最新高中数学必修课件-【数学】1.4.3 正切函数的性质与图象
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高中数学人教B版必修四1.3.2正切函数图象与性质
k
2
(k
Z
)
例题分析
例３ 求函数 y tan 3x 的周期.
解： 因为tan(3x ) tan 3x,
即tan3(x+ )=tan3x,
3
这说明自变量 x ,至少要增加 才能重复取得，所以函数 y
3
tan
，函数的值 3x 的周期
是
3
反馈练习：求下列函数的周期：
(1) y 5 tan x 2
⑵ 值域： R
2
⑶ 周期性：
⑷ 奇偶性： 奇函数，图象关于原点对称。
⑸ 单调性： 在每一个开区间
( k , k )
2
2
，k Z 内都是增函数。
(6)渐近线方程：x
k
2
,
kZ
(7)对称中心 (kπ,0) 2
问题讨论
问题：
(1)正切函数是整个定义域上的增函数吗？为什么？ (2)正切函数会不会在某一区间内是减函数？为什么？
(1)tan167o 与tan173o
（2）tan(-
11π) 与
4
tan(- 13π) 5
解:(1) 900 1670 1730 1800
y
tan
x在
2
，
上是增函数，
tan1670 tan1730
说明：比较两个正切值大小，关键是把相 应的角 化到y=tanx的同一单调区间内，再 利用y=tanx的单调递增性解决。
3、正切函数 y tan x 是否具有奇偶性？
思考
由诱导公式知
f x tan x tan x f x, x R, x k , k Z
2
正切函数是奇函数.
思考
4、能否由正切线的变化规律及正切函数周期性来讨论它的单调性?
1.4.3正切函数的性质与图象 课件(人教A版必修4)
预习测评 1．f(x)＝tan
1 2
x 是(
)
A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数又不是偶函数
【答案】A
(
2．下列点中，不是函数 y＝tan 3x 的图象的对称中心的坐标为 )
π A. ，0 2 3π B. ，0 2 3π C. ，0 4 π D. ，0 3
π (2)由已知得，f5＝asin
π π ＋btan ＋1＝7， 5 5
2．已知函数 y＝tan ωx(ω≠0)在区间(－π，π)上是增函数，求 实数 ω 的取值范围．
解：由函数是增函数可知，ω＞0，由于正切函数 y＝tan x 在 π π － ， 上是增函数且周期为 π，所以由 y＝tan ωx 在区间(－π，π) 2 2 π 上是增函数，可知 y＝tan ωx 的周期大于 2π.于是ω＞2π，得到 0＜ 1 ω＜2.
思路点拨： (1)将两个函数值转化到同一个单调区间内比较； (2)代入函数解析式，再变形求解．
解：
7π 2π 2π (1)因为 tan－ 5 ＝tan－π－ 5 ＝tan－ 5 ， 12π 2π 2π tan － 7 ＝tan －2π＋ 7 ＝tan 7 .
x＋ 3＜0，
π π 而－ 3＜tan x＜1 的解集为 kπ－3＜x＜kπ＋4(k∈Z)，故所求 3π π π 2π 5π 函数的定义域为－4，－ 4 ∪－3，4∪ 3 ， 4 .
知识点 2 正切函数性质的应用 【例 2】
7π 12π (1)利用正切函数的单调性比较 tan－ 5 与 tan－ 7 的大小； π 99π (2)已知 f(x)＝asin x＋b tan x＋1 满足 f ＝7，求 f 的值． 5 5
高中数学复习课件-高中数学必修4课件 1.4.3正切函数的性质与图象
1.4.3 正切函数的性质与图象
1.能借助单位圆中的正切线画出 y=tan x 的图象. 2.理解正切函数的定义域、值域、周期性、奇偶性和单调性,并能应用.
正切函数的图象与性质 (1)图象:如图所示.
正切函数 y=tan x 的图象叫做正切曲线.
(2)性质:如下表所示.
性质
函数
y=tan x
定义域
(1)y=-tan
3
x
3 5
;
(2)y=|tan x|.
