三次样条求导函数
三次样条曲线推导过程
三次样条曲线推导过程三次样条曲线是一种常用的曲线插值方法，可以通过一系列已知控制点来生成平滑的曲线。
下面是推导三次样条曲线的基本过程：1.整理控制点：给定一组已知控制点P0, P1, P2, ..., Pn，其中每个点Pi的坐标为(xi, yi)。
我们的目标是找到一个曲线函数C(t)，其中t的范围在[0, 1]之间。
2.定义曲线段：将整个插值范围[0, 1]划分为一系列曲线段，每个曲线段由相邻的两个控制点构成。
我们有n个控制点，则会有n个曲线段。
3.插值求解：对于每个曲线段，我们希望找到一条插值曲线，使得该曲线通过两个相邻控制点，并且在相邻曲线段的连接处保持平滑。
4.建立方程：为了推导每个曲线段的曲线方程，我们需要定义一些参数。
引入参数t，其中t的范围为[0, 1]。
假设我们有一个曲线段的控制点Pi和Pi+1。
我们需要定义两个参数h和u，其中h = xi+1 - xi，u = (t - xi) / h。
5.插值方程：通过插值方法，我们可以得到曲线段的插值方程。
一个典型的三次样条曲线方程为： C(t) = (1 - u)^3 * P_i+ 3 * (1 - u)^2 * u * P_i+1 + 3 * (1 - u) * u^2 * P_i+2 + u^3 *P_i+3这个方程表示了在t范围内从Pi到Pi+3的曲线。
对每个相邻的控制点对应的曲线段都应用相同的方法，然后将它们拼接在一起，就可以得到整个三次样条曲线。
请注意，以上是三次样条曲线的简化推导过程，实际的推导可能会涉及更多的数学推导和符号表示。
三次样条插值导数的关系式
三次样条插值导数的关系式
三次样条插值导数的关系式
三次样条插值是一种常用的插值方法，用于在已知数据点之间插值出平滑的曲线。在三次样条 插值中，导数是一个重要的性质，可以通过求解线性方程组来计算。
设有n+1个数据点 (x0, y0), (x1, y1), ..., (xn, yn)，其中x0 < x1 < ... < xn。对于每个区间 [x_i, x_{i+1}]，我们可以用一个三次多项式 S_i(x) 来插值。每个多项式 S_i(x) 的表达式为：
三次样条插值导数的关系式
最后，根据需要，可以使用导数的关系式来计算任意点的导数值。例如，对于区间 [x_i, x_{i+1}]，导数 S_i'(x) 的表达式为：
S_i'(x) = b_i + 2c_i(x - x_i) + 3d_i(x - x_i)^2
这样，我们就可以通过三次样条插值来计算导数值了。
S_i(x) = a_i + b_i(x - x_i) + c_i(x - x_i)^2 + d_i(x - x_i)^3
三次样条插值导数的关系式
其中，a_i, b_i, c_i, d_i 是待定系数。为了保证插值曲线的平滑性，我们需要足以下条 件：
第三讲三次样条函数
给定区间[0, 上 例1 给定区间 3]上 3 个点的函数 值 f(0)=0, f(1)=2, f(3)=4, 试求数 a, b, c, d, 使函数 S(x)为给定点上的三次样条插值 为给定点上的三次样条插值 函数. 函数 其中 x2 + x + d , 0≤ x ≤1 S( x) = 3 . 2 ax + bx + cx + 1, 1 ≤ x ≤ 3
答案: 答案 a = −1, b = 4, c = −2, d = 0.
