2020-2021北京高三一轮01三角函数定义.学生版

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高三数学一轮复习三角函数的概念(2)课件北师大版

【答题模板】
解答：(1)由已知条件A、B两点的纵坐标分别为y1，y2.
【分析点评】
1. 本题全面考查三角函数定义，两角和三角函数公式和已知三角函数值求角等问题． 2．根据三角函数定义可直接得到： cos α＝，cos β＝ .
8．三角函数线：设角α的终边与单位圆交点P(x，y)，过P作x轴的垂线，垂足为
M，则有向线段MP为正弦线，OM为余弦线．
过点A(1,0)作单位圆的切线，与终边或延长线交于T，则有向线段AT叫角α 的正切线．
1．若sin α＜0且tan α＞0，则α是(
)
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角解析：由sin α＜0，知α在第三、第四象限或α终边在y轴的负半轴上，由 t an α＞0，知α在第一或第三象限，因此α在第三象限．答案：C
【例3】已知sin 2θ＜0，且|cos θ|＝－cos θ，问点P(tan θ，sec θ)在第几象限？解答：由sin 2θ＜0，得2kπ＋π＜2θ＜2kπ＋2π(k∈Z)，kπ＋＜kπ＋π(k∈Z)．当k为奇数时，θ的终边在第四象限；当k为偶数时，θ的终边在第二象限．又因cos θ≤0，所以θ的终边在左半坐标平面(包括y轴)，所以θ的终边在第二象限．所以tan θ＜0，sec θ＜0，点P在第三象限．点拨与启示：亦可以由sin 2θ＝2sin θ·cos θ<0，又cos θ≤0，直接推出 sin θ>0. ＜θ
任意角三角函数定义是锐角三角函数定义的推广，利用任意角三角函数定义可
以解决与30°，45°，60°等特殊角相关的三角函数求值问题，如计算sin 150°， cos 135°，tan 120°等．已知角α终边上一点的坐标，也可计算角α的三角函数等．

专题4.1任意角的三角函数同角三角函数的基本关系(2021年高考数学一轮复习专题)

