★2014年高考试题(广东卷-附答案)——文科数学

2014年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学 (文科)一．选择题：1、已知集合{}{}5,3,2,0,4,3,2==N M ,则N M （ ） A. {}2,0 B. {}3,2 C. {}4,3 D. {}5,32、已知复数z 满足25)43(=-z i ，则=z （ ）A.i 43--B. i 43+-C. i 43-D. i 43+3、已知向量)1,3(),2,1(==b a，则=-a b （ ）A. )1,2(-B. )1,2(-C. )0,2(D. )3,4(4、若变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤≤+304082y x y x 则y x z +=2的最大值等于（ ）A. 7B. 8C. 10D. 11 5、下列函数为奇函数的是（ ） A.x x212-B.x x sin 3C.1cos 2+xD.xx 22+ 6、为了解1000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则分段的间隔为（ ） A.50 B.40 C.25 D.207、在ABC ∆中，角A,B,C 所对应的边分别为,,,c b a 则“b a ≤”是“B A sin sin ≤”的（ ） A.充分必要条件 B.充分非必要条件 C.必要非充分条件 D.非充分非必要条件8、若实数k 满足05k <<，则曲线221165x y k -=-与曲线221165x y k -=-的（ ） A.实半轴长相等 B.虚半轴长相等 C.离心率相等 D.焦距相等9、若空间中四条两两不同的直线1234,,,l l l l ，满足122334,,,l l l l l l ⊥⊥∥则下列结论一定正确的是（ ） A ．14l l ⊥ B.14l l ∥ C.1l 与4l 既不垂直也不平行 D.1l 与4l 的位置关系不确定10.对任意复数12,,w w 定义1212,ωωωω*=其中2ω是2ω的共轭复数，对任意复数123,,z z z 有如下四个命题： ①1231323()()();z z z z z z z +*=*+*②1231213()()()z z z z z z z *+=*+*； ③123123()();z z z z z z **=**④1221z z z z *=*；则真命题的个数是（ ） A.1 B.2 C.3 D.4二、填空题：（一）必做题（11—13题）11.曲线53x y e =-+在点()0,2-处的切线方程为________.12.从字母,,,,a b c d e 中任取两个不同字母，则取字母a 的概率为________.13.等比数列{}n a 的各项均为正数，且154a a =，则2122232425log +log +log +log +log =a a a a a _____. （二）选做题（14-15题，考生只能从中选做一题）14.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线1C 与2C 的方程分别为θθρsin cos22=与1cos =θρ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线1C 与2C 的直角坐标为________15.（几何证明选讲选做题）如图1，在平行四边形ABCD 中，点E 在AB 上且AC AE EB ,2=与DE 交于点F 则______=∆∆的周长的周长AEF CDF三.解答题：16、已知函数()sin(),3f x A x x R π=+∈，且532()122f π=（1） 求A 的值；（2）若()()3,(0,)2f f πθθθ--=∈，求()6f πθ-17、某车间20名工人年龄数据如下表： （1） 求这20名工人年龄的众数与极差；（2） 以十位数为茎，个位数为叶，作出这20名工人年龄的茎叶图； （3） 求这20名工人年龄的方差.18、如图2，四边形ABCD 为矩形，PD ⊥平面ABCD ，AB=1,BC=PC=2,作如图3折叠，折痕EF ∥DC.其中点E ，F 分别在线段PD ，PC 上，沿EF 折叠后点P 在线段AD 上的点记为M ，并且MF ⊥CF. （1）证明：CF ⊥平面MDF （2）求三棱锥M-CDE 的体积.19、设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n S 满足()()*∈=+--+-N n n n S n n S n n ,033222.（1）求1a 的值；（2）求数列{}n a 的通项公式； （3）证明：对一切正整数n ，有()()().311111112211<+++++n n a a a a a a20、已知椭圆()01:2222>>=+b a by a x C 的一个焦点为()0,5，离心率为35。

