第8章-弹性力学平面问题有限元
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弹性力学平面问题的有限元法实例
分析与决策
(1)何种类型？
平面问题中的结构问题，且为静力问题；
平面问题中具有对称性，为减少[K]，简化模型取
1/4；
简化后加约束，（1）在ox面上，位移u是对称的，
位移v是反对称的；在oy面上，位移u是反对称的， 位移v是对称的； （2）在ox面上，载荷对称，在oy 面上，载荷对称；
(1)何种类型？
4.5剖分面（续）
以垂线剖分面。依次单击preprocessor-modelingoperate-booleans-divide-area by line，弹出对话框， 选择对话框中的box单选，用窗口选择两个面元素， 后单击apply,在窗口中选L6-ok,完成面元素剖分。 单击plotctrls菜单中的numbering命令，关闭line numbers –ok; 单击plot菜单中的area命令，用面元素显示模型， 剖分的模型如图所示，由2个面变为4个面，面元素 的编号同时发生变化。
Preprocessor-material
props-material models-弹出define material model behavior 对话框-列表框material models available中， 依次单击structural-linear-elastic-isotropic， 添加弹性模量2.1e+11，泊松比0.3-ok;
操作过程
一、建立新文件
二、类型的选择 Structural-ok；
二、前处理
1、添加单元类型 选择：Quad 4node 42(单元库编号)； 具有厚度：选择 option-plane str w/thk(平面应力有厚度)；
2、设置实常数（Real constants）
有限元分析——平面问题
Re=
NT
s
Pstds
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4、整体分析 整体刚度矩阵 整体刚度矩阵组装的基本步骤：
先求出各个单元的单元刚度矩阵； 将单元刚度矩阵中的每个子块放在整体刚度矩阵中的对应位置上，得到单 元的扩大刚度矩阵； 将全部单元的扩大矩阵相加得到整体刚度矩阵。
不失一般性，仅考虑模型中有四个单元，如图所示，四个单元的整体节点位 移列阵为
τZX z= + t/2 =0
因板很薄，载荷又不沿厚度变化，应力沿板 的厚度方向是连续分布的，可以认为，在整
Z
个板内各点都有
σZ=0 τYZ=0 τZX=0
O
tX
图1 平面应力问题
根据剪应力的互等性、物理方程，可得描述平面应力问题的八个独立的基本变量 为
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σ=[σX σY τXY]T ε=[εX εY γXY]T
x2 y2 ɑ1= x 3 y 3
1 y2 b1=- 1 y 3
1 c1= 1
x2 x3
(1,2,3)
上式表示下标轮换，即1 2，2 3，3 1同时更换。
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重写位移函数，并以节点位移的形式进行表达，有
uv((xx,,yy))N（x,y）qe
其中形函数矩阵为
Y
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图2 平面应变问题
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根据几何方程、物理方程可得，描述平面应变问题的独立变量也是八个，且与 平面应力问题的一样。只是弹性矩阵变为
1
D=
E1
1 1 2 1
1
有限元讲义弹性力学平面问题有限单元法(四结点四边形等参元,八结点曲线四边形等参元,问题补充)分析
