重庆高一数学上学期期末考试试题
重庆市第十一中学校2022-2023学年高一上学期期末考试数学试题及答案(含解析)
5.已知函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围是（）
A. B.
C. D.
【答案】C
解析：∵ 在 上单调递增，
∴ ，解得 ，
故实数 的取值范围是
故选：C
6.已知 ， ， ，则（）
A. B.
C. D.
【Hale Waihona Puke 案】D解析：则有：
故有：
故选：D
7.已知 ，则 （）
A. B. C. D.
【答案】A
解析：
【答案】ABC
解析：A：因为 ，所以 ，所以函数 的定义域为 ，故A正确；
B： ，由
，
所以函数 的值域为 ，故B正确；
C：因为 ，
所以函数 是奇函数，所以C正确；
D：因为函数 是增函数，因为 ，
所以函数 是减函数，
所以函数 是增函数，
故 是增函数，故D不正确，
故选：ABC.
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
故选:CD.
11.函数 的图象向左平移 个单位长度后得到函数 的图象，对于函数 ，下列说法正确的是（）
A. 是 的一个周期B. 的图象关于直线 对称
C. 在区间 上单调递减D. 的图象关于点 对称
【答案】ABD
解析：函数 的图象向左平移 个单位长度后得到函数 ，
A.函数的最小正周期是 ，所以 是 的一个周期，故A正确；
故选：C.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分.在每小题有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分）
9.已知某扇形的周长为 ，面积为 ，则该扇形圆心角的弧度数可能是（）
A. B. C. D.
【答案】AC
解析：设扇形的半径为 ，所对弧长为 ，
重庆市高一上学期期末数学试题(解析版)
一、单选题1．化成弧度为（ ） 750 A ．B ．C ．D ．25π614π3112π17π3【答案】A【分析】直接利用弧度与角度的转化公式即可 【详解】根据角度制转化弧度制公式得. π25750π1806︒⨯=︒故选：A.2．已知集合，，则（ ）{}1,2,3,4,5A ={}22150B x x x =--<A B = A ． B ． C ． D ．{}1{}1,2{}1,2,3{}1,2,3,4【答案】B【分析】根据一元二次不等式的解法，结合集合交集的定义进行求解即可.【详解】由，而，()()221502530 2.53x x x x x --<⇒+-<⇒-<<{}1,2,3,4,5A =所以， A B = {}1,2故选：B3．已知：正整数能被6整除，，则是的（ ）p x {}*:3,q x x x k k ∈=∈N p q A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】分析出命题表示正整数能被3整除，根据能被6整除的正整数一定能被3整除，反之q x 不成立，即可得到答案.【详解】由题知在命题表示正整数能被3整除，q x 而能被6整除的正整数一定能被3整除，故前者能够推出后者， 而能被3整除的正整数不一定能被6整除，如9，故后者无法推出前者， 故是的充分不必要条件. p q 故选：A.4．已知，，，则（ ） 0.2log 3a =0.20.3b =ln πc =A ． B ．C ．D ．a b c <<a c b <<b a c <<b<c<a 【答案】A【分析】根据指数函数与对数函数的图像与性质，借助中间值法即可比较大小.【详解】由对数函数的图像与性质可得， 0.20.2log 3log 10a =<=，0.2,031).(0b ∈=，ln π>lne=1c =所以， a b c <<故选：A.5．命题，使得函数在上不单调，则命题的否定是（ ） :p α∃∈R y x α=()0,∞+p A ．，函数在上不单调 :p α⌝∀∈R y x α=()0,∞+B ．，函数在上单调 :p α⌝∀∈R y x α=()0,∞+C ．，函数在上单调 :p α⌝∃∈R y x α=()0,∞+D ．，函数在上单调 :p α⌝∃∉R y x α=()0,∞+【答案】B【分析】存在量词命题的否定是全称量词命题，把存在改为任意，把结论否定. 【详解】命题的否定是“，函数在上单调”. p :p α⌝∀∈R y x α=()0,∞+故选：B6．下列函数中既是奇函数又是减函数的是（ ） A ． B ．21xy x =-35y x -=C ．D ． 12,0,11,0.2x x x y x ⎧-≤⎪=⎨⎛⎫->⎪ ⎪⎝⎭⎩1e ln 1exxy -=+【答案】C【分析】对A ，B 项：举反例说明不是减函数； 对C 项，可判断为奇函数且为减函数； 对D 项，从定义域的不对称性说明不是奇函数. 【详解】对A ：当时，，而当时，，在定义域内一定不是减函数； 0x =0y =2x =23y =对B ：当时，，而当时，，在定义域内一定不是减函数；0x <0y <0x >0y >对C ：，12,0,()21,0.x x x f x x -⎧-≤=⎨->⎩当时，， 0x <()12()21,()()x x f x f x f x f x =--=-∴-=-，当时， ， 0x >()21()12,()()x x f x f x f x f x --=--=-∴-=-，当时，也成立，0x =()()0f x f x -=-=故对，都有，故为奇函数，R x ∀∈()()f x f x -=-12,0,()21,0.x x x f x x -⎧-≤=⎨->⎩当时，为减函数，当时，为减函数，0x ≤()120x f x =->0x >()210xf x -=-<所以为上减函数，故C 正确；12,0,()21,0.x x x f x x -⎧-≤=⎨->⎩R 对D ：定义域为，故不可能为奇函数.1e ln 1e xx y -=+(,0)-∞故选：C7．已知函数，，，则的取值范围是（ ） ()lg f x x =()()f a f b =a b <2023a b +A ．B ．C ．D ．)∞⎡+⎣()2023,+∞()2024,+∞()0,∞+【答案】C【分析】由题得，则有，首先解出的范围，则，设()lg 0ab =1b a=a 20232023a b a a +=+，，利用对勾函数的图象与性质即可得到其范围. 2023y a a=+01a <<【详解】由题知，显然， 0,lg lg a b a b <<=lg lg a b ≠则，即， lg lg a b -=()lg 0ab =则，则，，即，解得， 1ab =1b a =a b < 1a a<01a <<，设，，20232023a b a a+=+2023y a a =+01a <<令，解得， 2023a a=a =根据对勾函数的图象与性质可知函数在上单调递减， 2023y a a=+()0,1故其值域为. ()2024,+∞故选：C.8．已知函数，若，则实数的取值范围是（ ） ()244x f x x+=()()132f a f a +<-a A ． B ．2,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭233,,4322⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．D ．()4,+∞()2,4,3⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭【答案】B【分析】判断的奇偶性与单调性，并用奇偶性与单调性解不等式，要注意定义域的()2414f x x x =+限制.【详解】为偶函数，且在上递减. ()2414f x x x =+()0,∞+∵，()()132f a f a +<-∴，()()222132,132,,43a a a a a ⎛⎫+>-∴+>-∴∈ ⎪⎝⎭∵，，∴且，∴.10a +≠320a -≠1a ≠-32a ≠233,,4322a ⎛⎫⎛⎫∈⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选：B二、多选题9．下列说法中正确的是（ ） A ．任何集合都至少有两个子集B ．设为全集，，，是的子集，若，则 U A BC U ()U A B C ⊆⋃ðA B C =∅ C ．命题“，”的否定为“，”x ∀∈R e e x x ≥x ∃∈R e e x x ≤D ．若是的必要不充分条件，的必要不充分条件是，则是的充分条件 p q r q r p 【答案】BD【分析】根据子集的概念判断选项；根据集合的运算判断选项；根据全称命题的否定判断选项A B ；根据充分条件，必要条件的判定，判断选项.C D 【详解】由子集的概念可知：空集是它本身的子集，所以空集只有一个子集，故选项错误； A 因为，，是的子集，，则与没有公共元素，所以，故A B C U ()U A B C ⊆⋃ðA ,B C A B C =∅ 选项正确；B 因为命题“，”的否定为“”，故选项错误；x ∀∈R e e x x ≥R,e e x x x ∃∈<C 因为是的必要不充分条件，则能推出，又因为的必要不充分条件是，则能推出，所p q q p r q r q 以能推出，则是的充分条件，故选项成立， r p r p D 故选：.BD 10．已知幂函数，则（ ）()()2ln 22m m f x x --=A ．，函数的图像与坐标轴没有交点 m ∀∈R ()f xB ．，使得是奇函数m ∃∈R ()f x C ．当时，函数在上单调递增 4m ≥()f x ()0,∞+D ．当时，函数的值域为 1m =-()f x {}1【答案】BCD【分析】对A ，B 项：当时可说明A 错误B 正确；()2ln 221m m --=对C 项： 分析的取值范围，根据幂函数的单调性判断；()2ln 22m m --对D 项： 当时求定义域与值域即可.1m =-()0f x x =【详解】设可知可取遍全体正数，()()()()22ln 22ln 13g m m m m =--=--()213m --所以可取遍全体实数，()g m ∴当时，，，A 错误，B 正确；()213e m --=()2ln 221m m --=()f x x =当时，， 4m ≥()2ln 13ln60m ⎡⎤--≥>⎣⎦由幂函数性质，在上单调递增，C 正确；()f x ()0,∞+时，，定义域为，值域为，D 正确.1m =-()0f x x ={}R 0x x ∈≠{}1故选：BCD11．已知，则（ ） 1a b >>A B ．C ．D ．>1123b a⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭log 5log 3a b >tan tan a b >【答案】AB【分析】根据指数、对数、幂函数性质判断ABC ，根据正切函数性质判断D. 【详解】解：对于A 选项，由得，故，故正确； 1a b >>1101a b<<<111b a a a a b >>对于B 选项，由于，故，故正确；1a b >>111223baa⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭对于C 选项，若，，则，故错误； 5a =3b =log 5log 31a b ==对于D 选项，若，，故错误. 2πa =πb =故选：AB12．已知函数和函数，关于的方程有个()1,0,1,0.x x x f x x x x ⎧-<⎪⎪=⎨⎪+>⎪⎩()()21g x x k x =++x ()()0g f x k +=n 实根，则下列说法中正确的是（ ） A ．当时， B ．当时， 2n =2k <-4n =2k <-C ．， D ．，k ∀∈R 1n ≥k ∃∈R 5n ≥【答案】BC【分析】由解得或，结合图象分析根的个数与()()0g f x k +=()1f x =-()f x k =-()f x ()f x k =-的取值关系.k 【详解】令，若，则，解得或，()t f x =()g t k =-()21t k t k ++=-1t =-k -∴或，对于，该方程有一解，故C 正确；()1f x =-()f x k =-()1f x =-图象如图，若，可知且，所以且，故A 错误；()f x 2n =2k -<1k -≠-2k >-1k≠若，需要有三个根,由图可知，，故B 正确； 4n =()f x k =-2k ->2k <-由图可知至多三个解，所以，故D 错误. ()f x k =-4n ≤故选:BC三、填空题 13．函数的定义域是______.()2ln 2y x =-【答案】()(),11,2-∞ 【分析】使函数有意义应满足分母不为0，真数恒大于0. 【详解】函数有意义应满足，解得，()2ln 2y x =-()20ln 20x x ->⎧⎨-≠⎩()(),11,2x ∈-∞故答案为：()(),11,2-∞ 14．______. cos16cos104sin16cos14-= 【答案】##12-0.5-【分析】根据诱导公式，结合两角和的正弦公式进行求解即可.【详解】()cos16cos104sin16cos14cos16sin14sin16cos14cos16sin14sin16cos14-=--=-+，()sin 161431sin 20=-+=-=- 故答案为：12-15．已知某扇形材料的面积为，圆心角为，则用此材料切割出的面积最大的圆的周长为3π2π3______. 【答案】2π【分析】根据条件求出扇形半径，设割出的圆半径为，圆心为，由求得，从而r a C r CO a =+a 求得的周长.【详解】设扇形所在圆半径为，∴ r 21π3π,3232r r ⋅=∴=如图：设割出的圆半径为，圆心为，∴,a C 2πsin 6a CO a==，故， 33r CO DC a ==+=1a =所以最大的圆周长为. 2π故答案为：2π四、双空题16．已知函数.若，则的值域是______；若恰有2个()22,1,11,1x a x f x x a x x a ⎧-≤⎪=⎨⎛⎫-++> ⎪⎪⎝⎭⎩1a =()f x ()f x零点，则实数的取值范围是______. a 【答案】()1,-+∞()(]0,11,2 【分析】时，当时, ，当时，，利用函数的单1a =1x ≤()21x f x =-1x >()22()211f x x x x =-+=-调性求值域;当且时,当时求得的两个零点只有一个满足,另一个要在时产0a >1a ≠1x >211y x a x a ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭1x ≤生,列出满足的条件;当时，当时求得没有零点, 时不可能有两个零点.0<a 1x >211y x a x a ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭1x ≤【详解】时，，当时, ，当时，1a =()221,1,21,1x x f x x x x ⎧-≤=⎨-+>⎩1x ≤()21(1,1]x f x =-∈-1x >，故值域为；()22()2110f x x x x =-+=->()1,-+∞若，由上知此时只有一个零点；1a =()f x 当且时，当时有两个零点，，0a >1a ≠1x >211y x a x a ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭a 1a 其中，必是一个大于1，另一个小于1，故此时只有一个零点满足，1aa ()f x 而时，此时需要有一个零点，只需，1x ≤(]2,2xy a a a =-∈--20a -≥∴，()(]0,11,2a ∈⋃当时，当时，对称轴为，在上为增函数， 0<a 1x >211y x a x a ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭102a a x +=<()1,+∞∴，21112,y x a x a a a ⎛⎫⎛⎫=-++∈--+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由，知在上无零点，120a a-->()f x ()1,+∞而时，在上单调，∴不可能有两个零点. 1x ≤2x y a =-(],1-∞综上实数的取值范围是. a ()(]0,11,2 故答案为: ;()1,-+∞()(]0,11,2五、解答题17．已知，集合，.a ∈R {}0A x x a =-≥{}13B x x =-≤≤(1)当时，求，； 2a =A B ⋂A B ⋃(2)若，求的取值范围. ()R A B ⊆ða 【答案】(1)， []2,3[)1,-+∞(2) 3a >【分析】（1）根据集合的交并运算求解；（2）求出，根据列出应满足的条件.B R ð()R A B ⊆ða 【详解】（1）当时，，，； 2a =[)2,A =+∞[]2,3A B = [)1,A B =-+∞ （2），，， ()(),13,B =-∞-⋃+∞R ð[),A a =+∞R A B ⊆ð∴.3a >18．（1）求的值；()14625lg0.025lg4+（2）已知，求的值. ()1sin π3α+=()()3ππcos sin sin 3π22tan αααπα⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-【答案】（1）2；（2）827【分析】（1）利用指数幂的运算性质及对数的运算性质即可求解；（2）利用三角函数的诱导公式及同角三角函数的平方关系和商数关系即可求解. 【详解】（1）原式； ()144252545lg lg453lg10001000⨯⎛⎫=+=+⨯ ⎪⎝⎭153lg 53210=+⨯=-=（2）∵，∴，()1sin π3α+=1sin 3α=-原式. ()()()22sin cos sin 118sin cos sin 1sin 1tan 3927αααααααα-⋅-⎛⎫==-=-⋅-=⨯-= ⎪-⎝⎭19．已知，.,0x y >132x y+=(1)求的取值范围； 21x y+(2)求的最小值.12y x+【答案】(1)4,29⎛⎫⎪⎝⎭(2)52【分析】(1)根据已知条件得到，将式子中的换成，结合二次函数的图象和203x <<21x y +1y 23-x 性质即可求解；(2)结合将式子变形，利用基本不等式即可求解. 132x y +=12y x+【详解】（1）因为，则，又因为，所以，132x y +=1230x y =->,0x y >203x <<则，因为，22213132()24x x x x y +=-+=--203x <<由二次函数的图象和性质可得：. 214(,2)9x y +∈（2）111122233265y y x xy x x y xy ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=+++≥+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴且，解得1522y x +≥16xy xy =132x y +=x =y =∴的最小值为12y x+5220．