江苏省扬中市高级中学2020-2021第一学期高三数学第一次月考试卷

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1．已知集合{}

{}3,0,1,2,3x A y y B ===，则A B ⋂= （ ） A ．{}1,2,3 B ．(0,)+∞ C ．{}0,1,2 D ．[0,)+∞

2．复数(1)2(z i i i -=为虚数单位），则z 等于 （ ） A ．1i + B ．1i - C ．1i -+ D ．1i --

3．若从甲、乙、丙、丁4人中选出3名代表参加学校会议，则甲被选中的概率为 （ ）

A ．

14 B ．13 C ．12 D ．3

4

4．下列函数中，既是奇函数又在区间(1,1)-上是增函数的是 （ ）

A ．1

y x

= B ．tan y x = C ．sin y x =- D ．cos y x =

5．若sin cos 1sin cos 3

αααα+=-，则tan α= （ ）

A ．2-

B ．34

C ．4

3

- D ．2

6．已知菱形ABCD 的边长为04,60,ABC E ∠=是BC 的中点，

2DF AF =-，则AE BF ⋅= （ ）

A ．24

B ．7-

C ．10-

D ．12- 7．《周髀算经》是中国古代重要的数学著作，其记载的“日月力法”曰：“阴阳之数，日月之法，十九岁为一章，四章为一部，部为七十六岁，二十部为一遂，遂千百五十二十岁，生住有数皆终，万物复苏，天以更元作记历”，某老年公寓20位老人，他们的年龄（都为正整数）之和恰好为一遂，其中年长者已是奔百之龄（年龄介于90至100），其余19人的年龄依次相差一岁，则年长者的年龄为 （ ） A ．94 B ．95 C ．96 D ．98

8．已知函数ln ,1(),()11,14

x x f x g x ax x x >⎧⎪

==⎨+≤⎪⎩，则方程()()g x f x =恰有两个不同的实根时，实数a 的

取值范围是 （ ） A ．1

(0,)e B ．11[,)4e C ．1(0,]4 D ．1(,)4

e

二、多选题：（每小题给出的四个选项中，不止一项是符合题目要求的，请把正确的所有选项填涂在答题卡相应的位置上）

9．设正实数,a b 满足1a b +=，则下列结论正确的是 （ ）

A ．

11

a b

+有最小值4 B

有最小值12

C

D ．22a b +有最小值12

10．将函数cos y x =的图象向左平移32

π

个单位，得到函数()y f x =的函数图象，则下列说法正确的是（ ）

A

B E

C D F

A ．()y f x =是奇函数

B ．()y f x =的周期是π

C ．()y f x =的图象关于直线2

x π=

对称 D ．()y f x =的图象关于(,0)2

π

-对称

11．如图，正方体ABCD A B C D ''''-的棱长为1，则下列四个命题正确的是 （ ） A ．若点,M N 分别是线段,A A A D '''的中点，则//MN BC '

B ． 点

C 到平面ABC

D ''的距离为2

C ．直线BC 与平面ABC

D ''所成的角等于

4

π

D ．三棱柱AA D BB C ''''-的外接球的表面积为3π

12．关于函数()e ,x

f x ax x R =-∈，其中e 为自然对数的底数， 下列说法正确的是 （ ） A ．当1a =时，()f x 在(,0)-∞上单调递增

B ．当0a =时，()lnx 3f x -≥在x (0,)∈+∞上恒成立

C ．对任意0a <，()f x 在(,0)-∞上一定存在零点

D ．存在0a >，()f x 有唯一的极小值

二、填空题．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．

． 13．已知随机变量X 服从正态分布2

(1,)N σ，且(2)0.7P X <=,则(01)P X <<= ,

14．已知等比数列{}n a 的公比为2，前n 项和为n S ，则

4

2

S S = . 15．小明拟测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好 落在地面和一斜坡上（如图1）此时测得地面上树的 影子长为8米，坡面上树的影子长为4米，已知斜坡 的坡角为030，同一时刻，一根长为1，垂直于地面上 的标杆在地面上的影子长为2米（如图2），则树的高 度为 米. 16．已知实数,αβ满足34

,(ln 1)e e e ααββ=-=，其中e 是自然对数的底数，则αβ= .

三、解答题．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．已知平面向量(2cos ,1),(1,3sin ).a b θθ== （1）若//a b ，求sin 2θ的值；（2）若a b ⊥，求tan()4

π

θ+

的值.

18．如图，正四棱锥S ABCD -中，4,2,SA AB E ==为SC 中点. （1）求证：//SA BDE 平面；

（2）求异面直线SA 与BE 所成角的余弦值.

19．在①32525,6a a a b =+=；②23432,3b a a b =+=；③34529,8S a a b =+=，

A

B

D

C

B '

A 'C '

D '

M

N

0301（图）2（图）

B

E

D C

S