2019-2020学年新教材高中数学第一章集合与常用逻辑用语1.2集合间的基本关系教师用书新人教A版必修第一册

1．2 集合间的基本关系考点学习目标核心素养子集、真子集、空集的概念理解子集、真子集、空集的概念，会用列举法求有限集的所有子集数学抽象集合关系的判定能用符号和Venn图表达集合间的关系，会判断两个集合间的关系数学抽象、逻辑推理集合关系的应用能根据集合的关系解决简单的求参问题逻辑推理、数学运算问题导学预习教材P7－P8，并思考以下问题：1．集合与集合之间的关系有哪几种？如何用符号表示这些关系？2．集合的子集是什么？真子集又是什么？如何用符号表示？3．空集是什么样的集合？空集和其他集合间具有什么关系？1．Venn图(1)定义：在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图，这种表示集合的方法叫做图示法．(2)适用范围：元素个数较少的集合．(3)使用方法：把元素写在封闭曲线的内部．■名师点拨表示集合的Venn图的边界是封闭曲线，它可以是圆、矩形、椭圆，也可以是其他封闭曲线．2．子集的概念文字语言符号语言图形语言一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集A⊆B(或B⊇A)“集合A是集合B的子集”可以表述为：若x∈A，则x∈B.3．集合相等的概念一般地，如果集合A 的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B 相等，记作A＝B，也就是说，若A⊆B，且B⊆A，则A ＝B.4．真子集的概念文字语言符号语言图形语言如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是B的真子集A B(或B A)■名师点拨(1)若A⊆B，又B⊆A，则A＝B；反之，如果A＝B，则A⊆B，且B⊆A.(2)若两集合相等，则两集合所含元素完全相同，与元素排列顺序无关．(3)在真子集的定义中，A B首先要满足A⊆B，其次至少有一个x∈B，但x∉A.5．空集(1)定义：不含任何元素的集合叫做空集．(2)用符号表示为：∅．(3)规定：空集是任何集合的子集．■名师点拨∅，0，{0}与{∅}之间的关系∅与0∅与{0}∅与{∅}相同点都表示无的意思都是集合都是集合不同点∅是集合；0是实数∅不含任何元素；{0}含一个元素0∅不含任何元素；{∅}含一个元素，该元素是∅关系0∉∅∅{0}∅{∅}或∅∈{∅} 6．子集的有关性质(1)任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A.(2)对于集合A，B，C，如果A⊆B，且B⊆C，那么A⊆C．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)“∈”“⊆”的意义是一样的．( )(2)集合{0}是空集．( )(3)空集是任何集合的真子集．( )(4)若集合A是集合B的真子集，则集合B中必定存在元素不在集合A中．( )(5)若a∈A，集合A是集合B的子集，则必定有a∈B.( )答案：(1)×(2)×(3)×(4)√(5)√已知集合M＝{1}，N＝{1，2，3}，能够准确表示集合M与N之间关系的是( ) A．M<N B．M∈NC．N⊆M D．M N答案：D已知集合A＝{x|x是三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}，C＝{x|x是等腰直角三角形}，D＝{x|x是等边三角形}，则( )A．A⊆B B．C⊆BC．D⊆C D．A⊆D解析：选B.因为等腰直角三角形必为等腰三角形，所以C⊆B.下列四个集合中是空集的是( )A．{∅} B．{x∈R|x2＋1＝0}C．{x|x<4或x>8} D．