用于振动分析的有限元方法资料

有限元思想
▪ 1，实际结构被一些元素所取代,这些元素都是被假定为一 个连续的结构部件即有限元，这些元素在特定点即节点上 互相关联。
2，如果解决方案的各方面都选择得当,那么它可以收敛到 精确的解决方案，因为组成总体结构的元素很小，在节点 上的力的平衡和元素之间的位移都令人感到满意,这样整个 结构(组合的元素)表现为单一实体。
u(x, t) 1u1(t) 2u2 (t)
（1）
式中，Φ1、 Φ2称为线性系数，与单元里点的位置有关，是x的函数 。此函数与单元的形状有关，又叫形状函数。
形状函数和插值函数一样是任意的，但必须边界条件：
u(0, t) u1(t) u(l,t) u2 (t)
（2）
只有满足此条件单元才能协调一致运动，而不致破坏系统的完 整性，因此这两个条件实际上就是变形协调条件。将式（1）带 入（2）中，就可以得到形状函数Φ1(x)、Φ2(x)所满足的边界条 件：
▪ 3，因为得到准确解很难，所以得到一个方便且逼近的近似 解很有价值。
元素的运动方程
龙门刨铣床
三角板元 素
有限元 模型
梁 元 素
元素的运动方程
▪ 位移函数 ▪ 形状函数 ▪ ▪
各点对应位移 动能 应变能
未知节点位移数 n
质量矩阵
刚度矩阵
主要内容：
▪ 一，单元的质量、刚度矩阵、等效节点力 ▪ 二，单元矩阵的坐标变换 ▪ 三，整个系统的运动方程
10 1, 1l 0,
20 0 2l 1
（3）
▪ 以上边界条件确定了 1 x 、2 x 由于这两个函数的任意性
我们可以用简单的线性函数来近似，因此有：
1
x
1
x l
,
2 x
x l
代回（1）式中有：
（4）
u(x, t)
(1
x l
)u1
t
x l
u2 t
（5）
为此，我们已经找到了用节点位移表示单元内任意一点位移的表达式。
三 全系统运动方程
（13）
所以等效节点力可以写成：
mut kut f t （14）
二 梁单元
如下图所示，一个梁单元也是有两个节点，但是有四个自由度，每个节
点处，有两种位移形式，一个是线位移，即挠度，一种是角位移。
图中， f1t, f3t 是力，
f2t, f4t 是力矩。
1t,3t 是对应的线位移，
2 t,4 t 是对应的转角。
用于振动分析的有限元方法
指导老师：陈益 报告人：成志斌 韩宗彪
何瑜 宁鹏
内容
有限元介绍 单个元素的运动方程 单个元素的质量矩阵、刚度矩阵、力矢量及其转化 整个系统的运动方程 整个系统的边界条件的加载及质量矩阵 MATLAB实例及总结
有限元法简介
▪ 有限元法是一种可用于精确地(但近似)解决许多复杂的 振动问题的数值方法。
▪ 对于基本的一维元素进行有限元分析，能得到质量矩 阵与刚度矩阵和所需的力矢量，对于二维三维，元素矩阵 会转换成相关的更高维的空间。使用一致的和集中质量矩 阵的有限元方程并结合边界条件能为复杂系统提供解释。
▪ 最后,使用MATLAB程序得到在轴向载荷下的指定节点 位移,固有振动频率和特征值分析。
本章目的
(3)计算等效节点力
（12）
遵循等效原则，即原载 荷和等效之后的节点载 荷在虚位移上所做的虚
功相等。
设单元上x处作用有分布力f ( x , t)，现在要把它等效成节点力 f1t , f2 t
其实，就是对应于广义坐标 u1t , u2 t 的广义力，为此，计算 f x, t 所做的虚功：
把上式写成矩阵形式：
（19）
梁单元的动能、势能、虚功表达式分别为：
式中I是 横截面的
惯性矩
上式中：
（20） （21） （22）
通过上式，可以得到梁单元的质量、刚度矩阵，等效节点力：
二 单元矩阵的坐标变换
局部坐标系：以各个单元本身的轴线为基准所设立的坐标系。便于计算节点位移。 缺点：如果整个系统里各个单元取向各异，各个节点? 解决方法：进行坐标变换
▪ （2）计算此单元的动能和势能
杆单元的动能可表示成：
（6）
▪ 上式中，ρ是材料的密度，A是杆单元的横截面积。 用矩阵形式表示（6）式为：
其中， 所以，质量矩阵可以认为是：
（7） （8） （9）
▪ 杆单元的势能可以写成：
式中，E是弹性模量，（10）表示成矩阵形式为：
（10）
这里，
（11） ，所以刚度矩阵[k]可以表示成：
一 单元的质量、刚度矩阵，等效节点力矢量 一 杆单元
一个杆单元是从杆上划分出的一个小段，如下图所示。 由于单元很小，ρ、A均视为常量。现在就以这最简单 的杆单元，推导出它的质量、刚度矩阵，等效节点力。
图12.1
▪ (1) 求杆单元上任意点的位移u(x,t)
本来，杆单元上任意点的位移u(x,t)与节点的位移u1(t)、u2(t)之间 的关系是未知的，但是，只要单元划分的足够小，那么其间的关系 就无关大局。所以可以假定它们之间有简单的线性关系，即根据节 点位移对单元内任意点位移进行插值：
▪ *认识用于解决不同类型振动问题的刚度和质量矩阵。 ▪ *将矩阵元素从局部坐标系变换到全球坐标系。 ▪ *装配单元矩阵和应用边界条件。 ▪ *对杆、梁元素进行静态分析。 ▪ *对杆、梁元素进行动态分析来得到固有频率和振型。 ▪ *在有限元振动分析使用一致的集中质量矩阵。 ▪ *使用MATLAB解决振动问题。
如右图的系统，有四个 杆件， u 1(t) 、 u 2(t) 为局部坐标系的节点位移， U i 为全局坐标系下的位移
图12.3
如下图，节点位移在局部、全局坐标系中的关系：
（23）
坐标变换矩阵
其中， 因为单元的动能、势能与坐标系无关:
(24)
▪ 得到在全局坐标下的单元质量、刚度矩阵为：
类似地，根据单元在两个坐标系下的力所做的虚功相等： 得到在全局坐标系下的等效节点力：
f x,t 是分布载荷
x, t 是梁单元上任意位移 x处的挠度。
图12.2
在静载弯曲条件下，梁单元上任意点出的挠度是x的三次方程，可写成：
（16）
此方程必须满足下面的边界条件：
挠度的斜率
tan
（17）
由此可以求解处a (t)、b (t)、c (t)、d (t)，进而挠度方程为：
（18）
上式可以写成形状函数的表示： 其中，形函数分别为：