给定n+1个样点 i, yi )(i=0, 1, …, n), 个样点(x 给定 个样点 确定一个三次样条插值函数需要4n个独 确定一个三次样条插值函数需要 个独 立条件. 在定义中, 已指定了4n–2个条件 即 个条件, 立条件 在定义中 已指定了 个条件
yi Mi yi +1 Mi +1 + − hi ( xi +1 − x ) + − hi ( x − xi ) 6 6 hi hi
x ∈ [ x i , x i +1 ]
( xi +1 − x )2 ( x − xi )2 S ′( x ) = − Mi + Mi +1 2hi 2hi yi +1 − yi Mi +1 − Mi hi + − hi 6
M 0 d0 M d 1 1 M 2 d2 = M M λ n −1 M n −1 d n −1 2 M n dn
对于第1型插值问题 对于第 型插值问题: 型插值问题 λ 0 = 1, d 0 = 6 ( y1 − y 0 ) h0 − y 0′ h0 , µ n = 1, d n = 6 y n′ − ( y n − y n − 1 ) hn − 1 hn − 1 . 对于第2型插值问题 型插值问题: 对于第 型插值问题 λ 0 = 0, d 0 = 2 y 0′′ , µ n = 0, d n = 2 y n′′ . 对于第3型插值问题 对于第 型插值问题: 型插值问题
三次样条插值满足导数条件需要注意的地方
三次样条插值满足导数条件需要注意的地方三次样条插值，听起来是不是有点吓人？别急，今天我就来给你聊聊这个话题，保证你听了之后，不光能搞懂它，还能有点儿乐趣。
三次样条插值，说简单了，就是我们用一些数学工具，把一些离散的点通过平滑的曲线连起来。
它和我们平时画图、做设计时常用的“曲线拟合”差不多。
想想看，当你看到一张波浪起伏的图，心里想着：“这曲线可得平滑点！”——这就是三次样条插值的基本思想。
有人可能会想，哎呀，听起来挺复杂的，但其实呢，这里面的奥秘，并没有大家想象的那么深奥。
我们先从一个简单的角度来看看。
大家都知道，数学就像是一个万花筒，里面的世界五花八门，千变万化，而三次样条插值正是其中一个常见的“花样”。
如果你把数据点放在平面上，直接连成一条直线——这不行，太死板，不够平滑。
二次曲线呢？好像还行，但总觉得有点儿硬，像是拉面拉多了，还是没到那个火候。
可三次样条插值就不同，它通过对每段区间的曲线进行精细调控，确保每个数据点连接得既不生硬，也不突兀，好像拉面师傅巧妙地控制着面条的粗细，既有韧劲，又不失柔滑。
而讲到这里，很多朋友可能会问，那它是不是很简单？嗯，简单是简单，但有些细节得留意。
最典型的就是导数条件。
哎，你是不是也在心里翻个白眼，想说这又是什么鬼？别急，耐心听我解释。
导数，通俗点说，就是曲线的“斜率”，它决定了曲线在每个点的倾斜程度。
为了让这条插值曲线看起来不突兀，导数得保持一致性，不能忽高忽低。
就像是你在开车，路面如果时高时低，突然爬坡又急刹车，那驾驶体验不堪回首，特别容易晕车。
可如果导数条件得当，插值曲线就能顺滑地“过弯”，让你轻松自如地走完每一段。
好啦，咱们来细说几个地方，特别是那些需要注意的细节。
边界条件。
我们知道，样条曲线总得有个“头”和“尾”，这两端的处理可不是随便的事。
假如你不设定好边界条件，曲线可能会跑偏，偏离预期目标。
就像你约好时间去见朋友，结果迟到了，朋友早早等得不耐烦，最后两人都不高兴。
第八节三次样条插值-PPT精品文档
S(xi 0) S(xi 0) (i 1 ,2 , ,n1 ) S(xi 0) S(xi 0) (i 1 ,2 , ,n1 ) (xi 0) S (xi 0) (i 1 S ,2 , , n1 ) S(xi ) yi (i 0 ,1 ,2 , ,n)
则有
f [ xi 1 , xi ] ( 1 ) m 2 mm i i 1 i i i 1 i ,m m y y 并注意到 , x i 1 ]
差商
内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾 制作
因而有三对角方程组（基本方程组）
2m 1 1m 2 1 (11) y0 (1 )m 2m m 2 1 2 2 3 2 (1 )m 2m m n2 n3 n2 n2 n1 n2 (1n1)mn2 2mn1 n1 n1 yn
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边界条件的类型
(1) 已知一阶导数值： (2) 已知二阶导数值：
S ( x ) yS , ( x ) y 0 0 n n
Sx (0 ) ySx , (n ) y 0 n
(3)被逼近函数是周
期函数：
其系数行列式是一个三对角行列式，在后面将用追赶方法求 其解，于是得到分段插值多项式，即三次样条函数。
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基本步骤：
•构造已知条件（由三次样条函数的特征）；
•积分（反推）；
•确定系数：
•确定： •求出：
•利用边界条件，例如：
,i； Si ( x) m i