分析:(1)利用 T= 求解;(2)画出函数图象利用图象法求解.
|ω|
解:(1)∵ω= ,∴最小正周期 T= =3.
3
3
(2)函数 y=|tan x|的图象是将函数 y=tan x 图象 x 轴下方的图象沿 x 轴翻折 上去,其余不变,如图所示.
2
4
答案:B
4
函数
y=tan
x
4
的定义域为
.
解析:要使函数有意义,自变量 x 的取值应满足 x+ ≤kπ+ (k∈Z),解得
4
2
x≠kπ+ .
4
答案:x|x
k
π 4
,
k
Z}
5 比较 tan 1,tan 2,tan 3 的大小.
解:∵tan 2=tan(2-π),tan 3=tan(3-π),
错解:∵1+tan x≠0,即 tan x≠-1,
∴x≠kπ-
4
(k∈Z),即
y=
1
1 tanx
的定义域为
x|x
k
π 4
,
k
Z}.
错因分析:错解忽略了 tan x 本身对 x 的限制.
1.能借助单位圆中的正切线画出 y=tan x 的图象. 2.理解正切函数的定义域、值域、周期性、奇偶性和单调性,并能应用.
正切函数的图象与性质 (1)图象:如图所示.
正切函数 y=tan x 的图象叫做正切曲线.
(2)性质:如下表所示.
性质
函数
y=tan x
定义域
(1)y=-tan
3
x
3 5
;
(2)y=|tan x|.
分析:(1)利用 T= 求解;(2)画出函数图象利用图象法求解.
|ω|
解:(1)∵ω= ,∴最小正周期 T= =3.
3
3
(2)函数 y=|tan x|的图象是将函数 y=tan x 图象 x 轴下方的图象沿 x 轴翻折 上去,其余不变,如图所示.
2
4
答案:B
4
函数
y=tan
x
4
的定义域为
.
解析:要使函数有意义,自变量 x 的取值应满足 x+ ≤kπ+ (k∈Z),解得
4
2
x≠kπ+ .
4
答案:x|x
k
π 4
,
k
Z}
5 比较 tan 1,tan 2,tan 3 的大小.
解:∵tan 2=tan(2-π),tan 3=tan(3-π),
错解:∵1+tan x≠0,即 tan x≠-1,
∴x≠kπ-
4
(k∈Z),即
y=
1
1 tanx
的定义域为
x|x
k
π 4
,
k
Z}.
错因分析:错解忽略了 tan x 本身对 x 的限制.
正切函数的图象与性质+课件-2022-2023学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
2
∈ ，解得x.
用“基本函数法”求函数＝ tan + (＞，＞)的单调区间、
定义域及对称中心的步骤：
第一步：写出基本函数y＝tan x的相应单调区间、定义域及对称中心；
第二步：将“＋”视为整体替换基本函数的单调区间(用不等式表示)中的“x”；
第三步：解关于的不等式
例 题 讲 解
5
−
11
)
4
=
tan ,
4
2
又 ∵ 0 < < < , 且 = tan 在(0， )是增函数
4 5
2
2
2
∴ tan < tan
4
5
11
13
∴ tan( − ) < tan( − ).
4
5
课 堂 小 结
y tan x
y
2
正切函数： = tan , ∈ R, 且 ≠ + , ∈
5.4.3正切函数的性质与图像
温 故 知 新
问题1：正切函数的定义是什么？
正切函数： = tan
{x | x R , x k
2
, k Z}
问题2：根据研究正弦函数和余弦函数的经验，你认为应该如何研究正
切函数的图象和性质？你能用不同的方法研究正切函数吗？ Nhomakorabea图象→性质
定义
性质
不是轴对称图形，无对称轴
对称中心：( ，0）
2
π
y tan x，x kπ ，k Z
2
x
归 纳 总 结
定义域
x
∈ ，解得x.