已知，集合，.a ∈R (){}222220A x x a x a a =-+--≤()12log 211B x x ⎧⎫⎪⎪=->⎨⎬⎪⎪⎩⎭(1)求集合；B (2)若，求实数的取值范围.B A ⊆a 【答案】(1)13,24⎛⎫⎪⎝⎭(2)31,,42⎛⎤⎡⎫-∞-⋃-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭【分析】（1）根据对数函数的性质求出不等式的解集，即可得解；()12log 211x ->（2）由可得，分和两种情况讨论，()222220x a x a a -+--≤()()220x a x a +--≤23a ≥-23a <-求出集合，根据得到不等式组，解得即可.A B A ⊆【详解】（1）解：由，即，所以，解得()12log 211x ->()11221log 21log 2x ->10212x <-<1324x <<，所以； ()121313log 211,2424B x x x x ⎧⎫⎧⎫⎪⎪⎛⎫=->=<<=⎨⎬⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭⎪⎪⎩⎭（2）解：由，即，()222220x a x a a -+--≤()()220x a x a +--≤当即时，，22a a -≤+23a ≥-{}22A x a x a =-≤≤+当即时，， 22a a ->+23a <-{}22A x a x a =+≤≤-若，当时，，解得， B A ⊆23a ≥-132224a a -≤<≤+12a ≥-当时，，解得， 23a <-132224a a +≤<≤-34a ≤-综上可得. 31,,42a ⎛⎤⎡⎫∈-∞-⋃-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭21．某电影院每天最多可制作500桶爆米花，每桶售价相同，根据影院的经营经验，当每桶售价不超过20元时，当天可售出500桶；当每桶售价高于20元时，售价每高出1元，当天就少售出20桶.已知每桶爆米花的成本是4元，设每桶爆米花的售价为（且）元，该电影院一天x 4x >*x ∈N 出售爆米花所获利润为元.（总收入=总成本+利润）y (1)求关于的函数表达式；y x (2)试问每桶爆米花的售价定为多少元时，该电影院一天出售爆米花所获利润最大？最大利润为多少元？【答案】(1) *2*5002000,420,209803600,2045,x x x y x x x x ⎧-<≤∈=⎨-+-<≤∈⎩N N (2)当或25时，利润最多为8400元24x =【分析】(1)分段讨论售价确定每天的销售量,用分段函数表示利润;x (2)分别求出每一段函数的最大值,比较大小确定最大利润及相应的售价.【详解】（1）由题得当时，销售量为500桶，当时，销售量为420x <≤2045x <≤，()500202090020x x --=-由得,900200x -≥*2045,x x <≤∈N 故利润， **500(4),420,(90020)(4),2045,x x x y x x x x ⎧-<≤∈=⎨--<≤∈⎩N N 即； *2*5002000,420,209803600,2045,x x x y x x x x ⎧-<≤∈=⎨-+-<≤∈⎩N N（2）由（1）知当时，为增函数,故时，，420x <≤500(4)y x =-20x =max 8000y =当时，,开口向下且对称轴为,2045x <≤2209803600y x x =-+-24.5x =当时为增函数, 当时为减函数,(20,24.5]x ∈[24.5,45]x ∈又,所以当或25时，，*x ∈N 24x =max 8400y =故当或25时，利润最多为8400元.24x =22．已知函数的定义域为，且.()f x ()0,∞+()ln ln f x x x =⋅(1)求，判断并证明其单调性；()f x (2)求方程的根； ()()e e 1f x f x -=-(3)若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围. ()42e x x f a +⋅>1x >a 【答案】(1)，在上单调递增，证明见解析()()e 0x f x x x =>()f x ()0,∞+(2)1x =(3) 32a ≥-【分析】（1）利用换元法求出函数解析式，再利用定义法证明函数的单调性即可； （2）结合（1）的结论，可得，进而求解；e e x x =（3）结合（1）和（2）的结论将不等式等价转化为对任意恒成立，然后利用换元421x x a +⋅>1x >法结合函数的单调性即可求解.【详解】（1）令，，，，.ln t x =e =t x ()e t f t t =()e x f x x =0x >任取，则，∴，120x x >>12e e 0x x >>122112e e e x x x x x x >>∴，()()121212e e 0x x f x f x x x -=->()()12f x f x >∴在上单调递增；()f x ()0,∞+（2）∵，则 ()()e e 1f x f x -=-()()()2e 1e 0f x f x ---=所以或（舍），，显然是解，()e f x =()1f x =-e e x x =1x =又在上单调递增，∴是唯一解；()f x ()0,∞+1x =（3）由题对任意恒成立 ()()421x x f a f +⋅>1x >∴对任意恒成立，421x x a +⋅>1x >令，∴对任意恒成立，∴对任意恒成立 22x u =>21u au +>2u >1a u u >-2u >又在为单调递减函数，∴. 1y u u =-()2,+∞13222a ≥-=-。
重庆市重庆市第一中学校2023届高一数学第一学期期末考试试题含解析
该圆的半径为 ，且该截面圆圆心到水面的距离为1cm，
即球心到截面圆圆心的距离为 ，
由勾股定理可得 ，解得 ，
因此，球的体积为
故选A
【点睛】本题主要考查了球体的体积的计算问题，解决本题的关键在于利用几何体的结构特征和球的性质，求出球体的半径，着重考查了空间想象能力，以及推理与计算能力，属于基础题
【解析】首先化简集合B，然后根据集合 、 分类讨论a的取值，再根据交集和并集的定义求得答案
【详解】解：因
所以
又因为 ，
当 时 ，所以 ，
当 时 ，所以 ，
当 时 ，所以 ，
当 且 且 时 ，所以 ，
18、
【解析】利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式为 ，利用余弦函数的周期公式即可计算得解
【详解】先证明出 ， .
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．函数 （ 且 ）的图象必经过点___________.
12．已知A，B，C为 的内角.
（1）若 ，求 的取值范围；
（2）求证： ；
（3）设 ，且 ， ， ，求证：
13．棱长为2个单位长度的正方体 中，以 为坐标原点，以 ， ， 分别为 ， ， 轴，则 与 的交点 的坐标为__________
（2）先证明 ，
再由不等式 证明即可；
（3）找出不等式的等价条件，换元后再根据函数的单调性构造不等式，利用不等式性质即可得证.
【小问1详解】
,
为锐角，
，
，
解得 ，当且仅当 时，等号成立，
即 .
【小问2详解】
重庆市重点高一上学期期末数学试题(解析版)
一、单选题1．设角的终边过点，则（ ） θ()1,2-tan θ=A ． B ．2 C ．-2D ．1212-【答案】C【分析】利用正切函数定义即可求得其结果.【详解】由三角函数的定义将坐标数值代入可知，. 2tan 21y x θ===--故选：C2．用二分法求方程在内的近似解时，记，若，383x x =-()1,2()338x f x x =+-(1)0f <(1.25)0f <，，，据此判断，方程的根应落在区间（ ） (1.5)0f >(1.75)0f >A ． B ．C ．D ．(1,1.25)(1.25,1.5)(1.5,1.75)(1.75,2)【答案】B【分析】由零点存在定理及单调性可得在上有唯一零点，从而得到方程的根应落在()f x (1.25,1.5)上.(1.25,1.5)【详解】因为与在上单调递增，所以在上单调递增，3x y =38y x =-R ()338x f x x =+-R 因为，，所以在上有唯一零点，即，故(1.25)0f <(1.5)0f >()f x (1.25,1.5)0x 003380xx +-=，00383x x =-所以方程的根落在区间上，且为，(1.25,1.5)0x x =对于ACD ，易知选项中的区间与没有交集，故不在ACD 选项中的区间上，故ACD 错(1.25,1.5)0x 误；对于B ，显然满足题意，故B 正确. 故选：B.3．已知扇形的圆心角为，面积为，则该扇形的半径为（ ）60︒6πA ．B ．C ．D ．1234【答案】A【解析】利用扇形面积公式计算即可.212S r α=【详解】由题知：，故.22112236S r r ππα==⨯=1r =故选：A【点睛】本题主要考查扇形面积公式，熟记公式为解题的关键，属于简单题. 4．“”是“”的01x <<2log (1)1x +<A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据以及充分不必要条件的定义可得. 2log (1)111x x +<⇔-<<【详解】因为， 2log (1)111x x +<⇔-<<所以 ,(0,1)(1,1)-所以”是“”的充分不必要条件. 01x <<2log (1)1x +<故选A ．【点睛】本题考查了对数不等式以及充分必要条件,属基础题.5的值为（ ）A ．-1B ．1C ．D ．sin10︒cos10︒【答案】B【分析】利用平方关系化简即可. 【详解】解：因为，0sin10cos10︒︒<<. |cos10sin10|cos10sin101cos10sin10cos10sin10︒︒︒︒︒︒︒︒-====---故选：B.6．关于的方程有两个正的实数根，则实数的取值范围是（ ）. x 2220x mx m m -+-=m A ． B ． 0m >0m ≥C ． D ．m 1≥1m >【答案】D【解析】由已知可得判别式△、对应的二次函数满足，即可求出的范围． 0…(0)0f >m 【详解】解：方程有两个实数根，△，2220x mx m m -+-=∴2244()0m m m =--…，0m ∴…的方程有两个正的实数根，对应的二次函数的开口x 2220x mx m m -+-=22()2f x x mx m m =-+-向上，对称轴 0x m =≥所以，(0)0f >可得，20m m ->或，0m ∴<1m >，1m ∴>故选：．D 【点睛】本题考查一元二次方程的根；熟练掌握一元二次方程中判别式确定根的存在，再由两根都是正数，结合根与系数的关系求解是解题的关键．7．已知函数在上单调递增，则m 的取值范围是（ ）251()log 82f x x mx ⎛⎫⎪⎝=-+⎭+[]22-,A ． B ． ()2,3[)2,+∞C ． D ．[]2,3[)2,3【答案】D【分析】根据对数函数定义域以及复合函数单调性即可求得参数m 的取值范围.【详解】由题意可知，函数是由函数和函数251()log 82f x x mx ⎛⎫⎪⎝=-+⎭+5)()lo (g f x g x =复合而成；2182()g x x mx -++=由复合函数单调性可得，在上单调递增，2182()g x x mx -++=[]22-,且由对数函数定义域可得在上的值域是的子集；()g x []22-,()0,∞+所以需满足，解得. ()22122122802m m ⎧-≥⎪⎛⎫⨯-⎪ ⎪⎨⎝⎭⎪⎪-⨯--+>⎩23m ≤<故选：D8．设函数是定义在上的偶函数，且对任意的恒有，已知当()f x R x ∈R ()()11f x f x +=-时，，若，，，则a ，b ，c 的大小关系是[]0,1x ∈()12x f x -=32a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭()30.5b f -=()60.7c f =（ ） A ． B ． a b c >>a c b >>C ． D ．b ac >>c b a >>【答案】B【分析】根据已知条件，可以求得函数的对称轴，利用对称轴将转化到已知()()11f x f x +=-,a b 条件所给的区间里面，在利用函数的单调性进行比较大小即可.【详解】由题可知图像关于和对称()y f x =0x =1x =当时，为增函数，可得，[]0,1x ∈()12x f x -=3122a f f ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()30.580b f f f -===由于即∴，即6330.70.490.50.5=<<600.70.5<<()()()600.70.5f f f <<a c b >>故选：B二、多选题9．下列给出的各角中，与终边相同的角有（ ） 2π3-A ． B ． 4π38π3-C ．D ．7π316π3【答案】ABD【分析】根据终边相同的角的定义逐一验证即可判断出选项. 【详解】由题意可知，与终边相同的角的集合为， 2π3-2π2π,Z 3k k αα⎧⎫=-+∈⎨⎬⎩⎭|由此可得，时，，即A 正确； 1k =4π3α=时，，即B 正确； 1k =-8π3α=-时，，所以C 错误；7π3α=32k =∉Z 时，，即D 正确； 3k =16π3α=故选：ABD10．给出的下列命题中，正确的命题有（ ） A ．若，则．a b >11a b<B ．命题，的否定为：，．Z x ∀∈1Z 2x +∉0Z x ∃∈01Z 2x +∈C ．若，，则角的终边在第三象限． sin 0α<tan 0α>αD ．若是第二象限角，则是第一象限角．θ2θ【答案】BC【分析】利用特殊值代入可判断A 错误；根据含有一个量词命题的否定即可得B 正确；由三角函数值的符号可判断出角所在的象限，可知C 正确；由的范围可确定是第一或第三象限角，可知θ2θD 错误.【详解】对于A ，取可知，所以A 错误； 1,1a b ==-1111a b=>=-对于B ，根据含有一个量词命题的否定可知，命题，的否定为，Z x ∀∈1Z 2x +∉0Z x ∃∈01Z2x +∈，所以B 正确；对于C ，由可得为第三象限或第四象限角，可知为第一象限或第三象限角，sin 0α<αtan 0α>α所以角的终边在第三象限，选项C 正确； α对于D ，若是第二象限角，即，则，所以是θπ2ππ2π,Z 2k k k θ++∈<<ππππ,Z 422k k k θ++∈<<2θ第一象限或第三象限角，所以D 错误. 故选：BC11．设，，若，则实数的值可以为（ ）2{|8150}A x x x =-+={|10}B x ax =-=A B B = a A ．B ．C ．D ．150313【答案】ABD【分析】先将集合表示出来，由可得，则根据集合中的元素讨论即可求出A A B B = B A ⊆A a 的值.【详解】集合，由可得， 2{|8150}{3,5}A x x x =-+==A B B = B A ⊆则分和或或， B =∅{3}=B {5}{3,5}当时，满足即可；B =∅0a =当时，满足，解得：；{3}=B 310a -=13a =当时，满足，解得：；{5}B =510a -=15a =当时，显然不符合条件，{3,5}B =所以的值可以为，a 110,,35故选：.ABD 12．下列命题中不正确的有（ ）A ．已知幂函数在上单调递减则或． ()()211m f x m x --=+()0,∞+0m =2m =-B ．函数的值域为． ()221xf x x =+[]1,1-C ．已知函数，若，则的取值范围为()31ln 1x f x x x +⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭()210f a ->a 1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．已知函数满足，，且与的图像的交点为()f x ()()2f x f x -+=()1x g x x+=()f x ()g x，则的值为8．()()()112233,,,x y x y x y 128128x x x y y y ++++++ 【答案】AC【分析】选项A 利用幂函数的定义及性质判断即可；选项B 利用转化法求函数的值域；选项C 利用函数的奇偶性与单调性解不等式；D 选项利用函数的对称性求解即可. 【详解】A ：因为是幂函数，所以，所以或，()f x ()211m +=0m =2m =-又在上递减，所以，故不正确， ()f x ()0,∞+0m =B ：因为，所以由，则， 211x +≥()221x y f x x ==+()221220y x x x y x y +=⇒-+=方程有解则：，所以函数的值域为：，故正确；()22240111y y y y ∆=--⋅≥⇒≤⇒-≤≤[]1,1-C ：由函数的定义域为，()31ln 1x f x x x +⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭()1,1- 且，()()()1333111ln ln ln 111x x x f x x x x f x x x x --++⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-+=--=- ⎪ ⎪ ⎪+--⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以为奇函数，由在上单调递增，所以在上单调递增，()f x 31,ln 1x y x y x +⎛⎫== ⎪-⎝⎭()1,1-()f x ()1,1-由得：，解得，故错误，()()2100f a f ->=0211a <-<1,12a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭D ：由函数满足，，所以与都关于对称， ()f x ()()2f x f x -+=()111x g x x x+==+()f x ()g x ()0,1所以，故正确， 12812804248x x x y y y ++++++=⨯+⨯= 故选：AC ．三、填空题13．函数（且）的图象过定点___________. 1()1x f x a +=-0a >1a ≠【答案】(1,0)-【分析】由可得图像所过的定点.()10f -=【详解】当时，，故的图像过定点. =1x -()0f x =()f x ()1,0-填.()1,0-【点睛】所谓含参数的函数的图像过定点，是指若是与参数无关的常数，则函数的图像必过()0f x .我们也可以根据图像的平移把复杂函数的图像所过的定点归结为常见函数的图像所过的()()0,x f x定点（两个定点之间有平移关系）. 14．若，则的最小值是___________. 1x >141x x +-【答案】8.【解析】先判断和，再根据基本不等式求的最小值即可. 