2020届湖北省武汉市武汉二中高三数学理科周练试题
2020届湖北省武汉二中高考数学全仿真试卷(5月份)(含解析)
2020届湖北省武汉二中高考数学全仿真试卷(5月份)一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={y|y =1x ,x >12}，B ={y|y =2x ,x <0}，则A ∩B =( )A. {y =|1<y <2}B. {y|0<y <12} C. {y|0<y <1}D. ⌀2. 已知i 为虚数单位，若复数(1+ai)(2+i)是纯虚数，则实数a 等于( )A. 2B. 12C. −12D. −23. 已知正项数列{a n }满足a 1=1，a 2=2，2a n 2=a n+12+a n−12(n ≥2)，则a 6=( )A. 2B. ±2C. ±4D. 44. “|x −a|<1且|y −a|<1”是“|x −y|<2”(x,y ，a ∈R)的( )A. 充要条件B. 必要不充分条件C. 充分不必要条件D. 既不充分也不必要条件5. 已知a =log π3，b =log π4，c =log 34，则a ，b ，c 的大小关系为( )A. a <b <cB. b <a <cC. a <c <bD. c <a <b6. 设a =log 123，b =(13)0.3，c =lnπ，则( ) A. c <a <b B. a <c <b C. a <b <c D. b <a <c7. 如图为一个几何体的三视图，正视图和侧视图均为矩形，俯视图为正三角形，尺寸如图，则该几何体的侧面积为( )A. 6B. 24C. 12√3D. 328. ABCD 为长方形，AB =4，BC =2，O 为AB 的中点。
在长方形ABCD内随机取一点，取到的点到O 的距离小于2的概率为( )A.B.C.D.9. 设向量a ，b 满足：| a |=3，| b |=4，a · b =0.以a ，b ，a − b 的模为边长构成三角形，则它的边与半径为1的圆的公共点个数最多为…( )A. 3B. 4C. 5D. 610.计算cos23°sin53°−sin23°cos53°的值等于()A. 12B. −√32C. −12D. √3211.已知函数f(x)=sinx+cosx+2x2+x2x2+cosx的最大值是M，最小值为N，则()A. M−N=4B. M+N=4C. M−N=2D. M+N=212.12.已知函数，若函数有且只有一个零点，则实数a的取值范围是()A. B. C. D.二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.在普通高中新课程改革中，某地实施“3+1+2“选课方案．该方案中“2“指的是从政治、地理、化学、生物4门中任选2门作为选考科目，假设每门科目被选中的可能性相等，那么政治和地理至少有一门被选中的概率是______．14.二项式(x2+2x)6的展开式中不含x3项的系数之和为______ ．15.椭圆x26+y22=1与双曲线x23−y2b2=1有公共的焦点F1，F2，则双曲线的渐近线方程为______ ．16.已知三棱锥S−ABC的各顶点都在同一球面上，若△ABC的面积为15√34，∠BAC=2π3，正三角形SAB的内切圆的半径为√32，且侧面SAB与底面ABC垂直，则此球的表面积等于______．三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）17.若tan2θ=，，计算：(1)；(2)。
2020年5月武汉市高考理科数学模拟试卷含答案解析
2020年5月武汉市高考理科数学模拟试卷本试卷共5页，23题（含选考题）.全卷满分150分.考试用时120分钟.★祝考试顺利★注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡指定的位置用2B 铅笔涂黑.答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.5.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数z 满足，12z i i i +=++，则复数z =（ ）. A. 2i +B. 12i +C. 3i +D. 32i -【答案】B【解析】【分析】 首先根据题意得到(1)(2)z i i i =++-，再化简即可得到答案.【详解】2(1)(2)2312z i i i i i i i =++-=++-=+.故选：B 【点睛】本题主要考查复数的乘法运算，属于简单题.2.已知集合103x A xx ⎧⎫-=≤⎨⎬+⎩⎭，{}2B x x =<，则A B =I （ ）. A . {}21x x -<< B. {}32x x -<< C. {}21x x -<≤ D. {}21x x -≤≤【答案】C【解析】【分析】 首先分别解不等式103x x -≤+和2x <，再求交集即可. 【详解】因为(1)(3)01031303x x x x x x -+≤⎧-≤⇒⇒-<≤⎨+≠+⎩， 所以{}31A x x =-<≤. 因为222x x <⇒-<<，所以{}22B x x =-<<. {}21A B x x ⋂=-<≤.故选：C【点睛】本题主要考查集合的交集运算，同时考查了分式不等式和绝对值不等式的解法，属于简单题. 3.设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，12342,20a a a a =++=，则5S =（ ）A. 2B. 0C. 2-D. 4-【答案】A【解析】【分析】利用等比数列基本量，求出q ，再求5S【详解】12342,20a a a a =++=Q 2311120q q q a a a ∴++=,2320q q q ∴++=;0q ∴=或1q =-；等比数列公比不能为0，1q =-552[1(1)]21+1S --== 故选：A【点睛】本题考查等比数列前n 项和n S .等解决等比数列基本量计算问题利用方程的思想.等比数列中有五个量1n n a n q a S ，，，，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)求关键量1a 和q .4.若某几何体的三视图如下，则该几何体的体积为（ ）.A. 2B. 4C. 42D. 43【答案】B【解析】【分析】 该三视图还原之后是一个斜四棱柱，为了方便理解，可以将其分开成两个三棱柱再拼凑成一个长方体，最后由长方体体积公式计算即可.【详解】该三视图还原之后是一个斜四棱柱，为了方便理解，可以将其分开成两个三棱柱再拼凑成一个长方体，所以体积为1224V =⨯⨯=.故选：B【点睛】本题考查由三视图求直观图的体积，属于基础题.5.在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布()21,(0)N σσ>，若ξ在(0,2)内取值的概率为0.8，则ξ在(0,)+∞内取值的概率为（ ） A. 0.9B. 0.1C. 0.5D. 0.4 【答案】A【解析】【分析】根据ξ服从正态分布()21,(0)N σσ>，得到曲线的对称轴是直线1x =，根据所给的ξ在(0,2)内取值的概率为0.8，根据正态曲线的对称性，即可求出在(0,)+∞内取值的概率． 【详解】因为ξ服从正态分布()21,(0)N σσ>， 所以曲线的对称轴是直线1x =，又ξ在(0,2)内取值的概率为0.8，根据正态曲线的性质，则在(0,)+∞内取值的概率为0.80.10.9+=．故选：A ．【点睛】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，主要考查正态曲线的对称性；一般地，X 是服从正态分布，正态分布一般记为()2,N μσ，μ为正态分布的均值（均值就是对称轴），σ是正态分布是标准差；本题属于基础题．6.已知函数()()ππcos 322f x x ϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭图象关于直线5π18x =对称，则函数()f x 在区间[]0,π上零点的个数为（ ）.A. 1B. 2C. 3D. 4 【答案】C【解析】【分析】根据对称轴可得()5318k k Z πϕπ⨯+=∈，从而求出6π=ϕ，进而可得()cos 36f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令()cos 306f x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，解方程即可. 【详解】函数()()ππcos 322f x x ϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭图象关于直线5π18x =对称， 所以()5318k k Z πϕπ⨯+=∈，解得()56k k Z πϕπ=-∈， 又因为ππ22ϕ-<<，所以6π=ϕ， 所以()cos 36f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 令()cos 306f x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭， 则()362x k k Z πππ+=+∈， 解得39k x ππ=+， 因为[]0,πx ∈， 所以9x π=，49π，79π. 即函数()f x 在区间[]0,π上零点的个数为3.故选：C【点睛】本题考查了余弦函数的性质以及求函数的零点个数，解题的关键是掌握余弦函数的对称轴，属于基础题.7.已知向量,a b r r 是互相垂直的单位向量，向量c r 满足1c a ⋅=r r ，1c b ⋅=r r 则||a c +=r r （ ）A. 2B. 5C. 3D. 7【答案】B【解析】【分析】 由向量,a b r r 是互相垂直的单位向量，分别以,a b r r 所在直线建立直角坐标系，再根据向量c r 满足1c a ⋅=r r ，1c b ⋅=r r ，求得向量c r 的坐标，再利用求模公式求解.【详解】因为向量,a b r r 是互相垂直的单位向量，建立如图所示直角坐标系：则()()()1,0,0,1,,a b c x y ===r r r ，因为向量c r 满足1c a ⋅=r r ，1c b ⋅=r r ，所以101,011x y x y ⨯+⨯=⨯+⨯=，1,1x y ==，所以()1,1c =r ，所以()2,1a c +=r r ，所以2||215a c +=+r r.故选：B【点睛】本题主要考查平面向量的数量积运算及模的求法，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 8.已知等差数列{}n a 满足：22158a a +=，则12a a +的最大值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5【答案】D 【解析】【分析】设等差数列{}n a的公差为d，根据22158a a+=，利用平方关系，设15,a aθθ==，则()125sina aθθθϕ=+=++，再利用三角函数的性质求解.【详解】设等差数列{}n a的公差为d，因为22158a a+=，由22cos sin1αα+=，设15,a aθθ==，则()211511cos422a a d a a aθθ=+=+-=+，所以()125sin,tan7a aθθθϕϕ==+=+，当2,2k k Zπθϕπ+=+∈时，12a a+的最大值为5.故选：D【点睛】本题主要考查数列的通项公式，三角换元法的应用以及三角恒等变换，三角函数的性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题.9.已知直线1:2PQ y x=-与y轴交于P点，与曲线2:(0)C y x y=≥交于,Q M成为线段PQ上一点，过M作直线x t=交C于点N，则MNP△面积取到最大值时，t的值为（）A.116B.14C. 1D.54【答案】C【解析】【分析】先求得P，Q的坐标，由直线x t=，联立直线方程和曲线方程可得M，N的坐标，运用三角形的面积公式，结合换元法和导数的运用求函数的单调性和最值，即可得到所求值．【详解】 直线1:2PQ y x =-与y 轴交于1(0,)2P -， 由12y x =-与2(0)y x y =…联立，可得3(1Q 31)2+， 过M 作直线x t =交C 于点N ，可得1(,)2M t t -，(N t t ，301t 剟， 则MNP △面积11()22S t t t =+， 设3(01)2u t u =+剟，可得34211()22S u u u =-+， 可得2311(34)(41)(1)22S u u u u u u '=-+=-+-， 可得01u <<时，0S '>，S 单调递增；3112u <<+时，0S '<，S 单调递减， 则面积S 在1u =即1t =处取得极大值，且为函数的最大值．故选：C ．【点睛】本题考查抛物线的方程和运用，考查直线和抛物线的位置关系，考查三角形的面积的最值求法，考查利用导数研究函数的最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.10.已知函数11()()x f x eax a R e -=--∈的图象与x 轴有唯一的公共点，则实数a 的取值范围为（ ） A. {|0}a a ≤B. {|0a a ≤或1}a e =C. {|0a a ≤或}a e =D. {|0a a ≤或1}a =【答案】B【解析】【分析】由题意得出函数()f x 的图象与x 轴有唯一的公共点为原点，利用导数讨论函数()f x 的单调性，即可得出实数a 的取值范围. 【详解】由题意可得11(0)0f e e-=-=，则函数()f x 的图象与x 轴有唯一的公共点为原点 1()x f x e a '-=-当0,()0a f x '≤>，则函数()f x 在R 上单调递增，此时函数()f x 的图象与x 轴有唯一的公共点当0a >时，()0ln 1f x x a '>⇒>+；()0ln 1f x x a '<⇒<+()f x ∴在(,ln 1)a -∞+上单调递减，在(ln 1,)a ++∞上单调递增由题意可得ln 10a +=，解得1a e= 综上，实数a 的取值范围为{|0a a ≤或1}a e=故选：B【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的零点问题，属于中档题. 11.已知,A B 分别为双曲线22:13y x Γ-=实轴的左右两个端点，过双曲线Γ的左焦点F 作直线PQ 交双曲线于,P Q 两点（点,P Q 异于,A B ），则直线,AP BQ 的斜率之比:AP BQ k k =（ ） A. 13-B. 3-C. 23-D. 32- 【答案】B【解析】【分析】先根据双曲线方程求出a ，b ，c 的值，再直接设直线方程为2x my =-，代入双曲线方程，消去x ，化简得到关于y 的一元二次方程，得韦达定理，然后将:AP BQ k k 借助于P ，Q 的坐标表示出来，再将韦达定理看成方程，将m 用1y ，2y 表示出来代入前面的比值，化简即可．【详解】解：由已知得双曲线:1a Γ=，b =2c =．故(2,0)F -，(1,0)A -，(1,0)B ．设直线:2PQ x my =-，且1(P x ，1)y ，2(Q x ，2)y ．由22213x my y x =-⎧⎪⎨-=⎪⎩消去x 整理得22(31)1290m y my --+=， ∴121222129,3131m y y y y m m +==--， 两式相比得121234y y m y y +=⨯①， 121212112211221(3)3:1(1)AP BQ y x y my my y y k k x y y my my y y ---∴=⨯==+--②， 将①代入②得：上式12121121223()33(3)4333()4y y y y y y y y y y +--===--+-． 故:3AP BQ k k =-．故选：B ．【点睛】本题考查双曲线的性质，以及学生的化简运算能力，属于中档题．12.在四棱锥P ABCD -中，2,2PA PB PC PD AB AD BC CD ========，则四棱锥P ABCD -的体积为（ ）A.D. 3 【答案】D【解析】【分析】连接BD 、AC 交于点O ，连接PO ，由题意结合平面几何知识可得BD AC ⊥，BO DO =，BD PO ⊥，PO AO =，设PO AO m ==，CO n =，由勾股定理可得223m n -=，由余弦定理可得()()24714m n m m n ++-=+，化简可得2mn =，进而可得2m =，1n =，再利用P ABCD B PAC D PAC V V V ---=+即可得解.【详解】连接BD 、AC 交于点O ，连接PO ，如图：由2PA =，7PB PC PD ===7AB AD ==2BC CD ==，可得BD AC ⊥，BO DO =，BD PO ⊥，BPD ABD ≅△△，PO AO =， 所以BD ⊥平面PAC ， 设PO AO m ==，CO n =，由勾股定理得22274DO m n =-=-，即223m n -=，在POA V 中，22241cos 24AP AO PO PAO AP AO m m+-∠===⋅，在PCA V 中，()()222247cos 24m n AP AC PC PAC AP AC m n ++-+-∠==⋅+， 由PAO PAC ∠=∠可得()()24714m n m m n ++-=+，又223m n -=，所以()()()22214m n m n m m n +--=+，化简得2mn =， 将2n m=代入223m n -=可得2243m m -=，解得24m =或21m =-（舍去），所以2m =，1n =，3AC =，3BO DO ==APO △为等边三角形，所以1333sin 32APC S AP AC PAC =⋅⋅∠==△, 所以1133P ABCD B PAC D PAC APC APC V V V S BO S DO ---=+=⋅+⋅△△ 1333233==.故选：D.【点睛】本题考查了立体图形的几何特征、空间位置关系与余弦定理的综合应用，考查了立体图形体积的求解和方程思想，属于难题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13.函数ln ()1xf x x =+的图象在点(1,(1))f 处的切线方程为__________. 【答案】210x y --= 【解析】 【分析】求导得到()21ln '()1x x x f x x +-=+，计算()1'12f =，()10f =，得到切线方程.【详解】ln ()1xf x x =+，则()21ln '()1x x x f x x +-=+，故()1'12f =，()10f =故切线方程为：()112y x =-，即210x y --= 故答案为：210x y --=【点睛】本题考查了切线方程，意在考查学生的计算能力.14.一种药在病人血液中的量保持1500mg 以上才有疗效；而低于500mg 病人就有危险.现给某病人静脉注射了这种药2500mg ，如果药在血液中以每小时20％的比例衰减，为了充分发挥药物的利用价值，那么从现在起经过______小时向病人的血液补充这种药，才能保持疗效.（附：lg 20.3010≈，lg30.4771≈，精确到0.1h ） 【答案】2.3 【解析】 【分析】先设未知数，再根据题意列出不等式，整理得出指数不等式，再利用指数函数的单调性、指对关系、换底公式和对数的运算性质以及条件进行求解.【详解】设应在病人注射这种药经过x 小时后再向病人的血液补充这种药， 则血液中的含药量y 与注射后的时间x 的关系式为：()002500120xy =-，依题意，可得()0025001201500x-≤，整理可得4355x⎛⎫≤ ⎪⎝⎭， 所以445543log log 55x⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，即453log 5x ≥， 由485106lg36lg 61lg 2lg3110log log 2.38510lg813lg 21lg 10-+-====≈--， 所以 2.3x ≥.故在起经过2.3小时向病人的血液补充这种药，才能保持疗效. 故答案为：2.3【点睛】本题主要考查了建立拟合的函数模型求解实际问题，关键是能够通过已知关系建立起恰当的函数模型，通过函数模型构造不等式，属于基础题.15.柜子里有三双不同的鞋，随机取出两只，取出的鞋不成对的概率为_____________ 【答案】45【解析】 【分析】本题首先可根据题意得出一共有六只鞋，先任取一只，然后根据剩下的鞋中不能与第一只鞋配对的鞋有多少即可得出结果．