中考数学中等难度题训练
2019年吉林中考数学试题(解析版)
{来源}2019年吉林中考数学试卷{适用范围:3．九年级}2019年吉林初中毕业生学业水平考试数学试卷考试时间：120分钟满分：120分{题目}1．（2019年吉林）1．如图，数轴上蝴蝶所在点表示的数可能为（）（第1题）A．3 B．2 C．1 D．－1{答案}D{解析}本题考查了数轴上有理数的表示，因为负数在原点的左侧，因此本题选D．{分值}2{章节: [1-1-2-2]数轴}{考点:数轴表示数}{类别:常考题}{难度:1-最简单}{题目}2．（2019年吉林）2．如图，由6个相同的小正方体组合成一个立体图形，它的俯视图为（）（第2题）A．B．C．D．{答案}D{解析}本题考查了俯视图，因为该组合图形俯视图由四个正方体连成一排，因此本题选D．{分值}2{章节:[1-29-2]三视图}{考点:简单组合体的三视图}{类别:常考题}{难度:1-最简单}{题目}3．（2019年吉林）3．若a为实数，则下列各式的运算结果比a小的是（）A．1a⨯D．1a÷a-C．1a+B．1{答案}B{解析}本题考查了数值大小比较，a-1比a小，因此本题选B．{分值}2{章节:[1-2-2]整式的加减}{考点:实数的大小比较}{类别:常考题}{难度:1-最简单}{题目}4．（2019年吉林）4．把图中的交通标志图案绕着它的中心旋转一定角度后与自身重合，则这个旋转角度至少为（）A．30°B．90°C．120°D．180°（第4题）{答案}C{解析}本题考查了图形的旋转运动，因为图形可以分解成三份完全相同的图形，360°÷3=120°，因此本题选C ． {分值}2{章节:[1-23-1]图形的旋转} {考点:与旋转有关的角度计算} {类别:常考题} {难度:1-最简单}{题目}5．（2019年吉林）5．如图，在⊙O 中，AB 所对的圆周角∠ACB =50°，若P 为AB 上一点，∠AOP =55°，则∠POB 的度数为（ ） A ．30° B ．45° C ．55° D ．60°OPC BA （第5题）{答案}B{解析}本题考查了圆内角度计算，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，因此本题选B ． {分值}2{章节:[1-24-1-3]弧、弦、圆心角} {考点:直径所对的圆周角} {类别:常考题} {难度:3-中等难度}{题目}6（2019年吉林）6． 曲桥是我国古代经典建筑之一，它的修建增加了游人在桥上行走的路程，有利于游人更好地观赏风光。
中考数学：高难度几何压轴题
中考数学：高难度几何压轴题原创胡老师中学解题思维2018-03-29今天这道题原本以为是以前遇到过的一道个人经历中最难的那道几何证明题，后来发现不是，不过难度系数也挺高了。
这道题对多数同学来说，中等难度起步，到第三问的时候就属于高难部分了。
当大家审题后，不难发现，第一问还是很快就能解答出来的，第二问的证明过程可能对于很多同学来说具有一定的复杂性；第三问的话，如果思考过程中没有逻辑性，只要没写过这道题，恐怕就不会在一时半会将其解答出来。
（1）AC的长度有了，那么在Rt△ABC中，有60°角，那么就可以求出来AB了；H是AC中点，那么AH就可以已知了，在Rt△ADH中，∠DAH=90°-∠BAC=30°，所以可以求出AD的长度，在Rt△DAB中，根据勾股定理就可以求得BD了；（2）根据图形可以很明显看出HF和EF分别在两个三角形中，那是不是只需要证明其全等即可？大家只需要去寻找条件，看是否成立。
点F是BD中点，所以AF=DF，一个条件了；Rt△DAE和Rt△ADH，可以很轻松证全等吧，所以可得DH=AE，第二个条件了；那么第三个条件肯定就需要角相等了，这个条件估计会有一些同学看不出来，其实还是要善于思考，根据刚才的两个小直角三角形全等，可以得到∠ADH和∠DAE是相等的，那么又有DF=AF，所以∠ADF=∠DAF，因此它俩减去一个相等的角，剩下∠FDH=∠FAE，第三个条件了；那么接下来全等就行了；（3）以下红色字体部分是为同学们提供的思维切入方法，对同学们可能会有所帮助。
这一问证明等边三角形，大家都知道，方法有两种，要么三边相等，要么两边相等且有60°角，那么这道题怎么解决呢？我们先来看△CEF，既然要证明是等边，那么我们就认为它是等边的，那么这个三角形的顶点C被吊起来，它是不是可以来回旋转呢？那么我们让它顺时针旋转到CE和AC重合时，CF转过的那角度是不是就和∠ACE相等呢？然后我们把新的CE延长一下，和AB交于点M，这样再连接FM的话是不是看着就产生了一个和△A CE很像的三角形呢？如上图所示，但是问题是咱们还没证明△CEF是等边呢，然而我们找到了点M这个有利条件，就刚才咱们假设的而言，如果△ACE和△MCF是全等，那么AC和CM就是相等的，那我们是不是可以倒回去，制造一个AC=CM出来呢？根据已知条件可得，AC是AB的一半，那么如果CM也是AB的一半不就解决了吗？直角三角形中，等于斜边一半的，很容易就能想到斜边的中线，所以，我们就找到了切入点，取AB的中点M，连接MF、MC，∵F是BD中点，所以MF是中位线，∵AC⊥AB，∴MF⊥AB，同时，△ACM很容易就能得到是等边三角形，∴∠AMC=60°，AC=CM，那么∠CMF不就是30°吗？再回到题干中，AE是角平分线，所以∠CAE=30°；这下有两个条件了吧？再找一个条件就OK了。
2023年中考数学必考特色题型讲练【选择题】必考重点09 相似三角形的判定与性质
【填空题】必考重点09 相似三角形的判定与性质相似三角形的判定与性质一直是江苏省各地市考查的重点，难度中等或较难，常作为压轴题考查。
在解相似三角形的判定与性质的有关题目时，首先要求考生掌握证明三角形相似的条件和方法，相似三角形的对应边成比例、对应角相等，对应角平分线、中线、高的比等于相似比，相似三角形的周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方。
其次要能够运用相似三角形的性质，列出方程，求出相应线段的长度或者探索各线段之间的数量关系。
【2022·江苏苏州·中考母题】如图，在平行四边形ABCD 中，AB AC ⊥，3AB =，4AC =，分别以A ，C 为圆心，大于12AC 的长为半径画弧，两弧相交于点M ，N ，过M ，N 两点作直线，与BC 交于点E ，与AD 交于点F ，连接AE ，CF ，则四边形AEC F 的周长为______．【考点分析】本题考查了垂直平分线的性质，菱形的性质与判定，勾股定理，平行线分线段成比例，平行四边形的性质与判定，综合运用以上知识是解题的关键．【思路分析】根据作图可得MN AC ⊥，且平分AC ，设AC 与MN 的交点为O ，证明四边形AECF 为菱形，根据平行线分线段成比例可得AE 为ABC 的中线，然后勾股定理求得BC ，根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半可得AE 的长，进而根据菱形的性质即可求解．【2022·江苏常州·中考母题】如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，9AC =，12BC =．在Rt DEF 中，90F ∠=︒，3DF =，4EF =．用一条始终绷直的弹性染色线连接CF ，Rt DEF 从起始位置（点D 与点B 重合）平移至终止位置（点E 与点A 重合），且斜边DE 始终在线段AB 上，则Rt ABC △的外部．．被染色的区域面积是______．【考点分析】本题考查了直角三角形，相似三角形的判定及性质、勾股定理、平行四边形的判定及性质，解题的关键是把问题转化为求梯形的面积．【思路分析】过点F 作AB 的垂线交于G ，同时在图上标出,,M N F '如图，需要知道的是Rt ABC 的被染色的区域面积是MNF F S '梯形，所以需要利用勾股定理，相似三角形、平行四边形的判定及性质，求出相应边长，即可求解．【2022·江苏宿迁·中考母题】如图，在矩形ABCD 中，AB =6，BC =8，点M 、N 分别是边AD 、BC 的中点，某一时刻，动点E 从点M 出发，沿MA 方向以每秒2个单位长度的速度向点A 匀速运动；同时，动点F 从点N 出发，沿NC 方向以每秒1个单位长度的速度向点C 匀速运动，其中一点运动到矩形顶点时，两点同时停止运动，连接EF ，过点B 作EF 的垂线，垂足为H ．在这一运动过程中，点H 所经过的路径长是_____．【考点分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，圆周角定理，以及弧长等知识，判断出点H 运动的路径长为PN 长是解答本题的关键．【思路分析】根据题意知EF 在运动中始终与MN 交于点Q ，且AQM FQN ∆∆， :1:2,NQ MQ =点H 在以BQ 为直径的PN 上运动，运动路径长为PN 的长，求出BQ 及PN 的圆角，运用弧长公式进行计算即可得到结果．【2021·江苏镇江·中考母题】如图，点D ，E 分别在△ABC 的边AC ，AB 上，△ADE ∽△ABC ，M ，N 分别是DE ，BC 的中点，若AM AN ＝12，则ADE ABC S S ＝__．【考点分析】本题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方、相似三角形对应中线的比等于相似比是解题的关键．【思路分析】根据相似三角形对应中线的比等于相似比求出DE BC，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方解答即可．1．（2022·江苏淮安·一模）如图，在正方形ABCD 中，8AB =，点H 在AD 上，且2AH =，点E 绕着点B 旋转，且3BE =，在AE 的上方作正方形AEFG ，则线段FH 的最小值是______．2．（2022·江苏苏州·二模）如图，在ABC 中，2AC =，AB AD CD ==，36BAD ∠=︒，则AD =________．3．（2022·江苏泰州·二模）定义：如果三角形中有两个角的差为90°，则称这个三角形为互融三角形，在Rt △ABC 中，∠BAC = 90°，AB = 4 ，BC = 5 ，点D 是 BC 延长线上一点．若 △ABD 是“互融三角形”，则 CD 的长为________．4．（2022·江苏泰州·二模）如图1，在Rt ABC 中，90B ，BA BC =，D 为AB 的中点，P 为线段AC上一动点，设PC x =，PB PD y +=，图2是y 关于x 的函数图像，且最低点E 的横坐标是AB ＝______．5．（2022·江苏淮安·一模）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，四边形ABCD 和四边形CGFE 的顶点均在格点上，则两个四边形重叠部分（阴影部分）的面积为__________．6．（2022·江苏泰州·一模）如图，直线l 与圆O 相交于A 、B 两点，AC 是圆O 的弦，OC ∥AB ，半径OC 的长为10，弦AB 的长为12，动点P 从点A 出发以每秒1个单位的速度沿射线AB 方向运动．当△APC 是直角三角形时，动点P 运动的时间t 为 _____秒．7．（2022·江苏南京·一模）如图，在ABC 中，30B ∠=︒，点D 是AC 上一点，过点D 作∥DE BC 交AB 于点E ，DF AB ∥交BC 于点F ．若5AE =，4CF =，则四边形BFDE 的面积为______．8．（2022·江苏苏州·一模）如图，矩形ABCD中，点E在边CD上，AC与BE交于点F，过点F作FG BC⊥于点G，若23DEEC=，则FGAB的值为______．9．（2022·江苏南京·模拟预测）图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AF平分∠BAC，交BD于点E，交BC于点F，若BE＝BF＝2，则AD＝_____．10．（2022·江苏扬州·一模）ABCD中，BE CF=，连接AE、BF交于点H，连接DH并延长交BC于点G，若2AB BH==BG=__________．11．（2022·江苏无锡·一模）如图，在ΔABC中放置5个大小相等的正方形，若BC=12，则每个小正方形的边长为____．12．（2022·江苏苏州·二模）如图，在矩形ABCD 中，1AB =，3AD =．①以点A 为圆心，以不大于AB 长为半径作弧，分别交边AD ，AB 于点E ，F ，再分别以点E ，F 为圆心，以大于12EF 长为半径作弧，两弧交于点P ，作射线AP 分别交BD ，BC 于点O ，Q ；②分别以点C ，Q 为圆心，以大于12CQ 长为半径作弧，两弧交于点M ，N ，作直线MN 交AP 于点G ，则OG 长为______．13．（2022·江苏泰州·二模）如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =6，BC =8，点E 是△ABC 内部一点（不包括三条边），点F 、G 分别在AC 、AB 边上，且EF ⊥AC ，EG ⊥AB ，垂足分别为F 、G ．点D 是AB 边的中点，连接ED ，若EF ＜EG ，则ED 长的取值范围是_________．14．（2022·江苏常州·二模）如图，正六边形ABCDEF 中，G 是边AF 上的点，113==GF AB ，连接GC ，将GC 绕点C 顺时针旋转60︒得,''G C G C 交DE 于点H ，则线段HG '的长为__________．15．（2022·江苏扬州·二模）如图，在锐角三角形ABC 中，8BC =，4sin 5A =，BN AC ⊥于点N ，CM AB ⊥于点M ，连接MN ，则△AMN 面积的最大值是______．16．（2022·江苏南通·二模）如图，正方形ABCD 的边长为5，E 为AD 的中点，P 为CE 上一动点，则AP BP +的最小值为______．17．