{x|x2＋2x＋1＝0}解析：选B.A，D选项各有一个元素，C项中有无穷多个元素，x2＋1＝0无实数解，故选B.已知集合A＝{0，1}，B＝{－1，0，a＋3}，且A⊆B，则a＝________．解析：因为A⊆B，所以a＋3＝1，即a＝－2.答案：－2集合间关系的判断指出下列各对集合之间的关系：(1)A＝{－1，1}，B＝{(－1，－1)，(－1，1)，(1，－1)，(1，1)}；(2)A＝{x|－1<x<4}，B＝{x|x－5<0}；(3)A＝{x|x是正方形}，B＝{x|x是矩形}；(4)M＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}．【解】(1)集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系．(2)集合B＝{x|x<5}，用数轴表示集合A，B，如图所示，由图可知A B.(3)正方形是特殊的矩形，故A B.(4)两个集合都表示正奇数组成的集合，但由于n∈N*，因此集合M含有元素“1”，而集合N不含元素“1”，故N M.1．能正确表示集合M＝{x∈R|0≤x≤2}和集合N＝{x∈R|x2－x＝0}关系的Venn图是( )解析：选B.解x2－x＝0得x＝1或x＝0，故N＝{0，1}，易得N M，其对应的Venn图如选项B所示．2．已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{1，2}，C＝{x|x<8，x∈N}，用适当的符号填空：(1)A________B；(2)A________C；(3){2}________C；(4)2________C.解析：集合A为方程x2－3x＋2＝0的解集，即A＝{1，2}，而C＝{x|x<8，x∈N}＝{0，1，2，3，4，5，6，7}．故(1)A＝B；(2)A C；(3){2}C；(4)2∈C.答案：(1)＝(2)(3)(4)∈子集、真子集的个数问题(1)(2019·安庆检测)已知集合A＝{x∈R|x2－3x＋2＝0}，B＝{x∈N|0<x<5}，则满足条件A C B的集合C的个数为( )A．1 B．2C．3 D．4(2)已知集合A＝{x∈R|x2＝a}，使集合A的子集个数为2的a的值为( )A．－2 B．4C．0 D．以上答案都不是(3)若A＝{2，3，4}，B＝{x|x＝mn，m，n∈A且m≠n}，则集合B的非空真子集的个数为( )A．3 B．6C．7 D．8【解析】(1)由x2－3x＋2＝0，得x＝1或x＝2，所以A＝{1，2}．由题意知B＝{1，2，3，4}，所以满足条件的C可为{1，2，3}，{1，2，4}．(2)由题意知，集合A中只有1个元素，必有x2＝a只有一个解；若方程x2＝a只有一个解，必有a＝0.(3)由题意A＝{2，3，4}，B＝{x|x＝mn，m，n∈A且m≠n}，可知B＝{6，8，12}，所以集合B的非空真子集的个数为：23－2＝6.【答案】(1)B (2)C (3)B(变条件)若将本例(1)的条件改为{2，3}⊆C⊆{1，2，3，4，5}，试写出集合C的所有可能．解：当C中含有两个元素时，C为{2，3}；当C中含有三个元素时，C为{2，3，1}，{2，3，4}，{2，3，5}；当C中含有四个元素时，C为{2，3，1，4}，{2，3，1，5}，{2，3，4，5}；当C中含有五个元素时，C为{2，3，1，4，5}；所以满足条件的集合C为{2，3}，{2，3，1}{2，3，4}，{2，3，5}，{2，3，1，4}，{2，3，1，5}，{2，3，4，5}，{2，3，1，4，5}．(1)求集合子集、真子集个数的3个步骤(2)与子集、真子集个数有关的4个结论假设集合A中含有n个元素，则有①A的子集的个数有2n个；②A的非空子集的个数有2n－1个；③A的真子集的个数有2n－1个；④A的非空真子集的个数有2n－2个．