【详解】柜子里有三双不同的鞋就是一共有六只鞋，先任取一只，然后剩余五只鞋中有四个与第一只是不成对的，故取出的鞋不成对的概率为45． 【点睛】本题考查的是概率的相关计算，在计算概率类的题目时，一定要能够明确题目给出的所有可能以及满足题意的可能性有多少种，考查推理能力，是简单题．16.已知,M N 为直线34100x y +-=上两点，O 为坐标原点，若3MON π∠=，则MON △的周长最小值为_____.【答案】【解析】 【分析】设 ,OM x ON y ==，利用三角形面积公式建立方程4xy =，根据基本不等式求解163xy ≥，在周长l x y =+中利用基本不等式即可求解. 【详解】设 ,OM x ON y ==，则222222cos60MN x y xy x y xy ︒=+-=+-，所以周长l x y =+， 设点O 到直线34100x y +-=的距离为d ， 则2d ==，由MON △的面积公式可得11sin 60222S xy ︒==⨯xy =当且仅当x y =时，等号成立， 解得163xy ≥所以l x y =+≥≥x y =时，等号成立. 因为等号能够同时取到，所以周长的最小值为故答案为：【点睛】本题主要考查了三角形面积公式的应用，基本不等式，考查了推理与运算能力，属于难题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.在ABC V 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，满足4,2a C B ==. （1）若2b =，求c ；（2）若ABC V 的面积为tan B .【答案】（1）c =（2）tan B = 【解析】【分析】（1）由2C B =利用二倍角公式得2cos c b B =g，再利用余弦定理即可求出c 的值； （2）对角C 分锐角和钝角两种情况讨论，分别求出tan B 的值，经验证C 为钝角不符合题意，所以3tan 3B =． 【详解】解：（1）2C B =Qsin sin 22sin cos C B B B ∴==2cos c b B ∴=⋅222cos 22c a c b B b ac+-==()2222ac b a c b ∴=+- ()2242164c c ∴=+-∴222(164)c =- ∴212c = ∴23c =.（2）（i ）若C 为锐角，过A 作AH BC ⊥于H ， 设BC 边上的高为h ，1423,32ABC S h h =⋅⋅==V ， 设,4BH x HC x ==-，tan ,tan ,24h h B C C B x x ===-，22tan tan tan 21tan B C B B ==- 2241hh x x h x ⋅=-⎛⎫- ⎪⎝⎭，23412x x ⎛⎫-∴-=⋅ ⎪⎝⎭，则3x = 3tan B =.（ii）若C为钝角，过A作AH BC⊥的延长线于H，设,3CH x AH h===，tan,tan()tan4h hB C Cx xπ=-==-+，∴由tan tan2C B=知22414hh xx hx⋅+-=⎛⎫- ⎪+⎝⎭223104(4)xx x∴+-=++，而0x>x\无解，因此C为钝角不符合题意.综上所述，3tan3B=.【点睛】本题主要考查了三角函数的二倍角公式，以及余弦定理，属于中档题．18.如图，在三棱柱111ABC A B C-中，侧面11ACC A是边长为4的菱形，且13A ACπ∠=，面11ACC A⊥面1,,4ABC A A BC BC⊥=.（1）求证：BC⊥面11ACC A；（2）求二面角1A AB C--的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）77【解析】 【分析】（1）在菱形11ACC A 中，过1A 点作1A H AC ⊥于H ，则1A H BC ⊥，再由1A A BC ⊥，能证明BC ⊥平面11AC CA ．（2）连结1AC ，设11AC A C M =I ，则BC AM ⊥，AM ⊥面1A BC ，1AM A B ⊥，过点M 作1MN A B ⊥于点N ，连结AN ，则1A B ⊥平面AMN ，1A B AN ⊥，从而MNA ∠为二面角1A A B C --的平面角，由此能求出二面角1A A B C --的余弦值．【详解】解：（1）在菱形11ACC A 中，过1A 点作1A H AC ⊥于H ， 因为平面11AC CA ⊥平面ABC ， 面11AC CA ⋂面ABC AC =，所以1A H ⊥平面ABC ，BC ⊂面ABC ， 从而1A H BC ⊥，而1A A BC ⊥，111A A A H A =I ，1AA ⊂平面11AC CA ，1A H ⊂平面11AC CA 所以BC ⊥平面11AC CA（2）在菱形11AC CA 中，连接1AC ，11AC AC ⊥∴，设11AC AC M ⋂=， 因BC ⊥平面11AC CA ，AM ⊂平面11AC CA ，所以BC AM ⊥，因为1AC BC C =I ，BC ⊂面1A BC ，1AC ⊂面1A BC ， 所以AM ⊥面1A BC ，1A B ⊂面1A BC ，1AM A B ∴⊥过点M 作1MN A B ⊥于点N ，连接AN ，则1A B ⊥平面AMN ，1A B AN ∴⊥所以MNA ∠为二面角1A A B C --的平面角，设大小为θ， 在Rt ACB V 中，M 到1A B 距离是C 到1A B 距离的12， 在1A CB V 中，14BC CA ==，且12A CB π∠=，所以2MN =，则23tan 62AM MN θ===，故cos 7θ= 所以二面角1A A B C --的余弦值为77.【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．19.已知()11,0F -，()21,0F 为椭圆()2222:10x ya b a bΓ+=>>的左右焦点，过2F 的直线交椭圆于A ，B 两点，1F AB V 的周长为8. （1）求椭圆Γ的标准方程；（2）已知()()000,0P x y y ≠是直线:4l x =上一动点，若PA ，PB 与x 轴分别交于点(),0M M x ，(),0N N x ，则1111M N x x +--是否为定值，若是，求出该定值，若不是，请说明理由. 【答案】（1）22143x y +=（2）是定值；定值为23【解析】 【分析】（1）由条件得出1c =，48a =即可（2）设直线AB 的方程为1x ty =+，()11,A x y ，()22,B x y ，()04,P y ，联立直线与椭圆的方程消元，然后韦达定理可得122634t y y t -+=+，122934y y t -=+，然后算出101014,0x y y M y y ⎛⎫- ⎪-⎝⎭，202014,0x y y N y y ⎛⎫- ⎪-⎝⎭，然后算出112=113M N x x +--即可 【详解】（1）依题意1c =，由椭圆的定义可得1F AB V 的周长为48a =，即2a =，所以b ==故椭圆的方程为22143x y +=.（2）设直线AB 的方程为1x ty =+，()11,A x y ，()22,B x y ，()04,P y ，由221143x ty x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2234690t y ty ++-=，显然>0∆，则122634t y y t -+=+，122934y y t -=+， 直线()1001:44y y PA y y x x --=⋅--，令0y =得101014x y y x y y -=-， 即101014,0x y y M y y ⎛⎫- ⎪-⎝⎭，同理202014,0x y y N y y ⎛⎫- ⎪-⎝⎭， ()()01110101011010101011334311M y x y y ty x y y y ty y x y y y y y y y y ------=-===----，同理：()200231N y ty x y y --=-，于是：()120010*******111121133M N y y y y y y y x x ty y y ty y y ⎡⎤+⎛⎫--+=+=-⎢⎥ ⎪----⎝⎭⎣⎦2000026112234229333334t t t y y ty ty t -⎡⎤⎢⎥⎛⎫+=⋅-=-=⎢⎥ ⎪---⎝⎭⎢⎥+⎣⎦所以112113M N x x +=--为定值.【点睛】涉及椭圆的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体带入”等解法.20.一种新的验血技术可以提高血液检测效率.现某专业检测机构提取了(6)n n …份血液样本，其中只有1份呈阳性，并设计了如下混合检测方案：先随机对其中(3)n -份血液样本分别取样，然后再混合在一起进行检测，若检测结果为阴性，则对另外3份血液逐一检测，直到确定呈阳性的血液为止；若检测结果呈阳性，测对这(3)n -份血液再逐一检测，直到确定呈阳性的血液为止.（1）若6n =，求恰好经过3次检测而确定呈阳性的血液的事件概率；（2）若8n …，宜采用以上方案检测而确定呈阳性的血液所需次数为ξ， ①求ξ的概率分布； ②求E ξ.【答案】（1）23（2）①详见解析②23142n n n-+【解析】 【分析】（1）不论第一次检测结果如何，都要对含有2阴1阳得血液样本进行逐一检测，故第2次和第3次检测的都是阴性或者第2次检测的是阴性，第3次检测的是阳性，根据组合数公式和古典概型的概率公式计算概率； （2）根据组合数公式和古典概型的概率公式依次计算2ξ=，3，4，⋯，3n -的概率，得出分布列和数学期望．【详解】解：（1）在6n =时，恰好在第三次时检测出呈阳性血液，说明其中三份血液中的其中一份呈阳性，并且对含阳性血液的一组进行检测时，前两次检测出血液为阴性，或第一次为阴性第二次为阳性.32111521213211163132223C C C C C P C C C C C ⎛⎫=⋅+⋅= ⎪⎝⎭（2）①在8n ≥时，313111113131332(2)n n n n n n n C C C C P C C C C n ξ-----==⋅+⋅=211111311112121141311113113232343(3)n n n n n n n C C C C C C C C C P C C C C C C C C n ξ-----⎛⎫==⋅++⋅= ⎪⎝⎭ 321141321351(4)n n n n n C C C P C C C n ξ----==⋅=⋅同理，当44k n ≤≤-时，3211413213(3)(2)1()k n n k n n n k C C C P k C C C nξ--------⋅==⋅= 341141341312(3)2n n n n n n C C C P k C C C nξ-----=-=⋅⋅= ξ∴的分布列为：②2311122345(4)(3)E n n n n n n n n ξ=⋅+⋅+⋅+⋅+⋯+-⋅+-⋅ 23142n n n-+= 【点睛】本题考查了离散型随机变量的概率计算，离散型随机变量及其分布列与期望的计算，属于中档题． 21.已知函数()ln cos f x x x =+.（1）讨论()f x 在(0,)π极值点个数；（2）证明：不等式()0f x >在,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭恒成立. 附：52ln 0.9624,ln 0.739363ππ⎛⎫⎛⎫≈≈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【答案】（1）有两个极值点（2）证明见解析；【解析】【分析】（1）求出函数的导函数，分0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，5,26x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦以及5,6x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，判断函数的单调性，进而得出极值点情况；（2）分526x ππ<…，56πx π<<，结合零点存在性定理以及放缩思想得证． 【详解】解：（1）由()ln cos f x x x =+，求导数1sin ()x x f x x'-=，设()1sin g x x x =-①在0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，则(0)1,1022g g ππ⎛⎫==-< ⎪⎝⎭()(sin cos )0g x x x x '=-+<，知()g x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭递减， ∴存在10,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭使得()10g x = 在()10,x x ∈时，1sin ()0x x f x x '-=>，在1,2x x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，1sin ()0x x f x x'-=< 1x ∴为()f x 的极大值点. ②在5,26x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，1sin 12x ≤≤有55sin min sin ,sin 12266x x ππππ⎧⎫≥>⎨⎬⎩⎭1sin ()0x x f x x '-=<在5,26ππ⎛⎫⎪⎝⎭上恒成立，()f x 在5,26ππ⎛⎫⎪⎝⎭上递减()f x ∴此时无极值. ③在5,6x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，5100,()062f f πππ''-⋅⎛⎫<=> ⎪⎝⎭21()cos 0f x x x ''⎛⎫=-+> ⎪⎝⎭，在5,6ππ⎛⎫⎪⎝⎭上恒成立.()f x '∴在5,6ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上递增， 因此存在唯一25,6x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()20f x '= 在25,6x π⎛⎫⎪⎝⎭时，()0f x '<，在()2,x π时，()0f x '>2x ∴为()f x 极小值点.综合讨论()f x 在(0,)π有两个极值点.（2）令()cos ln f x x x =+，则11sin ()sin x xf x x x x '-=-+= ①若526x ππ<≤时，1sin 12x ≤<，而55sin min sin ,sin 12266x x ππππ⎧⎫>>⎨⎬⎩⎭所以1sin ()0x x f x x '-=<，()f x 在5,26ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦递减，所以555()cos ln 0.962406662f x f πππ⎛⎫>=+=-+> ⎪⎝⎭②若56πx π<<，1sin ()x x f x x '-=，5115620566f πππ'-⋅⎛⎫=< ⎪⎝⎭，10()02f ππ'-⋅=> 当5,6x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，21()cos 0f x x x ''⎛⎫=-+> ⎪⎝⎭，则()f x '在5,6ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭递增， 所以存在唯一05,6x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭使得00sin 1x x =， 当05,6x x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0,()f x f x '<递减；当()0,x x π∈时，()0,()f x f x '>递增， 故()min 0000()cos ln ln f x f x x x x ==+=-下面证明：221ln 1x x +>在56πx π<<上恒成立 记222121()ln ,()ln m x x m x x x x x '⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，251ln ln 0.96,0.146x xπ>>< 则()0m x '>，所以()m x 在5,6ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭递增， 于是22551()ln 0.920.14 1.0616656m x m πππ⎛⎫>=+=+=> ⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭，从而可知0ln 0x ->， 综合①②可知cos ln 0x x +>在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上恒成立. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值点个数以及不等式的恒成立问题，考查分类讨论思想，转化思想，考查运算求解能力，综合性较强，属于难题．（二）选考题：共10分.请考生从第22、23题中任选一题做答.并用2B 铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分.22.在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为2cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 参数，α为常数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2sin12θρ=. （1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）设直线l 与曲线C 的交点为P ，Q 两点，曲线C 和x 轴交点为A ，若APQ V 面积为，求tan α的值.【答案】（1）244y x =+（2）tan 3α=±【解析】【分析】（1）由2sin 12θρ⋅=得1cos 12θρ-⋅=2x =+即可 （2）将直线的参数方程化为()2y k x =-，tan k α=，然后联立直线与曲线C 的方程消元可得24120y y k--=，然后算出12y y -，然后由APQ V 的面积即可得出答案. 【详解】（1）由2sin 12θρ⋅=得1cos 12θρ-⋅=，所以cos 2ρρθ-=2x =+，所以244y x =+.（2）由2cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩，消去参数t 得到tan 2y k x α==-， 所以()2y k x =-，tan k α=，244y x =+与x 轴交点为()1,0A -，由()2442y x y k x ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩，得24120y y k --=，记1t k=，则24120y ty --=，12y y -==，APQ V 面积1211322S AM y y =⋅⋅-=⋅⋅==，所以t =3k =±，所以tan 3α=±. 【点睛】涉及曲线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体带入”等解法.23.已知正数a ，b ，c 满足1a b c ++=.求证：（1）14ab <； （2）31112a b c a b c ++≥---. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；【解析】【分析】（1）根据正数加法的性质，结合基本不等式进行证明即可；（2）运用分析法，结合已知等式的变形、三个正数的均值不等式进行证明即可.【详解】（1）因为a ，b ，c 为正数，且1a b c ++=，所以1a b +<，2124a b a b ab +⎛⎫+≥≤< ⎪⎝⎭，故14ab <. （2）分析法：要证：31112a b c a b c ++≥---， 只需要证：111331112a b c ⎛⎫-+++≥ ⎪---⎝⎭， 即要证：11191112a b c ++≥---， 即要证：()()()1111119111a b c a b c ⎛⎫⎡⎤-+-+-++≥⎪⎣⎦---⎝⎭，①而()()()111a b c -+-+-≥111111a b c ++≥--- 将②③两式相乘，即得待证的①式.以上每步均可逆，所以原不等式得证.【点睛】本题考查了已知等式证明不等式问题，考查了基本不等式的应用，考查了用分析法证明不等式，正确的代数式和等式的变形是证明的关键.。