（2022·江苏扬州·二模）定义：等腰三角形底边与腰的比叫做顶角α的正对（sad α）．例如，在ABC 中，AB AC =，顶角A 的正对BC sadA AB ==底边腰．当36A ∠=︒时，36sad ︒=______________．（结果保留根号）18．（2022·江苏盐城·一模）如图，DE 是△ABC 的中位线，F 为DE 中点，连接AF 并延长交BC 于点G ，若2EFG S =△，则ABC S =___________．19．（2022·江苏无锡·一模）如图，点P 为线段AB 上一点，3AB =，2AP =，过点B 作任意一直线l ，点P关于直线l 的对称点为Q ，将点P 绕点Q 顺时针旋转90︒到点R ，连接PQ 、RQ 、AR 、BR ，则线段AR 长度的最大值为________．20．（2022·江苏盐城·一模）如图，在Rt ABC 中，CD 为斜边AB 的中线，过点D 作DE AC ⊥于点E ，延长DE 至点F ，使EF DE =，连接,AF CF ，点G 在线段CF 上，连接EG ，且180,2,3CDE EGC FG GC ∠+∠=︒==．下列结论：①12DE BC =；②四边形DBCF 是平行四边形；③EF EG =；④BC =______．（填序号）21．（2022·江苏连云港·一模）如图，以AB 为直径的半圆O 内有一条弦AC ，P 是弦AC 上一个动点，连接BP ，并延长交半圆O 于点D ．若5AB =，4AC =，则DP BP 的最大值是________．22．（2022·江苏·扬州市邗江区梅苑双语学校一模）如图，在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别是边AB ，AD 的中点，BF ，CE 交于点M ，若三角形BEM 的面积为1，则四边形AEMF 的面积为________．23．（2022·江苏南京·模拟预测）如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6，E 是BC 的中点，AE 与BD 交于点F ，连接CF．若AE⊥BD，则CF的长为_____．24．（2022·江苏苏州·模拟预测）如图，矩形ABCD中，2BC=，E在边BC上运动，M、N在AB=，4+的最小值为______．对角线BD上运动，且25．（2022·江苏·连云港市新海初级中学一模）如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=6，点E在边BC上，且BE∶EC=2∶1，动点P从点C出发，沿CD运动到点D停止，过点E作EF⊥PE交矩形ABCD的边于F，若线段EF的中点为M，则点P从C运动到D的过程中，点M运动的路线长为_______．【填空题】必考重点09 相似三角形的判定与性质相似三角形的判定与性质一直是江苏省各地市考查的重点，难度中等或较难，常作为压轴题考查。
中考数学专题训练---直角三角形的边角关系的综合题分类附答案解析
中考数学专题训练---直角三角形的边角关系的综合题分类附答案解析一、直角三角形的边角关系1．如图，在平行四边形ABCD中，平分，交于点，平分，交于点，与交于点，连接，.（1）求证：四边形是菱形；（2）若，，，求的值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】试题分析：（1）根据AE平分∠BAD、BF平分∠ABC及平行四边形的性质可得AF=AB=BE，从而可知ABEF为平行四边形，又邻边相等，可知为菱形（2）由菱形的性质可知AP的长及∠PAF=60°，过点P作PH⊥AD于H，即可得到PH、DH 的长，从而可求tan∠ADP试题解析：(1)∵AE平分∠BAD BF平分∠ABC∴∠BAE=∠EAF ∠ABF=∠EBF∵AD//BC∴∠EAF=∠AEB ∠AFB=∠EBF∴∠BAE=∠AEB ∠AFB=∠ABF∴AB=BE AB=AF∴AF=AB=BE∵AD//BC∴ABEF为平行四边形又AB=BE∴ABEF为菱形（2）作PH⊥AD于H由∠ABC=60°而已（1）可知∠PAF=60°，PA=2，则有PH=，AH=1，∴DH=AD-AH=5∴tan∠ADP=考点：1、平行四边形；2、菱形；3、直角三角形；4、三角函数2．已知Rt△ABC中，AB是⊙O的弦，斜边AC交⊙O于点D，且AD=DC，延长CB交⊙O 于点E．（1）图1的A、B、C、D、E五个点中，是否存在某两点间的距离等于线段CE的长？请说明理由；（2）如图2，过点E作⊙O的切线，交AC的延长线于点F．①若CF=CD时，求sin∠CAB的值；②若CF=aCD（a＞0）时，试猜想sin∠CAB的值．（用含a的代数式表示，直接写出结果）【答案】（1）AE=CE；（2）①；②．【解析】试题分析：（1）连接AE、DE，如图1，根据圆周角定理可得∠ADE=∠ABE=90°，由于AD=DC，根据垂直平分线的性质可得AE=CE；（2）连接AE、ED，如图2，由∠ABE=90°可得AE是⊙O的直径，根据切线的性质可得∠AEF=90°，从而可证到△ADE∽△AEF，然后运用相似三角形的性质可得=AD•AF．①当CF=CD时，可得，从而有EC=AE=CD，在Rt△DEC中运用三角函数可得sin∠CED=，根据圆周角定理可得∠CAB=∠DEC，即可求出sin∠CAB的值；②当CF=aCD（a＞0）时，同①即可解决问题．试题解析：（1）AE=CE．理由：连接AE、DE，如图1，∵∠ABC=90°，∴∠ABE=90，∴∠ADE=∠ABE=90°，∵AD=DC，∴AE=CE；（2）连接AE、ED，如图2，∵∠ABE=90°，∴AE是⊙O的直径，∵EF是⊙OO的切线，∴∠AEF=90°，∴∠ADE=∠AEF=90°，又∵∠DAE=∠EAF，∴△ADE∽△AEF，∴，∴=AD•AF．①当CF=CD时，AD=DC=CF，AF=3DC，∴=DC•3DC=，∴AE=DC，∵EC=AE，∴EC=DC，∴sin∠CAB=sin∠CED===；②当CF=aCD（a＞0）时，sin∠CAB=．∵CF=aCD，AD=DC，∴AF=AD+DC+CF=（a+2）CD，∴=DC•（a+2）DC=（a+2），∴AE=DC，∵EC=AE，∴EC=DC，∴sin∠CAB=sin∠CED==．考点：1．圆的综合题；2．探究型；3．存在型．3．问题背景:如图（a）,点A、B在直线l的同侧，要在直线l上找一点C，使AC与BC的距离之和最小，我们可以作出点B关于l的对称点B′,连接A B′与直线l交于点C，则点C即为所求.（1）实践运用：如图(b)，已知，⊙O的直径CD为4，点A 在⊙O 上，∠ACD=30°，B 为弧AD 的中点，P为直径CD上一动点，则BP+AP的最小值为．（2）知识拓展：如图(c)，在Rt△ABC中，AB=10，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，E、F分别是线段AD和AB上的动点，求BE+EF的最小值，并写出解答过程．【答案】解：（1）22．（2）如图，在斜边AC上截取AB′=AB，连接BB′．∵AD平分∠BAC，∴点B与点B′关于直线AD对称．过点B′作B′F⊥AB,垂足为F，交AD于E，连接BE．则线段B′F的长即为所求 (点到直线的距离最短) ．在Rt△AFB/中，∵∠BAC=450, AB/="AB=" 10，∴．∴BE+EF的最小值为【解析】试题分析：（1）找点A或点B关于CD的对称点，再连接其中一点的对称点和另一点，和MN的交点P就是所求作的位置，根据题意先求出∠C′AE，再根据勾股定理求出AE，即可得出PA+PB的最小值：如图作点B关于CD的对称点E，连接AE交CD于点P，此时PA+PB最小，且等于A．作直径AC′，连接C′E，根据垂径定理得弧BD=弧DE．∵∠ACD=30°，∴∠AOD=60°，∠DOE=30°．∴∠AOE=90°．∴∠C′AE=45°．又AC为圆的直径，∴∠AEC′=90°．∴∠C′=∠C′AE=45°．∴C′E=AE=AC′=2．∴AP+BP的最小值是22（2）首先在斜边AC上截取AB′=AB，连接BB′，再过点B′作B′F⊥AB，垂足为F，交AD于E，连接BE，则线段B′F的长即为所求．4．我市在创建全国文明城市的过程中，某社区在甲楼的A 处与E 处之间悬挂了一副宣传条幅，在乙楼顶部C 点测得条幅顶端A 点的仰角为45°，条幅底端E 点的俯角为30°，若甲、乙两楼之间的水平距离BD 为12米，求条幅AE 的长度．(结果保留根号)【答案】AE 的长为(123)+ 【解析】 【分析】在Rt ACF V 中求AF 的长, 在Rt CEF V 中求EF 的长,即可求解. 【详解】过点C 作CF AB ⊥于点F 由题知：四边形CDBF 为矩形12CF DB ∴==在Rt ACF V 中，45ACF ∠=︒tan 1AFACF CF∴∠== 12AF ∴= 在Rt CEF V 中，30ECF ∠=︒tan EFECF CF∴∠= 312EF ∴=43EF ∴=1243AE AF EF ∴=+=+∴求得AE 的长为(1243+【点睛】本题考查了三角函数的实际应用,中等难度,作辅助线构造直角三角形是解题关键.5．如图，AB 是⊙O 的直径，E 是⊙O 上一点，C 在AB 的延长线上，AD ⊥CE 交CE 的延长线于点D ，且AE 平分∠DAC ．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若AB＝6，∠ABE＝60°，求AD的长．【答案】（1）详见解析；（2）9 2【解析】【分析】（1）利用角平分线的性质得到∠OAE＝∠DAE，再利用半径相等得∠AEO＝∠OAE，等量代换即可推出OE∥AD，即可解题，（2）根据30°的三角函数值分别在Rt△ABE中，AE＝AB·cos30°，在Rt△ADE中，AD=cos30°×AE即可解题.【详解】证明：如图，连接OE，∵AE平分∠DAC，∴∠OAE＝∠DAE．∵OA＝OE，∴∠AEO＝∠OAE．∴∠AEO＝∠DAE．∴OE∥AD．∵DC⊥AC，∴OE⊥DC．∴CD是⊙O的切线．（2）解：∵AB是直径，∴∠AEB＝90°，∠ABE＝60°．∴∠EAB＝30°，在Rt△ABE中，AE＝AB·cos30°333在Rt△ADE中，∠DAE＝∠BAE＝30°，∴AD=cos30°×AE=32×33=92.【点睛】本题考查了特殊的三角函数值的应用，切线的证明，中等难度，利用特殊的三角函数表示出所求线段是解题关键.6．如图，AB是圆O的直径，O为圆心，AD、BD是半圆的弦，且∠PDA=∠PBD．延长PD 交圆的切线BE于点E(1)判断直线PD是否为⊙O的切线，并说明理由；(2)如果∠BED=60°，PD=3，求PA的长；(3)将线段PD以直线AD为对称轴作对称线段DF，点F正好在圆O上，如图2，求证：四边形DFBE为菱形．【答案】（1）证明见解析；（2）1；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）连接OD，由AB是圆O的直径可得∠ADB=90°，进而求得∠ADO+∠PDA=90°，即可得出直线PD为⊙O的切线；（2）根据BE是⊙O的切线，则∠EBA=90°，即可求得∠P=30°，再由PD为⊙O的切线，得∠PDO=90°，根据三角函数的定义求得OD，由勾股定理得OP，即可得出PA；（3）根据题意可证得∠ADF=∠PDA=∠PBD=∠ABF，由AB是圆O的直径，得∠ADB=90°，设∠PBD=x°，则可表示出∠DAF=∠PAD=90°+x°，∠DBF=2x°，由圆内接四边形的性质得出x 的值，可得出△BDE是等边三角形．进而证出四边形DFBE为菱形．【详解】（1）直线PD为⊙O的切线，理由如下：如图1，连接OD，∵AB是圆O的直径，∴∠ADB=90°，∴∠ADO+∠BDO=90°，又∵DO=BO，∴∠BDO=∠PBD，∵∠PDA=∠PBD，∴∠BDO=∠PDA，∴∠ADO+∠PDA=90°，即PD⊥OD，∵点D在⊙O上，∴直线PD为⊙O的切线；（2）∵BE是⊙O的切线，∴∠EBA=90°，∵∠BED=60°，∴∠P=30°，∵PD为⊙O的切线，∴∠PDO=90°，在Rt△PDO中，∠P=30°，3∴0 tan30ODPD=，解得OD=1，∴22PO PD OD+，∴PA=PO﹣AO=2﹣1=1；（3）如图2，依题意得：∠ADF=∠PDA，∠PAD=∠DAF，∵∠PDA=∠PBD∠ADF=∠ABF，∴∠ADF=∠PDA=∠PBD=∠ABF，∵AB是圆O的直径，∴∠ADB=90°，设∠PBD=x°，则∠DAF=∠PAD=90°+x°，∠DBF=2x°，∵四边形AFBD内接于⊙O，∴∠DAF+∠DBF=180°，即90°+x+2x=180°，解得x=30°，∴∠ADF=∠PDA=∠PBD=∠ABF=30°，∵BE、ED是⊙O的切线，∴DE=BE，∠EBA=90°，∴∠DBE=60°，∴△BDE是等边三角形，∴BD=DE=BE，又∵∠FDB=∠ADB﹣∠ADF=90°﹣30°=60°∠DBF=2x°=60°，∴△BDF是等边三角形，∴BD=DF=BF，∴DE=BE=DF=BF，∴四边形DFBE为菱形.【点睛】本题是一道综合性的题目，考查了切线的判定和性质，圆周角定理和菱形的性质，是中档题，难度较大．7．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=7，AC=2，过点B作直线m∥AC，将△ABC绕点C 顺时针旋转得到△A′B′C(点A，B的对应点分别为A'，B′)，射线CA′，CB′分別交直线m于点P，Q．(1)如图1，当P与A′重合时，求∠ACA′的度数；(2)如图2，设A′B′与BC的交点为M，当M为A′B′的中点时，求线段PQ的长；(3)在旋转过程中，当点P，Q分别在CA′，CB′的延长线上时，试探究四边形PA'B′Q的面积是否存在最小值．若存在，求出四边形PA′B′Q的最小面积；若不存在，请说明理由．