13-14概率统计A答案

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概率统计智慧树知到答案章节测试2023年嘉兴学院

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第一章测试1.设事件A,B,C满足条件:P(AB)=P(AC)=P(BC) ,P(ABC)= ,则事件A,B,C中至多一个发生的概率为。

()。

A:B:C:D:答案:B2.一射手对同一目标独立地进行4次射击,若至少命中一次的概率为,则该射手的命中率为。

()。

A:B:C:D:答案:D3.设两个相互独立的事件A和B都不发生的概率为,A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相等,则P(A)=。

()A:B:C:D:答案:C4.设一批产品中一、二、三等品各占60%、30%、10%,现从中任了一件,发现不是三等品,则取到的是一等品的概率为。

()A:对B:错答案:A5.设A,B为随机事件且A B,1>P(B)>0,则P(A)<P(A|B)成立。

()A:错B:对答案:B第二章测试1.设随机变量X的分布律为则常数 =()。

A:0.5B:0.3C:0.1D:0.2答案:D2.设,且,,,则 =()。

A:0.1457B:0.8543C:0.3541D:0.2543答案:B3.设随机变量X的分布函数为:,则下列正确的是()。

A:B:C:D:答案:BCD4.设,则。

()A:错B:对答案:B5.连续型随机变量的概率密度一定是连续函数。

()A:错B:对答案:A第三章测试1.设二维随机变量的概率密度为,常数c=()A:0.5B:1.5C:1D:3答案:C2.设二维随机变量的概率密度为,则随机变量X的边缘概率密度为()A:B:C:D:答案:D3.设两个随机变量X与Y相互独立,X在区间[0,2]服从均匀分布,Y服从参数为4的指数分布,则的联合概率密度为()A:B:C:D:答案:A4.设两个随机变量X与Y相互独立且同分布:,,则 =()A:0.75B:0.5C:1D:0.25答案:B5.设二维随机变量的概率密度为,则()A:B:C:D:答案:D第四章测试1.某班工人每天生产中出现次品数X的概率分布为则平均每天出次品()件。

A:2.8B:2.4C:2D:2.5答案:B2.设连续型随机变量X的分布函数为则X的方差为().A:B:C:D:答案:A3.设随机变量 , ,且X与Y相互独立,则().A:6B:8C:3D:12答案:D4.设二维随机变量的概率密度为 ,则().A:B:C:D:答案:B5.设随机变量X具有密度函数 ,则().A:B:C:D:答案:D第五章测试1.测量某一物体的长度,我们一般用多次测量的算数平均值作为长度的近似值,解释这个现象的理论依据是()。

《概率论与数理统计A》期末习题一答案

《概率论与数理统计A》期末习题一答案

《概率论与数理统计A 》期末习题一答案一、简答题(本题满分30分,共含6小题,每小题5分)1、设A ,B 为随机事件,A 与B 相互独立,2.0)(=A P ,4.0)(=B P ,求()P AB 。

解:32.04.08.0)()()(=⨯==B P A P B A P 。

(5分)2、设随机变量X 的概率密度为⎩⎨⎧<<=其他 010 )(x cx x f ,求常数c 的值。

解:121)(1===⎰⎰+∞∞-c dx cx dx x f ,因此2=c 。

(5分) 3、 已知随机变量)4,1(~N X ,求}21{<<X P 。

解:()021}21221211{}21{Φ-⎪⎭⎫⎝⎛Φ=-<-<-=<<X P X P (3分) 1915.05.06915.0=-=。

(2分)4、设随机变量X 和Y 相互独立,)4,3(~N X ,)9,2(~N Y ,求变量12+-=Y X Z 的数学期望和方差。

解:()()()()51261212=+-=+-=+-=Y E X E Y X E Z E ; (2分)()()()()25916412=+=+=+-=Y D X D Y X D Z D 。

(3分) 5、 已知10个产品中有3个次品,现从中有放回地取3次,每次任取1个,求所取的3个产品中恰有2个次品的概率。

解:设X :所取得3个产品中次品的个数,则⎪⎭⎫⎝⎛103,3~B X (2分)1000189107103}2{223=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅==C X P (3分) 6、设随机变量X 、Y 相互独立,且都服从标准正态分布,则Z(同时要写出分布的参数) ?~(1)t 。