4(1)0x ->101x >-141x x +-【详解】解：因为，所以，， 1x >4(1)0x ->101x >-所以 1144(1)44811x x x x +=-++≥=--当且仅当即时，取等号，14(1)1x x -=-32x =所以的最小值是8. 141x x +-故答案为：8【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，是基础题.15．已知，则______． cos 6πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭5sin 6πθ⎛⎫-=⎪⎝⎭【分析】根据已知结合同角三角函数关系得出，将sin 6πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭5sin sin 66ππθπθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=-+⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，根据诱导公式即可得出，即可得出答案. 5sin sin 66ππθθ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭【详解】，且，cos 6πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，sin 6πθ⎛⎫+== ⎪⎝⎭∴ 5sin sin sin 666πππθπθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 16．已知函数若，且，则的取值范围()12,02,0x x x f x x +⎧-≥=⎨<⎩123x x x <<()()()123f x f x f x ==()2123x f x x x +是____________． 【答案】10,4⎛⎤⎥⎝⎦【分析】画出函数的图象，并根据方程根的个数确定每个根对应的取值范围，即可求得表达()f x 式的取值范围()2123x f x x x +【详解】画出函数的图象如下：()f x观察图象由对称性可得，即 2322x x +=234x x +=又，，202x <<()()12f x f x =则()()()()2212222222232024442x f x x f x x x x x x x x -===-+<<+令，由二次函数图象可知，，()2202(),4x xg x x =-<<+max 111()(1)424g x g ==-+=()(0)0g x g >=， ∴的取值范围为.()2123x f x x x +10,4⎛⎤⎥⎝⎦故答案为：10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦四、解答题 17．求值：(1)22log 33582lg 2lg 22+--(2)已知，求的值1tan 2θ=()()2sin 2πcos πππcos 3sin 22θθθθ-+-⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】(1)6 (2) 45【分析】（1）根据指数运算公式和对数运算公式求解即可；（2）根据诱导公式和同角三角函数之间的基本关系化简求值即可．【详解】（1）()()3322log 3log 3333582lg 2lg 222lg 5lg 22lg 22+--=+---()223lg 5lg 22lg 27lg 5lg 2=+-+-=-+716=-=（2）利用诱导公式可得，原式2sin cos 2tan 14sin 3cos tan 35θθθθθθ----===--18．已知函数的定义域为.()f x =A (1)求；A (2)设集合，若，求实数的取值范围. 3521122x x aB x --⎧⎫⎪⎪⎛⎫⎛⎫=<⎨⎬ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎩⎭A B ⋂=∅a 【答案】(1) ()1,2A =-(2) (],3-∞【分析】(1)由函数的解析式有意义列不等式可求函数的定义域；()f x A (2)根据指数函数的单调性化简集合，结合关系列不等式求的取值范围. B A B ⋂=∅a【详解】（1）由有意义可得，得，()f x =1020x x +>⎧⎨-+>⎩12x -<<函数的定义域为，∴()f x =()1,2-即；()1,2A =-（2）因为函数在上单调递减，所以可化为，所以12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭()-∞+∞，3521122x x a--⎛⎫⎛⎫< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭352x x a ->-，5>-x a 所以集合， {5}B xx a =>-∣又， (),1,2A B A ⋂=∅=-所以，即， 52a -≥3a ≤所以实数的取值范围.a (],3-∞19．已知定义在上的函数，满足.R ()f x ()226f x x x -=--(1)求的解析式.()f x(2)若在区间上的最小值为6，求实数的值.()f x [],2t t +t 【答案】(1)()234f x x x =--(2)或. 4t =-5【分析】（1）利用换元法求解即可； （2）因函数对称轴为，讨论对称轴与区间关系可知函数单调性，从而求得函数()f x 32x =[],2t t +，建立方程求解即可.()min f x 【详解】（1）由，()226f x x x -=--x ∈R 令，即，，2x k -=2x k =-R k ∈则，，()()()2222634f k k k k k =----=--R k ∈所以.()234f x x x =--（2）函数对称轴为， ()234f x x x =--32x =当，即时，函数在上单调递减，322+≤t 12t ≤-()f x [],2t t +则此时，，解得或（舍去）.()()()()2min 223246f x f t t t =+=+-+-=4t =-3t =当，即时，函数在上单调递减，在上单调递增，322<<+t t 1322-<<t ()f x 3,2t ⎡⎤⎢⎥⎣⎦3,22t ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦则此时，，不符合题意.()2min 333253462224f x f ⎛⎫⎛⎫==-⨯-=-≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当时，函数在上单调递增， 32t >()f x [],2t t +则此时，，解得（舍去）或.()()2min 346f x f t t t ==--=2t =-5t =综上所述，或.4t =-520．北京冬奥会已于月日开幕，“冬奥热”在国民中迅速升温，与冬奥会相关的周边产品也202224销量上涨.因可爱而闻名的冰墩墩更是成为世界顶流，在国内外深受大家追捧.对某商户所售的冰墩墩在过去的一个月内（以天计）的销售情况进行调查发现：冰墩墩的日销售单价（元/套）30()P x与时间（被调查的一个月内的第天）的函数关系近似满足），x x ()2000P x =0k >冰墩墩的日销量（套）与时间的部分数据如表所示：()Q x xx 38 15 24（套） ()Q x 12 1314 15 已知第天该商品日销售收入为元，现有以下三种函数模型供选择：2432400①，②，③()x Q x ta b =+()2(16)Q x p x q =-+()Q x n =+(1)选出你认为最合适的一种函数模型，来描述销售量与时间的关系，并说明理由；(2)根据你选择的模型，预估该商品的日销售收入（，）在哪天达到最低．()f x 130x ≤≤x +∈N 【答案】(1)模型③最合适，理由见解析；(2)第天达到最低.3【分析】（1）结合表中数据及其增速较慢的特点，分别对指数型、二次函数型、幂函数型三种函数模型进行分析，即可选出最合适的一种函数模型；（2）由表中数据和第天日销售收入，分别求出第（1）问中选择的模型和中的参数，24()Q x ()P x 代入，化简后使用基本不等式求解.()()()f x P x Q x =【详解】（1）模型③最合适，理由如下：对于模型①，为指数型函数模型，表格中对应的数据递增的速度较慢，故模型()x Q x ta b =+()Q x ①不合适；对于模型②，为二次函数模型，其图象关于直线对称，有()2(16)Q x p x q =-+16x =()()824Q Q =，与表中数据不符，故模型②不合适；对于模型③，幂函数型增长模型满足表格中对应数据较慢的递增速度，将()Q xn =()Q x 表中数据，代入模型③，有()3,12()8,13，解得， ()()312813Q n Q n ⎧==⎪⎨==⎪⎩212313m n m n +=⎧⇒⎨+=⎩110m n =⎧⎨=⎩∴，()10Q x =经验证，均满足表中数据，()151014Q ==()241015Q ==因此，使用模型③来描述销售量与时间的关系最合适.（2）∵第天冰墩墩的日销售单价（元/套）， 24()()20002000524P k P x ===+∴第天的日销售收入为（元）， 24()()2424200015324005k P Q ⎛⎫⨯=+⨯= ⎪⎝⎭∴，800k =∴ ()2000P x =由（1）所选模型③，当且时，130x ≤≤x +∈N()()())001200f x P x x Q ⎛+ ⎝==2080020+=20800≥+2080024000=+⨯（元） 28800=当且仅当时，等号成立， 200=3x =∴在第天时，该商品的日销售收入达到最低元.3()f x 2880021．已知 ()()21R 21x x f x x -=∈+(1)判断函数的单调性，并用定义证明之．()f x (2)解关于t 的不等式．()()2320f t f t -+<【答案】(1)函数在上单调递增，证明见解析()f x R (2){}31t t -<<【分析】（1）由题意可知，对函数进行分离常数可判断其单调性并用单调性的定义证明即可；（2）根据函数的奇偶性和单调性即可对不等式进行求解．【详解】（1）由题意，函数在上是增函数， ()21212121x x x f x -==-++()21x h x =+R 所以函数在上是增函数．()f x R 证明如下：在上任取且，R 12,x x 12x x <所以 ()()()()()121212122222211,21212121x x x x x x f x f x -⎛⎫⎛⎫-=---= ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭由可知，所以，，， 12x x <12022x x <<12220x x -<1210x +>2210x +>所以，即．()()120f x f x -<()()12f x f x <即在上单调递增．()f x R （2）易知，所以函数为奇函数； ()()21122112x xx x f x f x -----===-++()f x 由（1）知，函数是上的增函数，()f x R 由可得， ()()2320f t f t -+<()()()2322f t f t f t -<-=-所以，即，解得，232t t -<-2230t t +-<31t -<<即关于t 的不等式的解集为()()2320f t f t -+<{}31t t -<<22．已知函数为奇函数． 1()ln1kx f x x -=+（1）求实数k 的值； （2）若对任意都有成立，求t 的取值范围；[3,5]x ∈()3f x t >-（3）若存在，且，使得函数在区间上的值域为,(1,)αβ∈+∞αβ<()f x [,]αβ，求实数m 的取值范围． ln ,ln 22m m m m αβ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦【答案】（1）；（2）；（3）. 1k =(),3ln 2-∞-209m <<【解析】（1）根据函数奇函数的定义和条件，求出k 的值之后再验证是否满足函()()0f x f x +-=数的定义域关于原点对称即可；（2）根据复合函数单调性法则，可以判断出函数在给定区间上的单调性，之后将恒成立问题转化为最值处理；（3）假设存在，使得函数在区间上的值域为，由,αβ()f x [],αβln ,ln 22m m m m αβ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦()f x 在上递增，方程在上有两个不等实根，可得的不等式()1,+¥211022m m mx x ⎛⎫--+-= ⎪⎝⎭()1,+¥m 组，解不等式即可得到实数的取值范围，即可得到判断存在性.m 【详解】（1）因为函数为奇函数，所以， ()1ln 1kx f x x -=+()()0f x f x +-=即对定义域内任意恒成立，所以，即()()()()22211111ln ln ln ln 011111kx kx kx kx k x x x x x x -------+===+-++-+-x 21k =，1k =±显然，又当时，的定义域关于原点对称． 1k ≠-1k =1()ln1x f x x -=+所以为满足题意的值．1k =（2）由（1）知，其定义域为， ()1ln1x f x x -=+()(),11,-∞-⋃+∞ ()12ln ln(1)11x f x x x -==-++可以判断出在上为增函数．()f x ()1,+¥所以在上为增函数，()f x ()3,5对任意都有成立，则有，[3,5]x ∈()3f x t >-min ()3f x t >-所以，所以， 31(3)ln 331f t -=>-+3ln 2t <-所以求t 的取值范围为；(),3ln 2-∞-（3）由（2）知在上为增函数，()f x ()1,+¥又因为函数在上的值域为， ()f x [],αβ11ln ,ln 22m m αβ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦所以，且，所以， 0m >1ln ln ,121ln ln 12m m m m αααβββ⎧-⎛⎫=- ⎪⎪+⎝⎭⎪⎨-⎛⎫⎪=- ⎪⎪+⎝⎭⎩1,12112m m m m αααβββ-⎧=-⎪+⎪⎨-⎪=-+⎪⎩即是方程的两实根， ,αβ112x m mx x -=-+问题等价于方程在上有两个不等实根， 211022m m mx x ⎛⎫--+-= ⎪⎝⎭()1,+¥令，对称轴 ()21122m m h x mx x ⎛⎫=--+- ⎪⎝⎭1124x m =-则， 21124(1)4(1)022(1)00m m m m m h m m >⎧⎪⎪->⎪⎪⎪∆=--->⎨⎪=>⎪⎪⎪⎪⎩即，解得． 0205229m m m m ⎧⎪>⎪⎪<<⎨⎪⎪><⎪⎩或209m <<【点睛】关键点点睛：本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用、函数和方程的转化以及一元二次方程在给定区间上解的问题，根据函数奇偶性和单调性的定义确定函数性质是解决本题的关键.。
重庆高一高中数学期末考试带答案解析
重庆高一高中数学期末考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.已知集合，集合，则集合（）A．B．C．D．2.某高中共有900人，其中高一年级300人，高二年级200人，高三年级400人，现采用分层抽样抽取容量为45的样本，那么高一、高二、高三各年级抽取的人数分别为（）A．15,5,25B．15,15,15C．10,5,30D．15,10,203.函数的定义域是（）．A．B．C．D．4.已知等比数列满足：，则公比为（）A．B．C．－2D．25.已知向量，向量，若，则实数的值是（）A．B．C．4D．6.已知中，则等于（）A．60°B．60°或120°C．30°D．30°或150°7.当时，执行如右图所示的程序框图，输出的值为（）A．30B．14C．8D．68.实数，满足不等式组，则目标函数的最小值是（）A．B．C．D．9.已知数列的前项和为，且，则取最小值时，的值是（）A．3B．4C．5D．610.设a>0，b>0，若是与的等比中项，则的最小值为（）A．4B．8C．1D．11.在区间上随机地取一个数，则事件“”发生的概率为（）A．B．C．D．12.（原创）函数，关于的方程恰有三个不同实数解，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．二、填空题1.计算：的值是．2.平面向量与的夹角为60°，，，则．3.不等式对一切恒成立，则实数的取值范围为．4.右表中的数阵为“森德拉姆数筛”，其特点是每行每列都成等差数列，记第行第列的数为．则表中的数52共出现次．三、解答题1.（本题满分10分）已知等差数列满足=2，前3项和=．（1）求的通项公式；（2）设等比数列满足=，=，求前n项和．2.（本题满分12分）某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为（Ⅰ）求频率分布图中的值；（Ⅱ）估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；（Ⅲ）从评分在的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在的概率．3.（本题满分12分）在中，角，，所对的边分别为，，，且满足．（1）求角的大小；（2）已知，的面积为，求边长的值．4.（本题满分12分）已知函数．（1）求的最小正周期；（2）若将的图像向右平移个单位，得到函数的图像，求函数在区间上的最大值和最小值．5.（本题满分12分）如图，要设计一张矩形广告牌，该广告牌含有大小相等的左右两个矩形栏目（即图中阴影部分），这两栏的面积之和为，四周空白的宽度为，两栏之间的中缝空白的宽度为．怎样确定广告牌的高与宽的尺寸（单位：），能使矩形广告牌面积最小？6.（本题满分12分）已知数列的前项和为,且点在函数上，且（）（1）求的通项公式；（2）数列满足，求数列的前项和；（3）记数列的前项和为，设，证明：重庆高一高中数学期末考试答案及解析一、选择题1.已知集合，集合，则集合（）A．B．C．D．【答案】B【解析】两集合的公共元素组成的集合，所以【考点】集合的运算2.某高中共有900人，其中高一年级300人，高二年级200人，高三年级400人，现采用分层抽样抽取容量为45的样本，那么高一、高二、高三各年级抽取的人数分别为（）A．15,5,25B．15,15,15C．10,5,30D．15,10,20【答案】D【解析】先计算分层比，所以各个年级应抽取的人数分别是，，和高三．【考点】分层抽样3.函数的定义域是（）．A．B．C．D．【答案】D【解析】函数的定义域是，解得：【考点】函数的定义域4.已知等比数列满足：，则公比为（）A．B．C．－2D．2【答案】B【解析】，所以【考点】等比数列的性质5.已知向量，向量，若，则实数的值是（）A．B．C．4D．