第七章弹性力学问题有限元法的一般原理和表达格式2014
合集下载
有限元基础-弹性力学问题有限单元法的一般原理和表达格式
在实际编程计算的过程中并不需要采用上述 的矩阵相乘的过程。在单元刚度矩阵和单元等效 结点载荷矩阵生成以后，只需按照单元结点自由 度编码，“对号入座”地迭加到总刚度矩阵和总 等效结点载荷列阵即可。
2.2.6 结构刚度矩阵的特点
1)对称性 2)奇异性 3)稀疏性 4)非零元素带状分布
2.2.7 引入位移边界条件
于是能量泛函可写作
（2.2.30）
由最小位能原理，有
（2.2.31）
得到有限元求解方程为 Ka = P
（2.2.32）
2.2.3 单元刚度矩阵
对于3结点三角形单元，应变矩阵B是常量阵， 因此有
（2.2.33）
将弹性矩阵
和应变矩阵 代入（2.2.33）式后，它的任一分块矩阵为：
其中
（2.2.34） （2.2.35）
这6个广义坐标可由单元的6个结点位移来表示。 在上式第一式中代入结点 i 的坐标( xi, yi )，应得 到结点 i 在 x 方向的位移 ui
同理可得
( 2.2.2)
解此方程可得到广义坐标由结点位移表示的表达 式
( 2.2.4 )
其中 D 为方程 ( 2.2.2 ) 的系数行列式 ( 2.2.3 )
A 是三角形单元的面积
( 2.2.6 ) 上式中 ( i, j, m ) 表示下标可顺序轮换
同理，利用 3 个结点的 y 方向位移，可求得： ( 2.2.5 )
2. 位移插值函数
将所得的广义坐标 1～6 代回位移模式 (2.2.1) 式
整理得
则以结点位移表示的位移函数为
( 2.2.7 )
其中
有限元求解的第一步 是划分网格，将求解 域离散为有限个三角 形单元的集合
2.2.1单元位移模式及插值函数的构造
弹性力学问题有限单元法的一般原理和表达格式
4、用面积坐标给出的三角形单元的插值函数 （1）线性单元：3结点三角形 单元，如图a，插值函数由一个 线性函数构成。对于每个角点， 可用通过其它二个角点的直线 方程左部的线性函数来构成。 例如对于结点1，可用2-3边的 边方程来构成它的插值函数， 即：
5、采用面积坐标时，单元矩阵的计算
利用前面已给的公式：
1、二次单元，6结点三角形单元 单元的6个结点是三角形的3个角点 及3个边的中点，位移函数取完全的 二次多项式。
5.4.3 面积坐标为自然坐标时三角形 单元的插值函数及单元矩阵的计算
1、面积坐标
三角形单元的面积坐标
2、面积坐标与直角坐标的转换关系
面积坐标与直角坐标的关系
＝>
3、面积坐标的微积分运算
其中：
代入单元平衡 方程展开有：
5.1.4 单元等效结点载荷列阵
1、均质等厚单元的自重
2、均布侧压q，作用在ij边，q以压为正。
在单元边界上可取局部坐标s，如图，沿ij边插值 函数可写作：
代入等效结点载荷一般表达式可求得侧压作用下 的单元等效结点载荷：
5.1.5 结构刚度矩阵和结构结 点载荷列阵的集成
（1）单元位移模式及插值函数
在有限单元法中单元的位移模式一般采用多项式作为近视函数，因 此多项式运算简便，并且随着项数的增多，可以逼近任何一段光滑的 函数曲线。多项式的选取由低次到高次。 3结点三角形单元位移模式选取一次多项式：
单元内的位移是坐标x，y的线性函数。β1～β6是待定系数，称之 为广义坐标。6个广义坐标可由单元的6个结点位移来表示。把上式代 入代入单元3个结点i、j、m在x方向的位移ui，可得： （5－1）
作为一种数值方法，有限元解的收敛性和精度估计无疑是一 个十分重要的问题，本章也简要讨论解的收敛准则和精度估计。
第7章 有限元分析概述
3、变形体及受力情况的描述:
基本变量:
u
(位移)
ε
(应变)
ζ
(应力)
（如果考虑三个方向(xyz)的情况，则有对应的向量、张量描述:
ε ij
ζ ij
ui
）