2020届湖北省武汉中学高三下学期二模考试数学(理)试卷及解析
2020届湖北省武汉中学高三下学期二模考试数学（理）试卷★祝考试顺利★(解析版)（考试时间：120分钟 满分：150分）注意事项1.答题前,务必在答题卡和答题卷规定的地方填写自己的姓名、准考证号和座位号后两位.2.答第Ⅰ卷时,每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.3.答第Ⅱ卷时,必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卷上书写,要求字体工整、笔迹清晰.作图题可先用铅笔在答题卷规定的位置绘出,确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚,必须在题号所指示的答题区域作答,超出答题区域书写的答案无效,在试题卷、草纸上答题无效.第Ⅰ卷（满分60分）一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,满分60分.在每小题给出的四个选项中,只一项是符合题目要求的.1.已知集合A ={x |x <1},B ={x |31x <},则A. {|0}A B x x =<B. A B R =C. {|1}A B x x =>D. A B =∅【答案】A【解析】∵集合{|31}x B x =<∴{}|0B x x =<∵集合{|1}A x x =<∴{}|0A B x x ⋂=<,{}|1A B x x ⋃=<故选A2.已知函数1()3()3x x f x =-,则()f x A. 是奇函数,且在R 上是增函数B. 是偶函数,且在R 上是增函数C. 是奇函数,且在R 上是减函数D. 是偶函数,且在R 上是减函数【答案】A 分析：讨论函数()133xx f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的性质,可得答案. 详解：函数()133xx f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的定义域为R ,且()()111333,333x x x x x x f x f x --⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=-+=--=-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ 即函数()f x 是奇函数, 又1y 3,3xx y ⎛⎫==- ⎪⎝⎭在R 都是单调递增函数,故函数()f x 在R 上是增函数． 故选A. 3.z 是z 的共轭复数,若()2,2(z z z z i i +=-=为虚数单位) ,则z =（ ）A. 1i +B. 1i --C. 1i -+D. 1i - 【答案】D 【详解】试题分析：设,,,z a bi z a bi a b R =+=-∈,依题意有22,22a b =-=, 故1,1,1a b z i ==-=-.4.已知当[0,1]x ∈ 时,函数2(1)y mx =- 的图象与y m = 的图象有且只有一个交点,则正实数m 的取值范围是A. (0,1])⋃+∞B. (0,1][3,)⋃+∞C. )⋃+∞D. [3,)⋃+∞ 【答案】B【解析】当01m <≤时,11m≥ ,2(1)y mx =- 单调递减,且22(1)[(1),1]y mx m =-∈-,y m =单调递增,且[,1]y m m m =+∈+ ,此时有且仅有一个交点；当1m 时,101m << ,2(1)y mx =-在。
湖北省武汉中学2020届高三下学期第二次教学质量检测数学(理)试题 Word版含解析
武汉中学2020年高三第二次教学质量检测数学试题（理科）（考试时间：120分钟 满分：150分）注意事项1.答题前，务必在答题卡和答题卷规定的地方填写自己的姓名、准考证号和座位号后两位.2.答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.3.答第Ⅱ卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卷上书写，要求字体工整、笔迹清晰.作图题可先用铅笔在答题卷规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚，必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草纸上答题无效.第Ⅰ卷（满分60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只一项是符合题目要求的.1.已知集合A ={x |x <1}，B ={x |31x <}，则 A. {|0}A B x x =< B. A B R = C. {|1}AB x x =>D. AB =∅【答案】A 【解析】∵集合{|31}xB x =< ∴{}|0B x x =< ∵集合{|1}A x x =<∴{}|0A B x x ⋂=<，{}|1A B x x ⋃=< 故选A2.已知函数1()3()3x xf x =-，则()f xA. 是奇函数，且在R 上是增函数B. 是偶函数，且在R 上是增函数C. 是奇函数，且在R 上是减函数D. 是偶函数，且在R 上是减函数【答案】A【解析】分析：讨论函数()133xx f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的性质，可得答案. 详解：函数()133xxf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的定义域为R ，且()()111333,333xxx xxx f x f x --⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=-+=--=-⎢⎥ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦即函数()f x 是奇函数，又1y 3,3xxy ⎛⎫==- ⎪⎝⎭在R 都是单调递增函数，故函数()f x 在R 上是增函数．故选A.点睛：本题考查函数的奇偶性单调性，属基础题.3.z 是z 的共轭复数，若()2,2(z z z z i i +=-=为虚数单位) ，则z =（ ） A. 1i + B. 1i --C. 1i -+D. 1i -【答案】D 【解析】【详解】试题分析：设,,,z a bi z a bi a b R =+=-∈，依题意有22,22a b =-=， 故1,1,1a b z i ==-=-. 考点：复数概念及运算．【易错点晴】在复数四则运算上,经常由于疏忽而导致计算结果出错.除了加减乘除运算外,有时要结合共轭复数的特征性质和复数模的相关知识,综合起来加以分析.在复数的四则运算中,只对加法和乘法法则给出规定,而把减法、除法定义为加法、乘法的逆运算.复数代数形式的运算类似多项式的运算,加法类似合并同类项;复数的加法满足交换律和结合律,复数代数形式的乘法类似多项式乘以多项式,除法类似分母有理化;用类比的思想学习复数中的运算问题.4.已知当[0,1]x ∈ 时，函数2(1)y mx =- 的图象与y m = 的图象有且只有一个交点，则正实数m 的取值范围是 A. (0,1])⋃+∞B. (0,1][3,)⋃+∞C. )⋃+∞D. [3,)⋃+∞【答案】B 【解析】 当01m <≤时，11m≥ ，2(1)y mx =- 单调递减，且22(1)[(1),1]y mx m =-∈-，y m =单调递增，且[,1]y m m m =+∈+ ，此时有且仅有一个交点；当1m 时，101m<< ，2(1)y mx =-在1[,1]m 上单调递增，所以要有且仅有一个交点，需2(1)13m m m -≥+⇒≥ 选B.【名师点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．5.若函数()y f x =的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称()y f x =具有T 性质．下列函数中具有T 性质的是（ ）A. sin y x =B. ln y x =C. xy e =D. 3y x =【答案】A 【解析】 【分析】若函数y ＝f （x ）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则函数y ＝f （x ）的导函数上存在两点，使这点的导函数值乘积为﹣1，进而可得答案．【详解】解：函数y ＝f （x ）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直， 则函数y ＝f （x ）的导函数上存在两点，使这点的导函数值乘积为﹣1， 当y ＝sin x 时，y ′＝cos x ，满足条件； 当y ＝lnx 时，y ′1x=＞0恒成立，不满足条件； 当y ＝e x 时，y ′＝e x ＞0恒成立，不满足条件； 当y ＝x 3时，y ′＝3x 2＞0恒成立，不满足条件； 故选A ．考点：导数及其性质.6.若3cos()45πα-=，则sin 2α=（ ） A. 725 B. 15C. 15-D. 725-【答案】D 【解析】试题分析：2237cos 22cos 12144525ππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，且cos 2cos 2sin 242ππααα⎡⎤⎛⎫⎡⎤-=-=⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦，故选D.【考点】三角恒等变换【名师点睛】对于三角函数的给值求值问题，关键是把待求角用已知角表示： （1）已知角为两个时，待求角一般表示为已知角的和或差．（2）已知角为一个时，待求角一般与已知角成“倍的关系”或“互余、互补”关系．7.已知曲线C 1：y =cos x ，C 2：y =sin (2x +2π3)，则下面结论正确的是( ) A. 把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B. 把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C. 把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D. 把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2 【答案】D 【解析】把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到函数y=cos2x 图象，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到函数y=cos2（x+π12）=cos（2x+π6）=sin（2x+2π3）的图象，即曲线C2，故选D．点睛：三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母x而言. 函数sin()()y A x x Rωϕ=+∈是奇函数π()k k Zϕ⇔=∈；函数sin()()y A x x Rωϕ=+∈是偶函数ππ+()2k k Zϕ⇔=∈；函数cos()()y A x x Rωϕ=+∈是奇函数ππ+()2k k Zϕ⇔=∈；函数cos()()y A x x Rωϕ=+∈是偶函数π()k k Zϕ⇔=∈.8.设x，y满足约束条件2330233030x yx yy+-≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩则z＝2x＋y的最小值是（）A. －15B. －9C. 1D. 9【答案】A【解析】【分析】作出不等式组表示的可行域，平移直线z＝2x＋y，当直线经过B（－6，－3）时，取得最小值.【详解】作出不等式组表示的可行域，结合目标函数的几何意义得函数在点B（－6，－3）处取得最小值z min＝－12－3＝－15.故选：A【点睛】此题考查二元一次不等式组表示平面区域，解决线性规划问题，通过平移目标函数表示的直线求得最值.9.已知F为抛物线2:4C y x=的焦点，过F作两条互相垂直的直线12,l l，直线1l与C交于A B 、两点，直线2l 与C 交于D E 、两点，则|||||AB DE +的最小值为（ ）A. 16B. 14C. 12D. 10【答案】A 【解析】 【分析】根据12l l ⊥，要使|||||AB DE +最小，则A 与D ，B 与E 关于x 轴对称，即直线2l 的斜率为1时，取得最小值.【详解】解法一：如图所示因为12l l ⊥，直线1l 与C 交于A B 、两点，直线2l 与C 交于D E 、两点，要使||||AB DE +最小，则A 与D ，B 与E 关于x 轴对称，即直线2l 的斜率为1， 又直线2l 过点()1,0，所以直线2l 的方程为1y x =-，联立方程组241y x y x ⎧=⎨=-⎩，得2440y y --=，12124,4y y y y +==-，所以128DE y y =-==，所以|||||AB DE +的最小值为16. 故选：A解法二：设AB 为(1)y k x =-，DE 为1(1)y x k=--．分别代入抛物线方程得：2222(24)0k x k k -++=⋯（1），22(24)10x k x -++=⋯（2）．由于21234242()2()44482416AB DE x x x x k k +=+++++=+++>=+⨯=．此时2244k k =，1k =或1k =-， 故选：A ．【点睛】本题主要考查抛物线的几何性质直线与抛物线的位置关系，弦长公式等，还考查了运算求解的能力，属于中档题.10.若2x =-是函数21()(1)x f x x ax e -=+-的极值点，则()f x 的极小值为（ ）．A. 1-B. 32e --C. 35e -D. 1【答案】A 【解析】由题可得()()()()121212121x x x f x x a e x ax e x a x a e ---⎡⎤=+++-=+++-⎣⎦'，因为()20f '-=，所以1a =-，()()211x f x x x e-=--，故()()212x f x x x e--'=+，令()0f x '>，解得2x <-或1x >，所以()f x 在()(),2,1,-∞-+∞上单调递增，在()2,1-上单调递减， 所以()f x 的极小值为()()1111111f e-=--=-，故选A ．【名师点睛】（1）可导函数y ＝f (x )在点x 0处取得极值的充要条件是f ′(x 0)＝0，且在x 0左侧与右侧f ′(x )的符号不同；（2）若f (x )在(a ，b )内有极值，那么f (x )在(a ，b )内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值． 11.已知函数211()2()x x f x x x a ee --+=-++有唯一零点，则a =A. 12-B.13C.12D. 1【答案】C 【解析】函数()f x 的零点满足()2112e e x x x x a --+-=-+，设()11eex x g x --+=+，则()()21111111e 1eeee e x x x x x x g x ---+----'=-=-=， 当()0g x '=时，1x =；当1x <时，()0g x '<，函数()g x 单调递减； 当1x >时，()0g x '>，函数()g x 单调递增， 当1x =时，函数()g x 取得最小值，为()12g =.设()22h x x x =-，当1x =时，函数()h x 取得最小值，为1-，若0a ->，函数()h x 与函数()ag x -没有交点；若0a -<，当()()11ag h -=时，函数()h x 和()ag x -有一个交点， 即21a -⨯=-，解得12a =.故选C. 【名师点睛】利用函数零点的情况求参数的值或取值范围的方法： （1）利用零点存在性定理构建不等式求解. （2）分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.（3）转化为两个熟悉的函数图像的上、下关系问题，从而构建不等式求解.12.在矩形ABCD 中，AB=1，AD=2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP =λAB +μAD ，则λ+μ的最大值为A. 3D. 2【答案】A 【解析】如图所示，建立平面直角坐标系.设()()()()()0,1,0,0,2,0,2,1,,A B C D P x y , 易得圆的半径5r =，即圆C 的方程是()22425x y -+=， ()()(),1,0,1,2,0AP x y AB AD =-=-=，若满足AP AB AD λμ=+， 则21x y μλ=⎧⎨-=-⎩ ，,12x y μλ==-，所以12xy λμ+=-+，设12x z y =-+，即102x y z -+-=，点(),P x y 在圆()22425x y -+=上， 所以圆心(2,0)到直线102xy z -+-=的距离d r ≤21514z -≤+，解得13z ≤≤，所以z 的最大值是3，即λμ+的最大值是3，故选A.【名师点睛】（1）应用平面向量基本定理表示向量是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.（2）用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.第Ⅱ卷（非选择题 共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答.第（22）题、第（23）题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.第16题第一空2分，第二空3分.把答案填在答题卡上的相应位置.13.在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称.若1sin 3α=，则cos()αβ-=___________. 【答案】79-【解析】试题分析：因为α和β关于y 轴对称，所以2,k k Z αβππ+=+∈，那么1sin sin 3βα==，cos cos 3αβ=-=（或cos cos 3βα=-=）， 所以()2227cos cos cos sin sin cos sin 2sin 19αβαβαβααα-=+=-+=-=-.【考点】同角三角函数，诱导公式，两角差的余弦公式【名师点睛】本题考查了角的对称关系，以及诱导公式，常用的一些对称关系包含：若α与β的终边关于y 轴对称，则2,k k Z αβππ+=+∈ ，若α与β的终边关于x 轴对称，则2,k k Z αβπ+=∈，若α与β的终边关于原点对称，则π2π,k k αβ-=+∈Z .14.已知函数f （x ）＝23,12,1x x x x x x ⎧-+≤⎪⎨+>⎪⎩，设a ∈R ，若关于x 的不等式f(x)2x a ≥+在R 上恒成立，则a 的取值范围是__ 【答案】﹣4716≤a ≤2 【解析】 【分析】先求画出函数()f x 的图像，然后对2y x a =+的图像进行分类讨论，使得2y x a =+的图像在函数()f x 的图像下方，由此求得a 的取值范围.【详解】画出函数()f x 的图像如下图所示，而,22222xa x a x y a x a a ⎧+≥-⎪⎪=+=⎨⎛⎫⎪-+<- ⎪⎪⎝⎭⎩，是两条射线组成，且零点为2x a =-.将2xy a =+向左平移，直到和函数()f x 图像相切的位置，联立方程22xy a yxx⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩消去y并化简得2240x ax-+=，令判别式24160a∆=-=，解得2a=.