【答案】C【解析】，所以【考点】1．数量积的坐标表示；2．两向量垂直的充要条件6.已知中，则等于（）A．60°B．60°或120°C．30°D．30°或150°【答案】B【解析】根据正弦定理，,解得,又因为，，所以角等于60°或120°【考点】正弦定理7.当时，执行如右图所示的程序框图，输出的值为（）A．30B．14C．8D．6【答案】B【解析】当时，，是，进入循环,时，，是，进入循环,时，，是，进入循环,时，，否，所以退出循环，所以．【考点】1．程序框图的应用；2循环结构．8.实数，满足不等式组，则目标函数的最小值是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】如图，先画可行域，，当目标函数过点时，函数取得最小值，所以．【考点】线性规划9.已知数列的前项和为，且，则取最小值时，的值是（）A．3B．4C．5D．6【答案】B【解析】根据已知，所以数列是等差数列，，得到，，所以最小．【考点】1．等差数列；2．等差数列的前项和的最大项．10.设a>0，b>0，若是与的等比中项，则的最小值为（）A．4B．8C．1D．【答案】A【解析】，所以，所以：，等号成立的条件是．【考点】1．等差数列的性质；2．基本不等式求最值．11.在区间上随机地取一个数，则事件“”发生的概率为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】解得不等式：，解得，所以根据几何概型得到．【考点】几何概型12.（原创）函数，关于的方程恰有三个不同实数解，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】设，方程为：，方程有两个不等实根和，根据的图像，可得，和有三个不同交点，所以，根据数形结合分析，，，所以设函数，，解得【考点】1．函数的图像；2．数形结合解决方程实根问题．二、填空题1.计算：的值是．【答案】【解析】根据对数运算法则，原式等于【考点】对数运算法则2.平面向量与的夹角为60°，，，则．【答案】【解析】．【考点】向量数量积的计算3.不等式对一切恒成立，则实数的取值范围为．【答案】【解析】当时，或，代入，只有使不等式恒成立，当时，，即，解得，所以最后的取值范围是【考点】二次不等式恒成立4.右表中的数阵为“森德拉姆数筛”，其特点是每行每列都成等差数列，记第行第列的数为．则表中的数52共出现次．【答案】【解析】经观察奇数行有可能出现52，并且奇数行的通项公式是，所以当时，即，解得：，,解得，当时，是正整数，所以有4个52【考点】等差数列三、解答题1.（本题满分10分）已知等差数列满足=2，前3项和=．（1）求的通项公式；（2）设等比数列满足=，=，求前n项和．【答案】（1）；（2）【解析】（1）因为是等差数列，所以可以采用待定系数法，列方程组，求解首项，公差，写出通项公式；（2）第一步，先求数列的通项公式，第二步，套等比数列的前n项和公式．试题解析：（1）设的公差为，则由已知条件得化简得，解得故通项公式（2）由（1）得．设的公比为,则,从而．故的前n项和【考点】1．等差数列；2．等比数列．2.（本题满分12分）某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为（Ⅰ）求频率分布图中的值；（Ⅱ）估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；（Ⅲ）从评分在的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在的概率．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）．【解析】（Ⅰ）频率分布直方图中的矩形面积等于1，所以根据面积求参数；（Ⅱ）求分数不低于80分的矩形面积就是概率；（Ⅲ）第一步，先求两组的人数，频率乘以50就是人数，第二步，将这5个人分别编号，列出所以抽取两人的方法，其中算出两人都在的方法组数，最后相除，计算概率．试题解析：解（Ⅰ）因为，所以（Ⅱ）由所给频率分布直方图知，50名受访职工评分不低于80的频率为，所以该企业职工对该部门评分不低于80的概率的估计值为．（Ⅲ）受访职工评分在[50,60）的有：50×0．006×10＝3（人），即为；受访职工评分在[40,50）的有：50×0．004×40＝2（人），即为．从这5名受访职工中随机抽取2人，所有可能的结果共有10种，它们是又因为所抽取2人的评分都在[40,50）的结果有1种，即，故所求的概率为．【考点】1．频率分布直方图的应用；2．古典概型．3.（本题满分12分）在中，角，，所对的边分别为，，，且满足．（1）求角的大小；（2）已知，的面积为，求边长的值．【答案】（1）；（2）【解析】（1）根据正弦定理，将边化为角，进一步化简，即得结果；（2）结合上一问的结果，列三角形面积公式，解出，然后根据余弦定理求解边．试题解析：（1）在中，由正弦定理得：因为，所以从而，又所以，所以．（2）在中，，得由余弦定理得：所以．【考点】1．正弦定理；2．余弦定理；3．三角形面积公式．4.（本题满分12分）已知函数．（1）求的最小正周期；（2）若将的图像向右平移个单位，得到函数的图像，求函数在区间上的最大值和最小值．【答案】（1）；（2）最大值为2，最小值为－1．【解析】（1）首先根据二倍角公式化简，然后根据诱导公式化简，随后化简，为，最后求周期；（2）向右平移，那么，得到函数，然后根据自变量的范围，求的范围，根据函数的图像求函数的最大值和最小值．试题解析：解：（1）（2）由已知得，，，故当即时，；故当即时，，故函数g（x）在区间上的最大值为2，最小值为－1．【考点】1．三角函数的化简；2．三角函数的性质；3．三角函数的图像变换．5.（本题满分12分）如图，要设计一张矩形广告牌，该广告牌含有大小相等的左右两个矩形栏目（即图中阴影部分），这两栏的面积之和为，四周空白的宽度为，两栏之间的中缝空白的宽度为．怎样确定广告牌的高与宽的尺寸（单位：），能使矩形广告牌面积最小？【答案】广告牌的高为140 cm，宽为175 cm时，可使广告牌的面积最小．【解析】法一：可以设矩形栏目的高和宽，高宽=定值，然后用所给数据表示广告牌的面积，根据所给定值，利用基本不等式求最值；法二：设广告牌的高和宽，用所设表示矩形栏目的高和宽，相乘为定值，转化为所设高和宽的关系式，并相互表示，代入广告牌的面积，利用基本不等式求最值．试题解析：解：法一：设矩形栏目的高为a cm，宽为b cm，则ab＝9 000．①广告牌的高为a＋20，宽为2b＋25，其中a>0，b>0．广告牌的面积S＝（a＋20）（2b＋25）＝2ab＋40b＋25a＋500＝18 500＋25a＋40b≥18 500＋2＝18500＋2＝24500．当且仅当25a＝40b时等号成立，此时b＝a，代入①式得a＝120，从而b＝75．即当a＝120，b＝75时，S取得最小值24500，故广告牌的高为140 cm，宽为175 cm时，可使广告牌的面积最小． 12分法二：设广告牌的高和宽分别为xcm、ycm，则每栏的高和宽分别为x－20，，其中x>20，y>25．两栏面积之和为2（x－20）·＝18 000，由此得y＝＋25，广告的面积S＝xy＝x（＋25）＝＋25x＝＋25（x－20）＋18 500，因为x－20>0，所以S≥＋18 500＝24 500．当且仅当＝25（x－20）时等号成立，此时有（x－20）2＝14 400（x>20）解得x＝140代入y＝＋25，得y＝175．即当x＝140，y＝175时，S取得最小值24 500．故广告牌的高为140 cm，宽为175 cm时，可使广告牌的面积最小．【考点】1．函数的应用；2．基本不等式求最值．6.（本题满分12分）已知数列的前项和为,且点在函数上，且（）（1）求的通项公式；（2）数列满足，求数列的前项和；（3）记数列的前项和为，设，证明：【答案】（1）；（2）；（3）详见解析．【解析】（1）第一步，将点代入，得到和的通项，第二步，根据已知和求通项的方法，，求得数列的通项公式，第三步，代入已知的条件关系式，解得；（2）第一步，先求数列的通项公式，根据上一问，是等差数列，是等比数列，所以数列的求和方法采用错位相减法求和；（3）第一步先求几个相关的式子，，其前项和，在表示，第二步将通项进行放缩，为，第三步，采用裂项相消法求和，整理，证明不等式．试题解析：解：（1）由题意：（ⅰ）当时，（ⅱ）当时，所以，又因为，所以（2）因为且所以①②由①②得：整理得：．（3），所以数列的前项和为因为即当时【考点】1．已知数列的前项和求通项；2．错位相减法求和；3．裂项相消法求和；4．证明不等式．。
2022-2023学年重庆十八中高一(上)期末数学试卷(含答案解析)
2022-2023学年重庆十八中高一（上）期末数学试卷1. 命题“∃x∈R，e x<2”的否定是( )A. ∃x∈R，e x≥2B. ∃x∈R，e x>2C. ∀x∈R，e x≥2D. ∀x∈R，e x>22. 在平面直角坐标系中，若角α的终边与单位圆的交点为P(−23,√53)，则cos(3π−α)=( )A. 23B. −23C. √53D. −√533. 若正实数a，b满足(a+1)(2b+1)=4，则a+2b+1的最小值为( )A. 2B. 3C. 103D. 44. 已知集合M={x|x2−2x−3<0},N={x|y=√1−log2(4−x)}，则M∪N=( )A. (−3,+∞)B. (−3,4)C. (−1,+∞)D. (−1,4)5. “a−12<b−12”是“lga>lgb”的条件．( )A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要6. y=cos(ωx+φ)的部分图像如图所示，则其单调递减区间为( )A. (112+2k,712+2k),k∈ZB. (112+k,712+k),k∈ZC. (112+2kπ,712+2kπ),k∈ZD. (112+kπ,712+kπ),k∈Z7. 已知定义域为[−4,4]的函数f(x)的图像是一条连续不断的曲线，且满足f(−x)+f(x)=0.若∀x1，x2∈(0,4],当x1<x2时，总有x1f(x1)>x2f(x2)，则满足(2m+1)f(2m+1)≤(m−4)f(m−4)的实数m的取值范围为( )A. [0,1]B. [1,32] C. [−5,1] D. [−3,5]8. 设a=sin40∘,b=2−32,c=log85，则a，b，c的大小关系为( )A. a<b<cB. a<c<bC. b<c<aD. b<a<c9. 下列函数中，与函数y=x是同一函数的有( )A. y=√x2B. y=√x33C. y=lne xD. y=e lnx10. 已知x，y是正数，且x+y=2，则( )A. x(x+2y)的最大值为4B. log2x+log2y的最大值为0C. 2x+2y的最小值为4D. 1x +2y的最小值为32+√211. 已知f(x)=sin(2x+π6)，则( )A. 其图像可以由y=sinx的图像先向左平移π6个单位长度，再将所有点的横坐标缩短为原来的12(纵坐标不变)得到B. 其图像可以由y=sinx的图像所有点的横坐标缩短为原来的12(纵坐标不变)，再向左平移π6个单位长度得到C. ∃x0∈R且x0≠0，使得f(x0)=f(−x0)D. ∀x∈R，都有f(5π6−x)=−f(x)12. 已知函数f(x)=e|x+6|sinax，若存在实数t，使得f(x+t)是奇函数，则cos2a的值可能为( )A. 12B. −12C. √32D. −√3213. 如图所示的时钟显示的时刻为2：00，此时时针与分针的夹角为α(0<α<π).若一个半径为2cm的扇形的圆心角为α，则该扇形的面积为______cm2.14. tan12∘+tan18∘+tan150∘tan12∘tan18∘=______.15. 写出定义域为R 且同时满足下列三个条件的函数f(x)的表达式：f(x)=______.(1)f(x)=f(−x)；(2)f(x)在(−∞,0]上单调递增；(3)f(x)的值域为(0,1].16. 已知函数f(x)={2x 2+4x +1,x ≤0|log 4x|,x >0，记g(x)=f 2(x)−(2a +2)f(x)+a 2+2a ，若g(x)有6个零点，则实数a 的取值范围是______.17. 已知集合A ={y|y =2x ,x ≤2}，B ={x|2a ≤x ≤a +2}.(1)求∁R A ；(2)若A ∪B =A ，求实数a 的取值范围．18. 已知cos(α+β)=−√55,tan(π+α)=3，其中α，β为锐角．(1)求sinα的值； (2)求β的值．19. 某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量(单位：mg/L)与时间(单位：ℎ)间的关系为：P =P 0e −kt ，其中P 0，k 是正的常数．若在前5h 消除了20%的污染物，则：(1)10ℎ后还剩百分之几的污染物？(2)污染物减少50%需要花多少时间？(精确到1h ，参考数据：lg2≈0.3)20. 已知二次函数f(x)满足：关于x 的不等式f(x)+x +3<0的解集为(1,2)且f(0)=−1.(1)求f(x)的表达式；(2)若f(a x )(a >0且a ≠1)在区间[−1,2]上的最小值为−5，求a 的取值范围．21. 已知函数f(x)=cos(ωx −π6)sin(ωx −π3)+√3sinωxcosωx +14.(1)若ω=1，求f(x)在(π2,π]上的值域；(2)若在(0,π2)内恰有两个t 的值，使得函数f(x)关于点(t,0)对称，求ω的取值范围．22. 已知函数f(x)=log a (√4x 2+1−bx)在R 上为奇函数，a >1，b >0.(1)求实数b 的值；(2)指出函数f(x)的单调性(说明理由，不需要证明)；(3)若对任意x >0,θ∈(0,π2)，不等式f(−4x(t 2+2)sin2θ)+f(3t(x 2+2)(sinθ+cosθ))≤0都成立，求正数t 的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】解：“∃x ∈R ，e x <2”的否定是∀x ∈R ，e x ≥2. 故选：C.任意改存在，将结论取反，即可求解． 本题主要考查特称命题的否定，属于基础题．2.【答案】A【解析】解：∵角α的终边与单位圆的交点为P(−23,√53)， ∴cosα=−23，则cos(3π−α)=−cosα=23. 故选：A.由已知可得cosα的值，再由诱导公式求解．本题考查三角函数的化简求值，考查任意角的三角函数的定义及诱导公式的应用，是基础题．3.【答案】B【解析】解：∵正实数a ，b 满足(a +1)(2b +1)=4，∴a +2b +1=a +1+2b +1−1≥2√(a +1)(2b +1)−1=3，当且仅当{(a +1)(2b +1)=4a +1=2b +1，即{a =1b =12时，等号成立， 故a +2b +1的最小值为3. 故选：B.根据已知条件，结合基本不等式的公式，即可求解． 本题主要考查基本不等式的公式，属于基础题．4.【答案】D【解析】解：解不等式x 2−2x −3<0可得：−1<x <3， 则集合M =(−1,3)，令1−log 2(4−x)≥0，则不等式化为0<4−x ≤2，解得2≤x <4，所以集合N =[2,4), 则M ∪N =(−1,4)， 故选：D.利用一元二次不等式以及对数不等式的解法，根式的性质求出集合M ，N ，再利用并集的定义即可求解．本题考查了并集的应用，涉及到不等式的求解，属于基础题．5.【答案】C【解析】解：因为函数y=x−12在定义域(0,+∞)上为单调递减函数，又a−12<b−12，所以a>b>0，则lga>lgb成立，所以充分性成立，当lga>lgb时，a>b>0，则a−12<b−12，所以必要性成立，故“a−12<b−12”是“lga>lgb”的充要条件，故选：C.分别根据幂函数与对数函数的单调性以及充分，必要条件的定义判断即可求解．本题考查了充分，必要条件的定义的应用，属于基础题．6.【答案】B【解析】解：由题图可知T2=13−(−16)=12，所以T=1=2πω，故ω=2π，又函数过点(13,0)，可得：13×2π+φ=2kπ+π2，故φ=2kπ−π6，k∈Z，故取φ=−π6，∴y=cos(2πx−π6)，令2kπ≤2πx−π6≤2kπ+π，故k+112≤x≤k+712，k∈Z.函数的单调递减区间为：[k+112,k+712]，k∈Z.故选：B.直接利用三角函数关系式的确定，余弦型函数的性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的确定，余弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．7.【答案】B【解析】解：由f(−x)+f(x)=0可得f(−x)=−f(x)，即f(x)为奇函数，所以g(x)=xf(x)为偶函数，因为∀x1，x2∈(0,4],当x1<x2时，总有x1f(x1)>x2f(x2)，即g(x1)>g(x2)，所以g(x)在(0,4]上单调递减，根据偶函数的对称性可知，g(x)在[−4,0)上单调递增，由(2m+1)f(2m+1)≤(m−4)f(m−4)可得g(2m+1)≤g(m−4)，所以{−4≤2m+1≤4−4≤m−4≤4|2m+1|≥|m−4|，解得1≤m≤32.故选：B.由已知不等式考虑构造函数g(x)=xf(x)，然后判g(x)的单调性及奇偶性，结合单调性及奇偶性即可求解不等式．本题主要考查了函数的单调性及奇偶性在求解不等式中的应用，属于中档题．8.【答案】D【解析】解：由角度制与弧度制的互换知，40∘=29πrad，如图，在单位圆中作∠AOB=29π，，∵sin∠AOB=|AB|，∠AOB=AD⏜，又∵|AB|<AD⏜，∴sin∠AOB<∠AOB，即sin40∘<29π，故12=sin30∘<sin40∘<29π<34，即12<a<34，又∵b=2−32<12，∵83=512，54=625，∴83<54，即3<4log85，即log85>34，即c >34， 故b <a <c ， 故选：D.由角度制与弧度制的互换知40∘=29πrad ，再结合三角函数的定义知sin40∘<29π，从而可得12=sin30∘<sin40∘<29π<34，再判断b ，c 的大小即可．本题考查了三角函数，指数运算及对数运算的应用，属于中档题．9.【答案】BC【解析】解：函数y =x 的定义域为R ，A ：函数y =√x 2=|x|与已知函数的解析式不同，不是同一函数，故A 错误，B ：y =√x 33=x ，定义域为R ，与已知函数是同一函数，故B 正确，C ：因为e x >0恒成立，所以函数y =x ，且定义域为R ，故是同一函数，故C 正确，D ：y =e lnx =x ，且x >0，与已知函数的定义域不同，故不是同一函数，故D 错误， 故选：BC.利用根式的性质以及对数的性质对各个选项化简，然后根据判断函数是同一函数的标准即可判断求解．本题考查了判断函数是同一函数的标准的应用，属于基础题．10.