2020-2021北京高三一轮01三角函数定义.学生版

三角函数的定义考纲

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知识梳理

一．角的概念

（1）正角：逆时针旋转

负角：顺时针旋转

零角：没有旋转

【注】：1.画角时,不能只标上弧线表示角,由于角分正、负,所以要在图上标出代表角的终边旋转方向的箭头；

2.当角的始边相同时,若角相等,则终边相同;但若终边相同,角则不一定相等；○3按逆时针方向

旋转的角为正角,而钟表的时针、分针以及秒针是按顺时针方向旋转的,因此转过的角应是

负角，注意关键词”顺时针”和“逆时针”。

（2）终边相同的角

所有与角a终边相同的角，连同角a在内，可构成一个集合：

s={β|β=a+k∙360°,k∈Z}。

（3）象限角：

通常使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么角的终边落在第几

象限就是第几象限角。

【注】：注意区分锐角与第一象限角，钝角和第二象限角。

●给出一个角，判断该角所在象限的方法是：先将此角化为k·360°+a(0°≤a<360°,k∈Z)的形式，

即找出与此角终边相同的角a(0°≤a<360°),再由角a终边所在的象限来判断此角是第几象限角

●已知θ所在的象限，求θ

或nθ(n∈N+)所在的象限的方法是：将θ的范围用不等式(含有k(k∈Z))

n

表示，然后两边同除以n或乘以n,再对k进行讨论，得到θ

或nθ(n∈N+)所在的象限。

n

例题：

【例1】下列说法中，正确的是()

A．第二象限角是钝角

B．第三象限角必大于第二象限角

C．831

-︒是第二象限角

D．9520

︒'是终边相同的角

-︒'，98440

︒'，26440

【例2】（2017秋•海淀区校级期末）下列各角中，与50︒的角终边相同的角是() A．40︒B．140︒C．130

-︒D．310

-︒【例3】角2

α=，则α所在象限角为()

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

二．弧度制

角度与弧度的互化

(1)360°=2π rad:

(2)180°= π rada

(3)1°=（π

180

）°

弧长公式：l=|a|r

扇形面积公式:S=1

2lr=1

2

|a|r2

(其中l为扇形弧长，a为圆心角，r式圆弧半径)

例题：

【例1】（2018秋•东城区期末）单位圆中，200︒的圆心角所对的弧长为()

A．10πB．9πC．9

10πD．

10

9

π

【例2】（2017秋•东城区校级期末）扇形周长为6cm，面积为2

2cm，则其中心角的弧度数是() A．1或4 B．1或2 C．2或4 D．1或5

三． 三角函数的定义

设a 是一个任意角，a 的终边上任意一点P （与原点不重合）的坐标为（x,y ），它到原点的距离是r=√x 2+y 2

5.三角函数在各象限的符号

sin a cos a tana

记忆口诀:一全正,二正弦,三正切,四余弦

三角函数定义的应用类型及解题方法

(1)已知角a 终边上一点P 的坐标求三角函数值,先求出点P 到原点的距离r,然后利用三角函数定义求解； (2)已知角a 的终边所在的直线方程求三角函数值,先设出终边上一点的坐标,求出此点到原点的距离,然后利用三角函数定义求解相关问题,同时注意分类讨论；

(3)判断三角函数值的符号问题,先判断角所在的象限,再根据各象限的符号规律判断。

例题：

【例1】（2019•东城区一模）在平面直角坐标系XOY 中，角α以OX 为始边，终边经过点(1P -，

)(0)m m ≠，则下列各式的值一定为负的是( )

++ +

++

+++

-

- -

- -

-

A ．sin cos αα+

B ．sin cos αα-

C ．sin cos αα

D ．

sin tan α

α

【例2】（2018秋•西城区校级期中）在平面直角坐标系中，角α的顶点在原点，始边在x 轴的正半轴上，角α的终边经过点(cos 8M π

-，sin )8

π

，且02απ<<，则(α= ) A ．8

π B ．

38

π C ．

58

π

D ．

78

π

四． 同角三角函数关系式

1. 巧用“1”的变换：sin 2a+cos 2a=1

2. 弦切互化法：tan=sina

cosa （a ≠π

2+kπ,k ∈z ） 3. 和积转换法：(sina ±cosa)2=1±2sinacosa

【例1】若tan 3θ=，则222sin sin cos cos θθθθ--= ．

五． 诱导公式

(1)诱导公式可简记为:奇变偶不变,符号看象限。

(2)“奇”“偶”指的是诱导公式k·π2

+a 中的整数k 是奇数还是偶数。“变”与“不变”是指函数的名称的变化,若k 是奇数,则正、余弦互变；若k 为偶数则函数名称不变 。 (3)“符号看象限”指的是在k·π

2+a 中,将a 看成锐角时k·π

2

+a 所在的象限。