将2xy a=+向右平移，直到和函数()f x图像相切的位置，联立方程223xy ay x x⎧⎛⎫=-+⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=-+⎩消去y并化简得2302xx a-++=，令判别式()14304a∆=-+=，解得4716a=-.根据图像可知47,216a⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦【点睛】本小题主要考查分段函数的图像与性质，其中包括二次函数的图像、对勾函数的图像，以及含有绝对值函数的图像，考查恒成立问题的求解方法，考查数形结合的数学思想方法以及分类讨论的数学思想方法，属于中档题.形如y ax b=+函数的图像，是,0ba⎛⎫- ⎪⎝⎭引出的两条射线.15.设抛物线22{2x pty pt==（0p>）的焦点为F，准线为l，过抛物线上一点A作l的垂线，垂足为B，设7 (,0)2C p，AF与BC相交于点E，若||2||CF AF=，且ACE∆的面积为32，则p的值为__________．【答案】6【解析】试题分析：抛物线的普通方程为22y px=，(,0)2pF，7322pCF p p=-=，又2CF AF=，则32AF p=，由抛物线的定义得32AB p=，所以Ax p=，则2Ay p=，由//CF AB得EF CFEA AB=，即2EF CFEA AF==，所以262CEF CEAS S==，92ACF AEC CFES S S=+=，所以132922p p⨯⨯=，解得6p=．【考点】抛物线定义【名师点睛】1．凡涉及抛物线上的点到焦点的距离时，一般运用定义转化为到准线的距离进行处理．2．若P（x0，y0）为抛物线y2＝2px（p＞0）上一点，由定义易得|PF|＝x0＋2p；若过焦点的弦AB的端点坐标为A（x1，y1），B（x2，y2），则弦长|AB|＝x1＋x2＋p，x1＋x2可由根与系数的关系整体求出；若遇到其他标准方程，则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到．16.如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱O1O2的体积为V1 ,球O的体积为V2，则12VV的值是_____【答案】32【解析】设球半径为r ，则213223423V r r V r π⨯==π．故答案为32． 点睛:空间几何体体积问题的常见类型及解题策略：①若给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解；②若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解．三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.已知函数()()22f x sin x cos x x cos x x R =--∈（I ）求2f 3π⎛⎫⎪⎝⎭的值 （II ）求()f x 的最小正周期及单调递增区间.【答案】（I ）2；（II ）()f x 的最小正周期是π，2+k +k k 63Z ππππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，. 【解析】 【分析】（Ⅰ）直接利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的值．（Ⅱ）直接利用函数的关系式，求出函数的周期和单调区间． 【详解】（Ⅰ）f （x ）＝sin 2x ﹣cos 2x -sin x cos x ， ＝﹣cos2x x ，＝﹣226sin x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则f （23π）＝﹣2sin （436ππ+）＝2， （Ⅱ）因为()2sin(2)6f x x π=-+．所以()f x 的最小正周期是π． 由正弦函数的性质得3222,262k x k k Z πππππ+≤+≤+∈， 解得2,63k x k k Z ππππ+≤≤+∈， 所以，()f x 的单调递增区间是2[,]63k k k ππ+π+π∈Z ，．【点睛】本题主要考查了三角函数的化简，以及函数的性质，是高考中的常考知识点，属于基础题，强调基础的重要性；三角函数解答题中，涉及到周期，单调性，单调区间以及最值等考点时，都属于考查三角函数的性质，首先应把它化为三角函数的基本形式即，然后利用三角函数的性质求解．18. 一盒中装有12个球，其中5个红球，4个黑球，2个白球，1个绿球．从中随机取出1球，求：(1)取出1球是红球或黑球的概率； (2)取出1球是红球或黑球或白球的概率．【答案】(1)取出1球为红球或黑球的概率为3.4(2)取出1球为红球或黑球或白球的概率为11.12【解析】试题分析：（1）由题意知本题是一个古典概型，试验包含的基本事件是从12个球中任取一球，满足条件的事件是取出的球是红球或黑球，根据古典概型和互斥事件的概率公式得到结果；（2）由题意知本题是一个古典概型，试验包含的基本事件是从12个球中任取一球，满足条件的事件是取出的一球是红球或黑球或白球，根据古典概型公式得到结果 试题解析：（1）由题意知本题是一个古典概型，试验包含的基本事件是从12个球中任取一球共有12种结果； 满足条件的事件是取出的球是红球或黑球共有9种结果， ∴概率为．（2）由题意知本题是一个古典概型，试验包含的基本事件是从12个球中任取一球共有12种结果； 满足条件的事件是取出的一球是红球或黑球或白球共有11种结果， ∴概率为．即取出的1球是红球或黑球的概率为；取出的1球是红球或黑球或白球的概率为．考点：等可能事件的概率19.（2017新课标全国Ⅲ理科）如图，四面体ABCD 中，△ABC 是正三角形，△ACD 是直角三角形，∠ABD =∠CBD ，AB =BD ．（1）证明：平面ACD ⊥平面ABC ；（2）过AC 的平面交BD 于点E ，若平面AEC 把四面体ABCD 分成体积相等的两部分，求二面角D –AE –C 的余弦值.【答案】（1）见解析；（2）77. 【解析】试题分析：（1）利用题意证得二面角的平面角为90°，则可得到面面垂直；（2）利用题意求得两个半平面的法向量，然后利用二面角的夹角公式可求得二面角D –AE –C 7. 试题解析：（1）由题设可得，ABD CBD ≌△△，从而AD DC =. 又ACD 是直角三角形，所以=90ADC ∠︒. 取AC 的中点O ，连接DO ,BO ,则DO ⊥AC ,DO =AO . 又由于ABC 是正三角形，故BO AC ⊥. 所以DOB ∠为二面角D AC B --的平面角. 在Rt AOB 中，222BO AO AB +=.又AB BD =，所以222222BO DO BO AO AB BD +=+==， 故90DOB ∠=. 所以平面ACD ⊥平面ABC .（2）由题设及（1）知，,,OA OB OD 两两垂直，以O 为坐标原点，OA 的方向为x 轴正方向，OA 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -.则()()()()1,0,0,0,3,0,1,0,0,0,0,1A B C D -.由题设知，四面体ABCE 的体积为四面体ABCD 的体积的12，从而E 到平面ABC 的距离为D 到平面ABC 的距离的12，即E 为DB 的中点，得31,22E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭. 故()()311,0,1,2,0,0,1,22AD AC AE ⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭. 设(),,n x y z =是平面DAE 的法向量，则00n AD n AE ⎧⋅=⎨⋅=⎩，，即0,310.22x z x y z -+=⎧⎪⎨-++=⎪⎩可取31,3⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭n .设m 是平面AEC 的法向量，则00m AC m AE ⎧⋅=⎨⋅=⎩，，同理可取(0,3=-m .则7cos ,⋅==n m n m n m . 所以二面角D -AE -C 7. 【名师点睛】（1）求解本题要注意两点：一是两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，二是利用方程思想进行向量运算时，要认真细心，准确计算.（2）设m ，n 分别为平面α，β的法向量，则二面角θ与,m n 互补或相等，故有cos cos ,m nm n m nθ⋅==.求解时一定要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角. 20.如图，已知抛物线2x y =.点A 1139-2424B ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，抛物线上的点P （x,y ）13-x 22⎛⎫ ⎪⎝⎭＜＜,过点B 作直线AP 的垂线，垂足为Q（I ）求直线AP 斜率的取值范围； （II ）求PA?PQ 的最大值 【答案】（I ）（-1，1）；（II ）2716. 【解析】试题分析：本题主要考查直线方程、直线与抛物线的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力．满分15分． （Ⅰ）由斜率公式可得AP 的斜率为12x -，再由1322x -<<，得直线AP 的斜率的取值范围；（Ⅱ）联立直线AP 与BQ 的方程，得Q 的横坐标，进而表达||PA 与||PQ 的长度，通过函数3()(1)(1)f k k k =--+求解||||PA PQ ⋅的最大值．试题解析：（Ⅰ）设直线AP 的斜率为k ，2114122x k x x -==-+， 因为1322x -<<，所以直线AP 斜率的取值范围是(1,1)-．（Ⅱ）联立直线AP 与BQ 的方程110,24930,42kx y k x ky k ⎧-++=⎪⎪⎨⎪+--=⎪⎩解得点Q 的横坐标是22432(1)Q k k x k -++=+．因为|PA1)2x +1)k +， |PQ2)Q x x -=所以3(1)(1)k k PA PQ ⋅--+=． 令3()(1)(1)f k k k =--+， 因为2'()(42)(1)f k k k =--+，所以 f (k )在区间1(1,)2-上单调递增，1(,1)2上单调递减， 因此当k =12时，||||PA PQ ⋅取得最大值2716． 【名师点睛】本题主要考查直线方程、直线与抛物线的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力，通过表达||PA 与||PQ 的长度，通过函数3()(1)(1)f k k k =--+求解||||PA PQ ⋅的最大值．21.已知函数(),nf x nx x x R =-∈，其中*,2n N n ∈≥.（Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）设曲线()y f x =与x 轴正半轴的交点为P ，曲线在点P 处的切线方程为()y g x =,求证：对于任意的正实数x ，都有()()f x g x ≤；（Ⅲ）若关于x 的方程()=a(a )f x 为实数有两个正实根12x x ，，求证：21-21ax x n<+- 【答案】（Ⅰ） 当n 为奇数时，()f x 在(,1)-∞-，(1,)+∞上单调递减，在(1,1)-内单调递增；当n 为偶数时，()f x 在(,1)-∞-上单调递增，()f x 在(1,)+∞上单调递减. （Ⅱ）见解析； （Ⅲ）见解析. 【解析】（Ⅰ）由()nf x nx x =-，可得，其中*n N ∈且2n ≥， 下面分两种情况讨论： （1）当n 为奇数时：令()0f x '=，解得1x =或1x =-，当x 变化时，(),()f x f x '的变化情况如下表：x(,1)-∞-(1,1)-(1,)+∞()f x ' -+-()f x所以，()f x 在(,1)-∞-，(1,)+∞上单调递减，在(1,1)-内单调递增. （2）当n 为偶数时，当()0f x '>，即1x <时，函数()f x 单调递增； 当()0f x '<，即1x >时，函数()f x 单调递减.所以，()f x 在(,1)-∞-上单调递增，()f x 在(1,)+∞上单调递减. （Ⅱ）证明：设点P 的坐标为0(,0)x ，则110n x n-=，20()f x n n '=-，曲线()y f x =在点P处的切线方程为()00()y f x x x =-'，即()00()()g x f x x x '=-，令()()()F x f x g x =-，即，则0()()()F x f x f x -'''=由于1()n f x nxn -'=-+在()0,+∞上单调递减，故()F x '在()0,+∞上单调递减，又因为0()0F x '=，所以当0(0,)x x ∈时，0()0F x '>，当0(,)x x ∈+∞时，0()0F x '<，所以()F x在0(0,)x 内单调递增，在0(,)x +∞内单调递减，所以对任意的正实数x 都有0()()0F x F x ≤=，即对任意的正实数x ，都有()()f x g x ≤.（Ⅲ）证明：不妨设12x x ≤，由（Ⅱ）知()()2()g x n nx x =--，设方程()g x a =的根为2x'，可得202.ax x n n'=+-，当2n ≥时，()g x 在(),-∞+∞上单调递减，又由（Ⅱ）知222()()(),g x f x a g x '≥==可得22x x '≤.类似的，设曲线()y f x =在原点处的切线方程为()y h x =，可得()h x nx =，当(0,)x ∈+∞，()()0n f x h x x -=-<，即对任意(0,)x ∈+∞，()().f x h x <设方程()h x a =的根为1x '，可得1ax n'=，因为()h x nx =在(),-∞+∞上单调递增，且111()()()h x a f x h x '==<，因此11x x '<.由此可得212101ax x x x x n''-<-=+-. 因为2n ≥，所以11112(11)111n n n C n n ---=+≥+=+-=，故1102n n x -≥=，所以2121ax x n-<+-. 考点：1.导数的运算；2.导数的几何意义；3.利用导数研究函数性质、证明不等式.请考生在第22、23题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时，请用2B 铅笔在答题卡上，将所选题号对应的方框涂黑. 选修4-4：坐标系与参数方程22.11,22x t y t⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t为参数）被曲线cos ,x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）所截得的弦长.【答案】2 【解析】 【分析】由cos ,x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩消去θ得到直角坐标方程，然后将11,22x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入曲线的直角坐标方程，再利用直线参数方程的几何意义求弦长.【详解】由cos ,x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩消去θ得2213y x +=，将11,22x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入2213y x +=并整理得：220t t -=， 解得120,2t t ==， 所截得的弦长为122t t -=【点睛】本题主要考查参数方程与直角坐标方程的转化，以及直线参数方程的几何意义，还考查了运算求解的能力，属于中档题.选修4-5：不等式选讲23.设0,0x y >>，已知1x y +=，求2223x y +的最小值. 【答案】65【解析】【分析】根据柯西不等式的性质求解.【详解】由柯西不等式得()()222222231x y x y ⎡⎤+⋅+≥=+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 所以226235x y +≥，当且仅当23x y =，即32,55x y ==时，取等号. 所以2223x y +的最小值为65【点睛】本题主要考查柯西不等式的性质，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于基础题.。
2020年湖北省高考数学(理科)模拟试卷(13)
（ α为参数），以原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
（ 1）求曲线 E 的极坐标方程；
1
1
（ 2）若直线 l 交 E 于点 A， B，且 OA⊥ OB，求证： |????2| + |????2| 为定值，并求出这个
定值．
五．解答题（共 1 小题）
23．已知函数 f（ x）＝ |2x﹣ a|+|x﹣ 1|（ a∈R）． （Ⅰ）当 a＝ 1 时，求不等式 f（ x）≥ 1 的解集； （Ⅱ）若存在 x∈R 满足不等式 f（ x）＜ 4，求实数 a 的取值范围．
第 4页（共 18页）
2020 年湖北省高考数学（理科）模拟试卷（ 13）
参考答案与试题解析
一．选择题（共 12 小题，满分 60 分，每小题 5 分）
1．（ 5 分）设 i 为虚数单位，复数
??=
2+3??，则 ??
z 的共轭复数是（
A ．3﹣ 2i
B ．3+2 i
C．﹣ 3﹣2i
【解答】
解：∵
．
??- 2??- 2 ≤ 0
14．（ 5 分）若曲线 f（ x）＝mxex+n 在（ 1，f（1））处的切线方程为 y＝ ex，则 m+n＝
．
15．（ 5 分）从 2 名男生和 1 名女生中任选 2 名参加青年志愿者活动，则选中的恰好是一男
一女的概率为
．
16．（ 5 分）数列
{ an} 中， an 的极限存在，
（Ⅱ）若函数 f（ x）有一个大于 1 的零点，求实数 a 的取值范围；
（Ⅲ）若
f（x0）＝ 0，且
x0＞ 1，求证：
x0+1＞
2． ??
2020年湖北省高考数学(理科)模拟试卷(10)
22．（ 10 分）在直角坐标系 xOy 中，以原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴， 建立极坐标系，
椭圆 C 以极坐标系中的点（ 0，0）为中心、点（ 1，0）为焦点、（ √2 ，0）为一个顶点．直
线 l 的参数方程是
{????==
12??
?，?（
t
为参数）．
（Ⅰ）求椭圆 C 的极坐标方程；
（Ⅱ）若直线 l 与椭圆 C 的交点分别为 M（ x1， y1），N（ x2，y2），求线段 MN 的长度． 五．解答题（共 1 小题）
20
√145-1 C．
18
1+ √145 D．
18
第 2页（共 20页）
11．（5 分）已知函数 ??(??=) ?????-??√?3?????，?下??列命题：
① f（ x）关于点
(
??，0)
3
对称；
②
f（ x）的最大值为
2；
?? ③ f（ x）的最小正周期为 ； ④ f（ x）在区间（ 0， π）上递增．
5．（ 5 分）函数 f（ x） = ???????+?????22?0????在??[?﹣2π， 0）∪（ 0，2π] 上的图象大致为（
）
A． B． C．
D．
【解答】解：根据题意，函数 （f x）=
???????+?????22?0????，?则??有 ??(-??) =
??????(-??)(-??) 2??????(-??)
．
三．解答题（共 5 小题，满分 60 分，每小题 12 分）
17．（12 分） △ ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 acosC+ccosA+2bcosB＝ 0． （ 1）求 B；
2020年湖北省武汉二中高考数学全仿真试卷2(5月份) (含答案解析)