2.6 四结点四边形单元(The four-node quadrilateral element)前面介绍了四结点的矩形单元其位移函数:xy y x U 4321αααα+++=xy y x V8765αααα+++=为双线性函数，应力，应变在单元内呈线性变化，比常应力三角形单元精度高。
但它对边界要求严格。
本节介绍的四结点四边形等参元，它不但具有较高的精度，而且其网格划分也不受边界的影响。
对任意四边形单元（图见下面）若仍直接采用前面矩形单元的位移函数，在边界上它便不再是线性的（因边界不与x,y 轴一致），这样会使得相邻两单元在公共边界上的位移可能会出现不连续现象（非协调元），而使收敛性受到影响。
可以验证，利用坐标变换就能解决这个问题，即可以通过坐标变换将整体坐标中的四边形（图a ）变换成在局部坐标系中与四边形方向无关的边长为2的正方形。
正方形四个结点i,j,m,p 按反时钟顺序对应四边形的四个结点i j m p 。
正方形的 1-=η 和 1=η 二条边界，分别对应四边形的i ，j 边界和p,m 边界；ξ=-1和ξ=+1分别对应四边形的i ，p 边界和j ，m 边界。
如果用二组直线等分四边形的四个边界线段，使四边形绘成一个非正交网格，那么该非正交网格在正方形上对应着一个等距离的规则网格（见图a, b ）。
当然, 局部坐标上的A 点与整体坐标的A 点对应。
一、四结点四边形等参单元的形函数及坐标变换由于可以将整体坐标下的四边形单元变换成局部坐标下的正方形单元，对于这种正方形单元，自然仍取形函数为： ξηαηαξαα2321+++=U ξηαηαξαα8765+++=V引入边界条件，即可得位移函数：∑=ijmpi i U N Ui ijmpi V N V ∑==写成矩阵形式：{}{}[]{}ee p i p i ed N d N N N N V U f =⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎭⎬⎫⎩⎨⎧=000 式中形函数: ()()()ηηξξηξi i i N ++=1141, ()p m j i ,,, 按照等参元的定义,我们将坐标变换式亦取为: p p m m j j i i i ijmpi x N x N x N x N x N x +++==∑p p m m j j i i i ijmpi y N y N y N y N y N y +++==∑ ()162-- 式中形函数N 与位移函数中的完全一致。
有限元例题
【1】图示弹性力学平面问题，采用三角形常应变元，网格划分及单元、节点编号如图1所示。
试求：(1) 计算系统刚度矩阵的最大带宽；(2) 根据图中结构的边界约束状态，给出约束节点位移值。
【解】(1) 相邻节点号的最大差为d = 4；所以，半带宽为B = 2 ⨯ (4 + 1) = 10。
(2) u1 = 0，v1 = 0，u4 = 0，v4 = 0。
【2】弹性力学平面问题4节点等参元，其单元自由度是多少？单元刚度矩阵是多少阶的？单元刚度矩阵有多少个元素？【解】平面问题4节点等参元，其单元自由度是4 ⨯2 = 8个；单元刚度矩阵是8 ⨯ 8 阶的，单元刚度矩阵有64个元素。
【3】平面刚架结构梁单元（考虑轴向和横向变形）的自由度是多少？单元刚度矩阵是多少阶的？单元刚度矩阵有多少个元素？【解】平面刚架结构梁单元（考虑轴向和横向变形）的自由度是2 ⨯ 3 = 6个；单元刚度矩阵是6 ⨯ 6阶的；单元刚度矩阵有36个元素。
【4】已知一等截面直杆中某一微段的起始点坐标为0.5m，终点坐标为0.6m，起始点的位移为0.2mm，终点的位移为0.3mm。
假定直杆内的位移是线性分布的。
求该微段等截面直杆的位移表达式f(x)。
【解】已知：x i = 0.5m, x j= 0.6m, u i = 0.2mm = 0.2⨯10-3m, u j= 0.3mm = 0.3⨯10-3m。
