第七章 结构振动的有限元分析
有限元分析基础(推荐完整)
图1-5 驾驶室受侧向力应力云图
图1-6 接触问题结构件应力云图
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第一章 概述
图1-7 液压管路速度场分布云图
图1-8 磨片热应力云图
图1-9 支架自由振动云图
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第二章 结构几何构造分析
2.1 结构几何构造的必要性 2.2 结构计算基本知识 2.3 结构几何构造分析的自由度与约束 2.4 自由度计算公式
（1）结点： ① 铰结点；② 刚结点；③ 混合结点。 （2）支座： ① 活动铰支座；② 固定铰支座 ；
③ 固定支座 ；④ 定向支座
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第二章 结构几何构造分析
2.2.2 结构的分类与基本特征
(1) 按结构在空间的位置分 结构可分为平面结构和空间结构两大类
(2) 按结构元件的几何特征分 ① 杆系结构： 梁、拱、桁架、刚架、桁构结构等 。 ② 板壳结构 ③ 实体结构实体结构的长、宽、高三个尺寸都很 大，具有同一量级。 ④ 混合结构
d. 超静定结构中的多余约束破坏后，结构仍然保持 几何不变性，因而仍有一定的承载能力， 不致整个结构 遭受破坏。
e. 超静定结构由于具有多余的约束，因而比相应的 静定结构具有较大的刚度和稳定性， 在载荷作用下，内 力分布也较均匀，且内力峰值也较静定结构为小。
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第二章 结构几何构造分析
2.2.3 结构对称性的利用
对称结构在正对称载荷下，对称轴截面上只能产生 正对称的位移，反对称的位移为零；对称结构在反对称 载荷下，对称轴截面上只有反对称的位移，正对称的位 移为零。 (1) 具有奇数跨的刚架
① 正对称载荷作用
(a) 对称刚架
（b) 变形状态分析
(c) 对称性利用
图2-22对称性利用示意图
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用于振动分析的有限元方法资料
有限元思想
▪ 1，实际结构被一些元素所取代,这些元素都是被假定为一 个连续的结构部件即有限元，这些元素在特定点即节点上 互相关联。
2，如果解决方案的各方面都选择得当,那么它可以收敛到 精确的解决方案，因为组成总体结构的元素很小，在节点 上的力的平衡和元素之间的位移都令人感到满意,这样整个 结构(组合的元素)表现为单一实体。
u(x, t) 1u1(t) 2u2 (t)
（1）
式中，Φ1、 Φ2称为线性系数，与单元里点的位置有关，是x的函数 。此函数与单元的形状有关，又叫形状函数。
形状函数和插值函数一样是任意的，但必须边界条件：
u(0, t) u1(t) u(l,t) u2 (t)
（2）
只有满足此条件单元才能协调一致运动，而不致破坏系统的完 整性，因此这两个条件实际上就是变形协调条件。将式（1）带 入（2）中，就可以得到形状函数Φ1(x)、Φ2(x)所满足的边界条 件：
▪ 3，因为得到准确解很难，所以得到一个方便且逼近的近似 解很有价值。
元素的运动方程
龙门刨铣床
三角板元 素
有限元 模型
梁 元 素
元素的运动方程
▪ 位移函数 ▪ 形状函数 ▪ ▪
各点对应位移 动能 应变能
未知节点位移数 n
质量矩阵
刚度矩阵
主要内容：
▪ 一，单元的质量、刚度矩阵、等效节点力 ▪ 二，单元矩阵的坐标变换 ▪ 三，整个系统的运动方程
10 1, 1l 0,
20 0 2l 1
（3）
▪ 以上边界条件确定了 1 x 、2 x 由于这两个函数的任意性
我们可以用简单的线性函数来近似，因此有：
1
x
1
x l
,
2 x
第七章结构振动的有限元分析
第七章结构振动的有限元分析第一节引言结构振动是指结构在外力的作用下发生的同步振动。
它在工程结构的设计和分析中具有重要的意义。
传统的结构振动分析方法主要有模态分析法和频域分析法。
近年来，随着计算机技术的发展，有限元方法在结构振动分析中的应用越来越广泛。
第二节有限元方法概述有限元方法是一种通过将连续结构离散化为有限个单元，并在每个单元内进行局部计算，然后将单元组装起来进行全局分析的一种方法。
有限元方法的基本思想是将连续体分解为有限个离散单元，通过求解每个单元的位移和应变，进而得到整个结构的力学行为和响应。