2020年湖北省武汉二中高考数学全仿真试卷2（5月份）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|(x+3)(2−x)>0}，B={x|(12)x≤4}，则()A. A∩B={x|−2<x<2}B. A∩B={x|−3<x<−2}C. A∪B={x|x≥−2}D. A∪B={x|x>−3}2.已知复数z1=1+7i，z2=−2−4i，则z1+z2等于()A. −1+3iB. −1+11iC. 3+3iD. 3+11i3.在数列{a n}中，若a2n=2a2n−2+1，a16=127，则a2的值为()A. −1B. 0C. 2D. 84.已知p：0<x<2，q：1x≥1，则￢p是￢q的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5.已知函数且a≠1)的最大值为1，则a的取值范围是()A. [12,1) B. (0,1) C. (0,12] D. (1,+∞)6.已知，则()A. a<b<cB. c<b<aC. c<a<bD. b<c<a7.如图是一棱锥的三视图，在该棱锥的侧面中，面积最大的侧面的面积为()A. 4B. √7C. 2D. √38.在如图所示的正方形ABCD内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是()A. 3π32B. 38C. π8D. 3π169. 已知△ABC 中，点D 满足AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则( )A. 点D 不在直线BC 上B. 点D 在BC 的延长线上C. 点D 在线段BC 上D. 点D 在CB 的延长线上10. 若函数在区间[−3π2,π2]上单调递增，则正数ω的最大值为( )A. 18B. 16C. 14D. 1311. 在▵ABC 中，若cosA =45,cosB =513,则sinC 的值是( )A. 1665B. 5665 C. 1665或5665 D. 636512. 关于不等式x 的不等式ax −2a >2x −lnx −4(a >0)的解集中有且仅含有两个整数，则实数a的取值范围是( )A. (ln3,2)B. [2−ln3,2)C. (0,2−ln3]D. (0,2−ln3)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 电视台组织中学生知识竞赛，共设有5个版块的试题，主题分别是：立德树人、我的中国梦、依法治国理念、中国优秀传统文化、创新能力.某参赛队从中任选2个主题作答，则“立德树人”主题被该队选中的概率是____．14. (x −1x )(2x +1x )5的展开式中，常数项为______． 15. 已知F 1、F 2分别是双曲线x 2a 2−y 2b 2=1的左右焦点，P 是双曲线上任意一点，|PF 2|2|PF 1|的最小值为8a ，则此双曲线的离心率e 的取值范围是______．16. 已知△ABC 是边长为2√3的正三角形，D 为BC 的中点，沿AD 将△ABC 折成一个大小为60°的二面角B −AD −C ，设O 为四面体ABCD 的外接球球心.则(1)球心O 到平面BCD 的距离为________；(2)球O 的体积为________．三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）17. △ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知sin 2A −2cos 2B+C 2=14．(1)求A的大小；(2)若a=6√3，b+c=18，求△ABC的内切圆的半径．18.为了对某地的降雨情况进行统计，气象部门对当地汛期连续9天内记录了其中100小时的降雨情况，得到每小时降雨情况的频率分布直方如图所示：若根据往年防汛经验，每小时降雨量在[75,90)时，要保持二级警戒，每小时降雨量在[90,100)时，要保持一级警戒．(l)若以每组的中点代表该组数据值，求这100小时内每小时的平均降雨量：(2)若从记录的这100小时中按照警戒级别采用分层抽样的方法抽取10小时进行深度分析．再从这10小时中随机抽取3小时，求抽取的这3小时中属于一级警戒时间的分布列与数学期望．19. 如图，AE ⊥平面ABCD ，CF//AE, AD//BC ，AD ⊥AB, AB =AD =1, AE =BC =2．(Ⅰ)求证：BF//平面ADE ；(Ⅱ)求直线CE 与平面BDE 所成角的正弦值；(Ⅲ)若二面角E −BD −F 的余弦值为13，求线段CF 的长．20. 如图，在由圆O ：x 2+y 2=1和椭圆C ：x 2a 2+y 2=1(a >1)构成的“眼形”结构中，已知椭圆的离心率为√63，直线l 与圆O 相切于点M ，与椭圆C 相交于两点A ，B ． (1)求椭圆C 的方程；(2)是否存在直线l ，使得OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2，若存在，求此时直线l 的方程；若不存在，请说明理由．21.已知函数f(x)=xlnx−12ax2−x+a2+1．(1)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为2x+y+b=0，求实数a，b的值；(2)令ℎ(x)=f′(x)，若函数ℎ(x)恰有两个零点，求实数a的取值范围．22.在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点、x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ，θ∈[0,π2]．(1)求曲线C的参数方程；(2)设点D在曲线C上，C在点D处的切线与直线l:y=√3x+2垂直，根据(1)中所得到的参数方程，确定点D的坐标．23.设函数f(x)=|x−2|+|2x−a|．(Ⅰ)当a=1时，求不等式f(x)≥3的解集；(Ⅱ)当f(x)=|x−a+2|时，求实数x的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：【分析】本题主要考查集合的运算，属于基础题．先解不等式化简集合A、B，再根据交集和并集的定义计算，即可得到答案．【解答】解：A={x|(x+3)(2−x)>0}={x|−3<x<2}，B={x|(12)x⩽4}={x|x≥−2}，所以A∪B={x|x>−3}；A∩B={x|−2≤x<2}故选D．2.答案：A解析：解：z1+z2=1+7i−2−4i=−1+3i，故选：A．利用复数的运算法则即可得出．本题考查了复数的运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.答案：B解析：解：由a2n=2a2n−2+1，得a2n+1=2(a2n−2+1)，即a2n+1a2n−2+1=2，∴数列{a2n+1}是以a2+1为首项，以2为公比的等比数列，则a16+1=(a2+1)⋅27，即(a2+1)=12827=1，∴a2=0．故选：B．由已知数列递推式可得，数列{a2n+1}是以a2+1为首项，以2为公比的等比数列，写出等比数列的通项公式，代入已知条件求得a2的值．本题考查数列递推式，考查了等比关系的确定，训练了等比数列的通项公式，是中档题．4.答案：A解析：解：条件q ：1x ≥1，即0<x ≤1￢p ：x ≥2或x ≤0，∴￢q ：x >1或x ≤0，∵(−∞,0]∪[2,+∞)⊂(−∞,0]∪(1，+∞)， ∴￢p 是￢q 成立的充分不必要条件． 故选A ．依集合的观点看，若A ⊆B ，则A 是B 的充分条件，B 是A 的必要条件；若A =B ，则A 是B 的充要条件．本题主要考查了命题的必要条件，充分条件与充要条件的判断，较为简单，要求掌握好判断的方法．是基础题．5.答案：A解析： 【分析】本题考查分段函数的最值问题以及指数函数和对数函数的单调性，对x 进行分类讨论，由最大值为1得到a 的取值范围，属中档题． 【解答】解：∵当x ≤2时，f (x )=x −1， ∴f (x )max =f (2)=2−1=1， ∵函数f(x)的最大值为1， ∴当x >2时，2+log a x ≤1. ∴{0<a <1log a 2≤−1， 解得12≤a <1． 故选A .6.答案：C解析： 【分析】本题考查指数函数和对数函数的性质，属于基础题．由指数函数和对数函数的性质，分别得出a ，b ，c 的范围即可求解．【解答】解： 因为a =(13)3<(13)0=1，且a >0， b =313>30=1，，所以c <a <b ． 故选C ．7.答案：B解析：解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以正视图为底面的四棱锥， 其直观图如下所示：EF 分别为边AB 和CD 的中点， 则面积最大的侧面为△VCD ， CD =2，VF =√3，VE =√7， 故△VCD 的面积S =√7， 故选：B ．由已知中的三视图可得：该几何体是一个以正视图为底面的四棱锥，画出直观图，判断出最大的侧面，计算可得答案．本题考查空间几何体的三视图，棱锥的侧面积，是基础题．8.答案：A解析： 【分析】本题考查了与面积有关的几何概型知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，属于基础题．把阴影部分拼起来就是此圆圆心角为所对应的扇形，求出此扇形面积，再利用几何概型的概率公式即可得解． 【解答】解：由图可知，阴影部分可以构成一个圆心角为135°的扇形， 则设圆半径为1，则阴影部分面积为，又正方形面积为2·2=4，∴在正方形ABCD 内随机取一点， 则此点取自阴影部分的概率是38π4=332π，故选A ．9.答案：B解析：解：如图，延长AC 到E ，使C 为AE 中点，延长BC 到D ，使C 为BD 中点， 连结AD 、BE 、DE ，∵△ABC 中，点D 满足AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴2AC⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AE ⃗⃗⃗⃗⃗ +ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴△ABC 中，点D 满足AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 则点D 在BC 的延长线上． 故选：B ．延长AC 到E ，使C 为AE 中点，延长BC 到D ，使C 为BD 中点，则2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AE ⃗⃗⃗⃗⃗ +ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，从而点D 在BC 的延长线上． 本题考查命题真假的判断，考查向量的加法法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．10.答案：B解析： 【分析】本题主要考查了函数的单调性与单调区间，正弦余弦函数图象的性质，属于基础题． 由在区间[−32π,π2]上单调递增，利用正弦函数的单调性能求出正数ω的最大值． 【解答】 解：，由函数f(x)在区间上单调递增，根据单调区间的对称性， ，即，结合ω>0，可得0<ω≤16， ∴正数ω的最大值为16． 故选B ．11.答案：D解析：在▵ABC 中，0<A <π,0<B <π，cosA =45，cosB =513，∴sinA =35，sinB =1213，所以sinC =sin[π−(A +B)]=sin(A +B)=sinAcosB +cosAsinB =35×513+45×1213=6365．12.答案：C解析： 【分析】本题主要考查了函数的单调性，图象，以及函数的交点，属于中档题，可作出图象进行分析． 由题意可知f(x)>0，即ax −2a >2x −lnx −4(a >0)． 设g(x)=2x −lnx −4，ℎ(x)=ax −2a ， 在同一坐标系中作出g(x)，ℎ(x)的图象， 可得{a >0ℎ(1)>g(1)ℎ(3)≤g(3)，由此求出a 的范围．【解答】解：由题意可知，ax −2a >2x −lnx −4，设g (x )=2x −lnx −4，ℎ(x )=ax −2a.由g′(x )=2−1x =2x−1x．可知g (x )=2x −lnx −4在(0,12)上为减函数，在(12,+∞)上为增函数，ℎ(x )=ax −2a 的图象恒过点(2,0)，在同一坐标系中作出g (x )，ℎ(x )的图象如下，若有且只有两个整数x 1，x 2，使得f (x 1)>0，且f (x 2)>0， 则{a >0ℎ(1)>g (1)ℎ(3)≤g (3)，即{a >0−a >−2a ≤2−ln3，解得0<a ≤2−ln3， 故选C ．13.答案：25解析： 【分析】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对立事件概率计算公式的合理运用． 先求出基本事件总数，由“立德树人”主题被该队选中的对立事件是从我的中国梦、依法治国理念、中国优秀传统文化、创新能力选两个主题，利用对立事件概率计算公式能求出“立德树人”主题被该队选中的概率． 【解答】解：电视台组织中学生知识竞赛，共设有5个版块的试题， 某参赛队从中任选2个主题作答，基本事件总数n =C 52=10，“立德树人”主题被该队选中的对立事件是从我的中国梦、依法治国理念、中国优秀传统文化、创新能力选两个主题，∴“立德树人”主题被该队选中的概率P =1−C 42C 52=25，故答案为25．14.答案：−40解析： 【分析】本题主要考查了二项式定理的应用问题，属于基础题．根据(x −1x )(2x +1x )5展开式中常数项是(2x +1x )5展开式中的1x 项与x 的乘积，加上x 项与−1x 的乘积；利用(2x +1x )5展开式的通项公式求出对应的项即可． 【解答】解：(x −1x )(2x +1x )5展开式中常数项是(2x+1x )5展开式中的1x项与x的乘积，加上x项与−1x的乘积；(2x+1x)5展开式的通项公式为T r+1=C5r⋅(2x)5−r⋅(1x)r=25−r⋅C5r⋅x5−2r，令5−2r=−1，解得r=3，∴T4=22×C53×1x =40x；令5−2r=1，解得r=2，∴T3=23×C52×x=80x；所求展开式的常数项为40 x ⋅x+80x⋅(−1x)=40−80=−40．故答案为−40．15.答案：(1,3]解析：解：由定义知：|PF1|−|PF2|=2a，|PF1|=2a+|PF2|，∴|PF2|2|PF1|=4a2|PF2|+4a+|PF2|≥8a，当且仅当4a 2|PF2|=|PF2|，即|PF2|=2a时取得等号设P(x0,y0)(x0≤−a)由焦半径公式得：|PF2|=−ex0−a=2a，∴ex0=−3ae=−3ax0≤3又双曲线的离心率e>1∴e∈(1,3]故答案为：(1,3]．由定义知：|PF1|−|PF2|=2a，|PF1|=2a+|PF2|，|PF2|2|PF1|=4a2|PF2|+4a+|PF2|≥8a，当且仅当4a2|PF2|=|PF2|，即|PF2|=2a时取得等号．再由焦半径公式得双曲线的离心率e>1的取值范围．本题考查双曲线的性质和应用，解题时要认真审题，注意焦半径公式的合理运用．16.答案：(1)32；(2)13√13π6解析：【分析】本题主要考查了棱锥的特征，球的体积公式，考查了二面角，属于中档题．(1)根据条件可知OE等于球心O到平面BCD的距离，取AD的中点F，可知OF⊥AD，故可求得OE= DF=12AD；(2)利用正弦定理求出DE，从而求出半径OD，利用球的体积公式可得答案．【解答】解：(1)如图，在四面体ABCD 中，AD ⊥DC ，AD ⊥DB ，平面ADC ∩平面ADB =AD ，DC 在平面ADC 内，DB 在平面ADB 内， 所以∠BDC 即为二面角B −AD −C 的平面角， 则∠BDC =60°．因为DB =DC =√3，则BC =√3． 设△BCD 的外心为E ，则OE ⊥平面BCD ．因为AD ⊥DC ，AD ⊥DB ，DC 、DB 为平面DCB 内两条相交直线， 所以AD ⊥平面BCD ，则OE//AD ．取AD 的中点F ，因为OA =OD ，则OF ⊥AD ， 所以OE =DF =12AD =32． (2)在正△BCD 中，由正弦定理，得．在Rt △OED 中，OD =√1+94=√132，所以V 球=43π·(√132)3=13√13π6．故答案为(1)32；(2)13√13π6．17.答案：解：(1)由sin 2A −2cos 2B+C 2=14，得4sin 2A −8cos 2B+C 2=1，即4sin 2A −8cos 2(π2−A2)=1，亦即4sin 2A −8sin 2A2=1， 所以4sin 2A +4(1−2sin 2A2)=5，即4cos 2A −4cos A +1=0， 所以cosA =12，从而A =π3；(2)由余弦定理结合(1)可知，a 2=(b +c)2−2bc(1+cos A)， 所以(6√3)2=182−2bc(1+12)，得bc =72. 所以S ▵ABC =12bcsinA =12×72×√32=18√3，故△ABC 的内切圆的半径r =2S ▵ABC a+b+c=√36√3+18=3(√3−1)．解析：本题考查余弦定理，三角形的面积公式，二倍角公式及其应用，诱导公式及同角三角函数的基本关系，属于中档题．(1)由诱导公式及同角三角函数的基本关系及二倍角公式化简可得4cos 2A −4cos A +1=0，解出cosA =12，即可求得角A ；(2)由余弦定理求得bc =72，再由三角形面积公式求得面积，由此可得答案．18.答案：解：(1)这五组数据对应的频率分别为：0.05，0.35，0.3，0.2，0.1．故这100小时的平均降雨量为：0.05×77.5+0.35×82.5+0.3×87.5+0.2×92.5+0.1×97.5=87.25(mm)．(2)由频率分步直方图可知，属于一级警戒的频率为：(0.04+0.02)×5=0.3， 则属于二级警戒的频率为1−0.3=0.7．所以，抽取的这10个小时中，属于一级警戒的有3小时， 属于二级警戒的有7小时．从这10小时中抽取3小时，用ξ表示一级警戒的小时数． 于是ξ的取值可能为0，1，2，3． 则P(ξ=0)=C 73C 103=724，P(ξ=1)=C 31C 72C 103=2140，P(ξ=2)=C 32C 71C 103=740，P(ξ=3)=C 33C 103=1120．所以，ξ的分布列为： ξ 0 1 2 3 P 724 2140 740 1120则ξ的期望值为：Eξ=0×724+1×2140+2×740+3×1120=0.9(小时)．解析：本题主要考查频率分布直方图的应用，平均值的计算，以及离散型随机变量的分布列及期望． (1)由频率分布直方图，求均值； (2)由离散型随机变量的分布列求期望．19.答案：(Ⅰ)证明：以A 为坐标原点，分别以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，可得A(0,0，0)，B(1,0，0)，C(1,2，0)，D(0,1，0)，E(0,0，2)． 设CF =ℎ(ℎ>0)，则F(1,2，ℎ)．则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,0)是平面ADE 的法向量，又BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,ℎ)，可得BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0．又∵直线BF ⊄平面ADE ，∴BF//平面ADE ；(Ⅱ)解：依题意，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,1,0)，BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,0,2)，CE⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,−2,2)．设n⃗ =(x,y,z)为平面BDE 的法向量， 则{n ⃗ ⋅BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−x +y =0n ⃗ ⋅BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =−x +2z =0，令z =1，得n⃗ =(2,2,1)． ∴cos <CE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,n ⃗ >=CE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗|CE |⋅|n ⃗⃗ |=−49． ∴直线CE 与平面BDE 所成角的正弦值为49； (Ⅲ)解：BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,ℎ)，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,1,0)， 设m⃗⃗⃗ =(a,b,c)为平面BDF 的法向量， 则{m ⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−a +b =0m ⃗⃗⃗ ⋅BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =2b +ℎc =0，取b =1，可得m ⃗⃗⃗ =(1,1,−2ℎ)， 由题意，|cos <m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ >|=|m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=|4−2ℎ|3×√2+ℎ2=13，解得ℎ=87．