基本方程: ①力的平衡方面 三大类变量 ②几何方面 三大类方程 ③材料方面
求解方法: ①经典解析 ②半解析法 ③传统数值求解 ④现代数值求解(计算机软硬件，规范化，标准化， 规模化，计算机化)
几个概念： 单元：把弹性体假想地分割成有限个离散体，这些离
散体称为单元。 节点：离散单元仅在其顶点处相互连接，连接点成为节点。 要求：这种连接必须满足变形协调条件， 既：不能出现裂缝，不能发生重叠。 节点力：单元之间只能通过节点传递内力，通过节点 传递的内力成为节点力。 节点载荷：作用在节点上的载荷为节点载荷。 节点位移：当弹性体受到外力作用发生变形时，组成它的 各个单元也将发生变形，因而各个节点将产生
在工程技术领域内，经常会遇到两类典型的问题。 第一类问题，可以归结为有限个已知单元体的组合。把这类 问题称为离散系统。
例如，材料力学中的连续梁、建筑结构框架和桁架结构。
平面桁架结构
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
双向拉索悬索桥
第二类问题，通常可以建立它们应遵循的基本方程，即微分方 程和相应的边界条件。这类问题称为连续系统。
例如弹性力学问题，热传导问题，电磁场问题等。
目前应用较多的通用有限元软件如下表所列：
软件名称 简介
MSC/Nastran
MSC/Dytran MSC/Marc ANSYS ADINA ABAQUS
著名结构分析程序，最初 由NASA研制 动力学分析程序 非线性分析软件 通用结构分析软件 非线性分析软件 非线性分析软件
有限元与弹性力学的基本原理
变εx，εy和剪应变 xy，而没有εz，γyz，γzx。
▪ 弹性力学的基本方程
弹性体在载荷作用下，体内任意一点的应力状态可由 六个应力分量：
x , y , z , xy , yz , zx
应力分量的正负号规定如下:如果
某一个面的外法线方向与坐标轴的
正方向一致，这个面上的应力分量
就以沿坐标轴正方向为正，与坐标
有限元分析的基本原理
有限元与弹性力学的基本原理
之所以介绍弹性力学的有限元法的主要是:它概念浅显， 易于掌握，既可以从直观的物理模型来理解，也可以按 严格的数学逻辑来研究; 不仅能成功地分析具有复杂边界 条件、非线性、非均质材料、动力学等难题，而且还可 以推广到解答数学方程的其它边值问题，如热传导、电 磁场、流体力学等问题。
区别:
▪ 平面应力： 只在平面内有应力，与该面垂直方向的应力可忽略，例如薄板拉压问题。
平面应变： 只在平面内有应变，与该面垂直方向的应变可忽略，例如水坝侧向水压问题。
▪ 具体说来： 平面应力是指所有的应力都在一个平面内，如果平面是OXY平面，那么只有正应力 σx，σy，剪应力τxy(它们都在一个平面内)，没有σz，τyz，τzx。 平面应变是指所有的应变都在一个平面内，同样如果平面是OXY平面，则只有正应
弹性力学所依据的基本规律有三个：变形连续规律、 应力-应变关系和运动(或平衡)规律，它们有时被称为弹性 力学三大基本规律。弹性力学中许多定理、公式和结论等， 都可以从三大基本规律推导出来。
弹性力学的基本假设
✓ 物体是连续的
✓ 物体是完全弹性的 ✓ 物体是均匀的
理想弹性体
✓ 物体是各向同性的
✓ 位移和形变是很小的
根据平衡应有 Tx TX ,Ty TY ,Tz TZ ,
▪ 弹性力学的基本方程
弹性体在载荷作用下，体内任意一点的应力状态可由 六个应力分量：
x , y , z , xy , yz , zx
应力分量的正负号规定如下:如果
某一个面的外法线方向与坐标轴的
正方向一致，这个面上的应力分量
就以沿坐标轴正方向为正，与坐标
有限元分析的基本原理
有限元与弹性力学的基本原理
之所以介绍弹性力学的有限元法的主要是:它概念浅显， 易于掌握，既可以从直观的物理模型来理解，也可以按 严格的数学逻辑来研究; 不仅能成功地分析具有复杂边界 条件、非线性、非均质材料、动力学等难题，而且还可 以推广到解答数学方程的其它边值问题，如热传导、电 磁场、流体力学等问题。