若集合A{1，2，3}，且A中至少含有一个奇数，则这样的集合有________个．解析：若A中含有一个奇数，则A可能为{1}，{3}，{1，2}，{3，2}；若A中含有两个奇数，则A＝{1，3}．答案：5由集合间的包含关系求参数已知集合A ＝{x |－3≤x ≤4}，B ＝{x |1<x <m }(m >1)，且B ⊆A ，则实数m 的取值范围是________．【解析】 由于B ⊆A ，结合数轴分析可知，m ≤4， 又m >1，所以1<m ≤4.【答案】 1<m ≤41．(变条件)本例若将“B ＝{x |1<x <m }(m >1)”改为“B ＝{x |1<x <m }”，其他条件不变，则实数m 的取值范围又是什么？解：若m ≤1，则B ＝∅，满足B ⊆A . 若m >1，则由例题解析可知1<m ≤4. 综上可知m ≤4.2．(变条件)本例若将“B ＝{x |1<x <m }(m >1)”改为“B ＝{x |2m －1<x <m ＋1}”，其他条件不变，则实数m 的取值范围又是什么？解：因为B ⊆A ，①当B ＝∅时，m ＋1≤2m －1，解得m ≥2. ②当B ≠∅时，有⎩⎪⎨⎪⎧－3≤2m －1，m ＋1≤4，2m －1＜m ＋1，解得－1≤m <2. 综上得m ≥－1.3．(变条件)本例若将集合A ，B 分别改为A ＝{－1，3，2m －1}，B ＝{3，m 2}，其他条件不变，则实数m 的值又是什么？解：因为B ⊆A ，所以m 2＝2m －1，即(m －1)2＝0，所以m ＝1，当m ＝1时，A ＝{－1，3，1}，B ＝{3，1}满足B ⊆A .所以m 的值为1.由集合间的包含关系求参数的方法(1)当集合为不连续数集时，常根据集合包含关系的意义，建立方程求解，此时应注意分类讨论；(2)当集合为连续数集时，常借助数轴来建立不等关系求解，应注意端点处是实点还是虚点．[注意] (1)不能忽视集合为∅的情形．(2)当集合中含有字母参数时，一般需要分类讨论．已知集合A ＝{x |x 2＋x －6＝0}，B ＝{x |mx ＋1＝0}，BA ，求m 的值．解：A ＝{x |x 2＋x －6＝0}＝{－3，2}． 因为BA ，所以B ＝{－3}或B ＝{2}或B ＝∅. 当B ＝{－3}时，由m ·(－3)＋1＝0，得m ＝13.当B ＝{2}时，由m ·2＋1＝0，得m ＝－12.当B ＝∅时，m ＝0.综上所述，m ＝13或m ＝－12或m ＝0.1．下列命题中正确的是( ) A ．空集没有子集B ．空集是任何一个集合的真子集C ．任何一个集合必有两个或两个以上的子集D ．设集合B ⊆A ，那么，若x ∉A ，则x ∉B解析：选D.空集有唯一一个子集，就是其本身，故A ，C 错误；空集是任何一个非空集合的真子集，故B 错误；由子集的概念知D 正确．2．已知集合A ＝{x |x ＝3k ，k ∈Z }，B ＝{x |x ＝6k ，k ∈Z }，则A 与B 之间的最适合的关系是( )A ．A ⊆B B ．A ⊇BC ．AB D ．AB解析：选D.集合A 是能被3整除的整数组成的集合，集合B 是能被6整除的整数组成的集合，所以BA .3．满足{a }⊆M {a ，b ，c ，d }的集合M 共有( )A ．6个B ．7个C ．8个D ．15个解析：选B.依题意a ∈M ，且M{a ，b ，c ，d }，因此M 中必含有元素a ，且可含有元素b ，c ，d 中的0个、1个或2个，即M 的个数等于集合{b ，c ，d }的真子集的个数，有23－1＝7(个)．4．设集合A ＝{1，3，a }，B ＝{1，1－2a }，且B ⊆A ，则a 的值为________． 解析：由题意得1－2a ＝3或1－2a ＝a ， 解得a ＝－1或a ＝13.当a ＝－1时，A ＝{1，3，－1}，B ＝{1，3}，符合条件．