(5分)二、(本题满分10分) 编号为1,2,3的三台仪器正在工作的概率分别为0.9,0.8和0.4,从中任选一台。

(1) 求此台仪器正在工作的概率;(2) 已知选到的仪器正在工作,求它编号为2的概率。

概率统计课后答案

概率统计课后答案

概率统计课后答案2第 一 章思 考 题1.事件的和或者差的运算的等式两端能“移项”吗?为什么?2.医生在检查完病人的时候摇摇头“你的病很重,在十个得这种病的人中只有一个能救活. ”当病人被这个消息吓得够呛时,医生继续说“但你是幸运的.因为你找到了我,我已经看过九个病人了,他们都死于此病,所以你不会死” ,医生的说法对吗?为什么?3.圆周率 1415926.3=π是一个无限不循环小数, 我国数学家祖冲之第一次把它计算到小数点后七位, 这个记录保持了1000多年! 以后有人不断把它算得更精确. 1873年, 英国学者沈克士公布了一个π的数值, 它的数目在小数点后一共有707位之多! 但几十年后, 曼彻斯特的费林生对它产生了怀疑. 他统计了π的608位小数, 得到了下表:675844625664686762609876543210出现次数数字你能说出他产生怀疑的理由吗?答:因为π是一个无限不循环小数,所以,理论上每个数字出现的次数应近似相等,或它们出现的频率应都接近于0.1,但7出现的频率过小.这就是费林产生怀疑的理由.4.你能用概率证明“三个臭皮匠胜过一个诸葛亮”吗?5.两事件A、B相互独立与A、B互不相容这两个概念有何关系?对立事件与互不相容事件又有何区别和联系?6.条件概率是否是概率?为什么?习题一1.写出下列试验下的样本空间:(1)将一枚硬币抛掷两次答:样本空间由如下4个样本点组成Ω=正正,正反,反正,反反{(,)(,)(,)(,)}(2)将两枚骰子抛掷一次答:样本空间由如下36个样本点组成{(,),1,2,3,4,5,6}Ω==i j i j(3)调查城市居民(以户为单位)烟、酒的年支出34 答:结果可以用(x ,y )表示,x ,y 分别是烟、酒年支出的元数.这时,样本空间由坐标平面第一象限内一切点构成 .{(,)0,0}x y x y Ω=≥≥2.甲,乙,丙三人各射一次靶,记-A “甲中靶” -B “乙中靶” -C “丙中靶” 则可用上述三个事件的运算来分别表示下列各事件:(1) “甲未中靶”: ;A(2) “甲中靶而乙未中靶”: ;B A(3) “三人中只有丙未中靶”: ;C AB(4) “三人中恰好有一人中靶”: ;C B A C B A C B A(5)“ 三人中至少有一人中靶”: ;C B A(6)“三人中至少有一人未中靶”: ;C B A 或;ABC(7)“三人中恰有两人中靶”: ;BC A C B A C AB(8)“三人中至少两人中靶”: ;BC AC AB(9)“三人均未中靶”: ;C B A(10)“三人中至多一人中靶”: ;C B A C B A C B A C B A(11)“三人中至多两人中靶”: ;ABC 或;C B A 3 .设,A B 是两随机事件,化简事件 (1)()()AB A B (2) ()()A B A B 解:(1)()()A B A B AB AB B B ==,5 (2) ()()A B A B ()A B A B B A A B B ==Ω=.4.某城市的电话号码由5个数字组成,每个数字可能是从0-9这十个数字中的任一个,求电话号码由五个不同数字组成的概率.解:51050.302410P P ==. 5.n 张奖券中含有m 张有奖的,k 个人购买,每人一张,求其中至少有一人中奖的概率. 解法一:试验可模拟为m 个红球,n m -个白球,编上号,从中任取k 个构成一组,则总数为kn C ,而全为白球的取法有k mn C -种,故所求概率为k n k mn C C --1.解法二:令i A —第i 人中奖,,.,2,1k i =B —无一人中奖,则kA A AB 21=,注意到 k A ,,A ,A 21不独立也不互斥:由乘法公式)()()()()(11213121-=k k A A A P A A A P A A P A P B P(1)(2)(1)121n m n m n m n m k n n n n k -------+=⋅⋅---+!,1k k n m n m k k n nC C k C C ---同除故所求概率为.6.从5双不同的鞋子中任取4只,这4只鞋子中“至少有两只配成一双”(事件A )的概率是多少?6 解:122585410()C C C P A C -=7.在[]1,1-上任取一点X ,求该点到原点的距离不超过15的概率. 解:此为几何概率问题:]11[,-=Ω,所求事件占有区间]5151[,-,从而所求概率为121525P ⋅==.8.在长度为a 的线段内任取两点,将其分成三段,求它们可以构成一个三角形的概率.解:设一段长为x ,另一段长为y ,样本空间:0,0,0x a y a x y a Ω<<<<<+<,所求事件满足: 0202()a x a y x y a x y ⎧<<⎪⎪⎪<<⎨⎪+>--⎪⎪⎩从而所求概率=14CDEOAB S S =.9.从区间(0,1)内任取两个数,求这两个数的乘积小于14的概率. 解:设所取两数为,,X Y 样本7 空间占有区域Ω, 两数之积小于14:14XY <,故所求概率 ()()1()()1S S D S D P S Ω--==Ω, 而11411()(1)1(1ln 4)44S D dx x =-=-+⎰,故所求概率为1(1ln4)4+. 10.设A 、B 为两个事件,()0.9P A =,()0.36P AB =,求()P AB . 解:()()()0.90.360.54P A B P A P AB =-=-=;11.设A 、B 为两个事件,()0.7P B =,()0.3P AB =,求()P A B . 解:()()1()1[()()]1[0.70.3]0.6P A B P AB P AB P B P AB ==-=--=--=.12.假设()0.4P A =,()0.7P AB =,若A 、B 互不相容,求()P B ;若A 、B 相互独立,求()P B .解:若A 、B 互不相容,()()()0.70.40.3P B P A B P A =-=-=;若A 、B 相互独立,则由()()()()()P A B P A P B P A P B +=+-可得()P B =0.5. 13.飞机投弹炸敌方三个弹药仓库,已知投一弹命中1,2,3号仓库的概率分别为0.01,0.02,0.03,求飞机投一弹没有命中仓库8的概率.解:设=A {命中仓库},则=A {没有命中仓库},又设=i A {命中第i 仓库})3,2,1(=i 则03.0)(,02.0)(,01.0)(321===A P A P A P ,根据题意321A A A A =(其中321,A A A 两两互不相容) 故123()()()()P A P A P A P A =++=0.01+0.02+0.03=0.06 所以94.006.01)(1)(=-=-=A P A P即飞机投一弹没有命中仓库的概率为0.9414.某市有50%住户订日报,有65%的住户订晚报,有85%的住户至少订这两种报纸中的一种,求同时订这两种报纸的住户的百分比 解: 设=A {用户订有日报},B ={用户订有晚报},则=B A {用户至少订有日报和晚报一种},=AB {用户既订日报又订晚报},已知85.0)(,65.0)(,5.0)(===B A P B P A P ,所以3.085.065.05.0)()()()(=-+=-+=B A P B P A P AB P 即同时订这两种报纸的住户的百分比为30%15.一批零件共100个,次品率为10%,接连9两次从这批零件中任取一个零件,第一次取出的零件不再放回,求第二次才取得正品的概率. 解:设=A {第一次取得次品},=B {第二次取得正品},则=AB {第二次才取得正品},又因为9990)(,10010)(==A B P A P ,则 0909.0999010010)()()(===A B P A P AB P16.设随机变量A 、B 、C 两两独立,A 与B 互不相容. 已知0)(2)(>=C P B P 且5()8P B C =,求()P A B .解:依题意0)(=AB P 且)()()(B P A P AB P =,因此有0)(=A P . 又因25()()()()()3()2[()]8P B C P B P C P B P C P C P C +=+-=-=,解方程085)(3)]([22=+-C P C P 151()[()]()442P C P C P B ==⇒=舍去,,()()()()()0.5.P A B P A P B P AB P B =+-== 17.设A 是小概率事件,即()P A ε=是给定的无论怎么小的正数.试证明:当试验不断地独立重复进行下去,事件A 迟早总会发生(以概率1发生).10 解:设事件i A —第i 次试验中A 出现(1,2,,)i n =,∵(),()1i i P A P A εε==-,(1,2,,)i n =,∴n 次试验中,至少出现A 一次的概率为 1212()1()n n P A A A P A A A =-121()n P A A A =-121()()()n P A P A P A =-⋅⋅⋅(独立性)1(1)n ε=-- ∴12lim ()1n n P A A A →∞=,证毕.18.三个人独立地破译一密码,他们能单独译出的概率分别是15,13,14,求此密码被译 出的概率.解:设A ,B ,C 分别表示{第一、二、三人译出密码},D 表示{密码被译出},则 ()()()1 P D P A B C P A B C ==- 1()1()()() P ABC P A P B P C =-=-42331..5345=-=.19.求下列系统(如图所示)的可靠度,假设元件i 的可靠度为ip ,各元件正常工作或失效相互独立解:(1)系统由三个子系统并联而成,每个子系统可靠度为123p p p ,从而所求概率为31231(1)p p p --;(2)同理得2312[1(1)]p p --.20.三台机器相互独立运转,设第一,第二,第三台机器不发生故障的概率依次为0.9,0.8,0.7,则这三台机器中至少有一台发生故障的概率. 解:设1A —第一第三台机器发生故障,2A —第一第三台机器发生故障,3A —第一第三台机 器发生故障,D —三台机器中至少有一台发生故障,则123()0.1,()0.2,()0.3P A P A P A ===,故 ()()()1 P D P A B C P A B C ==-1()1()()()10.90.80.70.496P A BC P A P B P C =-=-=-⨯⨯=21.设A 、B 为两事件,()0.7P A =,()0.6P B =,()0.4B P A =,求()P A B . 解:由()0.4B P A =得()0.4,()0.12,()()()0.48()P AB P AB P AB P B P AB P A ==∴=-=,()()()()0.82P A B P A P B P AB =+-=.22.设某种动物由出生算起活到20年以上的概率为0.8, 活到25年以上的概率为0.4. 问现年20岁的这种动物, 它能活到25岁以上的概率是多少?解:设A —某种动物由出生算起活到20年以上,()0.8P A =,B —某种动物由出生算起活到25年以上,()0.4P B =,则所求的概率为 ()()0.4()()0.5()()0.8P AB P B B B P P A A P A P A =====23.某地区历史上从某年后30年内发生特大洪水的概率为80%,40年内发生特大洪水的概率为85%,求已过去了30年的地区在未来10年内发生特大洪水的概率.解:设A —某地区后30年内发生特大洪灾,()0.8P A =,B —某地区后40年内发生特大洪灾,()0.85P B =,则所求的概率为()()0.15()1()1110.250.2()()P BA P B B B P P A A P A P A =-=-=-=-=. 24.设甲、乙两袋,甲袋中有2只白球,4只红球;乙袋中有3只白球,2只红球.今从甲袋中任意取一球放入乙袋中,再从乙袋中任意取一球.1)问取到白球的概率是多少?2)假设取到白球,问该球来自甲袋的概率是多少?解:设A :取到白球,B :从甲球袋取白球24431) ()(/)()(/)()5/9 6666P A P A B P B P A B P B =+⋅+⋅= (/)()2/92) (/)()/()2/5()5/9P A B P B P B A P AB P A P A ====25.一批产品共有10个正品和2个次品,任取两次,每次取一个,抽出后不再放回,求第二次抽出的是次品的概率.解:设i B 表示第i 次抽出次品,(1,2)i =,由全概率公式2221111()()()()()B B P B P B P P B P B B =+=211021*********⨯+⨯=. 26.一批晶体管元件,其中一等品占95%,二等品占4%,三等品占1%,它们能工作500h 的概率分别为90%,80%,70%,求任取一个元件能工作500h 以上的概率.解:设=iB {取到元件为i 等品}(i =1,2,3) ,=A {取到元件能工作500小时以上}则%1)(%,4)(%,95)(321===B P B P B P %70)(%,80)(%,90)(321===B A P B A P B A P 所以)()()()()()()(332211B A P B P B A P B P B A P B P A P ++==⋅+⋅+⋅=%70%1%80%4%90%950.89427.某药厂用从甲、乙、丙三地收购而来的药材加工生产出一种中成药,三地的供货量分别占40%,35%和25%,且用这三地的药材能生产出优等品的概率分别为0.65,0.70和0.85,求从该厂产品中任意取出一件成品是优等品的概率.如果一件产品是优质品,求它的材料来自甲地的概率解:以B i 分别表示抽到的产品的原材来自甲、乙、丙三地,A={抽到优等品},则有:123()0.35,()0.25,P B P B ==P(B )=0.4,1()0.65,A P B =32()0.7,()0.85A A P P B B ==所求概率为().P A 由全概率公式得:123123()()()()()()()A A A P A P B P P B P P B P B B B=++ 0.650.40.70.350.850.250.7175.=⨯+⨯+⨯=1111()()(|)0.26()0.3624()()0.7175P B A P B P A B B P A P A P A ==== 28.用某种检验方法检查癌症,根据临床纪录,患者施行此项检查,结果是阳性的概率为0.95;无癌症者施行此项检查,结果是阴性的概率为0.90.如果根据以往的统计,某地区癌症的发病率为0.0005.试求用此法检查结果为阳性者而实患癌症的概率.解:设A={检查结果为阳性},B={癌症患者}.据题意有()0.95,()0.90,A A P P B B ==()0.0005,P B =所求概率为().B P A()0.10,()0.9995.AP P B B ==由Bayes 公式得 ()()()()()()()AP B P B B P A A A P B P P B P B B=+ 0.00050.950.00470.47%0.00050.950.99950.10⨯===⨯+⨯29.3个射手向一敌机射击,射中的概率分别是0.4,0.6和0.7.如果一人射中,敌机被击落的概率为0.2;二人射中,被击落的概率为0.6;三人射中则必被击落.(1)求敌机被击落的概率;(2)已知敌机被击落,求该机是三人击中的概率.解:设A={敌机被击落},B i ={i 个射手击中},i=1,2,3. 则B 1,B 2,B 3互不相容.由题意知:132()0.2,()0.6,()1A A A P P P B B B ===,由于3个射手射击是互相独立的,所以 1()0.40.40.30.60.60.30.60.40.70.324P B =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=2()0.40.60.30.40.70.40.60.70.60.436P B =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯= 3()0.40.60.70.168P B =⨯⨯=因为事件A 能且只能与互不相容事件B 1,B 2,B 3之一同时发生.于是(1)由全概率公式得31()()(|)0.3240.20.4360.60.16810.4944i i i P A P B P A B ===⨯+⨯+⨯=∑(2)由Bayes 公式得33331()(|)0.168(|)0.340.4944()(|)i ii P B P A B P B A P B P A B ====∑.30.某厂产品有70%不需要调试即可出厂,另30%需经过调试,调试后有80%能出厂,求(1)该厂产品能出厂的概率;(2)任取一出厂产品未经调试的概率.解:A ——需经调试 A ——不需调试B ——出厂则%30)(=A P ,%70)(=A P ,%80)|(=A B P ,1)|(=A B P(1)由全概率公式:)()()()()(A B P A P A B P A P B P ⋅+⋅=%941%70%80%30=⨯+⨯=.(2)由贝叶斯公式:9470%94)()()()()(=⋅==A B P A P B P B A P B A P .31.进行一系列独立试验,假设每次试验的成功率都是p ,求在试验成功2次之前已经失败了3次的概率.解:所求的概率为234(1)p p -. 32.10个球中有一个红球,有放回地抽取,每次取一球,求直到第n 次才取k 次()k n ≤红球的概率 解:所求的概率为11191010k n k k n C ---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭33.灯泡使用寿命在1000h 以上的概率为0.2,求3个灯泡在使用1000h 后,最多只有一个坏了的概率.解:由二项概率公式所求概率为312333(0)(1)0.2(0.2)0.80.104P P C +=+⋅= 34.(Banach 问题)某人有两盒火柴,每盒各有n 根,吸烟时任取一盒,并从中任取一根,当他发现有一盒已经用完时,试求:另一盒还有r 根的概率.解:设试验E —从二盒火柴中任取一盒,A —取到先用完的哪盒,1()2P A =, 则所求概率为将E 重复独立作2n r -次A 发生n 次的概率,故所求的概率为222211()()()222n n n n r n r n rn r n r C P n C -----==.第二章思考题1. 随机变量的引入的意义是什么?答:随机变量的引入,使得随机试验中的各种事件可通过随机变量的关系式表达出来,其目的是将事件数量化,从而随机事件这个概念实际上是包容在随机变量这个更广的概念内.引入随机变量后,对随机现象统计规律的研究,就由对事件及事件概率的研究转化为随机变量及其取值规律的研究,使人们可利用数学分析的方法对随机试验的结果进行广泛而深入的研究. 随机变量概念的产生是概率论发展史上的重大事件,随机事件是从静态的观点来研究随机现象,而随机变量的引入则变为可以用动态的观点来研究.2.随机变量与分布函数的区别是什么?为什么要引入分布函数?答:随机变量与分布函数取值都是实数,但随机变量的自变量是样本点,不是普通实数,故随机变量不是普通函数,不能用高等数学的方法进行研究,而分布函数一方面是高等数学中的普通函数,另一方面它决定概率分布,故它是沟通概率论和高等数学的桥梁,利用它可以将高度数学的方法得以引入.3. 除离散型随机变量和连续型随机变量,还有第三种随机变量吗?答:有,称为混合型. 例:设随机变量[]2,0~U X ,令⎩⎨⎧≤≤<≤=.21,1;10,)(x x x x g则随机变量)(X g Y =既非离散型又非连续型. 事实上,由)(X g Y =的定义可知Y 只在[]1,0上取值,于是当0<y 时,0)(=y F Y ;1≥y 时,1)(=y F Y;当10<≤y 时,()2))(()(yy X P y X g P y F Y =≤=≤=于是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤<=.1,1;10,2;0,0)(y y y y y F Y首先Y 取单点{1}的概率021)01()1()1(≠=--==YY F F Y P ,故Y 不是连续型随机变量.其次其分布函数不是阶梯形函数,故Y 也不是离散型随机变量. 4.通常所说“X 的概率分布”的确切含义是什么?答:对离散型随机变量而言指的 是分布函数或分布律,对连续型随机变量而言指的是分布函数或概率密度函数.5.对概率密度()f x 的不连续点,如何由分布函数()F x 求出()f x ?答:对概率密度()f x 的连续点,()()f x F x '=,对概率密度()f x 的有限个不连续点处,可令()f x c =(c 为常数)不会影响分布函数的取值.6.连续型随机变量的分布函数是可导的,“概率密度函数是连续的”这个说法对吗?为什么? 答:连续型随机变量密度函数不一定是连续的,当密度函数连续时其分布函数是可导的,否则不一定可导.习 题1.在测试灯泡寿命的试验中,试写出样本空间并在其上定义一个随机变量.解:每一个灯泡的实际使用寿命可能是),0[+∞中任何一个实数, 样本空间为}0|{≥=Ωt t ,若用X 表示灯泡的寿命(小时),则X 是定义在样本空间}0|{≥=Ωt t 上的函数,即t t X X ==)(是随机变量.2.一报童卖报, 每份0.15元,其成本为0.10元. 报馆每天给报童1000份报, 并规定他不得把卖不出的报纸退回. 设X 为报童每天卖出的报纸份数, 试将报童赔钱这一事件用随机变量的表达式表示.解:{报童赔钱}⇔{卖出的报纸钱不够成本},而当 0.15 X <1000× 0.1时,报童赔钱,故{报童赔钱} ⇔{X ≤666}3.若2{}1P X x β<=-,1{}1P X x α≥=-,其中12x x <,求12{}P x X x ≤<.解:1221{}{}{}P x X x P X x P X x ≤<=<-<21{}[1{}]1P X x P X x αβ=<--≥=--.4.设随机变量X 的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=1,110,0,0)(2x x x x x F试求(1)⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤21X P (2)⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<-431X P (3)⎭⎬⎫⎩⎨⎧>21X P解:41)21(21)1(==⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤F X P ; (2)1690169)1()43(431=-=--=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<-F F X P ; (3)43)21(121121=-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧>F X P X P .5.5个乒乓球中有2个新的,3个旧的,如果从中任取3个,其中新的乒乓球的个数是 一个随机变量,求这个随机变量的概率分布律和分布函数,并画出分布函数的图形. 