即【5】已知4节点一维问题中单元①(1, 2)的应力矩阵为结构总体位移列阵为求单元①的应力（用矩阵计算）。
【解】由总体结构位移列阵知，单元①的位移列阵为由{σ} = [C] {∆}e可求得单元①的应力【6】某结构中单元③的单元应力矩阵，节点位移列阵为，求单元3的应力{σ }。
【解】由{σ} = [C] {∆}e可求得单元③的应力【7】已知某结构中三角形常应变单元的单元③的应力矩阵与应变矩阵分别为，单元厚度t = 1，单元面积A = 0.5，求单元③的刚度矩阵[K]3。
第3讲—弹性力学问题的有限单元法
1 T U d Kd 2
u1 d u 2 u 3
有限单元法
崔向阳
Step 3: 单元集成
单元集成——外力功
整体节点 位移列阵
整体等效节 点力列阵
u1 d u2 u 3
f1 R1 f f 2 0 f F 3
有限单元法
崔向阳
Step 2.单元特征分析
xi
单元节点位移列阵： 单元节点坐标列阵： 单元等效节点力列阵：
II＝0
有限单元法 崔向阳
真实位移
6
最小势能原理
1 II ij ij dV bi ui dV pi ui dA 2 Sp 1 II Dijkl ij kl dV bi ui dV pi ui dA Sp 2
ij
ij
dV biui dV piui dA
Sp
弹性问题中等价于最小势能原理！
有限单元法 崔向阳
比较：虚功原理和能量变分原理
虚功原理是理论力学上的一个根本性原理，可以用于
一切非线性力学问题。
最小势能原理只是虚功原理对弹性体导出的一种表述
形式，但是对于线弹性问题，最小势能原理的应用非 常方便。
ij ui ij ui Dijkl ij kl dV bi ui dV pi ui dA Sp ij ij dV bi ui dV pi ui dA Sp
V= – W
弹性势能—弹性体变形后，产生弹性内力，这种力也具有对外作 功的能力，称为弹性势能，或弹性应变能。
弹性力学与有限元完整版ppt课件
E 1 2 ,
. 1
平面应变
• 4 变形协调方程
平面应力
平面应变
调和方程
由6个简化为1个
平面问题
方程数量： 平衡方程——2个 物理方程——3个 几何方程——3个
合计 8
未知量：
应力分量——3个 x、 y、 xy
应变分量——3个
x、 y z、 xy
位移分量——2个
u、v
合计 8
第三章 弹性力学问题求解方法简述
• 研究的内容：
– 外力作用下
应力、应变、位移
• 物体变形——弹性变形、塑性变形
• 弹性变形：
– 当外力撤去以后恢复到原始状态，没有变形残留，材 料的应力和应变之间具有一一对应的关系。与时间无 关，也与变形历史无关。
• 塑性变形：
– 当外力撤去以后尚残留部分变形量，不能恢复到原始 状态，——即存在永久变形。应力和应变之间的关系 不再一一对应，与时间、与加载历程有关。
1.3 几个基本概念
1. 外力 2. 一点的应力状态 3. 一点的形变 4. 位移分量
1 外力
• 作用于物体的外力可以分为3种类型： 体力、面力、集中力。
• 体力——就是分布在物体整个体积内部各个质点上的
力，又称为质量力。例如物体的重力，惯性力，电磁力等 等。
• 面力——是分布在物体表面上的力，例如风力，静水
大小和方向不同。
• 体力分量：将体力沿三个坐标轴xyz 分解，用X、
Y、Z表示，称为体力分量。
• 符号规定：与坐标轴方向一致为正，反之为
负。 应该注意的是：在弹性力学中，体力是指单位
体积的力 。
• 体力的因次：[力]/[长度]^3
• 表示：F={X Y Z}
. 1
平面应变
• 4 变形协调方程
平面应力
平面应变
调和方程
由6个简化为1个
平面问题
方程数量： 平衡方程——2个 物理方程——3个 几何方程——3个
合计 8
未知量：
应力分量——3个 x、 y、 xy
应变分量——3个
x、 y z、 xy
位移分量——2个
u、v
合计 8
第三章 弹性力学问题求解方法简述
• 研究的内容：
– 外力作用下
应力、应变、位移