当a ＝13时，A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，3，13，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，13，符合条件．所以a 的值为－1或13.答案：－1或13[A 基础达标]1．(2019·衡水检测)已知集合A ＝{1，2，3，4，5，6}，B ＝{3，4，5，X }，若B ⊆A ，则X 可以取的值为( )A ．1，2，3，4，5，6B ．1，2，3，4，6C ．1，2，3，6D ．1，2，6解析：选D.由B ⊆A 和集合元素的互异性可知，X 可以取的值为1，2，6. 2．已知集合A ＝{x |x 2－9＝0}，则下列式子表示正确的有( ) ①3∈A ；②{－3}∈A ；③∅⊆A ；④{3，－3}⊆A . A ．4个 B ．3个 C ．2个D ．1个解析：选B.根据题意，集合A ＝{x |x 2－9＝0}＝{－3，3}，依次分析4个式子： 对于①3∈A ，3是集合A 的元素，正确； ②{－3}∈A ，{－3}是集合，有{－3}⊆A ，错误； ③∅⊆A ，空集是任何集合的子集，正确；④{3，－3}⊆A ，任何集合都是其本身的子集，正确；共有3个正确．3．已知a 为给定的实数，那么集合M ＝{x |x 2－3x －a 2＋2＝0，x ∈R }的子集的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．4D ．不确定解析：选C.方程x 2－3x －a 2＋2＝0的根的判别式Δ＝1＋4a 2>0， 所以方程有两个不相等的实数根，所以集合M 有2个元素，所以集合M 有22＝4个子集．4．已知集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k 2＋14，k ∈Z ，N ＝{x |x ＝k 4＋12，k ∈Z }，则( )A ．M ＝NB ．M NC ．MND ．M 与N 没有相同元素解析：选C.因为k 2＋14＝14(2k ＋1)，k 4＋12＝14(k ＋2)，当k ∈Z 时，2k ＋1是奇数，k ＋2是整数，又奇数都是整数，且整数不都是奇数，所以MN .故选C.5．已知集合P ＝{x |x 2＝1}，Q ＝{x |ax ＝1}，若Q ⊆P ，则a 的值是( ) A ．1 B ．－1 C ．1或－1D ．0，1或－1解析：选D.由题意，当Q 为空集时，a ＝0，符合题意；当Q 不是空集时，由Q ⊆P ，得a ＝1或a ＝－1.所以a 的值为0，1或－1.6．设集合M ＝{(x ，y )|x ＋y <0，xy >0}和P ＝{(x ，y )|x <0，y <0}，那么M 与P 的关系为________．解析：因为xy >0，所以x ，y 同号，又x ＋y <0，所以x <0，y <0，即集合M 表示第三象限内的点，而集合P 也表示第三象限内的点，故M ＝P .答案：M ＝P7．已知∅{x |x 2＋x ＋a ＝0}，则实数a 的取值范围是________． 解析：因为∅{x |x 2＋x ＋a ＝0}，所以方程x 2＋x ＋a ＝0有实数根，即Δ＝1－4a ≥0，a≤14. 答案：a ≤148．设A ＝{x |－1<x ≤3}，B ＝{x |x >a }，若A B ，则a 的取值范围是________． 解析：集合A ，B 在数轴上表示如图，由A B 可求得a ≤－1，注意端点能否取到是正确求解的关键．答案：a ≤－19．判断下列集合间的关系： (1)A ＝{－1，1}，B ＝{x ∈N |x 2＝1}．(2)P ＝{x |x ＝2n ，n ∈Z }，Q ＝{x |x ＝2(n －1)，n ∈Z }．(3)A ＝{x |x －3>2}，B ＝{x |2x －5≥0}．(4)A ＝{x |x ＝a 2＋1，a ∈R }，B ＝{x |x ＝a 2－4a ＋5，a ∈R }． 