解:设X 表示任取的3个乒乓球中新的乒乓球的个数,由题目条件可知,X 的所有可能取值为0,1,2,∵33351{0}10C P X C ===,1223356{1}10C C P X C ===,2133353{2}10C C P X C ===∴随机变量X 的概率分布律如下表所示: 由()k kx xF x P ≤=∑可求得()F x 如下:0 ,0{0} ,01(){0}{1} ,12{0}{1}{2} x P X x F x P X P X x P X P X P X <=≤<==+=≤<=+=+= ,2x ⎧⎪⎪⎨⎪⎪≥⎩X0 1 2 P0.10.60.30 ,00.1 ,010.7 ,121 ,2x x x x <⎧⎪≤<⎪=⎨≤<⎪⎪≥⎩,()F x 的图形如图所示.6.某射手有5发子弹,射击一次命中率为0.9,如果他命中目标就停止射击,命不中就一直射击到用完5发子弹,求所用子弹数X 的概率分布 解:7 .一批零件中有9个合格品与3个废品,安装机器时,从这批零件中任取一个,如果每次取出的废品不再放回,求在取出合格品之前已取出的废品数的分布律.解:设{}ii A =第次取得废品,{}iAi =第次取得合格品,由题意知,废品数X 的可能值为0,1,2,3,事件{0}X =即为第一次取得合格品,事件{1}X =即为第一次取出的零件为废品,而第二次取出的零件为合格品,于是有19{0}()0.7512P X P A ====,21211399{1}()0.2045121144A P X P A A P A P A ====⋅=≈()(),3212311123299{2}()0.0409121110220A A P X P A A A P A P PA A A ===⋅⋅=≈()()()=32412341112123{3}()321910.00451211109220A A A P X P A A A A P A PPPA A A A A A ====⋅⋅⋅=≈()()()()所以X 的分布律见下表8.从101-中任取一个数字,若取到数字)101( =i i 的概率与i 成正比,即 1,2,,10P X i ki i ===(),(),求k .解:由条件 1,2,,10P X i ki i ===(),(),由分布律的性质1011i i p ==∑,应有1011i ki ==∑,155k =.9 .已知随机变量X 服从参数1=λ的泊松分布,试满足条件{}01.0=>N X P 的自然数N . 解:因为{}{}{}99.0101.0),1(~=>-=≤=>N X P N X P Y X P P X 所以从而{}99.0!0==≤∑=-Nk k e N X P λ查附表得4=N10.某公路一天内发生交通事故的次数X 服从泊松分布,且一天内发生一次交通事故的概率与发生两次交通事故的概率相等,求一周内没有交通事故发生的概率. 解:设~()X P λ,由题意:)1(=XP =)2(=X P ,2!2!1λλλλ--=e e ,解得2=λ,所求的概率即为222!0)0(--===e e X P .11 . 一台仪器在10000个工作时内平均发生10次故障,试求在100个工作时内故障不多于两次的概率.解:设X 表示该仪器在100个工作时内故障发生的次数,1~(100,)1000X B ,所求的概率即为)0(=X P ,)1(=X P ,)2(=X P 三者之和.而100个工作时内故障平均次数为=μ1.010001100=⨯,根据Poisson 分布的概率分布近似计算如下:99984.000452.009048.090484.0!2!1!0)2(21=++=++≈≤---μμμμμμe eeX P故该仪器在100个工作时内故障不多于两次的概率为0.99984.12.设[]~2,5X U ,现对X 进行三次独立观察,试求至少有两次观察值大于3的概率. 解:()1,2530 ,x f x ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其余,令()3A X =>,则()23p P A ==,令Y 表示三次重复独立观察中A 出现次数,则2~3,3Y B ⎛⎫⎪⎝⎭,故所求概率为()21323332121202333327P Y C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫≥=+=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.13.设某种传染病进入一羊群,已知此种传染病的发病率为2/3,求在50头已感染的羊群中发病头数的概率分布律.解:把观察一头羊是否发病作为一次试验,发病率3/2=p ,不发病率3/1=q ,由于对50头感染羊来说是否发病,可以近似看作相互独立,所以将它作为50次重复独立试验,设50头羊群中发病的头数为X ,则X (50,2/3)X B ,X 的分布律为{})50,,2,1,0(31325050=⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==-k C k X P kkk14.设随机变量X的密度函数为2, 01()0 , x x p x <<⎧=⎨⎩其它,用Y 表示对X 的3次独立重复观察中事件1{}2X ≤出现的次数,求{2}P Y =. 解:(3,)Y p B ,1211{}224p P Xxdx =≤==⎰,由二项概率公式223139{2}()()4464P Y C ===.15.已知X 的概率密度为2,0()0,x ax e x f x x λ-⎧>=⎨≤⎩,试求:(1)、未知系数a ;(2)、X 的分布函数()F x ;(3)、X 在区间1(0,)λ内取值的概率. 解:(1)由⎰+∞-=021dx eax xλ,解得.22λ=a(2) ()()()F x P X x f x dx+∞-∞=≤=⎰,∴当x ≤0时0)(=x F ,当x >0时,222()1(22)2x xxe F x ax edx x x λλλλ--==-++⎰,∴2211(22),0()20, 0x x x F x x λλ⎧-++>⎪=⎨⎪≤⎩ .(3)511(0)()(0)12P X F F e λλ<<=-=-.16.设X 在(1,6)内服从均匀分布,求方程210x Xx ++=有实根的概率.解: “方程210x Xx ++=有实根”即{2}X>,故所求的概率为{2}P X >=45.17.知随机变量X 服从正态分布2(,)N a a ,且Y aX b =+服从标准正态分布(0,1)N ,求,a b .解:由题意222(0)1a b a a a ⎧+=>⎨⋅=⎩解得:1,1a b ==- 18.已知随机变量X 服从参数为λ的指数分布,且X 落入区间(1,2)内的概率达到最大,求λ. 解:2(12)(1)(2)()P X P X P X e e g λλλ--<<=>->=-=令,令()0g λ'=,即022=---λλe e,即021=--λe,∴.2ln =λ19.设随机变量(1,4)X N ,求(0 1.6)P X ≤<,(1)P X <.解:01 1.61(0 1.6)()22P X P X --≤<=≤<1.6101()()0.309422--=Φ-Φ=11(1)()(0)0.52P X -<==Φ=Φ=.20.设电源电压()2~220,25X N ,在200,200240,240X X X ≤<≤>电压三种情形下,电子元件损坏的概率分别为0.1,0.001,0.2,求:(1)该电子元件损坏的概率α;(2)该电子元件损坏时,电压在200~240伏的概率β.解:设()()()123200,200240,240A X A X A X =≤=<≤=>, D —电子元件损坏,则 (1)123,,A A A 完备,由全概率公式()()()()123123D D D P D P A P P A P P A P A A A α⎛⎫⎛⎫⎛⎫==++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,今()()()12002200.810.80.21225P A -⎛⎫=Φ=Φ-=-Φ= ⎪⎝⎭, 同理()()()()20.80.820.810.576P A =Φ-Φ-=Φ-=,()310.2120.5760.212P A =--=, 从而()0.062P D α==.(2)由贝叶斯公式()()222D P A P A A P D P D β⎛⎫ ⎪⎝⎭⎛⎫== ⎪⎝⎭0.5760.0010.0090.062⨯==.21.随机变量X 的分布律为求2Y X =的分布律.22.变量X 服从参数为0.7的0-1分布,求2X及22X X-的概率分布.解.X 的分布为易见,2X 的可能值为0和1;而22XX-的可能值为1-和0,由于2{}P Xu =={P X }u =(0,1)u =,可见2X 的概率分布为:由于2{21}{1}0.7P XX P X -=-===,2{20}{0}0.3P XX P X -====,可得22X X-的概率分布为23.X 概率密度函数为21()(1)Xf x x π=+,求2Y X =的概率密度函数()Yf y .解:2y x=的反函数为2y x =,代入公式得22()()()22(4)Y X y y f y f y π'==+.24.设随机变量[]~0,2X U ,求随机变量2Y X =在()0,4内概率密度()Yfy .解法一(分布函数法) 当0y <时,()0,4YF y y =>时()1Y F y =,当04y ≤≤时, ()(YXF y P X F ==从而()40 ,XY f y f y ⎧=≤≤⎪=⎨⎪⎩其余解法二(公式法)2y x =在()0,2单增,由于反函数x =在()0,4可导,'yx =,从而由公式得()40 ,XY f y f y ⎧=≤≤⎪=⎨⎪⎩其余25.,0)0 ,0x X e x f x x -⎧≥=⎨<⎩(,求XY e =的密度.解法一(分布函数法)因为0X ≥,故1Y >,当1y >时,()()()ln ln Y X F y P X y F y =≤=,()()ln 2111ln ,10 ,1y X Y f y ey y y y f y y -⎧==>⎪∴=⎨⎪≤⎩.解法二(公式法)xy e =的值域()1,+∞,反函数ln x y =,故()()[]21ln ln ' ,10 ,1X Y f y y y y f y y ⎧=>⎪=⎨⎪≤⎩.26.设随机变量X 服从(0,1)上的均匀分布,分别求随机变量XY e =和ln Z X =的概率密度()Yfy 和()Z f z .解:X 的密度为1, 01() x f x ⎧<<⎪=⎨⎪⎩0,若其它, (1)函数xy e =有唯一反函数,ln x y =,且1Y e <<,故(ln )(ln ), 1() X f y y y e f y '⎧<<⎪=⎨⎪⎩0,其它1, 1 y ey ⎧<<⎪=⎨⎪⎩0,其它.(2)在区间(0,1)上,函数ln ln z x x ==-,它有唯一反函数zx e -=,且0Z >,从而()(), () z z X Z f e e f z -->⎧'⎪=⎨⎪⎩z 00,其它0, zz e ->⎧⎪=⎨⎪⎩0,其它.27. 设()Xfx 为X 的密度函数,且为偶函数,求证X-与X 有相同的分布.证:即证Y X =-与X 的密度函数相同,即()()Y X f y f y =.证法一(分布函数法)()()()()()11Y X F y P X y P X y P X y F y =-≤=≥-=-≤-=--,()()()()1Y X X p y p y p y ∴=--⋅-=,得证.证法二(公式法)由于y x =-为单调函数,∴()()()()()'YXX X p y p y y p y p y =--=-=.28.设随机变量X服从正态分布),(2σμN ,,>+∞<<-∞σμ ,)(x F 是X 的分布函数,随机变量)(X F Y =. 求证Y 服从区间]1,0[上的均匀分布.证明:记X 的概率密度为)(x f ,则⎰∞-=xdt t f X F .)()( 由于)(x F 是x 的严格单调增函数,其反函数)(1x F-存在,又因1)(0≤≤x F ,因此Y 的取值范围是]1,0[. 即当10≤≤y 时{}{}{}1()()()Y F y P Y y P F X y P X F y -=≤=≤=≤.)]([1y y F F ==-于是Y 的密度函数为1, 01()0, Y y p y ≤<⎧=⎨⎩其它即Y 服从区间]1,0[上的均匀分布.第 三 章思 考 题1(答:错)2 (答:错) 3答:错)习 题 三1 解:)(}1,1{}1,1{}{已知独立==+-=-===Y X P Y X P Y X P2121212121}1{}1{}1{}1{=⋅+⋅===+-=-==Y P X P Y P X P .由此可看出,即使两个离散随机变量Y X 与相互独立同分布, YX 与一般情况下也不会以概率1相等.2解:由∑∑ijijp =1可得:14.0=b ,从而得:.1,0;2,1,0}{}{},{=======j i j Y P i X P j Y i X P 故Y X ,相互独立.7.035.015.014.006.0}1,1{}0,1{}1,0{}0,0{)1,1(}1,1{=+++===+==+==+====≤≤Y X P Y X P Y X P Y X P F Y X P 3解:)()1,1(11AB P Y X P p ====,121)()(==A B P A P )()0,1(12B A P Y X P p ==== 613241)()(=⋅==A B P A P 因为:,32)(1)(:,1)()(=-==+A B P A B P A B P A B P 所以121)()()()()()()()1,0(21=-=-=-=====AB P B A P AB P AB P B P A B P B A P Y X P p 12812161121122=---=p ,结果如表所示.4 解: X 的边缘分布律为32}2{,31}1{====X P X PY的边缘分布律为21}2{,21}1{====X P Y P1=Y 的条件下X的条件分布为}1{}1,1{}11{=======Y P Y X P Y X P 1}1{}1,2{}12{=======Y P Y X P Y X P2=X 的条件下Y 的条件分布为,32}2{}1,2{}21{=======X P Y X P X Y P ,31}2{}2,2{}22{=======X P Y X P X Y P5 解:(1)由乘法公式容易求得),(Y X 分布律.易知,放回抽样时,61}1{,65}0{,61}1{,65}0{========Y P Y P X P X P且}{}{},{i X P i X j Y P j Y i X P ======.1,0;1,0}{}{=====j i j Y P i X P 于是),(Y X 的分布律为(2)不放回抽样,则,61}1{,65}0{====X P X P ,在第一次抽出正品后,第二次抽取前的状态:正品9个,次品2个.故,112}01{,119}00{======X Y P X Y P又在第一次抽出次品后,第二次抽取前状态:正品10个,次品1个.故111}11{,1110}10{======X Y P X Y P ,且1,0,}{}{},{=======j i i X P i X jY P j Y i X P于是),(Y X 的分布律为放回抽样时,两次抽样互不影响,故彼此相互独立;不放回抽样,第一次抽样对第二次抽样有影响,不相互独立. 6解 ),(y x f =⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤--.,0,,,))((1否则d y c b x a d c a b⎪⎩⎪⎨⎧><≤≤-=b x ax b x a ab x f X ,0,1)(, )(y fY=⎪⎩⎪⎨⎧><≤≤-d y cy d y c d c ,0,1随机变量X 及Y 是独立的. 7 解 (1)),(y x f =yx y x F ∂∂∂),(2=)9)(4(6222y x ++π(2)X 的边缘分布函数=+∞=),()(x F x F X )22)(22(12ππππ++x arctg =)22(1xarctg +ππ.由此得随机变量X 的边缘分布密度函数==)()(x F dxdx f X X )4(22x +π同理可得随机变量Y 的边分布函数 =+∞=),()(y F y F Y)32)(22(12y arctg ++ππππ=)32(1yarctg +ππ Y的边缘分布密度函数==)()(y F dy dy f y Y )9(32y +π(3)由(2)知)(x f X )(y f Y =)4(22x +π)9(32y +π=),(y x f ,所以X 与Y 独立.8 解 因为X 与Y 相互独立,所以Y X ,的联合概率密度为∞<<-∞∞<<-∞==+-y x e y f x f y x f y x Y X ,,21)()(),(222π⎰⎰⎰⎰≤+---+--=-====120102110222222222,12121}2{y x r r y x e erdred dxdye Z P πθππ⎰⎰⎰⎰≤+≤----+--=-====41202122121222222222,2121}1{y x r r y x e ee rdr e d dxdye Z P πθππ⎰⎰⎰⎰>+∞-∞--+-=-====420222222222222,2121}0{y x r r y x e e rdr e d dxdye Z P πθππ所以,Z的分布律为:.1}2{,}1{,}0{212212-----==-====eZ P ee Z P e Z P9解:(1)由 ⎰⎰∞+∞-∞+∞-dxdy y x f ),(=1,即⎰⎰∞+∞++-==⇒0)43(121A dxdy e A y x ,即 12=⇒A因此),(y x f =,,00,0,12)43(⎪⎩⎪⎨⎧>>+-其它y x e y x(2)X 的边缘概率密度为 当0>x ,)(x f X =⎰∞∞-dy y x f ),(=⎰∞+-0)43(12dy e y x =xe 33-,当0>y ,)(y fY=⎰∞),(dxy x f =⎰∞+-0)43(12dx e y x =ye 44-,可知边缘分布密度为:)(x fX=⎪⎩⎪⎨⎧>-,,0,0,33其它x e x)(y f Y =⎪⎩⎪⎨⎧>-,,00,44其它y e y(3)}20,10{≤<≤<Y X P =⎰⎰--+---=102083)43()1)(1(12e e dxdy e y x10解 因为 ⎰⎰∞+∞-∞+∞-dxdy y x f ),(=1,即⎰⎰=101021dy y xdx c ,6,13121==⋅⋅c c对任意10<<x ,)(x f X =⎰∞+∞-dy y x f ),(=⎰=10226x dy xy , 所以)(x fX =⎩⎨⎧<<,,0,10,2其它x x对任意10<<y ,)(y f Y =⎰∞+∞-dx y x f ),(=⎰=1022,36y dx xy , 所以)(y fY=⎪⎩⎪⎨⎧<<,,0,10,32其它y y故),(y x f =)(x fX)(y f Y ,所以X 与Y 相互独立.11解 由 2ln 12211===⎰e e D x dx xS当21ex ≤≤时,,2121),()(1010xdy dy y x f x f x x X ===⎰⎰其它)(x f X =0.所以:.41)2(=X f 12解(1)X ,Y 的边缘密度为分布密度为:)(x f X =⎰-<<=x x x x dy 10,21 )(y f Y =⎰<<--=111,11y y y dx故)(y x fYX =)(),(y f y x f Y=⎪⎩⎪⎨⎧<-,,0,,11其它x y y)(x y f X Y =)(),(x f y x f X =⎪⎩⎪⎨⎧<<,,0,1,21其它y x x(2)因为)(x f X)(y f Y y -=1≠),(y x f =1,故X 与Y 不相互独立.13证 设X 的概率密度为)(x f ,Y 的概率密度为)(y f ,由于Y X ,相互独立,故),(Y X 的联合密度为),(y x f =)(x f )(y f .于是⎰⎰⎰⎰≤∞+∞-∞+==≤yx x dyy f dx x f dxdy y f x f Y X P )()()()(}{ ⎰⎰⎰⎰>∞+∞-∞+==>yx ydxx f dy y f dxdy y f x f Y X P )()()()(}{ 交换积分次序可得:⎰⎰∞+∞+∞-=xdy y f dx x f )()(⎰⎰∞+∞+∞-ydxx f dy y f )()(所以=≤}{Y X P =>}{Y X P 1-}{Y X P ≤故21}{=≤Y X P . 14解 设)(A P p =,由于Y X ,相互独立同分布,于是有,)(}{}{)(p A P a X P a Y P B P ==≤=≤=则,1)(p B P -=又=)(B A P )(A P +)(B P -)(A P )(B P =p+()1p --p )1p -=9712=+-p p解得:,32,3121==p p因而a 有两个值.由于2121}{)(1-==≤=⎰a dx a X P A P a ,所以,当311=p时,由21-a =31得35=a 当322=p时,由21-a =32得37=a . 15解 (1)Y X +的可能取值为2,3,4.且,41}1{}1{}2{=====+Y P X P Y X P 2141414141}1,2{}2{}1{}3{=⋅+⋅===+====+Y X P Y P X P Y X P,41}2{}2{}4{=====+Y P X P Y X P故有:;41}4{,21}3{,41}2{==+==+==+Y X P Y X P Y X P (2)由已知易得 ;21}42{,21}22{====X P X P 16解 由已知得所以有17证明:对任意的,,,1,021n nk += 我们有∑=-====ki i k Y P i X P k Z P 0}{}{}{(因为X 与Y 相互独立)=∑=-----ki i k n i k i k n i n i i n q p C q p C 0)(2211=∑=-+-ki k n n k i k n i n q p C C 02121)( (利用组合公式 ∑=+-=ki k nm i k n im C C C)=kn n k k nn q p C -++2121即Y X Z +=~),(21p n nb +18解 Y X Z +=在[0,2]中取值,按卷积公式Z 的分布密度为:,)()()()(1dx x z f dx x z f x f z f Y Y X Z -=-=⎰⎰∞+∞-⎩⎨⎧≤≤-≤≤⎩⎨⎧≤-≤≤≤,1,10:,10,10:z x z x x z x 即其中如图,从而:⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤≤-=≤≤==⎰⎰-。

