法 算法2.1 (二分法)

输入 端点,a b 、根的绝对误差限ε、根近似值的函数值允许误差限0ε； 输出 近似解c 或失败信息；

Step 1 用公式(2.3)计算最大迭代次数k ； Step 2 对1,,n k =L 循环执行Step 3～5； Step 3 ()/2c a b =+，计算()f c ；

Step 4 若0()f c ε<，则输出c ，end ；

Step 5 若()()0f c f b <，则a c =，否则b c =．

例 2.2 用二分法求32()4100f x x x =+-=在[1,2]上的根*x 的近似值，要求

*31

102

k x x --<

?． 解 由于在区间[1,2]上，(1)5f =-，(2)14f =，2()38(38)0f x x x x x '=+=+>，故()0f x =在[1,2]上有惟一实根*x ．确定循环次数为11k =，利用二分法计算结果见表2.1．

二分法具有如下特点

(1) 优点：计算简单，对函数()f x 的光滑性要求不高，只要它连续，且在两端的函数值异号，算法收敛就可以保证；

(2) 缺点：只能求单实根和奇数重实根，收敛较慢，与1/2为公比的等比级数相同． 当函数()f x '连续时，方程(2.1)的实重根可转换为

()

0()

f x f x ='的实单根． 一般在求方程根近似值时不单独使用二分法，而常用它为其它数值方法提供初值．

§2.2 简单迭代法

简单迭代法是求解非线性方程根的近似值的一类重要数值方法．本节将介绍

简单迭代法的基本思想、收敛条件、收敛速度以及相应的加速算法． 一、简单迭代法的基本思想

简单迭代法采用逐步逼近的过程建立非线性方程根的近似值．首先给出方程根的初始近似值，然后用所构造出的迭代公式反复校正上一步的近似值，直到满足预先给出的精度要求为止．

在给定的有根区间[,]a b 上，将方程(2.1)等价变形为

()x x ?= (2.4)

在[,]a b 上选取0x 作为初始近似值，用如下迭代公式

1()k k x x ?+= (0,1,2,k =L ) (2.5)

建立序列0{}k k x +∞=．如果有*lim k k x x →∞=，并且迭代函数()x ?在*

x 的邻域内连续，对式(2.5)两边取极限，得

**()x x ?=

因而*x 是(2.4)的根，从而也是(2.1)的根．称()x ?为迭代函数，所得序列0{}k k x +∞=为迭代序列．将这种求方程根近似值的方法称为简单迭代法，简称迭代法． 例2.3 试用方程3()10f x x x =--=的不同形式的变形建立迭代公式，并试求其在1.5附近根的近似值．

解 利用方程的变形建立如下4种迭代公式

(1) 1k x +=，

(2) 3

11k k x x +=-

(3) 1k x += (4) 311

2

k k k x x x ++-=

取初值0 1.5x =，迭代计算，结果见表2.2．

例 2.3表明非线性方程的不同等价形式对应不同的迭代过程，从某一初值出发，有的迭代收敛快，有的收敛慢，甚至不收敛．那么迭代函数()x ?满足什么条件时才能保证迭代序列收敛? 迭代序列0{}k k x +∞=的误差如何估计? 怎样才能建立收敛速度快的迭代公式?

定理2.2 若函数()x ?在区间[,]a b 上具有一阶连续导数，且满足条件 ① 对任意[,]x a b ∈，有()[,]x a b ?∈；

② 存在常数L ：01L <<，使得对任意[,]x a b ∈有()x L ?'≤成立． 则

(1) 方程()x x ?=在[,]a b 上有惟一实根*x

(2) 对任意0[,]x a b ∈，迭代公式(2.5)收敛，且*lim k k x x →∞

=

(3) 迭代公式(2.5)有误差估计式

*11k k k L

x x x x L --≤

-- (2.6) *

101k k L x x x x L

-≤-- (2.7)

(4) *

*1*

lim ()k k k

x x x x x ?+→∞-'=- (2.8)

证明 (1)构造函数()()g x x x ?=-，由条件①知()()0g a a a ?=-≤，()()0g b b b ?=-≥，因此()0g x =在[,]a b 上至少存在一个实根，又由条件②知当[,]x a b ∈时，()1()10g x x L ?''=-≥->，所以()0g x =在[,]a b 内存在惟一实根，即()x x ?=在[,]a b 内存在惟一实根，记为*x ．

(2) 由0[,]x a b ∈及条件①知，[,]k x a b ∈(1,2,)k =L ，并且有1()k k x x ?+=，**()x x ?=，二者作差，并由微分中值定理得

***1()()()()k k k k x x x x x x ???ξ+'-=-=- (1,2,)k =L (2.9) 其中，k ξ介于k x 与*x 之间．结合条件②，得

**1k k x x L x x +-≤- (1,2,)k =L (2.10)

反复递推，有

**2*1*1100k k k k x x L x x L x x L x x ++-≤-≤-≤-≤≤-L ， (1,2,)k =L 因01L <<，故*lim k k x x →∞

=． (3) 由式(2.10)得

***

1111*

1k k k k k k k k k k x x x x x x x x x x x x L x x

+++++-=-+-≤-+-≤-+-

从而

*11

1k k k

x x x x L

+-≤

-- (2.11)

又由于

111()()()()

k k k k k k k x x x x x x ???η+--'-=-=-

1

k k L x x -≤- (1,2,)k =L

(2.12)

其中k η介于k x 和1k x -之间．综合式(2.11)及式(2.12)得误差估计

*1

1k k k L

x x x x L

--≤

--

由式(2.12)反复递推，得

111210

k k k k k x x L x x L x x -----≤-≤≤-L

并代入式(2.6)得误差估计

*

11011k

k k k L L x x x x x x L L

--≤-≤--- (1,2,)k =L

(4) 由式(2.9)得