（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若动点()00,y x P 为椭圆C 外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程.21、已知函数321()1()3f x x x ax a R =+++∈ （1） 求函数()f x 的单调区间；（2） 当0a <时，试讨论是否存在011(0,)(,1)22x ∈，使得01()()2f x f =2014广东高考文科数学答案选择题：1、B2、D3、B4、C5、A6、C7、A8、D9、D 10、B 填空题11、5x+y+2=0 12、5213、5 14、（1,2） 15、3 16、(1)因为223)125(=πf ， 22322)43sin()3125sin(===+A A A πππ，所以A=3 （2）)3sin(3)(π+=x x f ，3)3sin(3)3sin(3=+--+πθπθ所以33cos 23sin 21cos 23sin 21=-++θθθθ 所以33sin =θ，又因为)2,0(πθ∈，所以36cos =θ6cos 3)36sin(3)6(==+-=-θπθπθπf17、（1）由图标可知，年龄的众数是30，极差为40-19=21 （2）茎叶图如下：4 0 3 0 0 0 0 0 1 1 1 1 2 2 2 2 8 8 8 9 9 91 9（3）年龄平均值30201932832953043133240=+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+=x方差=2s20)3040(3)3032(4)3031(5)3030(3)3029(3)3028()3019(2222222-+⨯-+⨯-+⨯-+⨯-+⨯-+-=12.618、（1）证明：由已知条件，C F ⊥MF …………①⎩⎨⎧⊥⊥DCMD PDMD ⇒MD ⊥面PDC ，所以CF ⊥MD …………② MF 、MD 在面MDF 上且相交，所以CF ⊥MDF（2）R t △CDP ∽Rt △CFD ，所以12CF 1,==所以CD CP CF CD ，所以CF=21又因为E F ∥DC ，PD=3，所以2213ED ,==所以PC CF PD ED ，ED=43MD=26)3(2222=--=-ED ED ED ME 三棱锥M-CDE 的体积V=162261213131=⨯⨯⨯⨯=∙∆ED MD S CDE19、（1）解：因为0)(3)3(22=+--+-n n S n n S n n 所以（0)]()[32=+-+n n S S n n因为{n a }为正数列，所以)(2n n S n +-=0，即n n S n +=2 所以)11(21+-a =0，所以21=a （2）由（1），n n S n +=2…………①当2≥n 时，1)1(21-+-=-n n S n …………②①-②得：n a =2n (2≥n ,N n ∈)，当n=1时，上式也成立。

所以n a =2n (*N n ∈)（3）即要证明541321⨯+⨯+……+31)12(21<+n n 981761541321⨯+⨯+⨯+⨯+……+)12(21+n n 97175120161⨯+⨯++<+……+)12)(12(1+-n n ） =+-+-+91717151(216013……)121121+--+n n所以，对一切正整数n ，有++++)1(1)1(12211a a a a ……+31)1(1<+n n a a31)12(216019)12151(216013<+-=+-+=n n20.解：（１）可知5c =，又53c a=，3a ∴=，2224b a c =-=， 椭圆C 的标准方程为22194x y +=；（２）①当两条切线中有一条与x 轴垂直时，此情况P 为四个点：（3,2）、（3，-2）、（-3,2）、（-3，-2）。

②当两条切线都不与x 轴垂直时，此时两直线切线斜率存在。

设切线斜率为k. 则切线方程为：)(00x x k y y -=-联立曲线、直线方程⎪⎩⎪⎨⎧-=-=+)(1490022x x k y y y x ，消去y 得， 0369189)1818()49(200020202022=-+-+-++y y kx x k x x k ky x k令△=0得，042)9(2000220=-+--y k y x k x把方程看成关于k 的一元二次方程，则方程有两根21,k k194202021-=--=∙x y k k所以132020=+y x把情况①的四个点代入也符合。

所以P 点的轨迹方程为1322=+y x21、解：a x x x f ++=2)(2‘判别式∆=4-4a①当∆0≤，即a 1≥时，0)(≥x f ‘，)(x f 在R 上单调递增。

②当∆>0，即1<a 时，022=++a x x 有两根：a x ---=111，a x -+-=112所以)(x f 在),11-)11,(+∞-+----∞a a 和（单调递增；)(x f 在)11,11(a a -+----上单调递减。