区别:
▪ 平面应力： 只在平面内有应力，与该面垂直方向的应力可忽略，例如薄板拉压问题。
平面应变： 只在平面内有应变，与该面垂直方向的应变可忽略，例如水坝侧向水压问题。
▪ 具体说来： 平面应力是指所有的应力都在一个平面内，如果平面是OXY平面，那么只有正应力 σx，σy，剪应力τxy(它们都在一个平面内)，没有σz，τyz，τzx。 平面应变是指所有的应变都在一个平面内，同样如果平面是OXY平面，则只有正应
弹性力学所依据的基本规律有三个：变形连续规律、 应力-应变关系和运动(或平衡)规律，它们有时被称为弹性 力学三大基本规律。弹性力学中许多定理、公式和结论等， 都可以从三大基本规律推导出来。
弹性力学的基本假设
✓ 物体是连续的
✓ 物体是完全弹性的 ✓ 物体是均匀的
理想弹性体
✓ 物体是各向同性的
✓ 位移和形变是很小的
根据平衡应有 Tx TX ,Ty TY ,Tz TZ ,
第3讲—弹性力学问题的有限单元法
1 T U d Kd 2
u1 d u 2 u 3
有限单元法
崔向阳
Step 3: 单元集成
单元集成——外力功
整体节点 位移列阵
整体等效节 点力列阵
u1 d u2 u 3
f1 R1 f f 2 0 f F 3
有限单元法
崔向阳
Step 2.单元特征分析
xi
单元节点位移列阵： 单元节点坐标列阵： 单元等效节点力列阵：
II＝0
有限单元法 崔向阳
真实位移
6
最小势能原理
1 II ij ij dV bi ui dV pi ui dA 2 Sp 1 II Dijkl ij kl dV bi ui dV pi ui dA Sp 2
ij
ij
dV biui dV piui dA
Sp
弹性问题中等价于最小势能原理！
有限单元法 崔向阳
比较：虚功原理和能量变分原理
虚功原理是理论力学上的一个根本性原理，可以用于
一切非线性力学问题。
最小势能原理只是虚功原理对弹性体导出的一种表述
形式，但是对于线弹性问题，最小势能原理的应用非 常方便。
ij ui ij ui Dijkl ij kl dV bi ui dV pi ui dA Sp ij ij dV bi ui dV pi ui dA Sp
V= – W
弹性势能—弹性体变形后，产生弹性内力，这种力也具有对外作 功的能力，称为弹性势能，或弹性应变能。
有限元教程 弹性力学基础知识——虚功原理与弹性力学两类平面问题PPT课件
求：主动力FA与FB之间的关系。
解: 给虚位移 rA, rB ,
Fi ri 0
FA rA FB rB 0
由
rB cos rA sin
(
rA
,
rB
在
A
,B
连线上投影相等)
即 FA FB tan
第4页/共35页
一、虚位移原理回顾
理论力学中的虚位移原理回顾
虚位移
在某瞬时,质点系在约束允许的条件下,可能实现的任何
y
y
v
y
yz
w
y
dxdydz
yx
y
u
y
y
v
yz
y
w dxdydz
zx
u
z
yz
v
z
z
w
z
dxdydz
zx
z
u
zy
z
v
z
z
w
dxdydz
bx udxdydz by vdxdydz bz wdxdydz 高阶小量
进一步整理，合并同类项，利用微元体平衡方程，得
1. 平面应力问题
几何特征：厚度为t的很薄的均匀木板 外力特征：
面力只作用于板的边缘上，方向平 行于板面且不沿厚度变化
体力平行于板面且不沿厚度变化
第18页/共35页
三、弹性力学的两类平面问题
1. 平面应力问题
应力特征：
由于薄板两表面上没有垂直和平行于板 面的外力，所以板面上各点均有：
( z )z t 0， ( zx)z t 0， ( zy )z t 0
无限小的位移称为虚位移 .只与约束条件有关.
