高中数学 第2章《圆锥曲线与方程》圆锥曲线的共同性质(2) 精品导学案 苏教版选修1-1
高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.5 圆锥曲线的共同性质学案 苏教版选修11
2.5圆锥曲线的共同性质1(离心率)的动点的轨迹．问题1：当比值大于0小于1时轨迹是什么？提示：椭圆．问题2：当比值大于1时轨迹是什么？提示：双曲线．圆锥曲线的共同定义为：平面内到一个定点F和到一条定直线l(F不在l上)的距离之比等于常数e的点的轨迹．当0＜e＜1时，它表示椭圆；当e＞1时，它表示双曲线；当e＝1时，它表示抛物线．其中e是离心率，定点F是圆锥曲线的焦点，定直线l是圆锥曲线的准线.在圆锥曲线的定义中，定点F是焦点，定直线l是准线，而且知道抛物线只有一个焦点和一条准线．问题：椭圆和双曲线有几个焦点、几条准线？提示：椭圆和双曲线有两个焦点、两条准线．椭圆、双曲线和抛物线的准线方程1．关于圆锥曲线共同特征的认识(1)从点的集合(或轨迹)的观点来看：它们都是平面内与一个定点和一条定直线的距离的比是常数e 的点的集合(或轨迹)，只是当0<e <1时为椭圆，当e ＝1时为抛物线，当e >1时为双曲线．(2)从曲线形状的生成过程来看：圆锥曲线可看成不同的平面截圆锥面所得到的截面的周界，因此，椭圆(包括圆)、抛物线、双曲线又统称为圆锥曲线．2．圆锥曲线共同特征的应用设F 为圆锥曲线的焦点，A 为曲线上任意一点，d 为点A 到定直线的距离，由AF d＝e 变形可得d ＝AF e.由这个变形可以实现由AF 到d 的转化，借助d 则可以解决一些最值问题．[对应学生用书P36][例1] 已知动点M (x ，y )到点F (2,0)与到定直线x ＝8的距离之比为12，求点M 的轨迹．[思路点拨] 该题有两种解法，一种是利用直译法直接代入化简，另一种是用圆锥曲线的统一定义来求．[精解详析] 法一：由题意得x －2＋y 2|x －8|＝12，整理得x 216＋y 212＝1.法二：由圆锥曲线的统一定义知，M 点的轨迹是一椭圆．c ＝2，a 2c＝8，则a 2＝16，∴a ＝4，∴e ＝24＝12，与已知条件相符，∴椭圆中心在原点，焦点(±2,0)，准线x ＝±8，b 2＝12， 其方程为x 216＋y 212＝1.[一点通](1)解决此类题目有两种方法：①直接列方程，代入后化简整理即得方程．②根据定义判断轨迹是什么曲线，然后确定其几何性质，从而得出方程．(2)当题目中给出的条件直观上看不符合圆锥曲线定义时，要进行适当的变形，通过推导找出与之相关的距离问题进行验证，通过点与点、点与线间距离的转化去寻找解题途径，对于这种轨迹问题，一般都要通过定义解决．1．平面内的动点P (x ，y )(y >0)到点F (0,2)的距离与到x 轴的距离之差为2，求动点P 的轨迹．解：如图，作PM ⊥x 轴于M ，延长PM 交直线y ＝－2于N . ∵PF －PM ＝2.∴PF ＝PM ＋2. 又∵PN ＝PM ＋2，∴PF ＝PN .∴P 到定点F 与到定直线y ＝－2的距离相等．由抛物线的定义知，P 的轨迹是以F 为焦点以y ＝－2为准线的抛物线，顶点在原点，p ＝4.∴抛物线方程为x 2＝8y .∴动点P 的轨迹是抛物线．2．在平面直角坐标系xOy 中，已知F 1(－4,0)，直线l ：x ＝－2，动点M 到F 1的距离是它到定直线l 距离d 的2倍．设动点M 的轨迹曲线为E .(1)求曲线E 的轨迹方程；(2)设点F 2(4,0)，若直线m 为曲线E 的任意一条切线，且点F 1，F 2到m 的距离分别为d 1，d 2，试判断d 1d 2是否为常数，并说明理由．解：(1)由题意，设点M (x ，y )， 则有MF 1＝x ＋2＋y 2，点M (x ，y )到直线l 的距离d ＝|x －(－2)|＝|x ＋2|， 故x ＋2＋y 2＝2|x ＋2|，化简得x 2－y 2＝8.故动点M 的轨迹方程为x 2－y 2＝8.(2)d 1d 2是常数，证明如下：若切线m 斜率不存在，则切线方程为x ＝±22， 此时d 1d 2＝(c ＋a )·(c －a )＝b 2＝8.当切线m 斜率存在时，设切线m ：y ＝kx ＋t ， 代入x 2－y 2＝8，整理得：x 2－(kx ＋t )2＝8， 即(1－k 2)x 2－2tkx －(t 2＋8)＝0. Δ＝(－2tk )2＋4(1－k 2)(t 2＋8)＝0， 化简得t 2＝8k 2－8.又由kx －y ＋t ＝0，d 1＝|－4k ＋t |k 2＋1，d 2＝|4k ＋t |k 2＋1， d 1d 2＝|16k 2－t 2|k 2＋1＝|16k 2－k 2－k 2＋1＝8,8为常数．综上，对任意切线m ，d 1d 2是常数.[例2] 若点P 的坐标是(－1，－3)，F 为椭圆x 216＋y 212＝1的右焦点，点Q 在椭圆上移动，当QF ＋12PQ 取得最小值时，求点Q 的坐标，并求出最小值．[思路点拨] 利用定义把QF 转化成到准线的距离，然后再求它与12PQ 的和的最小值．[精解详析] 在x 216＋y 212＝1中a ＝4，b ＝2 3，c ＝2，∴e ＝12，椭圆的右准线l ：x ＝8，过点Q 作QQ ′⊥l 于Q ′， 则QFQQ ′＝e . ∴QF ＝12QQ ′.∴QF ＋12PQ ＝12QQ ′＋12PQ ＝12(QQ ′＋PQ )．要使QQ ′＋PQ 最小，由图可知P 、Q 、Q ′三点共线，所以由P 向准线l 作垂线，与椭圆的交点即为QF ＋12PQ 最小时的点Q ，∴Q 的纵坐标为－3，代入椭圆得：Q 的横坐标为x ＝2.∴Q 为(2，－3)，此时QF ＋12PQ ＝92.[一点通] 利用圆锥曲线的定义通过把到焦点的距离转化为到准线的距离，或把到准线的距离转化为到焦点的距离，从而求得距离问题的最值是这一部分的常见题型，应熟练掌握．3．已知双曲线x 29－y 216＝1的右焦点为F ，点A (9,2)，M 为双曲线的动点，求MA ＋35MF 的最小值．解：双曲线离心率e ＝53，由圆锥曲线的共同性质知MFd ＝e (d 为点M 到右准线l 的距离)，右准线l 的方程为x ＝95，而AM ＋35MF ＝MA ＋35de ＝MA ＋d .显然当AM ⊥l 时，AM ＋d 最小，而AM ＋d 的最小值为A 到l 的距离为9－95＝365.即MA ＋53MF 的最小值为365.4．已知定点A (－2，3)，点F 为椭圆x 216＋y 212＝1的右焦点，点M 在椭圆上运动，求AM＋2MF 的最小值，并求此时点M 的坐标．解：∵a ＝4，b ＝23，∴c ＝a 2－b 2＝2.∴离心率e ＝12.A 点在椭圆内，设M 到右准线距离为d ，则MF d ＝e ，即MF ＝ed ＝12d ，右准线l ：x ＝8.∴AM ＋2MF ＝AM ＋d .∵A 点在椭圆内，∴过A 作AK ⊥l (l 为右准线)于K ，交椭圆于点M 0.则A 、M 、K 三点共线，即M 与M 0重合时，AM ＋d 最小为AK ，其值为8－(－2)＝10. 故AM ＋2MF 的最小值为10，此时M 点坐标为(23，3).[例3] 求椭圆x 216＋y 225＝1的离心率与准线方程，并求与该椭圆有相同准线，且离心率互为倒数的双曲线方程．[思路点拨] 由方程确定a ，c ，从而求e 与准线，由椭圆的准线、离心率，再确定双曲线的实轴长、虚轴长，从而求出双曲线的方程．[精解详析] 由x 216＋y 225＝1知a ＝5，b ＝4，c ＝3，e ＝c a ＝35，准线方程为y ＝±253.设双曲线虚半轴长为b ′，实半轴长为a ′，半焦距为c ′，离心率为e ′. 则e ′＝1e ＝53，又∵a 2c ＝a ′2c ′＝253.解得：a ′＝1259，c ′＝62527，b ′2＝250 000729.双曲线方程为81y 215 625－729x2250 000＝1.[一点通] 在圆锥曲线中，a ，b ，c ，e ，p 是确定图形形状的特征量，把握它们之间的内在联系是解决此类问题的关键．5．过圆锥曲线C 的一个焦点F 的直线l 交曲线C 于A ，B 两点，且以AB 为直径的圆与F 相应的准线相交，则曲线C 为________．解析：设圆锥曲线的离心率为e ，M 为AB 的中点，A ，B 和M 到准线的距离分别为d 1，d 2和d ，圆的半径为R ，d ＝d 1＋d 22，R ＝AB 2＝FA ＋FB 2＝e d 1＋d 22.由题意知R ＞d ，则e ＞1，故圆锥曲线为双曲线．答案：双曲线6．(天津高考)已知抛物线y 2＝8x 的准线过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一个焦点， 且双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为________．解析：抛物线y 2＝8x 的准线x ＝－2过双曲线的一个焦点，所以c ＝2，又离心率为2，所以a ＝1，b ＝c 2－a 2＝3，所以该双曲线的方程为x 2－y 23＝1.答案：x 2－y 23＝11．圆锥曲线的准线：在求解圆锥曲线的准线时，应根据曲线的方程先化为其对应的标准形式，通过标准形式确定好曲线的焦点在坐标轴的位置，求出相应的量a 、c 或p ，然后写出其准线．2．圆锥曲线的判断：要判断所给曲线是哪种圆锥曲线，常利用圆锥曲线的定义求解，其思路是： (1)如果遇到有动点到两定点的距离问题应自然联想到椭圆及双曲线的定义．(2)如果遇到动点到一个定点和一条定直线的距离问题，应自然联想到椭圆、双曲线和抛物线的统一定义．[对应课时跟踪训练(十四)]1．若双曲线x 28－y 2b2＝1的一条准线与抛物线y 2＝8x 的准线重合，则双曲线的离心率为________．