（2）由（1）知，当0<a 时，022=++a x x 有两根：a x ---=111，a x -+-=112显然1x <0。

要使)1,21()21,0(0⋃∈x ，且)21()(0f x f =则必须0<2x <1，且2x 21≠，即1110<-+-<a 且2111≠-+-a 解得，03<<-a 且45-≠a …………①又因为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>>)21()1()21()0(f f f f 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+>++>2243137224311aa a 解不等式组，1271225-<<-a ……… ② 综上所述，当1271225-<<-a ，且45-≠a 时存在)1,21()21,0(0⋃∈x ，使得)21()(0f x f =附 2014年高考试题——文科数学(广东B 卷2014年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）B 卷 数 学（文科）参考公式： 锥体的体积公式13V Sh=，其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高．一组数据12,,,n x x x 的方差2222121[()()()]n s x x x x x x n=-+-++-，其中x 表示这组数据的平均数．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{2,3,4}M =，{0,2,3,5}N =，则MN =A ．{3,5}B ．{3,4}C ．{2,3}D ．{0,2} 2．已知复数z 满足(34)25i z -=，则z =A ．34i +B ．34i -C ．34i -+D ．34i -- 3．已知向量(1,2)=a ，(3,1)=b ，则-=b aA ．(4,3)B ．(2,0)C ．(2,1)-D ．(2,1)-4．若变量,x y 满足约束条件280403x y x y +⎧⎪⎨⎪⎩≤≤≤≤≤，则2z x y =+的最大值等于A ．11B ．10C ．8D ．75．下列函数为奇函数的是A ．22x x +B ．2cos 1x +C ．3sin x x D ．122x x -6．为了解1000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则分段的间隔为A ．20B ．25C ．40D ．507．在ABC ∆中，角C B A ,,所对应的边分别为c b a ,,，则“a b ≤ ”是“sin sin A B ≤”的A ．充分必要条件B ．充分非必要条件C ．必要非充分条件D ．非充分非必要条件AFEDCB图18．若实数k 满足05k <<，则曲线221165x y k -=-与曲线221165x y k -=-的A ．焦距相等B ．离心率相等C ．虚半轴长相等D ．实半轴长相等 9．若空间中四条两两不同的直线1234,,,l l l l ，满足12l l ⊥，23//l l ，34l l ⊥，则下列结论一定正确的是 A ．14l l ⊥ B ．14//l l C ．1l 与4l 既不垂直也不平行 D ．1l 与4l 的位置关系不确定10．对任意复数12,ωω，定义1212*ωωωω=，其中2ω是2ω的共轭复数，对任意复数123,,z z z 有如下四个命题： ①1231323()()()***z z z z z z z +=+； ②1231213()()()***z z z z z z z +=+； ③123123()()****z z z z z z =； ④1221**z z z z =．则真命题的个数是A ．4B ．3C ．2D ．1二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分． （一）必做题（11 ~ 13题）11．曲线53xy e =-+在点(0,2)-处的切线方程为______________． 12．从字母,,,,a b c d e 中任取两个不同字母，则取到字母a 的概率为______________． 13．等比数列{}n a 的各项均为正数，且154a a =，则2122232l o g +l o g +l o g +l o g +l o g=a a a a a ________．（二）选做题（14 ~ 15题，考生只能从中选做一题）14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线1C 与2C 的方程分别为22cos sin ρθθ=与cos 1ρθ=．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线1C 与2C 交点的直角坐标为 ．15．（几何证明选讲选做题）如图1，在平行四边形ABCD 中，点E 在AB上且2EB AE =，AC 与DE 交于点F ，则CDF AEF ∆∆的周长的周长＝ ．图3PA BCEDFMPA B CD图2三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知函数()sin()3f x A x π=+，x ∈R ，且532()122f π=． （1）求A 的值；（2）若()()3f f θθ--=，)2,0(πθ∈，求()6f πθ-．