在结构振动分析中，有限元方法可以更准确地描述结构的边界条件和模态特性。
第三节有限元建模有限元建模是有限元分析的关键步骤之一、在有限元建模过程中，需要根据实际情况选择适当的单元类型和单元尺寸，并确定边界条件。
有限元建模的准确性直接影响到振动分析的有效性和准确性。
第四节模态分析模态分析是结构振动分析的常用方法之一、它可以通过求解结构的本征频率和本征振型，对结构进行全面的振动特性分析。
在有限元分析中，模态分析主要通过求解结构的特征值问题来实现。
第五节动力分析动力分析是结构振动分析的另一种常用方法。
与模态分析相比，动力分析能够更真实地反映结构在外力作用下的振动响应。
在有限元分析中，动力分析主要通过求解结构的动力方程来实现。
第六节振动问题的求解技巧与注意事项在进行结构振动的有限元分析时，需要注意一些技巧和问题。
首先，应正确选择结构的边界条件和单元类型，以保证分析结果的准确性。
其次，应注意振动问题的约束条件和模态解耦技巧，以简化计算过程。
此外，在求解动力方程时，还需要注意存在间接刚度法和直接刚度法两种不同的求解方法。
第七节结构振动的应用领域结构振动的有限元分析在工程领域中有着广泛的应用。
例如，在建筑工程中，可以用有限元分析来评估结构的自然频率和振动幅度，以确定结构的稳定性和耐久性。
在航空航天工程中，可以通过有限元分析来研究飞机的结构动态特性，并优化结构设计。
结构有限元教程
结构有限元教程全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：结构有限元分析是工程领域中常用的结构分析方法之一，它在设计、优化和验证工程结构的过程中起着重要作用。
有限元方法将复杂的结构分析问题简化为离散的数学模型，通过有限元软件进行分析计算，得到结构的应力、应变、位移等重要信息，从而评估结构的安全性和稳定性。
本文将介绍结构有限元分析的基本原理、常用软件、建模方法以及常见问题的解决方案，帮助读者更好地理解和运用结构有限元分析。
一、有限元分析的基本原理有限元分析的本质是一种数值逼近方法，通过有限元剖分结构，将结构分解为有限个简单的单元，每个单元的行为可以通过一组节点的位移来描述。
有限元分析的基本原理是根据物理方程和边界条件建立有限元模型，通过数值计算得到结构的应力、位移等信息，从而评估结构的性能和安全性。
在有限元分析中，通常有以下几个步骤：1.建立有限元模型：根据实际结构的几何形状和材料性质，选择适当的有限元类型（如梁单元、壳单元、体单元等），剖分结构并建立节点和单元之间的连接关系。
2.确定边界条件：根据实际情况确定结构的边界条件，如支撑条件、受力条件等。
3.建立单元刚度矩阵：根据单元的几何形状和材料性质，计算单元的刚度矩阵，并根据节点和单元之间的连接关系组装成整体刚度矩阵。
4.施加载荷：根据实际需要，施加结构上的外部载荷，如集中力、分布力等。
5.求解方程组：通过数值计算方法求解整体刚度矩阵和载荷向量的方程组，得到结构的位移、应力等信息。
6.分析和优化：根据分析结果评估结构的性能和安全性，并进行结构优化设计。
二、结构有限元分析常用软件目前市面上有许多结构有限元分析软件，其中一些较为知名的软件包括ANSYS、ABAQUS、Nastran、SAP2000等。
这些软件在结构有限元分析领域有着广泛的应用和较高的声誉，具有良好的计算性能和强大的功能特点。
1.ANSYS：是一款功能强大的有限元分析软件，可用于结构、热、流体、电磁等多物理场耦合问题的分析计算。
有限元模态分析实例
有限元模态分析实例有限元模态分析是一种用数学方法对结构物的振动特性进行分析的工程方法。
在设计和优化结构时，对结构的模态进行分析是十分重要的。
通过模态分析可以获得结构的固有频率、模态形态以及模态阻尼等信息，为结构的设计和工程优化提供依据。
下面将介绍一个有限元模态分析的实例。
工程项目中有一座长桥，设计要求对该桥进行模态分析，以评估其振动特性和优化设计。
桥梁的整体结构是由主梁和横梁构成。
在进行模态分析之前，首先进行了有限元建模。
主梁和横梁的几何尺寸、材料性质和截面形状被纳入有限元模型中。
通过有限元分析软件对桥梁进行了静力分析，确定了主梁和横梁的应力分布和变形情况。
在静力分析的基础上，进行了模态分析。
在模态分析中，首先得到了桥梁的固有频率。
固有频率是结构在没有外部激励作用下自发振动的频率，也可以理解为结构的固有振动频率。
通过固有频率的计算，可以得到结构的自由振动周期。
接下来，得到了桥梁的模态形态。
模态形态是固有振动状态下结构各个节点的振型。