解析：根据题意和已知可得方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 2c＝2，a 2＝8，⇒⎩⎨⎧c ＝4，a ＝2 2，⇒e ＝ 2.答案： 22．设F 1，F 2为曲线C 1：x 26＋y 22＝1的焦点，P 是曲线C 2：x 23－y 2＝1与C 1的一个交点，则cos ∠F 1PF 2的值是________．解析：曲线C 1：x 26＋y 22＝1与曲线C 2：x 23－y 2＝1的焦点重合，两曲线共有四个交点，不妨设P 为第一象限的交点．则PF 1＋PF 2＝26，PF 1－PF 2＝23，解得PF 1＝6＋3，PF 2＝6－3.又F 1F 2＝4，在△F 1PF 2中，由余弦定理可求得 cos ∠F 1PF 2＝6＋32＋6－32－426＋36－3＝13. 答案：133．设P 是椭圆x 225＋y 29＝1上一点，M ，N 分别是两圆：(x ＋4)2＋y 2＝1和(x －4)2＋y 2＝1上的点，则PM ＋PN 的最小值、最大值分别为________________．解析：PM ＋PN 最大值为PF 1＋1＋PF 2＋1＝12，最小值为PF 1－1＋PF 2－1＝8. 答案：8,124．(福建高考)椭圆Γ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2c .若直线y ＝3(x ＋c )与椭圆Γ的一个交点M 满足∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，则该椭圆的离心率等于________．解析：直线y ＝3(x ＋c )过点F 1(－c,0)，且倾斜角为60°，所以∠MF 1F 2＝60°，从而∠MF 2F 1＝30°，所以MF 1⊥MF 2.在Rt △MF 1F 2中，MF 1＝c ，MF 2＝3c ，所以该椭圆的离心率e ＝2c 2a＝2cc ＋3c＝3－1.答案：3－15．已知椭圆x 24＋y 22＝1内部的一点为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，13，F 为右焦点，M 为椭圆上一动点，则MA ＋2MF 的最小值为________．解析：设M 到右准线的距离为d ， 由圆锥曲线定义知MFd ＝22，∴d ＝2MF . ∴MA ＋2MF ＝MA ＋d .由A 向右准线作垂线，垂线段长即为MA ＋d 的最小值．MA ＋d ≥2 2－1.答案：2 2－16．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线的右支上，且PF 1＝4PF 2，求此双曲线离心率e 的最大值．解：设P 点坐标为P (x 0，y 0)，由圆锥曲线的统一定义得：e ＝PF 1x 0＋a 2c ＝PF 2x 0－a 2c，把PF 1＝4PF 2. 代入则有：x 0＋a 2c ＝4⎝⎛⎭⎪⎫x 0－a 2c .整理得5a2c＝3x 0≥3a (∵x 0≥a )．∴e ＝c a ≤53.∴离心率e 的最大值为53.7．已知平面内的动点P 到定直线l ：x ＝2 2的距离与点P 到定点F (2，0)之比为 2. (1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)若点N 为轨迹C 上任意一点(不在x 轴上)，过原点O 作直线AB ，交(1)中轨迹C 于点A 、B ，且直线AN 、BN 的斜率都存在，分别为k 1、k 2，问k 1·k 2是否为定值？解：(1)设点P (x ，y )，依题意，有x －22＋y 2|x －2 2|＝22. 整理，得x 24＋y 22＝1.所以动点P 的轨迹C 的方程为x 24＋y 22＝1. (2)由题意，设N (x 1，y 1)，A (x 2，y 2)，则B (－x 2，－y 2)，x 214＋y 212＝1，x 224＋y 222＝1.k 1·k 2＝y 1－y 2x 1－x 2·y 1＋y 2x 1＋x 2＝y 21－y 22x 21－x 22＝2－12x 21－2＋12x 22x 21－x 22＝－12，为定值． 8．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右准线l 2与一条渐近线l 交于点P ，F 是双曲线的右焦点．(1)求证：PF ⊥l ；(2)若PF ＝3，且双曲线的离心率e ＝54，求该双曲线的方程．解：(1)证明：右准线为l 2：x ＝a 2c ，由对称性不妨设渐近线l 为y ＝b a x ，则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c ，ab c ，又F (c,0)，∴k PF ＝abc －0a 2c－c ＝－ab .又∵k l ＝b a ，∴k PF ·k l ＝－a b ·b a＝－1.∴PF ⊥l . (2)∵PF 的长即F (c,0)到l ：bx －ay ＝0的距离， ∴|bc |a 2＋b 2＝3，∴b ＝3.又e ＝c a ＝54，∴a 2＋b 2a 2＝2516.∴a ＝4.故双曲线方程为x 216－y 29＝1.[对应学生用书P38]一、圆锥曲线的意义 1．椭圆平面内与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数(大于F 1F 2)的点的轨迹叫做椭圆．(1)焦点：两个定点F1，F2叫做椭圆的焦点．(2)焦距：两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．2．双曲线平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于F1F2的正数)的点的轨迹叫做双曲线．(1)焦点：两个定点F1，F2叫做双曲线的焦点．(2)焦距：两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．3．抛物线平面内到一个定点F和一条定直线l(F不在l上)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线．二、圆锥曲线的标准方程及几何性质1．椭圆的标准方程和几何性质2．双曲线的标准方程和几何性质3. 抛物线的标准方程和几何性质三、圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)的共同性质1．圆锥曲线上的点到一个定点F 和到一条定直线l (F 不在定直线l 上)的距离之比是一个常数e .这个常数e 叫值圆锥曲线的离心率，定点F 就是圆锥曲线的焦点，定直线l 就是该圆锥曲线的准线．2．椭圆的离心率满足0<e <1，双曲线的离心率e >1，抛物线的离心率e ＝1.⎣⎢⎡⎦⎥⎤对应阶段质量检测二 见8开试卷(时间120分钟，满分160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．将答案填在题中的横线上) 1．(江苏高考)双曲线x 216－y 29＝1的两条渐近线的方程为________．解析：令x 216－y 29＝0，解得y ＝±34x .答案：y ＝±34x2．(四川高考改编)抛物线y 2＝4x 的焦点到双曲线x 2－y 23＝1的渐近线的距离是________．解析：因为抛物线的焦点坐标为(1,0)，而双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ，所以所求距离为|±3×1－0|1＋3＝32.答案：323．(辽宁高考)已知F 为双曲线C ：x 29－y 216＝1的左焦点，P ，Q 为C 上的点．若PQ 的长等于虚轴长的2倍，点A (5,0)在线段PQ 上，则△PQF 的周长为________．解析：由题意因为PQ 过双曲线的右焦点(5,0)，所以P ，Q 都在双曲线的右支上，则有FP －PA ＝6，FQ －QA ＝6，两式相加，利用双曲线的定义得FP ＋FQ ＝28，所以△PQF 的周长为FP ＋FQ ＋PQ ＝44.答案：444．已知动圆P 与定圆C ：(x ＋2)2＋y 2＝1相外切，又与定直线l ：x ＝1相切，那么动圆的圆心P 的轨迹方程是________．解析：设P (x ，y )，动圆P 在直线x ＝1的左侧，其半径等于1－x ，则PC ＝1－x ＋1，即x ＋2＋y 2＝2－x .∴y 2＝－8x . 答案：y 2＝－8x5．两个焦点为(±2,0)且过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，－32的椭圆的标准方程为________．解析：∵两个焦点为(±2,0)， ∴椭圆的焦点在x 轴上，且c ＝2.设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫522a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－322b 2＝1a 2－b 2＝4，，解得a 2＝10，b 2＝6.∴椭圆的标准方程为x 210＋y 26＝1.答案：x 210＋y 26＝16．已知过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A 、B 两点，AF ＝2，则BF ＝________. 解析：设点A ，B 的横坐标分别是x 1，x 2，则依题意有，焦点F (1,0)，AF ＝x 1＋1＝2，x 1＝1，直线AF 的方程是x ＝1，故BF ＝AF ＝2.答案：27．