【答案】BCD【解析】解：∵x ，y 是正数，且x +y =2，∴x(x +2y)=(2−y)(2−y +2y)=4−y 2<4，故A 错误， log 2x +log 2y =log 2xy ≤log 2(x+y)24=0，当且仅当{x =yx +y =2，即x =y =1时，等号成立，故log 2x +log 2y 的最大值为0，故B 正确， 2x+2y≥2√2x ⋅2y =2√2x+y=4，当且仅当{2x =2yx =y，即x =y =1时，等号成立，故2x +2y 的最小值为4，故C 正确， x ，y 是正数，且x +y =2，则1x +2y=12(1x +2y)(x +y)=12(3+y x +2x y)≥12(3+2√y x ⋅2xy)=32+√2，当且仅当{x +y =2y x=2x y，即{x =2√2−2y =4−2√2时，等号成立，故1x +2y 的最小值为32+√2，故D 正确． 故选：BCD.根据已知条件，结合基本不等式的公式，以及对数、指数的运算性质，即可求解． 本题主要考查基本不等式的公式，以及对数、指数的运算性质，属于基础题．11.【答案】ACD【解析】解：选项A ，y =sinx 的图像先向左平移π6个单位长度，得到y =sin(x +π6)，再将所有点的横坐标缩短为原来的12(纵坐标不变)得到y =sin(2x +π6)=f(x)，即A 正确；选项B ，y =sinx 的图像所有点的横坐标缩短为原来的12(纵坐标不变)，得到y =sin2x ，再向左平移π6个单位长度得到y =sin2(x +π6)=sin(2x +π3)≠f(x)，即B 错误；选项C ，取x 0=π2，则f(π2)=sin(π+π6)=−sin π6=−12，f(−π2)=sin(−π+π6)=−sin π6=−12， 所以f(π2)=f(−π2)，即C 正确；选项D ，f(5π6−x)=sin[2(5π6−x)+π6]=sin(11π6−2x)=sin(2π−π6−2x)=−sin(2x +π6)=−f(x)，即D 正确． 故选：ACD.根据函数图像的变换法则，可判断选项A 和B ；取x 0=π2，计算f(π2)和f(−π2)的值，可判断选项C ；结合诱导公式化简f(5π6−x)，即可得解．本题考查三角函数的图像与性质，熟练掌握函数图像的变换法则，正弦函数的奇偶性，诱导公式等是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．12.【答案】AB【解析】解：令g(x)=f(x +t)=e |x+t+6|sin[a(x +t)]，要使g(x)为奇函数， 则g(−x)+g(x)=e |−x+t+6|sin(−ax +at)+e |x+t+6|sin(ax +at)=0恒成立， 只需{t +6=0at =kπ,k ∈Z ，解得a =−kπ6，k ∈Z ，cos2a =cos(−kπ3)，k ∈Z ，k =0时，cos2a =cos0=1， k =1时，cos2a =cos(−π3)=12， k =2时，cos2a =cos(−2π3)=−12， k =3时，cos2a =cos(−π)=−1， k =4时，cos2a =cos(−4π3)=−12，k =5时，cos2a =cos(−5π3)=12， k =6时，cos2a =cos(−2π)=1.综上可知，cos2a 的所有可能取值为：±1,±12. 故选：AB.首先f(x +t)的定义域为R ，若为奇函数，必有f(0)=0，据此求出a 的值，再加以验证即可． 本题考查三角函数的性质和奇函数的定义，属于中档题．13.【答案】2π3【解析】解：根据题意知α=π3，∴S =12αr 2=12×π3×4=2π3. 故答案为：2π3.根据条件可得出α=π3，然后根据扇形的面积公式即可求出该扇形的面积． 本题考查了扇形的面积公式，考查了计算能力，属于容易题．14.【答案】−√33【解析】解：原式=tan(12∘+18∘)(1−tan12∘tan18∘)−tan30∘tan12∘tan18∘=tan30∘−tan30∘tan12∘tan18∘−tan30∘tan12∘tan18∘=−tan30∘=−√33，故答案为：−√33.利用诱导公式以及正切的和角公式化简即可求解．本题考查了两角和与差的三角函数公式的应用，属于基础题．15.【答案】2−|x|(答案不唯一)【解析】解：根据题意，函数f(x)满足f(x)=f(−x)，则f(x)为偶函数， 又由f(x)的值域为(0,1]且在(−∞,0]上单调递增，则f(0)=1， 结合指数函数的性质，可知f(x)可以为f(x)=2−|x|. 故答案为：2−|x|(答案不唯一).根据题意，可得函数f(x)的奇偶性，结合指数函数的性质即可得出结果． 本题考查函数的奇偶性和单调性，属于基础题．16.【答案】{a|a >1或a =0}【解析】解：先作出f(x)={2x 2+4x +1,x ≤0|log 4x|,x >0的大致图象，如图所示，由g(x)=f 2(x)−(2a +2)f(x)+a 2+2a =0可得f(x)=a 或f(x)=a +2， 若g(x)有6个零点，则{−1<a <00<a +2<1或{a =0a +2>1或a >1，解得a >1或a =0， 故答案为：{a|a >1或a =0}.先作出f(x)的大致图象，由g(x)=0可得f(x)=a 或f(x)=a +2，结合函数图象可求． 本题主要考查了由函数的零点求解参数范围，体现了数形结合思想的应用，属于中档题．17.【答案】解：(1)当x ≤2时，0<2x ≤4，所以集合A =(0,4],所以∁R A =(−∞,0]∪(4,+∞)； (2)若A ∪B =A ，则B ⊆A ，当B =⌀时，2a >a +2，解得a >2，此时满足题意； 当B ≠⌀时，要满足题意，只需{2a ≤a +22a >0a +2≤4，解得0<a ≤2，综上，实数a 的范围为(0,+∞).【解析】(1)利用指数的性质求出集合A ，再根据补集的定义即可求解；(2)由题意，可得B ⊆A ，然后分B 为空集和B 不是空集两种情况讨论，根据子集的性质建立不等式，求出a 的取值范围．本题考查了集合的运算和集合间的关系，考查了分类讨论思想和转化思想，属于基础题．18.【答案】解：(1)由已知tan(π+α)=3，则tanα=3，所以sinα=3cosα，且sin 2α+cos 2α=1(sinα>0,cosα>0)， 解得sinα=3√1010，cosα=√1010， 所以sinα的值为3√1010；(2)因为cos(α+β)=−√55，其中α，β为锐角， 则sin(α+β)=√1−cos 2(α+β)=2√55， 所以cosβ=cos[(α+β)−α]=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα=−√55×√1010+2√55×3√1010=√22，又β为锐角， 则β=π4.【解析】(1)利用诱导公式求出tanα的值，再利用正余弦的平方关系建立方程即可求出sinα，cosα的值；(2)利用已知求出sin(α+β)的值，然后利用cosβ=cos[(α+β)−α]以及余弦的差角公式展开即可求解．本题考查了两角和与差的三角函数的公式的应用，涉及到正余弦平方关系以及配凑法的应用，属于基础题．19.【答案】解：(1)当t =0时，P =P 0e −k⋅0=P 0，当t =5时，P 0⋅e −5k P 0=80%，∴e −5k =0.8，∴k =−15ln0.8， 当t =10时，P 0⋅e −10kP 0=e −10k =(e −5k )2=0.82=0.64，∴10ℎ后还剩64%的污染物．(2)设污染物减少50%需要花th 的时间， 则e −kt =0.5，两边同时取以e 为底的对数，得−kt =ln0.5，∴t =−ln0.5k =−ln0.5−15ln0.8=5⋅ln0.5ln0.8=5log 0.80.5=5⋅lg0.5lg0.8=5⋅lg1−lg2lg4−lg5=5⋅−1g23lg2−1≈5⋅.−0.33×0.3−1=15.∴污染物减少50%需要花15ℎ.【解析】(1)根据条件计算e −5k ，从而可得e −10k 的值，由此能求出10h 后还剩百分之几的污染物； (2)令e −kt =0.5，利用指数运算法则能求出污染物减少50%需要花多少时间．本题考查对数函数的性质、运算法则、换底公式在生产生活中的实际运用，考查运算求解能力，是中档题．20.【答案】解：(1)设二次函数f(x)=a′x 2+bx +c ，(a′≠0)，则f(x)+x +3<0转化为a′x 2+(b +1)x +c +3<0，(a′≠0)， ∵关于x 的不等式f(x)+x +3<0的解集为(1,2)且f(0)=−1. ∴1，2是a′x 2+(b +1)x +c +3=0的两个根，且a′>0，c =−1， ∴1+2=−b+1a′，1×2=c+3a′， 解得a′=1，b =−4，∴f(x)=x 2−4x −1.(2)f(x)=x 2−4x −1=(x −2)2−5，∵f(a x )(a >0且a ≠1)在区间[−1,2]上的最小值为−5，由已知得：2∈{t|t =a x ,x ∈[−1,2]}，当a >1时，2∈{t|1a ≤t ≤a 2}，∴1a ≤2≤a 2，解得a ≥√2， 当0<a <1时，2∈{t|a 2≤t ≤1a}，∴a 2≤2≤1a，∴0<a ≤12， 综上，a 的取值范围是(0,12]∪[√2,+∞).【解析】(1)设二次函数f(x)=a′x 2+bx +c ，(a′≠0)，则f(x)+x +3<0转化为a′x 2+(b +1)x +c +3<0，(a′≠0)，从而1，2是a′x 2+(b +1)x +c +3=0的两个根，且a′>0，c =−1，利用韦达定理能求出f(x).(2)f(x)=(x −2)2−5，由已知得：2∈{t|t =a x ,x ∈[−1,2]}，当a >1时，2∈{t|1a ≤t ≤a 2}，当0<a <1时，2∈{t|a 2≤t ≤1a }，由此能求出a 的取值范围．本题考查二次函数的性质、一元二次不等式的性质、解法、韦达定理等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．21.【答案】解：(1)当ω=1时，f(x)=cos(x −π6)sin(x −π3)+√3sinxcosx +14=(√32cosx +12sinx)(12sinx −√32cosx)+√32sin2x +14=sin(2x −π6)，∵x ∈(π2,π],∴(2x −π6)∈(5π6,11π6], ∴f(x)∈[−1,12),即f(x)在(π2,π]上的值域[−1,12)； (2)由题意化简得f(x)=sin(2ωx −π6)， ∵t ∈(0,π2)，∴−π6<2ωt −π6<ωπ−π6， ∴π<ωπ−π6≤2π，解得76<ω≤136， 故实数ω的取值范围为(76,136]. 【解析】(1)由题意化简得f(x)=sin(2x −π6)，利用正弦型函数的性质，即可得出答案； (2)由(1)得f(x)=sin(2x −π6)，∵t ∈(0,π2)，∴−π6<2ωt −π6<ωπ−π6，求解即可得出答案． 本题考查三角函数的恒等变换和两角和差的三角函数，考查转化思想和整体思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．22.【答案】解：(1)∵函数f(x)=log a (√4x 2+1−bx)在R 上为奇函数，∴f(x)+f(−x)=log a (√4x 2+1−bx)+log a (√4x 2+1+bx)=log a (4x 2+1−b 2x 2)=0， ∴4x 2+1−b 2x 2=1恒成立，又b >0，可得b =2； (2)当b =2时，f(x)=log a (√4x 2+1−2x)=log a √4x 2+1+2x，∵a >1，∴函数f(x)为减函数；(3)不等式f(−4x(t 2+2)sin2θ)+f(3t(x 2+2)(sinθ+cosθ))≤0，即f(−4x(t 2+2)sin2θ)≤−f(3t(x 2+2)(sinθ+cosθ))=f(−3t(x 2+2)(sinθ+cosθ))， 可得−4x(t 2+2)sin2θ≥−3t(x 2+2)(sinθ+cosθ)， ∵x >0,θ∈(0,π2)，即4xx 2+2⋅t 2+23t ≤sinθ+cosθsin2θ， 也就是sinθ+cosθsin2θ≥t 2+23tx 2+24x， ∵t 2+23t x 4+12x≤t 2+23t 2√x 4⋅12x=√2(t 2+2)3t，当且仅当x 4=12x ，即x =√2时等号成立，∴sinθ+cosθsin2θ≥√2(t 2+2)3t， 由θ∈(0,π2)，令λ=sinθ+cosθ=√2sin(θ+π4)∈(1,√2],则sin2θ=λ2−1，∴sinθ+cosθsin2θ=λλ2−1=1λ−1λ∈(√2,+∞)，∴√2≥√2(t 2+2)3t，即t 2+23t≤1，又t >0，解得1<t <2.∴正数t 的取值范围是(1,2).【解析】(1)利用函数奇偶性的定义列式求解b 值；(2)由函数解析式结合复合函数的单调性可得函数f(x)的单调性；(3)由题设及f(x)单调性、奇偶性可得−4x(t 2+2)sin2θ≥−3t(x 2+2)(sinθ+cosθ)，再由函数的性质转化为关于t 的不等式求解．本题主要考查函数的奇偶性，函数的单调性，不等式恒成立的处理方法等知识，属于中等题．。
重庆市重点高一上学期期末数学试题(解析版)
一、单选题 1．（ ） 315︒=A ．B ．C ．D ．11π613π67π45π4【答案】C【分析】利用公式可求角的弧度数 315︒【详解】角对应的弧度数为 315︒3157ππ1804=故选：C2．命题“，”的否定是（ ） 0x ∀>21x ≥A ．，B ．，00x ∃>021x≥00x ∃>021x<C ．， D ．，0x ∀<21x ≥00x ∃<021x<【答案】B【分析】根据给定条件利用含有一个量词的命题的否定方法写出结论作答. 【详解】全称量词命题，其否定是存在量词命题， 所以命题“，”的否定是“，”0x ∀>21x ≥00x ∃>021x <故选：B3．已知集合，，则（ ） {|124}x A x =<<1|11B x x ⎧⎫=>⎨⎬-⎩⎭A B =ðA ． B ．C ．D ．[)1,3(0,1]()1,2()3,3-【答案】B【分析】化简集合，然后用补集的定义即可求解 ,A B 【详解】由解得， 124x <<02x <<由可得，即，解得 111x >-1120111x x x x x ---=>---()()210x x -->12x <<故，， {|02}A x x =<<{}|12B x x =<<所以 A B =ð{|01}x x <≤故选：B4．方程的解所在的区间是（ ） ln 50x x +-=A ． B ． C ． D ． ()01，()12，()34，()23，【答案】C【分析】构造函数，利用零点存在性定理可解.【详解】记，函数在定义域上单调递增， ()ln 5f x x x =+-因为，(3)ln 3350f =+-<(4)2ln 2450f =+->所以函数在区间内有零点，即方程的解在区间内.()f x 3,4（）ln 50x x +-=3,4（）故选：C5．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ）()22,12,1x x ax x f x x ⎧+≥=⎨<⎩R a A ． B ．C ．D ．(],1-∞[]1,41,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭][(),14,∞∞-⋃+【答案】C【分析】由题可得，解之即得.1122a a -≤⎧⎨+≥⎩【详解】∵在上单调递增，()()2222,1,12,12,1x x x ax x x a a x f x x x ⎧⎧+≥+-≥⎪==⎨⎨<<⎪⎩⎩R ∴，解得，1122a a -≤⎧⎨+≥⎩12a ≥故实数的取值范围是a 1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭故选：C6．已知，，，则（ ） 0.32=a 0.43b =0.2log 0.3c =A ． B ． a b c >>b c a >>C ． D ．c b a >>b a c >>【答案】D【分析】比较大小，可先与常见的常数进行比较，然后根据函数的单调性进行比较大小 0,1【详解】0.20.2log 0.3log 0.21c =<=0.321a => 0.431b =>则有：,a c b c >>0.30.30.4233a =<<故有： b a c >>故选：D7．已知（ ）sin 3πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭sin 26πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭A ．B ．C ．D ．1313-79±23【答案】A【分析】由题意可得，，由二倍角公式结合诱导公式代入化简即可求解. 22632πππαα⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭【详解】2sin 2sin 2cos 212sin 63233πππππαααα⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦. 211121233=-⨯=-⨯=故选：A.8．已知函数是定义在R 上的偶函数，若对于任意不等实数，，，不等式()f x 1x [)20,x ∈+∞恒成立，则不等式的解集为（ ）()()()()12120x x f x f x --<()()21f x f x >-A ．B ．1133x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭113x x x ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或C ．D ．113x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭1133x x x ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或【答案】C【分析】由条件对于任意不等实数，，不等式恒成立可得1x [)20,x ∈+∞()()()()12120x x f x f x --<函数在上为减函数，利用函数性质化简不等式求其解. ()f x [)0,+∞【详解】∵ 函数是定义在R 上的偶函数， ()f x ∴ ，()()(||)f x f x f x =-=∴ 不等式可化为()()21f x f x >-(|2|)(|1|)f x f x >-∵ 对于任意不等实数，，不等式恒成立， 1x [)20,x ∈+∞()()()()12120x x f x f x --<∴ 函数在上为减函数，又， ()f x [)0,+∞(|2|)(|1|)f x f x >-∴ ，|2||1|x x <-∴ ，113x -<<∴不等式的解集为()()21f x f x >-113x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭故选：C.二、多选题9．已知某扇形的周长为，面积为，则该扇形圆心角的弧度数可能是（ ）5cm 23cm 2A ．