通过模态形态的计算，可以了解结构在不同频率下的振动模式，进一步评估结构的振动特性。
最后，得到了桥梁的模态阻尼。
模态阻尼是结构在振动过程中能量耗散的程度。
结构的阻尼特性对于振动特性的评估和结构的设计优化具有重要影响。
对模态分析的结果进行评估，发现一些模态频率较接近结构的主要激励频率，存在共振现象。
为了消除共振现象，采取了一些优化措施，如增加结构的刚度、改变材料性质等。
通过有限元模态分析，得到了桥梁的固有频率、模态形态和模态阻尼等信息，为结构的设计和工程优化提供了依据。
基于模态分析的结果，进行了优化设计和改进措施，提高了结构的振动特性和抗震能力。
总之，有限元模态分析是一种重要的工程分析方法，通过模态分析可以评估结构的振动特性，并为结构的设计和工程优化提供依据。
符合桥梁的模态分析在设计和改进中的实践，对于确保工程质量和结构的稳定性具有重要意义。
有限元分析-动力学分析
1.为何傅里叶变换要换成正弦函数余弦函数这样的三角级数？ 2. 谐振运动的特征是什么？谐振运动有阻尼存在吗？
梁结构瞬态动力学分析实例
A steel beam of length and geometric properties shown in Problem Specifications is supporting a concentrated mass, m. The beam is subjected to a dynamic load F(t) with a rise time tr and a maximum value F1. If the weight of the beam is considered to be negligible, determine the time of maximum displacement response tmax and the response ymax. Also determine the maximum bending stress σbend in the beam.
谱分析
谱分析是一种将模态分析结果与已知的谱分析联系起来的 计算位移和应力的分析技术。它主要用于时间历程分析，以 便确定结构在任意时间变化载荷下的动力学响应，简单而言 就是载荷的谱不再是简谐运动。
简支梁的两端作垂直运动，也就是地震时的作用，确定其 响应频率。
梁对地基地震时的谱分析
A simply supported beam of length , mass per unit length m, and section properties shown in Problem Specifications, is subjected to a vertical motion of both supports. The motion is defined in terms of a seismic displacement response spectrum. Determine the nodal displacements, reactions forces, and the element solutions.
用于振动分析的有限元方法概要
对于基本的一维元素进行有限元分析，能得到质量矩 阵与刚度矩阵和所需的力矢量，对于二维三维，元素矩阵 会转换成相关的更高维的空间。使用一致的和集中质量矩 阵的有限元方程并结合边界条件能为复杂系统提供解释。
最后,使用序得到在轴向载荷下的指定节点 位移,固有振动频率和特征值分析。
本章目的
用于振动分析的有限元方法
指导老师：陈益
报告人：成志斌 韩宗彪
何瑜 宁鹏
内容
有限元介绍 单个元素的运动方程 单个元素的质量矩阵、刚度矩阵、力矢量及其转化 整个系统的运动方程 整个系统的边界条件的加载及质量矩阵
MATLAB实例及总结
有限元法简介
有限元法是一种可用于精确地(但近似)解决许多复杂的 振动问题的数值方法。
把上式写成矩阵形式： （13）
所以等效节点力可以写成：
t k ut f t mu
（14）
如下图所示，一个梁单元也是有两个节点，但是有四个自由度，每个节 点处，有两种位移形式，一个是线位移，即挠度，一种是角位移。
二 梁单元
图中， f1 t , f 3 t 是力，
二 单元矩阵的坐标变换
局部坐标系：以各个单元本身的轴线为基准所设立的坐标系。便于计算节点位移。 缺点：如果整个系统里各个单元取向各异，各个节点位移方向不一致，如下图。如 何使汇交于一个节点的各个杆件的节点位移真正相等? 解决方法：进行坐标变换
机械结构的声振特性分析与优化