经检验，符合题意． ∴线段CF 的长为87．解析：本题主要考查利用空间向量判定线面平行，求解线面角与二面角问题，属于中档题． (Ⅰ)以A 为坐标原点，分别以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，求得A ，B ，C ，D ，E 的坐标，设CF =ℎ(ℎ>0)，根据向量的坐标运算和向量垂直的条件得到BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，进而结合线面平行的判定定理得BF//平面ADE ；(Ⅱ)求出直线CE 的方向向量和平面BDE 的法向量的坐标，利用数量积求夹角公式得直线CE 与平面BDE 的法向量所成角的余弦值，即可得CE 与平面BDE 所成角的正弦值；(Ⅲ)求出平面BDF 的法向量的坐标，结合(Ⅱ)中所得平面BDE 的法向量的坐标，由两平面法向量所成角的余弦值为13列式，求得线段CF 的长．20.答案：解：(1)∵椭圆C ：x 2a 2+y 2=1(a >1)的离心率为√63， ∴e =√a 2−1a =√63解得：a 2=3，所以所求椭圆C 的方程为x 23+y 2=1 (5分)(2)假设存在直线l ，使得OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2， 当直线l 垂直于x 轴时，不符合题意，故设直线l 方程为y =kx +b ， 由直线l 与圆O 相切，可得b 2=k 2+1 …(1)(7分) 直线ly =kx +b 代入椭圆C 的方程为x 23+y 2=1，可得(1+3k 2)x 2+6kbx +3b 2−3=0设A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2)，则x 1+x 2=−6kb1+3k 2，x 1x 2=3b 2−31+3k ∴OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+y 1y 2=(1+k 2)x 1x 2+kb(x 1 +x 2)+b 2=4b 2−3k 2−31+3k 2=12 (2)由(1)(2)可得k 2=1，b 2=2故存在直线l ，方程为y =±x ±√2，使得OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2．解析：(1)根据椭圆C ：x 2a2+y 2=1(a >1)的离心率为√63，可得a 2=3，从而可求椭圆C 的方程； (2)假设存在直线l ，使得OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2，当直线l 垂直于x 轴时，不符合题意，故设直线l 方程为y =kx +b ，由直线l 与圆O 相切，可得b 2=k 2+1，直线l 代入椭圆C 的方程为x 23+y 2=1，可得(1+3k 2)x 2+6kbx +3b 2−3=0设A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2)，进而利用OA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2，即可知存在直线l ． 本题以椭圆的几何性质为载体，考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，同时考查了存在性问题，合理运用向量的数量积运算是解题的关键．21.答案：解：(1)由题知，函数f (x )的定义域为(0,+∞)，f′(x )=lnx −ax ，f (1)=0，f′(1)=−a ，由切线方程为2x +y +b =0，得−a =−2，解得a =2， ∵点(1,0)在切线上，∴2+b =0，解得b =−2， ∴实数a ，b 的值分别为2，−2． (2)由题知，，∴ℎ′(x)=1−ax x，当a ⩽0时，ℎ′(x )>0，∴ℎ(x )在区间(0,+∞)上是增函数，∴ℎ(x )最多一个零点，舍去， 当a >0时，当0<x <1a 时，ℎ′(x )>0，当x >1a 时，ℎ′(x )<0， ∴ℎ(x )在区间(0,1a )上是增函数，在区间(1a ,+∞)上是减函数； ∴x =1a 时，ℎ(x )取得极大值，，∵当a >0时，当x 趋向0时，ℎ(x)为负数， 当x 趋近于无穷大时，ℎ(x)为负数， 故要使ℎ(x )有两个零点，则，解得0<a <1e ，故实数a 的取值范围为(0,1e )．解析：本题考查了求切线方程问题，考查函数的单调性问题，函数的零点，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．(1)求出函数的导数，计算f(1)，f′(1)的值，由切线方程求得a ，b 即可；(2)求出函数的导数，通过讨论a 的范围，求出函数的单调区间，求出函数的极大值，确定a 的范围即可．22.答案：解：(1)由题意知：ρ=2cosθ，θ∈[0,π2]，所以ρ2=2ρcosθ，θ∈[0,π2]，即x 2+y 2−2x =0， 可化为(x −1)2+y 2=1，y ∈[0,1]，可得C 的参数方程为{x =1+costy =sint (t 为参数，0≤t ≤π)． (2)设D(1+cost,sint)，由(1)知C 是以G(1,0)为圆心，1为半径的上半圆． ∵C 在点D 处的切线与l 垂直， ∴直线GD 与l 的斜率相同，∴sint−0(1+cost)−1=√3，解得tant =√3，即t =π3， 故D 的直角坐标为(1+cos π3,sin π3)， 即(32,√32).解析：本题考查了参数方程、普通方程以及极坐标方程的转化，考查直线的斜率问题，是一道中档题．(1)根据极坐标方程求出C 的普通方程，从而求出参数方程即可；(2)设D(1+cost,sint)，结合题意得到直线GD 与l 的斜率相同，求出t 的值．23.答案：(1)当a =1时，f (x )={−3x +3,x ⩽12x +1,12<x <23x −3,x ⩾2，不等式f (x )⩾3可化为{−3x +3⩾3x ⩽12 或{x +1⩾312<x <2 或{3x −3⩾3x ⩾2 ， 解得：x ≤0或x ≥2，∴不等式的解集为(−∞,0]∪[2,+∞)．(2)f(x)⩾|2x−a−(x−2)|=|x−a+2|，当且仅当(2x−a)(x−2)⩽0时，取“=”⩽x⩽2；当a⩽4时，x的取值范围为a2当a>4时，x的取值范围为2⩽x⩽a．2解析：本题考查绝对值不等式的解法以及绝对值不等式的性质，属于中档题．(1)对x分类讨论，去绝对值，再解不等式，即可得到答案;(2)运用绝对值不等式的性质，求出f(x)的最小值，验证等号成立条件，即可得到答案．。
湖北省武汉二中2020届高三数学压轴考试(文理合卷)
湖北省武汉二中2020届高三年级压轴考试数学试题（理）说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
考试时间为120分钟。
第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集U =R ，集合},3|{},,2|{3R x x x y y B R x y y A x ∈-==∈-==，则 （ ） A ．}049|{<<-x x B ．}49|{-<x xC ．{（1，－2）}D ．}49|{-≤x x2．已知平面上三点A 、B 、C 满足AB CA CA BC BC AB CA BC AB ⋅+⋅+⋅===则,5||,4||,3||的值等于（ ） A ．25B ．24C ．－25D ．－24 3．=+--3)2)(1(i i i（ ）A ．3 + iB ．－3－iC ．－3+1D ．3－i4．在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，ccb A 22cos 2+=，则△ABC 的形状为（ ） A ．正三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形5．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，首项1512=a ，且==⋅+⋅∞→n n S a a a a lim ,41813229则（ ）A ．230B ．215C ．15)21(D ．2166．已知随机变量ξ~ B （n ，p ）且E ξ= 2.4，D ξ= 1.44，，则参数n ，p 的值为 （ ）A ．n = 4， p = 0.6B ．n = 6， p = 0.6C ．n = 6， p = 0.4D ．n = 24， p = 0.17．如图所示，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的侧面AB 1内有一动点P 到平面A 1C 1的距离是直线BC 的距离的2 倍，点M 是棱BB 1的中点，则动点P 所在曲线的大致 形状为 （ ）8．已知函数0)1(),0()(2=>++=f a c bx ax x f ，则“b > 2a ”是“f (－2) < 0”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9．椭圆122=+by ax 与直线x y -=1交于A 、B 两点，过原点与线段AB 中点的直线的斜率为ba 则,23的值为（ ）A ．23B ．332C ．239D ．2732 10．一次研究性课堂上，老师给出函数)(||1)(R x x xx f ∈+=，三位同学甲、乙、丙在研究此函数时分别给出命题：甲：函数f (x )的值域为（－1，1）； 乙：若x 1≠x 2，则一定有f (x 1)≠f (x 2)；丙：若规定||1)()),(()(),()(11x n x x f x f f x f x f x f n n n +===-则对任意*∈N n 恒成立.你认为上述三个命题中正确的个数有 （ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 11．已知7)(3123-+xx 的展开式中5x 的系数为 .（用数字作答）12．已知x ，y 满足约束条件132,12340++⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥x y y x x y x 则的取值范围是 . 13．已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的右焦点为F ，右准线与一条渐近线交于点A ，△OAF 的面积为263a (O 为坐标原点)，则双曲线的两条渐近线的夹角为 . 14．若函数(]31,)(log )(221-∞---=在a ax x x f 上增函数，则实数a 的取值范围是 .15．直角坐标系中横坐标、纵坐标均为整数的点称为格点，如果函数f (x )的图象恰好通过k 个格点，则称函数f (x )为k 阶格点函数.下列函数：①x x f sin )(=；②3)1()(2+-=x x f π；③xx f )31()(=；④.log )(6.0x x f =其中是一阶格点函数的有 .（填上所有满足题意的序号）三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16．（本小题满分12分） 已知)()().0)(1),(sin(),sin ,cos 2(R x b a x f x b x a ∈⋅=<<--+==定义ϕπϕϕ，且)4()(x f x f -=π对任意实数x 恒成立.（Ⅰ）求ϕ的值；（Ⅱ）求函数)(x f y =的单调增区间.17．（本小题满分12分）设p ：不等式1|2|>-+m x x 的解集为R ；q ：函数6)34()(23++++=x m mx x x f 在R 上有极值.求使命题“p 且q ”为真的实数m 的取值范围.18．（本小题满分12分）如图，在正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB = a ，AA 1 = 2a ，M ，N 分别是棱BB 1，DD 1的中点. （Ⅰ）求异面直线A 1M 与B 1C 所成的角的余弦值； （Ⅱ）求证：平面A 1MC 1⊥平面B 1NC 1；（Ⅲ）若正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1的体积为V ，三棱锥N —A 1B 1C 1的体积为V 1，求VV 1的值. 19．（本小题满分12分）有一种密码，明文是由三个字符组成，密码是由明文对应的五个数字组成，编码规则如下表：明文由表中每一排取一个字符组成，且第一排取的字符放在第一位，第二排取的字符放在第二位，第三排取的字符放在第三位，对应的密码由明文对应的数字按相同的次序排成一组成. 第一排明文字符 ABC D 密码字符 11 12 13 14 第二排明文字符 EF G H 密码字符 21 22 23 24 第三排明文字符 MN P Q 密码字符 1234设随机变量表示密码中不同数字的个数.（Ⅰ）求P （ξ=2）（Ⅱ）求随机变量ξ的分布列和它的数学期望. 20．（本小题满分13分）如图，已知直线l 与半径为1的⊙D 相切于点C ，动点P 到直线l 的距离为d ，若.||2PD d = （Ⅰ）求点P 的轨迹方程；（Ⅱ）若轨迹上的点P 与同一平面上的点G 、M 分别满足0,3,2=⋅+⋅==PM GM PG GM PD MP DC GD ，求以P 、G 、D 为项点的三角形的面积.21．（本小题满分14分）设无穷数列{a n }具有以下性质：①a 1=1；②当.,1+*≤∈n n a a N n 时（Ⅰ）请给出一个具有这种性质的无穷数列，使得不等式2312423322221<+++++n n a a a a a a a a Λ 对于任意的*∈Nn 都成立，并对你给出的结果进行验证（或证明）；（Ⅱ）若111)1(++-=n n n n a a a b ，其中*∈N n ，且记数列{b n }的前n 项和B n ，证明：.20<≤n B参考答案一、选择题二、填空题 11．35 12．]11,1945[13．60° 14．[)2,322- 15．①②④ 三、解答题 16．解：（Ⅰ）])sin[()sin(cos 2sin )sin(cos 2)(x x x x x x x f -+-+=-+=ϕϕϕϕ ).2sin(sin )(cos cos )sin(ϕϕϕ+=+++=x x x x x x ……………2分 由题意知)2cos(])4(2sin[)2sin(ϕϕπϕ-=+-=+x x x 对任意实数x 恒成立，得0,0)4sin(2cos sin <<-=-=-ϕππϕϕϕ而，.43,4πϕππϕ-=-=-∴即 ………………………………………………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知).432sin()(π-=x x f 由)(2243222Z k k x k ∈+≤-≤+-πππππ，解得).(858Z k k x k ∈+≤≤+ππππ 所以，)(x f y =的单调增区间为).(]85,8[Z k k k ∈++ππππ……………………12分17．解：由m m x x m x m m x m x m x x 2|2|,)2(2)2(22|2|≥-+⎩⎨⎧<≥-=-+知，由题意，.21,12,1|2|>>∴>-+m m m x x 即恒成立…………………………4分 又由函数6)34()(23++++=x m mx x x f 在R 上有极值，知 03423)(2=+++='m mx x x f 有解，即△≥0. 由△= 0，得m =－1或m = 4.此时函数没有极值.由△＞0，得m ＜－1或m ＞4.要使“p 且q ”为真命题，则 ……………………8分4,4121>⎪⎩⎪⎨⎧>-<>m m m m 解得或，m ∴的取值范围为).,4(+∞…………………………12分 18．解：（Ⅰ）∵A 1D ∥B 1C ，D MA 1∠∴是异面直线A 1M 与B 1C 所成的角（或补角）.又.510cos ,3,5,2111=∠∴===D MA MD D A MA C B M A 11与∴所成的角的余弦值为.510…………………………………………4分 （Ⅱ）取AA 1的中点P ，联结B 1P ，NP ，MP ，则B 1PNC 1为平行四边形，∴B 1P ∥C 1N 又A 1B 1MP 1为正方形，N C M A P B M A 1111,⊥∴⊥∴ 又B 1C 1⊥平面A 1B ，A 1M ⊂平面A 1B ， .111M A C B ⊥∴ ⊥∴M A 1平面B 1NC 1.又⊂M A 1平面A 1MC 1， ∴平面A 1MC 1⊥平面B 1NC 1. ………………………8分 （Ⅲ）.121,612131,21323111=∴=⋅==-V V a a a V a V C B A N Θ ……………………12分 （注意：若用向量法相应给分）19．解：（Ⅰ）密码中不同数字的个数为2的事件为密码中只有两个数字，注意到密码的第1，2列分别总是1，2，即只能取表格第1，2列中的数字作为密码..8142)2(33===∴ξP …………………………………………………………………4分（Ⅱ）由题意可知，ξ的取值为2，3，4三种情形.若ξ= 3，注意表格的第一排总含有数字1，第二排总含有数字2则密码中只可能取数字1，2，3或1，2，4..32194)122(2)3(323132=++==∴C A P ξ若3294)4(,4322232213=+===∴A A A A P ξξ则 （或用)3()2(1=-=-ξξP P 求得）. ………………………………………………8分 ξ∴的分布列为：.3232432382=⨯+⨯+⨯=∴ξE ………………………………………………12分 20．解：（Ⅰ）).1,0(22|||,|2∈=∴=d PD PD d Θ ∴点P 的轨迹是D 为焦点，l 为相应准线的椭圆.由.1.1,2,1,222====-==b c a c ca a c e 于是解得又 以CD 所在直线为x 轴，以CD 与⊙D 的另一个交点O 为坐标原点建立直角坐标系.∴所求点P 的轨迹方程为.1222=+y x ………………………………………………6分 （说明：其它建系方式相应给分）（Ⅱ）∴==,2||,2GD DC GD ΘG 为椭圆的左焦点. 又.0)(,0=+⋅∴=⋅+⋅PM PG GM PM GM PG GM Θ由题意，0,0≠+≠PM PG GM （否则P 、G 、M 、D 四点共线与已经矛盾） .||3||||.0,0)()(22==∴=-=+⋅-∴又∵点P 在椭圆上， .223||,22||,222||||====+∴a 又οΘ90,,2||=∠∆∴=PDG Rt PDG GD 为.2222221=⨯⨯=∴∆PDG S ……………………………………………………13分 21．解：（Ⅰ）令112242332222131,,31,31,1-+====n n n a a a a a a a a Λ，则无穷数列{a n }可由a 1 = 1，)1(3211≥=-+n a a n n n 给出.显然，该数列满足)(,1*11N n a a a n n ∈≤=+，且23)311(2331311112322221<-=+++=+++-+n n n n a a a a a a ΛΛ ……………………6分（Ⅱ）.0,,1)1(111≥∴≤-=+++n n n n n n n b a a a a a b Θ .021≥+++=∴n n b b b B Λ ………………………………………………8分 又)11(1)1(1111++++-=-=n n n n n n n n a a a a a a a b )11)(11(111++++-=n nn nn n a a a a a a).11(2))(11(1111++++-≤+-=n n n n n n n na a a a a a a a .22)11(2111=<-≤∴+a a a B n n.20<≤∴n B湖北省武汉二中2020届高三年级压轴考试数学试题（文）说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