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，连接AF ，BF .若AB ＝10，BF ＝8，cos ∠ABF ＝45，则C 的离心率为________．解析：在△ABF 中，AF 2＝AB 2＋BF 2－2AB ·BF ·cos∠ABF ＝102＋82－2×10×8×45＝36，则AF ＝6.由AB 2＝AF 2＋BF 2可知，△ABF 是直角三角形，OF 为斜边AB 的中线，c ＝OF ＝AB2＝5.设椭圆的另一焦点为F 1，因为点O 平分AB ，且平分FF 1，所以四边形AFBF 1为平行四边形，所以BF ＝AF 1＝8.由椭圆的性质可知AF ＋AF 1＝14＝2a ⇒a ＝7，则e ＝c a ＝57.答案：578．抛物线y ＝x 2上到直线2x －y ＝4距离最近的点的坐标是________．解析：设P (x ，y )为抛物线上任意一点，则P 到直线的距离d ＝|2x －y －4|5＝|2x －x 2－4|5＝x －2＋3|5，∴当x ＝1时，d 取最小值35，此时P 的坐标为(1,1)．答案：(1,1)9．设点P 是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)与圆x 2＋y 2＝2a 2的一个交点，F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点，且PF 1＝3PF 2，则双曲线的离心率为________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧PF 1－PF 2＝2a ，PF 1＝3PF 2得PF 1＝3a ，PF 2＝a ，设∠F 1OP ＝α，则∠POF 2＝180°－α， 在△PF 1O 中，PF 21＝OF 21＋OP 2－2OF 1·OP ·cos α ①， 在△OPF 2中，PF 22＝OF 22＋OP 2－2OF 2·OP ·cos(180°－α) ②，由cos(180°－α)＝－cos α与OP ＝2a ， ①＋②得c 2＝3a 2，∴e ＝ca＝3aa＝ 3.答案： 310．已知双曲C 1＝x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为2.若抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)的焦点到双曲线C 1的渐进线的距离为2，则抛物线C 2的方程为______________________．解析：∵双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的率心率为2.∴c a ＝a 2＋b 2a＝2，∴b ＝3a .∴双曲线的渐近线方程为 3 x ±y ＝0.∴抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)的焦点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2到双曲线的渐近线的距离为⎪⎪⎪⎪⎪⎪3×0±p 22＝2.∴p ＝8.∴所求的抛物线方程为x 2＝16y . 答案：x 2＝16y11．(新课标全国卷Ⅰ改编)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为________．解析：因为直线AB 过点F (3,0)和点(1，－1)，所以直线AB 的方程为y ＝12(x －3)，代入椭圆方程x 2a 2＋y 2b 2＝1消去y ，得⎝ ⎛⎭⎪⎫a 24＋b 2x 2－32a 2x ＋94a 2－a 2b 2＝0，所以AB 的中点的横坐标为32a 22⎝ ⎛⎭⎪⎫a 24＋b 2＝1，即a 2＝2b 2，又a 2＝b 2＋c 2，所以b ＝c ＝3.所以E 的方程为x 218＋y 29＝1.答案：x 218＋y 29＝112．若椭圆x 2m ＋y 2n ＝1(m >n >0)和双曲线x 2a －y 2b＝1(a >b >0)有相同的左、右焦点F 1，F 2，P 是两条曲线的一个交点，则PF 1·PF 2的值是________．解析：取P 在双曲线的右支上， 则⎩⎨⎧PF 1＋PF 2＝2 m ，PF 1－PF 2＝2 a ，∴⎩⎨⎧PF 1＝m ＋a ，PF 2＝m －a .∴PF 1·PF 2＝(m ＋a )(m －a )＝m －a . 答案：m －a13．若椭圆mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0)与直线y ＝1－x 交于A 、B 两点，过原点与线段AB 的中点的连线斜率为22，则nm的值为________． 解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 中点(x 0，y 0)．由⎩⎪⎨⎪⎧mx 2＋ny 2＝1，y ＝1－x ，得(m ＋n )x 2－2nx ＋n －1＝0∴x 1＋x 2＝2n m ＋n ，∴x 0＝n m ＋n .∴y 0＝mm ＋n. 又y 0x 0＝22，∴m n ＝22，∴nm＝ 2. 答案： 214．(四川高考改编)从椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上一点P 向x 轴作垂线，垂足恰为左焦点F 1，A 是椭圆与x 轴正半轴的交点，B 是椭圆与y 轴正半轴的交点，且AB ∥OP (O 是坐标原点)，则该椭圆的离心率是________．解析：由已知，点P (－c ，y )在椭圆上，代入椭圆方程，得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，b 2a .∵AB ∥OP ，∴k AB ＝k OP ，即－b a ＝－b 2ac ，则b ＝c ，∴a 2＝b 2＋c 2＝2c 2，则c a ＝22，即该椭圆的离心率是22.答案：22二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分14分)已知双曲线与椭圆x 236＋y 249＝1有公共的焦点，并且椭圆的离心率与双曲线的离心率之比为37，求双曲线的方程．解：在椭圆x 236＋y 249＝1中，焦点坐标为(0，±13)，离心率e ′＝137， 设双曲线的方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝13，137∶a 2＋b 2a ＝37，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝9，b 2＝4.∴双曲线的方程为y 29－x 24＝1.16．(本小题满分14分)已知中心在坐标原点、焦点在x 轴上的椭圆，它的离心率为32，且与直线x ＋y －1＝0相交于M 、N 两点，若以MN 为直径的圆经过坐标原点，求椭圆的方程．解：设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，∵e ＝32，∴a 2＝4b 2，即a ＝2b . ∴椭圆方程为x 24b 2＋y 2b2＝1.把直线方程代入并化简，得5x 2－8x ＋4－4b 2＝0. 设M (x 1，y 1)、N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝85，x 1x 2＝15(4－4b 2)．∴y 1y 2＝(1－x 1)(1－x 2)＝1－(x 1＋x 2)＋x 1x 2＝15(1－4b 2)．由于OM ⊥ON ，∴x 1x 2＋y 1y 2＝0. 解得b 2＝58，a 2＝52.∴椭圆方程为25x 2＋85y 2＝1.17．(本小题满分14分)如图，F1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，A 是椭圆C 的顶点，B 是直线AF 2与椭圆C 的另一个交点，∠F 1AF 2＝60°.(1)求椭圆C 的离心率；(2)已知△AF 1B 的面积为403，求a ，b 的值．解：(1)由题意可知，△AF 1F 2为等边三角形，a ＝2c ，所以e ＝12.(2)法一：a 2＝4c 2，b 2＝3c 2， 直线AB 的方程为y ＝－3(x －c )．代入椭圆方程3x 2＋4y 2＝12c 2，得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫85c ，－335c .所以|AB |＝1＋3·|85c －0|＝165c .由S △AF 1B ＝12|AF 1|·|AB |sin ∠F 1AB ＝12a ·165c ·32＝235a 2＝403，解得a ＝10，b ＝5 3.法二：设AB ＝t .因为|AF 2|＝a ，所以|BF 2|＝t －a . 由椭圆定义BF 1＋BF 2＝2a 可知，BF 1＝3a －t . 由余弦定理得(3a －t )2＝a 2＋t 2－2at cos 60°可得，t ＝85a .由S △AF 1B ＝12a ·85a ·32＝235a 2＝403知，a ＝10，b ＝5 3.18．(本小题满分16分)已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过点F 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，若|AB |＝8，求直线l 的方程．解：抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，当直线l 斜率不存在时，|AB |＝4，不合题意．