用“基本函数法”求函数＝ tan + (＞，＞)的单调区间、
定义域及对称中心的步骤：
第一步：写出基本函数y＝tan x的相应单调区间、定义域及对称中心；
第二步：将“＋”视为整体替换基本函数的单调区间(用不等式表示)中的“x”；
第三步：解关于的不等式
例 题 讲 解
5
−
11
)
4
=
tan ,
4
2
又 ∵ 0 < < < , 且 = tan 在(0， )是增函数
4 5
2
2
2
∴ tan < tan
4
5
11
13
∴ tan( − ) < tan( − ).
4
5
课 堂 小 结
y tan x
y
2
正切函数： = tan , ∈ R, 且 ≠ + , ∈
5.4.3正切函数的性质与图像
温 故 知 新
问题1：正切函数的定义是什么？
正切函数： = tan
{x | x R , x k
2
, k Z}
问题2：根据研究正弦函数和余弦函数的经验，你认为应该如何研究正
切函数的图象和性质？你能用不同的方法研究正切函数吗？ Nhomakorabea图象→性质
定义
性质
不是轴对称图形，无对称轴
对称中心：( ，0）
2
π
y tan x，x kπ ，k Z
2
x
归 纳 总 结
定义域
x
高中新教材数学人课件必修第一册第章正切函数的性质与图象
反三角函数图象特点分析
反正弦函数图象
反正弦函数的图象是一个上凸的 曲线，关于原点对称。在[-1, 1]
区间内，函数值从-π/2增加到 π/2。
反余弦函数图象
反余弦函数的图象是一个下凸的曲 线，关于y轴对称。在[-1, 1]区间 内，函数值从π减少到0。
反正切函数图象
反正切函数的图象是一个单调递增 的曲线，关于原点对称。在实数范 围内，函数值从-π/2增加到π/2。
正切函数定义域及值域
定义域
正切函数的定义域为所有不等于$kpi + frac{pi}{2}$（$k in mathbb{Z}$）的 实数，即正切函数在$frac{pi}{2} + kpi$（$k in mathbb{Z}$）处不存在。
值域
正切函数的值域为全体实数，即$mathbb{R}$。
周期性、奇偶性与单调性
下一讲预告及预习建议
下一讲将介绍正切函数的复合函数及其应用，包括正切型复合函数的图象与性质 等。
预习建议：提前阅读教材相关内容，了解正切型复合函数的基本概念及性质；思 考如何将正切函数与其他基本初等函数进行复合，并尝试画出其图象。
谢谢聆听
声音的传播和反射特性。
经济学中弹性概念引入
01
价格弹性
正切函数可用于描述商品价格变动对消费者需求量的影响程度，即价格
弹性。通过计算价格弹性系数，可以了解市场对价格变动的敏感程度。
02
收入弹性
正切函数还可用于分析消费者收入变化对商品需求量的影响，即收入弹
性。收入弹性反映了消费者对不同商品的购买能力和偏好。
不连续点
正切函数在$frac{pi}{2} + kpi$（$k in mathbb{Z}$）处不 连续，即在这些点上函数值不存在。这些点称为正切函数的 不可导点或间断点。
人教A版高中数学必修4课件：1.4.3 正切函数的性质与图象
[小试身手]
1．判断下列命题是否正确. (正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数 y＝Atan(ωx＋φ)的周期公式为 T＝ωπ.( × ) (2)正切函数在 R 上是单调递增函数．( × ) (3)正切函数是奇函数，原点是唯一的一个对称中心．( × )
2．下列说法正确的是( ) A．y＝tan x 是增函数 B．y＝tan x 在第一象限是增函数 C．y＝tan x 在某一区间上是减函数 D．y＝tan x 在区间kπ－π2，kπ＋π2(k∈Z)上是增函数
所以函数的定义域为
{x|x∈R 且 x≠kπ－π4，x≠kπ＋π2，k∈Z}.
3－tan x>0 (2)要使 y＝lg( 3－tan x)有意义，需使x≠kπ＋π2k∈Z ，
所以函数的定义域是xkπ－π2<x<kπ＋π3，k∈Z
.