• 物体变形——弹性变形、塑性变形
• 弹性变形：
– 当外力撤去以后恢复到原始状态，没有变形残留，材 料的应力和应变之间具有一一对应的关系。与时间无 关，也与变形历史无关。
• 塑性变形：
– 当外力撤去以后尚残留部分变形量，不能恢复到原始 状态，——即存在永久变形。应力和应变之间的关系 不再一一对应，与时间、与加载历程有关。
1.3 几个基本概念
1. 外力 2. 一点的应力状态 3. 一点的形变 4. 位移分量
1 外力
• 作用于物体的外力可以分为3种类型： 体力、面力、集中力。
• 体力——就是分布在物体整个体积内部各个质点上的
力，又称为质量力。例如物体的重力，惯性力，电磁力等 等。
• 面力——是分布在物体表面上的力，例如风力，静水
大小和方向不同。
• 体力分量：将体力沿三个坐标轴xyz 分解，用X、
Y、Z表示，称为体力分量。
• 符号规定：与坐标轴方向一致为正，反之为
负。 应该注意的是：在弹性力学中，体力是指单位
体积的力 。
• 体力的因次：[力]/[长度]^3
• 表示：F={X Y Z}
弹性力学平面问题
第三章 弹性力学平面问题有限元法
§3.1 弹性力学基本概念
4)完全弹性假设 ❖ 假设物体在外加因素去除后能完全恢复原来形状，没有剩余变形。
同时认为应力与应变呈线性关系，即服从虎克定律。
5）微小变形假设 ❖ 假设物体在载荷作用下产生的位移远远小于物体的特征尺寸， 应变分量和转角均远小于1。 •上述5项假设中，前四个属于物理假设，符合前四个基本假设的称 为理想弹性体。第五个假设属于几何假设，符合该假设的理想弹性 体的问题称为线性弹性力学。
第三章 弹性力学平面问题有限元法
§3.1 弹性力学基本概念
• 弹性力学研究方法概述 1）研究弹性体内微分单元体的平衡，写出一组平衡微分方程； 2）由于平衡方程数少于未知应力数，必须考虑几何方面的关系：应 变分量和位移分量之间的微分方程。 3）再引入应力和应变之间的物理关系——广义虎克定律。 4）边界上单元体的内部应力和外部载荷之间的平衡，得到应力边界 条件；考虑边界位移约束得到位移边界条件。 上述基本方程和边界条件组成一个复杂的偏微分方程边值问题，
§3.1 弹性力学基本概念
四、弹性力学中的基本量
• 弹性力学中用以描述研究对象状态的基本力学量包括：外力、应 力、应变、位移。
❖ 外力 1) 体积力（体力）：物体内部单位体积上所受外力称为体力 （矢量）。如：重力、惯性力等。 2) 表面力（面力）：物体表面单位面积上所受外力称为面力 （矢量）。如：静水压力、接触力等。
❖ 通过前面的基本方程求解弹性力学 问题时，必须考虑上述边界上位移 的协调和力的平衡——边界条件。
❖ 边界条件描述如下：
1）位移边界条件
u = u,v = v 在 Su 上
2）应力边界条件
l x + m xy = t x m y + l xy = t y
§3.1 弹性力学基本概念
4)完全弹性假设 ❖ 假设物体在外加因素去除后能完全恢复原来形状，没有剩余变形。
同时认为应力与应变呈线性关系，即服从虎克定律。
5）微小变形假设 ❖ 假设物体在载荷作用下产生的位移远远小于物体的特征尺寸， 应变分量和转角均远小于1。 •上述5项假设中，前四个属于物理假设，符合前四个基本假设的称 为理想弹性体。第五个假设属于几何假设，符合该假设的理想弹性 体的问题称为线性弹性力学。
第三章 弹性力学平面问题有限元法
§3.1 弹性力学基本概念
• 弹性力学研究方法概述 1）研究弹性体内微分单元体的平衡，写出一组平衡微分方程； 2）由于平衡方程数少于未知应力数，必须考虑几何方面的关系：应 变分量和位移分量之间的微分方程。 3）再引入应力和应变之间的物理关系——广义虎克定律。 4）边界上单元体的内部应力和外部载荷之间的平衡，得到应力边界 条件；考虑边界位移约束得到位移边界条件。 上述基本方程和边界条件组成一个复杂的偏微分方程边值问题，
§3.1 弹性力学基本概念
四、弹性力学中的基本量