专题任意角的三角函数同角三角函数的基本关系一、题型全归纳题型一象限角及终边相同的角【题型要点】(1)表示区间角的三个步骤 ①先按逆时针方向找到区域的起始和终止边界；①按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简区间； ①起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区间角集合． (2)象限角的两种判断方法①图象法：在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角； ①转化法：先将已知角化为k ·360°＋α(0°≤α<360°，k ①Z )的形式，即找出与已知角终边相同的角α，再由角α的终边所在的象限判断已知角是第几象限角．【易错提醒】注意“顺转减，逆转加”的应用，如角α的终边逆时针旋转180°可得角α＋180°的终边，类推可知α＋k ·180°(k ①Z )表示终边落在角α的终边所在直线上的角．【例1】(2020·辽宁鞍山一中一模)若角α是第二象限角，则α2是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第一或第三象限角D ．第二或第四象限角【解析】因为α是第二象限角，所以π2＋2k π＜α＜π＋2k π，k ①Z ，所以π4＋k π＜α2＜π2＋k π，k ①Z .当k 为偶数时，α2是第一象限角；当k 为奇数时，α2是第三象限角．【例2】(2020·东北师大附中摸底)集合{α|k π＋π4≤α≤k π＋π2，k ①Z }中的角所表示的范围(阴影部分)是( )【解析】当k ＝2n (n ①Z )时，2n π＋π4≤α≤2n π＋π2，n ①Z ，此时α的终边和π4≤α≤π2的终边一样；当k ＝2n ＋1时，2n π＋π＋π4≤α≤2n π＋π＋π2，此时α的终边和π＋π4≤α≤π＋π2的终边一样．故选C.题型二扇形的弧长、面积公式【题型要点】弧长、扇形面积问题的解题策略(1)明确弧度制下弧长公式l ＝|α|r ，扇形的面积公式是S ＝12lr ＝12|α|r 2(其中l 是扇形的弧长，α是扇形的圆心角)．(2)求扇形面积的关键是求扇形的圆心角、半径、弧长三个量中的任意两个量．【易错提醒】运用弧度制下有关弧长、扇形面积公式的前提是角的度量单位为弧度．【例1】已知扇形的圆心角是α ，半径为R ，弧长为l . (1)若α＝60°，R ＝10 cm ，求扇形的弧长l ；(2)若扇形的周长为20 cm ，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？【解析】 (1)α＝60°＝π3，l ＝10×π3＝10π3(cm)．(2)由已知得，l ＋2R ＝20，则l ＝20－2R ，0<R <10，所以S ＝12lR ＝12(20－2R )R ＝10R －R 2＝－(R －5)2＋25，所以当R ＝5时，S 取得最大值25，此时l ＝10 cm ，α＝2 rad.【例2】．一扇形是从一个圆中剪下的一部分，半径等于圆半径的23，面积等于圆面积的527，则扇形的弧长与圆周长之比为．【解析】：设圆的半径为r ，则扇形的半径为2r 3，记扇形的圆心角为α，则12α⎝⎛⎭⎫2r 32πr 2＝527，所以α＝5π6.所以扇形的弧长与圆周长之比为l C ＝5π6·2r32πr ＝518题型三三角函数的定义命题角度一利用三角函数定义求值【题型要点】三角函数的定义中常见的三种题型及解决方法(1)已知角α的终边上的一点P 的坐标，求角α的三角函数值方法：先求出点P 到原点的距离，再利用三角函数的定义求解．(2)已知角α的一个三角函数值和终边上一点P 的横坐标或纵坐标，求与角α有关的三角函数值方法：先求出点P 到原点的距离(带参数)，根据已知三角函数值及三角函数的定义建立方程，求出未知数，从而求解问题．(3)已知角α的终边所在的直线方程(y ＝kx ，k ≠0)，求角α的三角函数值方法：先设出终边上一点P (a ，ka )，a ≠0，求出点P 到原点的距离(注意a 的符号，对a 分类讨论)，再利用三角函数的定义求解．【例1】(2020·合肥一检)函数y ＝log a (x －3)＋2(a ＞0且a ≠1)的图象过定点P ，且角α的终边过点P ，则sin α＋cos α的值为( ) A.75 B.65 C.55D ．355【解析】因为函数y ＝log a (x －3)＋2的图象过定点P (4，2)，且角α的终边过点P ，所以x ＝4，y ＝2，r ＝25，所以sin α＝55，cos α＝255，所以sin α＋cos α＝55＋255＝355.故选D. 【例2】已知角α的终边经过点P (－x ，－6)，且cos α＝－513，则tan α＝．【解析】因为角α的终边经过点P (－x ，－6)，且cos α＝－513，所以cos α＝－x x 2＋36＝－513，即x ＝52.所以P ⎝⎛⎭⎫－52，－6，所以tan α＝125. 【例3】(2020·山西太原三中模拟)若角α的终边落在直线y ＝－x 上，则sin α|cos α|＋|sin α|cos α＝．【解析】：因为角α的终边落在直线y ＝－x 上，所以角α的终边位于第二或第四象限．当角α的终边位于第二象限时，sin α|cos α|＋|sin α|cos α＝sin α－cos α＋sin αcos α＝0；当角α的终边位于第四象限时，sin α|cos α|＋|sin α|cos α＝sin αcos α＋－sin αcos α＝0.所以sin α|cos α|＋|sin α|cos α＝0.命题角度二判断三角函数值的符号【题型要点】三角函数值的符号及角的位置的判断已知一角的三角函数值(sin α，cos α，tan α)中任意两个的符号，可分别确定出角α终边所在的可能位置，二者的交集即为该角的终边位置．注意终边在坐标轴上的特殊情况．【例3】若sin αcos α>0，cos αtan α<0，则α的终边落在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限、【解析】由sin αcos α>0，得α的终边落在第一或第三象限，由cos αtan α＝cos α·sin αcos α＝sin α<0，得α的终边落在第三或第四象限，综上α的终边落在第三象限．故选C.【例4】(2018·高考全国卷Ⅰ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x ≤01，x >0，则满足f (x ＋1)<f (2x )的x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]B ．(0，＋∞)C ．(－1，0)D ．(－∞，0)题型四同角三角函数的基本关系式命题角度一公式的直接应用【题型要点】1．同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin 2x ＋cos 2x ＝1．(2)商数关系：tan x ＝sin x cos x ⎝⎛⎭⎫其中x ≠k π＋π2，k ①Z . 2.利用同角三角函数的基本关系求解问题的关键是熟练掌握同角三角函数的基本关系的正用、逆用、变形．同角三角函数的基本关系本身是恒等式，也可以看作是方程，对于一些题，可利用已知条件，结合同角三角函数的基本关系列方程组，通过解方程组达到解决问题的目的．【例1】(2020·北京西城区模拟)已知α①(0，π)，cos α＝－35，则tan α＝( )A.34 B ．－34 C.43D ．－43【解析】因为cos α＝－35且α①(0，π)，所以sin α＝1－cos 2α＝45，所以tan α＝sin αcos α＝－43.故选D.【例2】已知α是三角形的内角，且tan α＝－13，则sin α＋cos α的值为．【解析】由tan α＝－13，得sin α＝－13cos α，且sin α>0，cos α<0，将其代入sin 2α＋cos 2α＝1，得109cos 2α＝1，所以cos α＝－31010，sin α＝1010，故sin α＋cos α＝－105.命题角度二 sin α，cos α的齐次式问题【题型要点】关于sin α与cos α的齐n 次分式或齐二次整式的化简求值的解题策略已知tan α，求关于sin α与cos α的齐n 次分式或齐二次整式的值．【例3】已知tan αtan α－1＝－1，求下列各式的值：(1)sin α－3cos αsin α＋cos α；(2)sin 2α＋sin αcos α＋2. 【解析】由已知得tan α＝12.(1)sin α－3cos αsin α＋cos α＝tan α－3tan α＋1＝－53.(2)sin 2α＋sin αcos α＋2＝sin 2α＋sin αcos αsin 2α＋cos 2α＋2＝tan 2α＋tan αtan 2α＋1＋2＝⎝⎛⎭⎫122＋12⎝⎛⎭⎫122＋1＋2＝135. 命题角度三 sin α±cos α，sin αcos α之间的关系【题型要点】sin α±cos α与sin αcos α关系的应用技巧(1)通过平方，sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α之间可建立联系，若令sin α＋cos α＝t ，则sin αcos α＝t 2－12，sin α－cos α＝±2－t 2(注意根据α的范围选取正、负号)． (2)对于sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α这三个式子，可以知一求二．【例4】已知α①(－π，0)，sin α＋cos α＝15.(1)求sin α－cos α的值；(2)求sin 2α＋2sin 2α1－tan α的值．【解析】(1)由sin α＋cos α＝15，平方得sin 2α＋2sin αcos α＋cos 2α＝125，整理得2sin αcos α＝－2425.所以(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝4925.由α①(－π，0)，知sin α<0，又sin α＋cos α>0，所以cos α>0，则sin α－cos α<0，故sin α－cos α＝－75.(2)sin 2α＋2sin 2α1－tan α＝2sin α（cos α＋sin α）1－sin αcos α＝2sin αcos α（cos α＋sin α）cos α－sin α＝－2425×1575＝－24175.【例5】．(2020·长春模拟)已知sin αcos α＝18，且5π4<α<3π2，则cos α－sin α的值为( )A ．－32B.32C ．－34D ．34【答案】B.【解析】：因为5π4<α<3π2，所以cos α<0，sin α<0且|cos α|<|sin α|，所以cos α－sin α>0.又(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×18＝34，所以cos α－sin α＝32.故选B.题型五诱导公式的应用【题型要点】1.三角函数的诱导公式①化负为正，化大为小，化到锐角为止；①角中含有加减π2的整数倍时，用公式去掉π2的整数倍．3.常见的互余和互补的角①常见的互余的角：π3－α与π6＋α；π3＋α与π6－α；π4＋α与π4－α等；①常见的互补的角：π3＋θ与2π3－θ；π4＋θ与3π4－θ等．【例1】．若角A ，B ，C 是①ABC 的三个内角，则下列等式中一定成立的是( ) A ．cos(A ＋B )＝cos C B ．sin(A ＋B )＝－sin C C ．cos A ＋C 2＝sin B 2 D ．sin B ＋C 2＝－cos A2【答案】C.【解析】：因为A ＋B ＋C ＝π，所以A ＋B ＝π－C ，A ＋C 2＝π－B 2，B ＋C 2＝π－A2，所以cos(A ＋B )＝cos(π－C )＝－cos C ，sin(A ＋B )＝sin(π－C )＝sin C ，cos A ＋C 2＝cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛2-2B π＝sin B 2，sin B ＋C 2＝sin ⎪⎭⎫⎝⎛2-2A π＝cos A 2.【例2】已知cos ⎪⎭⎫⎝⎛θπ-6＝a ，则cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛+θπ65＋sin ⎪⎭⎫⎝⎛θπ-32的值是．【解析】：因为cos ⎪⎭⎫⎝⎛+θπ65＝cos ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+θππ-62＝－cos ⎪⎭⎫⎝⎛θπ-6＝－a . sin ⎪⎭⎫⎝⎛θπ-32＝sin ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+θππ-62＝cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛θπ-6＝a ，所以cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛+θπ65＋sin ⎪⎭⎫⎝⎛θπ-32＝0. 二、高效训练突破一、选择题1.(2019·洛阳一中月考)计算：sin 11π6＋cos 10π3＝( ) A ．－1B ．1C ．0D ．12－32【解析】：原式＝sin ⎪⎭⎫⎝⎛6-2ππ＋cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛3-3ππ＝－sin π6＋cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛+3ππ＝－12－cos π3＝－12－12＝－1. 2．给出下列四个命题： ①－3π4是第二象限角； ①4π3是第三象限角； ①－400°是第四象限角； ①－315°是第一象限角．其中正确的命题有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个【答案】C【解析】：.－3π4是第三象限角，故①错误.4π3＝π＋π3，从而4π3是第三象限角，①正确．－400°＝－360°－40°，从而①正确．－315°＝－360°＋45°，从而①正确．3．(2020·镇江期中)已知sin(π＋α)＝－13，则tan ⎪⎭⎫⎝⎛απ-2的值为( )A ．2 2B ．－22 C.24D ．±22【解析】：因为sin(π＋α)＝－13，所以sin α＝13，cos α＝±223，tan ⎪⎭⎫ ⎝⎛απ-2＝cos αsin α＝±2 2.故选D.4．(2019·武汉调研)已知sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，|θ|＜π2，则θ等于( )A ．－π6B ．－π3 C.π6D ．π3【解析】：因为sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，所以－sin θ＝－3cos θ，所以tan θ＝3，因为|θ|＜π2，所以θ＝π3.5.(2020·江西南昌一模)已知点P (tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【解析】：由题意知tan α＜0，cos α＜0，根据三角函数值的符号规律可知，角α的终边在第二象限．故选B.6．若圆弧长度等于圆内接正方形的边长，则该圆弧所对圆心角的弧度数为( ) A.π4 B.π2 C.22D ．2【解析】：设圆的直径为2r ，则圆内接正方形的边长为2r ，因为圆的圆弧长度等于该圆内接正方形的边长，所以圆弧的长度为2r ，所以圆心弧度为2rr＝ 2. 7.(2020·海淀期末)已知f (α)＝()）（απαπαπαπ+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫⎝⎛+⋅-tan 2cos 2cos 2sin ，则⎪⎭⎫⎝⎛3πf ＝( ) A.12 B.22 C.32D ．－12【解析】：.f (α)＝()）（απαπαπαπ+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫⎝⎛+⋅-tan 2cos 2cos 2sin ＝－sin α·（－sin α）sin α·tan α＝sin 2αsin α·sin αcos α＝cos α，则⎪⎭⎫ ⎝⎛3πf ＝cos π3＝12.8．已知sin α＋cos α＝2，则tan α＋cos αsin α的值为( )A ．－1B ．－2 C.12D ．2【解析】：因为sin α＋cos α＝2，所以(sin α＋cos α)2＝2，所以sin αcos α＝12.所以tan α＋cos αsin α＝sin αcos α＋cos αsin α＝1sin αcos α＝2.故选D.9.(2020·马鞍山质量检测)若－3π4＜α＜－π2，从单位圆中的三角函数线观察sin α，cos α，tan α的大小是( )A ．sin α＜tan α＜cos αB ．cos α＜sin α＜tan αC ．sin α＜cos α＜tan αD ．tan α＜sin α＜cos α 【解析】：如图所示作出角α的正弦线MP ，余弦线OM ，正切线AT ，因为－3π4＜α＜－π2，所以角α终边位置在图中的阴影部分，观察可得AT ＞OM ＞MP ，故有sin α＜cos α＜tan α.10.(2019·大同模拟)1．已知－π2＜α＜0，sin α＋cos α＝15，则1cos 2α－sin 2α的值为( )A.75B.257C.725 D ．2425【解析】：因为－π2＜α＜0，所以cos α＞0，sin α＜0，可得cos α－sin α＞0，因为(sin α＋cos α)2＋(cos α－sin α)2＝2，所以(cos α－sin α)2＝2－(sin α＋cos α)2＝2－125＝4925，cos α－sin α＝75，cos 2α－sin 2α＝15×75＝725，所以1cos 2α－sin 2α的值为257. 二、填空题1.(2020·楚雄龙江中学期中)与角2 020°的终边相同，且在0°～360°内的角是．【解析】：因为2 020°＝220°＋5×360°，所以在0°～360°内终边与2 020°的终边相同的角是220°.2.(2020·许昌调研)设α是第二象限角，P (x ，4)为其终边上的一点，且cos α＝15x ，则tan α＝．【解析】：因为α是第二象限角，所以cos α＝15x ＜0，即x ＜0.又cos α＝15x ＝x x 2＋16，解得x ＝－3，所以tan α＝4x ＝－43. 3.设α是第三象限角，tan α＝512，则cos(π－α)＝．【解析】：因为α为第三象限角，tan α＝512，所以cos α＝－1213，所以cos(π－α)＝－cos α＝1213. 4．化简：cos （α－π）sin （π－α）·sin(α－π2)·cos(3π2－α)＝．【解析】：cos （α－π）sin （π－α）·sin(α－π2)·cos(3π2－α)＝－cos αsin α·(－cos α)·(－sin α)＝－cos 2α. 5.(2020·惠州调研)已知角α的终边上一点P 的坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛32cos ,32sin ππ，则角α的最小正值为．【解析】：由题意知点P 在第四象限，根据三角函数的定义得cos α＝sin 2π3＝32，故α＝2k π－π6(k ①Z )，所以α的最小正值为11π6. 6．若两个圆心角相同的扇形的面积之比为1①4，则这两个扇形的周长之比为．【解析】：设两个扇形的圆心角的弧度数为α，半径分别为r ，R (其中r ＜R )，则12αr 212αR 2＝14，所以r ①R ＝1①2，两个扇形的周长之比为2r ＋αr 2R ＋αR＝1①2. 7．已知sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛απ-2-cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛+απ27-＝1225，且0＜α＜π4，则sin α＝，cos α＝．【解析】：sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛απ-2-cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛+απ27-＝－cos α·(－sin α)＝sin αcos α＝1225. 因为0＜α＜π4，所以0＜sin α＜cos α.又因为sin 2α＋cos 2α＝1，所以sin α＝35，cos α＝45. 8.(2020·福州调研)若1＋cos αsin α＝2，则cos α－3sin α＝．【解析】：因为1＋cos αsin α＝2，所以cos α＝2sin α－1，又sin 2α＋cos 2α＝1，所以sin 2α＋(2sin α－1)2＝1， 5sin 2α－4sin α＝0，解得sin α＝45或sin α＝0(舍去)，所以cos α－3sin α＝－sin α－1＝－95. 三解答题1.已知角θ的终边上有一点P (x ，－1)(x ≠0)，且tan θ＝－x ，求sin θ＋cos θ的值．【解析】：因为角θ的终边过点(x ，－1)(x ≠0)，所以tan θ＝－1x，又tan θ＝－x ，所以x 2＝1，所以x ＝±1. 当x ＝1时，sin θ＝－22，cos θ＝22，此时sin θ＋cos θ＝0；当x ＝－1时，sin θ＝－22，cos θ＝－22，此时sin θ＋cos θ＝－ 2. 2.已知α为第三象限角，f (α)＝sin （α－π2）·cos （3π2＋α）·tan （π－α）tan （－α－π）·sin （－α－π）. (1)化简f (α)；(2)若cos(α－3π2)＝15，求f (α)的值．【答案】（1）－cos α；（2）265 【解析】：(1)f (α)＝sin （α－π2）·cos （3π2＋α）·tan （π－α）tan （－α－π）·sin （－α－π）＝（－cos α）·sin α·（－tan α）（－tan α）·sin α＝－cos α. (2)因为cos(α－3π2)＝15，所以－sin α＝15，从而sin α＝－15.又α为第三象限角，所以cos α＝－1－sin 2α＝－265，所以f (α)＝－cos α＝265.。