《概率论与数理统计》习题及答案

《概率论与数理统计》习题及答案

概率论与数理统计第一部份 习题第一章 概率论基本概念一、填空题1、设A ,B ,C 为3事件,则这3事件中恰有2个事件发生可表示为 。

2、设3.0)(,1.0)(=⋃=B A P A P ,且A 与B 互不相容,则=)(B P 。

3、口袋中有4只白球,2只红球,从中随机抽取3只,则取得2只白球,1只红球的概率 为 。

4、某人射击的命中率为0.7,现独立地重复射击5次,则恰有2次命中的概率为 。

5、某市有50%的住户订晚报,有60%的住户订日报,有80%的住户订这两种报纸中的一种,则同时订这两种报纸的百分比为 。

6、设A ,B 为两事件,3.0)(,7.0)(==B A P A P ,则=)(B A P 。

7、同时抛掷3枚均匀硬币,恰有1个正面的概率为 。

8、设A ,B 为两事件,2.0)(,5.0)(=-=B A P A P ,则=)(AB P 。

9、10个球中只有1个为红球,不放回地取球,每次1个,则第5次才取得红球的概率 为 。

10、将一骰子独立地抛掷2次,以X 和Y 分别表示先后掷出的点数,{}10=+=Y X A {}Y X B >=,则=)|(A B P 。

11、设B A ,是两事件,则B A ,的差事件为 。

12、设C B A ,,构成一完备事件组,且,7.0)(,5.0)(==B P A P 则=)(C P ,=)(AB P 。

13、设A 与B 为互不相容的两事件,,0)(>B P 则=)|(B A P 。

14、设A 与B 为相互独立的两事件,且4.0)(,7.0)(==B P A P ,则=)(AB P 。

15、设B A ,是两事件,,36.0)(,9.0)(==AB P A P 则=)(B A P 。

16、设B A ,是两个相互独立的事件,,4.0)(,2.0)(==B P A P 则=)(B A P 。

17、设B A ,是两事件,如果B A ⊃,且2.0)(,7.0)(==B P A P ,则=)|(B A P 。

经济数学基础——概率统计课后习题答案

经济数学基础——概率统计课后习题答案

经济数学基础——概率统计课后习题答案1⽬录习题⼀ (1)习题⼆ (16)习题三 (44)习题四 (73)习题五 (97)习题六 (113)习题七 (133)1习题⼀写出下列事件的样本空间:(1) 把⼀枚硬币抛掷⼀次;(2) 把⼀枚硬币连续抛掷两次;(3) 掷⼀枚硬币,直到⾸次出现正⾯为⽌;(4) ⼀个库房在某⼀个时刻的库存量(假定最⼤容量为M ).解 (1) Ω={正⾯,反⾯} △ {正,反}(2) Ω={(正、正),(正、反),(反、正),(反、反)}(3) Ω={(正),(反,正),(反,反,正),…}(4) Ω={x ;0 ≤x ≤ m }掷⼀颗骰⼦的试验,观察其出现的点数,事件A =“偶数点”,B =“奇数点”,C =“点数⼩于5”,D =“⼩于5的偶数点”,讨论上述各事件间的关系.解 {}{}{}{}{}.4,2,4,3,2,1,5,3,1,6,4,2,6,5,4,3,2,1=====D C B A ΩA 与B 为对⽴事件,即B =A ;B 与D 互不相容;A ?D ,C ?D.3. 事件A i 表⽰某个⽣产单位第i 车间完成⽣产任务,i =1,2,3,B 表⽰⾄少有两个车间完成⽣产任务,C 表⽰最多只有两个车间完成⽣产任务,说明事件B 及B -C 的含义,并且⽤A i (i =1,2,3)表⽰出来. 解 B 表⽰最多有⼀个车间完成⽣产任务,即⾄少有两个车间没有完成⽣产任务.313221A A A A A A B ++=B -C 表⽰三个车间都完成⽣产任务321321321321+++A A A A A A A A A A A A B =321321321321321321321A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A C ++++++= 321A A A C B =-4. 如图1-1,事件A 、B 、C 都相容,即ABC ≠Φ,把事件A +B ,A +B +C ,AC +B ,C -AB ⽤⼀些互不相容事件的和表⽰出来.解 B A A B A +=+C B A B A A C B A ++=++C B A B B AC +=+BC A C B A C B A AB C ++=- 5.两个事件互不相容与两个事件对⽴的区别何在,举例说明.解两个对⽴的事件⼀定互不相容,它们不可能同时发⽣,也不可能同时不发⽣;两个互不相容的事件不⼀定是对⽴事件,它们只是不可能同时发⽣,但不⼀定同时不发⽣. 在本书第6页例2中A 与D 是对⽴事件,C 与D 是互不相容事件. 6.三个事件A 、B 、C 的积是不可能事件,即ABC =Φ,问这三个事件是否⼀定互不相容?画图说明.解不⼀定. A 、B 、C 三个事件互不相容是指它们中任何两个事件均互不相容,即两两互不相容.如图1-2,事件ABC =Φ,但是A 与B 相容.7. 事件A 与B 相容,记C =AB ,D =A+B ,F =A -B. 说明事件A 、C 、D 、F 的关系.解由于AB ?A ?A+B ,A -B ?A ?A+B ,AB 与A -B 互不相容,且A =AB +(A -B).因此有A =C +F ,C 与F 互不相容,D ?A ?F ,A ?C.8. 袋内装有5个⽩球,3个⿊球,从中⼀次任取两个,求取到的两个球颜⾊不同的概率.解记事件A 表⽰“取到的两个球颜⾊不同”. 则有利于事件A 的样本点数⽬#A =1315C C .⽽组成试验的样本点总数为#Ω=235+C ,由古典概率公式有图1-1 图1-22P (A )==Ω##A 2815281315=C C C (其中#A ,#Ω分别表⽰有利于A 的样本点数⽬与样本空间的样本点总数,余下同)9. 计算上题中取到的两个球中有⿊球的概率.解设事件B 表⽰“取到的两个球中有⿊球”则有利于事件B 的样本点数为#25C B =.1491)(1)(2825=-==C C B P B P - 10. 抛掷⼀枚硬币,连续3次,求既有正⾯⼜有反⾯出现的概率.解设事件A 表⽰“三次中既有正⾯⼜有反⾯出现”, 则A 表⽰三次均为正⾯或三次均为反⾯出现. ⽽抛掷三次硬币共有8种不同的等可能结果,即#Ω=8,因此43821#1)(1)(=-=Ω-=-=A A P A P # 11. 10把钥匙中有3把能打开⼀个门锁,今任取两把,求能打开门锁的概率.解设事件A 表⽰“门锁能被打开”. 则事件A 发⽣就是取的两把钥匙都不能打开门锁.15811)(1)(21027==Ω-=-=C C A A P A P -##从9题-11题解中可以看到,有些时候计算所求事件的对⽴事件概率⽐较⽅便.12. ⼀副扑克牌有52张,不放回抽样,每次⼀张,连续抽取4张,计算下列事件的概率:(1)四张花⾊各异;(2)四张中只有两种花⾊.解设事件A 表⽰“四张花⾊各异”;B 表⽰“四张中只有两种花⾊”.,113113113113452##C C C C A , C Ω==)+#2132131133131224C C C C C C B (= 105013##)(4524.C ΩA A P === 30006048+74366##)(452 )(.C ΩB B P === 13. ⼝袋内装有2个伍分、3个贰分,5个壹分的硬币共10枚,从中任取5枚,求总值超过壹⾓的概率. 解设事件A 表⽰“取出的5枚硬币总值超过壹⾓”.)+(+C =##25231533123822510C C C C C C A C Ω , = 50252126)(.ΩA A P ==##= 14. 袋中有红、黄、⿊⾊球各⼀个,每次任取⼀球,有放回地抽取三次,求下列事件的概率:A =“三次都是红球” △ “全红”,B =“全⽩”,C =“全⿊”,D =“⽆红”,E =“⽆⽩”,F =“⽆⿊”,G =“三次颜⾊全相同”,H =“颜⾊全不相同”,I =“颜⾊不全相同”.解#Ω=33=27,#A =#B =#C =1,#D =#E =#F =23=8,#G =#A +#B +#C =3,#H =3!=6,#I =#Ω-#G =243271)()()(===C P B P A P 278)()()(===F P E P D P 982724)(,92276)(,91273)(======I P H P G P 15. ⼀间宿舍内住有6位同学,求他们中有4个⼈的⽣⽇在同⼀个⽉份的概率.解设事件A 表⽰“有4个⼈的⽣⽇在同⼀个⽉份”.#Ω=126,#A =21124611C C 0073.01221780##)(6==ΩA A P = 16. 事件A 与B 互不相容,计算P )(B A +.解由于A 与B 互不相容,有AB =Φ,P (AB )=0.1)(1)()(=-==+AB P AB P B A P17. 设事件B ?A ,求证P (B )≥P (A ).证∵B ?A∴P (B -A )=P (B ) - P (A )∵P (B -A )≥0∴P (B )≥P (A )18. 已知P (A )=a ,P (B )=b ,ab ≠0 (b >0.3a ),P (A -B )=0.7a ,求P (B +A ),P (B -A ),P (B +A ).解由于A -B 与AB 互不相容,且A =(A -B )+AB ,因此有P (AB )=P (A )-P (A -B )=0.3aP (A +B )=P (A )+P (B )-P (AB )=0.7a +bP (B -A )=P (B )-P (AB )=b -0.3a P(B +A )=1-P (AB )=1-0.3a19. 50个产品中有46个合格品与4个废品,从中⼀次抽取三个,计算取到废品的概率.解设事件A 表⽰“取到废品”,则A 表⽰没有取到废品,有利于事件A 的样本点数⽬为#A =346C ,因此P (A )=1-P (A )=1-3503461C C ΩA -=##=0.225520. 已知事件B ?A ,P (A )=ln b ≠ 0,P (B )=ln a ,求a 的取值范围.解因B ?A ,故P (B )≥P (A ),即ln a ≥ln b ,?a ≥b ,⼜因P (A )>0,P (B )≤1,可得b >1,a ≤e ,综上分析a 的取值范围是:1<b ≤a ≤e21. 设事件A 与B 的概率都⼤于0,⽐较概率P (A ),P (AB ),P (A +B ),P (A )+P (B )的⼤⼩(⽤不等号把它们连接起来).解由于对任何事件A ,B ,均有AB ?A ?A +B且P (A +B )=P (A )+P (B )-P (AB ),P (AB )≥0,因此有P (AB )≤P (A )≤P (A +B )≤P (A )+P (B )22. ⼀个教室中有100名学⽣,求其中⾄少有⼀⼈的⽣⽇是在元旦的概率(设⼀年以365天计算).解设事件A 表⽰“100名学⽣的⽣⽇都不在元旦”,则有利于A 的样本点数⽬为#A =364100,⽽样本空间中样本点总数为#Ω=365100,所求概率为1001003653641##1)(1)(-=Ω-=-=A A P A P = 0.239923. 从5副不同⼿套中任取4只⼿套,求其中⾄少有两只⼿套配成⼀副的概率.解设事件A 表⽰“取出的四只⼿套⾄少有两只配成⼀副”,则A 表⽰“四只⼿套中任何两只均不能配成⼀副”.21080##)(4101212121245===C C C C C C ΩA A P 62.0)(1)(=-=A P A P24. 某单位有92%的职⼯订阅报纸,93%的⼈订阅杂志,在不订阅报纸的⼈中仍有85%的职⼯订阅杂志,从单位中任找⼀名职⼯求下列事件的概率:(1)该职⼯⾄少订阅⼀种报纸或期刊;(2)该职⼯不订阅杂志,但是订阅报纸.解设事件A 表⽰“任找的⼀名职⼯订阅报纸”,B 表⽰“订阅杂志”,依题意P (A )=0.92,P (B )=0.93,P (B |A )=0.85P (A +B )=P (A )+P (A B )=P (A )+P (A )P (B |A )=0.92+0.08×0.85=0.988P (A B )=P (A +B )-P (B )=0.988-0.93=0.05825. 分析学⽣们的数学与外语两科考试成绩,抽查⼀名学⽣,记事件A 表⽰数学成绩优秀,B 表⽰外语成绩优秀,若P (A )=P (B )=0.4,P (AB )=0.28,求P(A |B ),P (B |A ),P (A +B ).解 P (A |B )=7.04.028.0)()(==B P AB P P (B |A)=7.0)()(=A P AB P P (A +B )=P (A )+P (B )-P (AB )=0.5226. 设A 、B 是两个随机事件. 0<P (A )<1,0<P (B )<1,P (A |B )+P (A |B )=1. 求证P (AB )=P (A )P (B ).证∵P ( A |B )+P (A |B )=1且P ( A |B )+P (A |B )=1∴P ( A |B )=P (A |B ))(1)()()()()()(B P AB P A P B P B A P B P AB P --== P (AB )[1-P (B )]=P ( B )[P ( A )-P ( AB )]整理可得P (AB )=P ( A ) P ( B )27. 设A 与B 独⽴,P ( A )=0.4,P ( A +B )=0.7,求概率P (B ).解 P ( A +B )=P (A )+P (A B )=P ( A )+P (A ) P ( B ) ? 0.7=0.4+0.6P ( B )P ( B )=0.528. 设事件A 与B 的概率都⼤于0,如果A 与B 独⽴,问它们是否互不相容,为什么?解因P ( A ),P ( B )均⼤于0,⼜因A 与B 独⽴,因此P ( AB )=P ( A ) P ( B )>0,故A 与B 不可能互不相容.29. 某种电⼦元件的寿命在1000⼩时以上的概率为0.8,求3个这种元件使⽤1000⼩时后,最多只坏了⼀个的概率.解设事件A i 表⽰“使⽤1000⼩时后第i 个元件没有坏”, i =1,2,3,显然A 1,A 2,A 3相互独⽴,事件A 表⽰“三个元件中最多只坏了⼀个”,则A =A 1A 2A 3+1A A 2A 3+A 12A A 3+A 1A 23A ,上⾯等式右边是四个两两互不相容事件的和,且P (A 1)=P (A 2)=P (A 3)=0.8P ( A )=[][])()(3)(12131A P A P A P +=0.83+3×0.82×0.2=0.89630. 加⼯某种零件,需经过三道⼯序,假定第⼀、⼆、三道⼯序的废品率分别为0.3,0.2,0.2,并且任何⼀道⼯序是否出现废品与其他各道⼯序⽆关,求零件的合格率.解设事件A 表⽰“任取⼀个零件为合格品”,依题意A 表⽰三道⼯序都合格.P (A )=(1-0.3)(1-0.2)(1-0.2)=0.44831. 某单位电话总机的占线率为0.4,其中某车间分机的占线率为0.3,假定⼆者独⽴,现在从外部打电话给该车间,求⼀次能打通的概率;第⼆次才能打通的概率以及第m 次才能打通的概率(m 为任何正整数). 解设事件A i 表⽰“第i 次能打通”,i =1,2,…,m ,则P (A 1)=(1-0.4)(1-0.3)=0.42P (A 2)=0.58 × 0.42=0.2436P (A m )=0.58m -1 × 0.4232. ⼀间宿舍中有4位同学的眼镜都放在书架上,去上课时,每⼈任取⼀副眼镜,求每个⼈都没有拿到⾃⼰眼镜的概率.解设A i 表⽰“第i ⼈拿到⾃⼰眼镜”,i =1,2,3,4. P ( A i )=41,设事件B 表⽰“每个⼈都没有拿到⾃⼰的眼镜”. 显然B 则表⽰“⾄少有⼀⼈拿到⾃⼰的眼镜”. 