【答案】（1）60°；（2）PQ＝72；（3）存在，S四边形PA'B′Q＝33【解析】【分析】（1）由旋转可得：AC=A'C=2，进而得到BC3=∠A'BC=90°，可得cos∠A'CB3'BCA C==∠A'CB=30°，∠ACA'=60°；（2）根据M 为A 'B '的中点，即可得出∠A =∠A 'CM ，进而得到PB 32=BC 32=，依据tan ∠Q =tan ∠A 3=，即可得到BQ =BC 3⨯=2，进而得出PQ =PB +BQ 72=； （3）依据S 四边形PA 'B 'Q =S △PCQ ﹣S △A 'CB '=S △PCQ 3-，即可得到S 四边形PA 'B 'Q 最小，即S △PCQ 最小，而S △PCQ 12=PQ ×BC 3=PQ ，利用几何法即可得到S △PCQ 的最小值=3，即可得到结论． 【详解】（1）由旋转可得：AC =A 'C =2． ∵∠ACB =90°，AB 7=，AC =2，∴BC 3=．∵∠ACB =90°，m ∥AC ，∴∠A 'BC =90°，∴cos ∠A 'CB 3'BC A C ==，∴∠A 'CB =30°，∴∠ACA '=60°；（2）∵M 为A 'B '的中点，∴∠A 'CM =∠MA 'C ，由旋转可得：∠MA 'C =∠A ，∴∠A =∠A 'CM ，∴tan ∠PCB =tan ∠A 32=，∴PB 32=BC 32=． ∵∠BQC =∠BCP =∠A ，∴tan ∠BQC =tan ∠A 3=，∴BQ =BC 3⨯=2，∴PQ =PB +BQ 72=； （3）∵S 四边形PA 'B 'Q =S △PCQ ﹣S △A 'CB '=S △PCQ 3-，∴S 四边形PA 'B 'Q 最小，即S △PCQ 最小，∴S △PCQ 12=PQ ×BC 3=PQ ， 取PQ 的中点G ． ∵∠PCQ =90°，∴CG 12=PQ ，即PQ =2CG ，当CG 最小时，PQ 最小，∴CG ⊥PQ ，即CG 与CB 重合时，CG 最小，∴CG min 3=，PQ min =23，∴S △PCQ 的最小值=3，S 四边形PA 'B 'Q =33-；【点睛】本题属于几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，解直角三角形以及直角三角形的性质的综合运用，解题时注意：旋转变换中，对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．8．如图，正方形ABCD的边长为2+1，对角线AC、BD相交于点O，AE平分∠BAC分别交BC、BD于E、F，（1）求证：△ABF∽△ACE；（2）求tan∠BAE的值；（3）在线段AC上找一点P，使得PE+PF最小，求出最小值．【答案】（1）证明见解析；（2）tan∠EAB＝2﹣1；（3）PE+PF的最小值为22．【解析】【分析】（1）根据两角对应相等的两个三角形相似判断即可；（2）如图1中，作EH⊥AC于H．首先证明BE=EH=HC，设BE=EH=HC=x，构建方程求出x 即可解决问题；（3）如图2中，作点F关于直线AC的对称点H，连接EH交AC于点P，连接PF，此时PF+PE的值最小，最小值为线段EH的长；【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ACE＝∠ABF＝∠CAB＝45°，∵AE平分∠CAB，∴∠EAC＝∠BAF＝22.5°，∴△ABF∽△ACE．（2）解：如图1中，作EH⊥AC于H．∵EA平分∠CAB，EH⊥AC，EB⊥AB，∴BE＝EB，∵∠HCE＝45°，∠CHE＝90°，∴∠HCE＝∠HEC＝45°，∴HC＝EH，∴BE ＝EH ＝HC ，设BE ＝HE ＝HC ＝x ，则EC ＝2x ， ∵BC ＝2+1，∴x+x ＝2+1，∴x ＝1，在Rt △ABE 中，∵∠ABE ＝90°，∴tan ∠EAB ＝221BE AB ＝＝+﹣1． （3）如图2中，作点F 关于直线AC 的对称点H ，连接EH 交AC 于点P ，连接PF ，此时PF+PE 的值最小．作EM ⊥BD 于M ．BM ＝EM ＝22， ∵AC 22AB BC +2，∴OA ＝OC ＝OB ＝12AC 22+ ， ∴OH ＝OF ＝OA•tan ∠OAF ＝OA•tan ∠EAB ＝222+ •2﹣1）＝22， ∴HM ＝OH+OM ＝222+， 在Rt △EHM 中，EH 2222222EM HM 22⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝22+．． ∴PE+PF 22+【点睛】本题考查正方形的性质，相似三角形的判定，勾股定理，最短问题等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．9．如图，某次中俄“海上联合”反潜演习中，我军舰A 测得潜艇C 的俯角为30°．位于军舰A 正上方1000米的反潜直升机B 侧得潜艇C 的俯角为68°．试根据以上数据求出潜艇C 离开海平面的下潜深度．（结果保留整数．参考数据：sin68°≈0.9，cos68°≈0.4，tan68°≈2.5， 3≈1.7）【答案】潜艇C离开海平面的下潜深度约为308米【解析】试题分析：过点C作CD⊥AB，交BA的延长线于点D，则AD即为潜艇C的下潜深度，用锐角三角函数分别在Rt△ACD中表示出CD和在Rt△BCD中表示出BD，利用BD=AD+AB二者之间的关系列出方程求解．试题解析：过点C作CD⊥AB，交BA的延长线于点D，则AD即为潜艇C的下潜深度，根据题意得：∠ACD=30°，∠BCD=68°，设AD=x，则BD=BA+AD=1000+x，在Rt△ACD中，CD=tan AD ACD=tan30x= 3x在Rt△BCD中，BD=CD•tan68°，∴325+x=3x•tan68°解得：x≈100米，∴潜艇C离开海平面的下潜深度为100米．点睛：本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是作出辅助线，从题目中找出直角三角形并选择合适的边角关系求解．视频10．小明坐于堤边垂钓，如图①，河堤AC的坡角为30°，AC长米，钓竿AO的倾斜角是60°，其长为3米，若AO与钓鱼线OB的夹角为60°，求浮漂B与河堤下端C之间的距离(如图②)．【答案】1．5米．【解析】试题分析：延长OA交BC于点D．先由倾斜角定义及三角形内角和定理求出在Rt△ACD中,米，CD=2AD=3米，再证明△BOD是等边三角形，得到米，然后根据BC=BD−CD即可求出浮漂B与河堤下端C之间的距离．试题解析：延长OA交BC于点D.∵AO的倾斜角是，∴∵在Rt△ACD中, (米)，∴CD=2AD=3米，又∴△BOD是等边三角形，∴(米)，∴BC=BD−CD=4.5−3=1.5(米).答：浮漂B与河堤下端C之间的距离为1.5米.11．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A（0，1），点C（1，0），正方形AOCD的两条对角线的交点为B，延长BD至点G，使DG=BD，延长BC至点E，使CE=BC，以BG，BE为邻边作正方形BEFG．（Ⅰ）如图①，求OD的长及ABBG的值；（Ⅱ）如图②，正方形AOCD固定，将正方形BEFG绕点B逆时针旋转，得正方形BE′F′G′，记旋转角为α（0°＜α＜360°），连接AG′．①在旋转过程中，当∠BAG′=90°时，求α的大小；②在旋转过程中，求AF′的长取最大值时，点F′的坐标及此时α的大小（直接写出结果即可）．【答案】（Ⅰ）12（Ⅱ）①α=30°或150°时，∠BAG′=90°②当α=315°时，A、B、F′在一条直线上时，AF′的长最大，最大值为2+2，此时α=315°，F′（12+2，12﹣2）【解析】【分析】(1)根据正方形的性质以及勾股定理即可解决问题,(2)①因为∠BAG′=90°,BG′=2AB,可知sin∠AG′B=12ABBG,推出∠AG′B=30°,推出旋转角α=30°,据对称性可知,当∠ABG″=60°时,∠BAG″=90°,也满足条件,此时旋转角α=150°,②当α=315°时,A、B、F′在一条直线上时,AF′的长最大.【详解】（Ⅰ）如图1中，∵A（0，1），∴OA=1，∵四边形OADC是正方形，∴∠OAD=90°，AD=OA=1，∴OD=AC==，∴AB=BC=BD=BO=，∵BD=DG，∴BG=，∴==．（Ⅱ）①如图2中，∵∠BAG′=90°，BG′=2AB，∴sin∠AG′B==，∴∠AG′B=30°，∴∠ABG′=60°，∴∠DBG′=30°，∴旋转角α=30°，根据对称性可知，当∠ABG″=60°时，∠BAG″=90°，也满足条件，此时旋转角α=150°，综上所述，旋转角α=30°或150°时，∠BAG′=90°．②如图3中，连接OF，∵四边形BE′F′G′是正方形的边长为∴BF′=2，∴当α=315°时，A、B、F′在一条直线上时，AF′的长最大，最大值为+2，此时α=315°，F′（+，﹣）【点睛】本题考查的是正方形的性质、旋转变换的性质以及锐角三角函数的定义,解决本题的关键是要熟练掌握正方形的四条边相等、四个角相等，旋转变换的性质以及特殊角的三角函数值的应用．12．如图，△ABC是边长为6cm的等边三角形，点D从B点出发沿B→A方向在线段BA上以a cm/s速度运动，与此同时，点E从线段BC的某个端点出发，以b cm/s速度在线段BC上运动，当D到达A点后，D、E运动停止，运动时间为t（秒）．（1）如图1，若a=b=1，点E从C出发沿C→B方向运动，连AE、CD，AE、CD交于F，连BF．当0＜t＜6时：①求∠AFC的度数；②求222AFFC BFAF FC+-⋅的值；（2）如图2，若a=1，b=2，点E从B点出发沿B→C方向运动，E点到达C点后再沿C→B 方向运动．当t≥3时，连DE，以DE为边作等边△DEM，使M、B在DE两侧，求M点所经历的路径长．【答案】（1）①120°；②1；（2）当3≤t≤6时，M点所经历的路径长为3．【解析】【分析】（1）①如图1，由题可得BD=CE=t，易证△BDC≌△CEA，则有∠BCD=∠CAE，根据三角形外角的性质可求得∠EFC=60°，即可得到∠AFC=120°；②延长FD到G，使得FG=FA，连接GA、GB，过点B作BH⊥FG于H，如图2，易证△FAG 是等边三角形，结合△ABC是等边三角形可证到△AGB≌△AFC，则有GB=FC，∠AGB=∠AFC=120°，从而可得∠BGF=60°．设AF=x，FC=y，则有FG=AF=x，BG=CF=y．在Rt△BHG中运用直角三角形的性质可得BH3，GH=12y，从而有FH=x﹣12y．在Rt△BHF中根据勾股定理可得BF2=x2﹣xy+y2，代入所求代数式就可解决问题；（2）过点E作EN⊥AB于N，连接MC，如图3，由题可得∠BEN=30°，BD=t，CE=2t﹣6，从而有BE=12﹣2t，BN=6﹣t，进而可得DN=EC．由△DEM是等边三角形可得DE=EM，∠DEM=60°，从而可得∠NDE=∠MEC，进而可证到△DNE≌△ECM，则有∠DNE=∠ECM=90°，故M点运动的路径为过点C垂直于BC的一条线段．然后只需确定点M的始点和终点位置，就可解决问题．【详解】（1）如图1，由题可得BD=CE=t．∵△ABC是等边三角形，∴BC=AC，∠B=∠ECA=60°．在△BDC和△CEA中，BD CEB ECABC AC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BDC≌△CEA，∴∠BCD=∠CAE，∴∠EFC=∠CAE+∠ACF=∠BCD+∠ACF=∠ACB=60°，∴∠AFC=120°；②延长FD到G，使得FG=FA，连接GA、GB，过点B作BH⊥FG于H，如图2．∵∠AFG=180°﹣120°=60°，FG=FA，∴△FAG是等边三角形，∴AG=AF=FG，∠AGF=∠GAF=60°．∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∠BAC=60°，∴∠GAF=∠BAC，∴∠GAB=∠FAC．在△AGB和△AFC中，AG AFGAB FACAB AC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AGB≌△AFC，∴GB=FC，∠AGB=∠AFC=120°，∴∠BGF=60°，∴∠GBH=30°．设AF=x，FC=y，则有FG=AF=x，BG=CF=y．在Rt△BHG中，GH=12y，BH=y，∴FH=FG﹣GH=x﹣12y．在Rt△BHF中，BF2=BH2+FH2=y）2+（x﹣12y）2=x2﹣xy+y2，∴222AF FC BFAF FC+-⋅=2222x y x xy yxy+--+（）=1；（2）过点E作EN⊥AB于N，连接MC，如图3，由题可得：∠BEN=30°，BD=1×t=t，CE=2（t﹣3）=2t﹣6，∴BE=6﹣（2t﹣6）=12﹣2t，BN=12BE=6﹣t，∴DN=t﹣（6﹣t）=2t﹣6，∴DN=EC．∵△DEM是等边三角形，∴DE=EM，∠DEM=60°．∵∠NDE+∠NED=90°，∠NED+∠MEC=180°﹣30°﹣60°=90°，∴∠NDE=∠MEC．在△DNE和△ECM中，∵DN ECNDE CEMDE EM=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DNE≌△ECM，∴∠DNE=∠ECM=90°，∴M点运动的路径为过点C垂直于BC的一条线段．当t=3时，E在点B，D在AB的中点，此时CM=EN=CD=BC•sin B=6×2当t=6时，E在点C，D在点A，此时点M在点C；∴当3≤t≤6时，M点所经历的路径长为．【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、锐角三角函数、特殊角的三角函数值、勾股定理、三角形外角的性质等知识，综合性比较强，有一定的难度；构造旋转型全等三角形（由共顶点的两个等边三角形组成）是解决第1（2）小题的关键，证到∠ECM=90°是解决第（2）小题的关键．。