2021版新高考数学一轮复习讲义：第三章第一讲任意角和弧度制及任意角的三角函数(含解析)

(2)(2020 甘·肃会宁一中高三上第二次月考形所在圆的半径不可能等于 ( B )
)若一个扇形的周长与面积的数值相等，则该扇
A．5
B．2
C． 3
D．4
1
2
[解析 ] (1) ∵2Rsin 1＝2，∴R＝sin 1 ，∴l＝ |α|R＝ sin 1.故选 C．
1
(2)设扇形所在圆的半径为 R.扇形弧长为 l，因为扇形的周长与面积的数值相等，所以
α终边相同的角时，
双基自测
题组一走出误区
1．(多选题 )下列结论不正确的是 ( ABCD )
A ．小于 90°的角是锐角
B．将表的分针拨快 5 分钟，则分针转过的角度是
π C．角 a＝kπ＋ 3(k∈ Z )是第一象限角
D ．若
sin α＝ sin
π7，则
α＝
π 7
30 °
[解析 ] 根据任意角的概念知 ABCD 均是错误的．
2lR
4R ＝ 2R＋ l ，所以 lR＝ 4R＋ 2l，所以 l ＝，因为 l>0 ，所以 R>2. 故选 B ．
R－ 2
考点三角度 1 定义的直接应用
三角函数的定义 —— 多维探究
例 3 (1)(2020 ·北京海淀期中 )在平面直角坐标系 xOy 中，点 A 的纵坐标为 2，点 C
在 x 轴的正半轴上．在△ AOC 中，若 cos∠ AOC ＝－ 35，则点 A 的横坐标为 ( A )
考点一角的基本概念 —— 自主练透
例
1 (1)已知
α1＝－
350
°，
α2＝
860
°，
β＝
25 6
π .
将 α1 用弧度制表示为－ 3158π，它是第一象限角；