2020届武汉二中高三数学周练36
2020届武汉二中高三数学周练36命题人：岳俊审题人：范向阳一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合3{|0},{|1x M x N x y x -=≥==-，则N M C R )(=（）A.(1,2]B.[1,2]C.(2,3]D.[2,3]2.设i 为虚数单位，则复数22iz i-=+的共轭复数z =（）A.3455i + B.3455-i C.3455i-+ D.3455i--3.已知m ＞0，则“m =3”是“椭圆2225x y m +=1的焦距为4”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.在平面直角坐标系xOy 中，已知()()1,2,1,0M N -，动点P 满足PM ON PN ⋅=，则动点P 的轨迹方程是（）A.24y x= B.24x y= C.24y x=- D.24x y=-5.已知正实数,,a b c 满足：221211(log ,(log ,log 23aba b c c ===，则（）A.a b c <<B.c b a <<C.b c a<< D.c a b<<6.已知二元一次不等式组20,20220x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≥⎩表示的平面区域为D ，命题p ：点(0,1)在区域D 内；命题q ：点(1,1)在区域D 内.则下列命题中，真命题是（）A.p q ∧B.()p q ∧⌝ C.()p q⌝∧ D.()()p q ⌝∧⌝7,将偶函数的图象向右平移个单位，得到的图象，则的一个单调递增区间为（）A ．B ．C ．D ．8.自然界中具有两种稳定状态的组件普遍存在，如开关的开和关、电路的通和断等，非常适合表示计算机中的数，所以现在使用的计算机设计为二进制计算机．二进制以2为基数，只用0和1两个数表示数，逢2进1，二进制数同十进制数遵循一样的运算规则，它们可以相互转化，如987610(521)12020202=⨯+⨯+⨯+⨯543210202120202+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯012+⨯2(1000001001)=．我国数学史上，对数制研究不乏其人，清代汪莱的《参两算经》是较早系统论述非十进制数的文献，总结出了八进制乘法口决：7761⨯=，7652⨯=，7543,⨯= ，请类比二进制与十进制转化的运算，数2(1010011100)对应八进制数为（）A.8(446) B.8(1134) C.8(1234) D.8(4321)9.设0m >，双曲线:M 24x -2y 1=与圆()22:5N x y m +-=相切，A （-0），B 0），若圆N 上存在一点P 满足4PA PB -=，则点P 到x 轴的距离为（）A.1010B.C.105D.51010.已知在ABC △中，AB =，AC =，BC =，若O 为ABC △的外心且满足AO x AB y AC =+，则6x y +=（）A.1B.3C.5D.611．在数列中，，，若数列满足，则数列的最大项为A ．第5项B ．第6项C ．第7项D ．第8项12.已知函数对任意的满足（其中是函数的导函数），则下列不等式成立的是（）A ．B ．C ．D ．二、填空题13.61)x的展开式中常数项的系数为_____________．14.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足21a =，2122n n n S S S --+=+(3)n ≥，则3a 的值为_________．15.函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是__________．16.已知正方体ABCD A B C D ''''-的棱长为3，垂直于棱AA '的截面分别与面对角线,,,A D A B C B C D ''''相交于点,,,E F G H ，则四棱锥A EFGH '-体积的最大值为________.三、解答题17.某“双一流”大学专业奖学金是以所学专业各科考试成绩作为评选依据，分为专业一等奖学金（奖金额3000元）、专业二等奖学金（奖金额1500元）及专业三等奖学金（奖金额600元），且专业奖学金每个学生一年最多只能获得一次.图（1）是统计了该校2018年500名学生周课外平均学习时间频率分布直方图，图（2）是这500名学生在2018年周课外平均学习时间段获得专业奖学金的频率柱状图.（Ⅰ）求这500名学生中获得专业三等奖学金的人数；（Ⅱ）若周课外平均学习时间超过35小时称为“努力型”学生，否则称为“非努力型”学生，列22⨯联表并判断是否有99.9%的把握认为该校学生获得专业一、二等奖学金与是否是“努力型”学生有关？（Ⅲ）若以频率作为概率，从该校任选一名学生，记该学生2018年获得的专业奖学金额为随机变量X ，求随机变量X 的分布列和期望.22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++18.已知函数e ()2ln(1)axf x x x a=+-+（e 为自然对数的底数，a 为常数，且0a ≠）.（Ⅰ）若函数在1x =处的切线与直线e 0x y -=平行，求a 的值；（Ⅱ）若()f x 在(0,)+∞上存在单调递减区间，求a 的取值范围.。
2020年湖北省武汉市高考(理科)数学(5月份)模拟试卷 (解析版)
2020年高考数学模拟试卷（理科）（5月份）一、选择题（共12小题）. 1．已知复数z 满足z+i 2+i=1+i ，则复数z ＝（ ） A ．2+iB ．1+2iC ．3+iD ．3﹣2i2．已知集合A ={x|x−1x+3≤0}，B ＝{x ||x |＜2}，则A ∩B ＝（ ） A ．{x |﹣2＜x ＜1} B ．{x |﹣3＜x ＜2} C ．{x |﹣2＜x ≤1} D ．{x |﹣2≤x ≤1}3．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝2，a 2+2a 3+a 4＝0，则S 5＝（ ） A ．2B ．0C ．﹣2D ．﹣44．若某几何体的三视图如图，则该几何体的体积为（ ）A ．2B ．4C ．4√2D ．435．在某项测量中，测量结果X 服从正态分布N （1，σ2）（σ＞0），若X 在（0，2）内取值的概率为0.8，则X 在[0，+∞）内取值的概率为（ ） A ．0.9B ．0.8C ．0.3D ．0.16．已知函数f(x)=cos(3x +φ)(−π2＜φ＜π2)图象关于直线x =5π18对称，则函数f （x ）在区间[0，π]上零点的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．47．已知向量a →，b →是互相垂直的单位向量，向量c →满足c →⋅a →=1，c →⋅b →=1，则|a →+c →|=（ ） A ．2B ．√5C ．3D ．78．已知等差数列{a n }满足：a 12+a 52＝8，则a 1+a 2的最大值为（ ） A ．2B ．3C ．4D ．59．已知直线PQ ：y =x −12与y 轴交于P 点，与曲线C ：y 2＝x （y ≥0）交于Q ，M 成为线段PQ上一点，过M作直线x＝t交C于点N，则△MNP面积取到最大值时，t的值为（）A．116B．14C．1D．5410．已知函数f（x）＝e x﹣1﹣ax−1e（a∈R）的图象与x轴有唯一的公共点，则实数a的取值范围为（）A．{a|a≤0}B．{a|a≤0，或a=1e}C．{a|a≤0，或a＝e}D．{a|a≤0，或a＝1}11．已知A，B分别为双曲线Γ：x2−y23=1实轴的左右两个端点，过双曲线Γ的左焦点F 作直线PQ交双曲线于P，Q两点（点P，Q异于A，B），则直线AP，BQ的斜率之比k AP：k BQ＝（）A．−13B．﹣3C．−23D．−3212．在四棱锥P﹣ABCD中，PA＝2，PB＝PC＝PD=√7，AB＝AD=√7，BC＝CD＝2，则四棱锥P﹣ABCD的体积为（）A．2√3B．√3C．√5D．3二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．函数y=lnxx+1在点P（1，0）处的切线方程为．14．一种药在病人血液中的量保持1500mg以上才有疗效；而低于500mg病人就有危险．现给某病人静脉注射了这种药2500mg，如果药在血液中以每小时20%的比例衰减，为了充分发挥药物的利用价值，那么从现在起经过小时向病人的血液补充这种药，才能保持疗效．（附：lg2≈0.3010，1g3≈0.4771，精确到0.1h）15．柜子里有3双不同的鞋子，随机地取出2只，则取出的2只鞋子不成对的概率为．16．已知M，N为直线3x+4y﹣10＝0上两点，O为坐标原点，若∠MON=π3，则△MON的周长最小值为．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足a＝4，C＝2B．（1）若b＝2，求c；（2）若△ABC的面积为2√3，求tan B．18．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面ACC1A1是边长为4的菱形，且∠A1AC=π3，面ACC1A1⊥面ABC，A1A⊥BC，BC＝4．（1）求证：BC⊥面ACC1A1；（2）求二面角A﹣A1B﹣C的余弦值．19．已知F1（﹣1，0），F2（1，0）为椭圆Γ：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左右焦点，过F2的直线交椭圆于A，B两点，△F1AB的周长为8．（1）求椭圆Γ的标准方程；（2）已知P（x0，y0）（y0≠0）是直线l：x＝4上一动点，若PA，PB与x轴分别交于点M（x M，0），N（x N，0），则1x M−1+1x N−1是否为定值，若是，求出该定值，不是请说明理由．20．一种新的验血技术可以提高血液检测效率．现某专业检测机构提取了n（n≥6）份血液样本，其中只有1份呈阳性，并设计了如下混合检测方案：先随机对其中（n﹣3）份血液样本分别取样，然后再混合在一起进行检测，若检测结果为阴性，则对另外3份血液逐一检测，直到确定呈阳性的血液为止；若检测结果呈阳性，测对这（n﹣3）份血液再逐一检测，直到确定呈阳性的血液为止．（1）若n＝6，求恰好经过3次检测而确定呈阳性的血液的事件概率；（2）若n≥8，宜采用以上方案检测而确定呈阳性的血液所需次数为ξ，①求ξ的概率分布；②求Eξ．21．已知函数f（x）＝lnx+cos x．（1）讨论f（x）在（0，π）极值点个数；（2）证明：不等式f（x）＞0在(π2，π)恒成立．附：ln(5π6)≈0.9624，ln(2π3)≈0.7393．（二）选考题：共10分．请考生从第22、23题中任选一题作答．并用2B铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为{x=2+tcosαy=tsinα（t参数，α为常数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ2=1．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）设直线l与曲线C的交点为P，Q两点，曲线C和x轴交点为A，若△APQ面积为6√6，求tanα的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知正数a，b，c满足a+b+c＝1．求证：（1）ab＜1 4；（2）a1−a +b1−b+c1−c≥32．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z满足z+i2+i=1+i，则复数z＝（）A．2+i B．1+2i C．3+i D．3﹣2i 【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．解：由z+i2+i=1+i，得z+i＝（1+i）（2+i）＝1+3i，∴z＝1+2i，故选：B．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．2．已知集合A={x|x−1x+3≤0}，B＝{x||x|＜2}，则A∩B＝（）A．{x|﹣2＜x＜1}B．{x|﹣3＜x＜2}C．{x|﹣2＜x≤1}D．{x|﹣2≤x≤1}【分析】求出集合A，B，由此能求出A∩B．解：∵集合A={x|x−1x+3≤0}={x|﹣3＜x≤1}，B＝{x||x|＜2}＝{x|﹣2＜x＜2}，∴A∩B＝{x|﹣2＜x≤1}．故选：C．【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3．设等比数列{a n}的前n项和为S n，a1＝2，a2+2a3+a4＝0，则S5＝（）A．2B．0C．﹣2D．﹣4【分析】根据等比数列的通项公式和求和公式即可求出．解：设公比为q，q≠0，等比数列{a n}的前n项和为S n，a1＝2，a2+2a3+a4＝0，则2q+4q2+2q3＝0，解得q＝﹣1，∴S5=2(1−(−1)5)1+1=2，故选：A．【点评】本题考查了等比数列的通项公式和求和公式，属于基础题． 4．若某几何体的三视图如图，则该几何体的体积为（ ）A ．2B ．4C ．4√2D ．43【分析】先通过三视图对几何体进行还原，可得一个直四棱柱，然后利用棱柱体积的计算公式求解即可．解：根据三视图还原成的几何体是如图所示的四棱柱，其中底面是长为2，宽为1的矩形，棱柱的高为2，四棱柱的体积V ＝1×2×2＝4． 故选：B ．【点评】本题考查三视图的还原及棱柱体积的计算，考查学生的空间立体感和运算能力，属于基础题．5．在某项测量中，测量结果X 服从正态分布N （1，σ2）（σ＞0），若X 在（0，2）内取值的概率为0.8，则X 在[0，+∞）内取值的概率为（ ） A ．0.9B ．0.8C ．0.3D ．0.1【分析】根据X 服从正态分布N （1，σ2），得到曲线的对称轴是直线x ＝1，利用X 在（0，2）内取值的概率为0.8，即可求得结论． 解：∵X 服从正态分布N （1，σ2） ∴曲线的对称轴是直线x ＝1，∵X在（0，2）内取值的概率为0.8，∴X在（0，1）内取值的概率为0.4，∴X在[0，+∞）内取值的概率为0.5+0.4＝0.9故选：A．【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，主要考查正态曲线的对称性，是一个基础题．6．已知函数f(x)=cos(3x+φ)(−π2＜φ＜π2)图象关于直线x=5π18对称，则函数f（x）在区间[0，π]上零点的个数为（）A．1B．2C．3D．4【分析】根据余弦型函数的对称性知，f（x）在x=5π18时取得最值，由此求出φ值，再令f（x）＝0，解出x，即可判断在[0，π]上零点个数．解：因为函数f(x)=cos(3x+φ)(−π2＜φ＜π2)图象关于直线x=5π18对称，∴cos(3×5π18+φ)=±1，∴5π6+φ=kπ，k∈Z，由−π2＜φ＜π2知，k＝1时，φ=π6．故f(x)=cos(3x+π6)，令f（x）＝0得3x+π6=π2+kπ，k∈Z，∴x=π9+kπ3，k∈Z．因为x∈[0，π]，所以k＝0，1，2时，φ=π9，4π9，7π9满足条件．故零点有三个．故选：C．【点评】本题考查三角函数据图求式的基本思路，注意把握好正、余弦函数图象的对称性与函数的最值点、零点之间的关系．属于中档题．7．已知向量a→，b→是互相垂直的单位向量，向量c→满足c→⋅a→=1，c→⋅b→=1，则|a→+c→|=（）A．2B．√5C．3D．7【分析】将向量a→，b→放入坐标系，利用条件求出坐标进而求得结论．解：因为向量a→，b→是互相垂直的单位向量，不妨设a→=（1.0），b→=（0，1），c→=（x，y）则由c→⋅a→=1，c→⋅b→=1，得x＝y＝1，即c→=（1，1）．∴a→+c→=（2，1）；∴|a →+c →|=√22+12=√5； 故选：B ．【点评】本题主要考查平面向量的应用，利用向量长度与坐标之间的关系进行运算，利用条件将向量a →，b →转化为坐标形式是解决本题的关键．8．已知等差数列{a n }满足：a 12+a 52＝8，则a 1+a 2的最大值为（ ） A ．2B ．3C ．4D ．5【分析】设a 1＝2√2cos α，a 5＝2√2sin α，（0≤α＜2π），求公差，求首项，再利用辅助角公式求最值．解：设等差数列{a n }的公差为d ，由于满足：a 12+a 52＝8， 设a 1＝2√2cos α，a 5＝2√2sin α，（0≤α＜2π）， 所以a 5﹣a 1＝2√2（sin α﹣cos α）， 即4d ＝2√2（sin α﹣cos α），d =√22（sin α﹣cos α），所以a 1+a 2＝2a 1+d ＝4√2cos α+√22（sin α﹣cos α）=7√22cos α+√22sin α=√22（7cos α+sin α）=√22√50（√50cos α1√50sin α）＝5sin （θ+α）≤5，（其中tan θ＝7）， 所以a 1+a 2最大值为5． 故选：D ．【点评】本题考查三角换元求取值范围，属于中档题．9．已知直线PQ ：y =x −12与y 轴交于P 点，与曲线C ：y 2＝x （y ≥0）交于Q ，M 成为线段PQ 上一点，过M 作直线x ＝t 交C 于点N ，则△MNP 面积取到最大值时，t 的值为（ ） A ．116B ．14C ．1D ．54【分析】求得P ，Q 的坐标，由直线x ＝t ，联立直线方程和曲线方程可得M ，N 的坐标，运用三角形的面积公式，结合换元法和导数的运用：求单调性和极值、最值，即可得到所求值．解：直线PQ ：y =x −12与y 轴交于P （0，−12），由y ＝x −12与y 2＝x （y ≥0）联立，可得Q （1+√32，√32+12），过M作直线x＝t交C于点N，可得M（t，t−12），N（t，√t），0≤t≤1+√32，则△MNP面积S=12（√t−t+12）t，设u=√t（0≤u≤1+32），可得S=12（u3﹣u4+12u2），可得S′=12（3u2﹣4u3+u）=−12u（4u+1）（u﹣1），可得0＜u＜1时，S′＞0，S递增；1＜u＜1+√32时，S′＜0，S递减，则面积S在u＝1，即t＝1处取得极大值，且为最大值．故选：C．【点评】本题考查抛物线的方程和运用，考查三角形的面积的最值求法，注意运用导数，求得单调性和极值、最值，考查化简运算能力，属于中档题．10．已知函数f（x）＝e x﹣1﹣ax−1e（a∈R）的图象与x轴有唯一的公共点，则实数a的取值范围为（）A．{a|a≤0}B．{a|a≤0，或a=1e}C．{a|a≤0，或a＝e}D．{a|a≤0，或a＝1}【分析】由于f（0）＝0且x∈R，由题意可知f（x）的图象与x轴有唯一的公共点（0，0），结合导数分析函数的性质，进而可求．解：由于f（0）＝0且x∈R，由题意可知f（x）的图象与x轴有唯一的公共点（0，0），f′（x）＝e x﹣1﹣a，若a≤0，则f′（x）＝e x﹣1﹣a＞0，函数f（x）单调递增，且f（0）＝0满足题意；当a＞0时，由f′（x）＝e x﹣1﹣a＝0可得x＝1+lna，当x＜1+lna时，f′（x）＝e x﹣1﹣a＜0，函数单调递减，当x＞1+lna时，f′（x）＝e x ﹣1﹣a＞0，函数单调递增，由题意可得1+lna＝0，故a=1 e，综上可得，a=1e或a≤0．故选：B．【点评】本题主要考查了利用导数求解函数的零点个数，体现了导数与函数性质的综合应用．11．已知A ，B 分别为双曲线Γ：x 2−y 23=1实轴的左右两个端点，过双曲线Γ的左焦点F作直线PQ 交双曲线于P ，Q 两点（点P ，Q 异于A ，B ），则直线AP ，BQ 的斜率之比k AP ：k BQ ＝（ ） A ．−13B ．﹣3C ．−23D ．−32【分析】先根据双曲线方程求出a ，b ，c 的值，再直接设直线方程为x ＝my ﹣2，代入双曲线方程，消去x ，化简得到关于y 的一元二次方程，得韦达定理，然后将k AP ：k BQ 借助于P ，Q 的坐标表示出来，再将韦达定理看成方程，将m 用y 1，y 2表示出来代入前面的比值，化简即可．解：由已知得双曲线Γ：a ＝1，b =√3，c ＝2． 故F （﹣2，0），A （﹣1，0），B （1，0）．