虚位移
r , x,
等
有限元法
一：有限元的基本思想有限元法的基本思想是将连续的求解区域离散为一组有限个、且按一定方式相互联结在一起的单元的组合体。
由于单元能按不同的联结方式进行组合，且单元本身又可以有不同形状，因此可以模型化几何形状复杂的求解域。
通常有限元法都遵循以下基本步骤:物体的离散化:离散化是有限元法的基础，这就是依据结构的实际情况，选择合适的单元形状、类型、数目、大小以及排列方式，将拟分析的物体假想地分成有限个分区或分块的集合体。
假设这些单元在处于它们边界上的若干个离散节点处相互连接，这些节点的位移将是该问题的基本未知参数。
挑选形函数或插值函数:选择一组函数，通常是多项式，最简单的情况是位移的线性函数。
这些函数应当满足一定条件，该条件就是平衡方程，它通常是通过变分原理得到的，可由每个“有限单元”的节点位移唯一地确定该单元中的位移状态。
确定单元的性质:确定单元性质就是对单元的力学性质进行描述。
确定了单元位移后，可以很方便地利用几何方程和物理方程求得单元的应变和应力。
一般用单元的刚度矩阵来描述单元的性质，确定单元节点力与位移的关系。
组成物体的整体方程组:组成物体的整体方程组就是由已知的单元刚度矩阵和单元等效节点载荷列阵集成表示整个物体性质的结构刚度矩阵和结构载荷列阵，从而建立起整个结构己知量-------总节点载荷与整个物体未知量-------总节点位移的关系。
解有限元方程和辅助计算:引入强制边界条件，解方程得到节点位移。
一般整体方程组往往数目庞大，可能是几十个、几百个，以至于成千上万个。
对于这些方程组需要一定的计算数学方法解出其未知量。
然后，根据实际问题进行必要的辅助计算。
完整的有限元的求解过程如下图所示：二：有限元的数学方法从更广泛的观点看，有限元法的数学基础是变分原理。
根据变分原理发展而来的有限元法，在求解微分方程方面得到了广泛的应用。
变分原理是表达物理基础定律的一种普遍形式，其表达课概括如下：给出一个依赖物理状态v 的变量()J v ，同时给出()J v 的容许函数集v ，即一切可能的物理状态，则真是的状态是v 中使()J v 达到极小值的函数。
有限元与数值方法-讲稿6-7 弹性力学有限元的一般原理与格式
1 y 2 1 x 3
1 1 x1 y1 u1 u 1 x y 2 2 2 2 1 x y u 3 3 3 3
1 x1 y 1 x2 1 x3 y1 y2 y3
0 N1
N2 0
e B
0 N2
N3 0
B2
B3
Bi
N i x 0 N i y
0 N i y N i x
则单元内应变可表示为：
B1 1e B2 2e B3 3e
有限元与数值方法第6讲
授课教师：刘书田
Tel：84706149； Email：stliu@ 教室：综合教学楼 351
时间：2013年4月19日：8：00—10：50
1
第二篇：弹性力学有限元的基本理论和格式
2.1 弹性力学有限元的一般格式 平面问题的有限元格式 弹性力学有限元的一般格式和求解步骤 有限元解的性质和收敛准则 2.2 单元与插值函数的构造 2.3 等参元与数值积分 等参元与数值积分 典型的等参单元 2.4 有限元法应用中的实际考虑 建立有限元模型： 计算结果的性质和处理 子结构法 对称性和周期性的利用 非协调元与分片实验
18
单元应力矩阵
应力：
x y D D B e xy
S e
[ S ] [ D][B]
称为单元应力矩阵
19
单元应变能和外力势能的矩阵表达
应变能 U为： y
ui i b j 0 bm 0 u j 0 c j 0 cm j c j b j cm bm u m m
1 1 x1 y1 u1 u 1 x y 2 2 2 2 1 x y u 3 3 3 3
1 x1 y 1 x2 1 x3 y1 y2 y3
0 N1
N2 0
e B
0 N2
N3 0
B2
B3
Bi
N i x 0 N i y
0 N i y N i x
则单元内应变可表示为：
B1 1e B2 2e B3 3e
有限元与数值方法第6讲
授课教师：刘书田
Tel：84706149； Email：stliu@ 教室：综合教学楼 351
时间：2013年4月19日：8：00—10：50
1
第二篇：弹性力学有限元的基本理论和格式
2.1 弹性力学有限元的一般格式 平面问题的有限元格式 弹性力学有限元的一般格式和求解步骤 有限元解的性质和收敛准则 2.2 单元与插值函数的构造 2.3 等参元与数值积分 等参元与数值积分 典型的等参单元 2.4 有限元法应用中的实际考虑 建立有限元模型： 计算结果的性质和处理 子结构法 对称性和周期性的利用 非协调元与分片实验
18
单元应力矩阵
应力：
x y D D B e xy
S e
[ S ] [ D][B]
称为单元应力矩阵
19