设直线l 的方程为y ＝k (x －1)，代入y 2＝4x ，整理得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意知k ≠0， 则x 1＋x 2＝2k 2＋4k2.由抛物线定义知，|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋1＋x 2＋1＝x 1＋x 2＋2， ∴x 1＋x 2＋2＝8，即2k 2＋4k2＋2＝8.解得k ＝±1.所以直线l 的方程为y ＝±(x －1)， 即x －y －1＝0，x ＋y －1＝0.19．(本小题满分16分)(陕西高考)已知动点M (x ，y )到直线l ：x ＝4的距离是它到点N (1,0)的距离的2倍．(1)求动点M 的轨迹C 的方程；(2)过点P (0,3)的直线m 与轨迹C 交于A ，B 两点，若A 是PB 的中点，求直线m 的斜率． 解：(1)设M 到直线l 的距离为d ，根据题意d ＝2|MN |.由此得|4－x |＝2x －2＋y 2，化简得x 24＋y 23＝1，所以，动点M 的轨迹方程为x 24＋y 23＝1.(2)法一：由题意，设直线m 的方程为y ＝kx ＋3，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．将y ＝kx ＋3代入x 24＋y 23＝1中，有(3＋4k 2)x 2＋24kx ＋24＝0，其中Δ＝(24k )2－4×24(3＋4k 2)＝96(2k 2－3)＞0，故k 2>32.由根与系数的关系得，x 1＋x 2＝－24k3＋4k2，① x 1x 2＝243＋4k2.② 又因为A 是PB 的中点，故x 2＝2x 1，③ 将③代入①，②，得x 1＝－8k 3＋4k 2，x 21＝123＋4k2， 可得⎝ ⎛⎭⎪⎫－8k 3＋4k 22＝123＋4k 2，且k 2＞32，解得k ＝－32或k ＝32，所以直线m 的斜率为－32或32.法二：由题意，设直线m 的方程为y ＝kx ＋3，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． ∵A 是PB 的中点， ∴x 1＝x 22，①y 1＝3＋y 22.② 又x 214＋y 213＝1，③ x 224＋y 223＝1，④ 联立①，②，③，④解得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2，y 2＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－2，y 2＝0.即点B 的坐标为(2,0)或(－2,0)， 所以直线m 的斜率为－32或32.20．(本小题满分16分)如图，设椭圆的中心为原点O ，长轴在x 轴上，上顶点为A ，左、右焦点分别为F 1，F 2，线段OF 1，OF 2的中点分别为B 1，B 2，且△AB 1B 2是面积为4的直角三角形．(1)求该椭圆的离心率和标准方程；(2)过B 1作直线交椭圆于P ，Q 两点，使PB 2⊥QB 2，求△PB 2Q 的面积．解：(1)设所求椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，右焦点为F 2(c,0)．因△AB 1B 2是直角三角形且|AB 1|＝|AB 2|， 故∠B 1AB 2为直角，从而|OA |＝|OB 2|，即b ＝c2.结合c 2＝a 2－b 2得4b 2＝a 2－b 2，故a 2＝5b 2，c 2＝4b 2，所以离心率e ＝c a ＝255.在Rt △AB 1B 2中，OA ⊥B 1B 2，故S △AB 1B 2＝12·|B 1B 2|·|OA |＝|OB 2|·|OA |＝c2·b ＝b 2，由题设条件S △AB 1B 2＝4得b 2＝4，从而a 2＝5b 2＝20. 因此所求椭圆的标准方程为x 220＋y 24＝1. (2)由(1)知B 1(－2,0)，B 2(2,0)．由题意，直线PQ 的倾斜角不为0， 故可设直线PQ 的方程为x ＝my －2，代入椭圆方程得 (m 2＋5)y 2－4my －16＝0.(*)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则y 1，y 2是方程(*)的两根，因此y 1＋y 2＝4m m 2＋5，y 1·y 2＝－16m 2＋5. 又2B P ＝(x 1－2，y 1)，2B Q ＝(x 2－2，y 2)，所以2B P ·2B Q ＝(x 1－2)(x 2－2)＋y 1y 2＝(my 1－4)(my 2－4)＋y 1y 2 ＝(m 2＋1)y 1y 2－4m (y 1＋y 2)＋16 ＝－m 2＋m 2＋5－16m2m 2＋5＋16 ＝－16m 2－64m 2＋5，由PB 2⊥QB 2，知2B P ·2B Q ＝0， 即16m 2－64＝0，解得m ＝±2.当m ＝2时，方程(*)化为9y 2－8y －16＝0. 故y 1＝4＋4109，y 2＝4－4109，|y 1－y 2|＝8109，△PB 2Q 的面积S ＝12|B 1B 2|·|y 1－y 2|＝16109.当m ＝－2时，同理可得(或由对称性可得)△PB 2Q 的面积S ＝16109.综上所述，△PB 2Q 的面积为16109.。
2019-2020年高中数学 第2章《圆锥曲线与方程》圆锥曲线的共同性质(二)导学案 苏教版选修1-
2019-2020年高中数学 第2章《圆锥曲线与方程》圆锥曲线的共同性质（二）导学案 苏教版选修1-1学习目标：1. 了解圆锥曲线的共同性质并能够解决有关简单问题；2. 能够根据圆锥曲线的标准方程求准线方程，能够熟练运用直接法和定义法 求曲线方程。
教学重点：圆锥曲线的准线定义与方程的求解。
教学难点：用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题和实际问题． 课前预习：1. 已知抛物线的准线方程为x ＝－7，则抛物线的标准方程为 ．2. 已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F(1,0)，离心率等于12， 则C 的方程是 ．3.已知F1(－1,0)，F2(1,0)是椭圆C 的两个焦点，过F2且垂直x 轴的直线交C 于 A ，B 两点，且|AB|＝3，则C 的方程为4. 在y ＝2x2上有一点P ，它到A(1,3)的距离与它到焦点的距离之和最小，则点P 的坐标是课堂探究：1.椭圆x225＋y29＝1上有一点P ，它到左准线的距离等于 2.5，那么，P 到右焦点的距离为________．变式： 已知椭圆x24b2＋y2b2＝1上一点P 到右焦点F2的距离为b(b>1)，求P 到左准线的距离．2.已知椭圆x28＋y26＝1内有一点P(1，－1)，F 是椭圆的右焦点， 在椭圆上求一点M ，使MP ＋2MF 之值为最小．变式：已知双曲线x29－y216＝1的右焦点为F ，点A(9,2)，试在双曲线上求一点M ， 使MA ＋35MF 的值最小，并求这个最小值．变式：已知F1，F2是双曲线x2a2－y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点，P 为双曲线左支上一点，若|PF2|2|PF1|的最小值为8a ，求该双曲线的离心率。
课堂检测：1. 椭圆上一点P 到左焦点的距离是4，则它到右准线的距离是 ．2. 椭圆x2a2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)上任意一点到两焦点的距离分别为d1，d2，焦距为2c ， 若d1，2c ，d2成等差数列，则椭圆的离心率为 ．3. 已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)与双曲线x2m2－y2n2＝1(m ＞0，n ＞0)，有相同的焦点 (－c,0)和(c,0)，若c 是a 、m 的等比中项，n2是2m2与c2的等差中项， 则椭圆的离心率是________．。
2019-2020学年高中数学第二章圆锥曲线与方程2.5圆锥曲线的共同性质学案苏教版选修.doc
2019-2020学年高中数学第二章圆锥曲线与方程2.5圆锥曲线的共同性质学案苏教版选修(1)完成下表:二、问题探究探究1:平面内到一个定点F的距离和到一个定直线l（F不在l上）的距离的比等于1的动点P的轨迹是抛物线．当这个比值是一个不等于１的常数时，定点P的轨迹又是什么曲线呢？探究2:在推导椭圆的标准方程时，我们曾得到这样一个方程222)(y c x a cx a +-=-， 将其变形为ac x c a y c x =-+-222)(，你能解释这个方程的几何意义吗？ 在推导双曲线标准方程时，我们也得到一个类似的方程，你能写出来并解释其几何意义吗？探究３:根据问题１与问题２，你能得出什么结论呢？例1．已知点),(y x P 到定点)0,(c F 的距离与它到定直线ca x l 2:=的距离的比是常数)0(>>c a ac ，求点P 的轨迹．探究４:例１中若括号中条件)0(>>c a 变为)0(>>a c ，点P 的轨迹是何种曲线？探究５:焦点在y 轴上的椭圆与双曲线其准线方程是什么？例２．已知双曲线1366422=-y x 上一点P 到左焦点的距离是14，求点P 到右准线的距离。