B ．C ．D ．433432【答案】AC【分析】设出扇形的半径和弧长，先利用扇形面积公式和周长求出半径和弧长，再利用弧长公式进行求解.【详解】设扇形的半径为，所对弧长为， r l 则有，解得或 251322r l lr +=⎧⎪⎨=⎪⎩322r l ⎧=⎪⎨⎪=⎩13r l =⎧⎨=⎩故或， 43l r α==3故选：AC10．下列各组函数中，两个函数是同一函数的有（ ）A ．与B ．与 ()f x x =()g x =()1f x x =+()211x g x x -=-C ．与 D ．与()xf x x =1,0()1,0x g x x >⎧=⎨-<⎩()1f t t =-()1g x x =-【答案】CD【分析】根据函数相等的两要素：定义域和对应关系相同，进行判断.【详解】对于A ，，所以对应关系不相同，不是同一函数，A 错误；()g x x ==对于B ，定义域为，定义域为，定义域不相同，不是同一函()1f x x =+R ()211x g x x -=-{}|1x x ≠数，B 错误；对于C,当时，当时， 0x >()1xf x x ==0x <()1x f x x-==-所以，是同一函数，C 正确； ()1,01,0x xf x x x >⎧==⎨-<⎩对于D ，定义域都为，对应关系相同，是同一函数，D 正确， R 故选:CD.11．函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，对于函数()πsin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭23π24()g x ，下列说法正确的是（ ）()g xA ．是的一个周期B ．的图象关于直线对称 3π()g x ()g x 7π24x =-C ．在区间上单调递减D ．的图象关于点对称()g x ππ44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，()g x π,024⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】ABD【分析】首先得到函数，计算函数的最小正周期，即可判断A ；再采用代入的()πsin 212g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭方法，根据三角函数的性质，判断BCD. 【详解】函数的图象向左平移个单位长度后得到函数()f x 23π24， ()23πππsin 2sin 224612g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦A.函数的最小正周期是，所以是的一个周期，故A 正确； 2ππ2=3π()g x B.当时，，的图象关于直线对称， 7π24x =-7πππ224122⎛⎫⨯-+=- ⎪⎝⎭()g x 7π24x =-故B 正确；C. 当，，当时，函数单调递增，当ππ44x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，π5π7π2,121212x ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦π5ππ2,12122x ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦时，函数单调递减，故C 错误；ππ7π2,12212x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦D. ，所以函数的图象关于点对称，故D 正πsin 2sin 00π12π2424g ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⨯+== ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎣⎦-⎭-()g x π,024⎛⎫- ⎪⎝⎭确. 故选：ABD12．已知函数，则下列结论正确的是（ ）e 1()e 1x x f x -=+A ．函数的定义域为 B ．函数的值域为 ()f x R ()f x ()11-，C ．函数是奇函数 D ．函数在上为减函数()f x ()f x R 【答案】ABC【分析】根据指数函数的性质，结合偶函数定义、单调性的性质逐一判断即可. 【详解】A ：因为，所以，所以函数的定义域为，故A 正确； e 0x >e 10x +>()f x R B ：，由 e 1()1e 12e 1x x xf x -==-++1e 0e 1101e 1x xx >⇒+>⇒<<+，2220111e 1e 1x x ⇒-<-<⇒-<-<++所以函数的值域为，故B 正确；()f x (1,1)-C ：因为， 11e 11e e ()()1e 1e 11exxx x xx f x f x ------====-+++所以函数是奇函数，所以C 正确；()f x D ：因为函数是增函数，因为，e 1x y =+e 11x y =+>所以函数是减函数， 2e 1x y =+所以函数是增函数，2e 1x y =-+故是增函数，故D 不正确， 2()1e 1xf x =-+故选：ABC.三、填空题 13．__________． ln 24elog 2+=【答案】52【分析】利用对数运算性质即可求解 【详解】ln 24215elog 22log 222+=+=故答案为：5214．已知幂函数为偶函数，则该函数的增区间为_______．()()2155m f x m m x +=-+【答案】[)0,∞+【分析】根据幂函数的定义，结合偶函数的定义求出，然后利用幂函数的性质进行求解m 【详解】因为是幂函数，()21()55m f x m m x +=-+所以或，25511m m m -+=⇒=4m =当时，，因为，所以函数是奇函数，不符合题意， 4m =5()f x x =5(())f x x f x -=--=5()f x x =当时，，因为，所以函数是偶函数，符合题意， 1m =2()f x x =2()()f x x f x -==2()f x x =故该函数的增区间为 [)0,∞+故答案为：[)0,∞+15．某班有40名同学参加数学、物理、化学课外研究小组，每名同学至多参加两个小组．已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为，，，同时参加数学和化学小组的有人，同时参2615136加物理和化学小组的有人，则同时参加数学和物理小组的人数为 _______． 4【答案】4【分析】设参加数学、物理、化学小组的同学组成的集合分别为，、，根据容斥原理可求出A B C 结果.【详解】设参加数学、物理、化学小组的同学组成的集合分别为，、，同时参加数学和物理A B C 小组的人数为，因为每名同学至多参加两个小组，所以同时参加三个小组的同学的人数为，如x 0图所示：由图可知：，解得， 206341140x x x -+++++-=4x =所以同时参加数学和化学小组有人. 4故答案为：416．已知都是正实数，满足，记，设，则,x y 1221x y +=+{},max ,,a a b a b b a b ≥⎧=⎨<⎩{}max 2,2M x xy =M的最小值为_____________. 【答案】2【分析】将用表示，写出分段函数的表达式，利用函数的单调性求最小值即可求解. y x 【详解】由，因为， 222(1)x xy x y -=-,0x y >由可得，因为，所以，1221x y +=+121=-y x 0y >12x >所以当，即时，， 01y <≤1x ≥22x xy >当，即时，， 1y >112x <<22x xy <所以，因为， {}2,1max 2,212,12x x M x xy xy x ≥⎧⎪==⎨<<⎪⎩121=-y x 所以，2,121,1212x x M x x x ≥⎧⎪=⎨<<⎪-⎩当时，， 1x ≥22M x =≥当时，单调递减， 112x <<221111212121x x M x x x -+===+---所以， 1111221211M x =+>+=-⨯-所以的最小值为2， M 故答案为:2.四、解答题17．已知集合，，.{}212270A x x x =-+≤{}27B x x =<<{}211C x m x m =-<<+(1)求；,A B A B (2)若，求m 的取值范围. B C C = 【答案】(1) [)(]3,7,2,9A B A B ⋂=⋃=(2) 3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【分析】先求出集合A ，由交集和并集的定义即可得出答案； （2）由可得，讨论和，求解即可.B C C = C B ⊆C =∅C ≠∅【详解】（1），{}212270A x x x =-+≤}{=39x x ≤≤{}27B x x =<<所以. [)(]3,7,2,9A B A B ⋂=⋃=（2）因为，所以， B C C = C B ⊆若，则，解得：，C =∅211m m -≥+2m ≥若，则，解得：， C ≠∅221132122198m m m m m m m <⎧-<+⎧⎪⎪⎪-≥⇒≥⎨⎨⎪⎪+≤⎩≤⎪⎩322m ≤<所以m 的取值范围为：.3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭18．在平面直角坐标系中，已知角的顶点为原点，始边为轴的非负半轴，终边经过点.αx (4,3)P -(1)求的值；sin(3)2sin 22cos(2)ππααπα⎛⎫+++ ⎪⎝⎭-(2)求旳值.2cos2cos sin2ααα+【答案】(1) 118(2) 78-【分析】（1）由三角函数定义求出，用诱导公式化简求值式后代入可得； cos ,sin αα(2)根据正、余弦的二倍角公式进行化简,代入角的三角函数值即可. α【详解】（1）由三角函数定义可得:，5r ==所以，. 3sin 5y r α==4cos 5x r α==-.38sin(3)2sin sin 2cos 1125542cos(2)2cos 825ππααααπαα⎛⎫+++--⎪-+⎝⎭===-⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭（2）. 22222421cos 22cos 175cos sin 2cos 2sin cos 84342555ααααααα⎛⎫⨯-- ⎪-⎝⎭===-++⎛⎫⎛⎫-+⨯⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭19．已知定义在上的函数.R 1()22xxf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭(1)判断函数的奇偶性；()y f x =(2)若不等式对任意恒成立，求实数m 的取值范围． 2()(1)0f x mx f x ++->x ∈R 【答案】(1)奇函数； (2) {}13m m -<<【分析】（1）利用奇偶函数的定义即可判断； （2）利用函数的单调性和奇偶性列不等式即可【详解】（1）因为， ()11()2222xxxx x f f x --⎛⎫⎛⎫-=- ⎪⎪⎝=-⎭=-⎭⎝所以函数是定义在上的奇函数；()y f x =R （2）中，函数单调递减，单调递增，故在上单调1()22x xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭2x y =1()22xx f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭R 递增，故原不等式化为，2()(1)(1)f x mx f x f x +>--=-∴即恒成立， 21x mx x +>-2(1)10x m x +-+>∴，解得， 2(1)40m ∆=--<13m -<<所以实数m 的取值范围 {}13m m -<<20．已知函数．2()cos 2cos f x x x x =+(1)求函数的对称轴；()f x (2)当时，求函数的值域．π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()f x 【答案】(1) ππ(Z);62k x k =+∈(2) []0,3【分析】（1）利用倍角公式和辅助角公式把函数解析式化简为，用整体代入π()2sin 216f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭法求函数的对称轴； ()f x （2）根据的范围，确定的范围，进而利用正弦函数的性质求得函数的值域. x π26x +【详解】（1） ，2π()cos 2cos 2cos 212sin 216f x x x x x x x ⎛⎫=+=++=++ ⎪⎝⎭由 ，得函数的图像的对称轴方程ππ2π(Z)62x k k +=+∈()f x ππ(Z);62k x k =+∈（2）时，有，得，π02x ≤≤ππ7π2666x ≤+≤1πsin 2126x ⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭∴，得，π12sin 226x ⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭π02sin 2136x ⎛⎫≤++≤ ⎪⎝⎭所以当时，函数的值域为.π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()f x []0,321．某手机生产商计划在2023年利用新技术生产某款新手机，通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本20万元，每生产（千）部手机，需另投入成本万元，且x ()R x ，由市场调研知，每部手机售价0.05万元，且全年内生产的手机当年210025()90051600,25x x x R x x x x ⎧+<<⎪=⎨+-≥⎪⎩，能全部销售完.(1)求出2023年的利润（万元）关于年产量（千）部的函数关系式；（利润销售额成()W x x =-本）(2)2023年产量为多少时，该生产商所获利润最大?最大利润是多少?【答案】(1) ()24020,025900600,25x x x W x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨--+≥⎪⎩(2)当(千)部时，最大利润是520万元.30x =【分析】(1)利润销售额另投入成本-固定成本，分段计算整理即可；=-(2)分别计算分段函数的最值，比较得出函数最值.【详解】（1）当，，025x <<()220.05100010204020W x x x x x x =⨯---=-+-当，， 25x ≥()9009000.0510005160020580W x x x x x x=⨯--+-=--+故， ()24020,025900600,25x x x W x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨--+≥⎪⎩（2）当，对称轴，，025x <<20x =()22020402020380W =-+⨯-=当，， 25x ≥()900580580520380W x x x =--+≤-=>当且仅当，即时取等； 900x x=30x =综上当(千)部时，最大利润是520万元.30x =22．设函数.()2f x x a x =--+(1)当时，求函数的值域；2a =()f x (2)记函数，若方程有三个不同的实数根，，()()()22g x x f x x a x =+++-()0a >()2g x =1x 2x ，且，求正数的取值范围；3x 123x x x <<a (3)在的条件下，若恒成立，求实数m 的取值范围．()22310x x mx ->【答案】(1)；[]4,4-(2)；13a <<(3).2m ≥-【分析】（1）代入，分、、三种情况，去掉绝对值，得到函数解析式，2a =<2x -22x -≤<2x ≥求出各段的值域，即可得出结果；（2）求出.观察可知分为和两种情况，首先解出的解析()2g x x x a a x =-+-02a <≤2a >()g x 式，然后得出函数图象，根据图象得出函数的单调性，以及关于的不等式，求解不等式即可；a（3）由（2）分为和两种讨论.因为始终是方程的两根，所以12a <≤23a <<12,x x 222x a -+=，则原不等式可转化为，即恒成立，只需求出的范围即可.结合图120x x +=()230x x m +>3m x >-3x 象，分类讨论，即可得到实数m 的取值范围．【详解】（1）当时，.2a =()22f x x x =--+当时，；<2x -()224f x x x =-++=当时，，则；22x -≤<()()222f x x x x =--+=-()44f x -≤<当时，.2x ≥()()224f x x x =--+=-所以，，即函数的值域.()44f x -≤≤()f x []4,4-（2）.()()()222g x x f x x a x x x a a x =+++-=-+-①当时：02a <≤当时，；x a <()()()222g x x a x a x x a =-+-=-+当时，；2a x ≤≤()()()2222g x x x a a x x ax a =-+-=-+当时，.2x >()()()222g x x x a a x x a =-+-=-所以.()2222,22,22,2x a x a g x x ax a a x x a x ⎧-+<⎪=-+≤≤⎨⎪->⎩作图如图1则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.()g x (),0∞-()0,a (),a +∞所以应有，即，解得， ()()022g g a ⎧>⎪⎨<⎪⎩22222a a a >⎧⎨-+<⎩1a >又，所以；02a <≤12a <≤②当时：2a >当时，；2x <()()()222g x x a x a x x a =-+-=-+当时，；2x a ≤≤()()()2222g x x a x a x x ax a =-+-=-+-当时，.x a >()()()222g x x x a a x x a =-+-=-所以.()2222,222,22,x a x g x x ax a x a x a x a ⎧-+<⎪=-+-≤≤⎨⎪->⎩作图如图2则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.()g x (),0∞-()0,2()2,+∞所以应有，即，解得， ()()0222g g ⎧>⎪⎨<⎪⎩22442242a a a a >⎧⎨-+-=-<⎩13a <<又，所以.2a >23a <<综上所述，正数的取值范围是.a 13a <<（3）由（2）可知，①当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增. 12a <≤()g x (),0∞-()0,a (),a +∞因为，所以为方程的两根，则，，，是()2422g a =-<12,x x 222x a -+=120x x +=10x <20x >3x 方程的正根，则222x a -=3x =则由可转化为恒成立，即恒成立，2310x x mx ->()230x x m +>0m >m>因为，所以，则，则，所以； 12a <≤4226a <+≤2<≤2≤-2m ≥-②当时，同理可得为方程的两根，则，，， 23a <<12,x x 222x a -+=120x x +=10x <20x >在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.()g x (),0∞-()0,2()2,+∞， ()()22211g a a a a =-=--（ⅰ）当时，是方程的较小根，()2g a ≥1a ≤3x 2222x ax a -++=在上单调递3x a =()11a =-1=a ∈减，则，. (31x ⎤∈⎦)31,2x ⎡-∈-⎣则由可转化为，即恒成立，即恒成立，所以； 2310x x mx ->()230x x m +>30x m +>3m x >-2m ≥-（ⅱ）当时，即时，是方程的正根，则 ()2g a <21a <<3x 222x a -=3x =则由可转化为恒成立，即恒成立，2310x x mx ->()230x x m +>0m >m >因为，所以，则21a <<+6224a <+<+1<<1<<，所以m ≥综上所述，. 2m ≥-。