2020届高三文理科数学一轮复习《三角函数的图像与性质》专题汇编(学生版)

《三角函数的图像与性质》专题一、相关知识点1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]图像五个关键点：(0,0)，⎝⎛⎭⎫π2，1，(π，0)，⎝⎛⎭⎫3π2，－1，(2π，0)．余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]图像五个关键点：(0,1)，⎝⎛⎭⎫π2，0，(π，－1)，⎝⎛⎭⎫3π2，0，(2π，1)． 2．正弦函数、余弦函数、正切函数的图像与性质(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14个周期．(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期． 4．奇偶性相关结论(1)若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω≠0)，则①f (x )为偶函数的充要条件是φ＝π2＋k π(k ∈Z)；②f (x )为奇函数的充要条件是φ＝k π(k ∈Z)．(2)若f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)，则①f (x )为奇函数的充要条件：φ＝k π＋π2，k ∈Z ；②f (x )为偶函数的充要条件：φ＝k π，k ∈Z.题型一三角函数的定义域1．函数y ＝log 2(sin x )的定义域为________．2．函数y ＝2sin x －3的定义域为( )A ．⎣⎡⎦⎤π3，2π3B ．⎣⎡⎦⎤2k π＋π3，2k π＋2π3(k ∈Z) C ．⎝⎛⎭⎫2k π＋π3，2k π＋2π3(k ∈Z) D ．⎣⎡⎦⎤k π＋π3，k π＋2π3(k ∈Z)3．y ＝2sin x －2的定义域为________________________．4．函数y ＝tan 2x 的定义域是( )A ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π＋π4，k ∈Z B ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π2＋π8，k ∈Z C ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ≠k π＋π8，k ∈Z D ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ≠k π2＋π4，k ∈Z5．x ∈[0,2π]，y ＝tan x ＋－cos x 的定义域为( )A.⎣⎡⎭⎫0，π2B.⎝⎛⎦⎤π2，πC.⎣⎡⎭⎫π，3π2D.⎝⎛⎦⎤3π2，2π题型二三角函数的值域(最值)三角函数值域的不同求法(1)利用sin x 和cos x 的值域直接求(2)把所给的三角函数式变换成y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式求值域(3)把sin x 或cos x 看作一个整体，转换成二次函数求值域 (4)利用sin x ±cos x 和sin x cos x 的关系转换成二次函数求值域1．函数f (x )＝4－2cos 13x 的最小值是________，取得最小值时，x 的取值集合为________．2．函数f (x )＝2cos x ＋sin x 的最大值为________．3．已知函数f (x )＝2cos 2x －sin 2x ＋2，则( )A ．f (x )的最小正周期为π，最大值为3B ．f (x )的最小正周期为π，最大值为4C ．f (x )的最小正周期为2π，最大值为3D ．f (x )的最小正周期为2π，最大值为44．函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的值域为( ) A ．⎣⎡⎦⎤－32，32 B ．⎣⎡⎦⎤－32，3 C ．⎣⎡⎦⎤－332，332 D ．⎣⎡⎦⎤－332，35．函数y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，x ∈⎝⎛⎭⎫－π6，π6的值域为________．6．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫πx 6－π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为( )A ．2－3B ．0C ．－1D ．－1－ 37．已知f (x )＝sin 2x －3cos 2x ，若对任意实数x ∈⎝⎛⎦⎤0，π4，都有|f (x )|<m ，则实数m 的取值范围是________．8．函数f (x )＝sin 2x ＋3cos x －34⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2的最大值是________．9．函数f (x )＝cos 2x ＋6cos π2－x 的最大值为10．函数y ＝sin x ＋cos x ＋sin x cos x 的值域为_______11．函数y ＝sin x －cos x ＋sin x cos x ，x ∈[0，π]的值域为________．12．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫π2－x ⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π4，且x ≠0的值域为________．题型三三角函数的单调性类型一求三角函数的单调区间 1．f (x )＝|tan x |；2．y ＝|cos x |的一个单调递增区间是( )A.⎣⎡⎦⎤－π2，π2 B ．[0，π] C.⎣⎡⎦⎤π，3π2 D.⎣⎡⎦⎤3π2，2π3．函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3的递增区间是________．4．已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4－2x ，则函数f (x )的单调递减区间为( )A.⎣⎡⎦⎤3π8＋2k π，7π8＋2k π(k ∈Z)B.⎣⎡⎦⎤－π8＋2k π，3π8＋2k π(k ∈Z) C.⎣⎡⎦⎤3π8＋k π，7π8＋k π(k ∈Z) D.⎣⎡⎦⎤－π8＋k π，3π8＋k π(k ∈Z) 5．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫－2x ＋π3的减区间为________．6．函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫π4－2x 的单调递减区间为________．7．函数 f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6在x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2上的单调性递增区间为；递减区间为8．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π3，x ∈[－2π，2π]的递增区间是( )A ．⎣⎡⎦⎤－2π，－5π3 B ．⎣⎡⎦⎤－2π，－5π3和⎣⎡⎦⎤π3，2π C ．⎣⎡⎦⎤－5π3，π3 D ．⎣⎡⎦⎤π3，2π9．已知函数f (x )＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，x ∈[－π，0]，则f (x )的单调递增区间是________．10．若锐角φ满足sin φ－cos φ＝22，则函数f (x )＝sin 2(x ＋φ)的单调递增区间为( ) A.⎣⎡⎦⎤2k π－5π12，2k π＋π12(k ∈Z) B.⎣⎡⎦⎤k π－5π12，k π＋π12(k ∈Z) C.⎣⎡⎦⎤2k π＋π12，2k π＋7π12(k ∈Z) D.⎣⎡⎦⎤k π＋π12，k π＋7π12(k ∈Z)11．比较大小：sin ⎝⎛⎭⎫－π18________sin ⎝⎛⎭⎫－π10.12．已知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4. (1)求f (x )的单调递增区间；(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤π4，3π4时，求函数f (x )的最大值和最小值．13．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6.讨论函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π12，π2上的单调性并求出其值域．类型二已知单调性求参数值或范围已知单调区间求参数范围的3种方法 1．函数f (x )＝sin ωx (ω>0)在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减，则ω等于2．若f (x )＝cos 2x ＋a cos ( π2＋x )在区间⎝⎛⎭⎫π6，π2上是增函数，则实数a 的取值范围为________．3．已知ω＞0，函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4的一个递减区间为⎣⎡⎦⎤π8，5π8，则ω＝________.4．若函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4在⎝⎛⎭⎫π2，π上是减函数，则ω的取值范围是．5．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π3(ω＞0)，若函数f (x )在区间⎝⎛⎭⎫π，3π2上为减函数，则实数ω的取值范围是________．6．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4(ω>0)，f ⎝⎛⎭⎫π6＝f ⎝⎛⎭⎫π3，且f (x )在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减，则ω＝________.7．若函数f (x )＝2sin ωx (0<ω<1)在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上的最大值为1，则ω＝________.8．若函数f (x )＝cos x －sin x 在[0，a ]是减函数，则a 的最大值是________．题型四三角函数的周期性三角函数周期的求解方法1．已知函数f (x )＝cos ⎝⎭⎫ωx ＋π4(ω>0)的最小正周期为π，则ω＝________. 2．函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫πx ＋π3的最小正周期为________ 3．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的最小正周期为________ 4．函数＋的最小正周期为______.5．在函数：①y ＝cos|2x |，②y ＝|cos x |，③y ＝cos2x ＋π6，④y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π4中，最小正周期为π的所有函数为( )A ．②④B ．①③④C ．①②③D ．①③6．函数f (x )＝tan x1＋tan 2x 的最小正周期为________题型五三角函数的奇偶性与三角函数奇偶性相关的结论：三角函数中，判断奇偶性的前提是定义域关于原点对称，奇函数一般可化为y ＝A sin ωx 或y ＝A tan ωx 的形式，而偶函数一般可化为y ＝A cos ωx ＋b 的形式．常见的结论有：(1)若y ＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数，则有φ＝k π＋π2(k ∈Z)；若为奇函数，则有φ＝k π(k ∈Z)．(2)若y ＝A cos(ωx ＋φ)为偶函数，则有φ＝k π(k ∈Z)；若为奇函数，则有φ＝k π＋π2(k ∈Z)．(3)若y ＝A tan(ωx ＋φ)为奇函数，则有φ＝k π(k ∈Z)． 1．函数y ＝1－2sin 2( x －3π4)是( )A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为π2的奇函数D ．最小正周期为π2的偶函数2．若函数是偶函数，则等于______ 3．若函数是偶函数，则 ________．4．若是定义在上的偶函数，其中，则 _____5．将函数向右平移个单位，得到一个偶函数的图象，则最小值为__6．若函数f (x )＝sin x ＋φ3(φ∈[0,2π])是偶函数，则φ＝________.7．函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋φ，φ∈(0，π)满足f (|x |)＝f (x )，则φ的值为( ) A.π6 B.π3 C.5π6 D.2π3题型五三角函数的对称性(1) 求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)函数的图象对称轴或对称中心时，都是把“ωx ＋φ”看作一个整体，然后根据三角函数图象的对称轴或对称中心列方程进行求解． (2) 在判断对称轴或对称中心时，用以下结论可快速解题：设y ＝f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，g (x )＝A cos(ωx ＋φ)，x ＝x 0是对称轴方程⇔f (x 0)＝±A ，g (x 0)＝±A ； (x 0,0)是对称中心⇔f (x 0)＝0，g (x 0)＝0.(3)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的对称轴为x ＝k πω－φω＋π2ω，对称中心为⎝⎛⎭⎫k πω－φω，0；函数y ＝A cos(ωx ＋φ)的对称轴为x ＝k πω－φω，对称中心为⎝⎛⎭⎫k πω－φω＋π2ω，0；函数y ＝A tan(ωx ＋φ)的对称中心为⎝⎛⎭⎫k π2ω－φω，0.上述k ∈Z 1．下列函数的最小正周期为π且图像关于直线x ＝π3对称的是( )A ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3B ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6 C ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π3 D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π32．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的图象的一个对称中心是( ) A ．(－π，0) B.⎝⎛⎭⎫－3π4，0 C.⎝⎛⎭⎫3π2，0 D.⎝⎛⎭⎫π2，03．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6－cos 2x 的图象的一条对称轴的方程可以是( ) A ．x ＝－π6 B ．x ＝11π12 C ．x ＝－2π3 D ．x ＝7π123．已知函数y ＝sin(2x ＋φ)( －π2<φ<π2 )的图象关于直线x ＝π3对称，则φ的值为4．函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0)对任意x 都有f ( π6＋x )＝f ⎝⎛⎭⎫π6－x ，则f ⎝⎛⎭⎫π6的值为( ) A ．2或0 B ．－2或2 C ．0 D ．－2或05．函数f (x )＝sin x －cos x 的图像( )A ．关于直线x ＝π4对称B ．关于直线x ＝－π4对称C ．关于直线x ＝π2对称D ．关于直线x ＝－π2对称6．如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图像关于点⎝⎛⎭⎫4π3，0中心对称，那么|φ|的最小值为( )A ．π6B ．π4C ．π3D ．π27．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3－13在区间(0，π)内的所有零点之和为( )A.π6B.π3C.7π6D.4π38．已知函数y ＝sin(2x ＋φ)在x ＝π6处取得最大值，则函数y ＝cos(2x ＋φ)的图象( ) A ．关于点⎝⎛⎭⎫π6，0对称B ．关于点⎝⎛⎭⎫π3，0对称C ．关于直线x ＝π6对称 D ．关于直线x ＝π3对称9．(理科)已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3的图象的一个对称中心为⎝⎛⎭⎫π3，0，其中ω为常数，且ω∈(1,3)．若对任意的实数x ，总有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)，则|x 1－x 2|的最小值是( )A ．1 B.π2C ．2D ．π10．(理科)设函数f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx (ω>0)，其图象的一条对称轴在区间⎝⎛⎭⎫π6，π3内，且f (x )的最小正周期大于π，则ω的取值范围为( )A.⎝⎛⎭⎫12，1 B ．(0,2) C ．(1,2) D ．[1,2)题型六三角函数的性质综合运用1．下列函数中，周期为π，且在⎣⎡⎦⎤π4，π2上单调递增的奇函数是( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋3π2B ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π2C ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－x2．下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间⎝⎛⎭⎫π2，π上为减函数的是( )A ．y ＝sin 2xB ．y ＝2|cos x |C ．y ＝cos x 2D ．y ＝tan(－x )3．设函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，则下列结论错误的是( ) A ．f (x )的一个周期为－2π B ．y ＝f (x )的图像关于直线x ＝8π3对称 C ．f (x ＋π)的一个零点为x ＝π6D ．f (x )在⎝⎛⎭⎫π2，π单调递减4．将函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象向右平移π6个单位长度，得到函数g (x )的图象，则下列说法不正确的是( )A ．g (x )的最小正周期为πB ．g ⎝⎛⎭⎫π6＝32C ．x ＝π6是g (x )图象的一条对称轴 D ．g (x )为奇函数5．定义在R 上的函数f (x )既是偶函数又是周期函数，若f (x )的最小正周期是π，且当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，f (x )＝sin x ，则f ⎝⎛⎭⎫5π3的值为( )A ．－12 B.12 C.716 D.326．已知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4. (1)求函数f (x )图像的对称轴方程；(2)求f (x )的递增区间；(3)当x ∈⎣⎡⎦⎤π4，3π4时，求函数f (x )的最大值和最小值．7．已知函数f (x )＝2cos 2⎝⎛⎭⎫x －π6＋2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4. (1)求函数f (x )的最小正周期和图象的对称中心；(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值和最小值．8．已知函数f (x )＝a ( 2cos 2x 2＋sin x )＋b . (1)若a ＝－1，求函数f (x )的单调递增区间；(2)当x ∈[0，π]时，函数f (x )的值域是[5,8]，求a ，b 的值．9．已知函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋sin 2x －cos 2x ＋ 2. (1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间；(2)若存在x ∈⎣⎡⎦⎤π12，π3满足[f (x )]2－22f (x )－m ＞0，求实数m 的取值范围．。