三、思维训练１.试写出下列曲线的焦点坐标与准线方程：（１）14491622=+y x ；（2）（２）328422=-y x ；（３）y x 322-=． ２.若动圆的圆心在抛物线y x 122=上，且圆与直线03=+y 相切，则此动圆恒过定 点 ．３.已知点)2,1(A 在椭圆1121622=+y x 内点F 的坐标为)0,2(，在椭圆上求一点P ，使PF PA 2+最小．四、课后巩固1．椭圆64322=+y x 的离心率为 ．2．若椭圆13622=+my x 的焦点在x 轴上，离心率32=e ，则=m ．3．若椭圆116222=+b y x 过点)3,2(-，则其焦距为 ．4． 2222=-my mx 的一条准线是1=y ，则=m ．5．已知方程12322=-+-ky k x 表示双曲线，则k 的取值范围为 ．6．已知双曲线19222=-b y x )0(>b 的离心率)2,1(∈e ，则b 的取值范围为 ．７.AB 是抛物线2x y =的一条弦，若AB 的中点到x 轴的距离为１，则弦AB 的长度的最大值为 ．８. 椭圆1422=+y x 的焦点为21,F F ，点P 为椭圆上一动点，当21PF F ∠为钝角时，求点P 的横坐标的取值范围．。
苏教版高中数学选修1-1《圆锥曲线的共同性质》导学案
圆锥曲线的共同性质一、学习目标：掌握圆锥曲线的共同性质，理解离必率、焦点、准线的意义。
二、学习重点：圆锥曲线第二定义的推导学习难点：对圆锥曲线第二定义的理解与运用三、知识链接学习椭圆、双曲线、抛物线存在一些困惑1、椭圆、双曲线定义相似，抛物线的定义与椭圆、双曲线的定义区别较大2、离心率：椭圆0＜e ＜1 ，双曲线e ＞1, 抛物线有没有离心率？什么曲线的离心率等于1？四、学习过程（一）、探究圆锥曲线的统一定义问题1、在推导椭圆的标准方程时,我们曾经得到这样一个式子222)(y c x a cx a +-=-，将其变形为ac x c a y c x =-+-222)(，你能解释这个式子的几何意义吗?问题2、已知点P （x ，y ）到定点F （c ，0）的距离与到定直线l:x = a 2c 的距离之比是常数c a（a >c >0），求点P 的轨迹方程.变式 将条件a >c >0改为c >a >0呢？圆锥曲线的统一定义：平面内到一定点F 的距离和到一定直线l (F 不在l 上）的距离比为常数e （不等于）的动点P 的轨迹。
其中e 是圆锥曲线的 ，定点F 是圆锥曲线的 ，定直线l 是圆锥曲线的 。
例1:求下列曲线的焦点坐标和准线方程例2：已知双曲线1366422=-y x 上一点P 到左焦点的距离为14，求P 点到右准线的距离.22(1)24x y +=22(2)24y x -=2(3)0x y +=2=的焦点，点M 在抛物线上例3：若点A 的坐标为（3，2）,F 为抛物线xy2移动时求|MA|+|MF |的最小值，并求这时M 的坐标.五、基础达标1.填表2.中心在原点,准线方程为4±=x ,离心率为 21的椭圆方程是 3.设双曲线的两条准线把两焦点间的线段三等分,则此双曲线的离心率为 .4.已知A （-1,1),B （1,0),点P 在椭圆13422=+y x 上运动，求|PA|+2|PB|的最小值。
2018_19学年高中数学第2章圆锥曲线与方程2.5圆锥曲线的共同性质学案苏教版
§2.5 圆锥曲线的共同性质学习目标 1.理解并会运用圆锥曲线的共同性质，解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题和实际问题.2.了解圆锥曲线的统一定义，掌握圆锥曲线的离心率、焦点、准线等概念.知识点 圆锥曲线的共同性质思考 圆锥曲线有怎样的共同性质？如何研究圆锥曲线的共同性质？ 答案 如图，过点M 作MH ⊥l ，H 为垂足，由圆锥曲线的统一定义可知M ∈{M |FM ＝eMH }.取过焦点F ，且与准线l 垂直的直线为x 轴，F (O )为坐标原点，建立直角坐标系.设点M 的坐标为(x ，y )，则OM ＝x 2＋y 2.①设直线l 的方程为x ＝－p ，则MH ＝|x ＋p |.② 把①，②代入OM ＝eMH ， 得x 2＋y 2＝e |x ＋p |.两边平方，化简得(1－e 2)x 2＋y 2－2pe 2x －p 2e 2＝0.这就是圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)在直角坐标系中的共同性质.梳理 (1)圆锥曲线上的点到一个定点F 和到一条定直线l (F 不在定直线l 上)的距离之比等于常数e .当0<e <1时，它表示椭圆；当e >1时，它表示双曲线；当e ＝1时，它表示抛物线.其中e 是圆锥曲线的离心率，定点F 是圆锥曲线的焦点，定直线l 是圆锥曲线的准线.(2)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的准线方程为x ＝±a 2c ，y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)的准线方程为y ＝±a 2c .双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的准线方程为x ＝±a 2c ，双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)的准线方程为y ＝±a 2c.1.若平面内动点P 到定点F 的距离和它到一条定直线l 的距离的比是一个常数e (e >0)，则动点P 的轨迹是圆锥曲线.( × )2.双曲线x 2－y 2＝1的准线方程为x ＝±22.( √ )3.x 225＋y 29＝1上的点到左准线的距离是92，则该点到右准线的距离是8.( √ ) 4.点M (x ，y )与定点F (4,0)的距离和它到直线l ：x ＝254的距离的比是常数45，则点M 的轨迹为x 225＋y 29＝1.( × )类型一 已知准线求圆锥曲线的方程例1 双曲线的中心在原点，焦点在坐标轴上，两准线间的距离为4，且经过点A (26，3)，求双曲线的方程. 考点 准线题点 由准线等条件求曲线方程解 (1)若焦点在x 轴上，设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧24a 2－9b 2＝1，2a 2c ＝4，∴a 2＝2c ，b 2＝c 2－a 2＝c 2－2c .代入24a 2－9b2＝1，整理得c 2－14c ＋33＝0，∴c ＝3或c ＝11.∴a 2＝6，b 2＝3或a 2＝22，b 2＝99. ∴双曲线的方程为x 26－y 23＝1或x 222－y 299＝1.(2)若焦点在y 轴上，设双曲线的方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0).由已知得9a 2－24b2＝1.将a 2＝2c ，b 2＝c 2－2c 代入9a 2－24b2＝1得，2c 2－13c ＋66＝0，Δ<0，此方程无实数解. 综合(1)(2)可知，双曲线的方程为x 26－y 23＝1或x 222－y 299＝1. 反思与感悟 (1)在此类题中，两准线间的距离是一个定值2a2c，不论双曲线位置如何，均可使用.(2)已知准线方程(或准线间距离)求圆锥曲线方程，该条件使用方法有两个：①利用统一定义，②直接列出基本量a ，b ，c ，e 的关系式.跟踪训练1 已知A ，B 是椭圆x 2a 2＋y 2925a2＝1上的点，F 2是椭圆的右焦点，且AF 2＋BF 2＝85a ，AB的中点N 到椭圆左准线的距离为32，求此椭圆方程.考点 准线题点 由准线等条件求圆锥曲线方程 解 设F 1为左焦点，连结AF 1，BF 1， 则根据椭圆定义知，AF 1＋BF 1＝2a －AF 2＋2a －BF 2＝4a －(AF 2＋BF 2)＝4a －85a ＝125a .再设A ，B ，N 三点到左准线距离分别为d 1，d 2，d 3，由梯形中位线定理，得d 1＋d 2＝2d 3＝3. 而已知b 2＝925a 2，∴c 2＝1625a 2.∴离心率e ＝45，由统一定义AF 1＝ed 1，BF 1＝ed 2， ∴AF 1＋BF 1＝125a ＝e (d 1＋d 2)＝125，∴a ＝1，∴椭圆方程为x 2＋y 2925＝1.类型二 圆锥曲线统一定义的应用 命题角度1 求有关最值问题例2 已知A (4,0)，B (2,2)是椭圆x 225＋y 29＝1内的两个点，M 是椭圆上的动点.(1)求MA ＋MB 的最大值和最小值； (2)求MB ＋54MA 的最小值及此时点M 的坐标.考点 共同性质题点 运用圆锥曲线共同性质求最值解 (1)如图所示，由x 225＋y 29＝1得a ＝5，b ＝3，c ＝4.所以A (4,0)为椭圆的右焦点，F (－4,0)为椭圆的左焦点. 因为MA ＋MF ＝2a ＝10， 所以MA ＋MB ＝10－MF ＋MB .因为|MB －MF |≤BF ＝(－4－2)2＋(0－2)2＝210， 所以－210≤MB －MF ≤210. 故10－210≤MA ＋MB ≤10＋210， 即MA ＋MB 的最大值为10＋210， 最小值为10－210.(2)由题意得椭圆的右准线l 的方程为x ＝254.由图可知点M 到右准线的距离为MM ′， 由圆锥曲线的统一定义得MA MM ′＝e ＝45， 所以54MA ＝MM ′.所以MB ＋54MA ＝MB ＋MM ′.由图可知当B ，M ，M ′三点共线时，MB ＋MM ′最小， 即BM ′＝254－2＝174.当y ＝2时，由x 225＋229＝1，解得x ＝±553(负值舍去)，即点M 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫553，2. 故MB ＋54MA 的最小值为174，此时点M 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫553，2. 