重庆名校高一上学期期末数学试题(解析版)
一、单选题1．已知集合，，则（ ） {}|24A x x =≤<{}3B x x =>A B = A ． B ． {}|2x x ≥{}|3x x >C ． D ．{}23x x ≤<{}|34x x <<【答案】D【分析】根据给定条件，利用交集的定义求解作答.【详解】集合，，所以. {}|24A x x =≤<{}3B x x =>{}|34A B x x ⋂=<<故选：D2．命题p ：的否定是（ ） Q,R x x ∀∈∈A ． B ． R x Q x ∀∉∈，00Q,R x x ∃∉∈C ． D ． Q,R x x ∀∈∉00Q,R x x ∃∈∉【答案】D【分析】根据全称命题的否定为特称命题.【详解】根据全称命题的否定是特称命题知，命题的否定为， 00Q,R x x ∃∈∉故选:D.3．已知一扇形的半径为2，面积为4，则该扇形的圆心角的弧度数为（ ） A ． B ．C ．2D ．1π2π【答案】C【分析】根据扇形的面积公式和圆心角的弧度数公式求解.【详解】由扇形的面积公式可得可得，12S lr =4l =所以圆心角的弧度数为， 2lrα==故选:C.4．“双碳”战略倡导绿色、环保、低碳的生活方式.2020年9月中国明确提出2030年实现“碳达峰”，2060年实现“碳中和”，为了实现这一目标，中国持续推进产业结构和能源结构调整，大力发展可再生能源，新型动力电池随之也迎来了蓬勃发展机遇.Peukert 于1898年提出蓄电池的容量C （单位:A·h ），放电时间t （单位:h ）与放电电流I （单位:A ）之间关系的经验公式，其中0n C I t =⋅为Peukert 常数.在电池容量不变的条件下，当放电电流I =15A 时，放电时间t =28h ，则023lo 2g n =-当放电电流I=10A 时，放电时间为（ ）A ．14hB ．28.5hC ．29hD ．56h【答案】D【分析】根据给定的条件，列出方程，结合指数、对数运算计算作答. 【详解】，因为电池容量不变，则有，0332222log log n ==-00811205n n t ⨯=即有，03200log 23328(28(2856215102n n n t ⨯==⨯==⨯所以当放电电流I=10A 时，放电时间为56h. 故选：D5．已知函数且若，则实数a 的值等于（ ） 7,0()(0,,0xx x f x a a x -≤⎧=>⎨>⎩1)a ≠()()22f f =-A ．2B ．3CD ．4【答案】B【分析】利用分段函数求函数值即可求解.【详解】因为，所以，()()22,29f a f =-=29a =因为，所以， 0a >3a =故选:B.6．设（ ） sin cos θθ-=sin cos θθ⋅=A ． B ． C ．D ．1316-1332-13321316【答案】C【分析】由可直接构造方程求解.()2sin cos 12sin cos θθθθ-=-⋅【详解】， ()2223sin cos sin cos 2sin cos 12sin cos 16θθθθθθθθ-=+-⋅=-⋅=. 13sin cos 32θθ∴⋅=故选：C.7．已知，且，则的最小值为（ ） ,a b R +∈23a b ab +=2a b +A ．3 B ．4 C ．6 D ．9【答案】A【解析】将变形为，再将变形为，整理后利用基本不23a b ab +=213a b +=2a b +()12123a b a b ⎛⎫++ ⎪⎝⎭等式可求最小值.【详解】因为，故，23a b ab +=213a b+=故， ()()1211221225543333b a a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当且仅当时等号成立， 1a b ==故的最小值为3. 2a b +故选：A.【点睛】方法点睛：应用基本不等式求最值时，需遵循“一正二定三相等”，如果原代数式中没有积为定值或和为定值，则需要对给定的代数变形以产生和为定值或积为定值的局部结构.求最值时要关注取等条件的验证.8．已知为偶函数，若对任意，，总有()1y f x =+,1,)[a b ∈+∞()a b ≠()()()()af b bf a af a bf b +<+成立，则不等式的解集为（ ） ()()24f x f <A ． B ． ()1,2-()2,2-C ．D ．12,33⎛⎫⎪⎝⎭12,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】A【分析】根据题意确定函数的单调性和对称轴即可求解.【详解】由可得， ()()()()af b bf a af a bf b +<+()()()()af b bf b af a bf a -+<-即，也即， ()()()()a b f b a b f a -<-()()()0a b f b f a ⎡⎤--<⎣⎦当时，，当时，， 1a b >≥()()f a f b >1b a >≥()()f b f a >所以函数在单调递增，()f x [)1,+∞又因为为偶函数，所以的图象关于对称， ()1y f x =+()f x 1x =所以在单调递减，且， ()f x (],1-∞(4)(2)f f =-所以由得解得, ()()24f x f <224x -<<12x -<<故选:A.二、多选题9．下列选项中与的值不恒相等的有（ ） cos θA ．B ．()cos θ-()cos πθ+C ．D ．πsin 2θ⎛⎫- ⎪⎝⎭3sin π2θ⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】BCD【分析】利用诱导公式逐项化简，可得出合适的选项.【详解】，，，.()cos cos θθ-=()cos πcos θθ+=-πsin cos 2θθ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭3sin πcos 2θθ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭故选：BCD.10．已知函数，下列说法中正确的是（ ） ()32log 11f x x =-+A ． B ．无最大值()132f =()f x C ．为偶函数 D ．若，则()f x ()()223f m f m ≤+[]1,3m ∈-【答案】BD【分析】换元法求出函数的解析式，即可求函数值求解A ，根据函数表达式求值域可求解B ，根据奇函数的定义求解C ，根据函数的单调性解不等式求解D. 【详解】设，则，所以， 3log x t =3t x =()2131t f t =-+所以，所以，A 错误； ()2131x f x =-+()213312814f =-=因为，所以，所以， 30x >311x +>20231x <<+所以，无最大值，B 正确； ()()211,131xf x =-∈-+定义域为，()2311,3131x x x f x -=-=++R 且，所以函数为奇函数，C 错误；()3113()3113x xx xf x f x -----===-++因为单调递增，()2131x f x =-+所以由可得()()223f m f m ≤+223m m ≤+即解得，D 正确， 2230m m -≤-[]1,3m ∈-故选:BD.11．若，，则（ ） 0.12a = 1.152b =A ．B ． 20a b -<()1a a b +<C ．D ．232a <a b +<【答案】ACD【分析】根据指数幂运算律及指数函数的单调性,基本不等式等分别判断即可.【详解】对于,,,故正确;A 1.1 1.10.1522222b a =⨯=<=20a b -<A对于B ，因为，故B 不正确； 2(1)a a a a +=+>1323331020202222(2)222a ==⨯=⨯= 1.152b ==对于,,,,故正确;C ()1220.10.25222a ===()()5551552253243322,,2322aa ⎛⎫⎛⎫⎛⎫===∴< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭232a <C对于D ，故D 正确；=a b >=+故选：ACD 12．已知函数，则（ ） ()()()()212111ee e e 3x x x xf x k ----=+-++A ．存在，使得有1个零点 B ．存在，使得有2个零点 R k ∈()f x R k ∈()f x C ．存在，使得有3个零点 D ．存在，使得有4个零点R k ∈()f x R k ∈()f x 【答案】AB【分析】根据给定条件，利用平移、换元的方法求出一元二次方程在指定区间上的根，再结合函数的性质推理判断作答.e e x x t -=+【详解】函数向左平移1个单位得，而定义域为R ， ()f x 223)()e e (e e x x x xg x k --=+-++()f x 因此函数在R 上零点个数问题等价于函数在R 上零点个数问题，()f x ()g x 显然，即函数是偶函数，其图象关于y 轴对称，22()e e (e e 3())x x x x g x k g x ---=+-++=()g x令，函数中，函数在上递增，，在e e 2x x t -=+≥=1e exx t =+e x u =(,0)-∞01u <<(0,)+∞上递增，，1u >而在上单调递减，在上单调递增，因此在上递减，在1t u u =+(0,1)(1,)+∞1e exx t =+(,0)-∞(0,)+∞上递增，，因此函数的零点转化为方程在上根的2222e e (e e 22)x x x x t --+=+-=-()g x 210t kt -+=[2,)t ∈+∞问题，当时，方程化为，显然在上单调递增，，[2,)t ∈+∞210t kt -+=1k t t =+1k t t =+[2,)t ∈+∞52k ≥方程在上有根当且仅当， 210t kt -+=[2,)t ∈+∞52k ≥当时，，此时，即函数有唯一零点0，函数有唯一零点1，A 正确； 52k =2t =0x =()g x ()f x 当时，存在唯一，使得成立，此时，即， 52k >02t >20010t kt -+=0e e x x t -+=20e e 10x xt -+=解得，因此或e x=e x=0>x =， x =所以当时，函数有两个零点，函数有两个零点，B 正确； 52k >()g x ()f x 显然不存在实数，使得函数有3个零点和4个零点，选项C ，D 不正确. k ()f x 故选：AB【点睛】方法点睛：函数零点个数判断方法：(1)直接法：直接求出的解；(2)图象法：作()0f x =出函数的图象，观察与x 轴公共点个数或者将函数变形为易于作图的两个函数，作出这两个()f x 函数的图象，观察它们的公共点个数.三、填空题13．__________. 3log 702lg 53lg 4-++=【答案】8【分析】根据给定条件，利用指数、对数运算计算作答.【详解】. 3log 702lg 53lg 42(lg 5lg 2)17268-++=+-+=+=故答案为：8 14．若方程在上有两个不同的实数根，则实数的取值范围为___________. 1cos 2a x -=π,π3x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦a 【答案】23a ≤<【分析】先求出时的值域，采用数形结合法可求的范围，进而得解.,3x π⎡⎤∈-π⎢⎥⎣⎦cos x a 【详解】作出，与的大致图像，如图所示：cos y x =,3x π⎡⎤∈-π⎢⎥⎣⎦12a y -=由图像可知，当，即时,，的图像与的图像有两个11122a -≤<23a ≤<cos y x =,3x π⎡⎤∈-π⎢⎥⎣⎦12a y -=交点， 即方程在时有两个不同的实数根. 1cos 2a x -=,3x π⎡⎤∈-π⎢⎥⎣⎦故答案为:23a ≤<15．高斯被认为是历史上最重要的数学家之一，享有“数学王子”之称.函数称为高斯函数，其[]y x =中[x ]表示不超过实数x 的最大整数，例如，，当时，函数[]2.32=[]0.51-=-()1.5,2x ∈-[]y x x =的值域为__________. 【答案】[0,2)(2,3) 【分析】利用高斯函数的定义，分段求出函数取值集合，再求并集作答.【详解】依题意，当时，，则，当时，，则1.51x -<<-[]2x =-2(2,3)y x =-∈10x -≤<[]1x =-，(0,1]y x =-∈当时，，则，当时，，则， 01x ≤<[]0x =0y =12x ≤<[]1x =[1,2)y x =∈所以当时，函数的值域为. ()1.5,2x ∈-[]y x x =[0,2)(2,3) 故答案为：[0,2)(2,3) 16．若函数在上单调递减，则实数的取值范围是__________.()122log log ()f x x ax =1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭a 【答案】[)16,+∞【分析】换元法转化为二次函数的给定区间的单调性求解.【详解】， ()()()222222222log log ()log log log log log log f a x x ax x x a x x =-=⋅-+=--令，为增函数，[)2log 2,t x =∈-+∞所以，所以在单调递减，()()22log g t t a t =--()()22log g t t a t =--[)2,t ∈-+∞所以，即，解得， 20log 22at =-≤-2log 4a ≥16a ≥故答案为:.[)16,+∞四、解答题17．已知集合，.{}2|230A x x x =--<()(){}|10B x x m x m =--+≥(1)当时，求；1m =A B ⋃(2)若是的充分不必要条件，求实数m 的取值范围. x A ∈x B ∈【答案】(1) R (2)或 4m ≥1m ≤-【分析】（1）解一元二次不等式，再根据并集运算求解； （2）根据充分不必要关系确定真包含于即可求解.A B 【详解】（1）由解得，所以， 2230x x --<13x -<<{}|13A x x =-<<由解得或， ()()10x m x m --+≥1x m -≤x m ≥所以或， {|1B x x m =≤-}x m ≥当时，所以或， 1m ={|0B x x =≤}1x ≥所以.A B =R （2）因为是的充分不必要条件，所以真包含于， x A ∈x B ∈A B 由（1）知，或， {}|13A x x =-<<{|1B x x m =≤-}x m ≥所以或，即或.13m -≥1m ≤-4m ≥1m ≤-18．函数的最小正周期为.()π2sin (0)6f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭π(1)求函数在上的单调递增区间； ()f x []0π，(2)当时，求的值域.ππ,64x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦()f x 【答案】(1)π2π0,,,π63⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦(2) [1,2]-【分析】（1）先根据周期可求出，从而可求出函数的单调增区间，然后与取交集即得ω()f x []0,π解；（2）根据整体代换法即可求出值域．【详解】（1）因为的最小正周期，所以，故.()f x πT =2π2T ω==π()2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭令，则，πππ2π22π()262k x k k -+≤+≤+∈Z ππππ()36k x k k -+≤≤+∈Z 即的单调递增区间为.()f x πππ,π()36k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z 而，所以函数在上的单调增区间是．[]0,πx ∈()f x []0,ππ2π0,,,π63⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦（2）当时，，则，ππ,64x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦ππ2π2,663t x ⎡⎤=+∈-⎢⎥⎣⎦1sin ,12t ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦所以，即的值域为.()[1,2]f x ∈-()f x [1,2]-19．已知指数函数的图象过点 ()(0,1)xf x a a a =>≠1(4,)16(1)设函数，求的定义域和值域；()=g x ()g x (2)已知二次函数的图象经过点，，求函数的单调递增区间. ()h x (0,0)()()121+=-+h x h x x (())f h x 【答案】(1)定义域为,值域为. [)0,∞+[)0,1(2). [)1,+∞【分析】(1)根据定义域的定义解指数不等式求解定义域，再根据指数型复合函数的单调性和最值求值域；(2)根据指数型复合函数的单调性求解.