2021届高考数学一轮复习第三章三角函数解三角形第一节任意角和蝗制及任意角的三角函数课件文北师大版2

[破题技法] 应用弧度制解决问题的方法 (1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度． (2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决． (3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形．
考点三三角函数的定义
挖掘1 用三角函数的定义求值/ 互动探究
B．cos α<sin α<tan α
C．sin α<cos α<tan α
D．tan α<sin α<cos α
[解析] 如图所示，作出角α的正弦线MP，余弦线OM，正切线AT，观察可得， AT>OM>MP，故有sin α<cos α<tan α.
[答案] C
︵︵︵︵ (2)(2018·高考北京卷)在平面直角坐标系中AB，CD，EF，GH是圆 x2＋y2＝1 上的
(2)(2020·太原模拟)已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧
长是( )
A．2
B．sin 2
2 C.sin 1
D．2 sin 1
[解析] 如图：∠AOB＝2弧度，过O点作OC⊥AB于C，并延长OC交弧AB于D.则 ∠AOD＝∠BOD＝1弧度，且AC＝12AB＝1，在Rt△AOC中，AO＝sin∠ACAOC＝sin1 1，即r＝sin1 1，从而弧AB的长为l＝α·r＝sin2 1. [答案] C
(2)根据α终边上P的坐标符号：正弦值与纵坐标同号，余弦值与横坐标同号；横
纵坐标同号，正切值为正；异号正切值为负．
考点四三角函数线的应用
[例] (1)(2020·石家庄模拟)若－34π<α<－π2，从单位圆中的三角函数线观察sin α，