• 弹性力学中用以描述研究对象状态的基本力学量包括：外力、应 力、应变、位移。
❖ 外力 1) 体积力（体力）：物体内部单位体积上所受外力称为体力 （矢量）。如：重力、惯性力等。 2) 表面力（面力）：物体表面单位面积上所受外力称为面力 （矢量）。如：静水压力、接触力等。
❖ 通过前面的基本方程求解弹性力学 问题时，必须考虑上述边界上位移 的协调和力的平衡——边界条件。
❖ 边界条件描述如下：
1）位移边界条件
u = u,v = v 在 Su 上
2）应力边界条件
l x + m xy = t x m y + l xy = t y
弹性力学平面问题的有限元法
形状函数
用于描述四节点四边形单元内任意一点的位移和 应力状态。
刚度矩阵
由四节点四边形单元的形状函数和弹性力学基本 公式构建，用于描述单元的刚度特性。
平面六面体八节点单元
六面体八节点单元
是一种三维有限元单元， 具有六个面和八个节点。
形状函数
用于描述六面体八节点 单元内任意一点的位移 和应力状态。
刚度矩阵
对复杂问题的处理能力有限
对于一些高度非线性或耦合问题，有限元法可能难以获得准确解，需要采用其他数值方法 或实验手段。
对高维问题的处理难度较大
随着问题维度的增加，有限元法的计算量和内存消耗会急剧增加，限制了其在高维问题中 的应用。
未来发展方向与挑战
高效算法设计
研究更高效的有限元算法，提高计算速度和精度，降低计算成本。
载荷向量的确定
根据边界条件和外力分布，确定每个节点的载荷 向量。
3
系统刚度矩阵与总载荷向量
将各个单元的刚度矩阵和载荷向量组合起来，形 成系统刚度矩阵和总载荷向量。
求解线性方程组
线性方程组的求解
利用数值方法（如Gauss消去法、迭代法等）求解由 系统刚度矩阵和总载荷向量构成的线性方程组。
解的收敛性与稳定性
02 弹性力学基本方程
应力和应变的关系
01
02
03
胡克定律
在弹性范围内，应力与应 变之间存在线性关系，即 应力与应变成正比。
应变分量
描述物体变形的量，包括 线应变和角应变。
应力分量
描述物体内部受力情况的 量，包括正应力和剪切应 力。
平衡方程
静力平衡
物体在无外力作用下保持静止状态， 即合力为零。
弹性力学平面问题的有限元法
用于描述四节点四边形单元内任意一点的位移和 应力状态。
刚度矩阵
由四节点四边形单元的形状函数和弹性力学基本 公式构建，用于描述单元的刚度特性。
平面六面体八节点单元
六面体八节点单元
是一种三维有限元单元， 具有六个面和八个节点。
形状函数
用于描述六面体八节点 单元内任意一点的位移 和应力状态。
刚度矩阵
对复杂问题的处理能力有限
对于一些高度非线性或耦合问题，有限元法可能难以获得准确解，需要采用其他数值方法 或实验手段。
对高维问题的处理难度较大
随着问题维度的增加，有限元法的计算量和内存消耗会急剧增加，限制了其在高维问题中 的应用。
未来发展方向与挑战
高效算法设计
研究更高效的有限元算法，提高计算速度和精度，降低计算成本。
载荷向量的确定
根据边界条件和外力分布，确定每个节点的载荷 向量。
3
系统刚度矩阵与总载荷向量
将各个单元的刚度矩阵和载荷向量组合起来，形 成系统刚度矩阵和总载荷向量。
求解线性方程组
线性方程组的求解
利用数值方法（如Gauss消去法、迭代法等）求解由 系统刚度矩阵和总载荷向量构成的线性方程组。
解的收敛性与稳定性
02 弹性力学基本方程
应力和应变的关系
01
02
03
胡克定律
在弹性范围内，应力与应 变之间存在线性关系，即 应力与应变成正比。
应变分量
描述物体变形的量，包括 线应变和角应变。
应力分量
描述物体内部受力情况的 量，包括正应力和剪切应 力。
平衡方程
静力平衡
物体在无外力作用下保持静止状态， 即合力为零。
弹性力学平面问题的有限元法