【详解】（1）由题可得，解得或（舍），()4116f x a ==12a =12a =-所以，()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭()g x 由解得，所以定义域为，1102x⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭0x ≥[)0,∞+因为，所以，所以，0x ≥1012x⎛⎫<≤ ⎪⎝⎭10112x⎛⎫≤-< ⎪⎝⎭所以. ()g x =[)0,1（2）设，因为函数的图象经过点， 2()h x ax bx c =++()h x (0,0)所以，所以， (0)0h c ==2()h x ax bx =+又因为，()()121+=-+h x h x x 所以，22(1)(1)21a x b x ax bx x +++=+-+即，()()22221ax a b x a b ax b x ++++=+-+所以，所以，所以，221a b b a b +=-⎧⎨+=⎩12a b =-⎧⎨=⎩2()2h x x x =-+所以，221(())2x xf h x -+⎛⎫= ⎪⎝⎭在单调递增，单调递减，2()2h x x x =-+(],1-∞[)1,+∞因为指数函数单调递减，12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭所以在单调递减，单调递增，221(())2x xf h x -+⎛⎫= ⎪⎝⎭(],1-∞[)1,+∞所以的单调递增区间为.221(())2x xf h x -+⎛⎫= ⎪⎝⎭[)1,+∞20．某市为创建全国卫生城市，引入某公司的智能垃圾处理设备.已知每台设备每月固定维护成本5万元，每处理万吨垃圾需增加万元维护费用，每月处理垃圾带来的总收益万元与每月垃圾11()g x 处理量（万吨）满足如下关系：（注：总收益总成本利x ()2233100,0105025,10x x x g x x x ⎧-+-≤≤⎪=⎨+>⎪⎩=+润）.(1)写出每台设备每月处理垃圾获得的利润关于每月垃圾处理量的函数关系； ()f x x (2)当该设备每月垃圾处理量为何值时，所获利润最大？并求出最大利润.【答案】(1) ()2232105,0105020,10x x x f x x x x ⎧-+-≤≤⎪=⎨-+>⎪⎩(2)当该设备每月垃圾处理量为万吨时，所获利润最大，最大利润为万元 823【分析】（1）根据利润总收益总成本可直接得到函数关系式；=-（2）分别在和的情况下，根据函数单调性求得最大值，由此可确定结果.010x ≤≤10x >()f x 【详解】（1）当时，；010x ≤≤()()222331005232105f x x x x x x =-+--+=-+-当时，； 10x >()()505025520f x x x x x=+-+=-+. ()2232105,0105020,10x x x f x x x x ⎧-+-≤≤⎪∴=⎨-+>⎪⎩（2）当时，， 010x ≤≤()()222321052823f x x x x =-+-=--+则当时，； 8x =()max 23f x =当时，单调递减，； 10x >()5020f x x x=-+()()1010515f x f ∴<=+=综上所述：当该设备每月垃圾处理量为万吨时，所获利润最大，最大利润为万元. 82321．已知函数. ()31log ax f x x+=(1)若关于x 的方程的解集中恰好只有一个元素，求实数的取值范围；()()3log 21f x ax a =-++a (2)设，若，函数在区间上的最大值和最小值之差不超过，求实数的0a >11,32t ⎡⎫∀∈⎪⎢⎣⎭()f x [],1t t +1a 取值范围.【答案】(1)或10a -<≤1a =(2) 38a ≥【分析】（1）根据题意可得，即，再分，，1210ax a a x-++=+>()()110x ax --=0a =1a =1a ≠且三种情况讨论，从而可得答案.0a ≠（2）易得在上单调递减，则有，即，()f x [],1t t +()()11f t f t -+≤3311log log 11a a t t ⎛⎫⎛⎫+-+≤ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭即，令，则，求出的最大值，进而求出答案. ()1221t a t t -≥+12r t =-1(0,3r ⎤∈⎥⎦()1221t t t -+【详解】（1）由题意有：. ()331log 21log ax a a x ⎛⎫-++=+ ⎪⎝⎭所以，① 1210ax a a x-++=+>可得，即， ()2110ax a x -++=()()110x ax --=当时，方程的解为，代入①式，成立，0a =1x =当时，方程的解为，代入①式，成立，1a =1x =当且时，方程的解为， 1a ≠0a ≠11,x x a==若为方程①的解，则，即；1x =10a +>1a >-若为方程①的解，则，即， 1x a=0a a +>0a >要使方程①有且只有一个解，则.10a -<≤综上所述，的取值范围为或.a 10a -<≤1a =（2）令，在上递减， 1u a x=+[],1t t +由函数为增函数，3log y u =所以在上单调递减，()f x [],1t t +因为函数在区间上的最大值和最小值之差不超过1，()f x [],1t t +则有，()()11f t f t -+≤即， 3311log log 11a a t t ⎛⎫⎛⎫+-+≤ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭所以，即， 11031a a t t ⎛⎫<+≤+ ⎪+⎝⎭()1221t a t t -≥+令，则， 12r t =-11,32t ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭1(0,3r ⎤∈⎥⎦， ()22234341221r t t t r r r r-∴==++-+-在在单调递减， 3y r r =+ 1(0,3r ⎤∈⎥⎦328,3r r ∴+≥ 23384y r r∴=≤+-综上，. 38a ≥22．已知函数，，.若曲线与恰有一个交点且交点横()g x axb =+()21h x x =+()()()g x f x h x =()g x ()h x 坐标为1.(1)求的值及；,a b ()f x (2)判断函数在区间上的单调性，并利用定义证明你的结论；()f x (0,1)(3)已知，且，若，试证:.()12,0,x x ∀∈+∞m n <()()f m f n =2m n +>【答案】(1),. 2,0a b ==()221x f x x =+(2)见解析(3)见解析【分析】(1)根据点在图象上，以及交点的个数利用判别式求解；(2)根据单调性的定义求解；(3)将问题转化为求证即证，即证明，再转化为求证，也即2n m >-()()2f n f m <-()()2f m f m <-，构造，讨论单调性和最值求解. 22201(2)1m m m m --<+-+222()1(2)1x x x x x ϕ-=-+-+【详解】（1）因为，所以交点的坐标为，()1112h =+=(1,2)所以，()12g a b =+=又因为曲线与恰有一个交点，()g x ()h x 所以联立，可得，()g x ax b =+()21h x x =+210x ax b -+-=则，又因为，所以，24(1)0a b ∆=--=2a b +=2440a a -+=解得，所以，则. 2,0a b ==()2g x x =()221x f x x =+（2）判断在上单调递增，证明如下： ()221x f x x =+(0,1)假设，1201x x <<<， ()2212121221212122222221212112222()(1)()()11(1)(1)(1)(1)2x x x x x x x x x x x f x f x x x x x x x x +-----=-==++++++因为，所以，，则1201x x <<<120x x -<121x x <1210x x ->所以，即， 12121222122()(1)()()0(1)(1)x x x x f x f x x x ---=<++12()()f x f x <所以在上单调递增.()f x (0,1)（3）假设，121x x <<， ()2212121221212122222221212112222()(1)()()11(1)(1)(1)(1)2x x x x x x x x x x x f x f x x x x x x x x +-----=-==++++++因为，所以，，则121x x <<120x x -<121x x >1210x x -<所以，即， 12121222122()(1)()()0(1)(1)x x x x f x f x x x ---=>++12()()f x f x >所以在上单调递减，()f x (1,)+∞因为，若，所以，则，m n <()()f m f n =()(0,1),1,m n ∈∈+∞()21,m -∈+∞要证，即证，即证明，2m n +>2n m >-()()2f n f m <-因为，所以即证()()f m f n =()()2f m f m <-代入解析式得，即， 2222(2)1(2)1m m m m -<+-+22201(2)1m m m m --<+-+令， 222()1(2)1x x x x x ϕ-=-+-+由（2）可知函数在上单调递增， ()221x f x x =+(0,1)所以在上单调递增， 21x y x =+(0,1)根据复合函数的单调性可知在上单调递减， 22(2)1x y x -=-+(0,1)所以在上单调递增，所以 222()1(2)1x x x x x ϕ-=-+-+(0,1)，即， ()(1)0x ϕϕ<=2221(2)1x x x x -<+-+从而，所以得证. 22201(2)1m m m m --<+-+2m n +>【点睛】关键点点睛：第（3）问中出现了双变量，构造对称关系并结合函数的单调性，将双变量问题转化为单变量是常用的方法，将问题转化求证为，()()2f m f m <-构造对称函数证明. 222()1(2)1x x x x x ϕ-=-+-+。
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重庆江津长寿綦江等七校联盟2017-2018学年高一数学上学期期
末考试试题
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分. 满分150分，考试时间120分钟. 注意事项：
1．答题前，务必将自己的姓名．准考证号等填写在答题卷规定的位置上. 2．答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卷上对应题目的答案标号涂黑.
3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卷规定的位置上. 4．考试结束后，将答题卷交回.
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有
一项符合题目要求的。
1．（改编）)设集合{}
40A x Q x =∈+≥，则（ ） A ．A φ∈ B ．3A ∉ C ．3A ∈ D ． {}6A -⊆
2．（原创）sin 2018︒的值是( )
A ．正数
B ．零
C ．负数
D ．不存在
3．如果幂函数a
x x f =)(的图象经过点）
，（2
2
2,则)4(f 的值等于（ ） A ．16 B ．2 C ．16
1
D ．2
1 4．(改编)三个数6
.09
， 9
6.0，9log 6.0的大小顺序是（ ）
A ．9log 6.0<<6
.09
96.0
B ．96.0<<6
.09
9log 6.0
C ．9
0.6＜0.6log 9＜0.6
9
D ．9log 6.0<<9
6.06
.09
5．(改编)已知⎩⎨
⎧<+≥-=)
8()2()
8(5)(x x f x x x f 则)3(f 的值为（ ）
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
6．如图，正方形ABCD 中，E 为DC 的中点，若AE AB AC λμ=+u u u r u u u r u u u r ，则λμ+的值为（ ）
A ．1
B ．2
1
-
C ．
2
1
D ．﹣1
7．（改编）在函数①cos ||y x =，②|cos |y x =,③cos(2)6y x π
=+
,④tan(2)4
y x π
=-中,最小正周期为π的函数有（ ）（填序号）
A ．①③
B ．①④
C ．②④
D ．②③
8．(改编)函数[]ππ,,4
)(cos -∈⋅=x x x f x
的图象大致是（ ）
9．函数2
2()log (3)f x x ax a =-+在[2,)+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是（ ）
A ． 4a ≤
B ．44a -<≤
C ．2a ≤
D ．24a -≤≤
10．已知函数2
23y x x =-+在区间[0,]m 的最大值为3，最小值为2，则m 的取值范围为
（ ）
A ．12m ≤≤
B ． 1m ≥
C ．02m ≤≤
D ．2m ≤
11．（改编）若函数sin()y A x ωϕ=+（0,0,2
A π
ωϕ>><
）在一个周期内的图象如图所
示，M 、N 分别是这段图象的最高点和最低点，O 为坐标原点，且0OM ON =u u u u r u u u r
g ，则=
⋅⋅ϕωA （ ）
A ． 18
2
π B ．7272
π
C ．18
72
π
D ．36
72
π—
12．（原创）在平面直角坐标系中，横纵坐标均为整数的点称为格点，若函数)(x f 图像上有n
个格点，则称函数)(x f 为n 阶格点函数，下列函数中满足存在N k ∈，使该函数为12+k 阶格点函数的函数是（ ） A ． x
x y 1+
= B ．x y cos = C ．||ln x y = D ． 1
||2-=x y 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.） 13．（改编）已知扇形的圆心角为144°，半径为5，则扇形的面积S 为______（化为最简式）
14．（原创）计算=+•+232
)2(lg 20lg 5lg 64
1—）（____________
15．（原创）已知53
)6sin(=+πx ，则)23
2cos(x -π的值为___________
16．（改编）若函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<+--=1
1233)(2
2x x m
mx x m
x f x
恰有两个零点，则实数m 的取值范围是
________
三、解答题(本大题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17．(本小题满分10分) 已知向量(1,2)a =r
，向量(3,4)b =-r ．
（1） 求a b +r r 与a b -r r 的夹角的大小；
（2） 若向量c r 满足()c a b ⊥+r
r r ，()c a +r r ∥b r ，求向量c r 的坐标．
18．（改编）(本小题满分12分)
（1）已知角α的顶点在原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点)4,3(-P ， 求
)
2
3cos()2sin()
cos(2)sin(απ
απαπα++-++-的值；
（2）已知
4
32
π
βγπ
<
<<，)sin(γβ+＝－35，)cos(γβ-＝1213，求β2cos 的值．
19．（改编）(本小题满分12分)
已知全集U=R ，集合
A={
|x y =
，B={}2|log ,416y y x x =<<，
（1） 求集合B C A U ⋂；
（2） 若集合C={x |4﹣a ＜x ＜a }，且C ⊆（A∪B），求实数a 的取值范围． 20．（改编）（本小题满分12分)
设函数()f x a b =r
r g
，其中向量2(2cos 1,cos ),2sin ),.a x x b x x R =+=∈r
r
（1）求函数()f x 的单调递增区间； （2） 若将函数()f x 的图象向右平移
24
π
个单位后，再将得到的图象上各点横坐标伸长到
原来的4倍，纵坐标向下平移32个单位后，得到函数y ＝g (x )的图象，求函数y ＝g (x )在区间[0，2π]上的值域．
21．（改编）(本小题满分12分)已知函数
x
x
x f +-=11lg
)( （1）判断函数奇偶性，并加以证明； （2）若函数m x x f x g --=)()(在∈x ]11
9
,0[上有零点，求实数m 的取值范围．
22．（原创）(本小题满分12分)定义运算⎩⎨⎧≥<=⊗b
a b
a b a b a ，设函数)2()(x x x f -⊗=
（1）求)(x f 的解析式及单调区间；
（2）m x m x g ++=2)(2，)()()(x
e f x g x h -=，是否存在实数m ,使得对任意的
]1,0[,,321∈x x x ，不等式)()()(321x h x h x h ≥+恒成立？若存在，求出实数m ；若不存在，请
说明理由．
答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 选项 B C D D A C D B B A C B
二、填空题
13．14．17 15．16．略
三、解答题
17．(本小题满分10分)
解：（1）∵，∴，∴，∴，------ 2分∴，
∴．------ 4分
设与的夹角为θ，则．又∵θ∈[0，π]，∴．------- 5分
（2）设，则，∵⊥（+），（+）∥，
∴， ------ 8分
解得：，即．------- 10分
18．略
19．(本小题满分12分)
解：（1）由x2﹣4x+3≥0，解得x≥3或x≤1，则A=（﹣∞，1]∪[3，+∞）------- 2分由y=log2x，4＜x＜16，则B=（2，4），------- 4分
∴C U B=（﹣∞，2]∪[4，+∞），
∴C=A∩（C U B）=（﹣∞，1]∪[4，+∞），------- 6分
①当C=，4﹣a≥a ，∴a≤2 ------- 8分
②∵A∪B=（﹣∞，2）∪[3，+∞），当C
由非空集合C={x|4﹣a＜x＜a}，且C⊆（A∪B），
∴或，解得a为空集，------- 11分
综上所述∴a≤2 ------- 12分
20．略
21．(本小题满分12分)
解：（1）Ⅰ
的定义域为（-1，1），关于原点对称。
------- 2分
又对于定义域内的任意x，
为奇函数 ------- 5分
（2）由题意，得方程在上恒有实数解，
因在上为减函数，y=-x也为减函数。
------- 9分
在上为减函数，------- 11分故满足条件。
------- 12分
22．(本小题满分12分)
解：（1）------- 2分
递增区间，递减区间 ------- 4分
（2）当时，，所以
= ------- 6分
已知在上递增，------- 7分
，不等式
在即求，即------- 10分
，代入得，
即，
时，原不等式无解。
不存在，使得不等式恒成立。
------- 12分。