且B =A 1+A 2+A 3+A 4.P (B )=P (A 1+A 2+A 3+A 4)=∑∑∑-+-=≤≤≤≤4141414321)()()()(i j i k j i k j i i i i A A A A P A A A P A A P A p <<<P (A i A j )=P (A i )P (A j |A i ) =)41(1213141≤≤=?j i < P (A i A j A k )=P (A i )P (A j |A i )P (A k |A i A j ) =41×31×21=241(1≤i <j <k ≤4) P (A 1A 2A 3A 4) =P (A 1)P (A 2|A 1)P (A 3|A 1A 2)×P (A 4|A 1A 2A 3) =2411213141= 85241241121414)(3424=-?+?-?=C C B P 83)(1)(=-=B P B P 33. 在1,2,…,3000这3000个数中任取⼀个数,设A m =“该数可以被m 整除”,m =2,3,求概率P (A2A 3),P (A 2+A 3),P (A 2-A 3).解依题意P (A 2)=21,P (A 3)=31 P (A 2A 3)=P (A 6)=61 P (A 2+A 3)=P (A 2)+P (A 3)-P (A 2A 3) =32613121=-+ P (A 2-A 3)=P (A 2)-P (A 2A 3)=316121=- 34. 甲、⼄、丙三⼈进⾏投篮练习,每⼈⼀次,如果他们的命中率分别为0.8,0.7,0.6,计算下列事件的概率:(1)只有⼀⼈投中;(2)最多有⼀⼈投中;(3)最少有⼀⼈投中.解设事件A 、B 、C 分别表⽰“甲投中”、“⼄投中”、“丙投中”,显然A 、B 、C 相互独⽴.设A i 表⽰“三⼈中有i ⼈投中”,i =0,1,2,3,依题意,)()()() ()(0C P B P A P C B A P A P ===0.2×0.3×0.4×=0.024P ( A 3 )=P ( ABC )=P ( A ) P ( B ) P ( C )=0.8×0.7×0.6=0.336P (A 2)=P (AB C )+P (A B C )+P (A BC )=0.8×0.7×0.4+0.8×0.3×0.6+0.2×0.7×0.6=0.452(1) P (A 1)=1-P (A 0)-P (A 2)-P (A 3)=1-0.024-0.452-0.336=0.188(2) P (A 0+A 1)=P (A 0)+P (A 1)=0.024+0.188=0.212(3) P (A +B +C )=P (0A )=1-P (A 0)=0.97635. 甲、⼄⼆⼈轮流投篮,甲先开始,假定他们的命中率分别为0.4及0.5,问谁先投中的概率较⼤,为什么?解设事件A 2n -1B 2n 分别表⽰“甲在第2n -1次投中”与“⼄在第2n 次投中”,显然A 1,B 2,A 3,B 4,…相互独⽴.设事件A 表⽰“甲先投中”.+++=)()()()(543213211A B A B A P A B A P A P A P=+++0.40.5)(0.60.40.50.60.42743.014.0=-= 计算得知P (A )>0.5,P (A )<0.5,因此甲先投中的概率较⼤.36. 某⾼校新⽣中,北京考⽣占30%,京外其他各地考⽣占70%,已知在北京学⽣中,以英语为第⼀外语的占80%,⽽京外学⽣以英语为第⼀外语的占95%,今从全校新⽣中任选⼀名学⽣,求该⽣以英语为第⼀外语的概率.解设事件A 表⽰“任选⼀名学⽣为北京考⽣”,B 表⽰“任选⼀名学⽣,以英语为第⼀外语”. 依题意P (A )=0.3,P (A )=0.7,P (B |A)=0.8,P (B |A )=0.95. 由全概率公式有P (B )=P (A )P (B |A )+P (A )P (B |A )=0.3×0.8+0.7×0.95=0.90537. A 地为甲种疾病多发区,该地共有南、北、中三个⾏政⼩区,其⼈⼝⽐为9 : 7 : 4,据统计资料,甲种疾病在该地三个⼩区内的发病率依次为4‰,2‰,5‰,求A 地的甲种疾病的发病率.解设事件A 1,A 2,A 3分别表⽰从A 地任选⼀名居民其为南、北、中⾏政⼩区,易见A 1,A 2,A 3两两互不相容,其和为Ω.设事件B 表⽰“任选⼀名居民其患有甲种疾病”,依题意:P (A 1)=0.45,P (A 2)=0.35,P (A 3)=0.2,P (B |A 1)=0.004,P (B |A 2)=0.002,P (B |A 3)=0.005=∑=31)|()(i i i A B P A P= 0.45 × 0.004 + 0.35 × 0.002 + 0.2 × 0.005=0.003538. ⼀个机床有三分之⼀的时间加⼯零件A ,其余时间加⼯零件B ,加⼯零件A 时,停机的概率为0.3,加⼯零件B 时停机的概率为0.4,求这个机床停机的概率.解设事件A 表⽰“机床加⼯零件A ”,则A 表⽰“机床加⼯零件B ”,设事件B 表⽰“机床停⼯”.)|()()|()()(A B P A P A B P A P B P +=37.0324.0313.0=?+?= 39. 有编号为Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的3个⼝袋,其中Ⅰ号袋内装有两个1号球,1个2号球与1个3号球,Ⅱ号袋内装有两个1号球和1个3号球,Ⅲ号袋内装有3个1号球与两个2号球,现在先从Ⅰ号袋内随机地抽取⼀个球,放⼊与球上号数相同的⼝袋中,第⼆次从该⼝袋中任取⼀个球,计算第⼆次取到⼏号球的概率最⼤,为什么?解设事件A i 表⽰“第⼀次取到i 号球”,B i 表⽰第⼆次取到i 号球,i =1,2,3.依题意,A 1,A 2,A 3构成⼀个完全事件组.41)()(,21)(321===A P A P A P 41)|()|(,21)|(131211===A B P A B P A B P 41)|()|(,21)|(232221===A B P A B P A B P 61)|(,31)|(,21)|(333231===A B P A B P A B P 应⽤全概率公式∑==31)|()()(i i j i j A B P A P B P 可以依次计算出4811)(,4813)(,21)(321===B P B P B P . 因此第⼆次取到1号球的概率最⼤.40. 接37题,⽤⼀种检验⽅法,其效果是:对甲种疾病的漏查率为5%(即⼀个甲种疾病患者,经此检验法未查出的概率为5%);对⽆甲种疾病的⼈⽤此检验法误诊为甲种疾病患者的概率为1%,在⼀次健康普查中,某⼈经此检验法查为患有甲种疾病,计算该⼈确实患有此病的概率.解设事件A 表⽰“受检⼈患有甲种疾病”,B 表⽰“受检⼈被查有甲种疾病”,由37题计算可知P (A )=0.0035,应⽤贝叶斯公式)|()()|()()|()()|(A B P A P A B P A P A B P A P B A P += 01.09965.095.00035.095.00035.0=+ 25.0=41. 甲、⼄、丙三个机床加⼯⼀批同⼀种零件,其各机床加⼯的零件数量之⽐为5 : 3 : 2,各机床所加⼯的零件合格率,依次为94%,90%,95%,现在从加⼯好的整批零件中检查出⼀个废品,判断它不是甲机床加⼯的概率.解设事件A 1,A 2,A 3分别表⽰“受检零件为甲机床加⼯”,“⼄机床加⼯”,“丙机床加⼯”,B 表⽰“废品”,应⽤贝叶斯公式有∑==31111)|()()|()()|(i i i A B P A P A B P A P B A P 7305020+1030+06.05.006.05.0== (7)4)|(1)|(11=-=B A P B A P 42. 某⼈外出可以乘坐飞机、⽕车、轮船、汽车4种交通⼯具,其概率分别为5%,15%,30%,50%,乘坐这⼏种交通⼯具能如期到达的概率依次为100%,70%,60%与90%,已知该旅⾏者误期到达,求他是乘坐⽕车的概率.解设事件A 1,A 2,A 3,A 4分别表⽰外出⼈“乘坐飞机”,“乘坐⽕车”,“乘坐轮船”,“乘坐汽车”,B 表⽰“外出⼈如期到达”.∑==41222)|()()|()()|(i i i A B P A P A B P A P B A P 1.05.04.03.03.015.0005.03.015.0?+?+?+??==0.20943. 接39题,若第⼆次取到的是1号球,计算它恰好取⾃Ⅰ号袋的概率.解 39题计算知P (B 1)=21,应⽤贝叶斯公式 21212121)()|()()|(111111=?==B P A B P A P B A P 44. ⼀箱产品100件,其次品个数从0到2是等可能的,开箱检验时,从中随机地抽取10件,如果发现有次品,则认为该箱产品不合要求⽽拒收,若已知该箱产品已通过验收,求其中确实没有次品的概率. 解设事件A i 表⽰⼀箱中有i 件次品,i =0, 1, 2. B 表⽰“抽取的10件中⽆次品”,先计算P ( B )∑++?===20101001098101001099)1(31)|()()(i i i C C C C A B P A P B P 37.0)(31)|(0==B P B A P 45. 设⼀条昆⾍⽣产n 个卵的概率为λλ-=e !n p nn n =0, 1, 2, … 其中λ>0,⼜设⼀个⾍卵能孵化为昆⾍的概率等于p (0<p <1). 如果卵的孵化是相互独⽴的,问此⾍的下⼀代有k 条⾍的概率是多少?解设事件A n =“⼀个⾍产下⼏个卵”,n =0,1,2….B R =“该⾍下⼀代有k 条⾍”,k =0,1,….依题意λλ-==e !)(n p A P nn n ≤≤=-n k q p C n k A B P k n k k nn k 00)|(>其中q =1-p . 应⽤全概率公式有∑∑∞=∞===k n n k n n n k n k A B P A P A B P A P B P )|()()|()()(0∑∞=-λ--λ=l n k n k n q p k n k n n !)(!!e !∑∞=-λ--λλk n k n k k n q k p !)()(e !)( 由于q k n kn k n k n k n q k n q λ∞=--∞=-∑∑=-λ=-λe !)()(!)()(0,所以有,2,1,0e )(e e !)()(===--k k p k p B P p pq kk λλλλλ习题⼆1. 已知随机变量X 服从0-1分布,并且P {X ≤0}=0.2,求X 的概率分布.解 X 只取0与1两个值,P {X =0}=P {X ≤0}-P {X <0}=0.2,P {X =1}=1-P {X =0}=0.8.2. ⼀箱产品20件,其中有5件优质品,不放回地抽取,每次⼀件,共抽取两次,求取到的优质品件数X的概率分布.解 X 可以取0, 1, 2三个值. 由古典概型公式可知{})2,1,0(2202155===-m C C C m X P m m 依次计算得X 的概率分布如下表所⽰:3. 上题中若采⽤重复抽取,其他条件不变,设抽取的两件产品中,优质品为X 件,求随机变量X 的概率分布.解 X 的取值仍是0, 1, 2.每次抽取⼀件取到优质品的概率是1/4,取到⾮优质品的概率是3/4,且各次抽取结果互不影响,应⽤伯努利公式有{}1694302=??? ??==X P {}1664341112=??==C X P {}1614122=??? ??==X P 4. 第2题中若改为重复抽取,每次⼀件,直到取得优质品为⽌,求抽取次数X 的概率分布.解 X 可以取1, 2, …可列个值. 且事件{X = n }表⽰抽取n 次,前n -1次均未取到优质品且第n 次取到优质品,其概率为41431???? ??-n .因此X 的概率分布为{}?=??==-,2,143411n n X P n 5. 盒内有12个乒乓球,其中9个是新球,3个为旧球,采取不放回抽取,每次⼀个直到取得新球为⽌,求下列随机变量的概率分布.(1)抽取次数X ; (2)取到的旧球个数Y .解 (1)X 可以取1, 2, 3, 4各值.{}{}4491191232431=?====X P X P {}22091091121233=??==X P {}2201991011121234===X P (2) Y 可以取0, 1, 2, 3各值 .{}{}4310====X P Y P{}{}44921====X P Y P {}{}220932====X P Y P {}{}220143====X P Y P 6. 上题盒中球的组成不变,若⼀次取出3个,求取到的新球数⽬X 的概率分布.解 X 可以取0, 1, 2, 3各值.{}2201031233===C C X P {}2202713122319===C C C X P {}22010823121329===C C C X P {}22084331239===C C X P 7. 已知P {X =n }=p n ,n =1, 2, 3, …, 求p 的值.解根据{}∑=∞=11n n X P =, 有 ∑-==∞=111n n pp P 解上⾯关于p 的⽅程,得p =0.5.8. 已知P {X =n }=p n , n =2, 4, 6, …,求p 的值.解 1122642=-=?+++p p p p p 解⽅程,得p =2±/29. 已知P {X =n }=cn , n =1, 2, …, 100, 求c 的值.解 ∑=+?++==10015050)10021(1n cc cn =解得 c =1/5050 .10. 如果p n =cn _2,n =1, 2, …, 问它是否能成为⼀个离散型概率分布,为什么?解 ,1121∑=∑∞=∞=n n n n c p 由于级数∑∞=121n n 收敛, 若记∑∞=121n n =a ,只要取ac 1=, 则有∑∞=1n n p =1, 且p n >0. 所以它可以是⼀个离散型概率分布.11. 随机变量X 只取1, 2, 3共三个值,其取各个值的概率均⼤于零且不相等并⼜组成等差数列,求X 的概率分布. 解设P {X =2}=a ,P {X =1}=a -d , P {X =3}=a +d . 由概率函数的和为1,可知a =31, 但是a -d 与a +d 均需⼤于零,因此|d |<31, X 的概率分布为其中d 应满⾜条件:0<|d |<312. 已知{}λ-==e !m c λm X P m ,m =1, 2, …, 且λ>0, 求常数c .解 {}∑∑∞=-∞====11e !1m mm m c m X p λλ由于∑∑∞=∞==+=10e !1!m mm m m m λλλ, 所以有∑∞=---=-=-=11)e 1(e )1e (e !m m c c m c λλλλλ解得λ--=e 11c 13. 甲、⼄⼆⼈轮流投篮,甲先开始,直到有⼀⼈投中为⽌,假定甲、⼄⼆⼈投篮的命中率分别为0.4及0.5,求:(1)⼆⼈投篮总次数Z 的概率分布;(2)甲投篮次数X 的概率分布;(3)⼄投篮次数Y 的概率分布.解设事件A i 表⽰在第i 次投篮中甲投中,j 表⽰在第j 次投篮中⼄投中,i =1, 3, 5, …, j =2, 4, 6,…,且A 1, B 2, A 3, B 4,…相互独⽴.(1){}{}1222321112---=-=k k k A B A B A p k Z P = (0.6×0.5)1-k ·0.4= 0.4(0.3)1-k k=1, 2, …{})(2212223211k k k k B A B A B A p k Z P ---===0.5×0.6×(0.6×0.5)1-k =0.3kk=1, 2, …(2) {}{}12223211---==n n n A B A B A p n X P{}n n n n B A B A B A p 212223211---+)5.06.04.0()5.06.0(1?+?=-n,2,13.07.01=?