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1 v [( ai bi x ci y )vi (a j b j x c j y )v j (a m bm x c m y )v m ] 2A 1 u [( ai bi x ci y )u i (a j b j x c j y )u j (a m bm x c m y )u m ] 2A
单元类型：三角形、四边形
单元数目：根据计算精度要求来确定 结点设置：使单元的的结点编号尽量靠近
有限元模型：由单元、结点、结点连线构成的集合
8.1.2 位移函数
在选择多项式时，为了使有限单元法的计算精度和收敛 性得到保障，还需要满足完备性和连续性的要求。为了使位 移模式尽可能地反映物体中的真实位移形态，它应满足下列 条件：
a1 1 xi a 1 x j 2 a3 1 xm yi yj ym
1
yi a1 a （8-2） yj 2 ym a3
ui u j u m
8.2.4 单元刚度矩阵－最小势能原理
单元的刚度矩阵：结点力和结点位移间的关系。 （1）单元的应变能
1 U ε T σd 2
(8-11)
σ Dε DBae Sae 1 1 e T U ε σtdxdy (Bae )T DBaetdxdy 2 2 1 1 e T e T T e (a ) B DBa tdxdy (a ) BT DBtdxdy a e 2 2
（8-4） 写成矩阵形式
u N i ui N j u j N mu m v N i vi N j v j N m v m
i 、 j、 m
i 、 j、 m
N u N v
i i i i
u N i v 0
0 Ni
（1）位移模式必须能反映单元的刚体位移；
（2）位移模式必须能反映单元的常量应变； （3）位移模式应尽可能地反映位移的连续性。
弹性力学平面问题一般选择多项式函数作为位移函数。
u a1 a2 x a3 y a4 x b3 y b4 x b5 xy b6 y ...
求偏导数
1 ( b u b u b u ) i i j j m m x 2 1 y (c i v i c j v j c m v m ) 2 xy 1 (c u c u c u ) (b v b v b v ) i i j j m m i i j j m m 2
（8-6）
根据单元的位移场函数式（8-5），由几何方程可以得到单 元的应变场表达式：
u N i ui N j u j N mu m v N i vi N j v j N m v m
i 、 j、 m
i 、 j、 m
N u N v
i i i i
（8-5）
插值函数具有如下性质：
（1） N i 在节点 i 上值为1，在节点 j 和 m 上值为0，即有：
当j i 1 N i ( x j , y j ) ij (i, j, m ) 当j i 0 Ni ( xi , yi ) 1, Ni ( x j , y j ) Ni ( xm , ym ) 0 也即有
简写为：
ε Bae
由于矩阵B是常量，单元内各点应变分量也都是常量，这 是由于采用了线性位移函数的缘故，这种单元称为常应变三 角形单元。
bi 1 B 0 2 ci 0 ci bi bj 0 cj 0 cj bj bm 0 cm 0 cm B i bm
Bj
u i a1 a 2 xi a3 yi v i a4 a5x i a6y i u j a1 a 2 x j a3 y j v j a4 a5x j a6y j （8-1b） u m a1 a 2 xm a3 y m v m a4 a5x m a6y m
根据完备性和连续性的要求，选取3结点三角形单元的位移场 函数
u
如下：
u a1 a2 x a3 y v a 4 a5 x a 6 y
（8-1a）
将3个结点 i、j、m 上的坐标和位移分别代入式（8-1a）就可以
将六个待定系数用结点坐标和结点位移分量表示出来。将水
平位移分量和结点坐标分别代入（8-1a）中的第一式，得到
2 2
8.2
平面三角形单元