单元应变能和外力势能的矩阵表达
应变能 U为： y
ui i b j 0 bm 0 u j 0 c j 0 cm j c j b j cm bm u m m
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
ui vi 0 u j IN i Nm v j um vm ai IN m a j Ni a m
u N i u 0 v
0 Ni
1
a i x j ym xm y j bi y j ym ci x j xm (i , j , m )
同理可得
1 ai vi a j v j am vm 2A 1 5 bi vi b j v j bm vm 2A 1 6 ci vi c j v j cm vm 2A
4
将广义坐标结果代入位移模式，按节点位移合并同类项，整理后有
u N i ui N j u j N mum v N i vi N j v j N mvm
Ni 1 ai bi x ci y 2A
(7.1.3)
(i, j, m) (4.7.4) 其中 Ni 、 Nj 、 Nm称为单元的插值函数或形函数，是坐标x、y的一次函数。 （7.1.3)式是以节点位移表示单元内的位移。将其写成矩阵形式：
1 xi D 1 x j 1 xm
yi yj ym
(7.1.2)
以节点位移替代位移模式中的广义坐标 |D|=2A，A为三角形单元的面积
1 ai ui a j u j amum 2A 1 2 bi ui b j u j bmum 2A 1 3 ci ui c j u j cmum 2A
单元有三个节点 i，j，m。 每个节点有两个方向的位移ui、vi。称为基本未知量或自由度。表示为：
u ai i ui vi vi T (i , j , m )
每个节点有两个自由度，每个单元有6个自由度。单元的节点位移写为： ai ae a j ui vi u j v j um vm T a m
0 ci bi
(i , j , m )
(7.1.9)
3节点三角形单元的应变矩阵为：
B Bi
Bj
Bm
bi 1 0 2A c i
0 ci bi
bj 0 cj
• 7.1 平面问题3节点三角形单元的有限元格式
1）三角形单元的特点：简单，对复杂的边界适应能力强。是常应变单元， 单元增密收敛于精确解。 2）单元的位移模式和插值函数 一个连续的物体可以离散成有限各三角形子区域。每个子区域称为一个单 元。取其中的一个三角形单元，对其角节点编码i，j，m。（逆时针向为正）
Nj 0
0 Nj
Nm
IN j
Nj
N m a e Na e
(7.1.5)
N称为插值函数矩阵或形函数矩阵 3）插值函数具有以下性质： （1)在节点上插值函数的值有：
1 当 j i N i ( xi , yi ) ij 0 当 j i （i，j，m) (7.1.6)
第七章 弹性力学问题有限元法立弹性力学问题的有限元法表达格式。
2）以最小位能原理建立位移有限元格式。 • 位移有限元：以节点位移为基本未知量，建立的有限元格式。是现代 有限元发展的主流。 3）讨论广义坐标有限元法的一般格式。
4）讨论有限元的插值函数及其构造方法。
一个节点的位移值不应受其他两个节点的位移值影响
（2）单元中任意一点的各插值函数之和等于1。 Ni ＋ Nj ＋ Nm =1 （7.1.7) 能够反映单元的刚体运动 （3）在相邻的单元公共边上，由插值函数确定的位移是唯一的。保证相 邻单元在公共边界上位移连续。
4）应变矩阵和应力矩阵 将单元的位移代入几何方程得到单元的应变
5）讨论自然坐标及其以自然坐标构造插值函数。 6）讨论有限元的收敛准则和精度估计。
• 7.1 平面问题3节点三角形单元的有限元格式 • 7.2 广义坐标有限单元法的一般格式 • 7.3 有限元解的性质和收敛性 • 7.4 矩形单元和高精度三角形单元
• 7.5 轴对称问题的有限元格式
• 7.6 常应变四面体单元 • 7.7 六面头单元
ui 1 2 xi 3 yi u j 1 2 x j 3 y j um 1 2 xm 3 ym
1 xi 1 x j 1 xm
yi 1 ui y j 2 u j ym 3 um
x ε y Lu LNa e L Ni xy
Nj
N m a e Bi
Bj
Bm a e Ba e
(7.1.8)
B称为应变矩阵，L是平面问题的微分算子 应变矩阵B的分块矩阵是
x Bi LNi L 0 y 0 Ni y 0 x N i x 0 0 Ni N i y 0 bi N i 1 0 y 2 A ci N i x
以单元的节点位移来描述单元内的分布位移。描述位移的函数称为位移 模式。 位移模式一般采用多项式作近似函数，选取原则是由低次向高次选取。 三角形单元的位移模式是一次多项式。