=-n n (3) {}4.0)(01===A P Y P{}{}{}122121121211+--+==n n n n n A B A B A P B A B A P n Y P)4.05.05.0(6.0)5.06.0(1?+=-n,2,13.042.01=?=-n n 14. ⼀条公共汽车路线的两个站之间,有四个路⼝处设有信号灯,假定汽车经过每个路⼝时遇到绿灯可顺利通过,其概率为0.6,遇到红灯或黄灯则停⽌前进,其概率为0.4,求汽车开出站后,在第⼀次停车之前已通过的路⼝信号灯数⽬X 的概率分布(不计其他因素停车).解 X 可以取0, 1, 2, 3, 4 .P { X =0 } =0.4 P { X =1 }=0.6×0.4=0.24P { X =2 } =0.62×0.4=0.144P { X =3 } =0.63×0.4=0.0864P { X =4 } =0.64=0.1296 15. ∈=.,0],[,sin )(其他,b a x x x f 问f (x )是否为⼀个概率密度函数,为什么?如果 (1).π23 ,)3( ;π,0)2( ;2π,0======b a b a b a π解在[0, 2π]与[0, π]上,sin x ≥0,但是,1d sin π0≠?x x ,1d sin 2π0=?x x ⽽在??π23,π上,sin x ≤0.因此只有(1)中的a , b 可以使f (x )是⼀个概率密度函数.16. ≤=-.0,00e )(,22x x c x x f c x ,>其中c >0,问f (x )是否为密度函数,为什么?解易见对任何x ∈(-∞ , +∞) , f ( x ) ≥ 0,⼜1d e 202=?-∞+x c x c x f (x )是⼀个密度函数 .17. +=.0.2<<,2)(其他,a x a x x f 问f ( x )是否为密度函数,若是,确定a 的值;若不是,说明理由.解如果f ( x )是密度函数,则f ( x )≥0,因此a ≥0,但是,当a ≥0时,444|d 2222≥+==??++a x x a a a a由于x x f d )(?+∞∞-不是1,因此f ( x )不是密度函数.18. 设随机变量X ~f ( x )∞++=.,0,,)1(π2)(2其他<<x a x x f 确定常数a 的值,如果P { a < x < b } =0.5,求b 的值.解 )arctan 2π(2arctan π2d )1(π22a x x x a a -π==+??+∞+∞ 解⽅程π2??a arctan - 2π=1 得 a = 0{}b x x x f b x P b b arctan π2|arctan π2d )(000==?=<<解关于b 的⽅程:π2arctan b =0.5 得 b =1.19. 某种电⼦元件的寿命X 是随机变量,概率密度为≥=.100,0,100100)(2<x x x x f 3个这种元件串联在⼀个线路中,计算这3个元件使⽤了150⼩时后仍能使线路正常⼯作的概率. 解串联线路正常⼯作的充分必要条件是3个元件都能正常⼯作. ⽽三个元件的寿命是三个相互独⽴同分布的随机变量,因此若⽤事件A 表⽰“线路正常⼯作”,则3])150([)(>X P A P ={}32d 1001502150=?∞+x x X P => 278)(=A P 20. 设随机变量X ~f ( x ),f ( x )=A e -|x|,确定系数A ;计算P { |X | ≤1 }.解 A x A x A x x 2d e 2d e 10||=?=?=∞+-∞+∞--解得 A =21 {}??---==≤10||11d e d e 211||x x X P x x632.0e 11≈-=-21. 设随机变量Y 服从[0, 5]上的均匀分布,求关于x 的⼆次⽅程4x 2+4xY +Y +2=0有实数根的概率. 解 4x 2+4xY +Y +2=0.有实根的充分必要条件是△=b 2-4ac =16Y 2-16(Y +2)=16Y 2-16Y -32≥0设事件P (A )为所求概率.则{}{}{}120321616)(2-≤+≥=≥--=Y P Y P Y Y P A P=0.622. 设随机变量X ~ f ( x ),-=.,01||,1)(2其他,<x x cx f确定常数c ,计算.21||≤X P解π|arcsin d 1111211c x c x x c==-?=--c =π131arcsin 2d 1121||0212121 2=π=-π=≤?-x x x X P23. 设随机变量X 的分布函数F ( x )为≥=.1,1,10,0,0)(x x x A x x F <<,<确定系数A ,计算{}25.00≤≤X P ,求概率密度f ( x ).解连续型随机变量X 的分布函数是连续函数,F (1)= F (1-0),有A =1. =.,0,10,21)(其他<<x x x f{}5.0)0()25.0(25.00=-=≤≤F F X P24. 求第20题中X 的分布函数F ( x ) .解 {}t x X P x F t x d e 21)(||-∞-?=≤=当t ≤ 0时,x t x t x F e 21d e 21)(=?=∞-当t >0时,t t t x F tx t t x d e 21d e 21d e 21)(-00||?+?=?=-∞--∞-x x ---=-+=e 211)e 1(212125. 函数(1+x 2)-1可否为连续型随机变量的分布函数,为什么?解不能是分布函数,因F (-∞)= 1 ≠ 0.26. 随机变量X ~f ( x ),并且)1(π)(2x ax f +=,确定a 的值;求分布函数F ( x );计算{}1||<X P .解 a x a x x a ==?+=∞+∞-∞+∞-arctan πd )1(π12 因此a =1x x t t t x F ∞-∞-=?+=arctan π1d )1(π1)(2 x arctan π121+= {}?+=?+=-102112d )1(π12d )1(π11||x x x x X P < 21arctan π210==x 27. 随机变量X 的分布函数F ( x ) 为:≤-=.2,02,1)(2x x x A x F ,>确定常数A 的值,计算{}40≤≤X P .解由F ( 2+0 )=F ( 2 ),可得4,041==-A A {}{})0()4(4X 040F F P X P -=≤=≤≤<28. 随机变量X ~f ( x ),f ( x )=,ee x x A -+确定A 的值;求分布函数F ( x ) . 解 ?+=?+=∞∞-∞∞--x A x A x x x x d e 1e d e e 12 A A x 2πe a r c t a n ==∞∞- 因此 A =π2, xtx t t t x F ∞-∞--=+=?e arctan π2d )e e (π2)(x e arctan π2= 29. 随机变量X ~f ( x ),=.,00,π2)(2其他<<a x x x f确定a 的值并求分布函数F ( x ) .解 220222ππd π21a x x x a a ==?= 因此,a = π当0<x <π时,=x x t t x F 0222πd π2)( 其他≥≤=π1,π0,π0,0)(22x x xx x F <<30. 随机变量X 的分布函数为)0(0,e 22210,0)(22>>a x ax x a x x F ax ++-≤=-求X 的概率密度并计算a X P 10<<.解当x ≤ 0时,X 的概率密度f ( x ) =0;当x > 0时,f ( x ) =F′ ( x )≤=-.0,e 2,0,0)(23> x x a x x f ax(1010F a F a x P a x P -=≤=?<<<08.0e 2511≈-=-31. 随机变量X 服从参数为0.7的0-1分布,求X 2,X 2-2X 的概率分布.解 X 2仍服从0-1分布,且P { X 2=0 } =P { X =0 } =0.3,P {X 2=1}=P {X =1}=0.7X 2-2X 的取值为-1与0 , P {X 2-2X =0}=P { X =0 } =0.3P { X 2-2X =-1 } =1-P { X =0 } =0.732. 已知P { X =10n } =P { X =10-n }=,,2,1,31=n nY =l gX ,求Y 的概率分布.解 Y 的取值为±1, ±2 , …P { Y =n } =P { l gX =n } =P { X =10n } =31P { Y =-n } =P { l gX =-n } =P { x =10-n } =31n =1 , 2 , …33. X 服从[a , b ]上的均匀分布,Y =ax +b (a ≠0),求证Y 也服从均匀分布.证设Y 的概率密度为f Y ( y ) ,X 的概率密度为f X ( x ),只要a ≠ 0,y = ax + b 都是x 的单调函数. 当a >0时,Y 的取值为[a 2+b , ab +b ],a x y hb y a y h x y 1)(,)(1)(='='-==],,[,)(1])([)()(2b ab b a y a b a y h f y h y f X Y ++∈-='=当],[2b ab b a y ++∈时,f Y ( y ) =0.类似地,若a <0,则Y 的取值为[ ab +b , a 2+b ]+≤≤+--=.,0,,)(1)(2其他b a y b ab a b a y f Y因此,⽆论a >0还是a <0,ax +b 均服从均匀分布.34. 随机变量X 服从[0 ,2π]上的均匀分布Y =cos X , 求Y 的概率密度f Y ( y ). 解 y =cos x 在[0, 2π]上单调,在(0 , 1)上,h ( y ) = x =arccos y h′ ( y ) = 211y -- , f x ( x ) = π2 , 0 ≤ x ≤ 2π . 因此 -=.0,10,1π2)(2其他,<<y yy f Y35. 随机变量X 服从(0 , 1)上的均匀分布,Y =e x , Z =|ln X |,分别求随机变量Y 与Z 的概率密度f Y ( y ) 及f Z ( z ) .解 y = e x 在(0 , 1)内单调 , x =ln y 可导,且x′y = y1 , f X ( x ) =1 0 < x < 1 , 因此有.,0,e 1,1)(其他 <<y y y f Y在(0 , 1)内ln x < 0|ln x |=-ln x 单调,且x = e z -,x′z =-e z -,因此有∞+=-.,0,0e )(其他<<,z z f z z 36. 随机变量X ~f ( x ) ,≤=-0,00,e )(x x x f x > Y = X , Z = X 2 , 分别计算随机变量Y 与Z 的概率密度f y ( y ) 与f Z ( z ) .解当x > 0时,y =x 单调,其反函数为x = y 2 , x′y = 2y≤=-.0,0,0,e 2)(2y y y y f y Y >当x > 0时z =x 2也是单调函数,其反函数为x =z , x′ z =z 21 ≤=-.0,00e 21)(z ,z z z f z z > 37.随机变量X ~f ( x ),当x ≥ 0时,)1(2)(2x x f +=π, Y =arctan X , Z = X1,分别计算随机变量Y 与Z 的概率密度f Y ( y ) 与fz ( z ) . 解由于y = arctan x 是单调函数,其反函数x =tan y , x′ y =sec 2y 在?? -2π,0内恒不为零,因此,当0 < y <π2时,π2)tan 1(π2sec )(22=+=y yy f Y 即Y 服从区间(0 , 2π)上的均匀分布. z = x 1在x >0时也是x 的单调函数,其反函数x =z 1, x′ z =21z-. 因此当z >0时, )1(π2])1(1[π21)(222z zz z fz +=+-= ??≤+=0,00,)1(π2)(2z z z z f z >即Z = X1 与X 同分布. 38. ⼀个质点在半径为R ,圆⼼在原点的圆的上半圆周上随机游动. 求该质点横坐标X 的密度函数f X ( x ) . 解如图,设质点在圆周位置为M ,弧MA 的长记为L ,显然L 是⼀个连续型随机变量,L 服从[0,πR ]上的均匀分布.≤≤=.,0π0,π1)(其他,R l R l f L M 点的横坐标X 也是⼀个随机变量,它是弧长L 的函数,且 X = R cos θ= R cos RL 函数x = R cos l / R 是l 的单调函数 ( 0< l <πR ) ,其反函数为 l = R arccos Rx 22xR R l x --=' 当-R < x < R 时,L′x ≠ 0,此时有2222π1π1)(xR R x R R x f X -=?--= 当x ≤ -R 或x ≥ R 时,f X ( x ) =0 .39. 计算第2 , 3 , 5 , 6 , 11各题中的随机变量的期望.解根据第2题中所求出的X 概率分布,有2138223815138210=?+?+?=EX 亦可从X 服从超⼏何分布,直接计算2120521=?==N N n EX 在第3题中21161216611690=?+?+?=EX 亦可从X 服从⼆项分布(2,41),直接⽤期望公式计算: 21412=?==np EX 在第5题中图2-1(1) 3.122014220934492431=?+?+?+?=EX (2) 3.022013220924491430=?+?+?+?=EY 在第6题中,25.2220843220108222027122010=?+?+?+?=EX 在第11题中,??+++ -=d 313312d 311EX 31 |<d <|0 d 22+= 40. P { X = n } =nc , n =1, 2, 3, 4, 5, 确定C 的值并计算EX . 解 160137543251==++++=∑=c c c c c c n c n13760=C 137300551==∑?==C n c n EX n 41. 随机变量X 只取-1, 0, 1三个值,且相应概率的⽐为1 : 2 : 3,计算EX . 解设P { X =-1 } = a ,则P { X =0 } =2a , P { X =1 }=3a ( a >0 ) ,因a + 2a + 3a = 1 , 故a =1/631631620611=?+?+?-=EX 42. 随机变量X 服从参数为0.8的0-1分布,通过计算说明EX 2是否等于( EX )2 ? 解 EX =P { X =1 } =0.8,( EX )2 =0.64EX 2=1×0.8=0.8>( EX )243. 随机变量X ~f ( x ) ,f ( x ) =0.5e - | x |,计算EX n ,n 为正整数. 解当n 为奇数时,)(x f x n 是奇函数,且积分x x x n d e 0-∞?收敛,因此0d e 5.0||=?=-∞+∞-x x EX x n n 当n 为偶数时,x x x x EX x n x n n d e 5.02d e 5.00||-∞+-∞+∞-?=?=!)1(d e 0n n x x x n =+Γ=?=-∞+44. 随机变量X ~f ( x ) ,-≤≤=.,0,21,2,10,)(<<x x x x x f计算EX n (n 为正整数) .解 x x x x x x x f x EX n n n n d )2(d d )(21101?-+?=?=+∞+∞-1)2(21)12(122121-+--+++=++n n n n n )2()1(222++-=+n n n 45. 随机变量X ~f ( x ) ,≤≤=.,0,10,)(其他x cx x f b b ,c 均⼤于0,问EX 可否等于1,为什么?其他其他。