三角形单元是一种简单方便、对边界适应性强的单元， 由于以三角形的三个顶点作为结点，因此又成为三结点三角 形单元。这种单元的计算精度较低，使用的时候必须进行精 细的网格划分，但他仍然是一种常用的单元
(a) 均匀受力板力学模型
(b) 力学模型离散化
平面问题有限单元法的计算力学模型
8.2.2 单元的应变场
由几何方程知
u x x { } y 0 xy u y 0 x v 0 y v x y 0 u y v x
a4 1 xi a 1 x j 5 a6 1 xm
yi yj ym
1
vi v （8-3） j vm
u a1 a2 x a3 y v a 4 a5 x a 6 y
1 E D 2 (1 ) 0
1 0
0 0 1 2
将应力矩阵表示为分块矩阵的形式，有：
S Si S j S m
(8-10)
cr cr (r i, j , m) 1 br 2
br E 其中：Sr DBr br 2 2 A(1 ) 1 cr 2
Bm
br 1 Br 0 2A cr
0 cr ( r i , j , m) br
8.2.3 单元的应力场
由物理方程,可以得到单元的应力场表达式：
σ Dε DBae Sae
S DB
其中
问题，
(8-8) (8-9)
S DB 为应力矩阵，D 称为弹性矩阵，对于平面应力
Nj 0
0 Nj
Nm 0
单元内的位移场函数可以简写成：
u Na
e
ui v i 0 u j Nm vj u m vm
e
（8-5b）
把 N 称为形函数矩阵，Ni 称为形函数。
形函数 Ni , N j , N m 是单元内任意一点坐标的线性函数。单元内 位移场的插值函数。也就是说，单元的节点位移通过 N(x,y) 控 制着单元的位移场的形态。所以N(x,y) 称为单元的形态函数或 形函数。
u N i ui N j u j N mu m v N i vi N j v j N m v m
xj yj
i 、 j、 m
i 、 j、 m
N u N v
i i i i
（8-4）
ai x j ym x m y j （下标 i、j、m xm y m 轮换） 1 1 yj Ni (ai bi x ci y ) bi y j ym 2A 1 ym 1 xj ci xm x j 1 xm
a4 1 xi a 1 x j 5 a6 1 xm
yi yj ym
1
vi v （8-3） j vm
其中A，为三角形单元的面积。
1 xi 2 A det 1 x j 1 xm yi yj ym
，结点位移分别
vj 、 um 。 v m 记单元的结点位移向量 、
ae
和结点力向量 F e 为：
a ui vi u j v j um vm
e
T
F Fxi
e
Fyi
Fxj
Fyj
Fxm
Fym
T
（8-1a）写成矩阵形式，有：
ui 1 xi u 1 x j j um 1 xm
8.2.1 位移函数的选取
y vm (xm, ym) m um vj j i ( x i, y i) O ui x uj
vi
( x j, y j)
如图所示的 3结点平面三角形单元，结点
i、j、m
的坐标
分 别 为 ( xi , y i )
uj 为 u i、 vi 、 、
、 (x j , y j )
、 ( xm , ym )
为了避免出现 A 0 的情
况，三个结点
i、j、m
按逆
时针顺序排列。
将（8-3）代回（8-1）
a1 1 xi a 1 x j 2 a3 1 xm yi yj ym
1
ui u j u m
Ni N j Nm 1
因为若单元发生刚体位移，如x方向有刚体位移 u0，则单元 内（包括结点上到处应有位移 u0 ，即 ui u j um u0
，又有： u Niui N j u j Nmum ( Ni N j Nm )uo uo （4）对于现在的单元，插值函数是线性的，在单元内部及 单元的边界上位移也是线性的，可由结点上的位移值唯一地 确定。由于相邻单元公共结点的结点位移是相等的，因此保 证了相邻单元在公共边界上位移的连续性。
第8章 弹性力学平面问题的有限元分析