i
为了保证二阶导数的连续性，要求成立
s (0 x )(0 s x ) ,( 3 8 ) ( i 1 , 2 , , n 1 ) 3 i 3 i
三次样条球导数
三次样条球导数1. 引言在数学和计算机图形学中，三次样条球是一种常用的曲面插值方法。
它可以通过一组给定的控制点，生成一个平滑的曲面。
而计算三次样条球的导数，则是为了获得曲面在各个方向上的变化率信息。
本文将介绍三次样条球导数的计算方法及其应用。
2. 三次样条球2.1 原理三次样条球是由一组控制点确定的曲面，其中每个控制点都有一个权重值。
这些权重值用于调整每个控制点对曲面造成的影响程度。
通过调整权重值，可以改变曲面在不同区域上的形状。
2.2 插值方法三次样条球使用插值方法来生成曲面。
插值是一种通过已知数据点推断未知数据点的技术。
对于三次样条球，我们需要提供一组控制点和相应的权重值作为输入数据，然后通过插值计算得到曲面上任意位置处的数值。
2.3 控制点与权重值在三次样条球中，控制点决定了曲线或曲面经过哪些位置。
而权重值则决定了每个控制点对曲线或曲面造成的影响程度。
通过调整权重值，可以改变曲线或曲面在不同区域上的形状。
2.4 曲面生成通过插值方法，我们可以计算三次样条球上任意位置处的数值。
这些数值可以用于生成曲面。
一种常用的生成方法是使用三角网格，将曲面离散化为一系列小三角形，并根据插值计算得到每个小三角形上的数值。
3. 三次样条球导数3.1 导数的定义导数描述了一个函数在给定点处的变化率。
对于三次样条球来说，导数提供了曲面在各个方向上的变化率信息。
通过计算导数，我们可以了解曲面在某一点处是朝向哪个方向变化，并且变化速率有多快。
3.2 导数计算方法为了计算三次样条球的导数，我们需要使用微积分中的差商公式。
差商公式允许我们通过已知数据点之间的差异来推断未知数据点之间的差异。
对于三次样条球来说，我们可以使用差商公式来推断曲面在不同方向上的斜率。
3.3 应用场景三次样条球导数在计算机图形学中有广泛的应用。
例如，在计算机动画中，我们可以使用曲面的导数来控制物体的运动轨迹。
通过调整导数值，我们可以实现物体在不同时间点上的平滑过渡和变形效果。
第12章 三次样条
第12章三次样条众所周知，使用高阶多项式的插值常常产生病态的结果。
目前，有多种消除病态的方法。
在这些方法中，三次样条是最常用的一种。
在MATLAB中，实现基本的三次样条插值的函数有spline，ppval，mkpp和unmkpp。
在这些函数中，仅spline在《MATLAB参考指南》中有说明。
下面几节，将展示在M文件函数中实现三次样条的基本特征。
12.1 基本特征在三次样条中，要寻找三次多项式，以逼近每对数据点间的曲线。
在样条术语中，这些数据点称之为断点。
因为，两点只能决定一条直线，而在两点间的曲线可用无限多的三次多项式近似。
因此，为使结果具有唯一性。
在三次样条中，增加了三次多项式的约束条件。
通过限定每个三次多项式的一阶和二阶导数，使其在断点处相等，就可以较好地确定所有内部三次多项式。
此外，近似多项式通过这些断点的斜率和曲率是连续的。
然而，第一个和最后一个三次多项式在第一个和最后一个断点以外，没有伴随多项式。
因此必须通过其它方法确定其余的约束。
最常用的方法，也是函数spline所采用的方法，就是采用非扭结(not-a-knot)条件。
这个条件强迫第一个和第二个三次多项式的三阶导数相等。
对最后一个和倒数第二个三次多项式也做同样地处理。
基于上述描述，人们可能猜想到，寻找三次样条多项式需要求解大量的线性方程。
实际上，给定N个断点，就要寻找N-1个三次多项式，每个多项式有4个未知系数。
这样，所求解的方程组包含有4*(N-1)个未知数。
把每个三次多项式列成特殊形式，并且运用各种约束，通过求解N个具有N个未知系数的方程组，就能确定三次多项式。
这样，如果有50个断点，就有50个具有50个未知系数的方程组。
幸好，用稀疏矩阵，这些方程式能够简明地列出并求解，这就是函数spline所使用的计算未知系数的方法。
12.2 分段多项式在最简单的用法中，spline获取数据x和y以及期望值xi，寻找拟合x和y的三次样条内插多项式，然后，计算这些多项式，对每个xi的值，寻找相应的yi。
数值分析三次样条插值
0
2
1
n1
1
n2
2 n1
M d 0
MM dd n2 M d 2
1 1 2 2
n1 n1 n n
di f xi2, xi1, xi
华长生制作
7
2、 三弯矩构造法
三次样条插值函数 S( x) 可以有多种表达式，有时用二阶导数
值S( xi) Mi (i 0,1,, n)
Mi
xi
表示时，使用更方便。 在力学上解释
为细M梁i 在 S处( x的) 弯矩，并且得到的弯矩与相邻两个弯矩有关，故
称用由于表S(示x)在区间的算[x法i , x为i三1](弯i 矩0,算1,法,。n 1) 上是三次多项式，
hn
n1 3
Mn
f
x0 , x1 f
xn1, xn
其中
0
h1 h1h n
1
0 ,
hn , 0 hnh0
d1
6(
f
[
x
,
0
x1]
f
x[ , n1
x
n])(h1
h
n)
1
.