反思与感悟 (1)解答此类题时，应注意式子中的系数特点，依此恰当地选取定义. (2)圆锥曲线的统一定义，可以灵活地将曲线上点到焦点的距离与到相应准线的距离进行转化，从而简化解题过程.跟踪训练2 试在抛物线y 2＝4x 上求一点A ，使点A 到点B (3，2)与到焦点的距离之和最小. 考点 共同性质题点 运用圆锥曲线共同性质求最值解 由已知易得点B 在抛物线内，p2＝1，准线方程为x ＝－1，过点B 作C ′B ⊥准线l 于C ′，直线BC ′交抛物线于A ′，则A ′B ＋A ′C ′为满足题设的最小值.因为C ′B ∥x 轴，B 点的坐标为(3，2)， 所以A ′点的坐标为(x,2).又因点A ′在抛物线上，所以A ′(1,2)即为所求A 点，此时最小值为BC ′＝3＋1. 命题角度2 焦点弦问题例3 椭圆C 的一个焦点为F 1(2,0)，相应准线方程为x ＝8，离心率e ＝12.(1)求椭圆的方程；(2)求过另一个焦点且倾斜角为45°的直线截椭圆C 所得的弦长. 考点 共同性质题点 运用圆锥曲线共同性质研究焦点弦问题解 (1)设椭圆上任一点P (x ，y )，由统一定义得(x －2)2＋y 2|8－x |＝12，两边同时平方，得4[(x －2)2＋y 2]＝(8－x )2， 化简得x 216＋y 212＝1.(2)由(1)知椭圆的另一个焦点F 2(－2,0)，过F 2且倾斜角为45°的直线方程为y ＝x ＋2， 代入方程x 216＋y 212＝1，得7x 2＋16x －32＝0.设交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－167，AB ＝AF 2＋BF 2＝a ＋ex 1＋a ＋ex 2＝2a ＋e (x 1＋x 2)＝2×4＋12(x 1＋x 2)＝487.反思与感悟 (1)在此类题中，若用一般弦长公式，而不用统一定义，计算起来则复杂一些. (2)对于圆锥曲线焦点弦的计算，利用统一定义较为方便.跟踪训练3 已知椭圆的一个焦点是F (3,1)，相应于F 的准线为y 轴，l 是过点F 且倾斜角为60°的直线，l 被椭圆截得的弦AB 的长是165，求椭圆的方程.考点 共同性质题点 运用圆锥曲线共同性质研究焦点弦问题 解 设椭圆离心率为e ，M (x ，y )为椭圆上任一点，由统一定义MF d ＝e ，得(x －3)2＋(y －1)2|x |＝e ，整理得(x －3)2＋(y －1)2＝e 2x 2.① ∵直线l 的倾斜角为60°，∴直线l 的方程为y －1＝3(x －3)，② ①②联立得(4－e 2)x 2－24x ＋36＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝244－e 2，∴AB ＝e (x 1＋x 2)＝e ·244－e 2＝165， ∴e ＝12(负值舍去)，∴椭圆的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝14x 2，即(x －4)24＋(y －1)23＝1.1.椭圆x 225＋y 29＝1的准线方程是____________. 考点 准线 题点 求准线方程 答案 x ＝±254解析 ∵a ＝5，b ＝3，∴c ＝4，∴准线方程为x ＝±254.2.如果椭圆的两个焦点将长轴三等分，那么这个椭圆的两准线间距离是焦距的________倍. 考点 准线题点 准线方程的运用 答案 9解析 ∵2c ＝13×2a ，∴c ＝13a ，即a ＝3c .∴两准线间距离为2a2c＝18c ，为2c 的9倍.3.若双曲线x 29－y 216＝1左支上的一点P 到左焦点的距离为15，则点P 到右准线的距离为________. 考点 共同性质题点 共同性质的简单运用 答案635解析 ∵a ＝3，b ＝4，∴c ＝5，∴e ＝53.∵PF 1＝15，∴PF 2＝PF 1＋2a ＝15＋6＝21， ∴P 到右准线的距离为d ＝PF 2e ＝635. 4.已知椭圆方程为x 216＋y 212＝1，右焦点为F ，A (2,1)为其内部一点，P 为椭圆上一动点，为使PA ＋2PF 最小，P 点坐标为__________.考点 共同性质题点 运用圆锥曲线共同性质求最值 答案 ⎝⎛⎭⎪⎫2333，1 解析 由题意得a ＝4，b ＝23，∴c ＝2，e ＝c a ＝12.由统一定义知，2PF 即为P 到右准线的距离，因此，要使PA ＋2PF 最小，P 点除了应在y 轴的右侧外，还要使AP 垂直于准线，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1，x 216＋y 212＝1，解得P 点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2333，1. 5.在平面直角坐标系xOy 中，若中心在坐标原点的双曲线的一条准线方程为x ＝12，且它的一个顶点与抛物线y 2＝－4x 的焦点重合，则该双曲线的渐近线方程为____________. 考点 准线题点 准线方程的运用 答案3x ±y ＝0解析 由题意设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，因为抛物线y 2＝－4x 的焦点坐标为(－1,0)，由此可得a ＝1.由a 2c ＝12，得c ＝2.所以b 2＝c 2－a 2＝3，于是双曲线的方程为x2－y 23＝1，其渐近线方程为3x ±y ＝0.1.在学习圆锥曲线的统一定义时，应注意与前面学过的椭圆、双曲线和抛物线的定义、标准方程、几何性质相联系，以提高自己综合应用知识的能力和解题的灵活性.2.在已知准线方程时，一般转化为a 2c的数量关系，结合其他条件求出基本量a ，b ，c .若是求方程，可由准线的位置来确定标准方程的类型.3.根据圆锥曲线的统一定义，可把圆锥曲线上的点到焦点的距离转化为到对应准线的距离，这是一个非常重要的转化方法，可简化解题过程.一、填空题 1.若椭圆的离心率为22，准线方程为x ＝±8，则椭圆的标准方程为____________. 考点 准线题点 由准线等条件求圆锥曲线方程 答案x 232＋y 216＝1 解析 由准线方程为x ＝±8，可知椭圆的焦点在x 轴上.设所求椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0).由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧e ＝c a ＝22，a 2c ＝8，解得⎩⎨⎧a ＝42，c ＝4，所以b 2＝a 2－c 2＝32－16＝16. 因此所求椭圆的标准方程为x 232＋y 216＝1. 2.已知椭圆x 2100＋y 236＝1上一点P 到椭圆的左准线的距离为10，则点P 到椭圆的右焦点的距离为________. 考点 准线题点 由准线等条件求圆锥曲线方程 答案 12 解析 椭圆x 2100＋y 236＝1的离心率e ＝45.根据椭圆的第二定义，得点P 到椭圆的左焦点的距离为10e ＝8.再根据椭圆的第一定义，得点P 到椭圆的右焦点的距离为20－8＝12.3.如果双曲线x 24－y 22＝1上一点P 到双曲线右焦点的距离是2，那么点P 到y 轴的距离是________. 考点 准线题点 准线方程的运用 答案463解析 由题意可知a ＝2，b ＝2，c ＝6，右准线方程为x ＝a 2c ＝46，e ＝c a ＝62.设P 到y 轴的距离为d ，则2d －46＝62，所以d ＝463. 4.与双曲线x 29－y 216＝1有共同的渐近线，且其中一条准线的方程为x ＝185的双曲线的标准方程为____________. 考点 准线题点 由准线等条件求圆锥曲线方程 答案x 236－y 264＝1 解析 由题意，可设所求双曲线的方程为x 29λ－y 216λ＝1(λ>0).该双曲线的右准线方程为x ＝9λ5λ＝185，所以λ＝4，所以所求双曲线的标准方程为x 236－y264＝1. 5.若双曲线x 28－y 2b2＝1的一条准线与抛物线y 2＝8x 的准线重合，则双曲线的离心率为________. 考点 准线题点 准线方程的运用 答案2解析 y 2＝8x 的准线方程为x ＝－2，因此，双曲线的一条准线方程为x ＝－2，则－a 2c＝－2.又a 2＝8，∴c ＝4.∴e ＝c a ＝422＝ 2.6.已知椭圆的一个焦点坐标为F 1(0，－22)，对应的准线方程为y ＝－924，且离心率e 满足23，e ，43成等比数列，则此椭圆的方程为________. 考点 准线题点 由准线等条件求圆锥曲线方程 答案 x 2＋y 29＝1解析 ∵23，e ，43成等比数列，∴e 2＝23×43，则e ＝223. 设P (x ，y )是椭圆上任意一点，根据椭圆的定义，得x 2＋(y ＋22)2⎪⎪⎪⎪⎪⎪y ＋924＝223，化简得9x 2＋y 2＝9，即x 2＋y 29＝1. 7.已知双曲线x 24－y 25＝1，F 为其右焦点，A (4,1)为平面上一点，P 为双曲线上任意一点，则PA ＋23PF 的最小值为________.考点 共同性质题点 运用圆锥曲线统一定义求最值答案 83解析 设P 到右准线的距离为PQ .因为e ＝32，所以23PF ＝PQ ， 即PA ＋23PF ＝PA ＋PQ . 而PA ＋PQ 的最小值为点A 到右准线的距离， 即4－a 2c ＝4－43＝83， 故PA ＋23PF 的最小值为83. 8.已知A (－1,0)，B (1,0)，点C (x ，y )满足：(x －1)2＋y 2|x －4|＝12，则AC ＋BC ＝________. 