求函数的定义域注意函数中分母不等于 0，真数大于 0，正切 函数中的 x≠kπ＋π2，k∈Z 等问题．
tan2x＋π2＋π3，所以 fx＋π2＝f(x)，所以周期为 T＝π2. 答案：B
类型一 求函数的定义域
例 1 求下列函数的定义域：
(1)y＝1＋1tan
； x
(2)y＝lg( 3－tan x)．
【解析】
(1)要使函数
y＝1＋1tan
有意义， x
1＋tan x≠0， 需使x≠kπ＋π2k∈Z，
函数 y＝tan x 的图象与性质 解析式
图象
y＝tan x
定义域
值域 周期 奇偶性
单调性
x__x_≠__k_π_＋_2π_，__k_∈__Z__ __R__ __π__
__奇__函_数___
在开区间__k_π_－__π2_，_k_π_＋__2π__，_k_∈__Z_上都是增函数
高中数学必修四 第1章 三角函数课件 1.4.3 正切函数的性质与图象
[规律方法] 正切型函数单调性求法与正、余弦型函数求法一 样，采用整体代入法，但要注意区间为开区间且只有单调增区 间或单调减区间．利用单调性比较大小要把角转化到同一单调 区间内．
【活学活用 2】 (1)求函数 y＝3tanπ4－2x的单调递减区间． (2)比较 tan 65π 与 tan－173π的大小．
课堂小结 1．正切函数的图象
正切函数有无数多条渐近线，渐近线方程为 x＝kπ＋π2，k∈Z， 相邻两条渐近线之间都有一支正切曲线，且单调递增．
2．正切函数的性质 (1)正切函数 y＝tan x 的定义域是xx≠kπ＋π2，k∈Z ，值域是 R. (2)正切函数 y＝tan x 的最小正周期是 π，函数 y＝Atan(ωx＋ φ)(Aω≠0)的周期为 T＝|ωπ |. (3)正切函数在－π2＋kπ，π2＋kπ(k∈Z)上递增，不能写成闭区 间．正切函数无单调减区间.
xπ6＋2kπ≤x≤43π＋2kπ，k∈Z
.
(3)令2x－π3＝0，则 x＝23π. 令2x－π3＝π2，则 x＝53π. 令2x－π3＝－π2，则 x＝－π3. ∴函数 y＝tan2x－π3的图象与 x 轴的一个交点坐标是23π，0， 在这个交点左、右两侧相邻的两条渐近线方程分别是 x＝－π3， x＝53π.从而得函数 y＝f(x)在一个周期－π3，53π内的简图(如图)．
【例 2】 (1)求函数 y＝tan－12x＋π4的单调区间； (2)比较 tan 1、tan 2、tan 3 的大小． [思路探索] (1)可先将原式转化为 y＝－tan12x－π4，从而把12x－π4 整体代入－π2＋kπ，π2＋kπ，k∈Z 这个区间内，解出 x 便可． (2)可先把角化归到同一单调区间内，即利用 tan 2＝tan (2－π)， tan 3＝tan (3－π)，最后利用 y＝tan x 在－π2，π2上的单调性判 断大小关系．
数学必修四课件 1.4.3 正切函数的性质与图象
17π － 【解析】tan ＝－tan 4 22π － tan ＝－tan 5
π ， 4
2π ， 5
π π 2π π 2π π ∵－ < < < ，∴tan ＞tan ， 2 4 5 2 5 4 即
17π 22π － tan－ 4 >tan . 5
)
tan 2x 3．函数 f(x)＝ 的定义域为( tan x
kπ A.xx∈R且x≠ 4 ，k∈Z
)
π B. xx∈R且x≠kπ＋4，k∈Z π C. xx∈R且x≠kπ＋2，k∈Z π D.xx∈R且x≠kπ－4，k∈Z
【答案】A
• 正切函数的性质
【例 1】 求函数 间．
【解题探究】 利用正切函数的定义域， 求出函数的定义域， 通过正切函数的周期公式求出周期，结合正切函数的单调增区 间求出函数的单调增区间．
π π y＝tan2x＋3 的定义域、周期和单调区
π π π 1 【解析】由 x＋ ≠ ＋kπ，k∈Z，解得 x≠ ＋2k，k∈Z. 2 3 2 3
1 ∴定义域为 xx≠3＋2k，k∈Z .