2021年湖北武汉中考数学试题(解析版)
{来源}2021湖北武汉初中毕业、升学考试数学 {适用范围：3．九年级}{标题}2021年湖北省武汉市初中毕业、升学考试数 学（满分150分，考试时间120分钟）{题型：1－选择题}一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把最后结果填在题后括号内． {题目}1．（2021湖北武汉1）实数2021的相反数是（ ） A ．2021B ．－2021C ．20191D ．20191-{答案}B{解析}本题考查了相反数的求法，求相反数一般方法在原数前加“－”，再化简，2021的相反数是－2021．故选B ． {分值}3{章节:[1-1-2-3]相反数} {考点:相反数的定义} {类别：常考题} {难度：1－最简单}{题目}2．（2021湖北武汉2）式子1-x 在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（ ） A ．x ＞0B ．x ≥－1C ．x ≥1D ．x ≤1{答案}C{解析}本题考查了二次根式有意义的条件及解一元一次不等式，由1-x 在实数范围内有意义，得x －1≥0,解得x ≥1，故选B ． {分值}3{章节:[1-16-1]二次根式}{考点:二次根式的有意义的条件} {考点:解一元一次不等式} {类别：易错题} {难度：2－简单}{题目}3．（2021湖北武汉3） 不透明的袋子中只有4个黑球和2个白球，这些球除颜色外无其他差别，随机从袋子中一次摸出3个球，下列事件是不可能事件的是（ ） A ．3个球都是黑球 B ．3个球都是白球 C ．三个球中有黑球 D ．3个球中有白球 {答案}B{解析}本题考查了事件类型的判断，因为3个球都是黑球是随机事件，所以A 错误；因为3个球都是白球是不可能事件，所以B 正确；因为三个球中有黑球是随机事件，所以C 错误；因为3个球中有白球是随机事件，所以D 错误．故选B ． {分值}3{章节:[1-25-1-1]随机事件}{考点:事件的类型}{类别：常考题}{难度：2－简单}{题目}4．（2021湖北武汉4）现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性，下列美术字是轴对称图形的是（）A．诚B．信C．友D．善{答案}D{解析}本题考查了轴对称图形的定义，“诚”、“信”、“友”都不是轴对称图形，只有“善”是轴对称图形。
中考数学一元二次方程组（大题培优易错难题）及答案解析
中考数学一元二次方程组(大题培优大题培优 易错易错 难题)及答案解析及答案解析一、一元二次方程1．随着经济收入的不断提高以及汽车业的快速发展，家用汽车已越来越多地进入普通家庭，汽车消费成为新亮点．抽样调查显示，截止2008年底全市汽车拥有量为14.4万辆．已知2006年底全市汽车拥有量为10万辆．（1）求2006年底至2008年底我市汽车拥有量的年平均增长率；（2）为保护城市环境，要求我市到2010年底汽车拥有量不超过15.464万辆，据估计从2008年底起，此后每年报废的汽车数量是上年底汽车拥有量的10%，那么每年新增汽车数量最多不超过多少辆？（假定每年新增汽车数量相同） 【答案】详见解析 【解析】试题分析：（1）主要考查增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率）解决问题；（2）参照增长率问题的一般规律，表示出2010年的汽车拥有量，然后根据关键语列出不等式来判断正确的解．试题解析：（1）设年平均增长率为x ，根据题意得： 10（1+x ）2=14.4，解得x=﹣2.2（不合题意舍去）x=0.2， 答：年平均增长率为20%；（2）设每年新增汽车数量最多不超过y 万辆，根据题意得： 2009年底汽车数量为14.4×90%+y ，2010年底汽车数量为（14.4×90%+y ）×90%+y ， ∴（14.4×90%+y ）×90%+y≤15.464， ∴y≤2．答：每年新增汽车数量最多不超过2万辆． 考点：一元二次方程—增长率的问题2．使得函数值为零的自变量的值称为函数的零点．例如，对于函数1y x =-，令y=0，可得x=1，我们就说1是函数1y x =-的零点． 己知函数222(3)y x mx m =--+(m m 为常数)． （1）当m =0时，求该函数的零点；（2）证明：无论m 取何值，该函数总有两个零点；（3）设函数的两个零点分别为1x 和2x ，且121114x x +=-，此时函数图象与x 轴的交点分别为A 、B(点A 在点B 左侧)，点M 在直线10y x =-上，当MA+MB 最小时，求直线AM 的函数解析式．【答案】（1）当m =0时，该函数的零点为6和6-． （2）见解析,（3）AM 的解析式为112y x =--． 【解析】 【分析】（1）根据题中给出的函数的零点的定义，将m=0代入y=x 2-2mx-2（m+3），然后令y=0即可解得函数的零点；（2）令y=0，函数变为一元二次方程，要想证明方程有两个解，只需证明△＞0即可； （3）根据题中条件求出函数解析式进而求得A 、B 两点坐标，个、作点B 关于直线y=x-10的对称点Bʹ，连接ABʹ，求出点Bʹ的坐标即可求得当MA+MB 最小时，直线AM 的函数解析式 【详解】（1）当m =0时，该函数的零点为6和6-．（2）令y=0，得△=∴无论m 取何值，方程总有两个不相等的实数根．即无论m 取何值，该函数总有两个零点． （3）依题意有，由解得．∴函数的解析式为．令y=0，解得∴A()，B(4,0)作点B 关于直线10y x =-的对称点B’，连结AB’，则AB’与直线10y x =-的交点就是满足条件的M 点．易求得直线10y x =-与x 轴、y 轴的交点分别为C （10,0），D （0,10）． 连结CB’，则∠BCD=45° ∴BC=CB’=6，∠B’CD=∠BCD=45° ∴∠BCB’=90° 即B’（106-，）设直线AB’的解析式为y kx b =+，则20{106k b k b -+=+=-，解得112k b =-=-，∴直线AB’的解析式为112y x =--， 即AM 的解析式为112y x =--．3．如图，抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴交于点A 和点B （1，0），与y 轴交于点C （0，3），其对称轴l 为x=﹣1．（1）求抛物线的解析式并写出其顶点坐标；（2）若动点P 在第二象限内的抛物线上，动点N 在对称轴l 上． ①当P A ⊥NA ，且PA=NA 时，求此时点P 的坐标；②当四边形PABC 的面积最大时，求四边形PABC 面积的最大值及此时点P 的坐标．【答案】（1）y=﹣（x+1）2+4，顶点坐标为（﹣1，4）；（2）①点P （﹣2﹣1，2）；②P （﹣32，154）【解析】试题分析：（1）将B 、C 的坐标代入已知的抛物线的解析式，由对称轴为1x =-即可得到抛物线的解析式；（2）①首先求得抛物线与x 轴的交点坐标，然后根据已知条件得到PD=OA ，从而得到方程求得x 的值即可求得点P 的坐标； ②ΔOBC ΔAPD ABCP C =PDO SS S S++四边形梯形，表示出来得到二次函数，求得最值即可．试题解析：（1）∵抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点A 和点B （1，0），与y 轴交于点C （0，3），其对称轴l 为1x =-，∴0{312a b c c ba++==-=-，解得：1{23a b c =-=-=，∴二次函数的解析式为223y x x =--+=2(1)4x -++，∴顶点坐标为（﹣1，4）；（2）令2230y x x =--+=，解得3x =-或1x =，∴点A （﹣3，0），B （1，0），作PD ⊥x 轴于点D ，∵点P 在223y x x =--+上，∴设点P （x ，223x x --+）， ①∵P A ⊥NA ，且PA=NA ，∴△PAD ≌△AND ，∴OA=PD ，即2232y x x =--+=，解得x=21-（舍去）或x=21--，∴点P （21--，2）；②设P(x ，y)，则223y x x =--+，∵ΔOBC ΔAPD ABCP C =PDO S S S S ++四边形梯形=12OB•OC+12AD•PD+12(PD+OC)•OD=11131+(3)(3)()222x y y x ⨯⨯⨯+++-=333222x y -+=2333(23)222x x x -+--+=239622x x --+=23375()228x -++， ∴当x=32-时，ABCP S 四边形最大值=758，当x=32-时，223y x x =--+=154，此时P （32-，154）．考点：1．二次函数综合题；2．二次函数的最值；3．最值问题；4．压轴题．4．某建材销售公司在2019年第一季度销售,A B 两种品牌的建材共126件，A 种品牌的建材售价为每件6000元，B 种品牌的建材售价为每件9000元.（1）若该销售公司在第一季度售完两种建材后总销售额不低于96.6万元，求至多销售A 种品牌的建材多少件？（2）该销售公司决定在2019年第二季度调整价格，将A 种品牌的建材在上一个季度的基础上下调%a ，B 种品牌的建材在上一个季度的基础上上涨%a ；同时，与（1）问中最低销售额的销售量相比，A 种品牌的建材的销售量增加了1%2a ，B 种品牌的建材的销售量减少了2%3a ，结果2019年第二季度的销售额比（1）问中最低销售额增加2%23a ，求a 的值.【答案】（1）至多销售A 品牌的建材56件;(2)a 的值是30. 【解析】 【分析】（1）设销售A 品牌的建材x 件，根据售完两种建材后总销售额不低于96.6万元，列不等式求解；（2）根据题意列出方程求解即可.【详解】（1）设销售A 品牌的建材x 件.根据题意，得()60009000126966000x x +-≥， 解这个不等式，得56x ≤， 答：至多销售A 品牌的建材56件.（2）在（1）中销售额最低时，B 品牌的建材70件， 根据题意，得()()()12260001%561%90001%701%6000569000701%2323a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯+++⨯-=⨯+⨯+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，令%a y =，整理这个方程，得21030y y -=， 解这个方程，得1230,10y y ==， ∴10a =（舍去），230a =， 即a 的值是30. 【点睛】本题考查了一元二次方程和一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系和不等关系，列方程组和不等式求解．5．已知关于x 的一元二次方程x 2﹣x+a ﹣1=0． （1）当a=﹣11时，解这个方程；（2）若这个方程有两个实数根x 1，x 2，求a 的取值范围；（3）若方程两个实数根x 1，x 2满足[2+x 1（1﹣x 1）][2+x 2（1﹣x 2）]=9，求a 的值． 【答案】（1）123,4x x =-=（2）54a ≤（3）-4 【解析】分析：（1）根据一元二次方程的解法即可求出答案； （2）根据判别式即可求出a 的范围； （3）根据根与系数的关系即可求出答案．详解：（1）把a =﹣11代入方程，得x 2﹣x ﹣12=0，（x +3）（x ﹣4）=0，x +3=0或x ﹣4=0，∴x 1=﹣3，x 2=4；（2）∵方程有两个实数根12x x ，，∴△≥0，即（﹣1）2﹣4×1×（a ﹣1）≥0，解得54a ≤：；（3）∵12x x ，是方程的两个实数根，222211221122101011x x a x x a x x a x x a -+-=-+-=∴-=--=-，，，．∵[2+x 1（1﹣x 1）][2+x 2（1﹣x 2）]=9，∴221122229x x x x ⎡⎤⎡⎤+-+-=⎣⎦⎣⎦，把22112211x x a x x a -=--=-， 代入，得：[2+a ﹣1][2+a ﹣1]=9，即（1+a ）2=9，解得：a =﹣4，a =2（舍去），所以a 的值为﹣4．点睛：本题考查了一元二次方程，解题的关键是熟练运用判别式以及根与系数的关系．6．从图象来看，该函数是一个分段函数，当0≤x≤m 时，是正比例函数，当x ＞m 时是一次函数．【小题1】只需把x 代入函数表达式，计算出y 的值，若与表格中的水费相等，则知收取方案．7．已知关于x 的一元二次方程x 2+（2m+3）x+m 2=0有两根α，β． （1）求m 的取值范围； （2）若111αβ+=-，则m 的值为多少？【答案】（1）14m ≥；（2）m 的值为3． 【解析】【分析】（1）根据△≥0即可求解, （2）化简11αβ+,利用韦达定理求出α+β，αβ,代入解方程即可.【详解】解：（1）由题意知，（2m+3）2﹣4×1×m 2≥0， 解得：m≥m≥--34； （2）由根与系数的关系得：α+β=﹣（2m+3），αβ=m 2， ∵111αβ+=-，即αβαβ+=-1, ∴2m 3m2+﹣（）=-1,整理得m 2﹣2m ﹣3=0解得：m 1=﹣1，m 1=3，由（1）知m≥m≥--34， ∴m 1=﹣1应舍去， ∴m 的值为3．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式以及韦达定理，对根进行判断是正确解题的关键.8．解方程：(x＋1)(x－1)＝22x.【答案】x1＝2＋3，x2＝2－3.【解析】试题分析：根据方程的特点，根据平方差公式化为一般式，然后可根据公式法求解即可. 