考点 共同性质题点 共同性质的运用答案 4解析 ∵点C 到B (1,0)的距离与它到直线x ＝4的距离之比为12， ∴点C 的轨迹是椭圆，且c a ＝12，a 2c＝4， ∴a ＝2，c ＝1.∴点A 恰好是椭圆的另一个焦点，∴AC ＋BC ＝2a ＝4.9.在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，右焦点为F ，右准线为l ，短轴的一个端点为B .设原点到直线BF 的距离为d 1，F 到l 的距离为d 2，若d 2＝6d 1，则椭圆C 的离心率为________.考点 共同性质题点 共同性质的运用答案 33解析 依题意，d 2＝a 2c －c ＝b 2c. 又BF ＝c 2＋b 2＝a ，所以d 1＝bca. 由已知可得b 2c ＝6·bc a， 所以6c 2＝ab ，即6c 4＝a 2(a 2－c 2)，整理可得a 2＝3c 2，所以离心率e ＝ca ＝33. 10.已知F 是椭圆C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线段BF 的延长线交椭圆C 于点D ，且BF →＝2FD →，则椭圆C 的离心率为________.考点 共同性质题点 共同性质的运用答案 33 解析 设椭圆C 的焦点在x 轴上，如图所示，B (0，b )，F (c,0)，D (x D ，y D )，则BF ＝b 2＋c 2＝a .作DD 1⊥y 轴于点D 1， 则由BF →＝2FD →，得OF DD 1＝BF BD ＝23， 所以DD 1＝32OF ＝3c 2，即x D ＝3c 2. 由圆锥曲线的统一定义，得FD ＝e ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c －3c 2＝a －3c 22a . 又由BF →＝2FD →，得a ＝2a －3c 2a， 整理得c 2a 2＝13，即e 2＝13，所以e ＝－33(舍去)或e ＝33. 二、解答题11.已知椭圆x 225＋y 216＝1，P 为椭圆上的一点，F 1，F 2为左、右两个焦点，若PF 1∶PF 2＝2∶1，求点P 的坐标.考点 共同性质题点 共同性质的运用解 设点P 的坐标为(x ，y ).∵椭圆x 225＋y 216＝1，∴a ＝5，b ＝4，c ＝3. ∴e ＝35，准线方程为x ＝±253. 由圆锥曲线的统一定义知， PF 1＝ed 1＝35⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋253＝35x ＋5， PF 2＝ed 2＝35⎝ ⎛⎭⎪⎫253－x ＝5－35x . ∵PF 1∶PF 2＝2∶1， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫35x ＋5∶⎝ ⎛⎭⎪⎫5－35x ＝2∶1， 解得x ＝259，代入椭圆的方程，得y ＝±8149. ∴点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫259，8149或⎝ ⎛⎭⎪⎫259，－8149. 12.已知A ，B 为椭圆x 2a 2＋25y 29a 2＝1上的两点，F 2是椭圆的右焦点，若AF 2＋BF 2＝85a ，AB 的中点M 到椭圆的左准线的距离为32，试确定该椭圆的方程.考点 准线题点 由准线等条件求圆锥曲线方程解 由椭圆的方程，可得b ＝35a ，则c ＝45a ，e ＝45，两准线间的距离为52a . 设A ，B 两点到右准线的距离分别是d A ，d B ，则AF 2d A ＝BF 2d B ＝45， ∴AF 2＋BF 2＝45(d A ＋d B )＝85a ，∴d A ＋d B ＝2a ，则AB 的中点M 到椭圆右准线的距离为a ，于是点M 到左准线的距离为52a －a ＝32，解得a ＝1， 故椭圆的方程为x 2＋25y 29＝1. 13.设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率e ＝22，点F 2到右准线l 的距离为 2.(1)求a ，b 的值；(2)设M ，N 是l 上的两个动点，F 1M →·F 2N →＝0，证明：当|MN →|取最小值时，F 2F 1→＋F 2M →＋F 2N →＝0.考点 共同性质题点 共同性质的运用(1)解 因为e ＝c a ，F 2到l 的距离d ＝a 2c－c ， 所以由题设得⎩⎪⎨⎪⎧ c a ＝22，a 2c －c ＝2，解得c ＝2，a ＝2.由b 2＝a 2－c 2＝2，得b ＝ 2.故a ＝2，b ＝ 2.(2)证明 由c ＝2，a ＝2得F 1(－2，0)，F 2(2，0)，l 的方程为x ＝22，故可设M (22，y 1)，N (22，y 2).由F 1M →·F 2N →＝0 知(22＋2，y 1)·(22－2，y 2)＝0，得y 1y 2＝－6，所以y 1y 2≠0，y 2＝－6y 1. |MN →|＝|y 1－y 2|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪y 1＋6y 1＝|y 1|＋6|y 1|≥26， 当且仅当y 1＝±6时，上式取等号，此时y 2＝－y 1，所以，F 2F 1--→＋F 2M →＋F 2N →＝(－22，0)＋(2，y 1)＋(2，y 2)＝(0，y 1＋y 2)＝0.三、探究与拓展14.已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线的右支上，且PF 1＝4PF 2，则此双曲线离心率e 的最大值为________.考点 共同性质题点 共同性质的运用答案 53解析 设P 点坐标为P (x 0，y 0)，由圆锥曲线的统一定义得e ＝PF 1x 0＋a 2c ＝PF 2x 0－a 2c， 把PF 1＝4PF 2代入则有x 0＋a 2c ＝4⎝⎛⎭⎪⎫x 0－a 2c ， 整理得5a 2c＝3x 0. ∵x 0≥a ，∴e ＝c a ≤53， ∴离心率e 的最大值为53. 15.已知椭圆x 225＋y 29＝1上不同的三点A (x 1，y 1)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，95，C (x 2，y 2)与焦点F (4,0)的距离成等差数列.(1)求证：x 1＋x 2＝8；(2)若线段AC 的垂直平分线与x 轴交于点T ，求直线BT 的斜率. 考点 共同性质题点 共同性质的运用(1)证明 由已知得a ＝5，b ＝3，c ＝4，e ＝45. 因为AF ＝a －ex 1＝5－45x 1，CF ＝a －ex 2＝5－45x 2，BF ＝5－45×4＝95，且AF ＋CF ＝2BF ， 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫5－45x 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫5－45x 2＝185，即x 1＋x 2＝8. (2)解 因为A (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)在椭圆上，所以x 2125＋y 219＝1，① x 2225＋y 229＝1，②由①－②得y 21－y 22＝－925(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＝－7225(x 1－x 2)(y 1≠y 2). 又因为线段AC 的中点为⎝ ⎛⎭⎪⎫4，y 1＋y 22， 所以线段AC 的垂直平分线的方程为y －y 1＋y 22＝－x 1－x 2y 1－y 2(x －4).③ 又因为点T 在x 轴上，则设点T 的坐标为(x 0,0)，代入③得x 0－4＝y 21－y 222(x 1－x 2)，所以x 0－4＝－3625. 所以直线BT 的斜率k ＝－95x 0－4＝54. 故直线BT 的斜率为54.。
苏教版数学高二-苏教数学选修1-1学案 圆锥曲线的共同性质(2)
圆锥曲线的共同性质（2）【学习目标】1. 求曲线的方程；2. 通过曲线的方程，研究曲线的性质．【自主学习】（认真自学课本P36-P37例3） 复习1：已知曲线C 的方程为 22y x = ，曲线C 上有点(1,2)A ，A 的坐标是不是22y x = 的解？点(0.5,)t 在曲线C 上,则t =___ ．复习2：曲线（包括直线）与其所对应的方程(,)0f x y =之间有哪些关系?【合作探究】例1 有一曲线,曲线上的每一点到x 轴的距离等于这点到(0,3)A 的距离的2倍，试求曲线的方程．小结：点(,)P a b 到x 轴的距离是 ；点(,)P a b 到y 轴的距离是 ；例2：(教材P36例3) 已知一条直线l 和它上方的一个点F ，点F 到l 的距离是2，一条曲线也在l 的上方，它上面的每一点到F 的距离减去到l 的距离的差都是2，建立适当的坐标系，求这条曲线的方程．【目标检测】1．．已知(1,0)A ，(1,0)B -，动点满足2MA MB -=,则点M 的轨迹方程是 （ ）.A ．0(11)y x =-≤≤B ．0(1)y x =≥C ．0(1)y x =≤-D ．0(1)y x =≥2．曲线y =与曲线0y x +=的交点个数一定是 （ ）．A ．0个B ．2个C ．4个D ．3个3．若定点(1,2)A 与动点(,)P x y 满足4OP OA •=,则点P 的轨迹方程是 ．4. 已知点C 的坐标是(2,2)，过点C 的直线CA 与x 轴交于点A ，过点C 且与直线CA 垂直的直线CB 与y 轴交于点B ．设点M 是线段AB 的中点，求点M 的轨迹方程．【作业布置】任课教师自定。