机械结构的声振特性分析与优化机械结构是现代工程中广泛应用的一种技术。
在机械结构中，声振特性是一个重要的研究方向。
声振特性的分析与优化可以帮助工程师设计更稳定、更高效的机械结构。
声振特性是指机械结构在工作中所产生的声音和振动。
这些声音和振动可能会对机械结构的稳定性和效率产生不利影响。
因此，了解机械结构的声振特性，对其进行分析和优化非常重要。
一种常用的方法是使用有限元分析法来研究机械结构的声振特性。
有限元分析法是一种计算机辅助工程技术，可以将复杂的机械结构分解为许多小的有限元，然后通过对这些有限元进行计算，来模拟和预测机械结构在外界作用下的振动和声音。
通过有限元分析，工程师可以获得机械结构的固有频率、振动模态和振动位移等信息。
这些信息可以帮助工程师了解机械结构的振动行为，并找出可能产生问题的地方。
例如，如果机械结构的某个固有频率接近外界激励频率，就会发生共振现象，可能导致振动放大和结构破坏。
通过有限元分析，工程师可以发现并解决这类问题，从而提高机械结构的稳定性。
除了有限元分析，还可以使用其他方法来研究机械结构的声振特性。
例如，试验法是一种常用的方法，可以通过对机械结构进行实验观测和测试来获取声振特性的信息。
试验法的优点是可以直接测量和观测到机械结构的实际振动和声音，能够提供准确的数据。
然而，试验法也存在一些局限性，例如成本较高、时间较长等。
在了解机械结构的声振特性后，优化是一个重要的环节。
通过优化，可以提高机械结构的性能和效率，减少噪音和振动的产生。
优化的方法有很多种，包括改变结构材料、减少质量、增加阻尼等。
其中，改变结构材料是一种常见的优化方法。
选择合适的材料可以改变机械结构的频率响应和阻尼特性，从而达到减少振动和噪音的目的。
此外，优化也可以通过改变机械结构的几何形状来实现。
例如，在某些情况下，通过改变腔体的形状和尺寸可以减少共振现象的发生。
通过有限元分析和其他方法，工程师可以确定最佳的几何形状，并进行优化设计。
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LSTR,1,2 !连接点1和2生成直线1 LSTR,5,1 !连接点5和1生成直线2 BSPLIN,2,3,4,5,,,-0.025,0,0,-0.025,-0.00625,0, !采用B样条，连 接点2,3,4,5生成曲线3 AL,1,2,3 !由线1,2,3围成一个面 ESIZE,0.00625 !在单元划分前，定义单元的边的尺度为 0.00625 MSHAPE,0,2D !设置单元划分的类型为2D四边形(key=0) MSHKEY,0 !设置网格的自由划分(0) AMESH,all !对所有的面进行网格划分(无设置时，则默认为 采用第1号类型单元)
静力学情形(static case) 静力学情形 由于与时间无关，则方程(7-19)退化为
无阻尼情形(undamped system) 无阻尼情形 此时 ，则方程(7-19)退化为
无阻尼自由振动情形(free vibration of undamped system) 无阻尼自由振动情形 则 ， ，方程(7-19)退化为
/SOLU !进入求解模块 ANTYPE,2 !设置模态分析(2) MODOPT,LANB,5 !设定LANB方法,提取5阶模态 MXPAND,5, , ,0 !设定模态扩展数为5 MODOPT,LANB,5,0,0, ,OFF !设定LANB方法,计算5 阶模态 SOLVE !求解 FINISH !退出求解模块
7.1.3 常用单元的质量矩阵
结构振动分析将涉及到结构的刚度矩阵、质量矩阵和阻尼 矩阵，由(7-17)式可知，动力学问题中的刚度矩阵与静力 问题的刚度矩阵完全相同，而质量矩阵则通过(7-15)式来 进行计算，对于一种单元，只要得到它的形状函数矩阵， 就可以容易地计算出质量矩阵；由阻尼矩阵的计算公式 (7-16)可知，它的计算与质量矩阵相同，只是有关的系数 不同而已。下面给出常见单元的质量矩阵。
单元内的位移插值函数为
其中N(ξ) 为单元的形状函数矩阵，与相对应的静力问题单 元的形状函数矩阵完全相同，ξ为单元中的几何位置坐标。
基于上面的几何方程和物理方程以及式(7-11)，将相元有限元方程
将单元的各个矩阵进行组装，可形成系统的整体有限元方 程，即
(2)集中质量矩阵 将该二节点杆单元的质量直接对半平分，集中到二个节点 上，就可以得到集中质量矩阵(lumped mass matrix)为
可以看出，集中质量矩阵的系数都集中在矩阵的对角线 上，也就是说对应于各个自由度的质量系数相互独立， 相互之间无耦合；而一致质量矩阵的系数则有相互耦合。