南开14秋学期《概率论与数理统计》在线作业答案

南开14秋学期《概率论与数理统计》在线作业答案
A.
B.
C.
D.
?
正确答案:A
31. .
A.
B.
C.
D.
?
正确答案:D
32.在某一季节,一般人群中,疾病A的发病率为2%,病人中40%表现出症状S;疾病B的发病率为5%,其中18%表现出症状S;疾病C的发病率为0.5%,病人中60%表现出症状S;病人有症状S时患疾病A的概率为()。
A. 0.4
B. 0.5
14秋学期《概率论与数理统计》在线作业
一,单选题
1.下列说法正确的是()。
A.任一事件的概率总在(0.1)内
B.
不可能事件的概率不一定为0
C.必然事件的概率一定为1
D.以上均不对
?
正确答案:C
2.设A、B、C为三个事件,与事件A互斥的事件是()。
A.
B.
C.
D.
?
正确答案:D
3. .
A.
B.
C.
D.
A.
B.
C.
D.
?
正确答案:A
13. .
A.
B.
C.
D.
?
正确答案:C
14. .
A.
B.
C.
D.
?
正确答案:A
15. .
A.
B.
C.
D.
?
正确答案:A
16. 4本不同的书分给3个人,每人至少分得1本的概率为( )。
A.
B.
C.
D.
?
正确答案:C
17.设A,B是两个事件,则这两个事件至少有一个没发生可表示为()。
C.
D.
?
正确答案:D
9. .

(正)概率统计练习册答案

(正)概率统计练习册答案

(正)概率统计练习册答案概率论的基本概念一、选择题1.将一枚硬币连抛两次,则此随机试验的样本空间为()A.{(正,正),(反,反),(一正一反)} B.{(反,正),(正,反),(正,正),(反,反)} C.{一次正面,两次正面,没有正面} D.{先得正面,先得反面}2.设A,B为任意两个事件,则事件(AUB)( -AB)表示()A.必然事件B.A与B恰有一个发生C.不可能事件D.A与B不同时发生3.设A,B为随机事件,则下列各式中正确的是().A.P(AB)=P(A)P(B)B.P(A-B)=P(A)-P(B)C. P(AB) P(A B)D.P(A+B)=P(A)+P(B) 4.设A,B为随机事件,则下列各式中不能恒成立的是( ).A.P(A-B)=P(A)-P(AB)B.P(AB)=P(B)P(A|B),其中P(B)0C.P(A+B)=P(A)+P(B)D.P(A)+P(A)=1 5.若AB ,则下列各式中错误的是().A.P(AB) 0 B.P(AB) 1 C.P(A+B)=P(A)+P(B) D.P(A-B) P(A) 6.若AB ,则( ).A. A,B为对立事件B.A BC.ABD.P(A-B) P(A) 7.若A B,则下面答案错误的是( ). A. P(A) P B B. P B-A 0C.B未发生A可能发生D.B发生A可能不发生8.Ai(i 1,2, ,n)为一列随机事件,且P(A1A2 An) 0,则下列叙述中错误的是( ).A.若诸Ai两两互斥,则P( Ai) P(Ai)i 1nnni 1B.若诸Ai相互独立,则P( Ai) 1 (1 P(Ai))i 1nni 1C.若诸Ai相互独立,则P( Ai) P(Ai)i 1i 1nD.P( Ai) P(A1)P(A2|A1)P(A3|A2) P(An|An 1)i 1n9.袋中有a个白球,b个黑球,从中任取一个,则取得白球的概率是( ). A.1 B.21a bC.aa bD.ba b10.设有r个人,r 365,并设每个人的生日在一年365天中的每一天的可能性为均等的,则此r个人中至少有某两个人生日相同的概率为( ).rP365A.1 r365rC365 r!B. r365C. 1r! 365D. 1r!365r11.设A,B,C是三个相互独立的事件,且0 P(C) 1,则下列给定的四对事件中,不独立的是( ).A.AUB与CB. A B与CC. AC与CD. AB与C12.当事件A与B同时发生时,事件C也随之发生,则( ). A.P(C) P(A) P(B) 1 B.P(C) P(A) P(B) 1 C.P(C)=P(AB) D.P(C) P(A B) 13.设0 P(A) 1,0 P(B) 1,且P(A|B) P(AB) 1,则( ). A. A与B不相容B. A与B 相容C. A与B不独立D. A与B独立14.设事件A,B是互不相容的,且P(A) 0,P(B) 0,则下列结论正确的是( ).A.P(A|B)=0B.P(A|B) P(A)C.D.P(B|A) 015.四人独立地破译一份密码,已知各人能译出的概率分别为1,1,1,1则密码最终能被译出的概率为( ).5436P(AB) P(A)P(B)A.1B. 1C. 2D. 2 16.已知*****P(A) P(B) P(C) ,P(AB) 0,P(AC) P(BC) ,416则事件A,B,C全不发生的概率为( ).A. 1B. 3C. 5D. 7888817.三个箱子,第一箱中有4个黑球1个白球,第二箱中有3个黑球3个白球,第三个箱中有3个黑球5个白球,现随机取一个箱子,再从这个箱中取出一个球,则取到白球的概率是( ). A.531209 C.***-*****D. 101918.有三类箱子,箱中装有黑、白两种颜色的小球,各类箱子中黑球、白球数目之比为4:1,1:2,3:2,已知这三类箱子数目之比为2:3:1,现随机取一个箱子,再从中随机取出一个球,则取到白球的概率为().A.5B. 19C. 7D. 1913153019.接上题,若已知取到的是一只白球,则此球是来自第二类箱子的概率为( ).A. 1B. 1C. 5D. 12377答:1.答案:(B)2. 答案:(B)解:AUB表示A与B至少有一个发生, -AB表示A与B不能同时发生,因此(AUB)( -AB)表示A与B恰有一个发生.3.答案:(C)4. 答案:(C)注:C成立的条件:A与B互不相容.5. 答案:(C)注:C成立的条件:A与B互不相容,即AB .6. 答案:(D)注:由C得出A+B= .7. 答案:(C)8. 答案:(D)注:选项B由于P( Ai) 1 P( Ai) 1 P( Ai) 1 P(Ai) 1 (1 P(Ai))i 1i 1i 1i 1nnnnn9.答案:(C)注:古典概型中事件A发生的概率为P(A)N(A). N( )10.答案:(A)解:用A来表示事件“此r个人中至少有某两个人生日相同”,考虑A的对立事件A“此r个人的生日各不相同”利用上一题的结rrC365 r!P365论可知P(A) r*****rrP365,故P(A) 1 r36511.答案:(C)12.答案:(B)解:“事件A与B同时发生时,事件C也随之发生”,说明AB C,故P(AB) P(C);而P(A B) P(A) P(B) P(AB) 1, 故P(A) P(B) 1 P(AB) P(C).13.答案:(D)解:由P(A|B) P(AB) 1可知P(AB)P(AB)P(AB)1 P(A B)P(B)P(B)1 P(B)P(B)P(AB)(1 P(B)) P(B)(1 P(A) P(B) P(AB))1P(B)(1 P(B))P(AB)(1 P(B)) P(B)(1 P(A) P(B) P(AB)) P(B)(1 P(B))P(AB) P(AB)P(B) P(B) P(A)P(B) (P(B))2 P(B)P(AB) P(B) (P(B))2 P(AB) P(A)P(B)故A与B独立. 14.答案:(A)解:由于事件A,B是互不相容的,故P(AB) 0,因此P(A|B)=P(AB)P(B)0. P(B)15.答案:(D)解:用A表示事件“密码最终能被译出”,由于只要至少有一人能译出密码,则密码最终能被译出,因此事件A包含的情况有“恰有一人译出密码”,“恰有两人译出密码”,“恰有三人译出密码”,“四人都译出密码”,情况比较复杂,所以我们可以考虑A的对立事件A,事件A只包含一种情况,即“四人都没有译出密码”,故*****P(A) (1 )(1 )(1 )(1 ) P(A) .*****16.答案:(B)解:所求的概率为P(ABC) 1 P(A B C)1 P(A) P(B) P(C) P(AB) P(BC) P(AC) P(ABC)***** 1 0 0***-***** 8注:ABC AB 0 P(ABC) P(AB) 0 P(ABC) 0. 17.答案:(A)解:用A表示事件“取到白球”,用Bi表示事件“取到第i箱”i 1.2.3,则由全概率公式知P(A) P(B1)P(A|B1) P(B2)P(A|B2) P(B3)P(A|B3)***-***** ***-*****0.18.答案:(C)解:用A表示事件“取到白球”,用Bi表示事件“取到第i类箱子”i 1.2.3,则由全概率公式知P(A) P(B1)P(A|B1) P(B2)P(A|B2) P(B3)P(A|B3)***-***** ***-*****.19.答案:(C)解:即求条件概率P(B2|A).由Bayes公式知P(B2)P(A|B2)P(B2|A)P(B1)P(A|B1) P(B2)P(A|B2) P(B3)P(A|B3)75. 7二、填空题1. E:将一枚均匀的硬币抛三次,观察结果:其样本空间.2.设A,B,C表示三个随机事件,试通过A,B,C表示随机事件A发生而B,C都不发生为;随机事件A,B,C不多于一个发生 . 3.设P(A)=0.4,P(A+B)=0.7,若事件A与B互斥,则P(B)= ;若事件A与B独立,则P(B)= . 4.已知随机事件A的概率P(A)=0.5,随机事件B的概率P(B)=0.6及条件概率P(B|A)=0.8,则P(AUB)= . 5.设随机事件A、B及和事件AUB的概率分别是0.4,0.3和0.6,则P()= .6.设A、B为随机事件,P(A)=0.7,P(A-B)=0.3,则P (AB)= .7.已知p(A) p(B) p(C)11,p(AB) 0,p(AC) p(BC) ,则A,B,C全48不发生的概率为 . 8.设两两相互独立的三事件p(A) p(B) p(C)A、B和C满足条件:ABC ,1,且已知p(A B C) 9,则p(A) ______. 2169.一批产品共有10个正品和2个次品,任意抽取两次,每次抽一个,抽出后不再放回,则第二次抽出的是次品的概率为 .10.将C、C、E、E、I、N、S这7个字母随机地排成一行,恰好排成*****的概率为 .11.设工厂A和工厂B的产品的次品率分别为1%和2%,现从由A和B的产品分别占60%和40%的一批产品中随机抽取一件,发现是次品,则该次品属于A生产的概率是 . 12.甲、乙两人独立地对同一目标射击一次,其命中率分别为0.6和0.5.现已知目标被命中,则它是甲射中的概率是 . 答:1.{(正,正,正),(正,正,反),(正,反,反),(反,反,反),(反,正,正),(反,反,正),(反,正,反),(正,反,正)}2. 或3.0.3,0.5解:若A与B互斥,则P(A+B)=P(A)+P(B),于是P (B)=P(A+B)-P(A)=0.7-0.4=0.3;若A与B独立,则P (AB)=P(A)P(B),于是由P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(A)+P(B)-P(A)P(B),得P(B) P(A B) P(A) 0.7 0.4 0.5.1 P(A)1 0.44.0.7解:由题设P(AB)=P(A)P(B|A)=0.4,于是P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.5+0.6-0.4=0.7. 5.0.3 解:因为P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB),又PA(B所以P() P(A B) P(B) 0.6 0.3 0.3. 6.0.6解:由题设P(A)=0.7,P()=0.3,利用公式AB A知B) 1 P(AB)1 04. 06. P(AB) P(A) P()=0.7-0.3=0.4,故P(AB()PA( ),.7.7/12解:因为P(AB)=0,所以P(ABC)=0,于是P(ABC) P(A B C) 1 P(A B C)1 [P(A) P(B) P(C) P(AB) P(BC) P(AC) P(ABC)]. 1 3/4 2/6 7/128.1/4 解P(:A)因B(为C由题设P(A) P(B) P(C),P(AC) P(A)P(C) P2(A),P(AB) P(A)P(B) P2(A),P(BC) P(B)P(C) P2(A),P(ABC) 0,因此有93P(A) 3P2(A),解得16P(A)=3/4或P(A)=1/4,又题设P(A)1/2,故P(A)=1/4. 9.1/6解:本题属抽签情况,每次抽到次品的概率相等,均为1/6,另外,用全概率公式也可求解. 10.1 1260解:这是一个古典概型问题,将七个字母任一种可能排列作为基本事件,则全部事件数为7!,而有利的基本事件数为1 2 1 2 1 1 1 4,故所求的概率为41.7!126011.3/7解:设事件A={抽取的产品为工厂A生产的},B={抽取的产品为工厂B生产的},C={抽取的是次品},则P(A)=0.6,P(B)=0.4,P(C|A)=0.01,P(C|B)=0.02,故有贝叶斯公式知P(A|C)P(AC)P(A)P(C|A)0.6 0.013. P(C)P(A)P(C|A) P(B)P(C|B)0.6 0.01 0.4 0.02712.6/11解:设A={甲射击},B={乙射击},C={目标被击中},则P(A)=P(B)=1/2,P(C|A)=0.6,P(C|B)=0.5,故P(A|C) P(AC) P(C)P(A)P(C|A)0.5 0.66.P(A)P(C|A) P(B)P(C|B)0.5 0.6 0.5 0.511三、设A,B,C是三事件,且P(A) P(B) P(C) 1,P(AB) P(BC)0,41P(AC) . 求A,B,C至少有一个发生的概率。