试题解析：(x＋1)(x－1)＝22xx2-22x-1=0∵a=1，b=-22，c=-1∴△=b2-4ac=8+4=12＞0∴x=242b b caa-±-=2±3∴x 1＝2＋3，x2＝2－3.9．某水果店销售某品牌苹果，该苹果每箱的进价是40元，若每箱售价60元，每星期可卖180箱．为了促销，该水果店决定降价销售．市场调查反映:若售价每降价1元，每星期可多卖10箱．设该苹果每箱售价x元（40≤x≤60），每星期的销售量为y箱．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）当每箱售价为多少元时，每星期的销售利润达到3570元？（3）当每箱售价为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润多少元?【答案】(1)y=-10x+780；(2) 57；(3)当售价为59元时，利润最大，为3610元【解析】【分析】（1）根据售价每降价1元，每星期可多卖10箱,设售价x元,则多销售的数量为60-x, （2）解一元二次方程即可求解,（3）表示出最大利润将函数变成顶点式即可求解.【详解】解：（1）∵售价每降价1元，每星期可多卖10箱,设该苹果每箱售价x元（40≤x≤60），则y=180+10（60-x）=-=-10x+780,(40≤x≤60),10x+780,(40≤x≤60),(2)依题意得：（x-40）(-10x+780)=3570,解得：x=57,∴当每箱售价为57元时，每星期的销售利润达到3570元.（3）设每星期的利润为w，W=（x-40）(-10x+780)=-10（x-59）2+3610,∵-10<0,二次函数向下,函数有最大值,当x=59时, 利润最大，为3610元.【点睛】本题考查了二次函数的实际应用,中等难度,熟悉二次函数的实际应用是解题关键.10．已知1x 、2x 是关于x 的方程222(1)50x m x m -+++=的两个不相等的实数根. (1)求实数m 的取值范围;(2)已知等腰ABC ∆的一边长为7，若1x 、2x 恰好是ABC ∆另外两边长，求这个三角形的周长.【答案】（1）m>2; (2)17 【解析】试题分析：（1）由根的判别式即可得；（2）由题意得出方程的另一根为7，将x =7代入求出x 的值，再根据三角形三边之间的关系判断即可得．试题解析：解：（1）由题意得△=4（m +1）2﹣4（m 2+5）=8m －16＞0，解得：m ＞2； （2）由题意，∵x 1≠x 2时，∴只能取x 1=7或x 2=7，即7是方程的一个根，将x =7代入得：49﹣14（m +1）+m 2+5=0，解得：m =4或m =10．当m =4时，方程的另一个根为3，此时三角形三边分别为7、7、3，周长为17； 当m =10时，方程的另一个根为15，此时不能构成三角形； 故三角形的周长为17．点睛：本题主要考查判别式、三角形三边之间的关系，熟练掌握韦达定理是解题的关键．11．关于x 的一元二次方程．（1）.求证：方程总有两个实数根；（2）.若方程的两个实数根都是正整数，求m 的最小值． 【答案】（1）证明见解析；（2）-1. 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程根的个数情况与根的判别式关系可以证出方程总有两个实数根. (2)根据题意利用十字相乘法解方程，求得，再根据题意两个根都是正整数，从而可以确定的取值范围，即求出吗 的最小值. 【详解】 (1)证明：依题意，得．，∴．∴方程总有两个实数根．由． 可化为：得 ， ∵方程的两个实数根都是正整数， ∴．∴ ．∴ 的最小值为．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式与根的个数关系和利用十字相乘法解含参数的方程，熟知根的判别式大于零方程有两个不相等的实数根，判别式等于零有两个相等的实数根或只有一个实数根，判别式小于零无根和十字相乘法的法则是解题关键12．若关于x的一元二次方程x2﹣3x+a﹣2＝0有实数根．（1）求a的取值范围；（2）当a为符合条件的最大整数，求此时方程的解．【答案】（1）a≤174；（2）x=1或x=2【解析】【分析】（1）由一元二次方程有实数根，则根的判别式△=b2﹣4ac≥0，建立关于a的不等式，即可求出a的取值范围；（2）根据（1）确定出a的最大整数值，代入原方程后解方程即可得.【详解】（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣3x+a﹣2=0有实数根，∴△≥0，即（﹣3）2﹣4（a﹣2）≥0，解得a≤174；（2）由（1）可知a≤174，∴a的最大整数值为4，此时方程为x2﹣3x+2=0，解得x=1或x=2．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式以及解一元二次方程，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．13．某商场一种商品的进价为每件30元，售价为每件40元．每天可以销售48件，为尽快减少库存，商场决定降价促销．（1）若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件32.4元，求两次下降的百分率；（2）经调查，若该商品每降价0.5元，每天可多销售4件，那么每天要想获得510元的利润，每件应降价多少元？【答案】（1）两次下降的百分率为10%；（2）要使每月销售这种商品的利润达到510元，且更有利于减少库存，则商品应降价2.5元．【解析】【分析】（1）设每次降价的百分率为 x ，（1﹣x ）2 为两次降价后的百分率，40元 降至 32.4元 就是方程的等量条件，列出方程求解即可；（2）设每天要想获得 510 元的利润，且更有利于减少库存，则每件商品应降价 y 元，由销售问题的数量关系建立方程求出其解即可 【详解】解：（1）设每次降价的百分率为 x ． 40×（1﹣x ）2＝32.4x ＝10%或 190%（190%不符合题意，舍去）答：该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件 32.4元，两次下降的百分率为10%；（2）设每天要想获得 510 元的利润，且更有利于减少库存，则每件商品应降价 y 元， 由题意，得()4030y (448)5100.5y --⨯+=解得：1y ＝1.5，2y ＝2.5， ∵有利于减少库存，∴y ＝2.5．答：要使商场每月销售这种商品的利润达到 510 元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价 2.5 元． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是根据题意找到等式两边的平衡条件，这种价格问题主要解决价格变化前后的平衡关系，列出方程，解答即可．14．某公司今年1月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，3月份的生产成本是361万元．假设该公司2、3、4月每个月生产成本的下降率都相同． （1）求每个月生产成本的下降率；（2）请你预测4月份该公司的生产成本．【答案】（1）每个月生产成本的下降率为5%；（2）预测4月份该公司的生产成本为342.95万元． 【解析】 【分析】（1）设每个月生产成本的下降率为x ，根据2月份、3月份的生产成本，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论；（2）由4月份该公司的生产成本=3月份该公司的生产成本×（1﹣下降率），即可得出结论．【详解】（1）设每个月生产成本的下降率为x ， 根据题意得：400（1﹣x ）2=361，解得：x 1=0.05=5%，x 2=1.95（不合题意，舍去）． 答：每个月生产成本的下降率为5%；（2）361×（1﹣5%）=342.95（万元），答：预测4月份该公司的生产成本为342.95万元．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据数量关系，列式计算．15．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6 cm，BC＝8 cm，若点P从点A沿AB边向B点以1 cm/s的速度移动，点Q从B点沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动，两点同时出发．(1)问几秒后，△PBQ的面积为8cm²？(2)出发几秒后，线段PQ的长为42cm ?(3)△PBQ的面积能否为10 cm2若能，求出时间；若不能，请说明理由．【答案】(1) 2或4秒;(2) 42 cm；(3)见解析.【解析】【分析】（1）由题意，可设P、Q经过t秒，使△PBQ的面积为8cm2，则PB=6-t，BQ=2t，根据三角形面积的计算公式，S△PBQ=12BP×BQ，列出表达式，解答出即可；（2）设经过x秒后线段PQ的长为42cm，依题意得AP=x，BP=6-x，BQ=2x，利用勾股定理列方程求解；（3）将△PBQ的面积表示出来，根据△=b2-4ac来判断．【详解】(1)设P，Q经过t秒时，△PBQ的面积为8 cm2，则PB＝6－t，BQ＝2t，∵∠B＝90°，∴12 (6－t)× 2t＝8，解得t1＝2，t2＝4，∴当P，Q经过2或4秒时，△PBQ的面积为8 cm2；(2)设x秒后，PQ＝42 cm，由题意，得(6－x)2＋4x2＝32，解得x1＝25，x2＝2，故经过25秒或2秒后，线段PQ的长为42 cm；(3)设经过y秒，△PBQ的面积等于10 cm 2，S△PBQ＝12×(6－y)× 2y＝10，即y2－6y＋10＝0，∵Δ＝b 2－4ac＝36－4× 10＝－4＜ 0，∴△PBQ的面积不会等于10 cm2.【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，熟练的掌握一元二次方程的应用是本题解题的关键.。
上海市普陀区重点中学2024届中考联考数学试卷含解析
上海市普陀区重点中学2024届中考联考数学试卷注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．sin60°的值为（）A．3B．32C．22D．122．用一根长为a（单位：cm）的铁丝，首尾相接围成一个正方形，要将它按图的方式向外等距扩1（单位：cm）得到新的正方形，则这根铁丝需增加（）A．4cm B．8cm C．（a+4）cm D．（a+8）cm3．浙江省陆域面积为101800平方千米。
数据101800用科学记数法表示为（）A．1.018×104B．1.018×105C．10.18×105D．0.1018×1064．下列命题是真命题的是（）A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形B．两条对角线相等的四边形是平行四边形C．两组对边分别相等的四边形是平行四边形D．平行四边形既是中心对称图形，又是轴对称图形5．下列实数中，在2和3之间的是（）A．πB．2π-C325D3286．如图，甲从A点出发向北偏东70°方向走到点B，乙从点A出发向南偏西15°方向走到点C，则∠BAC的度数是（）A．85°B．105°C．125°D．160°7．下列立体图形中，主视图是三角形的是（）A．B．C．D．8．下列四个几何体中，主视图是三角形的是（）A．B．C．D．9．如图，△ABC在平面直角坐标系中第二象限内，顶点A的坐标是（﹣2，3），先把△ABC向右平移6个单位得到△A1B1C1，再作△A1B1C1关于x轴对称图形△A2B2C2，则顶点A2的坐标是（）A．（4，﹣3）B．（﹣4，3）C．（5，﹣3）D．（﹣3，4）10．如图，将△ABC沿BC边上的中线AD平移到△A'B'C'的位置，已知△ABC的面积为9，阴影部分三角形的面积为1．若AA'=1，则A'D等于（）A．2 B．3 C．23D．32二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=，将△ABC绕点A顺时针方向旋转60°到△AB′C′的位置，连接C′B，则C′B= ______12．若式子x2-在实数范围内有意义，则x的取值范围是．13．如图，以点O为圆心的两个圆中，大圆的弦AB切小圆于点C，OA交小圆于点D，若OD=2，tan∠OAB=12，则AB的长是________．14．如图，AB=AC，AD∥BC，若∠BAC=80°，则∠DAC=__________．15．（2017四川省攀枝花市）若关于x的分式方程7311mxx x+=--无解，则实数m=_______．16．如图，△ABC中，AB=AC，D是AB上的一点，且AD=23AB，DF∥BC，E为BD的中点．若EF⊥AC，BC=6，则四边形DBCF的面积为____．三、解答题（共8题，共72分）17．（8分）列方程或方程组解应用题：去年暑期，某地由于暴雨导致电路中断，该地供电局组织电工进行抢修．供电局距离抢修工地15千米．抢修车装载着所需材料先从供电局出发，10分钟后，电工乘吉普车从同一地点出发，结果他们同时到达抢修工地．已知吉普车速度是抢修车速度的1.5倍，求吉普车的速度．18．（8分）为了丰富校园文化，促进学生全面发展．我市某区教育局在全区中小学开展“书法、武术、黄梅戏进校园”活动．今年3月份，该区某校举行了“黄梅戏”演唱比赛，比赛成绩评定为A，B，C，D，E五个等级，该校部分学生参加了学校的比赛，并将比赛结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请根据图中信息，解答下列问题．