平面三节点三角形单元的质量矩阵 (1)一致质量矩阵
7.1.1 结构振动分析的基本方程 描述结构动力学特征的基本力学变量和方程与前面的静 力问题类似，但增加了惯性力项和阻尼力项，且所有的 变量都将随时间而变化 结构振动的三大类变量 位移 应变 应力 是坐标位置ξ(x,y,z)和时间t的函数。
结构振动的三大类方程及边界/初始条件 结构振动的三大类方程及边界 初始条件 平衡方程(考虑惯性力和阻尼力)
其振动形式叫做自由振动(free vibration)，该方程解的形式为 这是简谐振动的形式，其中ω为常数；将其代入(7-23)中, 有
该方程有非零解的条件是
这就是特征方程(eigen equation)，ω为自然圆频率 (natural circular frequency)（rad/sec），也叫圆频率，对 应的频率为f=ω/2π(Hz)。求得自然圆频率ω后，再将其 代入方程(7-26)中，可求出对应的特征向量(eigen vector) ˆq ，这就是对应于振动频率ω的振型(mode)。
杆单元的质量矩阵 质量矩阵分为两种，即一致质量矩阵和集中质量矩阵。 (1)一致质量矩阵 对于二节点杆单元，在局部坐标内有节点位移列阵和形状 函数矩阵
相应的质量矩阵为
所谓一致质量矩阵（consistent mass matrix）是指推导质量 矩阵时与推导刚度矩阵时所使用的形状函数矩阵相“一 致”。
几何方程
物理方程
边界/初始条件 BC/IC 位移边界条件BC(u)
力边界条件BC(p)
初始条件IC(initial condition)：
7.1.2 结构振动的有限元分析列式 用于动力学问题分析的单元构造与前面静力问题时相同，不 同之处是所有基于节点的基本力学变量也都是时间的函数 单元的节点位移列阵为
TYPE, 2 !设置单元类型2(空间单元) EXTOPT,ESIZE,10,0, !设置体单元扩展为10段 VEXT,all,,,0,0,0.25,,,, !对所有的面进行z方向的体(包括单 元)扩展，每次扩展的z方向增量为0.25 ESEL,U,TYPE,,1 !除单元类型1外，选择所有的单元(实际 上就是体单元) NSEL,S,LOC,Z,0 !选择z=0的节点 D,all, , , , , ,ALL, , , , , !对所选择的节点施加全部的固定约 束 NSEL,ALL !选择所有的节点 FINISH !前处理结束
第7章 结构振动的有限元分析 章 7.1 结构振动分析的基本原理 结构的振动分析将涉及到 模态分析(modal analysis)、 瞬态动力学分析(transient dynamics analysis)、 简谐响应分析(harmonic response analysis)、 随机谱分析(spectrum analysis)等方面， 其中结构的模态分析(固有频率与振型)将是所有振动分析的 基础，下面将就结构的模态分析进行阐述。
(2) 集中质量矩阵
机翼模型的振动模态分析 一个简化的飞机机翼模型如图所示，该机翼沿延翼方向为 等厚度。有关的几何尺寸见图，机翼材料的常数为：弹性 模量 ，泊松比 ，密度 ； 对该结构进行振动模态的分析。
/PREP7 ! 进入前处理 ET,1,PLANE42 !选取单元类型1(平面单元) ET,2,SOLID45 !选取单元类型2(空间单元) MP,EX,1,0.26e9 !定义材料的弹性模量(1号材料) MP,DENS,1,886 !定义材料的密度(1号材料) MP,PRXY,1,0.3 !定义材料的泊松比(1号材料) K, ,,,, !生成几何点1，坐标(0,0,0) K, ,0.05,,, !生成几何点2，坐标(0.05,0,0) K, ,0.0575,0.005,, !生成几何点3，坐标(0.0575,0.005,0) K, ,0.0475,0.0125,, !生成几何点4，坐标(0.0475,0.0125,0) K, ,0.025,0.00625,, !生成几何点5，坐标(0.025,0.00625,0)
/POST1 !进入一般的后处理 /VIEW, 1 ,1,1,1 !设置视角 /ANG, 1 /REP,FAST SET,FIRST !调出第1阶的模态结果 SET,NEXT !调出下一阶的模态结果 SET,NEXT !调出下一阶的模态结果(实际上，这时为 第3阶模态) PLDI, , !显示变形后的结构图 ANMODE,10,0.5, ,0 !进行动画显示，设置10帧，每 帧显示0.5秒