解：(1)用列举法表示集合B ＝{1}，故BA .(2)因为Q 中n ∈Z ，所以n －1∈Z ，Q 与P 都表示偶数集，所以P ＝Q . (3)因为A ＝{x |x －3>2}＝{x |x >5}，B ＝{x |2x －5≥0}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≥52，所以利用数轴判断A ，B 的关系． 如图所示，AB .(4)因为A ＝{x |x ＝a 2＋1，a ∈R }＝{x |x ≥1}，B ＝{x |x ＝a 2－4a ＋5，a ∈R }＝{x |x ＝(a －2)2＋1，a ∈R }＝{x |x ≥1}，所以A ＝B .10．(2019·葫芦岛检测)已知集合A ＝{a ，a －1}，B ＝{2，y }，C ＝{x |1<x －1<4}． (1)若A ＝B ，求y 的值； (2)若A ⊆C ，求a 的取值范围．解：(1)若a ＝2，则A ＝{1，2}，所以y ＝1. 若a －1＝2，则a ＝3，A ＝{2，3}， 所以y ＝3，综上，y 的值为1或3. (2)因为C ＝{x |2<x <5}，所以⎩⎪⎨⎪⎧2<a <5，2<a －1<5.所以3<a <5.[B 能力提升]11．已知集合A ＝{0，1}，B ＝{x |x ⊆A }，则下列关于集合A 与B 的关系正确的是( ) A ．A ⊆B B ．ABC ．BA D ．A ∈B解析：选D.因为x ⊆A ，所以B ＝{∅，{0}，{1}，{0，1}}，则集合A ＝{0，1}是集合B 中的元素，所以A ∈B ，故选D.12．已知A ＝{x |x <－2或x >3}，B ＝{x |4x ＋m <0}，当A ⊇B 时，求实数m 的取值范围． 解：集合A 在数轴上表示如图．要使A ⊇B ，则集合B 中的元素必须都是A 中的元素， 即B 中元素必须都位于阴影部分内．那么由4x ＋m <0，即x <－m 4知，－m 4≤－2， 即m ≥8，故实数m 的取值范围是m ≥8.13．已知集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}．(1)若B ⊆A ，求实数m 的取值范围；(2)当x ∈Z 时，求A 的非空真子集的个数；(3)当x ∈R 时，不存在元素x 使x ∈A 且x ∈B 同时成立，求实数m 的取值范围． 解：(1)当m ＋1＞2m －1，即m ＜2时，B ＝∅满足题意；当m ＋1≤2m －1，即m ≥2时，要使B ⊆A 成立，则有m ＋1≥－2且2m －1≤5，可得－3≤m ≤3，即2≤m ≤3.综上可知，当m ≤3时，B ⊆A .(2)当x ∈Z 时，A ＝{－2，－1，0，1，2，3，4，5}，共8个元素，故A 的非空真子集的个数为28－2＝254(个)．(3)因为x ∈R ，A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，且不存在元素x 使x ∈A 且x ∈B 同时成立，所以A ，B 没有公共元素．当m ＋1＞2m －1，即m ＜2时，B ＝∅满足题意；当m ＋1≤2m －1，即m ≥2时，要使A ，B 没有公共元素，则有⎩⎪⎨⎪⎧m ≥2，m ＋1＞5或⎩⎪⎨⎪⎧m ≥2，2m －1＜－2， 解得m ＞4.综上所述，当m ＜2或m ＞4时，不存在元素x 使x ∈A 且x ∈B 同时成立．[C 拓展探究]14．已知集合A ＝{2，4，6，8，9}，B ＝{1，2，3，5，8}，若非空集合C 是这样一个集合：其各元素都加2后，就变为A 的一个子集，若各元素都减2后，则变为B 的一个子集，则集合C ＝________．解：由题意知C ⊆{0，2，4，6，7}，C ⊆{3，4，5，7，10}，所以C ⊆{4，7}．又因为C ≠∅，所以C ＝{4}，{7}或{4，7}．答案：{4}，{7}或{4，7}。