u 1 2 x 3 y v 4 5 x 6 y (7.1.1)
(7.1.1) 表示单元内位移是坐标x、y的线性函数。 β1～β6是待定系数，称为广义坐标。 单元节点的位移用(7.1.1)表示为：
u N i u 0 v
0 Ni
1
a i x j ym xm y j bi y j ym ci x j xm (i , j , m )
同理可得
1 ai vi a j v j am vm 2A 1 5 bi vi b j v j bm vm 2A 1 6 ci vi c j v j cm vm 2A
4
将广义坐标结果代入位移模式，按节点位移合并同类项，整理后有
u N i ui N j u j N mum v N i vi N j v j N mvm
Ni 1 ai bi x ci y 2A
(7.1.3)
(i, j, m) (4.7.4) 其中 Ni 、 Nj 、 Nm称为单元的插值函数或形函数，是坐标x、y的一次函数。 （7.1.3)式是以节点位移表示单元内的位移。将其写成矩阵形式：
1 xi D 1 x j 1 xm
yi yj ym
(7.1.2)
以节点位移替代位移模式中的广义坐标 |D|=2A，A为三角形单元的面积
1 ai ui a j u j amum 2A 1 2 bi ui b j u j bmum 2A 1 3 ci ui c j u j cmum 2A
单元有三个节点 i，j，m。 每个节点有两个方向的位移ui、vi。称为基本未知量或自由度。表示为：
u ai i ui vi vi T (i , j , m )
每个节点有两个自由度，每个单元有6个自由度。单元的节点位移写为： ai ae a j ui vi u j v j um vm T a m
0 ci bi
(i , j , m )
(7.1.9)
3节点三角形单元的应变矩阵为：
B Bi
Bj
Bm
bi 1 0 2A c i
0 ci bi
bj 0 cj
• 7.1 平面问题3节点三角形单元的有限元格式
1）三角形单元的特点：简单，对复杂的边界适应能力强。是常应变单元， 单元增密收敛于精确解。 2）单元的位移模式和插值函数 一个连续的物体可以离散成有限各三角形子区域。每个子区域称为一个单 元。取其中的一个三角形单元，对其角节点编码i，j，m。（逆时针向为正）
Nj 0
0 Nj
Nm
IN j
Nj
N m a e Na e
(7.1.5)
N称为插值函数矩阵或形函数矩阵 3）插值函数具有以下性质： （1)在节点上插值函数的值有：
1 当 j i N i ( xi , yi ) ij 0 当 j i （i，j，m) (7.1.6)
第七章 弹性力学问题有限元法立弹性力学问题的有限元法表达格式。
2）以最小位能原理建立位移有限元格式。 • 位移有限元：以节点位移为基本未知量，建立的有限元格式。是现代 有限元发展的主流。 3）讨论广义坐标有限元法的一般格式。
4）讨论有限元的插值函数及其构造方法。
一个节点的位移值不应受其他两个节点的位移值影响
（2）单元中任意一点的各插值函数之和等于1。 Ni ＋ Nj ＋ Nm =1 （7.1.7) 能够反映单元的刚体运动 （3）在相邻的单元公共边上，由插值函数确定的位移是唯一的。保证相 邻单元在公共边界上位移连续。
4）应变矩阵和应力矩阵 将单元的位移代入几何方程得到单元的应变
5）讨论自然坐标及其以自然坐标构造插值函数。 6）讨论有限元的收敛准则和精度估计。
• 7.1 平面问题3节点三角形单元的有限元格式 • 7.2 广义坐标有限单元法的一般格式 • 7.3 有限元解的性质和收敛性 • 7.4 矩形单元和高精度三角形单元
• 7.5 轴对称问题的有限元格式
• 7.6 常应变四面体单元 • 7.7 六面头单元
ui 1 2 xi 3 yi u j 1 2 x j 3 y j um 1 2 xm 3 ym
1 xi 1 x j 1 xm
yi 1 ui y j 2 u j ym 3 um
x ε y Lu LNa e L Ni xy
Nj
N m a e Bi
Bj
Bm a e Ba e
(7.1.8)
B称为应变矩阵，L是平面问题的微分算子 应变矩阵B的分块矩阵是
x Bi LNi L 0 y 0 Ni y 0 x N i x 0 0 Ni N i y 0 bi N i 1 0 y 2 A ci N i x
以单元的节点位移来描述单元内的分布位移。描述位移的函数称为位移 模式。 位移模式一般采用多项式作近似函数，选取原则是由低次向高次选取。 三角形单元的位移模式是一次多项式。
u 1 2 x 3 y v 4 5 x 6 y (7.1.1)
(7.1.1) 表示单元内位移是坐标x、y的线性函数。 β1～β6是待定系数，称为广义坐标。 单元节点的位移用(7.1.1)表示为：