17．（本小题满分13分）某车间20名工人年龄数据如下表：年龄（岁） 工人数（人） 19 1 28 3 29 3 30 5 31 4 32 3 40 1 合计20（1）求这20名工人年龄的众数与极差；（2）以十位数为茎，个位数为叶，作出这20名工人年龄的茎叶图； （3）求这20名工人年龄的方差． 18．（本小题满分13分）如图2，四边形ABCD 为矩形，PD ⊥平面ABCD ，1AB =，2BC PC ==．作如图3折叠：折痕EF ∥DC ，其中点E ，F 分别在线段PD ，PC 上，沿EF 折叠后点P 叠在线段AD 上的点记为M ，并且MF CF ⊥．（1）证明：CF ⊥平面MDF ； （2）求三棱锥M CDE -的体积． 19．（本小题满分14分） 设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n S 满足222(3)3()0n n S n n S n n -+--+=，*n ∈N ．（1）求1a 的值；（2）求数列{}n a 的通项公式；（3）证明：对一切正整数n ，有11221111(1)(1)(1)3n n a a a a a a +++<+++．20．（本小题满分14分）已知椭圆2222:1x y C a b +=(0)a b >>的一个焦点为(5,0)，离心率为53． （1）求椭圆C 的标准方程； （2）若动点00(,)P x y 为椭圆C 外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程．21．（本小题满分14分）已知函数321()13f x x x ax =+++()a ∈R ． （1）求函数()f x 的单调区间；（2）当0a <时，试讨论是否存在011(0,)(,1)22x ∈，使得01()()2f x f =．2014年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）B卷数学（文科）参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答案 C A C B D B A A D C二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．（一）必做题（11 ~ 13题）11. 520x y++=12.2513.5（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）14.(1,2)15.3三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16.（本小题满分12分）16. 解：（1）55332()sin()sin1212342f A Aππππ=+==，解得 3.A=（2）由（1）得()3sin()3f x xπ=+，所以()()3sin()3sin()3sin()3sin()3333 f fππππθθθθθθ--=+--+=++-3(sin coscos sin )3(sin cos cos sin )3333ππππθθθθ=++-6sin cos 3sin 33πθθ===.所以3sin 3θ=，又(0,)2πθ∈，所以26cos 1sin 3θθ=-=.所以6()3sin()3sin()3cos 3666323f ππππθθθθ-=-+=-==⨯=.17.（本小题满分13分） 17. 解：（1）这20名工人年龄的众数为30，极差为40-19=21 （2）茎叶图如图所示：（3）年龄的平均数为(1928329330531432340)3020x +⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+==所以这20名工人年龄的方差为222222221(1930)3(2830)3(2930)5(3030)4(3130)3(3230)(4030)20s ⎡⎤=-+⨯-+⨯-+⨯-+⨯-+⨯-+-⎣⎦ 1252(1211230412100)12.62020=++++++== 18.（本小题满分13分）18.（1）证明：因为PD ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，所以PD AD ⊥. 因为在矩形ABCD 中CD AD ⊥，又CD PD D =，所以AD ⊥平面PCD .因为CF ⊂平面PCD ，所以AD CF ⊥. 因为MF CF ⊥，MFAD M =，所以CF ⊥平面ADF .（2）解：因为CF ⊥平面ADF ，DF ⊂平面ADF ，所以CF DF ⊥. 因为1AB CD ==，2BC PC ==，所以60PCD ∠=，30CDF ∠=，所以111242CF CD PC ===，3PD =. 因为EF ∥DC ，所以1344DE PD ==，33344PE PD ==.1 92 8 8 8 9 9 93 0 0 0 0 0 1 1 1 1 2 2 24 0所以334EM PE ==，2262MD ME DE =-=，1328CDE S CD DE ∆=⋅=， 因为MD ⊥平面C D E ，所以三棱锥M C D -的体积11362338216M CDE CDE V S MD -∆=⋅=⨯⨯=.19.