可解出 M i (i 0,1,, n) ，方程组的矩阵形式为
2
hi
min hi
,M4
max x[a,b]
f (4) (x)
1in
华长生制作
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精品课件！
精品课件！
可见S(x), S(x)和S(x)在[a,b]上一致收敛到f (x), f (x)和f (x)
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三次样条求导函数
function ppd=ppder(pp)
% pp=spline(x0,y0)
[breaks,coefs,l]=unmkpp(pp);
% breaks 是节点横坐标，coefs是每一段上的三次多项式的系数，l 是分的段
数
for n=1:l
coefs1(n,:)=polyder(coefs(n,:));
end
ppd=mkpp(breaks,coefs1,1);
%ppd 是一个类似pp 的结构体数据，计算这样的分段多项式的值可以用
ppval(ppd,x)
举例：
>> pp=spline(linspace(0,2*pi,50),sin(linspace(0,2*pi,50)))
pp =
form: 'pp'
breaks: [1x50 double]
coefs: [49x4 double]
pieces: 49
order: 4
dim: 1
[breaks,coefs,l]=unmkpp(pp)
breaks =
Columns 1 through 12
0 0.1282 0.2565 0.3847 0.5129 0.6411 0.7694 …
…..
Columns 49 through 50
6.1550 6.2832
coefs =
-0.1643 -0.0007 1.0000 0
-0.1643 -0.0639 0.9918 0.1279
-0.1581 -0.1270 0.9673 0.2537
…….
0.1453 -0.2731 -0.8381 0.5455
0.1546 -0.2172 -0.9010 0.4339
……
-0.1503 0.2457 0.8713 -0.4907 -0.1581 0.1879 0.9269 -0.3753 -0.1643 0.1270 0.9673 -0.2537 -0.1643 0.0639 0.9918 -0.1279 l =
49
>> pp1=mkpp(breaks,coefs,1)
pp1 =
form: 'pp'
breaks: [1x50 double]
coefs: [49x4 double]
pieces: 49
order: 4
dim: 1
>>ppd=ppder(pp)
ppd =
form: 'pp'
breaks: [1x50 double]
coefs: [49x3 double]
pieces: 49
order: 3
dim: 1
>>ppval(pp,3)
ans =
0.1411
>> sin(3)
ans =
0.1411
>> ppval(ppd,3)
ans =
-0.9900
>> cos(3)
ans =
-0.9900
注意函数inline的使用
下例是当函数要求输入变量是’函数名’，而且函数较简单且不常用，没有必要为了做积分再建一个函数M文件，就可以用inline来建一个临时的可调用的函数F = inline('1./(x.^3-2*x-5)');
Q = quadl(F,0,2);
注：1、看起来F因该是一个表示函数的字符串，其实
>> F = inline('1./(x.^3-2*x-5)')
F =
Inline function:
F(x) = 1./(x.^3-2*x-5)
>> whos
Name Size Bytes Class
F 1x1 846 inline object
Grand total is 48 elements using 846 bytes.
2、function y = myfun(x)
y = 1./(x.^3-2*x-5)
-------------------------------------------------------------------------------------
Q = quadl(@myfun,0,2)或者Q = quadl('myfun',0,2)
或者Q = quadl('1./(x.^3-2*x-5)',0,2)
这几个形式都是quadl在编写过程中通过定义允许使用的形式，也就是说与
quadl的编写有关。