最新-北京专用2021版高考文数一轮复习课件：第四章三角函数、解三角形第一节任意角和弧度制及任意角的

4.(2018北京海淀高三期中)在平面直角坐标系xOy中,点A的纵坐标为2, 点C在x轴的正半轴上.在△ABC中,若cos∠AOC=- 5 ,则点A的横坐标为
3
(A)
A.- 5 B. 5 C.-3 D.3
答案
A
设点A的横坐标为x0(x0<0),由三角函数的定义得
x0 =- 5 ,
x02 4 3
解得x0=- 5 或x0= 5 (舍去),故选A.
4
答案 C 9 π=9 ×180°=360°+45°=720°-315°,
44
∴与角 9 π的终边相同的角可表示为k·360°-315°,k∈Z.弧度制与角度制
4
不能混用,故A、B不对.
2.(2016北京东城期中)已知角α的终边经过点P(-1,0),则cos α的值为
(B )
A.0 B.-1 C.- 2 D. 2
6
6
∴与2 010°角终边相同的角中,绝对值最小的角的弧度数为5- .
6
考点二扇形的弧长与面积公式
典例2 (1)已知扇形周长为10,面积是4,则扇形的圆心角的大小为 .
(2)如图,已知扇形的圆心角α=120°,弦AB长12 cm,则该扇形的弧长l= cm.
答案 (1) 1 (2)8 3 π
2
3
25 4
,此时θ=2.
所以当r= 5 ,θ=2时,扇形面积最大.
2
2-2 已知圆中一段弧的长度等于该圆内接正方形的边长,求这段弧所对的圆心角是多少.
解析设圆的半径为r,则圆内接正方形的对角线长为2r,∴正方形的边长为 2 r, ∴所求圆心角的弧度数是 2r = 2 .
r
考点三三角函数的定义

考点01 三角函数及三角恒等变换(学生版)

考点01 三角函数及三角恒等变换三角函数及三角恒等变换，是近几年高考的高频考点，无论是全国卷（包括新高考）还是自主命题省份，都有考查。

例如：2020年山东高考[28],2020年浙江高考[18],2021年天津高考[16]，2021年浙江高考[18]，2022年天津高考[16]，2022年北京高考[16]，2022年全国乙卷（文）[17]等都对三角函数的图像与性质及三角恒等变换进行了考查。

〔1〕二倍角公式：αααcos sin 22sin =；ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=；ααα2tan 1tan 22tan -=。

由二倍角公式，经过推导，我们还可以得到：2)cos (sin 2sin 1ααα+=+；2)cos (sin 2sin 1ααα-=-。

〔2〕半角公式：2cos 12sinαα-±=；2cos 12cos αα+±=； αααααααsin cos 1cos 1sin cos 1cos 12tan-=+=+-±=。

〔3〕三倍角公式：ααα3sin 4sin 33sin -=；αααcos 3cos 43cos 3-=；αααα23tan 31tan tan 33tan --=。

〔4〕万能公式：2tan 12tan2sin 2ααα+=；2tan 12tan 1cos 22ααα+-=；2tan 12tan2tan 2ααα-=；（其中ππα+≠k 2，且2ππα+≠k ，Z k ∈）〔5〕辅助角公式：)sin()sin cos cos (sin cos sin 2222ϕϕϕ++=++=+=x b a x x b a x b x a y ；（其中角ϕ的终边所在的象限由a ，b 的符号确定，角ϕ的值由ab=ϕtan 来求）；常见的辅助角公式有：)4sin(2cos sin π±=±x x x ；)4cos(2sin cos πx x x =±；)3sin(2cos 3sin π±=±x x x ；)3cos(2sin 3cos π x x x =±；)6sin(2cos sin 3π±=±x x x ；)6cos(2sin cos 3πx x x =±。

第14讲：数学高考一轮总复习(三角函数定义及同角三角函数)+强化练习

2kπ
3π 4
,
2kπ
π
k
Z
C．
2kπ
3π 4
,
2kπ
5π 4
k
Z
D．
2kπ
5π 4
,
2kπ
7π 4
k
Z
3．(2020·贵州高三其他模拟)已知点 P(sin cos, tan ) 在第一象限，则在 0, 2 内的的取值范围
是( )
A．
(
,
3
)
(
,
5
)
24
4
C．
(
,
3
)
( 5
,
3
)
A．第一、二象限角 B．第二、三象限角 C．第三、四象限角 D．第一、四象限角
(2)(2020·山东高三专题练习)若是第二象限角，则点 P sin, cos 在 ( )
A．第一象限【举一反三】
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
1．(2019·浙江高三专题练习)已知 sin 0 且 cos 0 ，则角的终边所在的象限是( )
②规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，|α|＝l，l 是以角α作为圆心角时 r
所对圆弧的长，r 为半径．
③弧度与角度的换算：360°＝2π rad；180°＝π rad；1°＝ π rad；1 rad＝180度．
180
π
二．任意角的三角函数
1.定义：在平面直角坐标系中，设α的终边上任意一点 P 的坐标是(x，y)，它与原点的距离是 r(r＝ x2＋y2>0)．
D． 3 5
【举一反三】
1．(2020·北京)在平面直角坐标系 xOy 中，角的顶点与原点 O 重合，始边与 x 轴的非负半轴重合，终

2021高考数学一轮复习第4章三角函数解三角形第1节任意角蝗制及任意角的三角函数课件理北师大版

二、教材改编
1．若θ满足sin θ＜0，cos θ＞0，则θ的终边在( )
A．第一象限
B．第二象限
பைடு நூலகம்
C．第三象限
D．第四象限
D [∵sin θ＜0，cos θ＞0，∴θ的终边落在第四象限．]
2．下列与94π的终边相同的角的表达式中正确的是( ) A．2kπ＋45°(k∈Z)
B．k·360°＋49π(k∈Z) C．k·360°－315°(k∈Z) D．kπ＋54π(k∈Z) C [∵94π＝2π＋π4，∴94π与π4终边相同．
(4)象限角：使角的顶点与原__点__重合，角的始边与_x_轴__的__非__负__半_ _轴___重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．
2．弧度制的定义和公式 (1)定义：把长度等于_半__径__长__的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角，弧度记作 rad.
拓展：任意角的三角函数的定义(推广)．设P(x，y)是角α终边上异于顶点的任一点，其到原点O的距离为r，则sin α＝yr，cos α＝xr，tan α＝yx(x≠0)．
(2)三角函数值在各象限内符号为正的口诀一全正，二正弦，三正切，四余弦． (3)几何表示三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．如图中有向线段 MP，OM，AT 分别叫做角 α 的_正__弦__线___、余弦线、_正__切__线___．
课前自主回顾
1．角的概念的推广 (1)定义：角可以看成平面内一条射线绕着_端__点__从一个位置旋转到另一个位置所成的图形． (2)分类按按旋终转边方位向置不不同同分分为为__正__象__角__限__、_角___负___和角_轴_、线_零角__角.___.