π 周期 T＝ ＝2. π 2 π π π π 由－ ＋kπ＜ x＋ ＜ ＋kπ，k∈Z， 2 2 3 2 5 1 解得－ ＋2k＜x＜ ＋2k，k∈Z. 3 3
5 1 ∴函数的单调递增区间为－3＋2k，3＋2k ，k∈Z.
• 【方法规律】运用正切函数单调性比较大小 的方法 • (1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同 一单调区间内． • (2)运用单调性比较大小关系．
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一、回顾
请问:研究正弦函数、余弦函数之后 你积累了那些经验？
单位圆技法 诱导公式、函数性质
平移正弦线、余弦线 五点法
画函数图象
描点法
二、正切函数的性质
1t 、周a x 期 n 性π ) T(ta πx ,x n R ,x π k π ,k Z
yAta nx ()
y tanx Tπ T
3
奇 函 数 ， T3
（5）y tan x
偶函数，T
利用正切线画出函数在
2
,
2
的图象
y
2
34
6
x
O1
O
643 2
正切函数的性质 :
定义域：x
x
2
k,kZ
值域： R
周期性：T
奇偶性：奇函数
单调性：在开区间2k,2kkZ内递增 在每一个开区间内都是单调增函数.能不能说 正切函数在整个定义域上单调递增？
2 k
,
k
2
kZ
三、例题研究
例2、求函y数tanπxπ的定义域、
2 3
周期和单调 . 区间
理清 : (1)换元法
y
tan2
x
3
(2)周期 T π ω
(3)复合函数的单调性四、来自结与作业:(1)定义域： {x|xk,kZ}
2
(2周 ) T 期 π
( 3 )f(x ) t a n x ,x R 为奇函数
(4) 单调性：增区间：
2
2、奇偶性 ta x n ) (ta x ,x n R ,x π k π ,k Z
2
正切函数是奇函数
例1、判断下列函数的奇偶性并求周期：
(1) y tan3x
奇函数，T 3.
(3) y ta n x 2
奇 函 数 ， T2.
(2) ytan2x
奇函数，T 2.
(4) y tan x
请问:研究正弦函数、余弦函数之后 你积累了那些经验？
单位圆技法 诱导公式、函数性质
平移正弦线、余弦线 五点法
画函数图象
描点法
二、正切函数的性质
1t 、周a x 期 n 性π ) T(ta πx ,x n R ,x π k π ,k Z
yAta nx ()
y tanx Tπ T
3
奇 函 数 ， T3
（5）y tan x
偶函数，T
利用正切线画出函数在
2
,
2
的图象
y
2
34
6
x
O1
O
643 2
正切函数的性质 :
定义域：x
x
2
k,kZ
值域： R
周期性：T
奇偶性：奇函数
单调性：在开区间2k,2kkZ内递增 在每一个开区间内都是单调增函数.能不能说 正切函数在整个定义域上单调递增？
2 k
,
k
2
kZ
三、例题研究
例2、求函y数tanπxπ的定义域、
2 3
周期和单调 . 区间
理清 : (1)换元法
y
tan2
x
3
(2)周期 T π ω
(3)复合函数的单调性四、来自结与作业:(1)定义域： {x|xk,kZ}
2
(2周 ) T 期 π
( 3 )f(x ) t a n x ,x R 为奇函数
(4) 单调性：增区间：
2
2、奇偶性 ta x n ) (ta x ,x n R ,x π k π ,k Z
2
正切函数是奇函数
例1、判断下列函数的奇偶性并求周期：
(1) y tan3x
奇函数，T 3.
(3) y ta n x 2
奇 函 数 ， T2.
(2) ytan2x
奇函数，T 2.
(4) y tan x