概率论与数理统计试卷A卷13-14

概率论与数理统计试卷A卷13-14

概率论与数理统计试卷A卷13-14班级:学号:姓名:装订线杭州师范大学经亨颐学院2021-1014学年第一学期期末考试《概率论与数理统计》试卷(A)一、填空(共40分,每空格4分)1.设A,B,C为三个事件,那么A,B,C中不多于两个发生可表示为。

2.设n个人的生日全不相同的概率为。

3.已知事件A,B满足P(B)?0.5,P(A)?0.3且互不相容,那么A,B中至少有一个发生的概率为。

4.已知事件A,B独立,两个事件仅A发生或者仅B发生的概率都是率为。

1,那么A发生的概4?e?x,x?05.设X的密度函数为p(x)??,E(2X?5)? 。

?0,x?0?2x,0?x?16.设X的密度函数为p(x)??,用Y表示对X的三次独立重复观察中事件0,其它?1{X?}出现的次数,则P(Y?2)? 。

27.设正态分布的密度函数为p(x)?1?e?(x2?4x?4),那么该分布的方差为。

?e?y,0?x?y8.设二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为p(x,y)??,那么其它?0,P(X?Y?1)? 。

?1,|y|?x,0?x?19.设二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为p(x,y)??,那么0,其它?COV(X,Y)? 。

10.设随机变量X1和X2独立,且X1~N(0,1),X2~?(n),则2X1的分布为。

X2/n二、计算题(共42分,每小题6分。

)1.一名学生在做一道有4个选项的单项选择题时,如果他不知道问题的正确答案,就做随机猜测,且学生知道正确答案和胡乱猜测的概率都是《课程名称》试题(第1页共5页)1。

现从卷面上看题是答对了,2求学生确实知道正确答案的概率。

2.设随机变量X的分布函数为?0,x?0?4 F(x)??Ax,0?x?1?1,x?1? 求:(1)系数A。

(2)X落在区间(0.1,0.2)内的概率。

(3)X的密度函数。

23.设随机变量X~N(0,?),求Y?X的密度函数。

2《课程名称》试题(第2页共5页)4.一仪器同时收到50个信号Ui,i?1,2,?,50,且Ui是相互独立的,且都是服从(0,10)内均匀分布。

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Y 服从 B
分布.
(A) N (0, 7) (B) N (0, 25) (C) N (10, 25) (D) N (10, 7)
20. 在第 19 小题中,P(X–Y<5) = C
(A) 97.72% (B) 2.28% (C) 84.13%
21.已知 X : B(10, 0.5) ,则 E(X2) = D
x,
, x 0.
0 他他
x
.

,
(D) 5/9
(D) 8/15
(D) 1/6
(D) 1
(D) 6%
(D) 502
(D) 100
(D) E(10)
;
2
则常数 k A
1 (A) 2
15.在第 14 小题中,
(A) 1
3 2
(B)
P{ 3

.
1 2
(B)

X
1 2

} 3
3 4
姓名:
_____________ ________
学号:
系别:
年级专业:
(密封线内不答题)
………………………………………密………………………………………………封………………………………………线……………………………………
……………………………
东莞理工学院(本科)试卷(A 卷)参考答案
2013 --2014 学年第一学期
(C) 0.9
(C) 7/8
(D) 0.2
(D) 1
(D) 0.5
(D) 1/2
1 5 (D) 2
得分
1
6.袋中有 4 只白球, 2 只红球,从中抽取两只,如果作放回抽样,则抽得的两个球颜
色相同的概率为: D
(A) 2/9
(B) 3/9
;
(C) 4/9
7 袋中有 4 只白球, 2 只红球,从中抽取两只,如果作不放回抽样,则抽得的两个球
《概率论与数理统计》试卷参考答案
开课单位:计算机学院数学教研室 ,考试形式:闭卷,允许带 计算器 入场
题序
得分

评卷人 注意:以下是本次考试可能用到的分位点以及标准正态分布的分布函数值:
z0.05 z0.025 t0.025 (15) t0.05 (15) t0.025 (24) t0.05 (24) (3) (2) (0.8) (1)
(A) 2.5
(B) 5
1 (C) 20!
(C)25
22.已知 D(X) = 1,E(Y) = 5,E( Y2 )= 26,X 和 Y 相互独立,则 D(X+2Y+1) =
C
(A) 3
.
(B) 4
(C) 5
23.已知 D(X) = 1,D(Y) = 1,X 和 Y 的相关系数 XY 2 / 3 .则 D(X+Y) =
颜色相同的概率为: C
(A) 5/15
(B) 6/15
8.在区间(0,1)上任取三个数,则这三个数之和小于 1 的概率为 D
(A) 1
(B) 1/2
;
(C) 7/15
(C) 1/3
9. 三个人独立破译一个密码,他们单独破译的概率均为 1/3,则此密码能被破译
的概率为 C
(A) 1/27

(B) 8/27
(C) 19/27
10. 三间工厂生产某种元件,假设三间工厂生产元件的份额之比为 1:1:1,第一间
厂生产的元件的次品率为 1%,第二间厂生产的元件的次品率为 2%,第一间厂生
产的元件的次品率为 3%,请问:抽查这三间厂生产的一个元件,该元件为次品的概
率为 B
(A) 1%
.
(B) 2%
(C) 3%
11.某房地产公司业务员平均每见四个客户可以谈成一笔生意,她一天见了 10
P(B A) = C ;
(A) 0
(B) 0.2
(C) 0.3
4. 已知某对夫妇有三个小孩,在已知至少有一个女孩的条件下,至少还有一个
男孩的概率为
(A) 6/7
A.
(B) 3/4
5.已知离散型随机变量X分布律为 P( X i) 1 pi , i 0, 1, 2 ,则 p 的值为 2
C
(A) 0.9
(B) 0.8
2. A、B 是两个随机事件,P( A ) = 0.4,P( B ) = 0.5,且 A 与 B 相互独立,则
P(A B) B
(A) 0.7
(B) 0.8
(C) 0.7
二 总分
;【摩根定律;事件的独立性】
3. 已知 A,B 是两个随机事件,P( A | B ) =P( B | A ) = 0.5,P( AB ) = 0.3,则
A
(A) 2/3
.
24.设随机向量(X,Y)具有联合密度函数
(B) 4/3
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(C) 8/3
对全部高中资料试卷电气设备,在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验;通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关,通系电1,力过根保管据护线生高0不产中仅工资2艺料22高试2可中卷以资配解料置决试技吊卷术顶要是层求指配,机置对组不电在规气进范设行高备继中进电资行保料空护试载高卷与中问带资题负料2荷试2,下卷而高总且中体可资配保料置障试时2卷,32调需3各控要类试在管验最路;大习对限题设度到备内位进来。行确在调保管整机路使组敷其高设在中过正资程常料1工试中况卷,下安要与全加过,强度并看工且25作尽52下可22都能护可地1关以缩于正小管常故路工障高作高中;中资对资料于料试继试卷电卷连保破接护坏管进范口行围处整,理核或高对者中定对资值某料,些试审异卷核常弯与高扁校中度对资固图料定纸试盒,卷位编工置写况.复进保杂行护设自层备动防与处腐装理跨置,接高尤地中其线资要弯料避曲试免半卷错径调误标试高方中等案资,,料要编试求5写、卷技重电保术要气护交设设装底备备置。4高调、动管中试电作线资高气,敷料中课并设3试资件且、技卷料中拒管术试试调绝路中验卷试动敷包方技作设含案术,技线以来术槽及避、系免管统不架启必等动要多方高项案中方;资式对料,整试为套卷解启突决动然高过停中程机语中。文高因电中此气资,课料电件试力中卷高管电中壁气资薄设料、备试接进卷口行保不调护严试装等工置问作调题并试,且技合进术理行,利过要用关求管运电线行力敷高保设中护技资装术料置。试做线卷到缆技准敷术确设指灵原导活则。。:对对在于于分调差线试动盒过保处程护,中装当高置不中高同资中电料资压试料回卷试路技卷交术调叉问试时题技,,术应作是采为指用调发金试电属人机隔员一板,变进需压行要器隔在组开事在处前发理掌生;握内同图部一纸故线资障槽料时内、,设需强备要电制进回造行路厂外须家部同出电时具源切高高断中中习资资题料料电试试源卷卷,试切线验除缆报从敷告而设与采完相用毕关高,技中要术资进资料行料试检,卷查并主和且要检了保测解护处现装理场置。设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况,然后根据规范与规程规定,制定设备调试高中资料试卷方案。
0
sin 0
《概率论与数理统计》试卷 第- 2 -页 共 7 页
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对全部高中资料试卷电气设备,在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验;通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关,通系电1,力过根保管据护线生高0不产中仅工资2艺料22高试2可中卷以资配解料置决试技吊卷术顶要是层求指配,机置对组不电在规气进范设行高备继中进电资行保料空护试载高卷与中问带资题负料2荷试2,下卷而高总且中体可资配保料置障试时2卷,32调需3各控要类试在管验最路;大习对限题设度到备内位进来。行确在调保管整机路使组敷其高设在中过正资程常料1工试中况卷,下安要与全加过,强度并看工且25作尽52下可22都能护可地1关以缩于正小管常故路工障高作高中;中资对资料于料试继试卷电卷连保破接护坏管进范口行围处整,理核或高对者中定对资值某料,些试审异卷核常弯与高扁校中度对资固图料定纸试盒,卷位编工置写况.复进保杂行护设自层备动防与处腐装理跨置,接高尤地中其线资要弯料避曲试免半卷错径调误标试高方中等案资,,料要编试求5写、卷技重电保术要气护交设设装底备备置。4高调、动管中试电作线资高气,敷料中课并设3试资件且、技卷料中拒管术试试调绝路中验卷试动敷包方技作设含案术,技线以来术槽及避、系免管统不架启必等动要多方高项案中方;资式对料,整试为套卷解启突决动然高过停中程机语中。文高因电中此气资,课料电件试力中卷高管电中壁气资薄设料、备试接进卷口行保不调护严试装等工置问作调题并试,且技合进术理行,利过要用关求管运电线行力敷高保设中护技资装术料置。试做线卷到缆技准敷术确设指灵原导活则。。:对对在于于分调差线试动盒过保处程护,中装当高置不中高同资中电料资压试料回卷试路技卷交术调叉问试时题技,,术应作是采为指用调发金试电属人机隔员一板,变进需压行要器隔在组开事在处前发理掌生;握内同图部一纸故线资障槽料时内、,设需强备要电制进回造行路厂外须家部同出电时具源切高高断中中习资资题料料电试试源卷卷,试切线验除缆报从敷告而设与采完相用毕关高,技中要术资进资料行料试检,卷查并主和且要检了保测解护处现装理场置。设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况,然后根据规范与规程规定,制定设备调试高中资料试卷方案。
1.645 1.96 2.1315 1.7531 2.0639 1.7109 0.9987 0.9772 0.7881 0.8413
一、选择填空题(共 70 分,每小题 2 分)
1. A、B 是两个随机事件,P( A ) = 0.4,P( B ) = 0.5,且 A 与 B 互不相容,
则 P( A B) = A ;【概率的有限可加性:和的概率=概率的和】
(A) 7/36
(B) 9/36
18.设松山湖园区理工学院后门 K2 专线车的载客人数服从 20 的泊松分布,
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