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三角函数的定义考纲思维导图讲义导航知识梳理一．角的概念（1）正角：逆时针旋转负角：顺时针旋转零角：没有旋转【注】：1.画角时,不能只标上弧线表示角,由于角分正、负,所以要在图上标出代表角的终边旋转方向的箭头；2.当角的始边相同时,若角相等,则终边相同;但若终边相同,角则不一定相等；○3按逆时针方向旋转的角为正角,而钟表的时针、分针以及秒针是按顺时针方向旋转的,因此转过的角应是负角，注意关键词”顺时针”和“逆时针”。

（2）终边相同的角所有与角a终边相同的角，连同角a在内，可构成一个集合：s={β|β=a+k∙360°,k∈Z}。

（3）象限角：通常使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么角的终边落在第几象限就是第几象限角。

【注】：注意区分锐角与第一象限角，钝角和第二象限角。

●给出一个角，判断该角所在象限的方法是：先将此角化为k·360°+a(0°≤a<360°,k∈Z)的形式，即找出与此角终边相同的角a(0°≤a<360°),再由角a终边所在的象限来判断此角是第几象限角●已知θ所在的象限，求θ或nθ(n∈N+)所在的象限的方法是：将θ的范围用不等式(含有k(k∈Z))n表示，然后两边同除以n或乘以n,再对k进行讨论，得到θ或nθ(n∈N+)所在的象限。

n例题：【例1】下列说法中，正确的是()A．第二象限角是钝角B．第三象限角必大于第二象限角C．831-︒是第二象限角D．9520︒'是终边相同的角-︒'，98440︒'，26440【例2】（2017秋•海淀区校级期末）下列各角中，与50︒的角终边相同的角是() A．40︒B．140︒C．130-︒D．310-︒【例3】角2α=，则α所在象限角为()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限二．弧度制角度与弧度的互化(1)360°=2π rad:(2)180°= π rada(3)1°=（π180）°弧长公式：l=|a|r扇形面积公式:S=12lr=12|a|r2(其中l为扇形弧长，a为圆心角，r式圆弧半径)例题：【例1】（2018秋•东城区期末）单位圆中，200︒的圆心角所对的弧长为()A．10πB．9πC．910πD．109π【例2】（2017秋•东城区校级期末）扇形周长为6cm，面积为22cm，则其中心角的弧度数是() A．1或4 B．1或2 C．2或4 D．1或5三．三角函数的定义设a 是一个任意角，a 的终边上任意一点P （与原点不重合）的坐标为（x,y ），它到原点的距离是r=√x 2+y 25.三角函数在各象限的符号sin a cos a tana记忆口诀:一全正,二正弦,三正切,四余弦三角函数定义的应用类型及解题方法(1)已知角a 终边上一点P 的坐标求三角函数值,先求出点P 到原点的距离r,然后利用三角函数定义求解； (2)已知角a 的终边所在的直线方程求三角函数值,先设出终边上一点的坐标,求出此点到原点的距离,然后利用三角函数定义求解相关问题,同时注意分类讨论；(3)判断三角函数值的符号问题,先判断角所在的象限,再根据各象限的符号规律判断。

例题：【例1】（2019•东城区一模）在平面直角坐标系XOY 中，角α以OX 为始边，终边经过点(1P -，)(0)m m ≠，则下列各式的值一定为负的是( )++ ++++++-- -- --A ．sin cos αα+B ．sin cos αα-C ．sin cos ααD ．sin tan αα【例2】（2018秋•西城区校级期中）在平面直角坐标系中，角α的顶点在原点，始边在x 轴的正半轴上，角α的终边经过点(cos 8M π-，sin )8π，且02απ<<，则(α= ) A ．8π B ．38π C ．58πD ．78π四．同角三角函数关系式1. 巧用“1”的变换：sin 2a+cos 2a=12. 弦切互化法：tan=sinacosa （a ≠π2+kπ,k ∈z ） 3. 和积转换法：(sina ±cosa)2=1±2sinacosa【例1】若tan 3θ=，则222sin sin cos cos θθθθ--= ．五．诱导公式(1)诱导公式可简记为:奇变偶不变,符号看象限。

(2)“奇”“偶”指的是诱导公式k·π2+a 中的整数k 是奇数还是偶数。

“变”与“不变”是指函数的名称的变化,若k 是奇数,则正、余弦互变；若k 为偶数则函数名称不变。

(3)“符号看象限”指的是在k·π2+a 中,将a 看成锐角时k·π2+a 所在的象限。

1.利用诱导公式求值的原则及步骤 (1)原则:负化正、大化小、化到锐角为终了(2)步骤:利用诱导公式可以把任意角的三角函数转化为0~π4之间角的三角函数然后求值。