高中数学 第2章《圆锥曲线与方程》圆锥曲线的共同性质导学案1 苏教版选修1-1
江苏省响水中学高中数学 第2章《圆锥曲线与方程》圆锥曲线的共同性质导学案1 苏教版选修1-1学习目标：1. 掌握椭圆、双曲线的第二定义以及准线的概念2. 类比抛物线的定义引出椭圆和双曲线的第二定义，借助几何画板 等多媒体手段探究出轨迹的形成，进一步推导出椭圆和双曲线的 方程。
3.培养学生类比推理的能力,探究能力，激发学习兴趣。
教学重点：圆锥曲线的统一定义的形成教学难点：圆锥曲线方程的推导课前预习：1.抛物线的定义：2.思考:1≠d PF 呢3.圆锥曲线的统一定义:平面内到一定点F 与到一条定直线l 的距离之比为常数 e 的点的轨迹.( 点F 不在直线l 上）(1)当 0< e <1 时, 点的轨迹是 (2)当 e >1 时, 点的轨迹是(3)当 e = 1 时, 点的轨迹是其中常数e 叫做圆锥曲线的离心率,定点F 叫做圆锥曲线的焦点,定直线l 就是该圆锥曲线的准线. 4. (1) 上述定义中只给出了一个焦点，一条准线，还有另一焦点，是否还有另一准线？ (2) 另一焦点的坐标和准线的方程是什么？课堂探究：1.已知点P(x,y)到定点F(c,0)的距离与它到定直线c a x l 2:=的距离的比是常数 c a (a>c>0),求P 的轨迹.变题:已知点P(x,y)到定点F(c,0)的距离与它到定直线c a x l 2:= 的距离的比是常数 c a (c>a>0),求P 点的轨迹.２.求下列曲线的焦点坐标与准线方程:22(1) 1259x y += 22(2) 416x y += 22(3) 1259x y -=22(4) 416y x-=2(5) 16y x=2(6) 16x y=-课堂检测：1.椭圆22|348|(2)(2)25x yx y++-+-=的离心率为2、椭圆长轴长为10,短轴长为8,则椭圆上点到椭圆中心距离的取值范围是3、P是椭圆22143x y+=上点,F1、F2是两焦点,则PF1·PF2的最大值是。
高中数学第二章圆锥曲线与方程2.1_2.2圆锥曲线及椭圆2—椭圆的几何性质导学案苏教版选修1_1
椭圆的几何性质课程标准；经历从实际背景中抽象出椭圆的过程，掌握椭圆的标准方程[目标细化]，椭圆的几何性质[目标细化]1． 会由方程研究性质，以及由性质求方程，会画图；2． 掌握,,,a b c e 的几何意义以及它们之间的相互关系3． 认识特征三角形与焦点三角形中的定量与变量，以及二者的关系。
[重点难点]重点：1，2（目标中心）难点：3（目标中心）[学习过程]一、预习导航1．椭圆的两个标准方程的几何性质与特征比较（填写以下空格）2．椭圆上两个重要三角形：（1）椭圆上任意一点(,)(0)p x y y ≠与两焦点1F ，2F 构成12PF F ∆称为焦点三角形，焦点三角形的周长为 __________ ，12cos F PF ∠=____________________（2）椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成了一个直角三角形，称为椭圆的特征三角形，三边关系为___________________3．离心率的取值对椭圆扁圆程度的影响：（1）当1e →时，c a →，b =_____________（2）当0e →时，0c →，b a →，椭圆越_____________二、牛刀小试1．求下列椭圆的长轴长和短轴长，焦点坐标，顶点坐标，离心率（1）22981x y += （2）22259225x y +=（3）221625x y += （4）22451x y +=2．根据下列条件求椭圆的标准方程（1）长轴长和短轴长分别是8和6， （2）焦距是12，离心率是34，焦点在x 轴上 焦点在x 轴上（3）经过点(2,0)P -，(0,3)Q - 两点 （4）一焦点坐标(3,0)-，一顶点坐标为(0,5)三、展示自我.根据下列条件求椭圆的标准方程1．焦点在x 轴上，焦距为2，椭圆上一点M 与两焦点的距离之和等于62．一个焦点坐标(3,0),过点A (5,0)-4． 一个焦点坐标(0,4),过点B (1四、巩固提高1．已知椭圆2255kx y +=的一个焦点坐标是(2,0)，求k 的值2．已知1F ，2F 是椭圆22194x y +=的两个焦点，点P 在椭圆上，如果12PF F ∆是直角三角形，求P 点坐标。
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江苏省响水中学高中数学 第2章《圆锥曲线与方程》圆锥曲线的共同性质（二）导学案 苏教版选修1-1
学习目标： 1. 了解圆锥曲线的共同性质并能够解决有关简单问题；
2. 能够根据圆锥曲线的标准方程求准线方程，能够熟练运用直接法和定义法
求曲线方程。
教学重点：圆锥曲线的准线定义与方程的求解。
教学难点：用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题和实际问题．
课前预习：
1. 已知抛物线的准线方程为x ＝－7，则抛物线的标准方程为 ．
2. 已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F(1,0)，离心率等于12
， 则C 的方程是 ．
3.已知F1(－1,0)，F2(1,0)是椭圆C 的两个焦点，过F2且垂直x 轴的直线交C 于
A ，
B 两点，且|AB|＝3，则
C 的方程为
4. 在y ＝2x2上有一点P ，它到A(1,3)的距离与它到焦点的距离之和最小，
则点P 的坐标是
课堂探究：
1.椭圆x225＋y29
＝1上有一点P ，它到左准线的距离等于 2.5，那么，P 到右焦点的距离为________．
变式： 已知椭圆x24b2＋y2b2
＝1上一点P 到右焦点F2的距离为b(b>1)，求P 到左准线的距离．
2.已知椭圆x28＋y26
＝1内有一点P(1，－1)，F 是椭圆的右焦点， 在椭圆上求一点M ，使MP ＋2MF 之值为最小．
变式：已知双曲线x29－y216
＝1的右焦点为F ，点A(9,2)，试在双曲线上求一点M ， 使MA ＋35
MF 的值最小，并求这个最小值．
变式：已知F1，F2是双曲线x2a2－y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点，P 为双曲线左支上一点，若|PF2|2|PF1|的最小值为8a ，求该双曲线的离心率。
课堂检测：
1. 椭圆14922=+y x 上一点P 到左焦点的距离是4，
则它到右准线的距离是 ．
2. 椭圆x2a2＋y2b2
＝1(a ＞b ＞0)上任意一点到两焦点的距离分别为d1，d2，焦距为2c ， 若d1，2c ，d2成等差数列，则椭圆的离心率为 ．
3. 已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)与双曲线x2m2－y2n2
＝1(m ＞0，n ＞0)，有相同的焦点 (－c,0)和(c,0)，若c 是a 、m 的等比中项，n2是2m2与c2的等差中项，
则椭圆的离心率是________．
教师个人研修总结
在新课改的形式下，如何激发教师的教研热情，提升教师的教研能力和学校整体的教研实效，是摆在每一个学校面前的一项重要的“校本工程”。
所以在学习上级的精神下，本期个人的研修经历如下：
1.自主学习：我积极参加网课和网上直播课程.认真完成网课要求的各项工作.教师根据自己
的专业发展阶段和自身面临的专业发展问题，自主选择和确定学习书目和学习内容，认真阅读，记好读书笔记；学校每学期要向教师推荐学习书目或文章，组织教师在自学的基础上开展交流研讨，分享提高。
2.观摩研讨：以年级组、教研组为单位，围绕一定的主题，定期组织教学观摩，开展以课例为载体的“说、做、评”系列校本研修活动。
3.师徒结对：充分挖掘本校优秀教师的示范和带动作用，发挥学校名师工作室的作用，加快新教师、年轻教师向合格教师和骨干教师转化的步伐。
4.实践反思：倡导反思性教学和教育叙事研究，引导教师定期撰写教学反思、教育叙事研究报告，并通过组织论坛、优秀案例评选等活动，分享教育智慧，提升教育境界。
5.课题研究：立足自身发展实际，学校和骨干教师积极申报和参与各级教育科研课题的研究工作，认真落实研究过程，定期总结和交流阶段性研究成果，及时把研究成果转化为教师的教育教学实践，促进教育质量的提高和教师自身的成长。
6.专题讲座：结合教育教学改革的热点问题，针对学校发展中存在的共性问题和方向性问题，进行专题理论讲座。
7.校干引领：从学校领导开始，带头出示公开课、研讨课，参与本校的教学观摩活动，进行教学指导和引领。
8.网络研修：充分发挥现代信息技术，特别是网络技术的独特优势，借助教师教育博客等平台，促进自我反思、同伴互助和专家引领活动的深入、广泛开展。
我们认识到：一个学校的发展，将取决于教师观念的更新，人才的发挥和校本培训功能的提升。
多年来，我们学校始终坚持以全体师生的共同发展为本，走“科研兴校”的道路，坚持把校本培训作为推动学校建设和发展的重要力量，进而使整个学校的教育教学全面、持续、健康发展。
反思本学期的工作，还存在不少问题。
很多工作在程序上、形式上都做到了，但是如何把工作做细、做好，使之的目的性更加明确，是继续努力的方向。
另外，我校的研修工作压力较大，各学科缺少领头羊、研修氛围有待加强、师资缺乏等各类问题摆在我们面前。
缺乏专业人员的引领，各方面的工作开展得还不够规范。
相信随着课程改革的深入开展，在市教育教学研究院的领导和专家的亲临指导下，我校校本研修工作一定能得以规范而全面地展开。
“校本研修”这种可持续的、开放式的继续教育模式，一定能使我校的教育教学工作又上一个台阶。