设直线PQ ：x ＝my ﹣2，且P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2）． 由{x =my −2x 2−y 23=1消去x 整理得（3m 2﹣1）y 2﹣12my +9＝0， ∴y 1+y 2=12m 3m 2−1，y 1y 2=93m 2−1， 两式相比得m =34×y 1+y2y 1y 2①， ∴k AP ：k BQ =y 1x 1+1×x 2−1y 2=y 1(my 2−3)y 2(my 1−1)=my 1y 2−3y1my 1y 2−y 2②， 将①代入②得：上式=34(y 1+y 2)−3y 134(y 1+y 2)−y 2=3(y 2−3y 1)3y 1−y 2=−3．故k AP ：k BQ ＝﹣3． 故选：B ．【点评】本题考查双曲线的性质，以及学生的化简运算能力，属于中档题．12．在四棱锥P ﹣ABCD 中，PA ＝2，PB ＝PC ＝PD =√7，AB ＝AD =√7，BC ＝CD ＝2，则四棱锥P ﹣ABCD 的体积为（ ） A ．2√3B ．√3C ．√5D ．3【分析】连结AC ，BD ，交于点E ，过P 作PO ⊥平面ABCD ，交AC 于点O ，连结BO ，DO ，则BO ＝DO ＝2，PO =√7−4=√3，AO =√4−3=1，DE ＝BE =√3，四棱锥P ﹣ABCD 的体积为：V ＝V D ﹣PAC +V B ﹣PAC ，由此能求出结果．解：在四棱锥P ﹣ABCD 中，PA ＝2，PB ＝PC ＝PD =√7，AB ＝AD =√7，BC ＝CD ＝2， 连结AC ，BD ，交于点E ，过P 作PO ⊥平面ABCD ，交AC 于点O ，连结BO，DO，则BO＝DO＝2，PO=√7−4=√3，AO=√4−3=1，S△PAC=12×AC×PO=32×√3=3√32，DE＝BE=√22−12=√3，∴四棱锥P﹣ABCD的体积为：V＝V D﹣PAC+V B﹣PAC=13×DE×S△PAC+13×BE×S△PAC=13×√3×3√32+13×√3×3√32＝3．故选：D．【点评】本题考查四棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．函数y=lnxx+1在点P（1，0）处的切线方程为x﹣2y﹣1＝0．【分析】先求出函数的导数，然后求出切点处的导数值，最后利用点斜式求出直线方程．解：∵y′=1+1x−lnx(x+1)2，∴y′|x=1=12，所以切线为：y=12(x−1)，即：x﹣2y﹣1＝0．故答案为：x﹣2y﹣1＝0．【点评】本题考查导数的几何意义、切线方程的求法，同时考查学生的运算能力．属于基础题．14．一种药在病人血液中的量保持1500mg以上才有疗效；而低于500mg病人就有危险．现给某病人静脉注射了这种药2500mg ，如果药在血液中以每小时20%的比例衰减，为了充分发挥药物的利用价值，那么从现在起经过 2.3 小时向病人的血液补充这种药，才能保持疗效．（附：lg 2≈0.3010，1g 3≈0.4771，精确到0.1h ）【分析】先设未知数，再根据题意列出不等式，整理得指数不等式，再利用指数函数的单调性、指数函数和对数函数的关系、换底公式和对数的运算性质，以及条件进行求解． 解：设应在病人注射这种药x 小时后再向病人的血液补充这种药， 依题意，可得500≤2500×（1﹣20%）x ≤1500 整理，得 0.2≤0.8x ≤0.6， ∴log 0.80.6≤x ≤log 0.80.2， ∵log 0.80.6=lg0.6lg0.8=lg6−1lg8−1=lg2+lg3−13lg2−1≈2.3， log 0.80.2=lg0.2lg0.8=lg2−13lg2−1≈7.2， 解得：2.3≤x ≤7.2，应在用药2.3小时后及7.2小时前再向病人的血液补充药． 故答案为：2.3．【点评】本题结合实际考查了指数函数的单调性、指数函数和对数函数的关系和换底公式等等，考查了分析和解决问题的能力．15．柜子里有3双不同的鞋子，随机地取出2只，则取出的2只鞋子不成对的概率为 45．【分析】利用古典概型概率计算公式和对立事件的概率计算公式求解． 解：∵取法总数有C 62＝15种，取出的鞋成对的种数有3种， ∴取出的鞋不成对的概率p ＝1−315=45． 故答案为：45【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对立事件的概率计算公式的灵活运用．16．已知M ，N 为直线3x +4y ﹣10＝0上两点，O 为坐标原点，若∠MON =π3，则△MON 的周长最小值为 4√3 ．【分析】直接利用点到直线的距离公式的应用和三角形的周长公式的应用求出结果． 解：已知M ，N 为直线3x +4y ﹣10＝0上两点，O 为坐标原点，若∠MON =π3，则：原点（0，0）到直线3x+4y﹣10＝0的距离d=|0+0−10|√3+4=2．所以当△MON为等边三角形时：设OM＝2x，所以（2x）2＝22+x2，解得x2=43，故x=2√33，所以l△MON=6x=6×2√33=4√3．故答案为：4√3．【点评】本题考查的知识要点：直线的位置关系的应用，点到直线的距离公式的应用，三角形的周长公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足a＝4，C＝2B．（1）若b＝2，求c；（2）若△ABC的面积为2√3，求tan B．【分析】（1）由C＝2B利用二倍角公式得c＝2b•cos B，再利用余弦定理即可求出c的值；（2）对角C分锐角和钝角两种情况讨论，分别求出tan B的值，经验证C为钝角不符合题意，所以tan B=√33．解：（1）∵C＝2B，∴sin C＝sin2B＝2sin B cos B，∴c＝2b•cos B，∴cos B=c2b =a2+c2−b22ac，∴ac2＝b（a2+c2﹣b2），∴4c2＝2（16+c2﹣4），∴c2＝12，∴c＝2√3；（2）（i）若C为锐角，过点A作AH⊥BC于点H，如图所示：设BC 边上的高为h ，则S △ABC =12×4×h =2√3，∴h =√3， 设BH ＝x ，HC ＝4﹣x ， ∴tan B =ℎx，tan C =ℎ4−x，又∵C ＝2B ， ∴tan C ＝tan2B =2tanB 1−tan 2B =ℎ4−x =2⋅ℎx1−(ℎx)2， ∴1﹣（√3x ）2＝2×4−x x ，解得x ＝3，∴tan B =√33，（ii ）若C 为钝角，过A 作AH ⊥BC 的延长线于H ，如图所示：设CH ＝x ，AH ＝h =√3， 则tan B =ℎ4+x ，tan （π﹣C ）=ℎx=−tan C ， ∴由tan C ＝tan2B 知：−ℎx =2⋅ℎ4+x 1−(ℎ4+x )2， ∴1+2x 4+x −3(4+x)2=0，而x ＞0，∴x 无解，因此C 为钝角不符合题意，综上所述，tan B =√33．【点评】本题主要考查了三角函数的二倍角公式，以及余弦定理，是中档题．18．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面ACC1A1是边长为4的菱形，且∠A1AC=π3，面ACC1A1⊥面ABC，A1A⊥BC，BC＝4．（1）求证：BC⊥面ACC1A1；（2）求二面角A﹣A1B﹣C的余弦值．【分析】（1）在菱形ACC1A1中，过A1点作A1H⊥AC于H，则A1H⊥BC，再由A1A ⊥BC，能证明BC⊥平面A1C1CA．（2）连结AC1，设AC1∩A1C＝M，则BC⊥AM，AM⊥面A1BC，AM⊥A1B，过点M 作MN⊥A1B于点N，连结AN，则A1B⊥平面AMN，A1B⊥AN，从而∠MNA为二面角A﹣A1B﹣C的平面角，由此能求出二面角A﹣A1B﹣C的余弦值．解：（1）证明：在菱形ACC1A1中，过A1点作A1H⊥AC于H，∵平面A1C1CA⊥平面ABC，平面A1C1CA∩平面ABC＝AC，∴A1H⊥BC，∵A1A⊥BC，A1A∩A1H＝A1，∴BC⊥平面A1C1CA．（2）解：在菱形A1C1CA中，连结AC1，设AC1∩A1C＝M，BC⊥平面A1C1CA，∴BC⊥AM，则AM⊥面A1BC，∴AM⊥A1B，过点M作MN⊥A1B于点N，连结AN，则A1B⊥平面AMN，∴A1B⊥AN，∴∠MNA为二面角A﹣A1B﹣C的平面角，设大小为θ，在Rt△A1CB中，BC＝CA1＝4，且∠A1CB=π2，∴MN=√2，则tanθ=AMMN=2√32=√6，∴cosθ=17=√77，∴二面角A﹣A1B﹣C的余弦值为√77．【点评】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 19．已知F 1（﹣1，0），F 2（1，0）为椭圆Γ：x 2a +y 2b =1（a ＞b ＞0）的左右焦点，过F 2的直线交椭圆于A ，B 两点，△F 1AB 的周长为8． （1）求椭圆Γ的标准方程；（2）已知P （x 0，y 0）（y 0≠0）是直线l ：x ＝4上一动点，若PA ，PB 与x 轴分别交于点M （x M ，0），N （x N ，0），则1x M −1+1x N −1是否为定值，若是，求出该定值，不是请说明理由．【分析】（1）由椭圆的定义可得△F 1AB 的周长为4a ，由题意可得a 的值，及c 的值，再有a ，b ，c 之间的关系求出b 的值，进而求出椭圆的标准方程；（2）分直线AB 的斜率为0和不为0两种情况讨论，求出A ，B 的坐标，设P 的坐标，求出直线PA 的方程，令y ＝0，求出M 的坐标，进而求出1x M −1的表达式，同理求出1x N −1的表达式，进而求出1x M −1+1x N −1为定值．解：（1）由题意可得三角形AF 1B 中，三角形的周长为|AF 1|+|BF 1|+|AB |＝4a ＝8，解得a ＝2，而c ＝1，所以b 2＝a 2﹣c 2＝4﹣1＝3， 所以椭圆Γ的方程为：x 24+y 23=1；（2）由题意设P （4，y 0），A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），设直线AB 的斜率为0时可得，A （﹣2，0），B （2，0），则直线PA 与x 轴的交点M 的横坐标x M ＝﹣2， 同理可得x N ＝2， 所以1x M −1+1x N −1=1−2−1+12−1=23，当直线AB 的斜率不为0时，设直线AB 的方程为：x ＝my +1，联立直线AB 与椭圆的方程{x =my +13x 2+4y 2−12=0，整理可得（4+3m 2）y 2+6my ﹣9＝0，y 1+y 2=−6m 4+3m 2，y 1y 2=−94+3m 2， 设直线PA 的方程为：y =y 0−y14−x 1（x ﹣4）+y 0，令y ＝0，可得x M ﹣1=−y 0(4−x 1)y 0−y 1+3=−4y 0+y 0(my 1+1)+3y 0−3y 1y 0−y 1=y 1(my 0−3)y 0−y 1， 所以1x M −1=y 0−y 1y 1(my 0−3)，同理可得1x N −1=y 0−y 2y 2(my 0−3)， 所以1x M −1+1x N −1=y 0−y 1y 1(my 0−3)+y 0−y 2y 2(my 0−3)=(y 0−y 1)y 2+(y 0−y 2)y 1y 1y 2(my 0−3)=y 0(y 1+y 2)−2y 1y 2y 1y 2(my 0−3)=y 0⋅−6m 4+3m 2−2⋅−94+3m 2−94+3m 2⋅(my 0−3)=−6(my 0−3)−9(my 0−3)=23；综上所述1x M −1+1x N −1为定值23．【点评】本题考查求椭圆的标准方程，及直线与椭圆的综合，属于中档题．20．一种新的验血技术可以提高血液检测效率．现某专业检测机构提取了n （n ≥6）份血液样本，其中只有1份呈阳性，并设计了如下混合检测方案：先随机对其中（n ﹣3）份血液样本分别取样，然后再混合在一起进行检测，若检测结果为阴性，则对另外3份血液逐一检测，直到确定呈阳性的血液为止；若检测结果呈阳性，测对这（n ﹣3）份血液再逐一检测，直到确定呈阳性的血液为止．（1）若n ＝6，求恰好经过3次检测而确定呈阳性的血液的事件概率； （2）若n ≥8，宜采用以上方案检测而确定呈阳性的血液所需次数为ξ， ①求ξ的概率分布； ②求E ξ．【分析】（1）不论第一次检测结果如何，都要对含有2阴1阳得血液样本进行逐一检测，故第2次和第3次检测的都是阴性或者第2次检测的是阴性，第3次检测的是阳性，根据组合数公式和古典概型的概率公式计算概率；（2）根据组合数公式和古典概型的概率公式依次计算ξ＝2，3，4，…，n ﹣3的概率，得出分布列和数学期望．解：（1）n ＝6时，不论第一次检测的混合血液是阴性还是阳性，从第2次检测开始，都是对含有1阳性，2阴性的3份血液进行逐一检测，若恰好经过3次检测而确定阳性血液，则第2次和第3次检测的都是阴性或者第2次检测的是阴性，第3次检测的是阳性，故恰好经过3次检测而确定呈阳性的血液的事件概率为P =C 22C 32+C 21C 11C 31⋅C 21=23． （2）①n ≥8时，P （ξ＝2）=C n−1n−3C n n−3⋅C 11C 31+C n−13C n 3⋅C 11C n−31=2n， P （ξ＝3）=C n−12⋅C 11C n 3•（C 21⋅C 11C 31⋅C 21+C 21⋅C 11C 31⋅C 21）+C n−13C n 3⋅C n−41C 11C n−31C n−41=3n，P （ξ＝4）=C n−13C n3•C n−42C 11C n−32⋅C n−51=1n，当4≤k ≤n ﹣4时，P （ξ＝k ）=C n−13C n3⋅C n−4k−2C 11C n−3k−2C n−3−(k−2)1=1n ，P （ξ＝k ﹣3）=C n−13C n3⋅C n−4n−4C 11C n−3n−4C 11•2=2n，∴ξ的分布列为：ξ 2 3 4 … n ﹣4 n ﹣3 P 2n3n1n…1n2n②E ξ＝2•2n+3•3n+4•1n+⋯+（n ﹣4）⋅1n +（n ﹣3）•2n =n 2−3n+142n．【点评】本题考查了离散型随机变量的概率计算，属于中档题． 21．已知函数f （x ）＝lnx +cos x ．（1）讨论f （x ）在（0，π）极值点个数； （2）证明：不等式f （x ）＞0在(π2，π)恒成立．附：ln(5π6)≈0.9624，ln(2π3)≈0.7393． 【分析】（1）求导，分x ∈(0，π2)，x ∈[π2，5π6]以及x ∈(5π6，π)，判断函数的单调性，进而得出极值点情况；（2）分π2＜x ≤5π6，5π6＜x ＜π，结合零点存在性定理以及放缩思想得证．解：（1）f′(x)=1−xsinxx，设g （x ）＝1﹣x sin x ， ①在x ∈(0，π2)时，则g(0)=1，g(π2)=1−π2＜0，g ′（x ）＝﹣（sin x +x cos x ）＜0知g （x ）在(0，π2)递减，∴存在x 1∈(0，π2)，使得g （x 1）＝0，在x ∈（0，x 1）时，f ′（x ）＞0，在x ∈(x 1，π2)时，f ′（x ）＜0， ∴x 1为f （x ）的极大值点； ②在x ∈[π2，5π6]时，12≤sinx ≤1，有xsinx ≥min{π2sin π2，5π6sin 5π6}＞1，f ′（x ）＜0在(π2，5π6)上恒成立，f （x ）在(π2，5π6)上递减， ∴此时f （x ）无极值； ③在x ∈(5π6，π)时，f′(5π6)＜0，f′(π)=12＞0，f″(x)=−(cosx +1x2)＞0在(5π6，π)上恒成立， ∴f ′（x ）在(5π6，π)上递增， ∴存在唯一的x 2∈(5π6，π)，使得f ′（x 2）＝0，且在x ∈(5π6，x 2)时，f ′（x ）＜0，在x ∈（x 2，π）时，f ′（x ）＞0， ∴x 2为f （x ）的极小值点．综上，函数f （x ）在（0，π）上有两个极值点； （2）证明：由（1）知，f′(x)=1−xsinxx， ①若π2＜x ≤5π6时，12≤sinx ＜1，而xsinx ≥min{π2sin π2，5π6sin 5π6}＞1，∴f ′（x ）＜0在(π2，5π6)上恒成立，f （x ）在(π2，5π6)上递减，∴f(x)＞f(5π6)=cos 5π6+ln 5π6=−√32+0.9624＞0；②若5π6＜x ＜π，f′(5π6)＜0，f′(π)=12＞0，f″(x)=−(cosx +1x2)＞0在(5π6，π)上恒成立， ∴f ′（x ）在(5π6，π)上递增，∴存在唯一的x 0∈(5π6，π)，使得x 0sin x 0＝1，且当x ∈(5π6，x 0)时，f ′（x ）＜0，在x ∈（x 0，π）时，f ′（x ）＞0，∴f(x)min =f(x 0)=cosx 0+lnx 0=lnx 0−√1−1x 02， 下面证明：ln 2x +1x2＞1在x ∈(5π6，π)上恒成立， 记m(x)=ln 2x +1x 2，m′(x)=2x (lnx −1x 2)，lnx ＞ln 5π6＞0.96，1x 2＜0.14，则m ′（x ）＞0， ∴m （x ）在x ∈(5π6，π)上递增， 于是m(x)＞m(5π6)=ln 25π6+1(5π6)2=0.92+0.14=1.06＞1，从而可知lnx 0−√1−1x 02＞0； 综合①②可知，不等式f （x ）＞0在(π2，π)恒成立．【点评】本题考查利用导数研究函数的极值点个数以及不等式的恒成立问题，考查分类讨论思想，转化思想，考查运算求解能力，综合性较强，难度大． 一、选择题22．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为{x =2+tcosαy =tsinα（t 参数，α为常数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ2=1．（1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）设直线l 与曲线C 的交点为P ，Q 两点，曲线C 和x 轴交点为A ，若△APQ 面积为6√6，求tan α的值．【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换． （2）利用一元二次方程根和系数关系式的应用和三角函数关系式的变换求出结果． 解：（1）直线l 的参数方程为{x =2+tcosαy =tsinα（t 参数，α为常数），转换为直角坐标方程为y ＝k （x ﹣2）．曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ2=1．整理得ρ⋅1−cosθ2=1，根据x ＝ρcos θ，ρ2＝x 2+y 2转，换为直角坐标方程为y 2＝4x +4．（2）由于y 2＝4x +4与x 轴的交点坐标为（﹣1，0），所以{y 2=4x +4y =k(x −2)得到y 2−4ky −12=0，记t =1k，所以y 2﹣4ty ﹣12＝0，整理得|y 1−y 2|=√(4t)2+4×12=4√t 2+3． 所以S △APQ =12×|AM|×|y 1−y 2|=6√t 2+3=6√6，解得t =±√3，即k =±√33，所以tanα=±√33．【点评】本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，三角函数关系式的变换，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型． [选修4-5：不等式选讲]23．已知正数a ，b ，c 满足a +b +c ＝1．求证： （1）ab ＜14； （2）a1−a+b 1−b+c 1−c≥32．【分析】（1）由已知得a +b ＜1，用均值不等式即可； （2）用分析法把a 1−a+b 1−b+c 1−c≥32左式分离变量，再由a +b +c ＝1变形配凑成3元均值不等式的形式即可证明．【解答】证明：（1）因为正数a ，b ，c 满足a +b +c ＝1，所以a +b ＜1， 由于ab ≤（a+b 2）2＜14，故ab ＜14．（2）分析法：要证原式，只要证：a−1+11−a+b−1+11−b+c−1+11−c≥32，即证﹣3+11−a +11−b+11−c ≥32， 只要证：11−a+11−b+11−c≥92，即证：[（1﹣a ）+（1﹣b ）+（1﹣c ）]（11−a+11−b+11−c）≥9，因为（1﹣a ）+（1﹣b ）+（1﹣c ）≥3√(1−a)(1−b)(1−c)3，①11−a+11−b+11−c≥3√11−a ⋅11−b ⋅11−c3②将①②两式相乘即得要证的式子：[（1﹣a ）+（1﹣b ）+（1﹣c ）]（11−a+11−b+11−c）≥9，以上每步都成立，所以不等式a1−a+b1−b+c1−c≥32成立．【点评】本题考查多项式的化简变形技巧，均值不等式的应用．属于中档题．。