（1）求该校参加本次“黄梅戏”演唱比赛的学生人数；（2）求扇形统计图B等级所对应扇形的圆心角度数；（3）已知A等级的4名学生中有1名男生，3名女生，现从中任意选取2名学生作为全校训练的示范者，请你用列表法或画树状图的方法，求出恰好选1名男生和1名女生的概率．19．（8分）如图，点A，C，B，D在同一条直线上，BE∥DF，∠A=∠F，AB=FD，求证：AE=FC．20．（8分）如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O与坐标原点重合，A、C分别在坐标轴上，点B的坐标为（4，2），直线1y x32=-+交AB，BC分别于点M，N，反比例函数kyx=的图象经过点M，N．（1）求反比例函数的解析式；（2）若点P在y轴上，且△OPM的面积与四边形BMON的面积相等，求点P的坐标．21．（8分）如图，曲线BC 是反比例函数y ＝k x（4≤x ≤6）的一部分，其中B （4，1﹣m ），C （6，﹣m ），抛物线y ＝﹣x 2+2bx 的顶点记作A ．（1）求k 的值． （2）判断点A 是否可与点B 重合； （3）若抛物线与BC 有交点，求b 的取值范围．22．（10分）如图，在ABC ∆中，AB AC =,以AC 边为直径作⊙O 交BC 边于点D ,过点D 作DE AB ⊥于点E ，ED 、AC 的延长线交于点F .求证：EF 是⊙O 的切线；若,且,求⊙O 的半径与线段的长.23．（12分）已知：如图，A 、C 、F 、D 在同一直线上，AF ＝DC ，AB ＝DE ，BC ＝EF ，求证：△ABC ≌△DEF ．24．解不等式组3(2)41213x x x x --≤⎧⎪+⎨-⎪⎩，并写出其所有的整数解．参考答案一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1、B【解题分析】解：sin60°B ． 2、B【解题分析】【分析】根据题意得出原正方形的边长，再得出新正方形的边长，继而得出答案．【题目详解】∵原正方形的周长为acm ， ∴原正方形的边长为4a cm ， ∵将它按图的方式向外等距扩1cm ， ∴新正方形的边长为（4a +2）cm ， 则新正方形的周长为4（4a +2）=a+8（cm ）， 因此需要增加的长度为a+8﹣a=8cm ，故选B ．【题目点拨】本题考查列代数式，解题的关键是根据题意表示出新正方形的边长及规范书写代数式．3、B【解题分析】5101800 1.01810=⨯.故选B.点睛：在把一个绝对值较大的数用科学记数法表示为10n a ⨯的形式时，我们要注意两点：①a 必须满足：110a ≤<；②n 比原来的数的整数位数少1（也可以通过小数点移位来确定n ）.4、C【解题分析】根据平行四边形的五种判定定理（平行四边形的判定方法：①两组对边分别平行的四边形；②两组对角分别相等的四边形；③两组对边分别相等的四边形；④一组对边平行且相等的四边形；⑤对角线互相平分的四边形）和平行四边形的性质进行判断．【题目详解】A、一组对边平行，另一组对边相等的四边形不是平行四边形；故本选项错误；B、两条对角线互相平分的四边形是平行四边形．故本选项错误；C、两组对边分别相等的四边形是平行四边形．故本选项正确；D、平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形．故本选项错误；故选：C．【题目点拨】考查了平行四边形的判定与性质．平行四边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．5、C【解题分析】分析：先求出每个数的范围，逐一分析得出选项.详解：A、3<π<4，故本选项不符合题意；B、1<π−2<2，故本选项不符合题意；C、<3，故本选项符合题意；D、<4，故本选项不符合题意；故选C.点睛：本题考查了估算无理数的大小，能估算出每个数的范围是解本题的关键.6、C【解题分析】首先求得AB与正东方向的夹角的度数，即可求解．【题目详解】根据题意得：∠BAC＝（90°﹣70°）+15°+90°＝125°，故选：C．【题目点拨】本题考查了方向角，正确理解方向角的定义是关键．7、A【解题分析】考查简单几何体的三视图．根据从正面看得到的图形是主视图，可得图形的主视图【题目详解】A、圆锥的主视图是三角形，符合题意；B、球的主视图是圆，不符合题意；C、圆柱的主视图是矩形，不符合题意；D、正方体的主视图是正方形，不符合题意．故选A．【题目点拨】主视图是从前往后看，左视图是从左往右看，俯视图是从上往下看8、D【解题分析】主视图是从几何体的正面看，主视图是三角形的一定是一个锥体，是长方形的一定是柱体，由此分析可得答案．【题目详解】解：主视图是三角形的一定是一个锥体，只有D是锥体．故选D．【题目点拨】此题主要考查了几何体的三视图，主要考查同学们的空间想象能力．9、A【解题分析】直接利用平移的性质结合轴对称变换得出对应点位置．【题目详解】如图所示：顶点A2的坐标是（4，-3）．故选A．【题目点拨】此题主要考查了轴对称变换和平移变换，正确得出对应点位置是解题关键．10、A【解题分析】分析：由S △ABC =9、S △A′EF =1且AD 为BC 边的中线知S △A′DE =12S △A′EF =2，S △ABD =12S △ABC =92，根据△DA′E ∽△DAB 知2A DEABD S A D AD S ''=（），据此求解可得．详解：如图，∵S △ABC =9、S △A′EF =1，且AD 为BC 边的中线，∴S △A′DE =12S △A′EF =2，S △ABD =12S △ABC =92， ∵将△ABC 沿BC 边上的中线AD 平移得到△A'B'C'，∴A′E ∥AB ，∴△DA′E ∽△DAB ，则2A DE ABD S A D AD S ''=（），即22912A D A D '='+（）， 解得A′D=2或A′D=-25（舍）， 故选A ．点睛：本题主要平移的性质，解题的关键是熟练掌握平移变换的性质与三角形中线的性质、相似三角形的判定与性质等知识点．二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11、【解题分析】如图,连接BB′，∵△ABC绕点A顺时针方向旋转60°得到△AB′C′，∴AB=AB′,∠BAB′=60°，∴△ABB′是等边三角形，∴AB=BB′，在△ABC′和△B′BC′中，，∴△ABC′≌△B′BC′(SSS)，∴∠ABC′=∠B′BC′，延长BC′交AB′于D，则BD⊥AB′，∵∠C=90∘,AC=BC=，∴AB==2，∴BD=2×=，C′D=×2=1，∴BC′=BD−C′D=−1.故答案为：−1.点睛:本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，作辅助线构造出全等三角形并求出BC′在等边三角形的高上是解题的关键，也是本题的难点．≥．12、x2【解题分析】根据二次根式被开方数必须是非负数的条件，-≥⇒≥.-x20x2x2≥故答案为x213、8如图，连接OC，在在Rt△ACO中，由tan∠OAB=OCAC，求出AC即可解决问题．【题目详解】解：如图，连接OC．∵AB是⊙O切线，∴OC⊥AB，AC=BC，在Rt△ACO中，∵∠ACO=90°，OC=OD=2tan∠OAB=OC AC，∴122AC ，∴AC=4，∴AB=2AC=8，故答案为8【题目点拨】本题考查切线的性质、垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形，属于中考常考题型．14、50°【解题分析】根据等腰三角形顶角度数，可求出每个底角，然后根据两直线平行，内错角相等解答．【题目详解】解：∵AB=AC，∠BAC=80°，∴∠B=∠C=（180°﹣80°）÷2=50°；∵AD∥BC，∴∠DAC=∠C=50°，故答案为50°．【题目点拨】本题考查了等腰三角形的性质以及平行线性质的应用，注意：两直线平行，内错角相等．15、3或1．解：方程去分母得：1+3（x ﹣1）=mx ，整理得：（m ﹣3）x =2．①当整式方程无解时，m ﹣3=0，m =3； ②当整式方程的解为分式方程的增根时，x =1，∴m ﹣3=2，m =1． 综上所述：∴m 的值为3或1． 故答案为3或1． 16、2 【解题分析】解：如图，过D 点作DG ⊥AC ，垂足为G ，过A 点作AH ⊥BC ，垂足为H ，∵AB=AC ，点E 为BD 的中点，且AD=23AB ， ∴设BE=DE=x ，则AD=AF=1x ． ∵DG ⊥AC ，EF ⊥AC ，∴DG ∥EF ，∴AE DE =AF GF ，即5x x =4x GF ，解得4GF=x 5． ∵DF ∥BC ，∴△ADF ∽△ABC ，∴DF AD =BC AB ，即DF 4x=66x，解得DF=1． 又∵DF ∥BC ，∴∠DFG=∠C ，∴Rt △DFG ∽Rt △ACH ，∴DF GF =AC HC ，即4x 45=6x 3，解得25x =2． 在Rt △ABH 中，由勾股定理，得2222536336992AH AB BH x =-=-=⨯-=．∴ABC 11S BC AH 692722∆=⋅⋅=⨯⨯=． 又∵△ADF ∽△ABC ，∴22ADF ABC S DF 44S BC 69∆∆⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴ADF 4S 27=129∆=⨯ ∴ABC ADF DBCF S S S 271215∆∆=-=-=四边形． 故答案为：2．三、解答题（共8题，共72分）17、吉普车的速度为30千米/时.【解题分析】先设抢修车的速度为x千米/时，则吉普车的速度为1.5x千米/时，列出方程求出x的值，再进行检验，即可求出答案．【题目详解】解：设抢修车的速度为x千米/时，则吉普车的速度为15x千米/时.由题意得：1515151.560 x x-=.解得，x=20经检验，x=20是原方程的解，并且x=20,1.5x=30都符合题意.答：吉普车的速度为30千米/时.点评：本题难度中等，主要考查学生对分式方程实际应用的综合运用．为中考常见题型，要求学生牢固掌握．注意检验．18、（1）50；（2）115.2°；（3）.【解题分析】（1）先求出参加本次比赛的学生人数；（2）由（1）求出的学生人数，即可求出B等级所对应扇形的圆心角度数；（3）首先根据题意列表或画出树状图，然后由求得所有等可能的结果，再利用概率公式即可求得答案．解：（1）参加本次比赛的学生有：（人）（2）B等级的学生共有：（人）.∴所占的百分比为：∴B等级所对应扇形的圆心角度数为：.（3）列表如下：男女1 女2 女3男﹣﹣﹣（女，男）（女，男）（女，男）女1 （男，女）﹣﹣﹣（女，女）（女，女）女2 （男，女）（女，女）﹣﹣﹣（女，女）女3 （男，女）（女，女）（女，女）﹣﹣﹣∵共有12种等可能的结果，选中1名男生和1名女生结果的有6种.∴P （选中1名男生和1名女生）.“点睛”本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n ，再从中选出符合事件A 或B 的结果数目m ，然后根据概率公式求出事件A 或B 的概率．通过扇形统计图求出扇形的圆心角度数，应用数形结合的思想是解决此类题目的关键． 19、证明见解析. 【解题分析】由已知条件BE ∥DF ，可得出∠ABE=∠D ，再利用ASA 证明△ABE ≌△FDC 即可． 证明：∵BE ∥DF ，∴∠ABE=∠D ， 在△ABE 和△FDC 中， ∠ABE=∠D ，AB=FD ，∠A=∠F ∴△ABE ≌△FDC （ASA ）， ∴AE=FC ．“点睛”此题主要考查全等三角形的判定与性质和平行线的性质等知识点的理解和掌握，此题的关键是利用平行线的性质求证△ABC 和△FDC 全等． 20、（1）4y x=；（2）点P 的坐标是（0，4）或（0，－4）. 【解题分析】（1）求出OA=BC=2，将y=2代入1y x 32=-+求出x=2，得出M 的坐标，把M 的坐标代入反比例函数的解析式即可求出答案.（2）求出四边形BMON 的面积，求出OP 的值，即可求出P 的坐标. 【题目详解】（1）∵B （4，2），四边形OABC 是矩形， ∴OA=BC=2. 将y=2代入1y x 32=-+3得：x=2，∴M （2，2）. 把M 的坐标代入ky x=得：k=4， ∴反比例函数的解析式是4y x=； （2）AOM CON BMON OABC 1S S S S 422442∆∆=--=⨯-⨯⨯=四边形矩形. ∵△OPM 的面积与四边形BMON 的面积相等，∴1OP AM4 2⋅⋅=.∵AM=2，∴OP=4.∴点P的坐标是（0，4）或（0，－4）.21、（1）12；（2）点A不与点B重合；（3）1919 86b≤≤【解题分析】（1）把B、C两点代入解析式，得到k＝4（1﹣m）＝6×（﹣m），求得m＝﹣2，从而求得k的值；（2）由抛物线解析式得到顶点A（b，b2），如果点A与点B重合，则有b＝4，且b2＝3，显然不成立；（3）当抛物线经过点B（4，3）时，解得，b＝198，抛物线右半支经过点B；当抛物线经过点C，解得，b＝196，抛物线右半支经过点C；从而求得b的取值范围为198≤b≤196．【题目详解】解：（1）∵B（4，1﹣m），C（6，﹣m）在反比例函数kyx=的图象上，∴k＝4（1﹣m）＝6×（﹣m），∴解得m＝﹣2，∴k＝4×[1﹣（﹣2）]＝12；（2）∵m＝﹣2，∴B（4，3），∵抛物线y＝﹣x2+2bx＝﹣（x﹣b）2+b2，∴A（b，b2）．若点A与点B重合，则有b＝4，且b2＝3，显然不成立，∴点A不与点B重合；（3）当抛物线经过点B（4，3）时，有3＝﹣42+2b×4，解得，b＝198，显然抛物线右半支经过点B；当抛物线经过点C（6，2）时，有2＝﹣62+2b×6，解得，b＝196，这时仍然是抛物线右半支经过点C ， ∴b 的取值范围为198≤b ≤196．【题目点拨】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是学会用讨论的思想思考问题． 