2.利用诱导公式化简三角函数的思路和要求(1)思路方法:①分析结构特点,选择恰当公式;②利用公式化成单角三角函数;③整理得最简形式。

(2)化简要求:①化简过程是恒等变形;②结果要求项数尽可能少,次数尽可能低,结构尽可能简单,能求值的要求出值。

例题：【例1】（2019秋•东城区校级月考）对于锐角α，若1sin()63πα-=，则cos()(3πα-= )A B ．38C ．38D【例2】（2017•北京模拟）2017cos 3π等于( )A ．12-B ．12C ． DA 组【题1】（2018秋•丰台区期末）已知点P 在圆O 上按顺时针方向每秒转6π弧度，2秒钟后，OP 转过的角等于( ) A ．3π- B ．6π-C ．6π D ．3π【题2】如果21α=-︒，那么与α终边相同的角可以表示为( ) A ．{|36021k ββ=︒+︒，}k Z ∈ B ．{|36021k ββ=︒-︒，}k Z ∈C ．{|18021k ββ=︒+︒，}k Z ∈D ．{|18021k ββ=︒-︒，}k Z ∈【题3】（2017秋•昌平区校级期末）已知集合{|2242k k ππαπαπ++，}k Z ∈，则角α的终边落在阴影处（包括边界）的区域是( )A ．B ．C ．D ．【题4】若角α与角β的终边关于y 轴对称，则( ) A ．()k k Z αβππ+=+∈ B ．2()k k Z αβππ+=+∈C ．()2k k Z παβπ+=+∈D ．2()2k k Z παβπ+=+∈【题5】角90︒化为弧度等于( ) A ．3π B ．2π C ．4π D ．6π【题6】（2019秋•海淀区期中）如图，角α以Ox 为始边，它的终边与单位圆O 相交于点P ，且点P 的横坐标为35，则sin()2πα+的值为( )A ．35-B ．35C ．45-D ．45【题7】（2019秋•海淀区校级月考）α是第四象限角，12cos 13α=，则sin (α= ) A ．513B ．513-C ．512D ．512-【题8】已知1tan 3α=，求212cos sin cos ααα+的值．( ) A ．23B ．103 C ．53D ．310【题9】（2018秋•西城区期末）设[0α∈，2)π，则使1sin 2α>成立的α的取值范围是( ) A ．2(,)33ππB ．5(,)66ππC ．4(,)33ππD ．711(,)66ππ【题10】（2018秋•东城区期末）在平面直角坐标系xOy 中，角α以Ox 为始边，终边在射线2(0)y x x =上，则cos α的值是( )A B ． C D ．【题11】（2019•北京学业考试）已知4sin 5α=，(0,)2πα∈，那么cos()πα-等于( ) A ．45-B ．35-C ．35D ．45【题12】（2019春•通州区期末）R α∀∈，下列各式中与sin α相等的是( ) A ．sin()α- B ．cos()2πα+C ．sin()πα+D ．sin()πα-【题13】（2017秋•海淀区期末）2sin()(3π-= )A ．B ．12-C D ．12【题14】（2017•平谷区模拟）17cos 6π等于( )A ．12-B ．12C ． D【题15】（2017秋•通州区期末）sin 330(︒= )A ．12-B ．12C ． D【题16】（2017秋•东城区期末）函数cos(),[,]2y x x πππ=+∈-是( )A ．增函数B ．减函数C ．偶函数D ．奇函【题17】（2019•海淀区一模）若角α的终边在第二象限，则下列三角函数值中大于零的是( )A ．sin()2πα+B ．()2cos πα+C ．sin()πα+D ．cos()πα+【题18】（2019•石景山区一模）在平面直角坐标系xOy 中，角α和角β均以Ox 为始边，它们的终边关于x 轴对称．若1sin 3α=，则sin β= ．【题19】某蒸汽机上的飞轮直径为20cm ，每分钟按顺时针方向旋转180转，则飞轮每秒钟转过的弧度数是；轮周上的一点每秒钟经过的弧长为．【分析】（1）首先求出每1秒转的圈数，进而根据一圈旋转2π-弧度，进而可得转过的弧度数；（2）根据（1）中弧度数，结合已知中的半径，然后利用弧长公式即可得出答案．【解答】解：（1）因为飞轮转速180转/分18060=转/秒3=转/秒，而且飞轮作顺时针旋转，所以它每秒转过的弧度数为3(2)6ππ⨯-=-．（2）轮上一点每秒所转过的弧长为||61060L r cm αππ==⨯=．故答案为：6π-，60cm π．1. 如果tan 3α=，那么sin cos αα= ．【题20】（2019春•通州区期末）在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以的Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称．若sin αcos2β等于．【题21】（2018秋•西城区校级期中）已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有点(1,)A a ，且2cos23α=，则||a = ．【题22】（2017秋•通州区期末）设sin()10a π=-，2cos3b π=，则两个数的大小关系是a b （填“>”或“<” )【题23】（2018•通州区三模）在平面直角坐标系xOy 中，角α以Ox 为始边，终边位于第一象限，且与单位圆交于点1(,)2y ，则sin()3πα+= ．【题24】（2019秋•东城区校级月考）化简cos()2sin()cos(2)5sin()2πααππαπα---+的结果为____________.【题25】（2018秋•石景山区期末）化简sin()2cos()παπα+=- ．B 组【题1】如果点(sin ,cos )P θθ位于第四象限，那么角θ所在的象限是( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【题2】（2017秋•昌平区期末）已知α，β都是锐角，若sin cos αβ>，则下列结论正确的是( ) A ．2παβ+> B ．2παβ+<C ．2παβ->D ．αβ-与2π大小关系不确定【题3】（2018春•海淀区期中）在ABC ∆中，A B C <<，则下列结论中不正确的是( )【题4】（2019秋•海淀区校级月考）已知(sin )cos3f x x =，则(cos10)f ︒的值为( )A ．12±B ．12C ． D【题5】（2018•北京）在平面直角坐标系中，AB ，CD ，EF ，GH 是圆221x y +=上的四段弧（如图），点P 其中一段上，角α以Ox 为始边，OP 为终边．若tan cos sin ααα<<，则P 所在的圆弧是( )A ．ABB ．CDC ．EFD ．GH【题6】圆弧长度等于圆内接正三角形的边长，则其圆心角弧度数为( )A ．3πB ．23π C D ．2【题7】设圆O 的半径为2，点P 为圆周上给定一点，如图所示，放置边长为2的正方形ABCD （实线所示，正方形的顶点A 与点P 重合，点B 在圆周上）．现将正方形ABCD 沿圆周按顺时针方向连续滚动，当点A 首次回到点P 的位置时，点A 所走过的路径的长度为( )A．4πB．(3πC．(1π++D．(2π【题8】（2018秋•海淀区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，角α以Ox为始边，终边与单位圆fα．则下O相交于点P．过点P的圆O的切线交x轴于点T，点T的横坐标关于角α的函数记为() fα的说法正确的是()列关于函数()A ．()f α的定义域是{|2,}2k k Z πααπ≠+∈ B ．()f α的图象的对称中心是(,0),2k k Z ππ+∈C ．()f α的单调递增区间是[2k π，2]k ππ+，k Z ∈D ．()f α对定义域内的α均满足()()f f παα-=【题9】（2018•大兴区一模）5π，sin 5π，5ln π三个数中最大的数是．【题10】（2018•4月份模拟）如图，某园林单位准备绿化一块直径为BC的半圆形空地，ABC∆外的地方种草，ABC∆的内接正方形PQRS为一水池，其余的地方种花，若BC a=，ABCθ∠=，设ABC∆的面积为1S，正方形PQRS的面积为2S，当a固定，θ变化时，则12SS的最小值是．【题11】（2019•大兴区一模）如图，单位圆Q的圆心初始位置在点(0,1)，圆上一点P的初始位置在原点，圆沿x轴正方向滚动．当点P第一次滚动到最高点时，点P的坐标为(,2)π；当圆心Q位于点(3,1)时，点P的坐标为．【题12】（2018秋•朝阳区期末）如图，以正方形的各边为底可向外作四个腰长为1的等腰三角形，则阴影部分面积的最大值是．练习【练1】题解析著作权属菁优网所有，未经（2018秋•丰台区期末）在平面直角坐标系xOy 中，角α与β均以Ox 为始边，它们的终边关于x 轴对称，若4sin 5α=，则sin (β= ) A ．35B ．45 C ．35-D ．45-【练2】（2017春•西城区校级期中）若α，(2πβ∈-，)2π，且αβ<，则2αβ-的取值范围是( ) A ．3(2π-，3)2π B ．3(2π-，)2πC ．(,)2ππ-D ．3(2π-，)π【练3】将300︒化为弧度数为( ) A ．56π B ．116πC ．6π-D ．53π【练4】（2017秋•通州区期末）已知半径为2的圆上，有一条弧的长是2，则该弧所对的圆心角（正角）的弧度数为( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．1【练5】（2019秋•海淀区校级月考）已知角α的终边过点(3,4)P -，则cos (α= ) A ．35-B ．34-C ．45 D ．43-【练6】（2017秋•通州区期末）已知θ为第三象限角，则下列判断正确的是( ) A ．tan 0θ< B ．sin cos 0θθ< C ．cos tan 0θθ> D ．sin tan 0θθ<【练7】（2017秋•海淀区期中）在平面直角坐标系xOy 中，点A 的纵坐标为2，点C 在x 轴的正半轴上．在AOC ∆中，若cos AOC ∠=，则点A 的横坐标为( )A ．BC ．3-D ．3【练8】（2017秋•海淀区校级期末）计算：2sin (3π= )A ．BC ．2D ．2【练9】cos150︒的值等于( ) AB ．12 C ．12-D．【练10】（2018•北京模拟）已知5sin 13α=，那么sin()πα-等于( ) A ．1213- B ．513-C ．513D ．1213【练11】（2018秋•西城区期末）sin()2(cos()παα-=- ) A ．tan α B ．tan α- C ．1 D ．1-【练12】（2017秋•西城区期末）计算sin()sin()(παπα-++= ) A ．0 B ．1 C ．2sin α D ．2sin α-【练13】已知sin 3cos 22cos sin αααα+=-，则2tan 3tan αα-等于( )A ．2B ．0C ．89-D ．23-【练14】（2018秋•朝阳区期中）已知(,0)2πα∈-，3sin 5α=-，则cos α= ；tan()πα+= ．【练15】已知扇形的中心角的角度是120︒，半径为2，则扇形的弧长是．【练16】（2019•顺义区一模）已知α为锐角，且cos()πα+=，则tan α= ．20 / 21【练17】已知tan 3α=，则2cos sin cos 3sin αααα+=+ ．【练18】（2017秋•昌平区期末）在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于原点对称．若2cos 3α=-，则cos β= ．【练19】（2017秋•西城区期末）sin 2，13log 2，121log 3三个数中最大的是．。