（本小题满分14分）19. 解：（1）由222(3)3()0n n S n n S n n -+--+=，得2(3)()0n n S S n n ⎡⎤+-+=⎣⎦. 因为{}n a 是正项数列，所以0n a >，0n S >，所以2n S n n =+. 当1n =时，112a S ==. （2）当2n ≥时，221[(1)(1)]2n n n a S S n n n n n -=-=+--+-=； 当1n =时，12a =，满足上式， 所以数列{}n a 的通项公式为2n a n =，*n ∈N（3）因为111111()(1)2(21)(21)(21)22121n n a a n n n n n n =<=-++-+-+所以1111((1n n a a a a a a n n +++<+-+-++-+++⨯-+1111111()623213423n n =+-=-<++20.（本小题满分14分） 20. 解：（1）依题意得5c =，53c e a ==，所以3a =，2224b a c =-=，所以椭圆C 的标准方程为22194x y +=.（2）当过点P 的两条切线12,l l 的斜率均存在时，设12,l l 的斜率分别为12,k k ，设切线方程为00()y y k x x -=-，联立2200194()x y y y k x x ⎧+=⎪⎨⎪-=-⎩，得2220000(49)18()9()360k x k y kx x y kx ++-+--=， 所以22220000(18)()4(49)[9()36]0k y kx k y kx ∆=--+--=，整理得2200()49y kx k -=+，即2220000(9)240x k x y k y --+-=， 因为12l l ⊥，所以201220419y k k x -==--，整理得220013x y +=； 当过点P 的两条切线12,l l 一条斜率不存在，一条斜率为0时，P 为(3,2)±或(3,2)-±，均满足220013x y +=. 综上所述，点P 的轨迹方程为2213x y +=. 21.（本小题满分14分）21. 解：（1）2()2f x x x a '=++，x ∈R . 令220x x a ++=，44a ∆=-.① 当1a ≥时，0∆≤，()0f x '≥，所以()f x 在(,)-∞+∞上是增函数；② 当1a <时，0∆>，方程220x x a ++=的两个根为111x a =---，211x a =-+-. 所以(),()f x f x '随x 的变化情况如下表：x1(),x -∞ 1x12(,)x x 2x2(,)x +∞()f x '+0 -0 +()f x↗极大值↘极小值↗所以()f x 在1(),x -∞和2(,)x +∞上是增函数，在12(,)x x 上是减函数.综上所述，当1a ≥时，()f x 的单调递增区间为(,)-∞+∞，没有单调递减区间；当1a <时，()f x 的单调递增区间为1(),x -∞和2(,)x +∞，单调递减区间为12(,)x x .（2）当0a <时，假设存在011(0,)(,1)22x ∈，使得01()()2f x f =． 令323211111117()()()1(1)2324423224g x f x f x x ax a x x ax a =-=+++-+++=++--， 原问题转化为方程()0g x =在11(0,)(,1)22上有解.因为1()()()()2g x f x f f x ''''=-=，所以函数()y g x =与()y f x =的单调性相同.由（1）得当0a <时，()g x 在1(),x -∞和2(,)x +∞上是增函数，在12(,)x x 上是减函数，其中1112x a =---<-，2110x a =-+->，17(0)224g a =--，1()02g =，125(1)224g a =+.① 当2102x <<时，即10112a <-+-<，解得54a -<<，()g x 在2(0,)x 上是减函数，在21(,)2x 和1(,1)2上是增函数，且1()02g =，要使()0g x =在11(0,)(,1)22上有解，只需(0)0g >，解得712a <-，所以57412a -<<-；② 当212x =时，即54a =-，()g x 在(0,1)2上是减函数，在1(,1)2上是增函数，且1()02g =，所以()0g x =在11(0,)(,1)22上无解；③ 当2112x <<时，即11112a <-+-<，解得534a -<<-， ()g x 在(0,1)2和2(1,)2x 上是减函数，在2(,1)x 上是增函数，且1()02g =，要使()0g x =在11(0,)(,1)22上有解，只需(1)0g >，解得2512a >-，所以255124a -<<-；④ 当21x ≥时，即111a -+-≥，解得3a -≤，()g x 在(0,1)2和(1,1)2上是减函数，且1()02g =，所以()0g x =在11(0,)(,1)22上无解. 综上所述，当25557(,)(,)124412a ∈----时，存在011(0,)(,1)22x ∈，使得01()()2f x f =．。