22、（1）证明参见解析；（2）半径长为154，AE =6. 【解题分析】（1）已知点D 在圆上，要连半径证垂直，连结OD ，则OC OD =，所以ODC OCD ∠=∠，∵AB AC =，∴B ACD ∠=∠.∴B ODC ∠=∠，∴OD ∥AB .由DE AB ⊥得出OD EF ⊥，于是得出结论；（2）由35OD AE OF AF ==得到35OD AE OF AF ==，设3OD x =，则5OF x =.26AB AC OD x ===，358AF x x x =+=，362AE x =-，由363285x x -=，解得x 值，进而求出圆的半径及AE 长. 【题目详解】解：（1）已知点D 在圆上，要连半径证垂直，如图2所示，连结OD ，∵AB AC =，∴B ACD ∠=∠.∵OC OD =，∴ODC OCD ∠=∠.∴B ODC ∠=∠，∴OD ∥AB .∵DE AB ⊥，∴OD EF ⊥.∴EF 是⊙O 的切线；（2）在Rt ODF ∆和Rt AEF ∆中，∵35OD AE OF AF ==，∴35OD AE OF AF ==. 设3OD x =，则5OF x =.∴26AB AC OD x ===，358AF x x x =+=.∵32EB =，∴362AE x =-.∴363285x x -=，解得x =54，则3x=154,AE=6×54-32=6,∴⊙O 的半径长为154，AE =6.【题目点拨】1.圆的切线的判定；2.锐角三角函数的应用. 23、证明见解析【解题分析】试题分析：首先根据AF=DC ，可推得AF ﹣CF=DC ﹣CF ，即AC=DF ；再根据已知AB=DE ，BC=EF ，根据全等三角形全等的判定定理SSS 即可证明△ABC ≌△DEF ． 试题解析：∵AF=DC ，∴AF ﹣CF=DC ﹣CF ，即AC=DF ；在△ABC 和△DEF 中∴△ABC ≌△DEF （SSS ）24、不等式组的解集为1≤x ＜2，该不等式组的整数解为1，2，1． 【解题分析】先求出不等式组的解集，即可求得该不等式组的整数解． 【题目详解】()3241213x x xx ⎧--≤⎪⎨+>-⎪⎩①②， 由①得，x≥1， 由②得，x ＜2．所以不等式组的解集为1≤x ＜2， 该不等式组的整数解为1，2，1． 【题目点拨】本题考查的是解一元一次不等式组及求一元一次不等式组的整数解，求不等式的公共解，要遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．。
中考数学一元二次方程(大题培优 易错 难题)
一、一元二次方程 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．解下列方程：（1）x 2﹣3x=1．（2）12（y+2）2﹣6=0． 【答案】(1)12313313,22x x +-== ;(2)12223,223y y =-+=-- 【解析】试题分析：（1）利用公式法求解即可；（2）利用直接开方法解即可； 试题解析：解：（1）将原方程化为一般式，得x 2﹣3x ﹣1=0，∵b 2﹣4ac=13＞0∴． ∴12313313,22x x +-==． （2）（y+2）2=12， ∴或，∴12223,223y y =-+=--2．解方程：（2x+1）2=2x+1．【答案】x=0或x=12-. 【解析】试题分析：根据因式分解法解一元二次方程的解法，直接先移项，再利用ab=0的关系求解方程即可.试题解析：∵（2x+1）2﹣（2x+1）=0，∴（2x+1）（2x+1﹣1）=0，即2x （2x+1）=0，则x=0或2x+1=0，解得：x=0或x=﹣12．3．已知x 1、x 2是关于x 的﹣元二次方程（a ﹣6）x 2+2ax+a=0的两个实数根．（1）求a 的取值范围；（2）若（x 1+1）（x 2+1）是负整数，求实数a 的整数值．【答案】（1）a≥0且a≠6;（2）a 的值为7、8、9或12．【解析】【分析】（1）根据一元二次方程的定义及一元二次方程的解与判别式之间的关系解答即可；（2）根据根与系数的关系可得x1+x2=﹣26aa+，x1x2=6aa+，由（x1+1）（x2+1）=x1x2+x1+x2+1=﹣66a-是是负整数，即可得66a-是正整数．根据a是整数，即可求得a的值2．【详解】（1）∵原方程有两实数根，∴，∴a≥0且a≠6．（2）∵x1、x2是关于x的一元二次方程（a﹣6）x2+2ax+a=0的两个实数根，∴x1+x2=﹣，x1x2=，∴（x1+1）（x2+1）=x1x2+x1+x2+1=﹣+1=﹣．∵（x1+1）（x2+1）是负整数，∴﹣是负整数，即是正整数．∵a是整数，∴a﹣6的值为1、2、3或6，∴a的值为7、8、9或12．【点睛】本题考查了根的判别式和根与系数的关系，能根据根的判别式和根与系数的关系得出关于a的不等式是解此题的关键．4．小王经营的网店专门销售某种品牌的一种保温杯，成本为30元/只，每天销售量y （只）与销售单价x（元）之间的关系式为y＝﹣10x+700（40≤x≤55），求当销售单价为多少元时，每天获得的利润最大？最大利润是多少元？【答案】当销售单价为50元时，每天获得的利润最大，利润的最大值为4000元【解析】【分析】表示出一件的利润为（x﹣30）,根据总利润=单件利润乘以销售数量,整理成顶点式即可解题.【详解】设每天获得的利润为w元，根据题意得：w＝（x﹣30）y＝（x﹣30）（﹣10x+700）＝﹣10x2+1000x﹣21000＝﹣10（x ﹣50）2+4000．∵a＝﹣10＜0，∴当x＝50时，w取最大值，最大值为4000．答：当销售单价为50元时，每天获得的利润最大，利润的最大值为4000元．【点睛】本题考查了一元二次函数的实际应用,中等难度,熟悉函数的性质是解题关键.5．某社区决定把一块长50m ，宽30m 的矩形空地建成居民健身广场，设计方案如图，阴影区域为绿化区(四块绿化区为大小形状都相同的矩形) ，空白区域为活动区，且四周的4个出口宽度相同，当绿化区较长边x 为何值时，活动区的面积达到21344m ?【答案】当13x m =时，活动区的面积达到21344m【解析】【分析】根据“活动区的面积＝矩形空地面积﹣阴影区域面积”列出方程，可解答.【详解】解:设绿化区宽为y ，则由题意得502302x y -=-.即10y x =-列方程: 50304(10)1344x x ⨯--=解得13x =- (舍)，213x =.∴当13x m =时，活动区的面积达到21344m【点睛】本题是一元二次方程的应用题，确定等量关系是关键，本题计算量大，要细心．6．已知关于x 的方程mx 2+(3﹣m)x ﹣3=0(m 为实数，m≠0)．(1) 试说明：此方程总有两个实数根．(2) 如果此方程的两个实数根都为正整数，求整数m 的值.【答案】(1)()2243b ac m -=+≥0；(2)m=-1,-3.【解析】分析: （1）先计算判别式得到△=（m -3）2-4m •（-3）=（m +3）2，利用非负数的性质得到△≥0，然后根据判别式的意义即可得到结论；（2）利用公式法可求出x 1=3m，x 2=-1，然后利用整除性即可得到m 的值． 详解: （1）证明：∵m ≠0，∴方程mx 2+（m -3）x -3=0（m ≠0）是关于x 的一元二次方程，∴△=（m -3）2-4m ×（-3）=（m +3）2，∵（m +3）2≥0，即△≥0，∴方程总有两个实数根；（2）解：∵x =()()332m m m --±+ ， ∴x 1=-3m，x 2=1， ∵m 为正整数，且方程的两个根均为整数，∴m =-1或-3．点睛: 本题考查了一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的根的判别式△=b 2-4ac ：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了解一元二次方程．7．已知关于x 的方程（x-3）(x-2)-p 2=0.（1）求证：无论p 取何值时，方程总有两个不相等的实数根；（2）设方程两实数根分别为x 1、x 2，且满足x 12+x 22=3 x 1x 2，求实数p 的值.【答案】（1）详见解析；（2）p=±1.【解析】【分析】（1）先把方程化成一般形式，再计算根的判别式，判定△＞0，即可得到总有两个不相等的实数根；（2）根据一元二次方程根与系数的关系可得两根和与两根积，再把2212123x x x x +=变形，化成和与乘积的形式，代入计算，得到一个关于p 的一元二次方程，解方程即可求解．【详解】证明：（1）（x ﹣3）（x ﹣2）﹣p 2=0，x 2﹣5x+6﹣p 2=0，△=（﹣5）2﹣4×1×（6﹣p 2）=25﹣24+4p 2=1+4p 2，∵无论p 取何值时，总有4p 2≥0，∴1+4p 2＞0，∴无论p 取何值时，方程总有两个不相等的实数根；（2）x 1+x 2=5，x 1x 2=6﹣p 2，∵2212123x x x x +=， ∴（x 1+x 2）2﹣2x 1x 2=3x 1x 2，∴52=5（6﹣p 2），∴p=±1．考点：根的判别式；根与系数的关系．8．阅读下面内容：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现： 当a ＞0，b ＞0时：∵（a b -）2=a ﹣2ab +b ≥0∴a +b ≥2ab ，当且仅当a =b 时取等号．请利用上述结论解决以下问题：（1）请直接写出答案：当x ＞0时，x +1x 的最小值为 ．当x ＜0时，x +1x 的最大值为 ； （2）若y =27101x x x +++，（x ＞﹣1），求y 的最小值； （3）如图，四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，△AOB 、△COD 的面积分别为4和9，求四边形ABCD 面积的最小值．【答案】（1）2；﹣2．（2）y 的最小值为9；（3）四边形ABCD 面积的最小值为25．【解析】【分析】（1）当x ＞0时，按照公式a +b ab a =b 时取等号）来计算即可；当x ＜0时，﹣x ＞0，1x-＞0，则也可以按公式a +b ab a =b 时取等号）来计算； （2）将y 27101x x x ++=+的分子变形，分别除以分母，展开，将含x 的项用题中所给公式求得最小值，再加上常数即可；（3）设S △BOC =x ，已知S △AOB =4，S △COD =9，由三角形面积公式可知：S △BOC ：S △COD =S △AOB ：S △AOD ，用含x 的式子表示出S △AOD ，再表示出四边形的面积，根据题中所给公式求得最小值，加上常数即可．【详解】（1）当x ＞0时，x 1x +≥1x x⋅=2； 当x ＜0时，﹣x ＞0，1x -＞0．∵﹣x 1x -≥1x x ⎛⎫-⋅-= ⎪⎝⎭2，∴则x 1x +=-（﹣x 1x -）≤﹣2，∴当x ＞0时，x 1x +的最小值为 2．当x ＜0时，x 1x +的最大值为﹣2． 故答案为：2，﹣2．（2）∵x ＞﹣1，∴x +1＞0，∴y 27101x x x ++=+()2(1)5141x x x ++++=+=（x +1）41x +++5=4+5=9，∴y 的最小值为9． （3）设S △BOC =x ，已知S △AOB =4，S △COD =9 则由等高三角形可知：S △BOC ：S △COD =S △AOB ：S △AOD ，∴x ：9=4：S △AOD ，∴S △AOD 36x =，∴四边形ABCD 面积=4+9+x 36x +≥=25． 当且仅当x =6时，取等号，∴四边形ABCD 面积的最小值为25．【点睛】本题考查了配方法在最值问题中的应用．对不能直接应用公式的，需要正确变形才可以应用．9．我市茶叶专卖店销售某品牌茶叶，其进价为每千克 240 元，按每千克 400 元出售，平均每周可售出 200 千克，后来经过市场调查发现，单价每降低 10 元，则平均每周的销售量可增加 40 千克，若该专卖店销售这种品牌茶叶要想平均每周获利 41600 元，请回答： （1）每千克茶叶应降价多少元？（2）在平均每周获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的 几折出售？【答案】（1）每千克茶叶应降价30元或80元；（2）该店应按原售价的8折出售．【解析】【分析】（1）设每千克茶叶应降价x 元，利用销售量×每件利润=41600元列出方程求解即可； （2）为了让利于顾客因此应下降价80元，求出此时的销售单价即可确定几折．【详解】（1）设每千克茶叶应降价x 元．根据题意，得： （400﹣x ﹣240）（200+10x ×40）=41600． 化简，得：x 2﹣10x +240=0．解得：x 1=30，x 2=80．答：每千克茶叶应降价30元或80元．（2）由（1）可知每千克茶叶可降价30元或80元．因为要尽可能让利于顾客，所以每千克茶叶某应降价80元．此时，售价为：400﹣80=320（元），320100%80% 400⨯=．答：该店应按原售价的8折出售．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题目中的等量关系列出方程．10．若两个一次函数的图象与x轴交于同一点，则称这两个函数为一对“x牵手函数”，这个交点为“x牵手点”．（1）一次函数y＝x﹣1与x轴的交点坐标为；一次函数y＝ax+2与一次函数y＝x﹣1为一对“x牵手函数”，则a＝；（2）已知一对“x牵手函数”：y＝ax+1与y＝bx﹣1，其中a，b为一元二次方程x2﹣kx+k﹣4＝0的两根，求它们的“x牵手点”．【答案】（1）（1，0），a＝﹣2；（2）“x牵手点”为（12-，0）或（12，0）.【解析】【分析】（1）根据x轴上点的坐标特征可求一次函数y=x-1与x轴的交点坐标；把一次函数y=x-1与x轴的交点坐标代入一次函数y=ax+2可求a的值；（2）根据“x牵手函数”的定义得到a+b=0，根据根与系数的关系求得k=0，可得方程x2-4=0，解得x1=2，x2=-2，再分两种情况：①若a=2，b=-2，②若a=-2，b=2，进行讨论可求它们的“x牵手点”．【详解】解：（1）当y＝0时，即x﹣1＝0，所以x＝1，即一次函数y＝x﹣1与x轴的交点坐标为（1，0），由于一次函数y＝ax+2与一次函数y＝x﹣1为一对“x牵手函数”，所以0＝a+2，解得a＝﹣2；（2）∵y＝ax+1与y＝bx﹣1为一对“x牵手函数”∴11a b-=，∴a+b＝0．∵a，b为x2﹣kx+k﹣4＝0的两根∴a+b＝k＝0，∴x2﹣4＝0，∴x1＝2，x2＝﹣2．①若a＝2，b＝﹣2则y＝2x+1与y＝﹣2x﹣1的“x牵手点”为1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭；②若a＝﹣2，b＝2则y＝﹣2x+1与y＝2x﹣1的“x牵手点”为（12，0 ）∴综上所述，“x牵手点”为1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭或（12，0）【点睛】本题考查了根与系数的关系、一次函数的性质和一次函数图象上点的坐标特征的运用．。
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3、在□ABCD 中)/ BAD 的平分线交直线 BC 于点E ) (1) 在图1中证明CE =CF ;(2) 若∙ ABC =z 90)G 是EF 的中点(如图2),直 度数； (3 )若交直线DC 于点F OABC =120)FG∕∕CE, FG=CE ,分别连中等难度题训练1VdV 180 ° ,)得到△A ιB ιC .(1) 如图1，当AB∕∕CB ι时，设A i B i 与BC 相交于点D .证明：△ A i CD 是等边三角形; ⑵如图2,连接AA 1、BB 1,设A ACA 1和ΔBCB 1的面积分别为 $、9.求证：Si ： 3 = 1 : 3; ⑶如图3，设AC 的中点为E ) A 1B 1的中点为P ) AC = a ,连接EP.当二= _________________ ° 时)EP 的长度最大，最大值为 ___________2、如图，已知直线 PA 交O 0于A 、B 两点)AE 是O 0的直径.点 C 为O 0上一点，且 AC 平分∠PAE ,过C 作CD ⊥ PA )垂足为 D O (1)求证：CD 为O 0的切线；⑵若DC+DA=6,O 0的直径为10 ,求AB 的长度.结DB 、DG （如图3）,求∠BDG 的度数。
1、在 A ABC 中, ∠ ACB = 90 ° ° ∠ ABC = 30 ° 将A ABC 绕顶点 C 顺时针旋转，旋转角为B接写出∠ BDG的4、某企业为重庆计算机产业基地提供电脑配件，受美元走低的影响，从去年1至9月，该配件的原材料价格一路攀升，每件配件的原材料价格yι（元）与月份X（ 1 ≤X≤且X取整数）之间的函数关系如下表：随着国家调控措施的出台，原材料价格的涨势趋缓，10至12月每件配件的原材料价格y2（元）与月份X（10 ≤X ≤且X取整数）之间存在如图所示的变化趋势：（1）请观察题中的表格，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识，直接写出y1与X之间的函数关系式，根据如图所示的变化趋势，直接写出y2与X之间满足的一次函数关系式；（2）若去年该配件每件的售价为1000元，生产每件配件的人力成本为50元，其它成本30 元，该配件在1至9月的销售量p1 （万件）与月份X满足函数关系式p1=0.1x+1.1 （ 1 ≤X≤9 且X取整数）10至12月的销售量p2 （万件）与月份X满足函数关系式p2=- 0.1X+2.9（10 ≤X ≤1且X取整数）•求去年哪个月销售该配件的利润最大，并求出这个最大利润；（3）今年1至5月，每件配件的原材料价格均比去年12月上涨60元，人力成本比去年增加20%,其它成本没有变化，该企业将每件配件的售价在去年的基础上提高a%,与此同时每月销售量均在去年12月的基础上减少0.1a%•这样，在保证每月上万件配件销量的前提下，完成了1至5月的总利润1700万元的任务，请你参考以下数据，估算出a的整数值.2 2 2 2 2（参考数据：99 =9901 , 98 =9604 , 97 =9409 , 96 =9216 , 95 =9025）5、已知：如图，四边形 ABCD 是等腰梯形，其中AD/∕BC , AD=2, BC=4, AB=DC=2,点M 从点B 开始，以每秒1个单位的速度向点 C 运动；点N 从点D 开始，沿D —A — B 方向，以 每秒1个单位的速度向点B 运动•若点M 、N 同时开始运动，其中一点到达终点，另一点也停止运动，运动时间为 t (t > 0).过点N 作NP ⊥ BC 于P ,交BD 于点Q j 点D 到BC 的距离为 __________ 求出t 为何值时，QM /AB ;设厶BMQ 的面积为S,求S 与t 的函数关系式； 求出t 为何值时，△ BMQ 为直角三角形.4 26、如图，已知抛物线 y X bx c 与X 轴相交于A 、B 两点，其对称轴为直线 X = 2 ,9且与X 轴交于点 D , AO=1 . (1) 填空：b=_____ 。
G= __________________ ,点 B 的坐标为( , ): ⑵ 若线段BC 的垂直平分线EF 交BC 于点E ,交X 轴于点F .求FC 的长；(3)探究：在抛物线的对称轴上(1) (2) (3) (4) 。
G=DQM P是否存在点P,使ΘP与X轴、直线BC都相切？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，中等难度题训练1(1)如图1，当AB//CB 1时，设A i B i 与BC 相交于点D .证明：△ A i CD 是等边三角形; ⑵如图2,连接AA 1、BB 1,设A ACA 1和ΔBCB 1的面积分别为 $、9.求证：Si ： 3 = 1 : 3;⑶如图3，设AC 的中点为E ) A 1B 1的中点为P ) AC = a ,连接EP.当二=__________________________________________________________________________________ °时)EP 的长度最大，最大值为 __________ .(1)易求得∙ ACD =60 , AC =DC ,因此得证.(2) 易证得 ACA SeBCBi 且相似比为1： ,3，得证. (3) 120° ,3a22、如图，已知直线 PA 交O 0于A 、B 两点)AE 是O 0的直径.点 C 为O 0上一点，且 AC 平分∠PAE ,过C 作CD ⊥ PA )垂足为 D O (1)求证：CD 为O 0的切线；⑵若DC+DA=6,O 0的直径为10 ,求AB 的长度. (1)证明：连接OC,因为点 C 在O 0 上)0A=OC,所以∠ OCA=ZOAC ,因为 CD ⊥ PA )所以∠ CDA=90°, 有∠CAD+∕DCA=90° ,因为AC 平分Z PAE )所以Z DAC=ZCAO O 所以 Z DC0= ZDCA+ZACO=ZDC A +ZCAO=ZDCA+ZDAC=90°O 又因为点C 在O O 上)OC 为O 0的半径，所以 CD 为O 0的切线.⑵解：过 0 作 0F ⊥ AB )垂足为 F )所以Z OCA=ZCDA=ZOFD=90°)所以四边形OCDF 为矩形，所以0C=FD ) OF=CD. ∙∕DC+DA=6 ,设 AD=X ,贝U OF=CD=6-x ,TO O 的直径为 10)∙∙∙DF=OC=5)∙∙∙AF=5-x ,2 2 21、在 A ABC 中, ∠ ACB = 90 ° ° ∠ABC = 30 ° 将A ABC 绕顶点 VdV 180 ° ,)得到△ A ιB ιC .C 顺时针旋转，旋转角为在Rt A AOF中)由勾股定理得AF +OF =OA .2 2 2即(5-x) (6-x) -25 ,化简得：X -11x 18=0 解得X =2或X =9 o由AD<DF) 知0 X 5) 故X = 2 O从而AD=2, AF=5-2=3.∙∙OF⊥AB,由垂径定理知，F为AB的中点，∙∙∙AB=2AF=63、在□ABCD中，∠ BAD的平分线交直线BC于点E,交直线DC于点F O(1) 在图1中证明CE=CF ；(2) 若N ABC =90°，G是EF的中点(如图2)，直接写出∠ BDG的度数;(3)若ABC =120 , FG∕∕CE FG =CE ,分别连结DB、图3), 求∠BDG的度数。
⑴证明：如图1.∙∙∙ AF 平分.BAD , ∙ BAF= DAF ,•••四边形ABCD是平行四边形,∙AD//BC , AB//CD。
∙/DAF=/CEF , ZBAF^F ,∙ ∙ CEF= F , ∙ CE=CF O⑵∙BDG=45.⑶［解］分别连结GB、GE、GC(如图2).∙∙∙ AB//DC , ZABC=120 ,•乙ECF=/ABC=120 ,∙∙∙ FG //CE 且FG=CE,∙四边形CEGF是平行四边形.由(1)得CE=CF ∙∙∙□C∙EGF 是菱形，∙EG=EC, GCF= GCE=^ECF=60 .∙△ ECG是等边三角形.∙EG=CG••①,GEC= EGC=60 ,∙GEC=GCF DG (如Ji∙∙∙. BEG= DCG∙∙②,由AD//BC 及AF 平分.BAD 可得.BAE= AEB, /.AB=BE.在□ ABCD 中，AB=DC.∙∙∙BE=DC∙∙③,由①②③ 得厶BEG三△ DCG.∙BG=DG, 1= 2,∙. BGD= 1 . 3= 23= EGC=60 .1∙乙BDG=2(18O ×BGD)=60 .4、某企业为重庆计算机产业基地提供电脑配件，受美元走低的影响，从去年1至9月，该配件的原材料价格一路攀升，每件配件的原材料价格y1 （元）与月份X（ 1 ≤X≤且X取整数）之间的函数关系如下表：月份X123456789价格y1 （元/件）560580600620640660680700720随着国家调控措施的出台，原材料价格的涨势趋缓，10至12月每件配件的原材料价格y2（元）与月份X（10 ≤X ≤且X取整数）之间存在如图所示的变化趋势：（1）请观察题中的表格，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识，直接写出y1与X之间的函数关系式，根据如图所示的变化趋势，直接写出y2与X之间满足的一次函数关系式；（2）若去年该配件每件的售价为1000元，生产每件配件的人力成本为50元，其它成本30 元，该配件在1至9月的销售量p1 （万件）与月份X满足函数关系式p1=O.1x+1.1 （ 1 ≤X≤9 且X取整数）10至12月的销售量p2 （万件）与月份X满足函数关系式p2=- 0.1x+2.9（10 ≤X ≤1且X取整数）•求去年哪个月销售该配件的利润最大，并求出这个最大利润；（3）今年1至5月，每件配件的原材料价格均比去年12月上涨60元，人力成本比去年增加20%,其它成本没有变化，该企业将每件配件的售价在去年的基础上提高a%,与此同时每月销售量均在去年 12月的基础上减少0.1a%•这样，在保证每月上万件配件销量的前提 下，完成了 1至5月的总利润1700万元的任务，请你参考以下数据，估算出a 的整数值.2 2 2 2 2(参考数据：99 =9901 , 98 =9604 , 97 =9409 , 96 =9216 , 95 =9025) 解：(1)设 y 1=kx+b ,解得瓮編∙y 1=20x+540 (1 ≤ X≤9且 X 取整数);(2) 设去年第X 月的利润为W 元.2 21 ≤ X≤9且 X 取整数时，W=P 1×( 1000 - 50 - 30 - y 1) =- 2x +16x+418= -2 (X - 4) +450, ∙ x=4时，W 最大=450元；210≤ X ≤,1且 X 取整数时， W=P 2× (1000 - 50- 30- y 2) = (X - 29), ∙ x=10时，W 最大=361元；(3) 去年12月的销售量为-0.1 × 12+2.9=1.7万件)， 今年原材料价格为：750+60=810 (元) 今年人力成本为： 50 ×( 1+20%) =60元.∙ 5× [1000 ×( 1+a%)- 810 - 60 - 30] × 1.7 (1 - 0.1 × a% =1700 ,2设 t=a% ,整理得 10t - 99t+10=0 , 解得t=¾^, •讣I ≈97 ∙ t 1 ≈ 0.1 t 2≈ 9.8 ∙ a 1≈ 10或 a 2≈ 980 ∙ a ≈10.(3) 当 0 乞t 乞 2 时,s= —(3t -t 2)-6当2乞t 乞4时,s= 山(2t - 1t 2)6 2(4) t=1.5s 或者 t=12/7s-••• 9401更接近于9409 , ••• 1.7 (1 - 0.1 × a% ≥1 答: a 的整数解为10 . 5、已知：如图，四边形从点B 开始，以每秒1个单位的速度向点 C 运动；点N 从点D 开始，沿D —A — B 方向，以 每秒1个单位的速度向点 B 运动.若点M 、N 同时开始运动，其中一点到达终点，另一点也 ABCD 是等腰梯形，其中 AD/∕BC , AD=2, BC=4, AB=DC=2,点 M 停止运动，运动时间为 t (t > 0).过点N 作NP ⊥ BC 于P ,交BD 于点Q . 点D到BC 的距离为 ___________ 求出t 为何值时，QM /AB ;设厶BMQ 的面积为S,求S 与t 的函数关系式； 求出t 为何值时，△ BMQ 为直角三角形.、3(2)t=1.2s(1) (2) (3) (4) 解: (1) 设 y 2=ax+b ，贝U∙∙∙ y 2=10x+630DQM P教育之通病是教用脑的人不用手，不教用手的人用脑，所以一无所能。